Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή,

Φίλη μαθήτρια, φίλε μαθητή, Το βιβλίο αυτό, εναρμονισμένο με την πρόσφατα καθορισμένη ύλη, απευθύνεται στους μαθητές της Γ Λυκείου που έχουν επιλέξει τον προσανατολισμό Θετικών Σπουδών ή Σπουδών Πληροφορικής και Οικονομίας Δεν είναι απλώς μια προσαρμογή του επί δέκα συναπτά έτη δοκιμασμένου και απόλυτα επιτυχημένου βιβλίου μας, που αποτέλεσε για χιλιάδες μαθητές το βοήθημα της επιτυχίας τους, αλλά πρόκειται για ένα νέο βιβλίο, αισθητικά αναβαθμισμένο, ριζικά αναδομημένο, συμπληρωμένο και εμπλουτισμένο με τις γνώσεις και τις απαιτήσεις του σήμερα Κάθε ενότητα περιέχει: Τη βασική θεωρία, με σχόλια, παρατηρήσεις και τις απαραίτητες μεθοδεύσεις Λυμένες ασκήσεις που επιλέχθηκαν προσεκτικά, ώστε μέσα από τη μελέτη τους ο μαθητής να κατακτήσει όλες τις έννοιες και τις τεχνικές που αφορούν την παράγραφο που εξετάζεται κάθε φορά Προτεινόμενες ομάδες ασκήσεων με σκοπό την εξάσκηση και την εμβάθυνση στα αντίστοιχα θεωρήματα και τις εφαρμογές τους Ερωτήσεις κατανόησης για τον έλεγχο της θεωρίας και τον εντοπισμό των πιο λεπτών σημείων της Θέματα προετοιμασίας, δηλαδή ασκήσεις με συνδυασμό ερωτημάτων, στο πνεύμα των Πανελληνίων εξετάσεων, ώστε ο μαθητής να εξοικειώνεται από νωρίς με τη μορφή και το επίπεδο δυσκολίας της τελικής εξέτασης Απαντήσεις, επαρκείς υποδείξεις ή πλήρεις λύσεις σε όλες τις προτεινόμενες ασκήσεις, ώστε ο μαθητής να ελέγχει τα αποτελέσματά του και η μελέτη να γίνεται ευχάριστη και αποτελεσματική Θέλουμε να πιστεύουμε ότι η δομή, το περιεχόμενο και η διδακτική εμπειρία που περικλείει το βιβλίο αυτό θα το καταστήσουν ένα χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των αναγνωστών του και θα οδηγήσουν τους υποψήφιους στην επιτυχία και την επίτευξη των οραμάτων τους Ευχαριστούμε από τη θέση αυτή τον συνάδελφο Δημήτρη Τσάκο για την επιμέλεια του βιβλίου Οι συγγραφείς

Περιεχόμενα 1 Η έννοια της συνάρτησης, Γραφική παράσταση συνάρτησης, Βασικές συναρτήσεις9 Ίσες συναρτήσεις, Σύνθεση συναρτήσεων37 3 Μονοτονία - Ακρότατα συνάρτησης5 4 Η συνάρτηση "1-1"69 5 Η αντίστροφη συνάρτηση80 1ο κριτήριο αξιολόγησης101 6 Όριο στο 0, Ιδιότητες των ορίων103 7 Τριγωνομετρικά όρια, Όριο σύνθετης συνάρτησης136 8 Μη πεπερασμένο όριο στο 0 153 9 Όριο συνάρτησης στο άπειρο168 ο κριτήριο αξιολόγησης193 10 Συνέχεια συνάρτησης195 11 Το θεώρημα Bolzano11 1 Συνέπειες του θεωρήματος Bolzano, Εύρεση προσήμου, Εύρεση συνάρτησης0 13 Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, Θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής3 3ο κριτήριο αξιολόγησης53 1η επανάληψη55 14 Η έννοια της παραγώγου59 15 Παράγωγος βασικών συναρτήσεων, Κανόνες παραγώγισης, Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης77 16 Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου, Συστηματοποίηση των εφαπτομένων30 17 Ρυθμός μεταβολής317 4ο κριτήριο αξιολόγησης331 18 Το θεώρημα Rolle333 19 Το θεώρημα μέσης τιμής (ΘΜΤ)358 0 Συνέπειες του ΘΜΤ, Σταθερή συνάρτηση387 5ο κριτήριο αξιολόγησης430 η επανάληψη43 Υποδείξεις - Απαντήσεις439

1 Η έννοια της συνάρτησης Γραφική παράσταση συνάρτησης Βασικές συναρτήσεις Βασική θεωρία και ασκήσεις 1 Η έννοια της συνάρτησης - Εύρεση του πεδίου ορισμού Α ΘΕΩΡΙΑ α) Να περιγράψετε τα βασικά στοιχεία της έννοιας της συνάρτησης f: Α $ R Απάντηση Έστω f: Α $ R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α Τότε: Κάθε!Α αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο ένα στοιχείο y! R Το στοιχείο y = f (), όπου!α, λέγεται εικόνα του Το λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y = f () λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού Α της f συμβολίζεται γενικότερα και με D f β) Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f: Α $ R; Απάντηση Το σύνολο που έχει ως στοιχεία του τις τιμές της f για όλα τα! Α λέγεται σύνολο τιμών της f και συμβολίζεται με f (Α) Είναι δηλαδή: f (Α) = {y! R υπάρχει!α τέτοιο, ώστε y = f ()} γ) Τι σημαίνει η έκφραση «Η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β»; Απάντηση Λέγοντας ότι η f είναι ορισμένη στο σύνολο Β, εννοούμε ότι το Β είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού Α της f 9

δ) Πότε θεωρούμε ότι έχει οριστεί πλήρως μια συνάρτηση f ; Απάντηση Για να οριστεί μια συνάρτηση f, αρκεί να δοθούν: το πεδίο ορισμού της Α και η τιμή της f () για κάθε!α ε) Ποιοι είναι οι βασικοί κανόνες για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης f της οποίας δίνεται ο τύπος; Απάντηση Για την εύρεση του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης, της οποίας μας δίνεται ο τύπος, ακολουθούμε τους εξής κανόνες: Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το R Το ίδιο συμβαίνει για τις συναρτήσεις ημ, συν και α Οι παρονομαστές, όπου κι αν αυτοί παρουσιάζονται, πρέπει να είναι διάφοροι από το μηδέν Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί μόνο από τον τύπο της f () Στην περίπτωση αυτή ως πεδίο ορισμού Α θεωρούμε το σύνολο όλων των! R για τα οποία το f () έχει νόημα Οι υπόρριζες ποσότητες, ανεξάρτητα από την τάξη του ριζικού, πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το μηδέν Όπου παρουσιάζονται όροι της μορφής ln φ() απαιτούμε φ() > 0 Οι παραπάνω περιορισμοί μάς οδηγούν σε ένα σύστημα, του οποίου η λύση μάς δίνει το ζητούμενο πεδίο ορισμού Β ΜΕΘΟΔΟΣ α) Όταν δίνεται μια συνάρτηση f μέσω του τύπου της, τότε η πρώτη μας ενέργεια είναι να βρούμε το πεδίο ορισμού της, δηλαδή να βρούμε το σύνολο D f των, για τα οποία το f () είναι πραγματικός αριθμός β) Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, της οποίας μας έχει δοθεί ο τύπος, βασιζόμαστε στις εξής παρατηρήσεις: Αν η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση, τότε D f = R Αν υπάρχουν κλάσματα, σε οποιαδήποτε θέση, απαιτούμε (θέτουμε τον περιορισμό) οι παρονομαστές να είναι διάφοροι του μηδενός Αν δούμε όρους της μορφής n f(), απαιτούμε (θέτουμε τον περιορισμό) φ() $ 0 Αν δούμε όρο της μορφής ln φ() απαιτούμε (θέτουμε τον περιορισμό) φ() >0 Οι περιορισμοί που θέτουμε μας δίνουν ένα σύστημα, του οποίου η λύση μας δίνει το πεδίο ορισμού 10 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

11 Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f () 1 = + β) g () = 1 -- - 9 + 14 γ) h () ln 4 3 = - - + δ) () 3- - f = ln Λύση α) Πρέπει - 9 + 14! 0 Όμως Δ = 81-56 = 5, οπότε: - 9 + 14! 0, ( - )( - 7)! 0, (! και! 7) Άρα D f = R - {, 7} β) Πρέπει 1 - - $ 0, + - 1 # 0 Επειδή + - 1 = 0, ( = 3 ή = -4), η ανισότητα + - 1 # 0 αληθεύει για! [-4, 3] Άρα D g = [-4, 3] γ) Ο τύπος περιέχει κλάσμα αλλά και λογαριθμικό όρο, οπότε θέτουμε δύο περιορισμούς Πρέπει λοιπόν: -! 0,! - 4+ 3 0, ( - 4+ 3)( - ) 0 - Με τη βοήθεια του διπλανού πίνακα, ο οποίος μας δίνει το πρόσημο του γινομένου: Γ() = ( - 4 + 3)( - ) παίρνουμε τελικά ότι: D h = (1, ), (3, +3) δ) Και εδώ θέτουμε δύο περιορισμούς Πρέπει λοιπόν: > 0 (1) ln! 0,! 1 () 3- - $ 0, - # 3, -3 # - # 3, - 1 # # 5 (3) Οι σχέσεις (1), () και (3) δίνουν ότι D φ = (0, 1), (1, 5] Γραφική παράσταση συνάρτησης - Σχετική θέση των C f, C g Α ΘΕΩΡΙΑ α) Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f: Α $ R ; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R και Οy ένα σύστημα συντεταγμένων Το σύνολο των σημείων Μ(, y) με y = f (), δηλαδή το σύνολο των σημείων Μ(, f ()) με! Α, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C f 11

β) Τι εξίσωση έχει η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f; Απάντηση Η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f: Α $ R, ως γραμμή του επιπέδου, έχει εξίσωση y = f () γ) Πώς αναγνωρίζουμε αν μια γραμμή είναι γραφική παράσταση συνάρτησης; Απάντηση Έστω (C) μια γραμμή του επιπέδου Αν υπάρχει ευθεία ε // y y, η οποία τέμνει τη (C) σε περισσότερα από ένα σημεία, τότε η (C) δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης Αν κάθε ευθεία ε // y y έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη (C), τότε η (C) μπορεί να θεωρηθεί γραφική παράσταση συνάρτησης δ) Πότε το σημείο Ν( 0, y 0 ) ανήκει στη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f; Απάντηση Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R και το σημείο Ν( 0, y 0 ) Ισχύει ότι: Ν( 0, y 0 )! C f, f ( 0 ) = y 0 Β ΜΕΘΟΔΟΣ α) Αν δοθεί η γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, τότε: Το πεδίο ορισμού Α της f είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C f Το σύνολο τιμών f (Α) της f είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C f β) Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης C f μιας συνάρτησης f : Α $ R με τον άξονα βρίσκονται από τη λύση του συστήματος: y = f() ( S): * y = 0 Έτσι, οι τετμημένες των κοινών σημείων της C f με τον άξονα βρίσκονται από τη λύση της εξίσωσης f () = 0,!Α 1 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

γ) Τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων f και g βρίσκονται από τη λύση του συστήματος: y = f() ), y = g()! D + D f g Επομένως οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f και C g βρίσκονται από τη λύση της εξίσωσης f () = g() δ) Για να βρούμε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων C f, C g των συναρτήσεων f, g αντίστοιχα, μελετάμε το πρόσημο της διαφοράς: δ() = f() - g(),! D f + D g Έτσι: Αν δ() > 0 για κάθε ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η C f είναι ψηλότερα από τη C g Αν δ() < 0 για κάθε ενός διαστήματος Δ, τότε στο Δ η C f είναι χαμηλότερα από τη C g 1 Δίνεται η συνάρτηση: f () = 3 + ( - α) - (α + 3) + α - 5, α! R α) Να βρεθούν οι τιμές του α έτσι, ώστε η γραφική παράσταση C f να διέρχεται από το σημείο Μ(1, -6) β) Αν η C f διέρχεται από το σημείο Μ(1, -6), να βρεθούν τα κοινά σημεία της C f και του άξονα γ) Για α = 1 να βρεθεί η σχετική θέση της C f με τον άξονα Λύση α) Θα ισχύει ότι: Μ(1, -6)! C f,, f (1) = -6,, 1 + ( -α) - (α +3) + α -5 = -6,,, α - α + 1 = 0,, (α - 1) = 0, α = 1 Άρα η ζητούμενη τιμή του α είναι η α = 1 β) Επειδή η C f διέρχεται από το σημείο Μ(1, -6), είναι α = 1 Άρα: f () = 3 + - 4-4 Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R i) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα σημεία M(, f()),!α Επομένως: Μ(α, β)! C f, f (α) = β Τη συνθήκη αυτή εφαρμόζουμε κάθε φορά που θέλουμε να ελέγξουμε (ή να εξασφαλίσουμε ότι) ένα σημείο ανήκει στη C f 13

Τα κοινά σημεία της C f και του άξονα προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: 3 y = f() y = + -4-4 (Σ): ) 3, * y = 0 y = 0 Το σύστημα (Σ) δίνει: 3 + - 4-4 = 0,, ( + 1) - 4( + 1) = 0,, ( + 1)( - 4) = 0,, ( = -1 ή = - ή = ) Άρα τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα είναι τα σημεία: Α(-, 0), Β(-1, 0) και Γ(, 0) γ) Για α = 1 είναι: f() = 3 + - 4-4 = = ( + 1) - 4( + 1) = = ( + 1)( - )( + ) ii) Για να βρούμε τα κοινά σημεία της C f με τον άξονα, λύνουμε την εξίσωση: f () = 0,!Α iii) Αν η f ορίζεται στο 0, τότε η C f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο: Β(0, f (0)) iv) Οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f, C g προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης: f () = g(),! D f + D g v) Η σχετική θέση των C f, C g προκύπτει από τη μελέτη του προσήμου της διαφοράς: Δ() = f() - g(),! D f + D g Για τον σκοπό αυτό κατασκευάζουμε έναν πίνακα που περιέχει τις ρίζες της εξίσωσης f() = g() (αν υπάρχουν) και τα διαστήματα του πεδίου ορισμού D f vi) Για να βρούμε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω ή κάτω από τον άξονα, λύνουμε αντίστοιχα τις ανισώσεις f () > 0 ή f () < 0 Βρίσκουμε το πρόσημο της f με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα και παρατηρούμε ότι: Η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα όταν είναι f () > 0, δηλαδή όταν:! (-, -1), (, +3) Η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα όταν είναι f () < 0, δηλαδή όταν:! (-3, -), (-1, ) 13 Δίνονται οι συναρτήσεις: f () = 3 + - - και g() = + + Να βρεθούν: α) τα κοινά σημεία των C f και C g, β) τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τη C g 14 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Λύση α) Οι συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το Α = R Τα κοινά σημεία των C f και C g προκύπτουν από τη λύση του συστήματος των εξισώσεων: Όμως: y = f () και y = g() f () = g(), 3 + - - = + +,, 3 + - 4-4 = 0,, ( + 1) - 4( + 1) = 0, ( + 1)( - 4) = 0,, ( = -1 ή = - ή = ) Άρα τα κοινά σημεία των C f και C g είναι τα: β) Θεωρούμε τη διαφορά: Είναι: Α(-1, 1), Β(-, ) και Γ(, 10) Δ() = f () - g() Δ() = f () - g() = ( 3 + - - ) - ( + + ) = = 3 + - 4-4 = ( + 1)( - 4) Από τον διπλανό πίνακα προσήμου της διαφοράς Δ() προκύπτει ότι: στα διαστήματα (-, -1) και (, +3) η C f βρίσκεται πάνω από τη C g, ενώ στα διαστήματα (-3, -) και (-1, ) η C f βρίσκεται κάτω από τη C g Ας σημειώσουμε ότι τα για τα οποία Δ() = 0 είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των C f και C g 3 Σύνολο τιμών ΜΕΘΟΔΟΣ α) Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R Θυμίζουμε ότι το σύνολο τιμών της f, που συμβολίζεται με f (Α), είναι το σύνολο: f (Α) = {y! R y = f (),!Α} β) Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής: i) Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού Α της f 15

ii) Θεωρούμε την εξίσωση y = f () και απαιτούμε (θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y): η εξίσωση αυτή να έχει λύση ως προς και συγχρόνως η λύση αυτή να ανήκει στο Α Η επίλυση του συστήματος των περιορισμών δίνει το σύνολο τιμών f (Α) της f Ωστόσο σημειώνουμε ότι η εύρεση του συνόλου τιμών γίνεται ευκολότερα με χρήση της μονοτονίας και της συνέχειας της συνάρτησης, κάτι που αναπτύσσεται διεξοδικά σε επόμενη ενότητα γ) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f: Α $ R έχει σύνολο τιμών Β, τότε θεωρούμε τυχαίο y 0! Β και προσπαθούμε να βρούμε (ή να αποδείξουμε ότι υπάρχει) 0!Α τέτοιο, ώστε f ( 0 ) = y 0 Επισημαίνουμε ότι η εύρεση του συνόλου τιμών είναι γενικά μια επίπονη διαδικασία, θα γίνει όμως σχετικά εύκολη υπόθεση, όταν διδαχθούμε στις παρακάτω ενότητες το όριο, τη συνέχεια και την παράγωγο 14 Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () = α) το πεδίο ορισμού Α της f, β) το σύνολο τιμών της f - + Να βρεθεί: - 1 Λύση α) Πρέπει - 1! 0,! 1, οπότε Α = R - {1} β) Θεωρούμε την εξίσωση y = f () Το σύνολο τιμών της f αποτελείται από όλα εκείνα τα y! R, για τα οποία η εξίσωση y = f () έχει λύση ως προς στο Α Όμως: y f() y =, = - +, - 1, - (y + ) + + y = 0 (1) Η (1) είναι εξίσωση β βαθμού ως προς και έχει λύση στο R μόνο αν: Δ $ 0, (y + ) - 4( + y) $ 0, (y + )(y - ) $ 0,, y! (-3, -], [, +3) Μένει να εξετάσουμε μήπως για κάποιο από τα παραπάνω y η λύση της (1) είναι ο αριθμός 1, ο οποίος δεν ανήκει στο Α Αλλά για = 1 η σχέση (1) δίνει: 1 - (y + ) + + y = 0, 1 = 0 η οποία είναι αδύνατη Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το: f (Α) = (-3, -], [, +3) 16 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

ΜΕΘΟΔΟΣ 4 Άρτια - Περιττή - Περιοδική συνάρτηση Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R α) Η f λέγεται άρτια όταν για κάθε! Α ισχύει -! Α και: f (-) = f () για κάθε!α β) Η f λέγεται περιττή όταν για κάθε! Α ισχύει -! Α και: f (-) = -f () για κάθε!α γ) Η f λέγεται περιοδική όταν υπάρχει Τ! 0 με: f ( + T) = f () και f ( - T) = f () για κάθε!α Είναι προφανές ότι για να είναι μια συνάρτηση f άρτια ή περιττή ή περιοδική πρέπει το πεδίο ορισμού να είναι κατάλληλο σύνολο, κάτι το οποίο εξετάζουμε από την αρχή Για παράδειγμα, η συνάρτηση f() = έχει την ιδιότητα f(-) = f () Ωστόσο αυτή δεν είναι άρτια αν θεωρήσουμε για Α το σύνολο [0, +3), διότι τότε δεν ισχύει ότι για κάθε!α είναι -!Α, δηλαδή η συνθήκη f (-) = f () δεν ισχύει για κάθε!α δ) Τονίζουμε ότι: Αν η f είναι άρτια, τότε η C f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y (και αντιστρόφως) Αν η f είναι περιττή, τότε η C f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Για να είναι μια συνάρτηση f άρτια ή περιττή, πρέπει οπωσδήποτε το πεδίο ορισμού να είναι σύνολο συμμετρικό ως προς το μηδέν, δηλαδή να ισχύει ταυτόχρονα:, -! D f για κάθε! D f Αν η f είναι περιττή και 0! D f, τότε f (0) = 0 15 Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες και ποιες περιττές: α) f () e 1 = - 3 β) f () ln = - e + 1 + 3 + 1, an # - 3, γ) f () = ) 3 δ) f () = ) - + - + 1, an $ -3 -, an an < -1 > 1 17

Σε καθεμία από τις προηγούμενες περιπτώσεις να εξεταστεί αν η C f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας Λύση α) Είναι D f = R Παρατηρούμε ότι, -! D f για κάθε! D f Είναι: 1 1 - - f( ) e 1 e 1 e e 1 - = - f () = e 1 1 = - =- - - =- + + 1 1 + e e + 1 για κάθε! D f = R e Άρα η f είναι περιττή, οπότε η C f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο(0, 0) β) Πρέπει +! 0,! - και συγχρόνως: - 0, ( - )( + ) 0,! (-, ) + Επομένως το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο D f = (-, ) Παρατηρούμε ότι, -! D f για κάθε! D f Είναι: 1 3 f( ) ( ) ln 3 ln 3 ln - = - f () + = - - - c - + = m - = + για κάθε! D f = (-, ) Άρα η f είναι άρτια, οπότε η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y γ) Είναι D f = (-3, -], [, +3) Το D f είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το μηδέν, δηλαδή αν! D f, τότε και -! D f Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν # -, τότε f () = 3 + 1 Επειδή - $, θα είναι: f (-) = -(-) 3 + 1 = 3 + 1 = f () Αν $, τότε f () = - 3 + 1 Επειδή - # -, θα είναι: f (-) = (-) 3 + 1 = - 3 + 1 = f () Επομένως είναι: f (-) = f () για κάθε! D f Άρα η f είναι άρτια, οπότε η C f έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y y δ) Είναι D f = (-3, -1), (1, +3) Το D f είναι συμμετρικό σύνολο ως προς το μηδέν, δηλαδή αν! D f, τότε και -! D f Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν < -1, τότε f () = -3 + Επειδή - > 1, θα είναι: f (-) = -3(-) - = 3 - = -(-3 + ) = -f () Αν > 1, τότε f () = -3 - Επειδή - < -1, θα είναι: f (-) = -3(-) + = 3 + = -(-3 - ) = -f () Άρα η f είναι περιττή, οπότε η C f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο(0, 0) 18 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

5 Χάραξη γραφικής παράστασης Α Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f () = α + β β) f() = α, α! 0 Απάντηση α) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f () = α + β ισχύουν τα παρακάτω: Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R Η γραφική παράσταση της f είναι μια ευθεία, οπότε για τη χάραξή της αρκεί ο προσδιορισμός δύο σημείων της Αν α! 0, η f έχει σύνολο τιμών το R β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f () = α, α! 0, ισχύουν τα παρακάτω: Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R Η γραφική παράσταση της f () = α, με α! 0, είναι μια παραβολή με κορυφή την αρχή των αξόνων Η f είναι άρτια συνάρτηση (δηλαδή f (-) = f () για κάθε! R), οπότε η C f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y Η f έχει σύνολο τιμών το [0, +3), αν α > 0 και το (-3, 0], αν α < 0 Β Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f () = α 3, α! 0 β) f() = a, α! 0 19

Απάντηση α) Για την πολυωνυμική συνάρτηση f () = α 3, α! 0, ισχύουν τα παρακάτω: Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R και σύνολο τιμών το R Η f είναι περιττή συνάρτηση, οπότε η C f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων β) Για τη ρητή συνάρτηση f () = a, α! 0, ισχύουν τα παρακάτω: Η f έχει πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το R * Η f είναι περιττή συνάρτηση (δηλαδή f (-) = -f (),! R), οπότε η C f είναι συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων Γ Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f () = και g() = β) f () = ημ, g() = συν, h() = εφ Απάντηση α) Οι συναρτήσεις f και g έχουν παρασταθεί γραφικά στο επόμενο σχήμα 0 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = [0, +3) και σύνολο τιμών το [0, +3) Η g έχει πεδίο ορισμού το Α = R, σύνολο τιμών το [0, +3) και είναι άρτια συνάρτηση Ο άξονας y y είναι άξονας συμμετρίας της C g β) Οι γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων f() = ημ, g() = συν και h() = εφ είναι αντίστοιχα οι παρακάτω: Οι y = ημ και y = συν έχουν πεδίο ορισμού το Α = R Η y = εφ ορίζεται στο σύνολο A kp p = $! R! +, k! Z Οι y = ημ και y = εφ είναι περιττές συναρτήσεις Η y = συν είναι άρτια συνάρτηση Οι y = ημ και y = συν είναι περιοδικές συναρτήσεις με περίοδο Τ = π (και γενικά Τ = κπ, κ! Z * ) Η y = εφ είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο Τ = π Οι συναρτήσεις f () = ημ και g() = συν έχουν σύνολο τιμών το [-1, 1], ενώ η h() = εφ έχει σύνολο τιμών το R Δ Να μελετηθούν και να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f() = α, 0 < α! 1 β) f() = log α, 0 < α! 1 Απάντηση α) Για την εκθετική συνάρτηση f () = α, 0 < α! 1, ισχύουν τα επόμενα: Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R και σύνολο τιμών το (0, +3) 1

Η μορφή της C f εξαρτάται από τη βάση α (α > 1 ή 0 < α < 1) Είναι f () > 0 για κάθε! R 1 Αν α > 1, τότε a 1 a, 1, δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα 1 1, 1 Αν 0 < α < 1, τότε a 1 a >, δηλαδή η f είναι γνησίως φθίνουσα Για την f ισχύει ότι f () $ f (y) = f ( + y) για κάθε, y! R β) Για τη λογαριθμική συνάρτηση f () = log α, 0 < α! 1, ισχύουν τα παρακάτω: Η f έχει πεδίο ορισμού το Α = (0, +3) και σύνολο τιμών το R Η μορφή της C f εξαρτάται από τη βάση α (α > 1 ή 0 < α < 1) Στην πρώτη περίπτωση (α > 1) ανήκει και η συνάρτηση f () = ln με βάση α = e (e =,718 ) log α 1 = 0, log α α = 1 και lne = 1 Αν, 1, > 0 και ν! R, τότε: log α = y, α y 1 =, log α ( 1 ) = log α 1 + log α, log α = log α 1 - log α, log α ν = νlog α Αν α > 1, τότε log α 1 < log α, 1 < Αν 0 < α < 1, τότε log α 1 < log α, 1 > log α = 0, = 1, log α = 1, = α, ln = 1, = e α = e lnα, διότι α = e lnα [f ()] g() = e g() lnf(), όπου f () > 0 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

1, an # 16 Δίνεται η συνάρτηση f () = ) - - 5, an > α) Να βρεθούν οι τιμές f (0), f (1), f (-1), f () και f (3) β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f α) Είναι: f(0) = 1-0 = 1, διότι 0 < f(1) = 1-1 = 0, διότι 1 < f(-1) = 1 - (-1) =, διότι -1 < f() = 1 - = -1, διότι # f(3) = 3-5 = 4, διότι 3 > Λύση β) Τα σημεία της C f με τετμημένη στο (-3, ] είναι μια ευθεία, η οποία διέρχεται από τα σημεία: Α(-1, ) και Β(, -1) Τα σημεία της C f με τετμημένη στο διάστημα (, +3) είναι τμήμα της παραβολής με εξίσωση y = - 5, η οποία διέρχεται από τα σημεία Β(, -1), Γ(3, 4) 6 Οριζόντια - Κατακόρυφη μετατόπιση α) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = -f () ; Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης -f είναι συμμετρική με τη C f ως προς τον άξονα β) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g () = f () ; Απάντηση Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τα τμήματα της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα των τμημάτων της C f τα οποία βρίσκονται κάτω από τον άξονα 3

γ) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: g() = f ( - α) και h() = f ( + α), όπου α > 0 Απάντηση Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: g() = f ( - α), με α > 0 προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της C f προς τα δεξιά κατά α μονάδες Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: h() = f ( + α), με α > 0 προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της C f προς τα αριστερά κατά α μονάδες δ) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση C f μιας συνάρτησης f, πώς χαράσσουμε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: g() = f () + α και h() = f () - α, όπου α > 0 Απάντηση Η γραφική παράσταση της g() = f () + α προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της C f προς τα πάνω κατά α μονάδες Η γραφική παράσταση της h() = f () - α προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της C f προς τα κάτω κατά α μονάδες 17 Να χαραχθούν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) f () = ln β) g () = ln - 1 Λύση α) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = R * και είναι άρτια, διότι: f (-) = f () για κάθε! R * Έτσι η C f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y y Χαράσσουμε πρώτα την y = ln και ύστερα τη συμμετρική της ως προς τον άξονα y y Η C f φαίνεται στο διπλανό σχήμα β) Είναι D g = (0, +3) και g(e) = 0 Χαράσσουμε πρώτα την y = ln, μετά την y = ln-1 και τέλος την g() = ln - 1 Η C g φαίνεται στο διπλανό σχήμα 4 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

7 Συναρτησιακές σχέσεις ΜΕΘΟΔΟΣ α) Υπάρχει μια σπουδαία κατηγορία ασκήσεων στην οποία δεν γνωρίζουμε τον τύπο της συνάρτησης αλλά μας δίνεται μια γενική ιδιότητα που έχουν οι τιμές της, για παράδειγμα f ( + y) = f (y) + y f () για κάθε, y! R Τέτοιες σχέσεις λέγονται συναρτησιακές σχέσεις Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε τιμή των, y, συνήθως επιλέγουμε τιμές για τα, y Έτσι, για παράδειγμα μπορούμε να θέσουμε = y = 0 ή = y = 1 ή ( = 0 και y = ) ή y = - κλπ ανάλογα με το ζητούμενο β) Για να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f που να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα (συναρτησιακή σχέση), εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο Υποθέτουμε δηλαδή ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση και με κατάλληλη επιλογή τιμών για τις μεταβλητές καταλήγουμε σε άτοπο 18 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα: f ( - ) + f ( + ) = - 1 για κάθε! R Λύση Έστω ότι υπάρχει συνάρτηση f: R $ R με: f ( - ) + f ( + ) = - 1 (1) για κάθε! R Η (1) για = δίνει: f (0) + f (4) = 1 () Η (1) για = - δίνει: f (4) + f (0) = -3 (3) Από τις σχέσεις () και (3) παίρνουμε 1 = -3, άτοπο Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση 19 Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα: f ( + y) = f () + y f (y) για κάθε, y! R Να αποδειχθεί ότι: α) f (0) = 0, β) η f είναι περιττή Λύση α) Από την υπόθεση έχουμε: f ( + y) = f () + y f (y) για κάθε, y! R (1) 5

Επειδή η (1) ισχύει για κάθε, y! R, μπορούμε να θέσουμε = y = 0, οπότε παίρνουμε: f (0) = 0 $ f (0) + 0 $ f (0), f (0) = 0 β) Για να είναι η f περιττή, αρκεί να αποδείξουμε ότι f(-) = -f() για κάθε, y!r Η (1) για y = - δίνει: f (0) = f () + (-) f (-), 0 = f () + f (-), Η () για! 0 δίνει:, (f (-) + f ()) = 0 () f (-) + f () = 0, f (-) = -f () (3) Είναι όμως f (0) = 0, οπότε η (3) επαληθεύεται και για = 0 Άρα f (-) = -f () για κάθε! R, οπότε η f είναι περιττή 110 Έστω συνάρτηση f: R $ R με: α) Είναι: f (0) = 1 και f ( + y) # e f (y) για κάθε, y! R α) Να αποδειχθεί ότι f () # e για κάθε! R β) Να βρεθεί ο τύπος της f Λύση f ( + y) # e f (y) για κάθε, y! R (1) Η σχέση (1) για y = 0 δίνει: f () # e f (0), f () # e () β) Η σχέση (1) για = -y δίνει: δηλαδή: f (0) # e -y f (y), f (y) $ e y f () $ e,! R (3) Οι () και (3) δίνουν f () = e για κάθε! R Όταν ο τύπος της συνάρτησης βρίσκεται ύστερα από επιλογή τιμών για τις μεταβλητές της συναρτησιακής εξίσωσης, είναι πάντα απαραίτητο να εξετάσουμε αν η συνάρτηση που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν η συνάρτηση αυτή επαληθεύει την αρχική σχέση, μαζί βέβαια και με τα υπόλοιπα δεδομένα Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τις δοσμένες σχέσεις, οπότε είναι η ζητούμενη 111 Μια συνάρτηση f: (0, +3) $ R έχει την ιδιότητα: f a # ln # f() 1 e k - για κάθε > 0 α) Να προσδιοριστεί ο τύπος της f β) Να γίνει η γραφική παράσταση της f γ) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f 6 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

α) Είναι: Αυτή δίνει: Λύση f ` # ln # f() - 1, 0 e j f ` # ln e j (1) και ln # f () - 1 () Από τη () παίρνουμε ότι: f () $ ln + 1 (3) Η (1), θέτοντας όπου το e, δίνει: f e ` # ln( e ), e j f () # lne + ln, f () # 1 + ln (4) Οι (3) και (4) δίνουν ότι f () = ln + 1, > 0 Η συνάρτηση αυτή επαληθεύει τη δοσμένη συνθήκη, οπότε είναι η ζητούμενη β) Η C f προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ln με κατακόρυφη μετατόπιση προς τα πάνω κατά 1 μονάδα Επειδή: f () = 0, ln = -1, = e 1 η C f τέμνει τον άξονα στο σημείο με 0 = e -1 γ) Όπως προκύπτει από τη μορφή της C f, η f έχει σύνολο τιμών το R Πιο αυστηρή απόδειξη για το γεγονός αυτό θα γίνει με τη βοήθεια της συνέχειας, που παρουσιάζεται σε επόμενη ενότητα 11 Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα: f ( - ) + f (3 - ) = 11 - για κάθε! R α) Να αποδειχθεί ότι f () + f (1 - ) = 7 - β) Να αποδειχθεί ότι f (1 - ) + f () = 5 + γ) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f () Λύση Πρόκειται για χαρακτηριστικό τύπο ασκήσεων α) Από την υπόθεση έχουμε: f ( - ) + f (3 - ) = 11 - (1) Η (1), αν θέσουμε όπου το +, δίνει: f () + f (1 - ) = 11 - ( + ), f () + f (1 - ) = 7 - () β) Στη σχέση () θέτουμε όπου το 1 -, οπότε παίρνουμε: f (1 - ) + f () = 7 - (1 - ), f (1 - ) + f () = 5 + (3) 7

γ) Οι σχέσεις () και (3) δημιουργούν ένα σύστημα με αγνώστους τους f () και f (1 - ) Θα απαλείψουμε τον όρο f (1 - ) Για τον λόγο αυτό πολλαπλασιάζουμε την (3) με (-), προσθέτουμε στη () και παίρνουμε: f () - 4 f () = 7 - - (5 + ), -3 f () = -6-3, f () = + 1 Η συνάρτηση αυτή είναι δεκτή, διότι επαληθεύει τη σχέση (1) Πραγματικά: f ( - ) + f (3 - ) = 11 -, ( - ) + 1 + [(3 - ) + 1] = 11 -,, - 4 + 1 + 1-4 + = 11 -, 11 - = 11 -, που ισχύει Έτσι, η ζητούμενη συνάρτηση είναι η f () = + 1,! R 8 Μια σημαντική σχέση: f() g() = 0,!Α Όταν μας δίνεται μια συναρτησιακή σχέση και μας ζητείται ο τύπος της συνάρτησης, εφαρμόζουμε γενικά τις τεχνικές που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο Επιπλέον τονίζουμε ότι: α) Μετά την εύρεση του τύπου, πρέπει (κατά κανόνα) να εξετάσουμε αν η συνάρτηση που βρήκαμε είναι δεκτή, δηλαδή αν επαληθεύει όλες τις δοσμένες σχέσεις β) Αν κατά την εύρεση του τύπου φτάσουμε σε μια σχέση της μορφής f () g() = 0, τότε δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: f () = 0 για κάθε!α ή g() = 0 για κάθε!α Σε αυτές τις περιπτώσεις χρειάζεται να βρούμε επιπλέον συνθήκες ή να αποδείξουμε για παράδειγμα ότι f ()! 0 για κάθε!α, οπότε g() = 0 κλπ Για παράδειγμα, αν:, an 1 0 0, an 1 0 f () = ) και g () = ) 3 0, an $ 0, an $ 0 τότε f () g() = 0 για κάθε! R, ωστόσο καμία από τις f, g δεν είναι η μηδενική συνάρτηση Θυμίζουμε ότι μηδενική λέγεται η συνάρτηση f που οι τιμές της είναι ίσες με 0 για κάθε! D f Στην ίδια περίπτωση ανήκουν και σχέσεις της μορφής: α f () + β f () + γ = 0 (α! 0) στις οποίες η εύρεση της συνάρτησης δεν μπορεί να γίνει λύνοντας την παραπάνω σχέση ως δευτεροβάθμια εξίσωση, χωρίς επιπρόσθετες πληροφορίες Τονίζουμε ότι από την παραπάνω σχέση μπορούμε να βρούμε μόνο τις δυνατές τιμές της f, όχι όμως πάντα και τον τύπο της f 8 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

Για παράδειγμα, από τη σχέση f () - f () - 3 = 0 προκύπτει ότι για κάθε! R είναι f () = 3 ή f () = -1, ωστόσο είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι: f () = 3 για κάθε! R ή f () = -1 για κάθε! R Το λογικό λάθος εντοπίζεται λοιπόν στη φράση «για κάθε» και τη θέση που μπορεί να πάρει μέσα στην πρόταση 113 Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: R $ R με την ιδιότητα: f () f (y) = f () + f (y) + 3 για κάθε, y! R Λύση Από την υπόθεση έχουμε: f () f (y) = f () + f (y) + 3 για κάθε, y! R (1) Η (1) για = y = 0 δίνει: f (0) = f (0) + 3, f (0) - f (0) - 3 = 0, (f (0) = -1 ή f (0) = 3) Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν f (0) = -1, τότε η (1) για y = 0 δίνει: f () f (0) = f () + f (0) + 3, -f () = f () - 1 + 3, f () = -1 Η συνάρτηση αυτή, που είναι σταθερή, επαληθεύει την (1), διότι: (-1)(-1) = (-1) + (-1) + 3, 1 = 1, που ισχύει Άρα η f () = -1 είναι δεκτή Αν f (0) = 3, τότε η (1) για y = 0 δίνει: f () f (0) = f () + f (0) + 3, 3 f () = f () + 3 + 3, f () = 3 Και αυτή η συνάρτηση είναι δεκτή, διότι επαληθεύει την (1) Άρα τελικά οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι f () = -1 και f () = 3, που είναι και οι δύο σταθερές Αν θέσουμε στην (1) y =, παίρνουμε: f () - f () - 3 = 0 Αν θέσουμε f () = y, τότε η παραπάνω σχέση γίνεται y - y - 3 = 0, που έχει ρίζες τις y = -1 και y = 3 Ωστόσο είναι λάθος να συμπεράνουμε ότι οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι οι f () = = -1 και f () = 3, διότι: f () - f () - 3 = 0, (f () + 1)(f () - 3) = 0 σχέση που δεν επιτρέπει να συμπεράνουμε ότι: f () + 1 = 0 για κάθε! R ή f () - 3 = 0 για κάθε! R 9

Μπορούμε όμως να συνεχίσουμε ως εξής: Για κάθε!r είναι f () = -1 ή f () = 3 Αν υπήρχαν α, β!r, ώστε f (α) = -1 και f(β) = 3, τότε από την (1) για = α και y = β θα παίρναμε: f (α) f (β) = f (α) + f (β) + 3, (-1) $ 3 = -1 + 3 + 3, -3 = 5, άτοπο Άρα θα είναι f() = -1 για κάθε! R ή f () = 3 για κάθε! R Οι ζητούμενες λοιπόν συναρτήσεις είναι οι f () = -1 και f () = 3 Προτεινόμενες ασκήσεις 1 Εύρεση πεδίου ορισμού 114 Δίνεται η συνάρτηση f () = + + 3 β) g() = + 1-4 α) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της f; γ) h() = + 1 β) Να βρείτε τις τιμές των 0, 1, -1 και + - - 9-1 γ) Ποια έχουν τιμή το 5; δ) φ() = 1 1 δ) Να αποδείξετε ότι: - - - 3 f (1 - ) - f ( - ) - + 4 = 0 για κάθε! R ε) ω() = + 3 3 3 + - 3 + - - 1 + - 4-4 115 Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R με: f () = 3 + - + 118 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) Να βρείτε τις τιμές f (0) και f () α) f() = - β) Να αποδείξετε ότι το y = 4 ανήκει στο σύνολο β) g() = 5 - τιμών της f γ) h() = - 4 116 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() = 5 + 3 - + β) f() = - 1 + 1 γ) f() = ln(e + ) δ) f() = + 1 4 + 117 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() = 1 1 - + 3-5 Οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του βιβλίου δ) φ() = 16 - ε) ω() = - 5+ 6 στ) κ() = 1 -- 119 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() = ln( - ) β) g() = ln( - 3) γ) h() = ln δ) φ() = ln(1 - ) ε) ω() = ln 5 - + 7 30 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

στ) κ() = ln + 3-5 10 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) f() = 3-3 - + 7- -1 β) g() = -3-5 + 7- - 4 11 Να βρείτε το πεδίο ορισμού των επόμενων συναρτήσεων: α) f() = 5+ 4- ln β) g() = + + 1 + 1 9-4$ 3 + 7 γ) κ() = ln + 5 3 ln 1 + - 5 - - 3 δ) φ() = 3 ln - - + - 3 + Γραφική παράσταση - Σχετική θέση των C f, C g 1 Δίνεται η συνάρτηση: f () = ημ + συν + 1 Να εξετάσετε ποια από τα σημεία: Α(0, ), B ` p,1 j, Γ(π, 3) και D p `-, -1 j ανήκουν στη γραφική παράσταση C f της f 13 Να βρείτε τις τιμές του λ! R, ώστε η C f να διέρχεται από το σημείο Α, όταν: α) f() = + λ + 6 και Α(, 8) β) f() = 3 + λ + λ + 4 και Α(-1, -3) 14 Να βρείτε τα κοινά σημεία του άξονα και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, όταν: α) f() = ln - ln β) f() = συν + 1 γ) f() = 3-3 + 4 δ) f() = e -3e + 15 Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των C f και C g στις παρακάτω περιπτώσεις: α) f() = και g() = - 1 β) f() = 3 και g() = + - 1 γ) f() = 4 - + + 3 και g() = 3 + - 1 16 Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f βρίσκεται πάνω από τη C g, όταν: α) f() = + 3 και g() = β) f() = - 1 και g ( ) = + 1 17 Αν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f() = 4 - (α + 1) + β + 3 και g() = (α + ) + ( - β) - 1 τέμνονται πάνω στις ευθείες = -1 και = 1, να βρείτε: α) τις τιμές των α και β, β) τα άλλα κοινά σημεία των C f και C g 18 Δίνεται η συνάρτηση: f () = 4 - β 3 - (α + 1) + (α + β) + β + 3 α) Να βρείτε τα α, β, ώστε η C f να διέρχεται από τα σημεία Μ(1, 8) και Ν(-, 0) β) Αν α =, β = 3, να βρείτε τα σημεία στα οποία η C f τέμνει τους άξονες, καθώς και τη σχετική θέση της C f με τον άξονα 19 Δίνονται οι συναρτήσεις: f () = + 6 + 11 και g ( ) 6 =- α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C g και να αποδείξετε ότι είναι κορυφές τριγώνου β) Να βρείτε τη σχετική θέση των C f και C g 130 Δίνονται οι συναρτήσεις: f () = 4 - + 1 και g() = + - 8 α) Να βρείτε τα κοινά σημεία των C f και C g β) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C f είναι πάνω από τη C g 131 Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( ) = και g() = λ + - λ, λ! R Να αποδείξετε ότι: 31

α) η γραφική παράσταση της g διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ! R, β) οι C f και C g έχουν κοινά σημεία για κάθε λ! R 13 Δίνεται η συνάρτηση: f () = (λ - 1) + (λ + 1) + λ + 5 με λ! R - {1} α) Να βρείτε τις τιμές του λ, ώστε η γραφική παράσταση της f: i) να τέμνει τον άξονα σε δύο ακριβώς σημεία, 134 Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: α) f() = - - 3 β) f() = e - + 3 γ) f() = ln( - ) δ) f() = -,! [-, ] + 3 ε) f() = - στ) f() = ( - 1) - ζ) f() = + + 3 η) f() = ημ + 1 3 Σύνολο τιμών 4 Άρτια - Περιττή - Περιοδική συνάρτηση ii) να εφάπτεται στον άξονα β) Να αποδείξετε ότι όταν το λ διατρέχει το R-{1}, τότε η C f διέρχεται από ένα σταθερό σημείο 133 Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f () = λ 3 + (λ + 3λ + 1) + + (λ - λ + ) - 3λ - 3λ - διέρχεται από δύο σταθερά σημεία, καθώς το λ διατρέχει το R 135 Δίνεται η συνάρτηση: 3 f ( ) 1 = + - - 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να απλοποιήσετε τον τύπο της f γ) Να εξετάσετε αν το 5 ανήκει στο σύνολο τιμών της f δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 136 Να βρείτε τα α, β! R, ώστε η συνάρτηση f a 3 3 με τύπο f ( ) + b + = να έχει σύνολο - + 1 τιμών το [-3, 5] 137 Να εξετάσετε ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτια ή περιττή α) f() = - - + β) f() = + ημ γ) f() = 4 + 3 + 1,! [-1, +3), an 1 1 δ) f() = - ) 4, an 1 138 Να εξετάσετε ποια από τις επόμενες συναρτήσεις είναι άρτια και ποια περιττή -1 - + 1 α) f() = - 1 + + 1 β) f() = ln - + 1 - +, an # -1 γ) f() = ) 1 + +, an $ 1 + 4+ 5, an # - δ) f() = ) - + 4-5, an $ Να βρείτε τις συμμετρίες της C f σε κάθε περίπτωση 139 Δίνεται η συνάρτηση: 3-1, an # - f ( ) = ) 3 + 1, an $ α) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή β) Να εξετάσετε αν η C f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας 140 Δίνεται η συνάρτηση: 3 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

f ( ) = ln^+ + 1h Να αποδείξετε ότι: α) η f έχει πεδίο ορισμού το Α = R, β) η f είναι περιττή, γ) η C f έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον άξονα 141 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) f() = - β) f() = 3 - γ) f() = + 1 δ) f() = 1-5 Χάραξη γραφικής παράστασης 14 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: 1 -, α) f() = ) + 1, -, an β) f() = ), an an an 1 $ # 143 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) f() = ημ β) f() = - syn γ) f() = e - + 1 δ) f() = ln( - 1) + ε) f() = συν - 1 στ) f() = -ημ + 3 0 0 144 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) = * -, 3, an an #- 1-1 1 1 1 +, an $ 1 α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 145 Να βρείτε τις συναρτήσεις, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα επόμενα σχήματα: 0 0 146 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων: α) f() = + 1 β) g() = - 4+ 4 147 Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: α) i) f() = - 1 ii) g() = hm β) i) f() = e ii) g() = e - 1 148 Δίνεται η συνάρτηση: f ( ) = + 1 + - 1 + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f 149 Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης: a, an # 1 f ( ) = ) b - 1, an 1 διέρχεται από τα σημεία Α(-1, 1) και Β(4, 3), να χαράξετε τη C f 150 Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = - - 1 α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β) Να αποδείξετε ότι f ( ) 1 1 = - - 1 γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f 33

6 Συναρτησιακές σχέσεις 151 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα: α) f(1 - ) + f () = 3 + για κάθε! R β) f(1 - ) - f () = + για κάθε! R γ) f() + f (3 - ) = + 1 για κάθε! R δ) f ( ) + f ( ) + 1 = 0 για κάθε! R ε) f ( 3 ) - f (3 ) + 1 = 0 για κάθε! R 15 Έστω συνάρτηση f: R $ R Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε δύο τουλάχιστον σημεία στις παρακάτω περιπτώσεις: α) f( ) + f (3) = 0,! R β) f( - 3) + f ( - 6) = 0,! R 153 Μια συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα: f ( + y) = f () - f (y) για κάθε, y! R Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = 0, β) f() = 0 για κάθε! R 154 Να βρείτε τη συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα: (f () - y)(f (y) - ) = y - - y για κάθε, y! R 155 Δίνεται η συνάρτηση f: R * $ R με την ιδιότητα: f( ) ( ) ( ) 1 - yf fy $ για κάθε, y! R * 4 Να αποδείξετε ότι f () = 1,! R * 156 Μια συνάρτηση f: R$R έχει την ιδιότητα: [f () + f (-) + ] + f (-) = 0 για κάθε! R α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή β) Να βρείτε τον τύπο της f 157 Να βρείτε τη συνάρτηση f: R $ R σε καθεμία από τις επόμενες περιπτώσεις: α) f () + = f (),! R β) f() f (y) + y = f (y) + y f (),, y! R γ) f () - f () + = y,, y! R 158 Μια συνάρτηση f: R$R έχει την ιδιότητα: f ( + y) = f () + f (y) για κάθε, y! R Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = 0, β) η f είναι περιττή, γ) f( - y) = f () - f (y) για κάθε, y! R, δ) f(ν) = ν f () για κάθε ν! N * 159 Δύο συναρτήσεις f, g: R $ R έχουν τις ιδιότητες: f () = f () f (-) και g () = -g() g(-) για κάθε! R Να αποδείξετε ότι: α) η f είναι άρτια, β) η g είναι περιττή 160 Αν η συνάρτηση f: R$R έχει την ιδιότητα: f (y) = f () + y f (y) για κάθε, y! R να αποδείξετε ότι f () = 0 για κάθε! R 161 Μια συνάρτηση f: R$R έχει την ιδιότητα: f () - f (1 - ) = + - 1 α) Να προσδιορίσετε τον τύπο της f β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = f ( - ) 16 Μια συνάρτηση f: R $ R ικανοποιεί τη σχέση: 3 f ( + 1) - f ( - ) = + 14-5 για κάθε! R α) Να βρείτε τον τύπο της f β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g() = f ( - ) + 1,! R 163 Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R για την οποία ισχύουν: 34 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις

f () $ και f ( + y) $ f () + f (y) για κάθε, y! R Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = 0, β) f() = για κάθε! R 164 Μια περιττή συνάρτηση f: R $ R έχει την ιδιότητα f () # 3 για κάθε! R α) Να αποδείξετε ότι f (0) = 0 β) Να βρείτε τον τύπο της f γ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g ( ) = f ( - 1) δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της g 165 Μια συνάρτηση f: R$R έχει την ιδιότητα: f () + f ( - 1) = για κάθε! R Να αποδείξετε ότι: α) f( + ) = f () για κάθε! R, β) η f είναι περιοδική, γ) υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τον άξονα, η οποία τέμνει τη C f σε τρία τουλάχιστον σημεία 166 Για καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f: R $ R με την αντίστοιχη ιδιότητα: α) f() - # # f ( - 1) + για κάθε! R β) f( + y) $ f () f (y) $ e + y για κάθε, y! R Η κατανόηση της θεωρίας 167 Να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις: α) Έστω μια συνάρτηση f: Α $ R i) Τι λέμε εικόνα ή τιμή του και πώς συμβολίζεται; ii) Τι λέμε σύνολο τιμών της f και πώς συμβολίζεται; iii) Τι λέμε γραφική παράσταση της f και πότε ένα σημείο Α( 0, y 0 )! C f ; β) Πώς βρίσκουμε από τη C f το πεδίο ορισμού και πώς το σύνολο τιμών της f; γ) Πώς βρίσκουμε τα κοινά σημεία της C f με τους άξονες; δ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: i) f() = α + β ii) f() = α iii) f () = α 3 iv) f() = a (με α! 0) v) f() = α (0 < α! 1) vi) f() = e vii) f () = ln viii) f () = και f () = 168 Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις ή σχέσεις: α) Αν f: Α $ R, τότε: i) f(α) = ii) Μ(α, β)! C f, β) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f ( ) a =, α! 0 έχει συμμετρίας, ενώ της συνάρτησης f () = α έχει συμμετρίας 169 Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ): α) Για να είναι η διαδικασία f από το Α στο R συνάρτηση, πρέπει κάθε! Α να έχει μία τουλάχιστον τιμή f ()! R β) Αν η f: Α $ R είναι συνάρτηση και y 0! f (A), τότε υπάρχει το πολύ ένα 0!Α, ώστε f ( 0 ) = y 0 γ) Αν υπάρχει ευθεία παράλληλη προς τον που τέμνει μια γραμμή C σε δύο τουλάχιστον σημεία, τότε η C δεν μπορεί να είναι γραφική παράσταση συνάρτησης δ) Αν f: Α $ R, τότε η C f αποτελείται από τα σημεία Μ(, f ()), με!α και μόνο 35

ε) Αν f: Α $ R και 0!Α, τότε η C f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0, f (0)) στ) Δεν υπάρχει συνάρτηση f: Α $ R με f (α) = β, f (α) = γ και β! γ, όπου α!α ζ) Η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας και μιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συμμετρίας η) Αν f (-) = f () για κάθε!α, τότε η f είναι περιττή συνάρτηση θ) Οι γραφικές παραστάσεις των f και f είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα ι) Η γραφική παράσταση της f είναι συμμετρική με τη γραφική παράσταση της -f ως προς τον άξονα Θέματα για τις εξετάσεις Τα επόμενα θέματα μπορούν να αξιοποιηθούν για τη γενική επανάληψη της ενότητας ή για την προετοιμασία του σχετικού επαναληπτικού διαγωνίσματος Θ11 Δίνεται η συνάρτηση f: R $ R η οποία για κάθε! R ικανοποιεί τη σχέση: f () + # # f ( + 1) - α) Να αποδείξετε ότι: f () $ -,! R β) Να βρείτε τη συνάρτηση f γ) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f Θ1 Δίνεται συνάρτηση f: R $ R με: f () # 3 και f ( + y) # f () + f (y) + 3y( + y) για κάθε, y! R α) Να βρείτε το f (0) β) Να αποδείξετε ότι: f () + f (-) $ 0 για κάθε! R γ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f() δ) Να εξετάσετε αν η f είναι άρτια ή περιττή και να σχεδιάσετε τη C f Θ13 Έστω f: R $ R μια μη σταθερή συνάρτηση με τις ιδιότητες: f (y) = f () f (y) και f ( + y) = f () + f (y) + y για κάθε, y! R Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = 0, f (1) = 1 και f (-1) = 1, β) η συνάρτηση f είναι άρτια, γ) ο τύπος της συνάρτησης f είναι: f () = για κάθε! R Θ14 Δίνεται συνάρτηση f: R $ R με την ιδιότητα: f ( + y) f ( - y) = - y (1) για κάθε, y! R α) Να βρείτε το f (0) β) Να αποδείξετε ότι f () =,! R γ) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή δ) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση (1) 36 Η έννοια της συναρτησης, γραφικη παρασταση συναρτησης, βασικες συναρτησεις