ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Ακαδημαϊκό έτος 2014-2015 Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μάθημα: Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Πρώτο πακέτο ασκήσεων και λύσεων 1. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Όταν οι εισοδηματικοί περιορισμοί δεν είναι ευθύγραμμοι τότε το σύνολο των εφικτών επιλογών είναι μη κυρτό. Λάθος. Μπορεί ο εισοδηματικός περιορισμός να έχει κάποια γωνία (αλλαγή στην τιμή σε κάποιο σημείο) αλλά να παραμένει το σύνολο των εφικτών επιλογών κυρτό, π.χ., αν η «γωνία» είναι προς τα έξω. 2. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Ανεξάρτητα από το καλάθι καταναλωτικών αγαθών που θα επιλέξει ανάμεσα στο σύνολο των καταναλωτικών εφικτών επιλογών που έχει ένας καταναλωτής, θα ξοδέψει το σύνολο του εισοδήματος του. Λάθος. Μόνο στα σημεία που βρίσκονται πάνω στον εισοδηματικό περιορισμό (όπου τα έξοδα είναι ίσα με το εισόδημα) θα ξοδεύει το σύνολο του εισοδήματός του. 3. Έστω ότι σου δίνουν ένα κουπόνι που σου επιτρέπει να αγοράσεις κάθε επιπλέον pizza που αγοράζεις σε τιμή 5% χαμηλότερη από την προηγούμενη. Δείξτε τι θα συμβεί στον εισοδηματικό περιορισμό (σε σχέση με την περίπτωση που δεν έχεις κουπόνι) όταν έχεις πίτσες στον οριζόντιο άξονα και άλλα αγαθά στον κάθετο άξονα. Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα παρακάτω. Εφόσον δεν έχουμε συνολικό εισόδημα δεν μπορούμε να δείξουμε αριθμούς με ακρίβεια οπότε μας ενδιαφέρει μόνο μια γενική απεικόνιση. Η μαύρη ευθεία δείχνει έναν αρχικό ΕΠ και η κόκκινη τον ΕΠ με τα κουπόνια. 4. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Κάποια καταναλωτικά προϊόντα είναι αγαθά επιθυμητά για κάποιες ποσότητες και κακά ανεπιθύμητα για άλλες. 1
Σωστό. Όταν υπάρξει κορεσμός ένα αγαθό μετατρέπεται από καλό σε κακό μετά από κάποιο επίπεδο κατανάλωσης (μετά από τον κορεσμό). 5. Σωστό ή Λάθος: Αν διπλασιάζαμε τις ποσότητες που καταναλώνει ο Νίκος θα διπλασιαζόταν και η ικανοποίηση που απολαμβάνει ο Νίκος από την κατανάλωση των αγαθών; Εξηγείστε. Λάθος: Η συνάρτηση χρησιμότητας δεν αναφέρεται σε μονάδες «ικανοποίησης» ή «χαράς» αλλά απλώς αντιπροσωπεύει την ιεράρχηση των προτιμήσεων. Αν έχει περισσότερη χρησιμότητα με διπλασιασμό των αγαθών που καταναλώνει ξέρουμε απλώς ότι προτιμάει το νέο συνδυασμό αλλά δεν μπορούμε να πούμε πόσο περισσότερο προτιμάει ένα συνδυασμό από άλλον. Οι συναρτήσεις παραγωγής απεναντίας αναφέρονται σε φυσικές μονάδες γι αυτό αναφερόμαστε και σε αποδόσεις κλίμακας. 6. Έστω πως υπάρχουν τρία αγαθά στον κόσμο:, x 3. (α) Σε διάγραμμα τριών διαστάσεων δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό όταν οι τιμές των τριών αγαθών είναι p 1 = 2, p 2 = 6, p 3 = 5 και εισόδημα I = 120. Απάντηση: Το διάγραμμα (α) δείχνει τον εισοδηματικό περιορισμό. (β) Ποιο είναι το κόστος ευκαιρίας του ως προς το x 2 ; Ποιο είναι το κόστος ευκαιρίας του x 2 ως προς το x 3 ; Απάντηση: Σε όποια τομή του διαγράμματος που κρατάει το x 3 σταθερό, η κλίση του ΕΠ είναι p 1 = 1. Όπως και στην περίπτωση των δύο αγαθών αυτό είναι p 2 3 το κόστος ευκαιρίας ως προς το x 2. Αν θέλει κάποιος να καταναλώσει μία παραπάνω μονάδα του ανταλλάσσοντας μόνο x 2 θα πρέπει να αποχωριστεί 1 3 της μονάδας του x. Με την ίδια λογική (κρατώντας το x 2 1σταθερό) το κόστος ευκαιρίας του x 2 ως προς το x 3 είναι p 2 p 3 = 6 5. (γ) Δείξτε διαγραμματικά την επίδραση μιας πτώσης του εισοδήματος στα 60. Αλλάζει η απάντηση σας στο υπο- ερώτημα (α); 2
Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (b). Δεν αλλάζει η απάντηση στο (α) καθώς δεν έχουν αλλάξει οι σχετικές τιμές. (δ) Δείξτε διαγραμματικά μια αύξηση της τιμής του στο p 1 = 4. Αλλάζει η απάντηση σας στο υπο- ερώτημα (α); Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (c). Εφόσον άλλαξε η τιμή του αλλάζει το σημείο που τέμνει ο ΕΠ τον άξονα και το κόστος ευκαιρίας του ως προς το x 2 αλλά όχι του x 2 ως προς το x 3 ; 7. Υποθέστε πως μια αεροπορική εταιρεία χρεώνει 20 λεπτά το χιλιόμετρο αλλά όταν φτάνει κάποιος τα 25.000 χιλιόμετρα η τιμή πέφτει στα 10 λεπτά το χιλιόμετρο για επιπλέον χιλιόμετρα. Το εναλλακτικό μεταφορικό μέσο είναι αυτοκίνητο που κοστίζει 16 λεπτά το χιλιόμετρο. (α) Έστω ένας καταναλωτής έχει προϋπολογισμό για ταξίδια 10.000 το χρόνο που μπορεί να ξοδέψει στο κόστος μεταφοράς ή σε «άλλη κατανάλωση» ενώ ταξιδεύει. Σε διάγραμμα με χιλιόμετρα με πτήση στον οριζόντιο άξονα και άλλη κατανάλωση στον κάθετο άξονα, δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό κάποιου ατόμου που σκέπτεται μόνο να πετάξει (και όχι να οδηγήσει). Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (a). (β) Σε αντίστοιχο διάγραμμα με «χιλιόμετρα με αυτοκίνητο» στον οριζόντιο άξονα δείξτε τον ΕΠ για κάποιον που σκέφτεται να οδηγήσει (και όχι να πετάξει). Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (b). (γ) Συνδυάζοντας τα δύο διαγράμματα σε ένα (αλλάζοντας τον οριζόντιο άξονα σε χιλιόμετρα ταξιδιών) μπορείτε να εξηγείσετε πώς το κίνητρο της μείωσης της τιμής των πτήσεων (στα πολλά χιλιόμετρα) μπορεί να επηρεάσει κάποιους να πετάνε περισσότερο από ότι πριν; Απάντηση: Στο διάγραμμα (c) βλέπουμε πως ενώ το αυτοκίνητο είναι φθηνότερο για κάποιον που του αρέσει κάποιο σχετικά μεσαίο συνδυασμό χιλιομέτρων και άλλη κατανάλωση, για κάποιους που τους αρέσουν περισσότερο τα χιλιόμετρα (ταξίδια) από άλλη κατανάλωση η έκπτωση θα τους δελεάσει να προτιμήσουν τα αεροπλάνα. 3
(δ) Δείξτε διαγραμματικά πώς θα έπρεπε να είναι οι καμπύλες αδιαφορίας για να προτιμήσει κάποιος να πετάξει με αεροπλάνο αντί να οδηγήσει (υποθέστε πως το μόνο που υπολογίζουν οι καταναλωτές είναι το κόστος της μεταφοράς και πως δεν έχουν κάποια ανεξάρτητη προτίμηση για το μέσο); Απάντηση: Θα έπρεπε να είναι αρκετά μεγάλη η κλίση των καμπυλών αδιαφορίας στο σημείο επαφής με τον εισοδηματικό περιορισμό ώστε να δίνει ο καταναλωτής μεγαλύτερη βαρύτητα στα ταξίδια από την αγορά άλλων αγαθών. Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε μια τέτοια περίπτωση που η βέλτιστη επιλογή γίνεται στο τμήμα του εισοδηματικού περιορισμού που επιλέγει μόνο πτήσεις. 8. Έστω πως οι προτιμήσεις σου συμβαδίζουν με τα βασικά αξιώματα της θεωρίας του καταναλωτή και πως η συνάρτηση χρησιμότητας u( ) = x 2 αντιπροσωπεύει τις προτιμήσεις σου (όπου είναι δημητριακά και x 2 είναι ομελέτες). (α) Έστω δύο καλάθια αγαθών A=(1,20) και Β = (10,2). Ποιο θα προτιμάς; Απάντηση: Θα είσαι αδιάφορος μεταξύ των δύο καλαθιών γιατί και τα δύο αντιστοιχούν με την ίδια χρησιμότητα u(1,20)=20 και u(10,2)=20. (β) Χρησιμοποιείστε τα δύο καλάθια για να δείξετε ότι οι προτιμήσεις είναι κυρτές. Απάντηση: Έστω συνδυάζω ένα νέο καλάθι που είναι το μέσο όρο των Α και Β. Αυτό θα μου έδινε 5,5 μονάδες δημητριακών και 11 ομελέτες. Βάζοντας αυτόν το συνδυασμό στην συνάρτηση χρησιμότητας βρίσκουμε u(5,5,11)=60,5 που είναι μεγαλύτερο από τα δύο αρχικά καλάθια. Η χρησιμότητα από ισορροπημένους συνδυασμούς είναι μεγαλύτερη από ακραίους συνδυασμούς. (γ) Ποιος είναι ο Οριακός Λόγος Υποκατάστασης στο συνδυασμό Α και Β; Απάντηση: MRS = u u x 2 = x 2 MRS A = 20, MRS B = 1/ 5, 4
(δ) Ποιος είναι ο πιο απλός μετασχηματισμός της συνάρτησης χρησιμότητας που να την κάνει να αντιπροσωπεύει τις προτιμήσεις που περιγράφονται στο πακέτο ασκήσεων 1 του 2014 ερώτηση 4δ; (Έτσι και αλλιώς είναι χρήσιμο να δείτε και αυτές τις ασκήσεις). Απάντηση: Ο πιο απλώς μετασχηματισμός θα ήταν να πολλαπλασιάσουμε την συνάρτηση με - 1. Αυτό θα διατηρούσε το σχήμα της καμπύλης αδιαφορίας (ο ΟΛΥ ίδιος). Η διαφορά είναι πως η αρίθμηση των καμπυλών θα αλλάξει. Αντί να αυξάνονται όσο πάμε προς τα πάνω και δεξιά θα μικραίνουν οι αριθμοί δείχνοντας πως πέφτει η χρησιμότητα (είναι χειρότερες επιλογές) όπως στην ερώτηση 4δ. (ε) Τώρα υποθέστε προτιμήσεις που ορίζονται από την συνάρτηση χρησιμότητας u( ) = 2 + x 2 2. Βρείτε τον ΟΛΥ. Απάντηση: MRS = u u x 2 = 2x 2 2 = x 2. (στ) Αυτές οι προτιμήσεις έχουν φθίνων ΟΛΥ; Είναι κυρτές; Απάντηση: Προσέξετε πως ο ΟΛΥ είναι ο αντίστροφος από την προηγούμενη συνάρτηση χρησιμότητας. Πάρτε δύο τυχαίους «ακραίους» συνδυασμούς όπως (1,5) και (5,1) που βρίσκονται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Ο ΟΛΥ από - 1/5 γίνεται - 5 στο δεύτερο συνδυασμό. Οπότε ξεκινάει μικρή κλίση και μεγαλώνει καθώς πάμε προς τα δεξιά, άρα αυτές οι προτιμήσεις είναι μη κυρτές. Μοιάζουν στο σχήμα με αυτές της ερώτησης 4γ στο περσινό πακέτο με την διαφορά πως η χρησιμότητα ανεβαίνει προς τα πάνω και δεξιά. (ζ) Πώς μπορούμε να μετασχηματίσουμε αυτές τις προτιμήσεις για να είναι ίδιες με αυτές στην ερώτηση 4γ του Πακέτου 1 του 2014; Απάντηση: Όπως και πριν πολλαπλασιάζοντας με - 1. u( ) = 2 x 2 2. Οι καμπύλες αδιαφορίας είχαν ήδη το σωστό σχήμα και απλά τώρα έχουν και την σωστή αρίθμηση. 9. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Αν με δείτε να επιλέγω το καλάθι Α αντί του Β την Δευτέρα, το καλάθι Β αντί Γ την Τρίτη και το καλάθι Γ αντί Α την Τετάρτη, σημαίνει αναγκαστικά πως οι προτιμήσεις μου παραβιάζουν την αρχή της μεταβατικότητας. Απάντηση: Λάθος. Μπορεί απλά να είμαι αδιάφορος μεταξύ των τριών καλαθιών ή ακόμα μπορεί να θέλω και ποικιλία κατά την διάρκεια της εβδομάδας. Υπάρχει και περίπτωση να αλλάζουν οι προτιμήσεις μου. 10. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Υποθέστε πως οι προτιμήσεις δεν είναι μονοτονικές πουθενά. Τότε ο φθίνων ΟΛΥ δεν συμβαδίζει με την κυρτότητα των προτιμήσεων. 5
Απάντηση: Σωστό. Στο παρακάτω διάγραμμα ο ΟΛΥ φθίνει και τα σημεία Α και Β βρίσκονται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας. Όμως ο μέσος όρος (κυρτός συνδυασμός) των Α και Β βρίσκεται σε περιοχή που είναι χειρότερη στις προτιμήσεις εφόσον (σε αυτήν την περίπτωση) λιγότερες ποσότητες είναι καλύτερες όταν παραβιάζεται η μονοτονικότητα. 11. Σωστό ή Λάθος (εξηγείστε): Αν οι προτιμήσεις σου συμβαδίζουν με τις κλασσικές υποθέσεις για προτιμήσεις και προτιμάται το καλάθι Α από το Β, και το καλάθι Γ είναι μέσος όρος (κυρτός συνδυασμός) του Α και Β, τότε το καλάθι Γ είναι τουλάχιστον εξίσου καλό με το καλάθι Β. Απάντηση: Σωστό. Αν αφαιρούσαμε λίγο από όλα τα αγαθά από το καλάθι Α κάποια στιγμή θα είχαμε ένα καλάθι Α που είναι αδιάφορο με το Β. Ο μέσος όρος του Α με Β θα μας έδινε ένα Γ που θα ήταν ασθενώς προτιμότερο από το Β (λόγω κυρτότητας). Αλλά το Γ έχει περισσότερο από όλα τα αγαθά σε σχέση με το Γ που σημαίνει (λόγω μονοτονικότητας) πως θα είναι προτιμότερο από το Β. 12. (α) Σε ένα διάγραμμα βάλτε ξηρούς καρπούς στον οριζόντιο άξονα και σοκολάτα στον κάθετο. Έστω ότι ο Κώστας μισεί τους ξηρούς καρπούς αλλά του αρέσει η σοκολάτα. Έχει αυστηρά κυρτές προτιμήσεις. Σχεδιάστε τρεις καμπύλες αδιαφορίας και με τόξο που ενώνει δύο σημεία μιας καμπύλης αδιαφορίας την κατεύθυνση μεγαλύτερης χρησιμότητας. Εξηγείστε. Aπάντηση. Η κυρτότητα σημαίνει πως οι καμπύλες αδιαφορίας λυγίζουν προς την γωνία των αξόνων (τόξων) που δείχνουν την κατεύθυνση αναρρίχησης στις προτιμήσεις του καταναλωτή. Στο διάγραμμα (α) τα σημείο Α και Β βρίσκονται στην ίδια καμπύλη αδιαφορίας και η γραμμή που ενώνει τα σημεία βρίσκεται σε χώρο με προτιμώμενους συνδυασμούς. 6
(β) Δείξτε διαγραμματικά με εισοδηματικό περιορισμό πώς θα ήταν μια βέλτιστη επιλογή. Απάντηση: Δείτε το παρακάτω διάγραμμα. Το άτομο θα αγόραζε μόνο σοκολάτες οπότε το σημείο θα ήταν ένα ακραίο σημείο στον κάθετο άξονα όπου τέμνει ο ΕΠ την ψηλότερη καμπύλη αδιαφορίας. 13. Υποθέστε την συνάρτηση χρησιμότητας u( ) = ln + ln x 2 1/2. (α) Βρείτε τον ΟΛΥ. (β) Οι προτιμήσεις που αντιπροσωπεύονται με την συνάρτηση χρησιμότητας συμβαδίζουν με φθίνοντα ΟΛΥ; (γ) Βρείτε την οριακή χρησιμότητα των δύο αγαθών. (δ) Γιατί η τακτική θεώρηση της χρησιμότητας δεν δίνει έμφαση στην οριακή χρησιμότητα (που βρήκατε στο γ); (ε) Γιατί η τακτική θεώρηση της χρησιμότητας αντιμετωπίζει διαφορετικά τον ΟΛΥ από την οριακή χρησιμότητα; Απάντηση: 1/2 (α) MRS = 2x 2 (β) Κρατώντας το x 2 σταθερό ο ΟΛΥ (σε απόλυτους αριθμούς) μειώνεται καθώς αυξάνεται το, δηλαδή η κλίση γίνεται πιο ρηχή καθώς πάμε προς τα δεξιά οπότε πράγματι οι προτιμήσεις συμβαδίζουν με φθίνοντα ΟΛΥ. (γ) MU 1 = 1, MU 2 = 1 2x 1/2 2 (δ) Η οριακή χρησιμότητα είναι σε μονάδες χρησιμότητας. Μια τακτική θεώρηση της χρησιμότητας θεωρεί πως η χρησιμότητα δεν μπορεί να μετρηθεί με κάποιο αντικειμενικό τρόπο οπότε δεν έχουν και στιβαρή (επιστημονική) ερμηνεία. (ε) Ο ΟΛΥ δεν είναι σε μονάδες χρησιμότητας αλλά σε αντικειμενικές μονάδες x 2. Αυτό ισχύει γιατί οι μονάδες χρησιμότητας απαλείφονται στον ΟΛΥ. 14. Πίτσα και Μπύρα: Ορισμένες φορές μπορούμε να συμπεράνουμε κάτι για τις προτιμήσεις παρατηρώντας τις επιλογές ατόμων κάτω από δύο διαφορετικές 7
οικονομικές συνθήκες. Έστω πως καταναλώνουμε μόνο μπύρες και πίτσες στις τιμές p 1, p 2 αντίστοιχα και σε εισόδημα I. (α) Με μπύρες στο οριζόντιο άξονα και πίτσες στο κάθετο άξονα δείξτε τον εισοδηματικό περιορισμό και κάποιο αρχικό βέλτιστο καλάθι Α (προσοχή στην σήμανση όλων των σημείων). Απάντηση: Το διάγραμμα (α) δείχνει τον αρχικό ΕΠ με το σημείο Α. (β) Όταν το εισόδημα αυξάνεται παρατηρώ πως καταναλώνεις περισσότερη μπύρα αλλά την ίδια ποσότητα πίτσας. Μπορώ να πω αν οι προτιμήσεις σου θα μπορούσαν να είναι ομοθετικές; Μπορώ να πω αν οι προτιμήσεις σου θα μπορούσαν να είναι οιονεί γραμμικές σε πίτσες ή μπύρες; Απάντηση: Την μεταβολή του εισοδήματος την δείχνουμε στο διάγραμμα (α) με την νέα βέλτιστη ποσότητα Β που περιέχει περισσότερη μπύρα και ίδια ποσότητα από πίτσες. Εφόσον οι δύο καμπύλες έχουν τον ίδιο ΟΛΥ στην οριζόντια ευθεία που κρατά τις πίτσες σταθερές οι προτιμήσεις μπορεί όντος να είναι οιονεί γραμμικές ως προς την μπύρα (Προσοχή: εδώ εννοούμε το αγαθό που δεν εμφανίζεται ως γραμμική συνάρτηση της χρησιμότητας. Πολλά βιβλία εννοούν ακριβώς το αντίθετο. Σημασία έχει εδώ να πούμε πως εφόσον αλλάζει η ποσότητα της μπύρας χωρίς να αλλάξει η τιμή δεν μπορεί να εμφανίζονται ως γραμμική συνάρτηση της χρησιμότητας.) Αλλά οι προτιμήσεις δεν μπορεί να είναι ομοθετικές καθώς η ευθεία από την αρχή των αξόνων τέμνει την δεύτερη καμπύλη αδιαφορίας σε σημείο που θα ο ΟΛΥ είναι μεγαλύτερος (σε απόλυτα μεγέθη). Η μόνη περίπτωση να μην ισχύει αυτό είναι αν οι πίτσες και οι μπύρες είναι τέλεια υποκατάστατα και η τιμή της πίτσας και της μπύρας είναι ίδιες. Σε αυτήν την περίπτωση όλα τα σημεία στον ΕΠ είναι βέλτιστα (καθώς και τα σημεία Α και Β). Θα ήταν και η μοναδική περίπτωση οι προτιμήσεις να είναι ταυτόχρονα οιονεί γραμμικές και ομοθετικές. (γ) Πώς θα άλλαζε η απάντησή σου αν είχα παρατηρήσει μια μείωση στην κατανάλωση της μπύρας όταν το εισόδημα αυξανόταν; Απάντηση: Αν έβλεπα μόνο μια μείωση της κατανάλωσης της μπύρας θα μπορούσα να πω πως οι προτιμήσεις δεν είναι οιονεί γραμμικές ως προς τις μπύρες (εκτός αν μπύρες και πίτσες είναι τέλεια υποκατάστατα και οι τιμές 8
τυχαίνει να είναι τέτοιες ώστε η κλίση του ΕΠ είναι ίδια με τον ΟΛΥ παντού). Θα μπορούσα επίσης να συμπεράνω ότι οι προτιμήσεις δεν είναι οιονεί γραμμικές ως προς τις πίτσες γιατί εφόσον καταναλώνεις λιγότερη μπύρα με περισσότερο εισόδημα πρέπει να καταναλώνεις περισσότερες πίτσες εφόσον ξοδεύεις όλο το εισόδημα σου στα δύο αγαθά. Τέλος, θα μπορούσα να πως επίσης πως οι προτιμήσεις σου δεν είναι ομοθετικές γιατί σε μια τέτοια περίπτωση θα αυξανόταν η κατανάλωση όλων των αγαθών με μια αύξηση του εισοδήματος. Η μία εξαίρεση είναι αυτή που αναφέραμε στο τέλος της απάντησης (β). (δ) Τι θα απαντούσατε αν η κατανάλωση της μπύρας και της πίτσας αυξανόταν αναλογικά με το εισόδημα; Απάντηση: Δείτε το διάγραμμα (β). Το Α και Β βρίσκονται στην ευθεία που ξεκινάει από τις αρχές των αξόνων που συμβαδίζει με ομοθετικές προτιμήσεις. Οι οριζόντιες και κάθετες γραμμές κρατώντας την ποσότητα της πίτσας και μπύρας αντίστοιχα τέμνουν την καμπύλη αδιαφορίας σε σημεία με διαφορετικό ΟΛΥ οπότε οι προτιμήσεις δεν μπορεί να είναι οιονεί γραμμικές. Τέλος, ισχύει η ίδια εξαίρεση με τις παραπάνω δύο απαντήσεις. 15. Έστω τώρα πως οι προτιμήσεις σου για μπύρα και πίτσα μπορεί να αποτυπωθούν με την συνάρτηση χρησιμότητας κ u( ) = 2 x 2 και τιμές και εβδομαδιαίο εισόδημα p 1 = 2, p 2 = 10, I = 180. (α) Υπολογίστε την βέλτιστη ποσότητα Α στην κατανάλωση μπύρας και πίτσας κάνοντας απλά χρήση του γεγονότος πως αν έχουμε εσωτερικό βέλτιστο ισχύει MRS = p 1. p 2 Απάντηση: Γνωρίζουμε πως στο βέλτιστο σημείο MRS = u u x 2 = 2 x 2 2 = 2x 2 = 1 5 x 2 = 10. οπότε μαζί με τον ΕΠ που είναι 180 = 2 +10x 2 βρίσκουμε πως 180 = 2 +10 10 = 3 = 60 = 6. (β) Με πόση χρησιμότητα αντιστοιχεί αυτή η βέλτιστη ποσότητα; Απάντηση: u(60,6) = (60 2 )(6) = 21.600. (γ) Παρουσιάστε το γενικότερο πρόβλημα βελτιστοποίησης για τις γενικές τιμές και εισόδημα p 1, p 2, I λύνοντας για τις βέλτιστες ποσότητες κατανάλωσης. Απάντηση: Το πρόβλημα μεγιστοποίησης είναι maxu( ) = x 2 1 x 2, υπό τον περιορισμό p 1 + p 2 x 2 = I, με συνάρτηση Lagrange,x 2 9
L(,λ) = 2 x 2 + λ(i p 1 p 2 x 2 ). Οι ΣΠΤ είναι: 2 x 2 = λ p 1 2 = λ p 2 2 x 2 2 = p 1 p 2 x 2 = (p 1 ) / (2 p 2 ). Αντικαθιστώντας στον ΕΠ βρίσκουμε I = p 1 + p 2 p 1 2 p 2 = 3p 1 2. Οπότε λύνοντας για βρίσκουμε = 2Ι και εφόσον x 2 = (p 1 ) / (2 p 2 ) 3p 1 λύνουμε για x 2 = I. 3p 2 (δ) Με την λύση που βρήκατε στο (γ) επιβεβαιώστε ότι οι προτιμήσεις είναι ομοθετικές. Απάντηση: Με διαφοροποίηση των συναρτήσεων ζήτησης ως προς το εισόδημα βρίσκουμε ότι I = 2, x 2 3p 1 I = 1. 3p 1 Με αυξήσεις του εισοδήματος η κατανάλωση των αγαθών αυξάνεται γραμμικά. Δηλαδή, αν διπλασιαστεί το εισόδημα θα διπλασιαστεί η κατανάλωση. Αυτό ισχύει μόνο για ομοθετικές προτιμήσεις όπου ο ΟΛΥ είναι ίδιος σε κάθε ευθεία από την αρχή των αξόνων. 16. Η Σοφία καταναλώνει 3 σοκολάτες μόνο με κάθε ποτήρι γάλα. Δείξετε τον χάρτη προτιμήσεων σε διάγραμμα με σοκολάτα στον οριζόντιο άξονα και γάλα στον άλλο. Ποια είναι η συνάρτηση χρησιμότητας της; Απάντηση. Οι καμπύλες αδιαφορίας της είναι ορθογώνιες. 10
Η συνάρτηση χρησιμότητάς της είναι U = min(σ,3γ). 17. Σε μια έκτακτη ανάγκη οι αρχές αποφασίζουν να θέσουν όριο στο πόση βενζίνη μπορεί να καταναλώνει κανείς ανά μήνα. Αν οι καταναλωτές μπορούσαν να αγοράζουν μέχρι 12000 λίτρα το μήνα με το εισόδημα τους αλλά οι αρχές θέτουν όριο μέχρι 8000 το μήνα για τον καθένα, δείξετε πώς θα είναι το εφικτό σύνολο κατανάλωσης. Απάντηση: Στο διάγραμμα είναι η σκιασμένη χρωματισμένη περιοχή το σύνολο εφικτών επιλογών. 18. Η συνάρτηση χρησιμότητας ενός καταναλωτή είναι : U x, y = (x a)! (y b)!!!. Ζητείται να προσδιοριστούν : 1. Ο οριακός λόγος υποκατάστασης. 2. Οι κατά Marshall συναρτήσεις ζήτησης 3. Οι καμπύλες Engel και να ερμηνευτούν 4. Εάν μας δοθούν τιμές των παραμέτρων και των μεταβλητών ως ακολούθως να υπολογιστούν τα αποτελέσματα εισοδήματος και κατανάλωσης εάν η τιμή του αγαθού x αυξηθεί από 1 στο 2. Δεδομένα p! = p! = 1, ω = 0,5 a = 10, b = 40, I = 100 11
Απάντηση 1. MRS = U x U y ω(x a) ω 1 (y b) 1 ω (1 ω )(x a) ω (y b) = ω(y b) ω (1 ω )(x a) Απάντηση 2. Οι κατά Marshall συναρτήσεις ζήτησης προκύπτουν από την μεγιστοποίηση της Stone- Geary ως: y * (p x, I) = b + (1 ω )(I p x a p y b) p y x * (p x, I) = a + ω(i p x a p y b) p x Απάντηση 3. Οι καμπύλες Engel είναι ευθείες μεταξύ x = f (I), y = g(i) με κλίσεις αντίστοιχα ω p x, 1 ω p y Απάντηση 4. Το συνολικό αποτέλεσμα για το αρχικό καλάθι όπως και το τελικό καλάθι μας δίδουν τα εξής νούμερα. Αρχικό: (x * 0, y * 0 ) = (35,65) (x * 1, y * 1 ) = (20,60) Για να υπολογίσουμε τα αποτελέσματα εισοδήματος και υποκατάστασης πρέπει να βρούμε το εισόδημα που ο καταναλωτής με τις νέες τιμές απολαμβάνει την αρχική ευημερία. Με (35,65)U 0 = 25 άρα το εισόδημα είναι: x 25 = (x 10) 0,5 (y 40) 0,5 = 0,5 0,5 (I ' 20 40) 2 (I ' 20 40) 1 Οπότε λύνοντας για Ι έχουμε Ι=130,71 και με αυτό το εισόδημα το άριστο επίπεδο κατανάλωσης είναι (27,68, 75,35). Άρα για x το συνολικό αποτέλεσμα είναι - 15, το αποτέλεσμα υποκατάστασης - 7,32 και το αποτέλεσμα εισοδήματος - 7,68. Για το y το συνολικό αποτέλεσμα είναι - 5 με αποτέλεσμα εισοδήματος 10,35 και αποτέλεσμα εισοδήματος - 15,35. 19. Η Τούλα έχει συνάρτηση χρησιμότητας U = q a 1 a 1 q 2 1/2 1/2 όπου a είναι μια θετική σταθερά όπου 0 < a < 1, q1 είναι ο αριθμός των τραγουδιών που αγοράζει το χρόνο και q2 είναι ο αριθμός των ταινιών που αγοράζει. (α) Ποιος είναι ο οριακός λόγος υποκατάστασης της Τούλας για τα δύο αγαθά; Απάντηση. ΟΛΥ = aq 2 (1 a)q 1 (β) Τι ποσοστό του εισοδήματος θα ξοδέψει για ταινίες; Τι παρατηρούμε; 12
Απάντηση. Βρίσκουμε πρώτα την Μαρσαλιανή ζήτηση για τις ταινίες που είναι (1 a)i p q 2 = 2 q 2 p, και από αυτήν την ισότητα βρίσκουμε = 1 a 2 Ι. Δηλαδή η Μαρία θα ξοδέψει 100(1 a) % του εισοδήματός της στις ταινίες. Βλέπουμε πως σε αυτήν την συνάρτηση Cobb- Douglas οι εκθέτες μας δείχνουν και το ποσοστό του εισοδήματος που ξοδεύουν οι καταναλωτές στα αγαθά. 20. Έστω μία οικονομία που προστατεύει την κατανάλωση του αγαθού x., π.χ. απαγορεύεται η κατανάλωση του φρέσκου τόνου. Οι προτιμήσεις του καταναλωτή είναι : U x, y = 10x!/! + y Η κυβέρνηση αποφασίζει όμως μετά από μακρά περίοδο απαγόρευσης να άρει τον περιορισμό. Το εισόδημα του καταναλωτή είναι 100 και οι τιμές των αγαθών είναι ίσες και p x = p y = 1. Να προσδιοριστεί η άριστη κατανάλωση για κάθε αγαθό. Εάν η κυβέρνηση θέλει να συγκεντρώσει φόρους επιβάλλοντας ένα φόρο στο εισόδημα έτσι ώστε όμως να μην επηρεάσει την ευημερία του καταναλωτή προ και μετά την απαγόρευση πόσο πρέπει να μειώσει το εισόδημα του καταναλωτή; Απάντηση: Ελαχιστοποιούμε τις δαπάνες υπό τον περιορισμό της συνάρτησης χρησιμότητας: L(x, y,λ) = p x x + p y y + λ(u 10/2 y) L x = p x λ5x 1/2 = 0 L x = p λ = 0 y L λ = U y 10x1/2 = 0 x = 25 p 2 y 2 p x Μπορεί να λυθεί και με μεγιστοποίηση αλλά στην προκειμένη περίπτωση είναι εξίσου (αν όχι πιο) εύκολο με το δυαδικό τρόπο. Παρατηρούμε ότι αρχικά το άτομο αγοράζει y=100 και έχει αρχική ευημερία U=100. Πρέπει να βρούμε τις συναρτήσεις δαπανών. Από την ελαχιστοποίηση προκύπτει ότι οι κατά Hicks συναρτήσεις ζήτησης είναι x = 25 p 2 y, y = U 50 p y. 2 p x p x Εφόσον οι τιμές είναι p x = p y = 1 το άριστο καλάθι προκύπτει από το πρόβλημα μεγιστοποίησης ως (x *, y * ) = (25,75). Η συνάρτηση δαπανών είναι E(p x,u) = p y U 25(p y 2 / p x ). Προκύπτει ότι οι δαπάνες που απαιτούνται για να πετύχει ο καταναλωτής U=100 στις νέες τιμές είναι 75. Άρα η κυβέρνηση μπορεί να εισπράξει φόρο 25. 13
21. Ο Νίκος έχει συνάρτηση χρησιμότητας u(x, y) = 20/2 y 1/2, όπου x, y είναι οι ποσότητες των αγαθών x και y αντίστοιχα. Το εισόδημα του Νίκου είναι M, η τιμή του αγαθού x είναι, και η τιμή του αγαθού y είναι. p x (α) Να βρείτε τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης του Νίκου. Απάντηση: Οι αντισταθμιστικές συναρτήσεις μπορεί να βρεθούν από την λύση του προβλήματος ελαχιστοποίησης δαπανών (μπορεί να βρεθούν και με αντικατάσταση της συνάρτησης δαπανών στις Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης). Από τις συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε MRS xy = y / x = p x / p y και u = 20/2 y 1/2 όπου u είναι το επίπεδο ωφέλειας που προσπαθεί να πετύχει ο καταναλωτής με το ελάχιστο κόστος. Λύνοντας το σύστημα έχουμε x(p x,u) = (1/ 20)(p y / p x ) 1/2 u και y(p x,u) = (1/ 20)(p x / p y ) 1/2 u. (β) Να βρείτε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας και εξηγείστε τί εκφράζει. Απάντηση: Αντικαθιστώντας τις αντισταθμιστικές συναρτήσεις ζήτησης στις αρχικές δαπάνες που ελαχιστοποιούμε βρίσκουμε την συνάρτηση δαπανών e(p x,u) = (1/10)p 1/2 x p 1/2 y u. Αν λύσουμε την συνάρτηση δαπανών ως προς την χρησιμότητα βρίσκουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v(p x, M ) = 10M / p 1/2 1/2 x p y, που εκφράζει την μέγιστη ωφέλεια που μπορεί να πετύχει το άτομο στις τιμές p x και εισόδημα M. (γ) Ο Νίκος αντιμετωπίζει αρχικές τιμές p x = 1 = 1 και εισόδημα M=80. Οι αρχές αποφασίζουν να φορολογήσουν το αγαθό x με 3 ευρώ ανά μονάδα ενώ η τιμή του y παραμένει ίδια. Πόσα παραπάνω χρήματα θα χρειαζόταν ο Νίκος για να είναι εξίσου ικανοποιημένος με την αρχική του κατάσταση (προ της αύξησης της τιμής του x) ; Δείξτε διαγραμματικά το αποτέλεσμα υποκατάστασης και εισοδήματος που σχετίζεται με την αύξηση της τιμής του x από 1 σε 4. Προσοχή να είναι καλή και ολοκληρωμένη η σήμανση του διαγράμματος. Απάντηση: Βρίσκουμε την αρχική χρησιμότητα του Νίκου βάζοντας τις τιμές και εισόδημα στην έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας v(1,1,80) = 10 i 80 /1 1/2 i1 1/2 = 800. Τα χρήματα που χρειάζεται για να διατηρήσει αυτήν την χρησιμότητα στις νέες τιμές είναι e(4,1,800) = (1/10)i1 1/2 i1 1/2 i 800 = 160. Οπότε χρειάζεται ο Νίκος άλλα 80 ευρώ για να πετύχει την αρχική του χρησιμότητα. Στο παρακάτω διάγραμμα βρίσκουμε το αποτέλεσμα υποκατάστασης που είναι η πτώση της αντισταθμιστικής ζήτησης που επιφέρει η αύξηση της τιμής του x (δηλαδή διατηρώντας την χρησιμότητα στο αρχικό επίπεδο). Το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι η διαφορά της αντισταθμισμένης ζήτησης με την τελική ζήτηση (αντισταθμισμένη ζήτηση με τις νέες τιμές και το αρχικό εισόδημα). p y 14
15