Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0

Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost realnih števil 8 6 Omejene množice realnih števil 7 Aksiomatska vpeljava realnih števil 3 Množice 5 Množice 5 Operacije z množicami 5 3 Preslikave med množicami 8 3 Zaporedja 3 Zaporedja 4 Funkcije 35 4 Splošni pojem funkcije 35 4 Limita funkcije 40 43 Zveznost 45 44 Lastnosti zveznih funkcij 50 45 Pregled elementarnih funkcij 53 46 Zveznost elementarnih funkcij 66 5 Diferencialni račun 67 5 Definicija odvoda 67 5 Geometrični pomen odvoda 70 53 Pravila za odvajanje 7 54 Odvodi elementarnih funkcij 73 55 Diferencial funkcije 79 56 Lastnosti odvedljivih funkcij 8 57 Konveksnost, konkavnost, prevoji 88 58 Ekstremi funkcij 89 59 Risanje grafov funkcij 96 50 L Hôpitalovo pravilo 0 6 Vrste 04 6 Številske vrste 04 6 Funkcijske vrste 5 63 Potenčne vrste 6 64 Talorjeva vrsta 7 7 Integralski račun 5 7 Nedoločeni integral 5 7 Pravila za integriranje 6 73 Integral racionalne funkcije 3 74 Integracija trigonometričnih funkcij 34 75 Integracija korenskih funkcij 36

76 Določeni integral 36 77 Geometrijski pomen integrala 38 78 Lastnosti določenega integrala 39 79 Zveza med določenim in nedoločenim integralom 40 70 Računanje določenega integrala 4 7 Uporaba integrala 46 8 Funkcije več spremenljivk 55 8 Splošni pojem funkcije 55 8 Odprte množice in okolice 57 83 Zveznost 59 84 Parcialni odvodi 6 85 Verižno pravilo 68 86 Talorjeva formula 70 87 Lokalni ekstremi 7 88 Metoda najmanjših kvadratov 76 89 Vezani ekstremi 78 9 Diferencialne enačbe 8 9 Splošen pojem diferencialne enačbe 8 9 Diferencialne enačbe prvega reda 83 9 Enačba z ločljivima spremenljivkama 84 93 Radioaktivni razpad 86 94 Naravna rast 87 95 Newtonov zakon ohlajanja oz segrevanja 88 96 Problem mešanja raztopin 88 97 Bartalanffev model rasti 90 98 Verhulstov model rasti 90 99 Linearna diferencialna enačba I reda 9 90 Bernoullijeva enačba 94 9 Diferencialne enačbe višjih redov 95 9 Homogene linearne diferencialne enačbe II reda 96 9 Enačbe s konstantnimi koeficienti 97 93 Nehomogene linearne diferencialne enačbe II reda 98 94 Nihanje 0 95 Sistemi diferencialnih enačb 05 96 Sistem dveh diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti 06 0 Matrike 09 0 Operacije z matrikami 09 0 Permutacije 4 03 Determinante 5 04 Računanje determinant 7 05 Razvoj po vrstici ali stolpcu 9 06 Cramerjevo pravilo 07 Gaussova metoda 4 08 Inverz matrike 3 3

Vektorji 36 Vektorji v prostoru 36 Koordinatni sistem v prostoru 40 3 Premica in ravnina v prostoru 5 4 Razdalje med točkami, premicami in ravninami 53 5 Presečišča premic in ravnin 55 6 Koti med premicami in ravninami 57 7 Vektorske funkcije 58 Kombinatorika 60 Preštevanja 60 3 Verjetnost 66 3 Osnovni pojmi in računanje z dogodki 66 3 Osnovne lastnosti verjetnosti 68 33 Algebra dogodkov 69 34 Lastnosti verjetnosti 70 35 Pogojna verjetnost 7 36 Zaporedje neodvisnih dogodkov 76 37 Slučajne spremenljivke 80 38 Številske karakteristike slučajnih spremenljivk 84 4 Primeri vprašanj za teoretični del izpita 88 4

Števila Naravna števila Naravna števila so števila, s katerimi štejemo:,, 3, 4, Množico naravnih števil{,,3,}označimo zn Naravnaštevila lahkomedsebojseštevamo in množimo Vrstni red pri seštevanju in množenju ni pomemben, člene (pri seštevanju) ali faktorje (pri množenju) lahko poljubno združujemo Torej za vsaka tri naravna števila a, b in c velja a+b = b+a, ab = ba, (a+b)+c = a+(b+c), (ab)c = a(bc) Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seštevanja oz množenja, drugi dve lastnosti pa imenujemo asociativnost seštevanja oz množenja Če naravna števila seštevamo in množimo, se moramo držati dogovora o vrstnem redu operacij Ker ima množenje prednost pred seštevanjem, je a+b c = a+(b c), a b+c = (a b)+c Če želimo najprej izračunati a+b in nato rezultat pomnožiti s c, zapišemo (a+b) c V splošnem velja pravilo o distributivnosti množenja: (a+b)c = ac+bc, a(b+c) = ab+ac Načelo matematične indukcije Naravna števila so induktivna množica: če je S N taka podmnožica, da je S in velja sklep: če n S, potem n+ S, je S = N Tej lastnosti pravimo tudi načelo matematične indukcije Zgled Za vsako naravno število n velja +++n = n(n+) () Rešitev Označimo S = {n N; +++n = n(n+) } Množica S je torej množica tistih naravnih števil, za katera drži enakost () (Induktivna hipoteza je, da formula () drži za dano število n) Najprej preverimo, da je S Privzemimo sedaj, da je n S Tedaj je ++ +n = n(n+) Torej je (++ + n) + (n + ) = n(n+) + (n + ) = (n+)(n+), kar pomeni, da je tudi n + S Po načelu matematične indukcije je S = N Torej velja formula +++n = n(n+) za vsako naravno število n Matematično indukcijo lahko uporabimo tudi na množici N {0} 5

Zgled Naj bo q Za vsako število n N {0} velja a+aq ++aq n = a qn+ q Rešitev Za n = 0 seveda velja a = a q0+ q = a V dokazu induktivnega koraka pa opazimo, da je a+aq ++aq n +aq n+ = a qn+ q +aq n+ = = a qn+ +(q )q n+ q = a qn+ q = Peanovi aksiomi Naravna števila lahko aksiomatično vpeljemo s pomočjo Peanovih aksiomov: je naravno število Vsakemu naravnemu številu n pripada natančno določeno naravno število n +, ki ga imenujemo naslednik števila n Število ni naslednik nobenega naravnega števila [Načelo indukcije] Če je S N taka podmnožica, da je S in velja sklep: če n S, potem n + S, je S = N S Peanovimi aksiomi lahko v množico naravnih števil vpeljemo tudi seštevanje in množenje Cela števila V množici naravnih števil lahko seštevamo in množimo, ne moremo pa odštevati Da bi lahko naravna števila odštevali, vpeljemo število 0 in negativna števila Število 0 je tako število, da zanj velja a+0 = a za vsako naravno število a K naravnemu številu a pa pridružimo tako nasprotno število a, da zanj velja a+( a) = 0 Množico celih števil označimo z Z = N {0} { n; n N} To je najmanjša množica števil, v kateri je za vsaki naravni števili a in b rešljiva enačba a = b+ 3 Racionalna števila V množici celih števil ne moremo deliti Če želimo število a razdeliti na b, b 0, enakih delov, bo vsak del velik a b Racionalno število a b je torej tako število, za katero velja a b b = a Množico racionalnih števil označimo z Q = { a b ; a,b Z,b 0} To je najmanjša množica števil, v kateri je za vsaki celi števili a in b, b 0, rešljiva enačba a = b 6

Pri računanju s številom 0 je potrebno biti previden Jasno je a+0 = a, a 0 = a, a 0 = 0 Racionalno število a 0, a 0, pa ne obstaja (oz deljenje z 0 ni dopustno), saj ne obstaja tako število, za katerega bi bilo 0 = a 4 Realna števila Številska premica Racionalna števila si lahko ponazorimo s točkami na številski premici Številska premica je poljubna premica, na kateri smo si izbrali dve različni točki, ki predstavljata O in E Točko O imenujemo koordinatno izhodišče in upodablja število 0 Točka E upodablja število 0 O E Z nanašanjem daljice OE v eno ali v drugo stran od koordinatnega izhodišča dobimo slike celih števil 0 3 4 Z enostavno geometrijsko konstrukcijo (razmerja) lahko upodobimo racionalna števila 3 0 5 Izkaže se, da na premici obstajajo števila, ki niso upodobitve racionalnih števil 0 Pojem števila zato še enkrat razširimo in rečemo, da so realna števila vsa števila, ki jih lahko upodobimo na številski premici Množico realnih števil označimo z R Med množicami naravnih, celih, racionalnih in realnih števil velja zveza kjer so vse inkluzije prave N Z Q R, 7

Decimalni zapis realnega števila Naj bo X točka na številski premici Številu X bomo priredili decimalno število Ker cela števila razdelijo številsko premico na enotske intervale, obstaja celo število a 0, da leži točka X med a 0 in a 0 + (Če X neupodabljacelega števila, ještevilo a 0 določeno enolično) Interval med a 0 in a 0 + razdelimo na deset enako dolgih delov Potem obstaja število a {0,,,9}, da leži točka X med a 0 + 0 in a 0 + 0 a + 0 Postopek ponavljamo Točki X na številski premici smo tako priredili neskončno zaporedje števk a 0,a, Pravimo, da je = a 0 a a a 3 decimalni zapis števila a 0 a0 + a 0 + a 0 a 0 + a + 0 a 0 + a 0 + a 00 a 0 + a 0 + a + 00 Decimalni zapis ni nujno enoličen Število 5 4 49999 = 49 lahko zapišemo kot 5000 = 50 ali Cela števila in racionalna števila oblike a m 5 n imajo končen decimalni zapis Vsa druga racionalna števila imajo neskončen periodičen decimalni zapis 5 3 7 = 666 = 6, = 048574857 = 04857 Iracionalna števila imajo neskončen neperiodičen decimalni zapis π = 34596535897933846643383795 = 443563730950488068874097 5 Urejenost realnih števil Realna števila lahko primerjamo po velikosti Pravimo, da je število a na številski premici pozitivno, če leži desno od točke 0 (torej na istem poltraku kot točka ) Pravimo, da je število a na številski premici negativno, če leži levo od točke 0 (torej na drugem poltraku kot točka ) negativna števila 0 pozitivna števila 8

Pravimo, da je število a manjše od b in označimo a < b, če je število b a pozitivno (tj b leži desno od a) Pravimo, da je število a večje od b in označimo a > b, če je število b a negativno (tj b leži levo od a) Število 0 ni ne pozitivno ne negativno Simbol < lahko tudi obrnemo Pravimo, da je število a večje od b, oznaka a > b, če je b < a Če je a < b ali a = b, na kratko označimo a b in pravimo, da je a manjše ali enako b Če je a > b ali a = b, na kratko označimo a b in pravimo, da je a večje ali enako b Pri računanju s pozitivnimi oz negativnimi števili moramo biti nadvse pazljivi iz a < b sledi a+c < b+c za vsak c R, iz a < b in c > 0 sledi ac < bc, iz a < b in c < 0 pa sledi ac > bc Zadnja lastnost enostavno pove, da se pri množenju z negativnim številom neenakost obrne Absolutna vrednost Vsakemu realnemu številu lahko priredimo nenegativno realno število s predpisom {, če je 0 =, če je < 0 Število imenujemo absolutna vrednost števila Velja = = + + trikotniška neenakost Geometrijsko pomeni razdaljo od točke X, ki upodablja število, do točke O na številski premici Če sta, realni števili, je razdalja med njunima slikama na številski premici Intervali in okolice Naj bosta a in b, a b, poljubni realni števili Definirajmo: [a,b] = { R; a b} zaprt interval od a do b (a,b] = { R; a < b} polodprt interval od a do b [a,b) = { R; a < b} polodprt interval od a do b (a,b) = { R; a < < b} odprt interval od a do b a a a a [a,b] (a,b] [a,b) (a,b) b b b b 9

Pri a = b je [a,a] = {a} in (a,a] = [a,a) = (a,a) = Definiramo lahko tudi neskončne intervale, ki so pri vedno odprti, saj sploh ni število: Za vsak a R in ε > 0 imenujemo interval ε-okolica točke a (,b] = { R; b} (,b) = { R; < b} [a, ) = { R; a } (a, ) = { R; a < } (, ) = R (a ε,a+ε) = { R; a ε < < a+ε} a ε a a+ε Zgled 3 Poišči vsa realna števila, za katera je + > Rezultat zapiši z intervalom Rešitev Ker je = 0 za =, ločimo dva primera Če je <, je = + Neenakost postane + > +, kar lahko preoblikujemo v 3 > oz > 3 Torej ( 3, ) Čepaje, je = Neenakost postane+ >, karlahkopreoblikujemo v < 3 Torej [,3) Rešitev je ( 3, ) [,3), kar lahko krajše zapišemo kot ( 3,3) + 3 O 3 Zgled 4 Poišči vsa realna števila, za katera je 3 Rešitev Ker je = 0 za = in 3 = 0 za = 3, ločimo 3 primere Če je < 3, neenakost preoblikujemo v 3, kar nam da 3 Torej [ 3, 3 ) Če je >, neenakost preoblikujemo v 3, kar nam da Torej v tem primeru ni rešitev Če pa je 3, velja 3 in 5 4 Torej [ 3, 5 4 ] Rešitev je [ 3, 3 ) [ 3, 5 4 ], kar lahko krajše zapišemo kot [ 3, 5 4 ] 0

3 O 5 4 3 Zgled 5 Poišči vsa realna števila, za katera je < + Rešitev Ker je = 0 za = ±, ločimo 3 primere, ki pa jih lahko združimo v : in > Če je, velja < + Torej + > 0 Ker je + = 0 za = 0 in =, mora biti > 0 ali < Ob pogoju to pomeni [, ) (0, ] Če pa je >, velja < + Torej 4 < 0 Ker je 4 = 0 za, = ± 7, ob pogoju > to pomeni ( 7, ) (, + 7 ) Rešitev je torej ( 7, ) (0, + 7 ) + 7 O + 7 6 Omejene množice realnih števil Naj bo A neprazna množica realnih števil Če obstaja število M, da je a M za vsak a A, pravimo, da je M zgornja meja množice A Pravimo, da je množica A navzgor omejena, če obstaja kakšna zgornja meja množice A Če obstaja število m, da je m a za vsak a A, pravimo, da je m spodnja meja množice A Pravimo, da je množica A navzdol omejena, če obstaja kakšna spodnja meja množice A m A a M

Množica A je omejena, če je omejena navzgor in navzdol Število M je natančna zgornja meja množice A, če je zgornja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a > M ε (Natančna zgornja meja je torej najmanjša zgornja meja množice A) M ε a A M Natančno zgornjo mejo množice A označimo s sup A in poimenujemo supremum množice A Natančna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število b Število m je natančna spodnja meja množice A, če je spodnja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a < m+ε (Natančna spodnja meja je torej največja spodnja meja množice A) m a m+ε A Natančno spodnjo mejo množice A označimo z inf A in poimenujemo infimum množice A Natančna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število a Zgled 6 Določi natančno spodnjo in zgornjo mejo množic inf(a) =, sup(a) = inf(b) = 0, sup(b) = inf(c) = 3, sup(c) = 3 A = {n +; n Z} B = { n ; n N}, C = { R; < 3} Dedekindov aksiom Vsaka neprazna navzdol omejena podmnožica realnih števil ima natančno spodnjo mejo Dedekindov aksiom je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica realnih števil natančno zgornjo mejo Ta aksiom razloči med realnimi in racionalnimi števili Množica A = {; > in > 0} v množici racionalnih števil namreč nima natančne spodnje meje, v množici realnih števil pa je natančna spodnja meja (iracionalno) število Zgled 7 Število je iracionalno Rešitev Dokaz s protislovjem Recimo, da je = p q, kjer je p q okrajšan ulomek Potem je p = q Torej p = p in p = q Sledi q = q in p q = p q v resnici ni okrajšan ulomek

7 Aksiomatska vpeljava realnih števil Realna števila lahko vpeljemo povsem aksiomatsko Realna števila so množica (označimo jo z R), v kateri sta definirani računski operaciji: seštevanje in množenje Za poljubni dve števili a R in b R obstaja natančno določeno realno število a+b, ki ga imenujemo vsota števil a in b Za poljubni dve števili a R in b R obstaja natančno določeno realno število a b (krajše ab), ki ga imenujemo produkt števil a in b Za seštevanje in množenje veljajo naslednji zakoni I Komutativnost seštevanja: a+b = b+a za vsaka a,b R II Asociativnost seštevanja: (a+b)+c = a+(b+c) za vsake a,b,c R III Obstoj nevtralnega elementa za seštevanje: Obstaja 0 R, da je a+0 = a za vsak a R IV Obstoj nasprotnega elementa za seštevanje: Za vsak a R obstaja število a R, da je a+( a) = 0 V Komutativnost množenja: a b = b a za vsaka a,b R VI Asociativnost množenja: (a b) c = a (b c) za vsake a,b,c R VII Obstoj enote za množenje: Obstaja R, da je a = a za vsak a R VIII Obstoj inverznega elementa za množenje: Za vsak a R\{0} obstaja a R, da je a a = IX Distributivnostni zakon: (a+b) c = a c+b c za vsake a,b,c R X Različnost števil 0 in : Velja 0 Množici, opremljeni z operacijama seštevanja in množenja, ki zadoščata zahtevam I X, pravimo obseg Torej je množica realnih števil obseg Za vsaki dve realni števili a in b obstaja natančno določeno realno število (namreč število b+( a)), da je a+ = b Število imenujemo razlika števil b in a in označimo z b a Velja a + (b a) = b Podobno za vsaki dve realni števili a, a 0, in b obstaja natančno določeno realno število, da je a = b Število imenujemo kvocient števil b in a in označimo z b a Velja a b a = b Urejenost realnih števil Realna števila delimo na pozitivna, negativna in število 0 XI Če je a 0, je od števil a in a natanko eno pozitivno Število 0 ni ne pozitivno ne negativno XII Če sta števili a in b pozitivni, sta tudi števili a+b in ab pozitivni Množico R uredimo po velikosti z dogovorom: če je a b pozitivno število, pravimo, da je število a večje od b in pišemo a > b Podobno, če je a b negativno število, pravimo, da je število a manjše od b in pišemo a < b Če je a < b ali a = b, pišemo a b Če je a > b ali a = b, pišemo a b 3

Lastnosti urejenosti Tranzitivnost: Če je a > b in b > c, je a > c Zakon trihotomije: Za vsaki dve števili a in b velja natanko ena od treh možnosti a > b ali a < b ali a = b Če je a > b, je a+c > b+c za vsak c R Če je a > b in c > 0, je ac > bc Če je a > b in c < 0, je ac < bc Med poljubnima dvema realnima številoma leži vsaj eno realno število Omejene množice realnih števil Naj bo A neprazna množica realnih števil Če obstaja število M, da je a M za vsak a A, pravimo, da je M zgornja meja množice A Pravimo, da je množica A navzgor omejena, če obstaja kakšna zgornja meja množice A Če obstaja število m, da je m a za vsak a A, pravimo, da je m spodnja meja množice A Pravimo, da je množica A navzdol omejena, če obstaja kakšna spodnja meja množice A Množica A je omejena, če je omejena navzgor in navzdol Število M je natančna zgornja meja množice A, če je zgornja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a > M ε (Natančna zgornja meja je torej najmanjša zgornja meja množice A) M ε a A M Natančno zgornjo mejo množice A označimo s sup A in poimenujemo supremum množice A Natančna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število b Število m je natančna spodnja meja množice A, če je spodnja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a < m+ε (Natančna spodnja meja je torej največja spodnja meja množice A) m a m+ε A Natančno spodnjo mejo množice A označimo z inf A in poimenujemo infimum množice A Natančna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število a XIII [Dedekindov aksiom] Vsaka neprazna navzdol omejena podmnožica realnih števil ima natančno spodnjo mejo Aksiom XIII je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica realnih števil natančno zgornjo mejo Ta aksiom razloči med realnimi in racionalnimi števili Množica A = {; > in > 0} v množici racionalnih števil namreč nima natančne spodnje meje, v množici realnih števil pa je natančna spodnja meja (iracionalno) število 4

Zgled 8 Število je iracionalno Dokaz Dokaz s protislovjem Recimo, da je = p q, kjer je p q okrajšan ulomek Potem je p = q Torej p = p in p = q Sledi q = q in p q = p q v resnici ni okrajšan ulomek Izrek 9 (Arhimedova lastnost) Če sta, R in je > 0, obstaja tak n N, da je < n Dokaz Recimo, da takega n ni Potem je n za vsak n in je zato zgornja meja množice A = {n; n N} Označimo z M njeno natančno zgornjo mejo Potem obstaja tak n N, da je n > M Sledi (n+) > M Ker je (n+) A, je to v protislovju s predpostavko, da je M natančna zgornja meja množice A Izrek 0 Za vsako realno število a in vsak ε > 0 obstaja racionalno število p q, da je a p q < ε Pravimo, da je množica racionalnih števil gosta v množici realnih števil Množice Množice Množica A je določena, če obstaja pravilo, po katerem je mogoče za vsako reč odločiti ali je v A ali ne Če a spada v množico A, pravimo, da je a element množice A in označimo a A Če a ni element množice A, označimo a / A Množico lahko podamo tako, da zapišemo njene elemente: A = {,,3}, B = { modra, zelena } Množico lahko podamo tudi tako, da povemo lastnost L, ki jo imajo natanko vsi njeni elementi Torej A = {a; L(a)} C = {; < }, D = {n; n deli število } Možno je, danobenelement nimalastnosti L; tedaj jeaprazna množica, karzapišemo A = Operacije z množicami Množica Aje podmnožica množice B, zoznakoa B, čevsakelement množice A leži tudi v množici B Če je A B in B A, imata množici A in B iste elemente in sta enaki Oznaka: A = B A B Unija množic A in B je množica A B, definirana z A B = {; A ali B} A B A B Presek množic A in B je množica A B, definirana z A B = {; A in B} A B Za poljubne množice A, B in C velja A B 5

Komutativnost in A B = B A, A B = B A Asociativnost in (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Idempotentnost in A A = A, A A = A Absorbcija A (A B) = A, A (A B) = A Lastnost A = A, A = A B Izrek (Distributivnostna zakona) Za poljubne množice A, B in C velja A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A A A (B C) A (B C) B C B C Razlika množic A in B je množica A\B, definirana z A\B = {; A in / B} Množici A\B pravimo tudi komplement množice B glede na A A\B A B Včasih obravnavamo le podmnožice neke fiksne, dovolj velike množice U, ki jo v tem primeru imenujemo univerzalna množica Komplement množice A (glede na univerzalno množico U) je množica A c, definirana z A c = U \A A U = U, A U = A lastnost univerzalne množice U A A c = U, A A c = lastnost komplementa (A c ) c = A involutivnost komplementa U c =, c = U komplementarnost U in Izrek (De Morganova zakona) Za poljubne množice A, B in C velja (A B) c = A c B c (A B) c = A c B c 6

A B A B (A B) c (A B) c Zgled 3 Izračunaj A B, A B in A\B za A = {n ; n =,,,7} in B = {3n ; n =,,,7} Rešitev Ker je A = {,3,5,7,9,,3} in B = {,4,7,0,3,6,9}, je A B = {,3,4,5,7,9,0,,3,6,9}, A B = {,7,3} in A\B = {3,5,9,} Naj bo A in B Urejeni par elementov in je množica ki jo krajše označimo z (,) {{},{,}}, Iz (,) = (, ) sledi, da je = in = V urejenem paru je vrstni red zapisa pomemben Za je (,) (,), vendar pa {,} = {,} Kartezični produkt množic A in B je množica urejenih parov A B = {(,); A, B} A B = natanko tedaj, ko je vsaj ena izmed množic A in B prazna Za različni neprazni množici A in B velja A B B A Če je A = B, pišemo namesto A A kar A Potenčna množica množice A je množica vseh podmnižic množice A in jo označimo s P(A) Torej P(A) = {X; X A} P( ) = { } P(P( )) = {,{ }} P({,,3}) = {,{},{},{3},{,},{,3},{,3},{,,3}} Za končno množico A z n elementi velja, da ima potenčna množica P(A) natanko n elementov 7

3 Preslikave med množicami Preslikave med množicami Naj bosta A in B množici Preslikava f: A B je pravilo f, ki vsakemu elementu a množice A priredi natančno določen element f(a) množice B (Preslikavo pogosto imenujemo tudi funkcija, zlasti, če je A R in B R) f A a f(a) B Množica A je lahko tudi prazna, saj za vsako množico B obstaja prazna preslikava B Če pa je množica B prazna, obstaja preslikava A, le če je tudi množica A prazna Množico A imenujemo definicijsko območje ali domena, množico f(a) = {f(a); a A} B pa zaloga vrednosti ali kodomena preslikave f Definicijsko območje funkcije f označimo tudi z D f, zalogo vrednosti pa z Z f f Z f A = D f B Zgled 4 Ali sta funkciji f () = in f () = enaki? Ali sta funkciji g () = in g () = enaki? Preslikava f: A B je injektivna, če za vsaka a,a A, a a, velja f(a ) f(a ) (Ekvivalentno: f je injektivna, če za vsaka a,a A iz f(a ) = f(a ) sledi a = a ) f(a a ) a f(a ) A f f Preslikava f: A B je surjektivna, če je Z f = B (Ekvivalentno: f je surjektivna, če za vsak b B obstaja tak a A, da je f(a) = b) B a A f Preslikava f je bijektivna, če je injektivna in surjektivna Graf preslikave f: A B je množica b B Γ(f) = {(a,f(a)); a A} A B 8

B f(a) Γ(f) a A B Funkcija f je injektivna, če vsaka vodoravna premica v A B seka graf Γ(f) največ enkrat Funkcija f je surjektivna, če vsaka vodoravna premica v A B seka graf Γ(f) vsaj enkrat Zgled 5 Nariši graf funkcije f: [,] [,4], podane s predpisom f() = Ali je funkcija injektivna oz surjektivna? A Rešitev 4 O Funkcija ni ne injektivna ne surjektivna Zgled 6 Funkcija f: R R, definirana s predpisom f() = 3, je bijektivna Funkcija f: R R, definirana s predpisom f() = 3, je surjektivna, a ni injektivna Funkcija f: R R, definirana s predpisom f() =, je injektivna, a ni surjektivna Naj bosta f: A B in g: B C preslikavi Kompozitum preslikav f in g je preslikava g f: A C, definirana z (g f)(a) = g(f(a)) g f f g A Zgled 7 Naj bo f: A B in g: B C a f(a) B g(f(a)) C Če sta f, g injektivni, je g f injektivna Če sta f, g surjektivni, je g f surjektivna 9

Če je g f injektivna, je f injektivna Če je g f surjektivna, je g surjektivna Rešitev Če a a, potem f(a ) f(a ) in g(f(a )) g(f(a )) Za c C obstaja b B, da g(b) = c Obstaja a A, da f(a) = b Torej g(f(a)) = c Če a a, potem g(f(a )) g(f(a )) in zato f(a ) f(a ) Za c C obstaja a A, da je g(f(a)) = c Torej je g(b) = c za b = f(a) B Preslikavo f: A A, definirano z f(a) = a, imenujemo identična preslikava množice A in označimo id A Naj bo f: A B preslikava Če obstaja taka preslikava g: B A, da je g f = id A in f g = id B, pravimo, da je g inverz preslikave f in označimo f = g f A a g f(a) B Trditev 8 Preslikava f: A B je bijektivna natanko tedaj, ko ima inverz Zgled 9 Naj bo A = {,,3,4} in f(n) = n za n A Določi množico B in preslikavo g: B A, ki je inverz preslikave f Rešitev Po vrsti izračunamo f() =, f() = 3, f(3) = 5 in f(4) = 7 Torej je množica B = {,3,5,7} zaloga vrednosti preslikave f Ker iz f(n) = n = m sledi n = m+ m+, je preslikava g: B A, podana z g(m) =, inverz preslikave f f: n n 3 4 3 5 7 g: m m+ Naj bo f: A B poljubna preslikava in à A podmnožica Zožitev preslikave f na podmnožico à je preslikava f à : à B, definirana z f Ã(a) = f(a) Zgled 0 Funkcija f: R R, podana s predpisom f() = +, ni bijektivna Za A = {; 0} in B = {; } je zožitev f A : A B funkcije f bijektivna Rešitev Funkcijaf niinjektivna, sajjef() = f( )zavsak R Funkcijaf nisurjektivna, saj je f() za vsak R Injektivnost zožitve Če je f A( ) = f A ( ), je + = +, od koder sledi = oz ( )( + ) = 0 Če je + = 0, je zaradi 0 in 0 lahko le = = 0 Če je + 0, mora biti = 0 oz = Surjektivnost zožitve Vzemimo poljuben Tedaj za = velja f A () = 0

B O f O f A f: R R f A : A B A 3 Zaporedja 3 Zaporedja Zaporedje realnih števil je preslikava a: N R Običajno namesto a(n) pišemo a n Število a n imenujemo n-ti člen zaporedja, število n pa indeks člena a n Zaporedjessplošnim členom a n označimo z (a n ) Zaporedje je lahko podano eksplicitno: s pomočjo funkcijskega predpisa a n = f(n) implicitno oz rekurzivno: zapišemo prvih nekaj členov zaporedja in pravilo, kako izračunamo naslednji člen s pomočjo prejšnjih Zaporedje lahko ponazorimo s sliko množice točk {a n ; n N} na realni osi ali z grafom Γ(a) N R funkcije a: N R Zgledi Zaporedje s splošnim členom a n = n je,, 3, Zaporedje (a n ) = (,,,) ima splošni člen a n = ( ) n = cos(nπ) Aritmetično zaporedje Podamo a in razliko d med poljubnima sosednjima členoma: a n+ a n = d Sledi a n = a +(n )d Ugodneje a n = a 0 +nd Geometrično zaporedje Podamo a in kvocient q med poljubnima sosednjima členoma: a n+ a n = q Sledi a n = a q n Ugodneje: a n = a 0 q n Fibonaccijevo zaporedje Podamo a = a = in a n+ = a n+ + a n Velja a n = (,,,3,5,8,3,)

Monotonost in omejenost zaporedij Zaporedje je naraščajoče, če je a n+ a n za vsak indeks n R N a n a n a n+ R Zaporedje je padajoče, če je a n+ a n za vsak indeks n Zaporedje je monotono, če je naraščajoče ali padajoče Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja M R, da je a n M za vsak n Število M imenujemo zgornja meja zaporedja R M N a n a n+ a n M R Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja m R, da je a n m za vsak n Število m imenujemo spodnja meja zaporedja Zaporedje je omejeno, če je navzgor in navzdol omejeno Naraščajoče zaporedje je navzdol omejeno, padajoče pa navzgor omejeno Zgled 3 Razišči zaporedje s splošnim členom a n = 4 n+ Rešitev R a n = 4 n+ N Zaporedje ima člene a = 5 4, a = 6 4, a 3 = 7 4, Ker je a n+ a n = 4 naraščajoče Torej je navzdol omejeno Zaporedje ni navzgor omejeno > 0, je zaporedje

Zgled 3 Razišči zaporedje s splošnim členom a n = n Rešitev R a n = n Zaporedje ima člene a =, a =, a 3 = 3, Ker je a n+ a n = n(n+) < 0, je zaporedje padajoče Torej je navzgor omejeno Ker je a n > 0 za vsak n N, je zaporedje tudi navzdol omejeno Torej je zaporedje omejeno Natančna zgornja in spodnja meja Število M je natančna zgornja meja zaporedja (a n ), z oznako M = sup n N a n, če je a n M za vsak n in če za vsak ε > 0 obstaja indeks k, da je a k > M ε R M M ε N k N a n M ε a k M R Število M je natančna spodnja meja zaporedja (a n ), z oznako M = inf n N a n, če je a n M za vsak n in če za vsak ε > 0 obstaja indeks k, da je a k < M +ε R M +ε M k N M a k M +ε a n R Izrek 33 Vsako omejeno zaporedje ima natančno zgornjo in spodnjo mejo Dokaz Naj bo A = {a n ; n N} množica vseh členov zaporedja (a n ) Ker je zaporedje (a n ) omejeno, je množica A R omejena in zaradi znanih lastnosti omejenih podmnožic realnih števil obstajata natančna zgornja in spodnja meja množice A Trditev je tako dokazana, saj ještevilo M natančna zgornja meja množice A, če je M zgornja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a > M ε 3

Največji in najmanjši člen zaporedja Opozoriti velja, da infa n ne pomeni najmanjši člen zaporedja Tudi če infa n obstaja, ni nujno, da je infa n = a N za neki N N Podobno tudi supa n ne pomeni največji člen zaporedja Tudi če supa n obstaja, ni nujno, da je supa n = a N za neki N N Obratna trditev pa drži Če najmanjši člen zaporedja obstaja (označimo ga z mina n ), je seveda infa n = mina n Podobno je tudi supa n = maa n, če le največji člen zaporedja obstaja (označimo ga z maa n ) Zgled 34 Določi natančno zgornjo in spodnjo mejozaporedja s splošnim členom a n = (n+)( )n n Rešitev R a n = (n+)( )n n N Zaporedje s členi a n = n+ n = + n je padajoče k Torej je (pod)zaporedje s sodimi indeksi padajoče k, (pod)zaporedje z lihimi pa naraščajoče k Torej je supa n = maa n = a = 3 in infa n = mina n = a = Stekališče zaporedja Število a je stekališče zaporedja (a n ), če za vsak ε > 0 in obstaja neskončno indeksov m, da je a a m < ε Drugače povedano, število a je stekališče zaporedja (a n ), če je v vsaki njegovi okolici neskončno členov tega zaporedja R a+ε a a ε N a ε aa m a+ε R Zaporedje s splošnim členom a n = n tega zaporedja ima (edino) stekališče v točki 0 Število 0 ni člen R a n = n N 4

Zaporedje s splošnim členom a n = ( ) n ima stekališči v točkah in, ki sta tudi člena zaporedja R a n = cos(nπ) N Zaporedje s splošnim členom a n = 4n+ nima stekališč R a n = 4 n+ N Zaporedje s splošnim členom a n = + n n+ cos(nπ je tudi člen tega zaporedja ) ima stekališča v točkah 0, in Točka R a n = + n n+ cos(nπ ) 0 N Za n = 4k ± velja a n = + 4k± 4k±+ 0 = Za n = 4k velja a n = + 4k 4k+ Za n = 4k + velja a n = + 4k+ 4k+3 ( ) 0 Izrek 35 Vsako omejeno zaporedje ima stekališče Dokaz Naj bo m = infa n in M = supa n Množica A = { R;a n < za največ končno n} je neprazna, saj je m A Je omejena, saj < M za vsak A Torej ima natančno zgornjo mejo a = supa 5

končno členov neskončno členov a ε a a+ε R Število a je stekališče zaporedja Za ε > 0 je a ε A in a+ε / A Levo od a ε je končno mnogo členov zaporedja, levo od a + ε pa neskončno Torej jih je na intervalu (a ε,a + ε) neskončno Limita zaporedja Število a je limita zaporedja a n, z oznako a = lim n a n, če za vsak ε > 0 obstaja N N, da je a n a < ε za vsak n N R a+ε a a ε N N a n N a εa a a+ε R Drugače povedano, a je limita zaporedja a n, če v vsaki njegovi okolici ležijo vsi členi od nekega člena dalje Število N, ki nastopa v definiciji limite zaporedja, je odvisno od ε Pri manjšem ε je število N = N(ε) večje R a+ε a+ε a a ε a ε N N N Na gornji sliki imamo ε < ε Za pripadajoča N = N(ε ) in N = N(ε ) velja N > N Vsaka limita je tudi stekališče, obrat pa ne drži, saj ima lahko zaporedje več stekališč Zaporedje je konvergentno, če obstaja limita tega zaporedja Zaporedje je divergentno, če ni konvergentno Zgled 36 Dokaži, da za zaporedje a n = n členi v ε-okolici limitne točke za ε = 00? velja lim n a n = 0 Od katerega člena dalje ležijo vsi 6

Za dani ε > 0 označimo N = [ ε ]+ Torej je N < ε in je zato a n a N = N < ε za vsak n N Posebej, pri ε = 00 ležijo v ε-okolici limitne točke vsi členi od vključno člena a 0 dalje Zgled 37 Izračunaj limito zaporedja s splošnim členom a n = n+ n+3 Rešitev Ker je n+ n+3 = n+ n+3, domnevamo, da bo lim n n+3 = R a n = n+ n+3 Naj bo ε > 0 Da bi vsi členi od N-tega dalje ležali v ε-okolici točke, mora veljati a n < ε za n N Torej mora biti n+3 < ε oz n > ε Če torej izberemo poljubno tako naravno število N, da je N > ε, bo za vsak n N veljalo a n < ε Zgled 38 Določi limito ter največji in najmanjši člen zaporedja s splošnim členom a n = n 3 n n Rešitev Ker je 3 n = + 3 n 3 n, je lim n 3 n = R a n = n 3 n N N 4 3 Ker je za n vrednost izraza 3 n negativna in s naraščajočim n približuje 0, bosta največji in najmanjši člen kar a = in a = 4 Izrek 39 Naj bo a R Tedaj za a < zaporedje s splošnim členom a n = a n konvergira k 0, za a = zaporedje (a n ) konvergira k, v vseh ostalih primerih pa je zaporedje (a n ) divergentno Dokaz Če je a = 0, je lim n an = 0 Če je 0 < a <, je zaporedje a n padajoče in navzdol omejeno Torej je konvergentno in označimo njegovo limito z α Ker se zaporedje a n+ razlikuje od zaporedja a n le v prvem členu, je tudi ima enako limito kot a n Sledi od koder zaradi a 0 sledi α = 0 α = lim n an+ = lim n a an = lim a lim n n an = aα, Če je a =, je lim n an = Če je a > in če je zaporedje a n omejeno, je konvergentno Označimo njegovo limito z β Torej je β a > Sedaj podobno kot v primeru 0 < a < dokažemo, da je β = aβ Ker pa je β > in a >, ta enačba ni smiselna Torej a n ni omejeno Če je < a < 0, velja lim n a n = 0, od koder izpeljemo, da je tudi lim n an = 0 Za a pa ima zaporedje neskončno členov na intervalu (, ] in neskončno členov na intervalu [, ), zato ni konvergentno 7

Izrek 30 (Bernoullijeva neenakost) Za vsako pozitivno število in naravno število n > velja (+) n > +n Dokaz Trditev bomo dokazali z indukcijo Za n = ni kaj dokazovati V dokazu indukcijskega koraka pa privzemimo, da je (+) n > +n Tedaj velja saj je n > 0 (+) n+ = (+) n (+) > (+n)(+) = = +(n+)+n > +(n+), Izrek 3 Naj bo a pozitivno realno število Potem je lim n n a = Dokaz Za a = ni kaj dokazovati Če je a >, lahko pri fiksnem n > zapišemo a = +n, kjer je = a n > 0 Tedaj po Bernoullijevi neenakosti velja ( + a ) n > +n a = a, n n od koder sledi + a n > n a a > Ker je lim ( + n n ) =, iz gornje ocene sledi, da je tudi lim n a = Če pa je 0 < a <, pišemo b = n a in po že dokazanem velja lim n b = Torej n je tudi lim n a = lim n n n = b n = b Lastnosti konvergentnih zaporedij lim n Izrek 3 Vsako konvergentno zaporedje je omejeno Dokaz Naj bo a = lim n a n Torej leži izven intervala (a,a +) le končno mnogo členov zaporedja a n Množica A = {a,a+} {a n ; a n / (a,a+)} je končna in ima natančno spodnjo in zgornjo mejo: m in M Sledi m a n M za vsak n Zaporedje, ki ni omejeno, ne more biti konvergentno Prav tako ne more biti konvergentno zaporedje, ki ima več kot eno stekališče Izrek 33 Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je omejeno in ima natanko eno stekališče s ε s +ε s ε s +ε s R s Dokaz Recimo, dajezaporedjekonvergentnoinoznačimonjegovolimitozs Požedokazanem je omejeno V skladu z definicijo je limita zaporedja tudi njegovo stekališče Recimo, da ima zaporedješe eno stekališče, ki ga označimo z s Označimo ε = s s Potem znotraj ε-okolic za s in s leži neskončno členov tega zaporedja, kar pomeni, da nobena izmed točk s in s ni limita tega zaporedja 8

Cauchjevo zaporedje Zaporedje je Cauchjevo, če za vsak ε > 0 obstaja N N, da je a n a m < ε za vsaka m,n N Izrek 34 Zaporedje je konvergentno natanko tedaj, ko je Cauchjevo Dokaz Privzemimo najprej, da je zaporedje a n konvergentno Označimo z a njegovo limito Naj bo ε > 0 Ker je zaporedje konvergentno, obstaja N N, da je a a n < ε za vse n N Če sta torej m,n N, je a m a n a m a + a a n ε + ε = ε Za dokaz v drugo smer pa privzemimo, da je zaporedje Cauchevo Potem obstaja N 0, da je a m a n < za vse m,n N 0 Posebej to pomeni, da je a m a N0 < za vse n N 0 in je zaporedje omejeno Torej ima vsaj eno stekališče, ki ga označimo z a Dokažimo, da je a limita zaporedja (a n ) Izberimo in fiksirajmo ε > 0 Obstaja nek N, da je a m a n < ε za vse m,n N Vzemimo sedaj poljuben n N Potem leži a n na intervalu (a N ε,a N + ε ) in zato leži stekališče a na intervalu [a N ε,a N + ε ] Sledi Torej je a limita zaporedja (a n ) a n a a n a N + a N a ε + ε = ε Izrek 35 Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno Dokaz Naj bo (a n ) npr naraščajoče zaporedje Ker je zaporedje omejeno, obstaja njegova natančna zgornjameja, ki jooznačimo za Potem za vsak ε > 0obstaja N, dajea ε < a N a Ker je zaporedje monotono in navzgor omejeno z a, je a ε < a n a za vsak n N Torej ležijo v ε-okolici števila a vsi členi od N-tega dalje in je zato a = lim n a n Operacije z zaporedji Izrek 36 Če sta zaporedji (a n ) in (b n ) konvergentni, so tudi zaporedja (a n +b n ), (a n b n ) in (a n b n ) konvergentna ter velja lim (a n +b n ) = lim a n + lim b n, n n n lim (a n b n ) = lim a n lim b n, n n n lim (a nb n ) = lim a n lim b n n n n Če velja še b n 0 za vsak n in lim n b n 0, je konvergentno tudi zaporedje ( an b n ) in velja a lim a n n n lim = n b n lim b n n Predpostavkaokonvergentnosti zaporedija n inb n jebistvena Čenprpostavimoa n = ( ) n inb n = ( ) n+, jesevedaa n +b n = 0zavsaknin lim (a n+b n ) = 0, lim (a nb n ) =, zaporedji n n a n in b n pa seveda nista konvergentni Dokaz Naj bo a = lim a n in b = lim b n Če je a n a < ε n n in b n b < ε, je (a n +b n ) (a+b) a n a + b n b < ε = ε 9

Torej je lim n (a n +b n ) = lim n a n + lim n b n Podobno dokažemo, da je tudi lim (a n b n ) = lim a n lim b n n n n Za dokaz konvergentnosti zaporedja a n b n ocenimo a n b n ab = (a n a)(b n b)+(a n a)b+(b n b)a = (a n a)(b n b) + (a n a)b + (b n b)a < < ε +( a + b )ε, kjer smo privzeli, da je a n a < ε in b n b < ε Torej lahko izberemo tak ε > 0, da je vrednost izraza a n b n ab poljubno majhna in je zato res lim (a nb n ) = lim a n lim b n Za n n n dokaz četrte formule pa najprej dokažimo, da je lim n b n = b Ocenimo b n b = b b n ε < bb n b ( b ε) < ε b za ε < b a Po že dokazanem pa je lim n n bn = lim a n n b n = a b = a b (n ) Zgled 37 Izračunaj lim n 3n +n+ Rešitev Ker je (n ) 3n +n+ = n n+ 3n +n+ potenco; torej z n Dobimo (n ) 3n +n+ = n n+, delimo števec in imenovalec tega ulomka z najvišjo 3n +n+ = n + n 3+ n + n n Ker je lim n = 0, je ( lim n n + ) n = lim lim n n n + lim = 0 0 =, n n saj vse limite na desni obstajajo Podobno je tudi Sledi lim n lim n ( 3+ n + ) n = lim 3+ lim n n n + lim n (n ) 3n +n+ = lim n + n n 3+ n + = n 3 n + Zgled 38 Izračunaj lim n 3 n+ Rešitev Če števec in imenovalec delimo s 3n, dobimo lim n 3 n + 3 n+ = lim + 3 n n 3 = 3 3 n Do enakega sklepa bi prišli tudi, če bi delili s 3 n+ 3 n+ +5 n Zgled 39 Izračunaj lim n 3 n 5 n+ n = 3+0+0 = 3 lim ( n n + ) n lim (3+ n n + n ) = 3 Rešitev Podobno kot v prejšnjem primeru delimo z izrazom, ki najhitreje narašča, tj s 5 n Dobimo 3 n+ +5 n 3 ( 3 5 lim n 3 n lim )n + 5n+ n ( 3 = 5 )n 5 5, kjer smo upoštevali, da je lim n (3 5 )n = 0 Do enakega sklepa bi prišli tudi, če bi delili s 5 n+ Deljenje s 3 n ali s 3 n+ pa ne vodi k rešitvi, saj je lim n (5 3 )n = 30

5n+ n Zgled 30 Izračunaj lim + n 5n 4n + Rešitev Če števec in imenovalec delimo z n, dobimo 5n+ n lim + n 5n 5+ + 4n + = lim n = 5+ n 5 4+ 5 = n Zgled 3 Izračunaj lim n + 6 n 3+ n 3 Rešitev Če števec in imenovalec delimo s 6 n = 3 n, dobimo lim n + 6 n = lim 3+ n 3 6 n + 6 n 3 n 3 + = 6 Zgled 3 Izračunaj lim n ( n +n n) Rešitev Računajmo: n +n n = ( n +n n)( n +n+n) n +n+n = n n +n+n = + n + Sledi lim ( n +n n) = lim = n n + n + Zgled 33 Izračunaj lim n n +n+ n +n+ Rešitev Podobno kot prej lahko izračunamo n +n+ n +n+ = = = n +n++ n +n+ (n +n+) (n +n+) = n +n++ n +n+ = n+ + n + + + n n + n, + n od koder sledi lim n + n + + + n n + n + n = +++n Zgled 34 Izračunaj lim n n Rešitev Čeprav je +++n n +++n n = + + + n in lim = 0 za vsak k, ne smemo n n n n n = 0+0+ +0 = 0 Izrek lim (a n +b n ) = lim a n + lim b n n n n sklepati, da je lim n lahko sicer razširimo na poljubno, vendar fiksno število členov, v izrazu +++n členov ni fiksno, ampak se spreminja hkrati z n 3 k n pa število

Ker je +++n = n(n+), lahko zapišemo Torej je +++n n = n(n+) n = n+ n = + n +++n + n lim n n = lim n Izrek 35 (Izrek o sendviču) Če sta zaporedji (a n) in (b n ) konvergentni in imata enaki limiti ter je a n c n b n za vsak n N, je tudi zaporedje (c n ) konvergentno in velja lim (a n) = n lim (b n) = lim (c n) n n R = A Dokaz Označimo lim (a n) = lim (b n) = A Naj bo ε > 0 Potem obstaja n, da je n n a n > A ε za n n Potem obstaja n, da je b n < A+ε za n n Sledi lim c n = A, saj za n n n 0 = ma{n,n,n} velja A ε < a n c n b n < A+ε N Zgled 36 Izračunaj limito zaporedja s splošnim členom Rešitev Očitno je a n = n n +n a n n + + n + ++ n +n lim n n Ker za vsak k {,,,n} velja n + n n +k = lim n + kn =, je tudi lim n a n = Število e Oglejmo si zaporedji a n = ( + n) n in bn = ( n) n R e b n = ( n ) n a n = (+ n )n N 3

Zaporedje a n je naraščajoče in navzgor omejeno, zaporedje b n pa padajoče in navzdol omejeno Torej sta obe zaporedji konvergentni Iz zveze pa sledi, da je b n+ = ( n+ ) (n+) = ( n+ n lim b n = lim b n+ = lim a n n n n ) n+ = ( + n ) n ( + n ) ( ) = an + n ( + ) ( = lim n a n lim + ) = lim n n n a n, n kar pomeni, da imata zaporedji a n in b n isto limito, ki jo označimo z e Skratka ( e = lim + n ( = lim n n) n ( = lim + n n) n n n) Število e je iracionalno in velja e 78 Dokazati je možno, da je ( e = lim + ( = lim + ), ) če teče po realnih številih Če sedaj pišemo t =, gornji dve limiti skupaj dasta še lim t 0 (+t) t = e ( Zgled 37 Izračunaj lim n n 3n) Rešitev Računajmo ( lim ) n ( = lim n 3n n 3n = lim n ( Ker je lim n 3n = 0, je lim 3n n 3n) = e Torej je ( ( 3n ) 3n ( 3 ) = ( lim ) ( n ( = lim ) ) 3n 3 n 3n n 3n ) 3n ) 3 = e 3 Pri izračunu prejšnje limite smo uporabili spodnjo trditev za zaporedji a n = ( 3n) 3n in b n = 3 Izrek 38 Če sta zaporedji (a n ) in (b n ) konvergentni, a n > 0 za vsak n ter lim a n > 0, je n tudi zaporedje (a bn n ) konvergentno in velja lim n abn n = ( lim a n) lim n bn n 33

( Zgled 39 Izračunaj lim n+ n n n+) Rešitev Ker je lim n+ n+ = n+ lim n n+ n n+ =, želimo limito preoblikovati na limito za e Zaradi n+ lahko zapišemo ( ) n+ n ( = lim ) (n+) n (n+) = n+ n n+ = lim n bn {}}{ n (n+) ( ) (n+) = e n+ }{{} a n e n+ = ( ) Zgled 330 Izračunaj lim n +n n n n + Rešitev Z deljenjem polinomov ugotovimo n +n n + = + n n + lim n ( n ) n ( +n n = lim + n )n ( ) + n n n + n + n n = + = lim n ( + n )n + n n + }{{} a n e bn {}}{ n n n + = e Limite, ki jih lahko spretno preoblikujemo na limito za e, lahko enostavno izračunamo tudi z uporabo izreka: Izrek 33 Naj bo lim n a n = in a n za vsak n Če za zaporedje (b n ) obstaja limita je tudi zaporedje (a bn n ) konvergentno in velja ( ) Zgled 33 Izračunaj lim n +n n n n + L = lim n b n(a n ), lim n abn n = el Rešitev Označimo a n = n +n Ker je lim n + a n = in n ( ) n sledi lim n +n n n + = e L = e ( n ) L = lim n +n n n + 34 n n = lim n n + =,

( Zgled 333 Izračunaj lim n 3n+ n n+3) Rešitev Označimo a n = n n+3 Ker je lim a n = in n ( ) n L = lim (3n+) n n+3 ( 3n+ sledi lim n n n+3) = e L = e 6 Zgled 334 Izračunaj lim n Rešitev Računajmo n+ n n + 4(3n+) = lim = 6, n n+3 lim n n+ n n + = lim n + n + n = Zgled 335 Izračunaj lim n Rešitev Računajmo 4 Funkcije lim n 4 Splošni pojem funkcije + n n+ n + n + n n+ n + n = lim n + n + = + n n Naj bosta X in Y množici Funkcija ali preslikava f: X Y je pravilo f, ki vsakemu elementu množice X priredi natančno določen element f() množice Y Označimo lahko tudi f() Množico X imenujemo definicijsko območje ali domena, množico f(x) = {f(); X} pa zaloga vrednosti funkcije f Definicijsko območje funkcije f označimo tudi z D f, zalogo vrednosti pa z Z f Graf funkcije f: X Y je množica Γ(f) = {(,f()) X Y; X} X Y Funkcija f je tako določena, če je podano definicijsko območje D f in funkcijski predpis, ki vsakemu D f priredi natančno določen element f() Funkcijski predpis podamo lahko s tabelo, besedilom, diagramom, ali pa, kot je v matematiki običajno, analitično Analitično lahko podamo funkcijo eksplicitno; tj v obliki = f() implicitno; tj v obliki F(,) = 0 parametrično; tj v obliki = g(t), = h(t) 35

Če je funkcija podana eksplicitno, jo enostavno pretvorimo v implicitno ali parametrično obliko Obratna pot ni vedno možna ali pa je računsko neizvedljiva Zgled 4 Funkcijo = f() zapišemo implicitno kot F(,) = f(), parametrično pa kot = t, = f(t) Naj bo I R interval in f: I R funkcija Funkcija f je navzgor omejena, če obstaja M R, da je f() M za vsak I Število M imenujemo zgornja meja funkcije f M I Funkcija f je navzdol omejena, če obstaja m R, da je f() m za vsak I Število m imenujemo spodnja meja funkcije f m I Funkcija f je omejena, če je navzgor in navzdol omejena Torej obstajata m,m R, da je m f() M za vsak I M m I Natančna zgornja meja funkcije f je njena najmanjša zgornja meja: torej število M R, da je f() M za vsak I in da za vsak ε > 0 obstaja 0 I, da je f( 0 ) > M ε Pogosto označimo M = sup(f) 36

M M ε 0 I Natančna spodnja meja funkcije f je njena največja spodnja meja: torej število m R, da je f() m za vsak I in da za vsak ε > 0 obstaja 0 I, da je f( 0 ) < m+ε Pogosto označimo m = inf(f) m+ε m I 0 Ničla funkcije f je tako število a, da je f(a) = 0 a Zgled 4 Obravnavaj omejenost funkcije f: [, ) R, podane s predpisom f() = f() = O Funkcija f je omejena in velja sup(f) =, inf(f) = 0 Ker velja f() = sup(f), je sup(f) = ma(f) Ker pa je f() > 0 za vsak > 0, ne obstaja točka 0, v kateri je f( 0 ) = inf(f) in zato ne obstaja minimum funkcije f Točka 0 je pol funkcije f, če je v vsaki njeni okolici funkcija f neomejena; tj če za vsak M obstaja ε > 0, da je f() > M za vsak 0 < 0 < ε 37

M f O 0 0 ε 0 +ε Funkcija f: R\{ } R, f() = +, ima pol v točki 0 = Funkcija f: R R, ima pol v točki 0 = D f f() = { +, če je, 0, če je = Definicijsko območje funkcije f je simetrično, če je D f natanko tedaj, ko je D f Funkcijaf jesoda, čeimasimetrično definicijskoobmočje inveljaf( ) = f()zavsak D f f() O Graf sode funkcije je simetričen na ordinatno os Funkcija f je liha, če ima simetrično definicijsko območje in velja f( ) = f() za vsak D f f() O f() 38

Graf lihe funkcije je simetričen na koordinatno izhodišče Enostavno je videti, da je Vsota, razlika, produkt in kvocient dveh sodih funkcij je soda funkcija Vsota in razlika dveh lihih funkcij je liha funkcija, produkt in kvocient dveh lihih pa je soda funkcija Produkt in kvocient sode in lihe funkcije je liha funkcija Zgled 43 Funkcija f e +e je soda, h e e liha, g e pa ni ne soda ne liha f g O h Funkcija f: I R je naraščajoča na intervalu I, če je f( ) f( ) za vsaka, I, < Funkcija f: I R je strogo naraščajoča na intervalu I, če je f( ) < f( ) za vsaka, I, < f( ) f( ) I Funkcija f: I R je padajoča na intervalu I, če je f( ) f( ) za vsaka, I, < Funkcija f: I R je strogo padajoča na intervalu I, če je f( ) > f( ) za vsaka, I, < f( ) f( ) I 39

Zgled 44 Funkcija f: R R, podana s predpisom f() =, je na intervalu [,] strogo + naraščajoča, na intervalih (, ], in [, ) pa strogo padajoča O Inverzna funkcija Naj bo f: X Y funkcija Če obstaja taka funkcija g: Y X, da je g f = id X in f g = id Y, pravimo, da je g inverz funkcije f in označimo f = g Spomimo se, da inverzna funkcija k dani funkciji f obstaja natanko tedaj, ko je f bijektivna Inverzno funkcijo grafično določimo tako, da narišemo graf funkcije f in ga prezrcalimo čez simetralo lihih kvadrantov Analitično pa določimo inverzno funkcijo tako, da enačbo = f() rešimo na ; torej tako, da iz enačbe = f() izrazimo = g() f () = 3 + O f() = ( ) 3 4 Limita funkcije Naj bo 0 notranja točka intervala I in f: I \ { 0 } R dana funkcija Število A je limita funkcije f v točki 0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak I iz 0 < 0 < δ sledi f() A < ε Oznaka: lim 0 f() = A A+ε f A A ε O 0 δ 0 0 +δ Zgled 45 Dokaži, da je lim (+) = 3 40

Rešitev Označimo f() = + in izberimo ε Poiskati moramo tak δ, da je f() 3 < ε za 0 < < δ Ker je f() = ( ), bo za < ε veljalo ( ) < ε Torej za δ = ε velja: če je 0 < < δ, je f() 3 < ε 3 O Zgled 46 Določi lim f() za funkcijo f, podano s predpisom f() = { če je, če je = Rešitev Velja: lim f() = in f() = Limitafunkcijef vtočki 0 niodvisnaodfunkcijskevrednosti v tej točki V definiciji limite imamo namreč pogoj 0 < 0 < δ, kar pomeni, da se točki 0 sicer poljubnopribližuje, vendar te točke ne doseže Še več, zaradi pogoja 0 > 0 tudi ni potrebno, da je funkcija f v točki 0 sploh definirana O Izrek 47 (Izrek o sendviču) Če je lim f() = lim h() = A in je f() g() h() za vse 0 0 blizu 0 (razen za = 0 ), obstaja tudi limita lim g() in je enaka A 0 h A g f O 0 Dokaz Naj obstaja δ 0 > 0, da je f() g() h() za vse 0 < 0 < δ 0 Izberimo ε > 0 Potem obstaja δ, da je f() A < ε za vse 0 < 0 < δ Obstaja tudi δ, da je h() A < ε za vse 0 < 0 < δ Označimo δ = min{δ 0,δ,δ } Torej za vse 0 < 0 < δ velja ε < f() A g() A h() A < ε, kar nam da g() A < ε Torej je res lim 0 g() = A 4

Zgled 48 Dokaži, da je lim 0 sin = Rešitev S skice razberemo, da za 0 < < π velja ocena CD = sin < < tan = AB Torej je < sin < cos, kar lahko zapišemo tudi v obliki cos < sin < D B Ker je lim 0 cos =, po prejšnjem izreku sledi lim 0 sin = O C A Leva in desna limita Število A je leva limita funkcije f v točki 0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak I iz 0 < 0 < δ sledi f() A < ε Oznaka: lim 0 f() = A (Z oznako 0 poudarimo, da narašča k 0 ) A+ε A A ε O 0 δ 0 Število A je desna limita funkcije f v točki 0, če za vsak ε > 0 obstaja δ > 0, da za vsak I iz 0 < 0 < δ sledi f() A < ε Oznaka: lim 0 f() = A (Z oznako 0 poudarimo, da pada k 0 ) A+ε A A ε 0 O 0 +δ Neposredno iz definicije limite vidimo, da obstaja lim f() natanko tedaj, ko obstajata 0 limiti lim f() in lim f() in sta enaki 0 0 Zgled 49 Izračunaj lim 0 arctan in lim arctan 0 Ali obstaja lim arctan 0? 4

π O π Zgled 40 Ali obstaja lim? 0 +e Rešitev Funkcija in lim 0 = ter lim 0 +e ima pri = 0 pol: lim 0 = + in lim 0 = Torej je lim 0 ne obstaja +e = 0 O Limita v neskončnosti Število A je limita funkcije f v neskončnosti, z oznako lim obstaja b, da za vsak > b velja f() A < ε f() = A, če za vsak ε > 0 A+ε A A ε f O b Podobno označimo lim f() = A, če za vsak ε > 0 obstaja b, da za vsak < b velja f() A < ε f A+ε A A ε b O 43

Neskončna limita Če za vsak b obstaja δ > 0, da je f() > b za 0 < a < δ, pravimo, da gre vrednost funkcije f preko vsake meje, ko gre proti a, in označimo lim a f() = b f O a δ a a+δ Podobno označimo lim a f() =, če za vsak b obstaja δ > 0, da je f() < b za 0 < a < δ O a δ a a+δ f b Zgled 4 Naj bosta p() = a m m ++a 0 in q() = b n n ++b 0 polinoma, a m 0 b n p() Izračunaj lim q() Rešitev Števec in imenovalec ulomka p() q() delimo z n in dobimo p() q() = a m m n +a m m n ++a 0 n b n +b n ++b 0 n Ker je lim (b n +b n ++b 0 n ) = b n 0, od tod sledi p() lim q() = 0 če je m < n, a m bn če je m = n, sign( am b n ) če je m > n 44