ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΔΙΑΤΑΞΗ. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ < δ, να αποδείξετε ότι: i) α + γ < β + δ ii) α - δ < β - γ iii) δ - α > γ β. Αν α, β, γ, δ θετικοί, α < β και γ > δ, να αποδείξετε ότι: i) 3α+ δ<3β+ γ ii) α - γ < β - δ iii) γ - 3α > δ - 3β 3. Αν α, β, γ, δ θετικοί, να αποδείξετε ότι: i) ii) 4. Αν, y, z πραγματικοί αριθμοί με y z να δειχτεί ότι : ( y)( y z)( z ) 0. 5. Αν α < < β να δείξετε ότι: i. (α-)(β-)(α-β)>0 ii.. α +β > αβ + α 6. Αν α < β να δείξετε ότι: α(α -) > -β. 7. i) Αν α, β θετικοί και β > > α, να αποδείξετε ότι α - β < αβ -. ii ) Αν α 3 + α + α, να αποδείξετε ότι α -. 8. Αν > να δείξετε ότι: i. > ii. 3 + > + 9. Αν a 3 β,να δειχτεί ότι : a β 3a 3β 9 0. 0. Αν α β γ, να δειχτεί ότι : 3. Aν 3α<β να αποδείξετε ότι : 4 3 y. Αν,y θετικοί αριθμοί να αποδειχθεί ότι: ( y) 3. Αν α<β και γ<δ, τότε να αποδείξετε ότι : α-δ<β-γ. 4. Αν α>β>γ τότε να δείξετε ότι : (α-β)(β-γ)(γ-α)<0 5. Αν είναι να αποδείξετε ότι: 5 6 3 6. Αν είναι 3 5 4 να αποδείξετε ότι: 7. Αν > τότε 3 > -+ 8. Αν α, β> 0 και α > β να δείξετε ότι: α > β 9. Αν 4,να δειχτεί ότι : 3 4 3. 74
0. Αν > να δείξετε ότι: i) ii). Αν α > β > 0 να δείξετε ότι: i. iii) a ii.. Αν είναι 0, να βρεθεί το πρόσημο της παράστασης: i ) ii ) 3 iii ) 3 iv ) 3. Για τους θετικούς αριθμούς α,β,γ,δ, να αποδείξετε ότι : 4. Να αποδείξετε ότι είναι μη αρνητική η παράσταση : i) 4 4 ii) iii) 4 4 iv) v) 6 5 vi) 4 4 3 3 5. Να αποδείξετε ότι για κάθε, R ισχύει : i) 4 ii) iii) v) 8 5 iv) 5 5 8 0 4 vi) 0 vii) 3 5 viii) 8 4 6. Να αποδείξετε ότι: i) ii)3( a ) a ( ) iii )( ) ( ) (3 ) 7. Να δείξετε ότι: α +β -4α + 6β -3 8. Να αποδείξετε ότι: i. (α +β )( +y ) (α + βy) ii. 0 ( + y ) (0 + y) a 9. Να δείξετε ότι: 30. Αν α, β > 0 να δείξετε ότι: 4 3. Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: ( 3) i) ii) iii) iv) 4 4 75
3. Αν α,β,γ είναι θετικοί αριθμοί,τότε να δείξετε ότι : i)α +α ii) (α +)(β +)(γ +) 8αβγ 33. Αν α,β,γ είναι θετικοί αριθμοί,τότε να δείξετε ότι : α 3 +β 3 +γ 3 3αβγ 34. Να δείξετε ότι α +γ β(α-β+γ). 35. i)αν α,β είναι ομόσημοι αριθμοί τότε να αποδείξετε ότι : α β β α ii) Αν α,β,γ>0 και α+β+γ=3,να δείξετε ότι : 3 α β γ iii) Αν α,β,γ>0,να δείξετε ότι :(α + β + γ) 9 36. Να αποδείξετε ότι: y z 4 4y 6z 37. Αν, y, α θετικοί και y<, να αποδείξετε ότι y y a 38. Αν α, β, γ θετικοί, να αποδείξετε ότι Σύνθετες αποδεικτικές ασκήσεις 39. Αν α+β= να δειχθεί ότι α +β 40. Αν α - β = 3 να δείξετε ότι: α + β 9 4. Αν α, β > 0 και α + β = να δείξετε ότι: i) β < ii)αβ (πότε ισχύει το =) iii) α +β 4. Να αποδείξετε ότι για κάθε, R ισχύει : i) 4 4 0, ii) 4 4 3 3 iii) 5 7 3 0, iv) 3 3 0 v), vi) vii) 0 5 6 0 0 4 43. Να αποδείξετε ότι: i) α + β + γ α(β + γ) ii) α + β + γ αβ + βγ + γα iii) α + β + αβ + β + α iν) α + β + γ > (α + β + γ) 3 76
44. Να αποδείξετε ότι: 3 3 3 i) α 4 + α 3 β + αβ 3 + β 4 0 ii) αν α + β > 0, τότε iii) (α 3 + β 3 ) (α + β ) 3 iν) α 4 - α 3 β + α β - αβ 3 + β 4 0 ν) αν α < β < γ, τότε αγ + β < αβ + βγ 45. Να αποδείξετε ότι αν α, β, γ, δ > 0, τότε: i) (αβ + γδ)(αγ + βδ) 4αβγδ ii) (α + β )(γ + δ ) (αγ + βδ) iii) (α 7 + β 7 ) (α 3 + β 3 )(α 4 + β 4 ) 46. Να δείξετε ότι: i) -4 + 5>0 ii)α +α + 3>0 iii) α +β -α + 0 iv) α +β -αβ + α + 0 47. Να αποδείξετε ότι: y i) αν,y > 0, τότε y y ii) 0 3 iii) 0 3 48. Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό είναι: i) ii) 6 3 49. Αν 0 < α < β, να αποδείξετε ότι a a 50. i) Να αποδείξετε ότι 3(αβ + βγ + γα) (α + β + γ) 3(α + β + γ ). Η ανισότητα αυτή πότε ισύει ως ισότητα ; ii)να αποδείξετε ότι ( )( ) 5. Να αποδείξετε ότι: i)( + y)( + 9y) > 6y ii)( + y)( + 6y) > 5y iii) ( + y)( + 4y) > 7y. Στην τελευταία ανισότητα πότε ισύει το ίσον; 5. Αν οι α, β, γ είναι διαφορετικοί ανά δύο, να βρείτε ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιούν ώστε να ισχύει α 3 + β 3 + γ 3 > 3αβγ. 53. i) Αν + y > και > y, να αποδείξετε ότι - y > - y. ii) Ποια σέση πρέπει να ικανοποιούν οι, y ώστε να ισύει - y < y ; 54. i) Αν α > β > 0, να αποδείξετε ότι α 3 - β 3 > (α - β) 3. 77
ii) Αν α > β >, να αποδείξετε ότι α 3 - β 3 > 3(α - β). 55. i) Να τρέψετε σε γινόμενο καθεμία από τις παραστάσεις + - και 3 + + - 3. ii) Να αποδείξετε ότι: α) αν > -, τότε 3 - > 3( - ) β) 4 ->4(-) 56. Αν α >β, να αποδείξετε ότι α 3-3β 3 > 3α β - 5αβ. 3 57. Αν 0 < α < β < γ, να αποδείξετε ότι 58. Αν α, β θετικοί ακέραιοι και ισχύει α + β < 6 και α - β >, να υπολογίσετε τους α, β 59. Αν ισχύουν οι ανισότητες -y<z + (), y + z<-l (), 4-y<z+ (3) να υπολογίσετε τον. 60. Αν -, να αποδείξετε ότι. Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι αν, ό 0 6. Να αποδείξετε ότι: i) 3( + α + α 4 )>(+α + α ) ii) α 4 + β 4 + 8α β - 8α 3 β - 8αβ 3 >0 iii) 8αβ( - αβ) < ( + α )( + β ). Πότε ισχύει η ισότητα; 6. Να αποδείξετε ότι: i) αν α β>0,τότε ( a ) 4 ii) αν α, β >0 και α β =,τότε (+α)(+β) 4 iii) αν α, β > 0 και α + β =, τότε 4 iv) αν α + β + γ = 0, τότε αβ + βγ + γα 0. 63. Να αποδείξετε ότι : i ii ) 0 ) 0 64. Να δείξετε ότι: i) 4 5 0 ii) 65. Αν ν φυσικός αριθμός να δειχθεί β 6β 0 ν ν 3 6 ν 4 66. Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου,να αποδείξετε ότι : 78
i) ( ) ii)( ) 4 67. Αν α < β+γ, β<α+γ και γ < α+β,να αποδείξετε ότι οι α,βγ είναι θετικοί αριθμοί Σύγκριση αριθμών 68. Αν < -, να συγκρίνετε τις παραστάσεις Α = 3 + και Β = +. 69. Αν α > β > 0, να συγκρίνετε τις παραστάσεις : A 70. Αν είναι, να συγκριθούν οι αριθμοί: i ), ii ) 3, iii ), iv ) 5, 6 7. Αν 0 < < y να διατάξετε κατά σειρά μεγέθους τους αριθμούς: y, y, y. y 7. Αν για τους αριθμούς α, β ισχύει ότι: α < β < - να διατάξετε στη σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: i) α, β, α-,β + ii) α, β, (α-), (β + ) 73. Αν α > 0 να διατάξετε σε μια σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: a 8 a 3, a 6 a 7, a 6 a 5. 74. Αν α<- και β>- i. να συγκρίνετε τους αριθμούς: αβ +, -α - β ii. να δείξετε ότι: α + β 3 > 3 75. Αν είναι, να συγκριθούν οι αριθμοί: i ), ii ) 3, 3 iii ) 5, 3 7 76. Αν είναι, να συγκριθούν οι αριθμοί: i ), ii ), iii ) 3, 4 iv ), 77. Αν >0 να συγκριθούν οι αριθμοί : και 78. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί,y για τους οποίους ισχύει <<y. Να γράψετε σε μια σειρά από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο τους αριθμούς, y, (y+), (-). 79. Αν 65 και 7 5 5, να αποδειχθεί ότι. 80. Αν α, β, γ<0,, y<0 και ισχύουν οι σχέσεις: 5α = 7β = 3γ, 3y = 5, να διατάξετε τους αριθμούς α, β, γ,, y από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. 79
8. Αν α, β, γ αρνητικοί αριθμοί και ισχύει: 5α=6β=7γ να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους α, β, γ. 8. Αν α,β,γ πλευρές τριγώνου,να συγκρίνετε τις παραστάσεις : i) ( ) ii) ( ) iii) a ( ) ό : 0 83. Να αποδείξετε ότι: i) 5 4 0 ii) 0 5 5 iii) 4 4 0 και 0 84. Να λυθεί η εξίσωση: i) iii) ii) y y ( 4) ( y ) 0 ( y) ( y ) 0 0 iv) 4 0 85. Να λυθεί η εξίσωση: i) y 6 4y 3 0 ii) y 5y 0 86. Να αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει : i) ( 4) ( ) 0, ii) ( ) ( ) 0 iii) 60 0, iv) 3 3 0 87. Να βρείτε για ποιες τιμές των, y R ισχύει : i) ( ) ( y ) 0 ii) ( ) ( y) 0 88. Να αποδείξετε ότι για κάθε, y R ισχύει : i) y y 0 ii) 5 5y 8y 0 iii) 0 68 0 iv) y y y 0 89. Αν, να αποδείξετε ότι y y 4 y 4 0 90. Αν ισχύει η σχέση: +y - + 4y + 3 = 0 να υπολογίσετε τους και y. 9. Αν α +β -γ(α+β)+5γ 0 να αποδείξετε ότι: α= =γ 9. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: i) +y -(-y) + =0 ii) + y +l3 =(3y-) iii) + y =4(y-) iv) (+5) +(y-) =4(+y+). 80
93. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: i) +y +4=4+y ii) +9y =-9-6(-y) iii) + y +0 =(-3y) 94. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: i) +y +z +6=(-y+z) ii) 3 +y +z +4=(y-z+) 95. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: i. +y -0 + 4y -9 ii. +l + y- + y 0 96. i)να αποδείξετε ότι : + y +5 (-y) ii)πότε ισχύει η ισότητα στην παραπάνω σχέση; 97. Να βρείτε τους αριθμούς, y ώστε: i) +y +0 4(y-) ii) (+) + y + 4-3(y+3) iii) + y +9 (3-y) 98. i)aν ισχύει : +y +z =y(+z), να αποδείξετε ότι =y=z ii) Aν ισχύει : +y +z =y+z+z, να αποδείξετε ότι =y=z Μεταβατική Ιδιότητα 99. Αν > και y > 3 να δείξετε ότι: i. y > 3 ii. y + 3 > 3 + y iii. y 3 00. Αν >, y > και z > 3y να δείξετε ότι: z > 3 Ελάχιστη και μέγιστη τιμή παραστάσεων 0. Aν ισχύει <y και 0 < z < ω,να δείξετε ότι: y z 8
0. Αν ισχύει 0<< και -<y<,να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι τιμές των y παραστάσεων +y -y, +3y, -y, 03. Αν ισχύει 3 0 < Α < και < Β <, να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι 5 παραστάσεις: i)a B ii) -5A B 04. Αν ισχύει 6 < Α < 3 και 4 < Β < τότε: να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i)3a ii) -Β iii) 3A-B 05. Αν ισχύει < α : α) Να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i)α ii) a β)nα δείξετε ότι: 3 5 a 3 4 a 06. Αν ισχύει α < να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: a i) a ii)(α-) -3 07. Αν ισχύει 0 < τότε να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκονται οι παραστάσεις: i) ii) 3 08. Aν ισχύει, y z 5, να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών παίρνει 3 4 τιμές η παράσταση Α = -6+8y-z 09. Αν ισχύει 0,να αποδείξετε ότι : i)0 4 ii) +3+ iii) -4-3+ 6 0. Aν ισχύει -3<α<- και 5<β<6,να βρείτε μεταξύ ποιών αριθμών βρίσκεται η τιμή της παράστασης : i)αβ ii) iii). Αν ισχύει - < α < τιμή της παράστασης: και -3 < β < 5 i) ii) 5 (β 0), να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η 8
. Αν ισχύει 3<<4 και Α = 4- i) να δείξετε ότι: 0 < A < ii) να διατάξετε στη σειρά από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο τους αριθμούς: Α, Α, Α 3. 3. Αν ισχύει < < να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών βρίσκεται η παράσταση: 4. Έστω η παράσταση: Α = -, α > 0 και 0 < β. Να δείξετε ότι: i) 0 ii) 0 iii) <A< A 5. Αν ισχύει << και 0<y<3 να βρείτε μεταξύ ποιων αριθμών περιέχεται η τιμή κάθε μιας από τις παραστάσεις: i) + y ii) -y iii) + y 6. Aν ισχύει << 3 3 και <y< να βρεθεί μεταξύ ποιων αριθμών περιέχονται οι 3 6 παραστάσεις: i)α = 6+8y ii) B = -6y-3 Διαστήματα 7. Να γράψετε σε μορφή διαστήματος τα σύνολα των αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: i) 6 ii) < 5 iii) -4 <3 iv) -8<<- v) >4 vi) -5 vii) <0 viii) - 8. Αν ϵ [,] και y ϵ [3,4],να γράψετε σε μορφή διαστήματος τα σύνολα στα οποία ανήκουν οι αριθμοί : i) α = +3y ii) β = 3-y iii) γ=-4-y iv) δ = y-6 9. Αν ϵ (,3) και y ϵ (6,8),να γράψετε σε μορφή διαστήματος τα σύνολα στα οποία ανήκουν οι αριθμοί : i) α = y- ii) β = 5-y iii) γ= y -3y iv) δ = 0. Με βασικό σύνολο το R θεωρούμε τα σύνολα Α =[,+ ) και Β= (-,6).Να βρείτε τα σύνολα: i) ΑΒ ii) ΑΒ iii) Α iv) Β v) Α Β vi) ΑΒ vii) Α-Β viii) Β-Α. Να βρείτε τα σύνολα ΑΒ και ΑΒ σε καθεμία από τις περιπτώσεις ; i) A=[,4] Β=(3,5) ii) A=[,7] Β=[7,0] iii) A=[-,] Β=(,3) iv) A=[-3,] Β=(-,) Συνδυαστικά θέματα 83
. Για τους πραγματικούς αριθμούς και y ισχύει : (4 3 ) (9y8) 0 i) Να βρείτε τους αριθμούς και y 3 3 3 4 ( y ) ( y ) : ii) Να βρείτε την τιμή της παράστασης :,όπου ω 0. 3 3 3 3 4 ( y ) ( y ) 3. i) Να αποδείξετε ότι : a a 0 ii) Αν οι αριθμοί α,β 0 είναι ετερόσημοι,να συγκρίνετε τους αριθμούς :. και 4. Για τους αριθμούς α και β ισχύει : αβ+ > α+β > i) Να αποδείξετε ότι : α- > 0 και -β <0 ii) Να αποδείξετε ότι iii) Να συγκρίνετε τους αριθμούς = β 3 - και y= β -β. 5. α) Να αποδείξετε ότι : y ( y ) β) Αν ισχύει α,β>0 και α+β=,να αποδείξετε ότι : i) 5 4 ii) 6. Να αποδείξετε ότι: i) (α + β)(β + γ)(γ + α) 8αβγ με α, β, γ > 0, ii)αν α,β,γ >0 και α+β+γ =,τότε (-α)(-β)(-γ) 8αβγ iii) αν α,β,γ >0 τότε αβ(α+β) + βγ(β+γ) + αγ(α+γ) 6αβγ iv) αν α,β,γ >0 τότε ( ) 9 7. α)να αποδειχθεί ότι : ( ) ( ) 4 β)ένα ορθογώνιο,του οποίου οι διαστάσεις είναι και y,έχει περίμετρο 0m. i) Να εκφραστεί το y με τη βοήθεια του ii) Να εκφραστεί το εμβαδόν Ε του ορθογωνίου με τη βοήθεια του,χρησιμοποιώντας τη σχέση του ερωτήματος (α) iii) Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν Ε είναι μικρότερο ή ίσο των 5m. 8. Δίνονται οι αριθμοί κ,λ ϵ R για τους οποίους ισχύει : 4 9 5 4. Θεωρούμε και τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω.Οι πιθανότητες Ρ(Α) και 4 Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές και ανήκουν στο σύνολο,,, 3 3. α)να βρείτε τις τιμές των κ και λ β) Να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(ΑΒ) 84
γ) Αν επιπλέον η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α και Β είναι 6,να βρείτε την πιθανότητα: i) να πραγματοποιηθεί το Β, ii) να πραγματοποιηθεί το Β και όχι το Α. 85