. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Deoarece în MATLAB nu putem defini secvenţe de lungime infinită trebuie precizat domeniul de valori pentru n. Pentru a facilita definirea unor secvenţe de acest tip vom crea o funcţie MATLAB (vezi lucrarea, secţiunea..8.): function [y,impuls(li,ls,); LUCRAREA SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET.. Semnale în timp discret Un semnal în timp discret este definit prin valorile acestuia măsurate la momente discrete de timp. Semnalele în timp discret sunt reprezentate matematic prin secvenţe de numere notate: x[, n (.) În MATLAB aceste secvenţe se pot defini ca vectori linie sau coloană, având elemente reale sau complexe. O primă limitare apare din faptul că aceşti vectori sunt de lungime finită în timp ce în problemele de prelucrarea numerică a semnalelor se poate lucra cu secvenţe de lungime infinită.... Definirea semnalelor în timp discret În studiul semnalelor şi sistemelor în timp discret se utilizează câteva secvenţe de bază ce vor fi prezentate în continuare, împreună cu modul lor de definire în MATLAB. Impulsul unitate Din punct de vedere matematic este definit astfel:, n δ [, n (.) Utilizând proprietatea de deplasare în timp se poate scrie că, n n δ [ n, n n (.) 7 %IMPULS - impulsul unitate (Dirac) in timp discret, %definit pe un suport temporal finit %-sintaxe: %yimpuls(li,ls,) %[y,impuls(li,ls,) %-parametrii de iesire: %yvector linie ce reprezinta delta(n-) pe suportul %[li;ls] %nvector linie ce reprezinta suportul [li;ls] %-parametrii de intrare: %lilimita inferioara a suportului temporal; %lslimita superioara a suportului temporal; %indicele din delta(n-) %-pentru afisare: stem(n,y) if nargin< error('prea putine argumente de intrare') elseif nargin> error('prea multe argumente de intrare') if nargout> error('prea multe argumente de iesire') if li>ls error('suportul temporal este invalid') if (<li) (>ls) error('indicele nu apartine suportului temporal') Lls-li+; yzeros(,l); y(-li+); nli:ls; 8
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Utilizând funcţia MATLAB impuls creată anterior, să se definească şi să se reprezinte grafic secvenţele:. x[ δ[. x[, δ[ n ], pentru n. [y,impuls(-,,) stem(n,y),grid [y,impuls(-,,) stem(n,.*y),grid Treapta unitate Din punct de vedere matematic este definit astfel:, n u [ (.4), n < Utilizând proprietatea de deplasare în timp se poate scrie că, n n u [ n n ] (.), n < n Se poate crea de asemenea o funcţie MATLAB pentru definirea secvenţelor de tip treaptă unitate: function [y,treapta(li,ls,); %TREAPTA - treapta unitate in timp discret, definita %pe un suport temporal finit %-sintaxe: %ytreapta(li,ls,) %[y,treapta(li,ls,) %-parametrii de iesire: %yvector linie ce reprezinta u(n-) pe suportul %[li;ls] %nvector linie ce reprezinta suportul [li;ls] %-parametrii de intrare: %lilimita inferioara a suportului temporal; %lslimita superioara a suportului temporal; %indicele din u(n-) %-pentru afisare: stem(n,y) if nargin< error('prea putine argumente de intrare') elseif nargin> error('prea multe argumente de intrare') 9. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET if nargout> error('prea multe argumente de iesire') if li>ls error('suportul temporal este invalid') if (<li) (>ls) error('indicele nu apartine suportului temporal') Lls-li+; yzeros(,l); y(-li+:l); nli:ls; Să se definească şi să se reprezinte grafic secvenţele:. x [ u[. x[,7( un [ + ] un [ ]), pentru n. [y,treapta(-,,) stem(n,y),grid [y,treapta(-,,-) [y,treapta(-,,) y.7*(y-y) stem(n,y),grid E. Exerciţii: Să se definească şi să se reprezinte grafic următoarele secvenţe:. x[ δ[ δ[ n ] pentru n. x[ δ[, δ[ n ] +, δ[ n ] δ[ n+ ] pentru n. x[ un [ ] +, un [ 4], un [ + 4] pentru n 4. x4[ δ[ n ] + u[ n ] + δ[ n+ ] δ[ n 9] pentru n n n. x[ pentru n nπ nπ 6. x[ ln cos sin pentru n 7. [ ] ( ) n cos nπ x n pentru n
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET... Convoluţia liniară a semnalelor în timp discret Produsul de convoluţie liniară a două secvenţe numerice x [ şi x [ este definit astfel: [ x [ x n [ ] x[ ] x x [ n ] (.6) unde secvenţele x [ şi x [ s-au presupus a avea lungime infinită. În MATLAB secvenţele numerice sunt privite ca nişte vectori şi ţinând cont de faptul că ele sunt finite şi că indicele primului element dintr-un vector nu poate fi zero (se efectuează o indexare cu ) atunci definiţia de mai sus devine: x [ + ] x[ n ] x [ n + ] (.7) unde este maximul dintre lungimile celor două secvenţe. Sintaxa: conv(x,x) returnează ca rezultat un vector de lungime egală cu lungimea vectorului x plus lungimea vectorului x minus, ce reprezintă produsul de convoluţie liniară al celor două secvenţe definite prin vectorii x şi x. Exemplu: Să se calculeze şi să se reprezinte grafic produsul de convoluţie liniară a n secvenţelor x [ u[ u[ n ] ( n ) şi x [ (,9) ( n ). xtreapta(,,)-treapta(,,); n:; x.9.^n; xconv(x,x); subplot(,,),stem(:,x),title( x ),grid subplot(,,),stem(n,x),title( x ),grid subplot(,,),stem(:length(x)-,x),title( x ),grid.8.6.4. x.8.6.4. x. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET E. Exerciţii: Să se calculeze şi să se reprezinte grafic (ca în exemplul precedent) produsul de convoluţie liniară a următoarelor perechi de secvenţe:. x [ u[ n ] u[ n ] x [ n pentru n. [ ] sin(. ) x [ ] pentru n. [ cos(, n x [ ( ) pentru n... Transformata Fourier discretă Transformata Fourier în timp discret (DTFT Discrete Time Fourier Transform) a unei secvenţe x [ este dată de relaţia: jω jωn X ( e ) x[ e (.8) n F unde ω este pulsaţia normată: ω π. FS F este frecvenţa nenormată (exprimată în Hz) iar F S este frecvenţa de eşantionare. F Similar, frecvenţa normată este: f. FS jω Funcţia X ( e ) este periodică de perioadă π, deci este suficient să cunoaştem comportarea sa în intervalul [ π, π ) (interval de bază). Datorită faptului că această funcţie este continuă, variabila ω putând lua o infinitate de valori, nu este posibilă o implementare pe o maşină de calcul. Pentru a realiza totuşi o analiză în frecvenţă se utilizează transformata Fourier discretă TFD (DFT Discret Fourier Transform), obţinută prin discretizarea variabilei ω pe intervalul [,π ) în puncte: ω π, cu,,,. Astfel, transformata Fourier discretă a unei secvenţe x [ este dată de relaţia: 4 x π j n X [ ] xne [ ] cu,,, (.9) n
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET În figură sunt prezentate reprezentările spectrului unui semnal discret în funcţie de pulsaţie sau frecvenţă normată şi corespondenţa cu frecvenţa analogică. De asemenea se observă corespondenţa între componentele spectrale de indice calculate cu TFD şi spectrul reprezentat în pulsaţii normate. Ω S X a ( jω) -Ω max Ω max Ω S -F max F max F S / F S j X ( e ω ) -π -ω max ω max π π -. -f max f max. X ( ),..., Ω > Ω S max ω Ω F S F f F ω π S Ω[rad/s] F[Hz] ω f. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET în care se calculează transformata) este egală în acest caz cu lungimea vectorului x. dacă x este o matrice se va returna matricea y de aceeaşi dimensiune cu matricea x; coloana i din matricea y va conţine valorile transformatei Fourier discrete aplicată elementelor coloanei i din matricea x. y fft(x,) aceleaşi considerente ca în sintaxa precedentă cu deosebirea că în acest caz se specifică şi numărul de puncte în care se calculează transformata. Să se calculeze transformata Fourier discretă a secvenţei: x [ u[ u[ n ], pentru n Să se reprezinte grafic partea reală, partea imaginară, modulul şi faza transformatei Fourier discrete calculate. xtreapta(,,)-treapta(,,); Xfft(x); figure(),plot(x) // se obţine o reprezentare grafică eronată deoarece X e un vector cu valori complexe. figure(),plot(abs(x)) // calculul transformatei Fourier discrete s-a efectuat într-un număr de puncte egal cu lungimea vectorului x (vezi sintaxa de la fft); pentru o mai bună reprezentare vom efectua calculul într-un număr mai mare de puncte ( ): Xfft(x,); figure(),plot(abs(x)),grid 9 8 7 / - 6 4 În MATLAB, pentru calculul transformatei Fourier discrete se foloseşte funcţia fft. Denumirea sa reprezintă prescurtarea de la Fast Fourier Transform (transformata Fourier rapidă) şi indică faptul că este folosit pentru calcul un algoritm rapid. Sintaxe: y fft(x) dacă x este un vector se returnează un vector y de aceeaşi dimensiune cu vectorul x ce conţine valorile transformatei Fourier discrete aplicată elementelor vectorului x; lungimea transformatei Fourier (numărul de puncte 4 6 // Această reprezentare corespunde însă intervalului de frecvenţă [,π ) (pe abscisă avem numărul de puncte al vectorului X pentru că în sintaxa funcţiei plot nu s-a specificat nimic altceva). De obicei se doreşte însă reprezentarea în intervalul de bază [ π, π ). Având în vedere faptul că funcţia este periodică de perioadă π atunci reprezentarea din intervalul [ π,) corespunde cu reprezentarea din intervalul [ π,π ). Prin urmare trebuie realizată o inversare a 4
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET celor două jumătăţi ale vectorului X. Acest lucru se realizează în MATLAB prin utilizarea comenzii fftshift (schimbă între ele cele două jumătăţi ale unui vector). În plus, pentru a avea pe abscisă reprezentarea în intervalul [ π, π ) trebuie generat un vector cu pas liniar care să conţină în intervalul respectiv un număr de elemente egal cu lungimea transformatei Fourier discrete calculate: w-pi:*pi/:pi-*pi/; figure(4),plot(w,fftshift(abs(x))),grid 9 8 7 6 4-4 - - - 4 // În figura 4 s-a reprezentat spectrul de amplitudini iar în figura se va reprezenta spectrul de fază calculat cu ajutorul funcţiei angle(). figure(),plot(w,fftshift(angle(x))),grid - - - -4 - - - 4 // În final putem reprezenta părţile reală şi imaginară ale TFD observăndu-se simetria, respectiv antisimetria acestora. figure(6) subplot(,,),plot(w,fftshift(real(x))),grid subplot(,,),plot(w,fftshift(imag(x))),grid - -4 - - - 4 - - -4 - - - 4. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Observaţii: Reprezentarea spectrelor a fost făcută în funcţie de pulsaţia normată ω [ ππ, ). Valorile calculate în Xfft(x,) reprezintă spectrul calculat în ω π, cu,,,. Astfel, numărul de puncte în care se calculează fft determină rezoluţia spectrală. Cu cât este mai mare cu jω atât aproximarea spectrului de frecvenţe continue X ( e ) este mai bună. Dacă lungimea secvenţei x [ este mai mică decăt, secvenţa se completează cu zeroruri, spectrul calculat reprezentând convoluţia între spectrul secvenţei de lungime infinită şi spectrul funcţiei poartă de lungime egală cu a secvenţei date. Spectrul calculat cu funcţia fft poate fi reprezentat şi în funcţie de o indicele TFD:,,,. F ω o frecvenţa normată: f, f [.,.). FS π f -.:/:.-/; o frecvenţa nenormată F f F [Hz]. F [ F /, F / ). E. Exerciţii:. a) Să se genereze secvenţa discretă s[ n ] obţinută prin eşantionarea cu frecvenţa de eşantionare F S 8Hz a semnalului s() t sin( πft ) de frecvenţă F Hz şi durată t MAX 4ms. Câte eşantioane are secvenţa discretă? b) Să se calculeze TFD a secvenţei în 6 puncte cu funcţia fft. c) Să se reprezinte spectrul de amplitudini (modulul TFD) în funcţie de :- d) Să se reprezinte spectrul de amplitudini în pulsaţii normate ω [ ππ, ) e) Să se reprezinte spectrul de amplitudini în frecvenţe normate f [.,.) f) Să se reprezinte spectrul de amplitudini în frecvenţe nenormate [Hz] g) Să se reprezinte cu subplot spectrul de amplitudini şi de fază în funcţie de frecvenţa normată. h) Să se reprezinte cu subplot partea reală şi partea imaginară în funcţie de frecvenţa normată. Fiecare spectru va fi reprezentat într-o figură separată (funcţia figure()). Graficul va fi completat cu funcţiile: grid, title şi xlabel.. Pentru programul de la exerciţiul anterior modificaţi pe rând următorii parametri şi explicaţi schimbările apărute în reprezentarea spectrului semnalului. a) Frecvenţa semnalului F Hz. b) umărul de puncte al TFD 4 (pentru semnalul iniţial cu F Hz ). 6 S Es Es
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET.. Sisteme în timp discret Un sistem în timp discret transformă secvenţa de intrare x [ într-o altă secvenţă de ieşire y [. otând S { }, operatorul sistemului, acesta este descris matematic prin relaţia: y[ S{ x[ } (.) Reprezentarea simbolică a unui sistem în timp discret este următoarea: Pentru un sistem în timp discret, liniar şi invariant în timp (SDLIT) se numeşte funcţie pondere sau răspuns la impulsul unitate, secvenţa care se obţine la ieşirea sistemului dacă la intrare s-a aplicat impulsul unitate δ [: h[ S{ δ[ } (.) Astfel, un alt mod de a reprezenta simbolic un sistem în timp discret este: Răspunsul y [ al unui SDLIT la orice secvenţă x [, poate fi determinat prin convoluţie dacă se cunoaşte răspunsul la impulsul unitate h [: y [ x[ h[ x[ ] h[ n ] (.) SDLIT pot fi reprezentate prin ecuaţii cu diferenţe finite cu coeficienţi constanţi, care dau legătura între secvenţa de intrare şi cea de ieşire: x [ y [ S { } x [ y [ h [ 7 M a y[ n ] b x[ n ] (.) Pentru analiza în frecvenţă a SDLIT reamintim formula pentru transformata Z a unei semnal în timp discret x [: n X ( z) x[ z (.4) n. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Pentru un SDLIT se numeşte funcţie de sistem sau funcţie de transfer H (z), raportul între transformatele Z ale secvenţei de ieşire (răspunsul y [) şi secvenţei de intrare (excitaţia x [), reprezentând de fapt transformata Z a funcţiei pondere h [: Z{ y[ } Y ( z) H ( z) Z{ h[ } (.) Z{ x[ } X ( z) Ţinând cont de ecuaţia cu diferenţe finite şi de proprietatea de întârziere a transformatei Z ( Z { x[ n ]} z X ( z) ), funcţia de sistem H (z) se mai poate scrie astfel: M b z + a z H ( z) (.6) în care s-a presupus că a. Rădăcinile polinomului de la numărător se numesc zerourile funcţiei de transfer iar rădăcinile polinomului de la numitor se numesc polii funcţiei de transfer. Pentru ca un sistem cauzal să fie stabil polii trebuie să fie situaţi în interiorul cercului de rază unitate (modulul lor să fie subunitar).... Răspunsul la impuls al unui SDLIT Funcţia MATLAB impz permite determinarea şi afişarea răspunsului la impuls (funcţia pondere) h [ a unui SDLIT dacă se cunosc coeficienţii a şi b din ecuaţia cu diferenţe finite sau din expresia funcţiei de transfer H (z). Sintaxe: [h,t] impz(b,a) vectorul b conţine coeficienţii b ( b [ b, b,..., b M ] ) iar vectorul a conţine coeficienţii a ( a [, a, a,..., a ] ); se vor returna un vector coloană h care va conţine valorile eşantioanelor răspunsului la impuls al sistemului, h [, şi un vector coloană t ce va conţine momentele de pe axa timp (abscisa), alese în mod implicit, în care au fost calculate valorile eşantioanelor; parametrul de ieşire t poate să lipsească din sintaxă în cazul în care ne interesează doar răspunsul la impuls h. 8
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET [h,t] impz(b,a,n) se precizează numărul de puncte n în care se doreşte a fi calculat răspunsul la impuls h; vectorul coloană t va conţine valorile acestor puncte (acestea vor fi,,,..., n-); parametrul de ieşire t poate să lipsească din sintaxă în cazul în care ne interesează doar răspunsul la impuls h. impz(b,a),grid.4..8.6.4 [h,t] impz(b,a,n,fs) aceleaşi considerente ca în sintaxa precedentă cu deosebirea că cele n valori din vectorul t vor fi distanţate cu pasul /Fs (, /Fs, /Fs,..., (n-)/fs). [h,t] impz(b,a,[],fs) aceleaşi considerente ca în sintaxa precedentă cu deosebirea că se alege în mod implicit numărul de puncte în care se calculează răspunsul la impuls h. impz(b,a,...) reprezintă grafic răspunsul la impuls calculat; punctele de suspensie au fost introduse pentru a sugera faptul că se poate folosi oricare combinaţie a parametrilor de intrare din sintaxele precedente. Să se determine şi să se reprezinte grafic funcţia pondere a unui SDLIT definit prin:. y [,9 y[ n ],x[ +,6x[ n ] +,6x[ n ] +,z. H ( z),8cos( π /6) z +,8z b[.,.6,.6]; a[,-.9]; // s-au definit vectorii b şi a ce conţin valorile coeficienţilor b şi a din ecuaţia cu diferenţe finite. [h,t]impz(b,a); // s-a calculat răspunsul la impuls al sistemului. size(h) ans 9 size(t) ans 9 // se verifică faptul că h şi t sunt vectori coloană (vezi sintaxa) cu 9 de elemente fiecare. Se poate verifica, tastând în fereastra de comenzi t urmat de enter, că valorile vectorului t sunt,,, 9. Pentru reprezentarea grafică se poate proceda în două moduri: 9 stem(t,h),grid // se va obţine acelaşi rezultat grafic.. 4 6 7 8 9 În mod asemănător procedăm şi pentru cel de al doilea exemplu: b[,.]; a[,-.8*cos(pi/6),.8]; himpz(b,a); // vectorul coloană h va contine valorile eşantioanelor răspunsului la impuls al sistemului definit prin funcţia de transfer H (z) din exemplu. impz(b,a),grid 4-4 6 7 8 9... Răspunsul unui SDLIT la un semnal de intrare Funcţia MATLAB filter permite determinarea răspunsului y [ al unui SDLIT dacă se cunosc coeficienţii a şi b din ecuaţia cu diferenţe finite sau din expresia funcţiei de transfer H (z) şi semnalul de intrare în sistem x [. Sintaxe: y filter(b,a,x) dacă x este un vector atunci se returnează un vector y de aceeaşi dimensiune cu vectorul x; vectorul x conţine valorile semnalului de intrare în filtru (excitaţia); vectorul b conţine coeficienţii b ( b [ b, b,..., b M ] ) iar vectorul a conţine coeficienţii a ( a [, a, a,..., a ] ); dacă primul element din vectorul a este diferit de atunci funcţia filter normează 4
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET coeficienţii a ai sistemului la valoarea primului element din vectorul a (astfel primul element din vectorul a devine ); vectorul obţinut y reprezintă răspunsul sistemului definit de coeficienţii din vectorii b şi a, dacă la intrare este aplicată secvenţa definită de vectorul x. dacă x este o matrice atunci se returnează o matrice y de aceeaşi dimensiune cu matricea x; funcţia filter va opera în acest caz pe coloane: coloana din matricea y reprezintă răspunsul sistemului definit de coeficienţii din vectorii b şi a, dacă la intrare este aplicată coloana din matricea x. Să se determine şi să se reprezinte grafic răspunsul unui sistem definit prin:. y [,9 y[ n ],x[ +,6x[ n ] +,6x[ n ] +,z. H ( z),8cos( π /6) z +,8z la semnalul de intrare x [ u[ u[ n ], pentru n 4. b[.,.6,.6]; a[,-.9]; // vectorii b şi a conţin valorile coeficienţilor b şi a. xtreapta(,4,)-treapta(,4,); // s-a definit vectorul x corespunzător secvenţei de intrare. yfilter(b,a,x); // s-a calculat răspunsul sistemului la secvenţa de intrare definită prin vectorul x. n:4; subplot(,,),stem(n,x),grid,title( x[ ) subplot(,,),impz(b,a),grid,title( h[ ) subplot(,,),stem(n,y),grid,title( y[ ). h[ 4.. În mod asemănător procedăm şi pentru cel de al doilea exemplu: b[,.]; a[,-.8*cos(pi/6),.8]; 4 x[ 4 y[ 6 7 8 9 4. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET yfilter(b,a,x); subplot(,,),stem(n,x),grid,title( x[ ) subplot(,,),impz(b,a),grid,title( h[ ) subplot(,,),stem(n,y),grid,title( y[ )... Răspunsul în frecvenţă al SDLIT. h[ 4 Funcţia MATLAB freqz permite determinarea răspunsului în frecvenţă al unui SDLIT dacă se cunosc coeficienţii a şi b din ecuaţia cu diferenţe finite sau din expresia funcţiei de transfer H (z). Dacă este apelată fără parametrii de ieşire, cum se va vedea în sintaxă, această funcţie reprezintă grafic caracteristicile de amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale SDLIT respectiv. Sintaxe: [H,W] freqz(b,a,n) vectorul b conţine coeficienţii b ( b [ b, b,..., b M ] ), vectorul a conţine coeficienţii a ( a [, a, a,..., a ] ), iar n reprezintă numărul de puncte în care se calculează răspunsul în frecvenţă H; vectorul W va conţine valorile acestor n puncte (valorile vor fi cuprinse între şi π); este recomandat să se aleagă n putere a lui (pentru a permite un calcul eficient folosind un algoritm FFT rapid); dacă n nu se specifică se alege în mod implicit. [H,F] freqz(b,a,n,fs) această sintaxă permite specificarea unei valori pentru frecvenţa de eşantionare Fs (în Hz); vectorul F va conţine valorile celor n puncte în care se calculează răspunsul în frecvenţă H (în acest caz valorile acestor puncte vor fi cuprinse între şi Fs/); [H,W] freqz(b,a,n, whole ) 4 x[ - 4 y[ 6 7 8 9 4-4
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET aceleaşi considerente ca în cazul primei sintaxe cu deosebirea că valorile celor n puncte de calcul, conţinute în vectorul W, vor fi cuprinse între şi π; dacă n nu se specifică se alege în mod implicit. [H,F] freqz(b,a,n, whole,fs) aceleaşi considerente ca în cazul celei de a doua sintaxe cu deosebirea că valorile celor n puncte de calcul, conţinute în vectorul F, vor fi cuprinse între şi Fs; dacă n nu se specifică se alege în mod implicit.. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET.8.6.4..... - - - -4.... H freqz(b,a,w) răspunsul în frecvenţă H se calculează la frecvenţele specificate în vectorul W; valorile acestor frecvenţe trebuie să fie cuprinse între şi π; dacă W nu se specifică se aleg în mod implicit valori de frecvenţă. figure()freqz(b,a) Magnitude Response (db) - -4-6 -8....4..6.7.8.9 ormalized frequency (yquist ) H freqz(b,a,f,fs) răspunsul în frecvenţă H se calculează la frecvenţele specificate în vectorul F; valorile acestor frecvenţe trebuie să fie cuprinse între şi Fs (frecvenţa de eşantionare în Hz). freqz(b,a,...) reprezintă grafic caracteristicile amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale răspunsului în frecvenţă calculat; punctele de suspensie au fost introduse pentru a sugera faptul că se poate folosi oricare combinaţie a parametrilor de intrare din sintaxele precedente. Să se determine răspunsul în frecvenţă al SDLIT definite prin:. y [ +,9 y[ n ],x[ +,6x[ n ] +,x[ n ].64.64z. H ( z).68z Să se reprezinte grafic caracteristicile amplitudine-frecvenţă şi fază-frecvenţă ale răspunsului în frecvenţă calculat. b[.,.6,.]; a[,.9]; [H,W]freqz(b,a); // s-a calculat răspunsul în frecvenţă H în puncte de frecvenţă cuprinse în intervalul [, π ]. Reprezentările grafice cerute se pot realiza în două moduri: figure() subplot(,,),plot(w,abs(h)),grid subplot(,,),plot(w,angle(h)),grid 4 Phase (degrees) -....4..6.7.8.9 ormalized frequency (yquist ) În mod asemănător procedăm şi pentru cel de al doilea exemplu: b[.64,,-.64]; a[,,-.68]; [H,W]freqz(b,a); freqz(b,a) - - -..4. Diagrama poli-zerouri pentru funcţia de sistem a unui SDLIT Funcţia MATLAB zplane permite afişarea diagramei poli-zerouri în cazul funcţiei de sistem a unui SDLIT dacă se cunosc valorile polilor şi zerourilor sau dacă se cunosc doar coeficienţii a şi b din ecuaţia cu diferenţe finite sau din expresia funcţiei de transfer H (z). Sintaxe: zplane(z,p) dacă z şi p sunt doi vectori coloană ce conţin valorile zerourilor şi respectiv polilor funcţiei de transfer H( z) atunci se va afişa diagrama poli-zerouri, marcând zerourile cu semnul o iar polii cu semnul x ; dacă există poli sau zerouri multiple, acestea vor avea înscris, lângă semnul respectiv şi ordinul de multiplicitate. dacă z şi p sunt două matrice afişarea diagramei poli-zerouri se va face pentru fiecare coloană în parte cu culori diferite. zplane(b,a) 44
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET dacă b şi a sunt doi vectori linie ce conţin valorile coeficienţilor b şi a atunci se va afişa diagrama poli-zerouri a funcţiei de transfer H() z (calculându-se rădăcinile polinoamelor de la numărătorul şi numitorul funcţiei de sistem). Reprezentarea polilor şi zerourilor unei funcţii de sistem (diagrama polizerouri) se face în planul Z, în raport cu cercul de rază unitate, având pe abscisă partea reală şi pe ordonată partea imaginară. Fiind privite deci ca numere complexe, valorile respective pot fi exprimate în formă polară sau formă carteziană. Orice număr complex z poate fi exprimat în formă polară astfel: ϕ z z e j în care: - z modulul numărului complex z ; - ϕ argumentul (faza) numărului complex z ; În formă carteziană numărul complex z se exprimă sub forma: (.7) z real( z) + j imag( z) (.8) imag{z} Im z ϕ - real{z} z Re. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Dacă se doreşte determinarea valorilor coeficienţilor b şi a, având valorile polilor şi zerourilor funcţiei de sistem, putem utiliza funcţia MATLAB poly, care calculează coeficienţii unui polinom dacă sunt precizate rădăcinile acestuia. Verificaţi sintaxele celor două funcţii folosind comanda help. π j. Funcţia de transfer a unui SDLIT are un zerou de valoare r e. Ştiind că π această funcţie are zerouri şi în r j,, r şi are doi poli în q e şi q să r se reprezinte diagrama poli-zerouri şi să se scrie forma nefactorizată a funcţiei de transfer (să se găsească valorile coeficienţilor b şi a ). r/*exp(j*pi/); q/*exp(j**pi/); z[r;conj(r);/r;/conj(r)]; p[q;conj(q)]; // s-au definit vectorii coloană z şi p (vezi sintaxa) ce conţin valorile zerourilor şi respectiv polilor funcţiei de transfer. zplane(z,p) Imaginary part.. -. - -. - Reprezentarea în planul Z a unui număr complez z Atenţie: În cazul în care dispunem de valorile coeficienţilor b şi a şi dorim să determinăm valorile polilor şi zerourilor funcţiei de sistem respective se poate utiliza funcţia MATLAB roots, care calculează rădăcinile unui polinom dacă sunt precizaţi coeficienţii acestuia. 4 - -. - -... Real part // s-a reprezentat diagrama poli-zerouri. bpoly(z) b. -.. -.. apoly(p) a... // s-au calculat valorile coeficienţilor b şi a ai funcţiei de sistem. Forma nefactorizată a acestei funcţii va fi: 4,z +,z,z + z H ( z),z + z 46
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET. Să se reprezinte diagramele poli-zerouri pentru sistemele în timp discret definite prin: +,z a. funcţia de transfer: H ( z),8cos( π /6) z +,8z ( +,z ) b. funcţia de transfer: H ( z),8cos( π /6) z +,8z c. ecuaţia cu diferenţe finite: y [ +.y[ n ] +.y[ n ] +.y[ n 4],x[ +,6x[ n ] +,6x[ n ] b[,.]; a[,-.8*cos(pi/6),.8]; zplane(b,a) b[,,.]; zplane(b,a) // se observă ordinul de multiplicitate ale zeroului. b[.,.6,.6]; a[,.,,.,.]; zplane(b,a) Imaginary part Imaginary part Imaginary part.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 -.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 - - -.. Real part - -.. Real part. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET E4. Exerciţii: Se dau următoarele SDLIT definite prin:. y [ x[,7x[ n ] +,8x[ n ],x[ n ] +,x[ n 4]. y [ +,9 y[ n ] x[. y [ +,y[ n ] +,y[ n ] +,y[ n ],6x [,48x[ n ] +,48x[ n ],6x[ n ] 4. y [ +,9 y[ n ],x[ +,6x[ n ] +,x[ n ]. (,z +,z,7z H z) 4,8z +,64z,4z +,4z 6. H ( z),77z +,44z 4 7 7. H ( z),7z +,8z,z +,z,z La intrarea acestor sisteme se pot aplica oricare din semnalele de intrare de mai jos: I. x[ δ[ pentru n 4 II. x [ u[ pentru n 4 n, n III. x[ n, n IV. 4 [ ] sin nπ x n pentru n a) Să se determine răspunsul acestor sisteme la semnale de intrare I IV şi să se reprezinte grafic în domeniul timp (folosind subplot) semnalul de intrare, funcţia pondere a sistemului şi semnalul de ieşire. b) Pentru fiecare caz analizat să se reprezinte grafic în domeniul frecvenţă (folosind subplot) semnalul de intrare, funcţia de transfer a sistemului şi semnalul de ieşire. c) Să se reprezinte diagramele poli-zerouri asociate sistemelor 7. Tema de casă. Pentru semnalele primite ca tema la lucrarea să se calculeze transformata Fourier discretă folosind funcţia fft. Obs. Semnalul de tip dreptunghiular multinivel aleator se va înlocui cu semnal multinivel periodic (obţinut prin repetarea aceleiaşi succesiuni de niveluri). Semnalul 8 de tip sinusoidal de frecvenţă variabilă se va înlocui cu un semnal sinusoidal de perioadă. ms şi amplitudine limitat superior la valoarea maximă. 47 - -.. Real part 48
. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET Lungimea a TFD va fi aleasă o putere a lui (8, 6, sau 4) mai mică decât lungimea secvenţei. Să se reprezinte grafic: ) Spectrul de amplitudini a) În funcţie de indicele al TFD calculată. -. b) În funcţie de pulsaţii normate [-π, π]. c) În funcţie de frecvenţa normată [-.,.]. d) În funcţie de frecvenţa nenormată [-Fs/ Fs/]. ) Spectrul de amplitudini în db în funcţie de frecvenţe normate. ) Spectrul de faze în funcţie de frecvenţe normate. Să se reia reprezentarea spectrelor pentru lungimea a TFD aleasă astfel ca să îndeplinească condiţia T FS, ( să fie de ordinul sutelor, mai mic decât lungimea secvenţei). Explicaţi diferenţele care apar între spectre în cele două situaţii (deşi se reprezintă spectrul aceluiaşi semnal).. a) Să se genereze următorul semnal discret: x[ s[ + v[ unde v[ este un semnal aleator cu distribuţie normală (gaussiană). s[ este un semnal sinusoidal de amplitudine şi frecvenţa F aleasă aleator în intervalul [F S /, F S /]. Frecvenţa de eşantionare F S 8Hz. Să se reprezinte semnalul x[ în domeniul timp şi spectrul semnalului în frecvenţe nenormate şi în pulsaţii normate. Identificaţi din spectru pulsaţia ω corespunzătoare frecvenţei F a componentei sinusoidale de la intrare.. SEMALE ŞI SISTEME Î TIMP DISCRET b bz bz c) Se consideră sistemul discret cu funcţia de transfer H( z) + + + az + az având zerourile z determinate la punctul b) şi polii de forma p ρz,.7<ρ< (polii au acelaşi argument ca zerorurile dar sunt de modul subunitar). Determinaţi expresia teoretică a coeficienţilor şi scrieţi expresiile H(z) j şi He ( ω ). Calculaţi toate zerourile şi toţi polii funcţiei H(z) şi reprezentaţi grafic diagrama poli/zerouri. Se va alege.7<ρ<. Reprezentaţi grafic răspunsul în frecvenţă al sistemului. Cum se modifică răspunsul în frecvenţă dacă polii se apropie de cercul de rază unitate (ρ )? Reprezentaţi grafic răspunsul la impuls al sistemului. Calculaţi ieşirea sistemului dacă la intrare se aplică semnalul x[. Reprezentaţi spectrul semnalului de la ieşire în frecvenţe nenormate şi în pulsaţii normate.. Reluaţi problema înlocuind semnalul v[ cu un semnal vocal. (se va folosi exemplul din arhiva demo.zip aflată pe site-ul laboratorului). b) Se consideră sistemul discret cu funcţia de transfer H ( z) b + bz + bz având atenuare infinită în ω determinat la punctul a). Atenuare infinită j înseamnă câştig adică He ( ω j ) deci z e ω este zerou al lui H(z). Determinaţi zerourile astfel încât funcţia H(z) să aibă coeficienţi reali şi j scrieţi expresiile teoretice ale lui H(z) şi He ( ω ). Reprezentaţi grafic diagrama poli-zerouri. Reprezentaţi grafic răspunsul în frecvenţă al sistemului. Reprezentaţi grafic răspunsul la impuls al sistemului. Calculaţi ieşirea sistemului dacă la intrare se aplică semnalul x[. Reprezentaţi spectrul semnalului de la ieşire în frecvenţe nenormate şi în pulsaţii normate. 49