Numerične metode za linearne sisteme upravljanja

Bor Plestenjak Numerične metode za linearne sisteme upravljanja skripta verzija: 3 april 212

Kazalo 1 Uvod 6 11 Sistemi upravljanja 6 12 Lastnosti sistemov 8 13 Laplaceova transformacija 12 14 Prenosna funkcija 15 15 Računanje impulznega (stopničnega) odziva z nastavki 19 16 Stabilnost 21 17 Diskretni sistem 22 18 Bločni diagrami 23 2 Predstavitev v prostoru stanj 24 21 Uvod 24 22 Odziv sistema 25 23 Povezava s klasično teorijo 27 24 Diskretni sistemi 29 25 Numerično računanje matrične eksponentne funkcije 3 251 Občutljivost matrične ekponentne funkcije 3 26 Računanje frekvenčnega odziva 32 3 Vodljivost in spoznavnost 33 31 Uvod 33 32 Vodljivost 33 321 Diskretni sistemi 38 33 Spoznavnost 39 34 Kanonične oblike 41 341 Vodljivostna normalna oblika 41 342 Luenbergerjeva vodljivostna kanonična oblika 42 343 Spoznavnostna normalna oblika 44 35 Vodljivostna Hessenbergova oblika 45 36 Razporejanje polov 47 361 Ackermanova formula 48 4 Stabilnost 49 41 Uvod 49 42 Stabilnost po Ljapunovu 5 43 Diskretni sistemi 54 44 Klasična teorija 55 45 Oddaljenost od nestabilnih sistemov 56 451 Robustna stabilnost 58 2

5 Numerično reševanje Sylvestrove enačbe in enačbe Ljapunova 6 51 Kroneckerjev produkt 6 52 Občutljivost Sylvestrove enačbe 62 53 Algoritmi za Sylvestrovo enačbo in enačbo Ljapunova 68 531 Bartels-Stewartov algoritem za Sylvestrovo enačbo 69 532 Bartels-Stewartov algoritem za enačbo Ljapunova 7 533 Reševanje Sylvestrove enačbe preko Hessenberg-Schurove oblike 71 534 Reševanje diskretne enačbe Ljapunova s simetričnim C 73 535 Hammarlingov algoritem 73 536 Hammarlingov algoritem za diskretno enačbo Ljapunova 76 6 Realizacija in identifikacija 78 61 Uvod 78 62 Realizacija SISO sistema iz impulznega odziva 78 63 Realizacija MIMO sistema v prostoru stanj 82 631 Vodljiva realizacija 83 632 Spoznavna realizacija 84 633 Minimalna realizacija 84 64 Identifikacija iz vhodno-izhodnih parov (SISO primer) 87 65 Identifikacija iz vhodno-izhodnih parov (MIMO primer) 9 7 Stabilizacija in razporejanje polov 95 71 Uvod 95 72 Stabilizacija s povratno zvezo iz stanja 96 721 Stabilizacija preko vodljivostne Gramove matrike 96 722 Stabilizacija preko enačbe Ljapunova 98 73 Razporejanje polov 99 731 Zveza med poli in prehodnim obnašanjem sistema 1 74 Razporejanje polov enovhodnih sistemov 1 741 Razporejanje polov preko Hessenbergove forme 11 742 Metoda ortogonalnih transformacij na lastnih vektorjih 11 743 Modifikacija QR algoritma 13 75 Razporejanje polov večvhodnih sistemov 14 751 Razporejanje polov preko Hessenbergove forme 14 752 Metoda ortogonalnih transformacij na lastnih vektorjih 15 753 Razporejanje polov preko Schurove forme 15 76 Pogojenost polov zaprtozančnega sistema 17 77 Robustno razporejanje polov 11 78 Optimalno vodenje 113 781 Diskretni sistemi 12 8 Numerično reševanje Riccatijeve enačbe 123 81 Uvod 123 82 Občutljivost Riccatijeve enačbe 123 83 Newtonova metoda 125 84 Uporaba matričnega predznaka 127 85 Metoda lastnih vektorjev 13 86 Uporaba Schurove forme 131 861 Analiza zaokrožitvenih napak 132

862 Schurova metoda za DARE 133 87 Posplošeni problem lastnih vrednosti in DARE 133 88 Reševanje Riccatijeve enačbe brez računanja R 1 134 89 Upoštevanje Hamiltonske strukture 136 891 Povezava s poševnimi Hamiltonskimi matrikami 138

Predgovor Osnovna verzija skripte je nastala ob prvem izvajanju predmeta Numerične metode za linearne kontrolne sisteme na podiplomskem študiju Matematike v šolskem letu 25/6 Za potrebe izvajanja predmeta Numerične metode za linearne sisteme upravljanja, ki se predava na drugi stopnji smeri Matematika in Finančna matematika na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, se bo skripta sproti posodabljala izred prof dr Bor Plestenjak 5

Poglavje 1 Uvod 11 Sistemi upravljanja Sistemi upravljanja nastopajo na najrazličnejših področjih Skupno vsem je, da imamo dinamični sistem, sestavljen iz različnih komponent, ki vplivajo druga na drugo Primeri takšnih sistemov so npr električni motor, letalo, človeško telo, in podobno Velja: a) komponente sistema so povezane in medsebojno odvisne, b) meje sistema ločijo notranje komponente od zunanjih Lastnost b) pomeni, da lahko sistem obravnavamo kot neko končno zaključeno celoto Stanje takega sistema opisujejo notranje spremenljivke, ki jih imenujemo spremenljivke stanja To še ne pomeni, da na sistem ne morejo vplivati zunanji dejavniki oz vhodi Ravno to, kako z vhodi od zunaj upravljati sistem, ki se sicer obnaša po nekih svojih zakonitostih, obravnavamo pri teoriji sistemov upravljanja Cilj je vplivati na sistem tako, da se bo njegovo obnašanje čim bolj ujemalo z zastavljenimi cilji Npr: Če si kot sistem predstavljamo sobo s klimatsko napravo, lahko s prižiganjem in ugašanjem naprave dosežemo, da bo temperatura v sobi čim bližja željeni Kot sistem si lahko predstavljamo vse semaforje v mestu Z ustreznim prižiganjem in ugašanjem luči lahko dosežemo, da bo promet čim bolj tekoč Na ekonomsko situacijo v državi lahko vplivamo npr z višino davkov in drugimi parametri Na dlani držimo metlo in se trudimo, da bi stala pokonci Tudi to je primer sistema Predstavljamo si lahko, da je dinamični sistem sestavljen iz prostora možnih stanj in pravil, ki na podlagi prejšnjih stanj in vhodov določajo trenutno stanje V praksi ponavadi ne poznamo vrednosti vseh spremenljivk stanja, saj jih je pogosto preveč, da bi lahko spremljali vse hkrati Tako je npr v ekonomiji inflacija odvisna od mnogih parametrov, nekatere poznamo, večino pa ne Spremljamo le podmnožico oz kombinacijo stanj, ki ji pravimo izhod oz odziv sistema Kar smo opisali, je sistem v ti vhodno-izhodni obliki V tej obliki ga lahko predstavimo v obliki naslednjega diagrama: 6

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 7 Pri različnih aplikacijah je cilj preko vhoda regulirati sistem tako, da se obnaša po naših željah To dosežemo s pomočjo regulatorja oz krmilnika, ki vodi sistem tako, da generira ustrezni vhod Povezava regulatorja in sistema je naš sistem upravljanja Pomemben del teorije sistemov upravljanja se ukvarja s konstrukcijo regulatorja, ki bo izpolnjeval te zahteve Označili bomo, da sistem reguliramo z vhodom u(t), izhod iz sistema, ki je odvisen od vhoda, pa je y(t), kjer spremenljivka t pomeni čas Notranje spremenljivke, ki opisujejo stanje sistema, naj bodo x(t) Pravimo tudi, da sistem vzbujamo z vhodom u(t), odziv sistema pa je izhod y(t) Pri tem je cilj vhod določiti tako, da bo izhod čim bolj zadoščal izbranim kriterijem Na nekaterih področjih (npr v elektrotehniki) govorimo o signalih in sta tako u(t) in y(t) vhodni oz izhodni signal Vodenje sistema ponavadi poteka avtomatično preko regulatorja ali krmilnika, ki proizvaja vhod u(t) Pri tem ločimo sisteme na dve vrsti Preprostejša oblika so odprtozančni sistemi, kjer delovanje krmilnika ni odvisno od izhoda sistema Npr: Luči na semaforjih prižigamo in ugašamo v vnaprej predpisanih časovnih intervalih, neodvisno od prometne situacije Vrata, ki se samodejno odprejo, ko nas zazna fotocelica Shemo odprtozančnega sistema predstavlja naslednja slika: Kompleksnejša oblika so zaprtozančni sistemi, kjer imamo povratno zanko med izhodom in regulatorjem Shema zaprtozančnega sistema je predstavljena na naslednji sliki: Primeri zaprtozančnih sistemov so npr: Sistem, ki odvisno od prometne situacije krmili semaforje v mestu s ciljem preprečevanja zastojev Avtomatska klimatska naprava, kjer sistem glede na temperaturo sobe, ki je v bistvu izhod sistema, samodejno vklaplja in izklaplja napravo oz prilagaja njeno delovanje

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 8 Za modeliranje dinamičnega sistema ponavadi uporabimo končni sistem diferencialnih enačb v obliki: kjer je ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), x(t ) = x y(t) = g(t, x(t), u(t)), x(t) = [x 1 (t) x n (t) T : stanje sistema, u(t) = [u 1 (t) u m (t) T : vhod, y(t) = [y 1 (t) y r (t) T : izhod Ponavadi je r n in m n Tako imamo preslikavi f : R R n R m R n in g : R R n R m R r Ker je težko predvideti vse spremenljivke stanja sistema oziroma potem to tudi modelirati, na sistem lahko vplivajo še zunanji nepredvidljivi dejavniki To so npr močni sunki vetra med pristajanjem letala, zlom na borzi v ekonomskem sistemu, in podobno Opisali smo zvezni model Drug pogost model so diferenčne enačbe v diskretnem primeru x (k+1) = f(k, x (k), u (k) ), x () = x y (k) = g(k, x (k), u (k) ) Ponavadi diskretne vrednosti predstavljajo vzorce zveznega modela v izbranih trenutkih Pri diskretnih modelih tako ponavadi poznamo še interval vzorčenja t, vrednosti u (k), y (k) in x (t) pa so po vrsti približki za u(k t), y(k t) in x(k t) 12 Lastnosti sistemov Dinamični sistem lahko formalno opišemo tako, da imamo dane naslednje množice: T R je urejena podmnožica realnih števil, ki predstavlja časovni prostor, X je množica vseh možnih notranjih stanj sistema, U je množica vseh možnih stanj vhoda, Ω = {u : T U} je množica vseh vhodnih funkcij Množica Ω mora biti neprazna, poleg tega pa mora veljati še naslednje Če so t 1 t 2 t 3 poljubni trije časi iz množice T, potem za poljubni vhodni funkciji u 1, u 2 Ω obstaja taka funkcija u 3 Ω, da je u 1 (t) = u 3 (t) za vse t T, t 1 t < t 2, in u 2 (t) = u 3 (t) za t 2 t < t 3 V kolikor ima sistem tudi izhod, potem obstajata še Y: množica vseh možnih stanj izhoda, Γ = {y : T Y}: množica vseh izhodnih funkcij

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 9 Obstajati mora prenosna preslikava stanja za katero velja, da je Φ : T T X Ω X, x(t 1 ) = Φ(t 1, t, x, u) stanje sistema ob času t 1, ki se je razvilo iz začetnega stanja x ob času t na podlagi delovanja sistema in vhodne funkcije u Prenosna preslikava mora imeti naslednje lastnosti: a) Φ(t 1, t, x, u) je dobro definirana za t 1 t, ne pa tudi nujno za vse t 1 < t b) (Lastnost identitete) Φ(t, t, x, u) = x za poljuben t T, poljuben x X in poljubno vhodno funkcijo u Ω c) (Lastnost polgrupe) Φ(t 2, t, x, u) = Φ(t 2, t 1, Φ(t 1, t, x, u), u) za poljubne t < t 1 < t 2 iz T, poljuben x X in poljubno vhodno funkcijo u Ω Lastnost polgrupe pomeni, da je stanje sistema ob času t 2 enako, če gremo iz t direktno do t 2 ali pa če gremo naprej iz t 1 z začetnim stanjem Φ(t 1, t, x, u) Če ima sistem tudi izhod, potem obstaja preslikava η : T X Y, katere rezultat je izhod y(t) = η(t, x(t)) ob času t Definicija 11 Pravimo, da je sistem vzročen, če za poljuben t 1 T velja: če se vhodni funkciji u 1, u 2 Ω ujemata za vsak t T, t t 1, potem je Φ(t, t, x, u 1 ) = Φ(t, t, x, u 2 ) za vsak t t t 1, t T Če je sistem vzročen, potem odziv ni odvisen od prihodnjih stanj in vhodov Če to namreč ne bi bilo res, potem bi lahko poiskali dva vhoda u 1 in u 2, ki bi se ujemala na vseh t T, t t 1, kasneje pa ne več, izhod pa bi se vsaj za en t T, t t t 1, razlikoval To bi bilo v protislovju s predpostavko, da je sistem vzročen Definicija 12 Naj bosta X in U vektorska prostora Za sistem pravimo, da je linearen, če je za poljubna fiksna časa t t 1 iz T preslikava Φ(t 1, t,, ) linearna Konkretno, za poljubni začetni stanji x 1, x 2 X, poljubni vhodni funkciji u 1, u 2 Ω in skalarja α 1, α 2, velja Φ(t 1, t, α 1 x 1 + α 2 x 2, α 1 u 1 + α 2 u 2 ) = α 1 Φ(t 1, t, x 1, u 1 ) + α 2 Φ(t 1, t, x 2, u 2 ) Če ima sistem izhod, potem mora veljati še, da je Y vektorski prostor in da je preslikava η(t, ) linearna za vsak t T Če je sistem linearen, potem velja Φ(t 1, t, x, u) = Φ(t 1, t, x, ) + Φ(t 1, t,, u) To pomeni, da lahko stanje sistema ob času t 1 sestavimo kot vsoto odziva na ničelni vhod Φ(t 1, t, x, ) in odziva z ničelnim začetnim stanjem Φ(t 1, t,, u)

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 1 Lema 13 Če je sistem linearen, potem je odziv na ničelni vhod z ničelnim začetnim stanjem identično enak, oziroma, za vsak t T, t t, je Φ(t; t,, ) = Dokaz To sledi iz linearnosti Φ(t, t, αx, αu) = αφ(t, t, x, u), če vzamemo α = Lema 14 Če je sistem linearen, potem je vzročnost ekvivalentna ti pogoju začetnega mirovanja: če za vhodno funkcijo velja u(t) = za t t 1, potem je Φ(t, t,, u) = za t t 1 Dokaz Če Φ ne zadošča pogojem začetnega mirovanja, potem obstaja tak vhod ũ, ki je za t t 1 identično enak, a vendar Φ(t, t,, ũ) ni identično enak za vse t t 1 To pomeni, da lahko za poljubno vhodno funkcijo u dobimo različno stanje za vhoda u in u + ũ, ki se ujemata na t t 1 To pa je možno je, če sistem ni vzročen Za dokaz v drugo smer predpostavimo, da sistem ni vzročen Potem obstajata vhoda u 1 (t) in u 2 (t), ki se ujemata za vse t t 1, stanji Φ(t, t, x, u 1 ) in Φ(t, t, x, u 2 ) pa nista identično enaki na t t 1 Potem zaradi linearnosti za razliko ũ = u 1 (t) u 2 (t) velja, da je ũ(t) = za t t 1, Φ(t, t,, ũ) pa ni identično enako za t t 1 Torej pogoj začetnega mirovanja ni izpolnjen Definicija 15 Naj za T velja, da je aditivna grupa, za Ω pa, da je zaprta za operator premika, ki za izbrani τ T vhodno funkcijo u Ω premakne v u τ Ω, definirano z u τ (t) = u(t + τ) Če v tem primeru za poljubna t, t 1 T, t t 1, poljuben u Ω in premik τ velja Φ(t 1, t, x, u) = Φ(t 1 + τ, t + τ, x, u τ ), potem je sistem časovno nespremenljiv oz časovno invarianten Če ima sistem izhod, potem mora veljati še, da je preslikava η neodvisna od t Množica T, ki zadošča pogojem aditivne grupe iz zgornje definicije, je lahko kar T = R v primeru zveznega sistema, oziroma T = {k T : k Z} v primeru diskretnega sistema, kjer je T razmik med zaporednima časovnima točkama Zgled 11 Na treh preprostih zgledih lahko demonstiramo pojme vzročnosti, linearnosti in časovne nespremenljivosti a) x(t) = u 2 (t 1): vzročen, nelinearen, časovno nespremenljiv; b) x(t) = u( t): ni vzročen, linearen, časovno nespremenljiv; c) x(t) = 3 t u(t 1): vzročen, linearen in časovno spremenljiv Če je sistem linearen in časovno invarianten, ga označimo kot LTI (linear time-invariant) sistem Mi se bomo ukvarjali z vzročnimi LTI sistemi

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 11 Lema 16 Če je sistem časovno nespremenljiv, potem je odziv na periodični vhod periodičen z enako periodo Dokaz Ko govorimo o periodičnosti vhoda, to avtomatično pomeni, da je funkcija u definirana na celotni množici T, ki je v obeh smereh neomejena Ker je vhod ves čas prisoten, tu ne moremo govoriti o začetnem trenutku t in stanju x, ki zato ne nastopata v funkciji Φ Označimo periodo vhodne funkcije u z δ Potem je zaradi periodičnosti u = u δ, iz časovne nerspremenljivosti pa potem sledi x(t + δ) = φ(t + δ, u) = φ(t, u δ ) = φ(t, u) = x(t) Zgled 12 Dva opisa dinamičnega sistema, ki ju bomo uporabili v nadaljevanju za zvezne vzročne linearne časovno nespremenljive sisteme, sta a) diferencialna enačba n-tega reda y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y n (t) = β u (m) (t) + β 1 u (m 1) + + β m u(t), b) opis z matrikami v prostoru stanj ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t ) = x, t t, y(t) = Cx(t) + Du(t), kjer so A R n n, B R n m, C R r n D R r m, x(t) R n, u(t) R m in y(t) R r Ponavadi velja m n in r n Zgled 13 Denimo, da stanje dinamičnega sistema opisuje diferencialna enačba x (t) = ax(t) + u(t), kjer je a realna konstanta V tem primeru lahko za vse tri množice vzamemo T = X = U = R Od tod dobimo formulo t x(t) = Φ(t, t, x, u) = e a(t t) x + u(τ)e a(t τ) dτ, t kjer je t, t T, x X in u : T U poljubna vhodna funkcija Pogoj identite očitno velja, saj je x(t ) = x neodvisno od izbire u polgrupe Za t < t 1 < t 2 je namreč Prav tako velja lastnost in t1 x 1 = Φ(t 1, t, x, u) = e a(t 1 t ) x + u(τ)e a(t1 τ) dτ t t2 Φ(t 2, t 1, x 1, u) = e a(t 2 t 1 ) x 1 + u(τ)e a(t2 τ) dτ t 1 Če v zgornjo enačbo vstavimo x 1, dobimo t1 Φ(t 2, t 1, x 1, u) = e a(t 2 t 1 ) e a(t 1 t ) x + e a(t 2 t 1 ) t u(τ)e a(t 1 τ) dτ + t2 t 1 u(τ)e a(t 2 τ) dτ

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 12 t2 = e a(t 2 t ) x + u(τ)e a(t2 τ) dτ = Φ(t 2, t, x, u) = x(t 2 ) t Hitro lahko preverimo, da je sistem linearen Velja namreč Φ(t, t, α 1 x 1 + α 2 x 2, α 1 u 1 + α 2 u 2 ) t = e a(t t) (α 1 x 1 + α 2 x 2 ) + (α 1 u 1 (τ) + α 2 u 2 (τ))e a(t τ) dτ t t t = α 1 e a(t t) x 1 + α 1 u 1 (τ)e a(t τ) dτ + α 2 e a(t t) x 2 + α 2 u 2 (τ)e a(t τ) dτ t t = α 1 Φ(t, t, x 1, u 1 ) + α 2 Φ(t, t, x 2, u 2 ) Posledica linearnosti je, da lahko rešitev ob času t sestavimo kot vsoto homogene rešitve Φ(t, t, x, ) in rešitve z ničelnim začetnim stanjem Φ(t, t,, u) Sistem je tudi časovno invarianten, saj je Φ(t + σ, t + σ, x, u σ ) = e a(t+σ (t +σ)) x + = e a(t t ) x + t t+σ t +σ u σ (τ + σ)e a(t+σ τ) dτ t u(τ)e a(t τ) dτ = Φ(t, t, x, u) 13 Laplaceova transformacija Definicija 17 Naj bo funkcija f(t) definirana za t Laplaceova transformacija je preslikava, ki funkcijo f preslika v funkcijo F, katere vrednost v točki s C je definirana z integralom F (s) = f(t)e st dt za tiste točke s, za katere integral obstaja Pišemo L[f(t)(s) = F (s) oziroma krajše L[f = F Funkcijo f(t) imenujemo tudi original, pri čemer t običajno pomeni čas F (s) je (Laplaceova) transformiranka in je kompleksna funkcija Pravimo, da Laplaceova transformacija funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s Izrek 18 Naj bo funkcija f, definirana za t, kosoma zvezna in naj bo f(t)e σ t dt < za nek končni σ R Potem je Laplaceova tranformacija funkcije f definirana za vsak s C, za katerega velja Re(s) σ V našem primeru definicijo Laplaceove transformacije popravimo toliko, da privzamemo, da so meje od t = do t = To naredimo zato, da pokrijemo tudi primer enotskega impulza, ki ga bomo definirali v nadaljevanju Glavne lastnosti Laplaceove transformacije so:

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 13 Linearnost: L [α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t) (s) = α 1 L[f 1 (t)(s) + α 2 L[f 2 (t)(s), pri čemer je to definiramo za vrednosti s, za katere sta hkrati definirana L[f 1 (t)(s) in L[f 1 (t)(s) Transformiranka odvoda: [ df(t) L dt = sf (s) lim t f(t) = sf (s) f(), pri čemer mora biti f eksponentnega tipa, kar pomeni, da obstajata konstanti M > in c R, da je f(t) Me ct, in biti zvezna v točki Za višje odvode podobno velja [ d n f(t) L dt n = s n ( F (s) lim s n 1 f(t) + s n 2 f (t) + + f n 1 (t) ) t = s n F (s) s n 1 f() s n 2 f () f (n 1) () Transformiranka integrala: [ t L f(τ)dτ = F (s) s, [ t1 t2 tn L f(t 1 )dt 1 dt n = F (s) s, Časovni premik: L [f(t T )u s (t T ) = e T s F (s), kjer je { 1 za t, u s (t) = za t < Frekvenčni premik: L [ f(t)e αt = F (s α) Izrek o začetni vrednosti: Če časovna limita obstaja, velja lim f(t) = lim sf (s) t s Izrek o končni vrednosti: Če je sf (s) analitična na območju {s : Re(s) }, oziroma nima polov, katerih realni del je nenegativen, potem velja Konvolucija: f 1 (t) = f 2 (t) = za t < [ t F 1 (s)f 2 (s) = L = L [(f 1 f 2 )(t), lim f(t) = lim sf (s) t s [ t f 1 (τ)f 2 (t τ)dτ) = L f 2 (τ)f 1 (t τ)dτ) pri čemer zgornja konvolucija velja le za s C, za katere sta definirana hkrati F 1 in F 2 V drugo smer velja: L[f 1 (t)f 2 (t) = F 1 (s) F 2 (s) = 1 2πi σ+i σ i F (ρ)f 2 (s ρ)dρ

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 14 Inverzna Laplaceova transformacija: f(t) = L 1 [F (s)(t) = 1 2πi σ+i σ i kjer je σ večji od vseh realnih komponent polov F (s) F (s)e st ds, Pri sistemih upravljanja sta zelo pomembni naslednji vhodni funkciji: a) enotska stopnica u s, definirana z u s (t) = { 1 za t, za t < b) enotski impulz δ, definiran z δ(t) = za t in δ(t)dt = 1 To je ti Diracova delta funkcija Lahko si jo predstavljamo kot limito ustreznih funkcij z nepraznim nosilcem, možnosti je več, npr δ = lim ɛ δ ɛ preko odsekoma konstantne funkcije { 1 δ ɛ (t) = 2ɛ, x ɛ sicer ali pa preko normalne distribucije δ ɛ (t) = 1 ɛ π e x2 /ɛ 2 Enotski impulz si lahko predstavljamo tudi kot odvod enotske stopnice Argument proti je, da strogo matematično gledano odvod enotske stopnice pri t = ne obstaja, argument za pa je, da se Laplaceovi transformiranki enotske stopnice in enotskega impulza obnašata tako, kot da gre za transformiranki funkcije in njenega odvoda Laplaceova transformiranka enotske stopnice je 1/s Res, L [u s (t) = u s (t)e st dt = To velja za Re(s) >, saj je v tem primeru u s (t)e σt dt = e st dt = 1 s e st = 1 s e σt dt < Laplaceovo transformiranko za enotski impulz bomo dobili kot limito Laplaceovih transformacij za δ ɛ, pri čemer bomo tudi spodnjo mejo integrala v limiti poslali proti s spodnje strani To velja za s > L[δ(t) = lim ɛ ɛ ɛ 1 = lim ɛ 2ɛ δ ɛ (t)e st dt = lim ( ) 1 ɛ e st s ɛ ɛ ɛ ɛ 1 = lim ɛ 2ɛs 1 2ɛ e st st ( e ɛs e ɛs) = 1

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 15 Zgled 14 Izračunajmo konvolucijo naslednjih funkcij: { 1 t/4 za t 4 f 1 (t) = sicer, f 2 (t) = { 3/2 t/2 za 1 t 3 sicer Rezultat je 1 48 (t3 21t 2 + 87t 67) za 1 t 3 1 12 (17 3t) za 3 t 5 f 1 (t) f 2 (t) = 1 48 (7 t)3 za 5 t 7 sicer 1 f 1 f 2 8 f 1 f 2 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Slika 11: Konvolucija 14 Prenosna funkcija V klasični teoriji sistemov upravljanja sistem opišemo v vhodno-izhodni obliki kot diferencialno enačbo reda n s konstantnimi koeficienti y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y(t) = β u (m) (t) + + β m u(t) (11) Rešitev sistema (11) lahko dobimo s pomočjo Laplaceove transformacije Če predpostavimo, da je sistem relaksiran, kar pomeni, da imamo ničelne začetne pogoje za izhod y in vhod u, torej y (i) () = za i =,, n in u (j) () = za j =,, m, potem velja [ L k i y (n i) (t) = k i s n i L [y(t) in [ L β j u (m j) (t) = β j s m j L [u(t) Če označimo Laplaceovi transformiranki ỹ(s) = L[y(t) in ũ(s) = L[u(t), potem se z Laplaceovo transformacijo enačba (11) spremeni v k(s)ỹ(s) = β(s)ũ(s),

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 16 kjer je Od tu sledi k(s) = s n + k 1 s n 1 + + k n 1 + k n, β(s) = β s m + + β m, ỹ(s) = ũ(s) = y(t)e st dt, u(t)e st dt ỹ(s) = β(s) ũ(s) = g(s)ũ(s), (12) k(s) kjer je g(s) prenosna funkcija Če so p 1,, p n ničle karakterističnega polinoma k(s), so to poli prenosne funkcije g, ničle karakterističnega polinoma β(s) pa so ničle prenosne funkcije g Prenosno funkcijo lahko tako opišemo v ti obliki zpk z ničlami, poli in ojačanjem kot g(s) = k (s z 1) (s z m ) (s p 1 ) (s p n ) Če za vhod vzamemo enotsko stopnico oziroma u(t) = u s (t), potem kot izhod dobimo stopnični odziv, če pa je vhod enotski impulz oziroma u(t) = δ(t), potem kot izhod dobimo impulzni odziv, ki ga označimo s h(t) Iz enakosti (12) vidimo, da je prenosna funkcija g enaka Laplaceovi transformiranki impulznega odziva, saj je L[δ(t) = 1 Sledi, da je sistem določen z impulznim odzivom, saj je odziv na poljuben vhod konvolucija impulznega odziva in vhoda Velja namreč L[y(t) = ỹ(s) = g(s)ũ(s) = L[h(t)L[u(t) = L[(h u)(t), torej y(t) = (h u)(t) Če poznamo prenosno funkcijo, potem lahko impulzni odziv dobimo iz zveze h(t) = L 1 [g(s), stopnični odziv pa je L 1 [g(s)/s Ker je g(s) racionalna funkcija, nam za to, da iz prenosne funkcije dobimo impulzni in enotski odziv, zadošča naslednja tabela Laplaceovih transformacij f(t) L[f(t)(s) e at 1 s+a t n 1 (n 1)! e at 1 (s+a) n s cos(at) s 2 +a 2 a sin(at) s 2 +a 2 s cosh(at) s 2 a 2 a sinh(at) s 2 a 2 Zgled 15 Za sistem, ki je podan v vhodno-izhodni obliki ÿ(t) + 3ẏ(t) + 2y(t) = 4 u(t) + u(t),

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 17 je potrebno določiti impulzni in stopnični odziv Pri tem predpostavimo, da je sistem relaksiran Impulzni odziv dobimo z inverzno Laplaceovo transformacijo prenosne funkcije, ki je g(s) = 4s + 1 s 2 + 3s + 2 = 4s + 1 (s + 1)(s + 2) To je najlažje narediti tako, da prenosno funkcijo zapišemo s parcialnimi ulomki kot g(s) = A 1 s + 1 + A 2 s + 2 Ker sta pola enostavna, za koeficienta velja 4s + 1 A 1 = lim (s + 1)g(s) = s 1 s + 2 = 3 s= 1 4s + 1 A 2 = lim (s + 2)g(s) = s 2 s + 1 = 7 s= 2 Od tod iz tabele Laplaceovih transformacij lahko preberemo, da je h(t) = 3e t 7e 2t Tukaj manjka še: Graf impulznega odziva Za stopnično funkcijo potrebujemo inverzno Laplaceovo transformacijo funkcije g(s)/s uporabimo parcialne ulomke in zapišemo Spet Koeficienti so g(s) s A 1 = lim s g(s) = s s = A 1 s + A 2 s + 1 + A 3 s + 2 4s + 1 (s + 1)(s + 2) = 1 s= 2 s(s + 2) = 3 s= 1 s(s + 1) = 7 s= 2 2, A 2 = lim (s + 1)g(s) = 4s + 1 s 1 s A 3 = lim (s + 2)g(s) = 4s + 1 s 2 s od tod dobimo stopnični odziv y(t) = 1 2 + 3e t 7 2 e 2t Tukaj manjka še: Graf stopničnega odziva Vidimo, da je limita stopničnega odziva, ko gre t, enaka 1/2 To bi lahko dobili tudi iz izreka o končni vrednosti Ker je prenosna funkcija g(s) analitična za Re(s), velja lim y(t) = lim sg(s) = g() = 1 t s s 2 Stopnični odziv je sestavljen iz prehodnega in stacionarnega odziva V našem primeru 1 2 prestavlja stacionarni del, prehodni del pa je 3e t 7 2 e 2t V splošnem spadajo v prehodni odziv tisti členi stopničnega odziva, ki gredo proti, ko gre t proti neskončnosti, ostali pa spadajo v stacionarni odziv Stacionarni odziv je torej odziv, ki

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 18 prevlada pri dovolj velikem t, ko mine vpliv prehodnega odziva V zgornjem zgledu je stacionarni odziv konstanten, kar pa ni splošno pravilo Lahko ga sestavljajo tudi sinusna nihanja ali pa npr naraščajoča polinomska ali eksponentna funkcija Tipična situacija je predstavljena na naslednji sliki, kjer so prikazane tudi naslednje pomembne vrednosti, ki določajo obnašanje sistema: DT (delay time) je čas zakasnitve Gre ta čas, ki preteče od začetka pa do takrat, ko odziv doseže 5% limitne vrednosti RT (rise time) je čas vzpona Gre za čas, ki je potreben za to, da odziv iz 1% končne vrednosti pride na 9% limitne vrednosti ST (settling time) je čas izravnave Gre za čas, od koder naprej se odziv od limitne vrednosti razlikuje za manj kot 5% MO (maximal overshoot) Gre največje odstopanje v prehodni fazi Tukaj manjka še: Graf stopničnega odziva z označenimi pojmi DT, RT, ST, MO V praksi je potrebno s parametri, ki jih imamo na voljo, sistem določiti tako, da bodo zgornji parametri v razponu zaželjenih vrednosti Zgled 16 Če sistem ni relaksiran, moramo pri Laplaceovi transformaciji upoštevati še odvode Denimo, da nas zanima odziv sistema z začetnimi pogoji y() = 1 in y () = 2 y (t) + 3y (t) + 2y(t) = 5u s (t), (13) Če označimo Laplaceovo transformiranko ỹ(s) = L[y(t), potem za Laplaceovi transformaciji y in y velja Iz sistema (13) tako dobimo L [ y (t) = s 2 ỹ(s) sy() y (), L [ y (t) = sỹ(s) y() od koder z razvojem v parcialne ulomke sledi (s 2 + 3s + 2)ỹ(s) = 5 s s 1, ỹ(s) = 5 2s 5 s + 1 + 3 2(s + 2) Rešitev je y(t) = 5 2 5e t + 3 2 e 2t

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 19 15 Računanje impulznega (stopničnega) odziva z nastavki Sistem, podan v vhodno-izhodni obliki y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y(t) = β u (m) (t) + + β m u(t), (14) lahko zapišemo kot kombinacijo dveh sistemov: povratnega sistema y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y(t) = q(t) in direktnega sistema q(t) = β u (m) (t) + + β m u(t) Tukaj manjka še: Graf direktni - povratni sistem Vrstni red lahko zamenjamo, saj je linearni časovno invariantni sistem komutativen Tako dobimo sistem, ki mu ustrezata enačbi w (n) (t) + k 1 w (n 1) (t) + + k n 1 w (t) + k n w(t) = u(t) in y(t) = β w (m) (t) + + β m w(t) Tukaj manjka še: Graf povratni - direktni sistem Stopnični odziv lahko sedaj izračunamo tako, da vzamemo u(t) = u s (t) in najprej izračunamo stopnični odziv povratnega podsistema w(t), potem pa dobimo y(t) iz direktne enačbe Stopnični odziv povratnega podsistema ima pri k n obliko kjer je w k (t) rešitev homogene enačbe w(t) = 1 k n (1 + w k (t))u s (t), w (n) (t) + k 1 w (n 1) (t) + + k n 1 w (t) + k n w(t) = Funkcijo w k imenujemo komplementarna funkcija Celotni algoritem za računanje impulznega odziva je sestavljen iz naslednjih korakov: 1 Poišči ničle λ 1,, λ n karakteristične enačbe λ n + k 1 λ n 1 + + k n 1 λ + k n = 2 Sestavi nastavek za komplementarno funkcijo w k (t) Ta funkcija je linearna kombinacija členov, ki so odvisni od ničel λ 1,, λ n Možnosti so naslednje: a) enostavni ničli λ i ustreza člen A i e λ it, b) večkratni (r-kratni) ničli λ i ustreza člen (A 1i + A i2 t + + A ir t r 1 )e λ it, c) konjugiranemu paru λ j, λ j ustreza člen A j e λ jt + A j e λ jt = R j e σ jt cos(ω j t + ϕ j ), kjer je A j = 1 2 (a + ib), ϕ j = arctan(b/a), R j = A j in λ j = σ j + iω j

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 2 3 Iz pogojev w k ( + ) = 1 in w (j) k ( +) = za j = 1, 2,, n 1, določi konstante A i in R j 4 Izračunaj stopnični odziv povratnega podsistema w(t) = 1 k n (1 + w k (t))u s (t) 5 Stopnični odziv je y(t) = β w (m) (t) + + β m w(t) 6 Impulzni odziv je h(t) = dy(t) dt Zgled 17 Kot prvi zgled poglejmo, kako z metodo nastavkov pridemo do impulznega odziva sistema prvega reda y (t) + k 1 y(t) = b u(t) 1 Iz karakteristične enačbe λ + k 1 = dobimo ničlo λ = k 1 2 Nastavek za komplementarno funkcijo je w k (t) = Ae k 1t 3 Iz w k ( + ) = 1 sledi A = 1, torej je w k (t) = e k 1t 4 Stopnični odziv povratnega podsistema je w(t) = 1 k 1 ( 1 e k 1 t ) u s (t) 5 Stopnični odziv je y(t) = β w(t) = β k 1 ( 1 e k 1 t ) u s (t) 6 Impulzni odziv je h(t) = β e k 1t u s (t) Tukaj manjka še: Graf impulzni, stopnični odziv Zgled 18 Pri sistemu drugega reda y (t) + k 1 y (t) + k 2 y(t) = b u(t) moramo pri metodi nastavkov obravnavati več možnosti, saj lahko dobimo tako večkratne ničle karakteristične enačbe kot pare konjugiranih ničel 1 Ničli karakteristične enačbe λ 2 + k 1 λ + k 2 = sta Obravnavati moramo naslednje tri možnosti: λ 1,2 = k 1 ± k1 2 4k 2 2 (a) k 2 1 > 4k 2 (nadkritično dušen sistem): dve realni ničli, (b) k1 2 < 4k 2 (podkritično dušen sistem): kompleksni par ničel λ 1,2 = σ ± iω, kjer je σ = k 1 /2 in ω = k1 2 4k 2/2, (c) k 2 1 = 4k 2 (kritično dušen sistem): dvojna ničla λ 1,2 = k 1 /2 2 Ustrezno nastavki za zgornje tri možnosti so: (a) w k (t) = A 1 e λ 1t + A 2 e λ 2t, (b) w k (t) = Re σt cos(ωt + ϕ), (c) w k (t) = (A 1 + A 2 t)e λt

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 21 3 Ustrezne konstante so: (a) Iz enačb w k ( + ) = A 1 + A 2 = 1 in w k ( +) = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 = dobimo A 1 = λ 2 λ 1 λ 2, A 2 = λ 1 λ 1 λ 2, torej (b) Iz sistema iz točke (a) sledi w k (t) = λ 2e λ 1t λ 1 e λ 2t λ 1 λ 2 A 1 = σ jω 2iω, A 2 = A 1 Če definiramo r = σ 2 + ω 2 in ϕ = arctan(ω/σ), dobimo w k (t) = r ω eσt sin(ωt ϕ) (c) Iz enačb w k ( + ) = A 1 = 1 in w k ( +) = λ 1 A 1 + A 2 = sledi 4 Stopnični odzivi so: (a) y(t) = β (1 + λ 2e λ1t λ 1 e λ 2t k 2 λ 1 λ 2 (b) y(t) = β k 2 ( 1 + r ω eσt sin(ωt ϕ) (c) y(t) = β k 2 ( 1 (1 λt)e λt) u s (t) 5 Impulzni odzivi so: (a) h(t) = β λ 1 λ 2 ( e λ 1t e λ 2t ) u s (t), (b) h(t) = β k 2 e σt sin(ωt ϕ)u s (t), (c) h(t) = β k 2 λ 2 te λt u s (t) w k (t) = (1 λt)e λt ) u s (t), ) u s (t), 16 Stabilnost Definicija 19 Za sistem pravimo, da je BIBO stabilen (bounded input-bounded output), če je izhod za vsak omejen vhod omejen Torej, če obstaja tak C 1, da je u(t) C 1 za vse t t, potem obstaja tak C 2, da je y(t) C 2 za t t Izrek 11 SISO sistem je BIBO stabilen natanko tedaj, ko je njegov impulzni odziv absolutno integrabilen

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 22 Dokaz Za dokaz v levo predpostavimo, da je impulzni odziv absolutno integrabilen Vemo, da je izhod konvolucija vhoda in impulznega odziva, torej y(t) = h(τ)u(t τ)dτ Če predpostavimo, da je u(t) C za t in h(τ)dτ <, od tod sledi in izhod je omejen y(t) h(τ) u(t τ) dτ C 1 h(τ) dτ < Za dokaz v drugo stran denimo, da impulzni odziv ni absolutno integrabilen Potem lahko za vhod vzamemo u(t) = sign(h(t t)) za nek izbrani T Očitno je vhod omejen, saj je u(t) 1, toda in izhod ni omejen y(t ) = h(τ)u(t τ)dτ = h(τ) dτ = Stabilnost sistema v vhodno-izhodni obliki (14) je odvisna od polov prenosne funkcije p 1,, p n Pogoj za BIBO stabilnost je, da za vse pole velja Re(p i ) < za i = 1,, n 17 Diskretni sistem Diskretni vhodno-izhodni sistem je podan z diferenčno enačbo y (k+m) + k 1 y (k+m 1) + + k n y (k) = β u (k+m) + β 1 u (k+m 1) + + β m u (k) (15) Vhod je tako podan z zaporedjem u (), u (1), u (2),, rezultat pa je zaporedje y (), y (1), y (2),, ki predstavlja izhod Pri tem si lahko predstavljamo, da gre za vzorčene podatke zveznega sistema in u (k) predstavlja stanje vhoda ob trenutku k t, kjer je t interval vzorčenja Podobno je y (k) = y(k t) stanje izhoda v trenutku k t V diskretnem sistemu je enotski impulz signal, za katerega velja δ (k) = za k in δ () = 1 Enotska stopnica je podana z u (k) s = 1 za k in u (k) s = za k < Preko konvolucije z enotskim impulzom lahko analizo sistema prevedemo na zvezni primer Za vsak vhod lahko definiramo ti impulzno vrsto u (t) = u(k t)δ(t k t) k= Impulzno vrsto si lahko predstavljamo kot vzorčenje vhoda u Tu gre za idealno vzorčenje, saj ima δ(t k t) prazen nosilec V resnici vzorčenje poteka preko analogno-digitalnih pretvornikov, kjer gre za konvolucijo z neko funkcijo bližnjo δ, ki pa ima neprazen nosilec Tako s konvolucijo dobimo vhod v obliki vsote impulzov ob trenutkih k t za k =, 1, Podobno lahko naredimo tudi za izhod y Če na impulzni vrsti u uporabimo Laplaceovo transformacijo, dobimo ũ (s) = u(k t)e k ts k=

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 23 Sedaj definiramo novo spremenljivko z = e ts S substitucijo pridemo do zveze s = 1 t ln z ũ (s) = ũ ( 1 t ln z ) = U(z) = u(k t)z k = k= u (k) z k Tako smo izpeljali novo transformacijo za diskretne signale Imenuje se Z-transformacija, pišemo pa U(z) = Z(u(k t)) V principu (če vrsta konvergira) velja U(z) = Z[u(k t) = L[u (t) s= 1 t ln z k= Območje konvergence U(z) vsebuje z = in razen v primeru, ko je u (k) = za k, ne vsebuje z = Zgled 19 Vzorčili bomo funkcijo u(t) = e at Velja u(k t) = e ak t Impulzna vrsta je u (t) = Z Laplaceovo transformacijo dobimo e ak t δ(t k t) k= ũ (s) = e ak t e k ts = e (a+s)k t k= k= V primeru e (a+σ) t < 1, kjer je σ = Re(s), je zgornja vrsta konvergentna in se sešteje v Končni rezultat je ũ (s) = 1 1 e (a+s) t U(z) = 1 1 e a t e s t = 1 1 e a t z 1 = z z e a t V primeru a = se u(k t) spremeni v enotsko stopnico in za z > 1 dobimo Z [u s (k t) = z z 1 = 1 1 z 1 Tukaj manjka še: poglavje o diskretnem sistemu (Z-transformacija) (8 strani priprav) 18 Bločni diagrami Tukaj manjka še: poglavje o bločnih diagramih (3 strani priprav)

Poglavje 2 Predstavitev v prostoru stanj 21 Uvod Medtem, ko klasična teorija kontrolnih sistemov temelji na prenosni funkciji, je osnova moderne teorije obravnava v prostoru stanj Prednosti so naslednje: na soroden način lahko obravnavamo probleme ene ali več spremenljivk, časovno nespremenljive in časovno spremenljive sisteme, linearne in nelinearne sisteme; prenosne funkcije so le za linearne časovno nespremenljive sisteme z enim vhodom in enim izhodom; pri povratni zvezi preko stanja imamo na voljo več parametrov s katerimi lahko nastavimo obnašanje sistema in ga stabiliziramo; pri prenosni zvezi imamo pri povratni zvezi na voljo le en parameter, to je ojačanje V prostoru stanj linearni zvezno nespremenljivi kontrolni sistem zapišemo v obliki ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t ) = x, t t, (21) y(t) = Cx(t) + Du(t), (22) kjer je x(t) R n vektor stanja, u(t) R m vhodni signal in y(t) R r izhodni signal Pri matrikah je A R n n matrika stanja, B R n m vhodna matrika, C R r n izhodna matrika in D R r m matrika direktnega prenosa, ki je ponavadi kar enaka Matrike A, B, C in D lahko sestavimo v bločno matriko [ A B C D Običajno velja m n in r n Enačba (21) je enačba stanja, (22) pa je izhodna enačba Z začetnim stanjem x(t ) = x in vhodom u na časovnem intervalu (t, t) je določen izhod za t t Če je u(t), imamo nevsiljen sistem Če je m = 1 imamo enovhodni sistem in lahko pišemo kar B = b R n Podobno imamo v primeru r = 1 enoizhodni sistem in lahko pišemo C = c T za c R n Če je m > 1 imamo večvhodni sistem, 24

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 25 pri r > 1 pa večizhodni sistem V primeru m = 1 in r = 1, ko je sistem enovhoden in enoizhoden, imamo univariantni sistem oz SISO sistem (single-input single-output), v primeru m > 1 in r > 1 pa imamo multivariantni sistem oz MIMO sistem (multiple-input multiple-output) Opis sistema ni enoličen Isti sistem lahko opišemo z različnimi modeli v prostoru stanj, odvisno od izbire vhodnih, izhodnih in notranjih spremenljivk Če npr z nesingularno transformacijo S spremenimo spremenljivke stanja v x(t) = S x(t), potem dobimo nov model x(t) = à x(t) + Bu(t), x(t ) = x, t t, y(t) = C x(t) + Du(t), kjer je à = S 1 AS, B = S 1 B in C = CS To lahko zapišemo kot [ [ A B S S 1 AS S 1 B C D CS D Pri transformaciji se spremenijo le spremenljivke, ki predstavljajo stanje, vhod in izhod pa ostaneta nespremenjena Tukaj manjka še: zgled inverzno nihalo (3 strani priprav) 22 Odziv sistema Brez škode za splošnost lahko predpostavimo, da je t = Če imamo nevsiljeni sistem, kjer je u(t), imamo homogeno diferencialno enačbo ẋ(t) = Ax(t), x() = x, t Vemo, da se rešitev izraža v obliki x(t) = e At x, kjer je e At matrična eksponentna funkcija, definirana s konvergentnim razvojem e At 1 = k! (At)k = I n + At + 1 2 (At)2 + k= Osnovne lastnosti matrične eksponentne funkcije so:

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 26 1 e A(t+s) = e At e As, 2 e At je vedno nesingularna, 3 (e At ) 1 = e At, 4 d dt (eat ) = Ae At = e At A, 5 e P 1 AP t = P 1 e At P za vsako nesingularno matriko P, 6 e (A+B)t = e At e Bt natanko tedaj, ko A in B komutirata Tako dobimo ti odziv na ničelni vhod (zero-input response) x(t) = e At x = y(t) = Ce At x =: y zi (t) (23) Matriko e At imenujemo tudi zvezna prehodna matrika stanja, saj velja x(t) = e A(t s) x(s) Z množenjem s prehodno matriko tako v primeru ničelnega vhoda pridemo iz enega stanja v drugega Za splošno rešitev nehomogene enačbe potrebujemo še odziv z ničelnim stanjem (zero-state response), kjer predpostavimo x() = Na sistemu naredimo Laplaceovo transformacijo, ki nam sistem transformira v ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) s x(s) = A x(s) + Bũ(s), ỹ zs (s) = C x(s) + Dũ(s) Rešitev transformiranega sistema je y zs (s) = G(s)ũ(s), kjer je prenosna funkcija Za Laplaceovo transormacijo velja G(s) = C(sI A) 1 B + D (24) ỹ zs (s) = f 1 (s) f 2 (s) = y zs (t) = f 1 (t τ)f 2 (τ)dτ (25) V našem primeru izberemo f 1 (s) = C(sI A) 1 in f 2 (s) = Bũ(s), torej f 1 (t) = Ce At in f 2 (t) = Bu(t) Odtod iz (25) sledi y zs (t) = C Splošna rešitev je potem vsota y zi (t) in y zs (t) Iz (23) in (26) sledi y(t) = Ce At x + C e A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t) (26) e A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t) (27)

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 27 Trditev 21 Prenosna funkcija G(s) je neodvisna od izbire baze v prostoru stanj Dokaz Denimo, da z nesingularno transformacijo S spremenimo predstavitev sistema z matrikami (A, B, C, D) v (Â, B, Ĉ, D) = (S 1 AS, S 1 B, CS, D) Potem za prenosno funkcijo v novi bazi velja Ĝ(s) = Ĉ(sI Â) B + D = CS(sI S 1 AS) 1 S 1 B + D = C(sI A) 1 B + D = G(s) Za numerično računanje odziva (npr za potrebe simulacije sistema) potrebujemo numerični algoritem za računanje e At To bomo obravnavali kasneje v poglavju 25 23 Povezava s klasično teorijo Elementi prenosne funkcije (24), ki je matrika velikosti r m, so racionalne funkcije Tako (i, j)- ti element G(s) predstavlja prenosno funkcijo med j-to komponento vhoda in i-to komponento izhoda v smislu klasične teorije Poli sistema so sedaj lastne vrednosti matrike A V klasični teoriji je prenosna funkcija Laplaceova transformiranka impulznega odziva Podobno velja tudi sedaj Če je δ j (t) R m vhodna funkcija, katere j-ta komponenta je enaka enotskemu impulzu, ostale komponente pa so identično enake, potem je Laplaceova transformiranka odziva na δ j (t) ravno j-ti stolpec v G(s) Zvezni sistem, ki je predstavljen v klasični teoriji z diferencialne enačbe n-tega reda y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y(t) = β u (m) (t) + β 1 u (m 1) (t) + + β m u(t), (28) lahko zapišemo tudi v prostoru stanj V najpreprostejšem primeru na desni strani enačbe (28) ni odvodov vhodne funkcije u(t) in imamo enačbo oblike y (n) (t) + k 1 y (n 1) (t) + + k n 1 y (t) + k n y(t) = u(t) V tem primeru lahko diferencialno enačbo prevedemo na sistem diferencialnih enačb prvega reda, če npr vzamemo za spremenljivke stanja x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x n (t) = y (n) (t) = k 1 y (n 1) (t) k n y(t) + u(t) Dobimo ẋ 1 (t) 1 x 1 (t) ẋ 2 (t) 1 = x 2 (t) 1 + (29) ẋ n (t) k n k n 1 k 1 x n (t) u(t)

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 28 Iz (29) lahko preberemo A in b, velja pa še c = e 1 in d = Če imamo na desni strani enačbe (28) še odvode, moramo ravnati drugače Če uredimo člene po stopnji odvoda in predpostavimo m = n, dobimo y (n) (t) = β u (n) (t) k 1 y (n 1) (t) + β 1 u (n 1) (t) + + [ k n y(t) + β n u(t) (21) Ko enačbo (21) n-krat integriramo dobimo (zaradi preglednosti je izpuščen argument t) ( ( ) y = β u + [ k 1 y + β 1 u + [ k 2 y + β 2 u + + [ k n y + β n udt 1 ) )dt n 1 dt (211) Sedaj lahko uvedemo nove spremenljivke Od tod dobimo y = β u + x 1, ẋ 1 = k 1 y + β 1 u + x 2, ẋ n 1 = k n 1 y + β n 1 u + x n, ẋ n = k n y + β n u ẋ 1 = k 1 x 1 + x 2 + (β 1 k 1 β )u, ẋ n 1 = k n 1 x 1 + x n + (β n 1 k n 1 β )u, ẋ n = k n x 1 + (β n k n β )u V matrični obliki lahko sedaj sistem zapišemo kot k 1 1 β 1 k 1 β k 2 1 β 2 k 2 β ẋ = x + 1 k n β n k n β in y = [ 1 x + β u Tako smo sistem (28) v prostoru stanj predstavili v ti spoznavnostni kanonični obliki Opazimo lahko, da se karakteristični polinom matrike A ujema z imenovalcem prenosne funkcije sistema (28) Poli so tako enaki lastnim vrednostim matrike A Podobno bi lahko sistem (28) zapisali v vodljivostni kanonični obliki 1 1 ẋ = 1 x + u, k n k n 1 k 1 1 y = [ β n k n β β n 1 k n 1 β β 1 k 1 β x + β u

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 29 Tu smo se srečali s pojmoma vodljivosti in spoznavnosti, ki ju bomo podrobneje spoznali v poglavju 3 V grobem vodljivost pomeni ali lahko sistem vzbudimo v poljubno stanje, spoznavnost pa ali lahko iz poznavanja vhoda in izhoda razberemo začetno stanje V primeru SISO sistema ravno ti dve lastnosti odločata ali se da sistem zapisati v vodljivostni oz spoznavnosti kanonični formi 24 Diskretni sistemi Vektorji stanja, vhoda in izhoda so lahko definirani le ob fiksnih trenutkih t k = k t, kjer je t interval vzorčenja V tem primeru dobimo linearni diskretni časovno nespremenljivi linearni sistem, ki je namesto z diferencialno enačbo predstavljen z diferenčno enačbo x k+1 = Ax k + Bu k, y k+1 = Cx k + Du k Rešitev homogene enačbe x k+1 = Ax k je x k = A k x, rešitev nehomogene enačbe stanja pa k 1 x k = A k x + A k i 1 Bu i i= Sedaj za numerično računanje potrebujemo natančno in učinkovito računanje potenc matrike A Podobno kot pri zveznem sistemu lahko tu pridemo do prenosne funkcije z uporabo z-transformacije Prenosna funkcija je tako kot pri zveznem sistemu enaka G(s) = C(sI A) 1 B + D En način, kako pridemo do diskretnega sistema je aproksimacija zveznega sistema, ko predpostavimo, da ima u(t) obliko kosoma konstantne funkcije oz u(t) = u(k t) za k t t < (k + 1) t To velja npr pri digitalnem vodenju Pri teh predpostavkah za rešitev zveznega sistema za t k t velja torej pri t = (k + 1) t velja ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) t x(t) = e A(t k t) x(k t) + e A(t s) Bu(s)ds, k t y(t) = Cx(t) + Du(t), x((k + 1) t) = e A t x(k t) + ( t ) e As ds Bu(k t)ds Če označimo x k = x(k t), u k = u(k t) in y k = y(k t), dobimo diskretni sistem x k+1 = A d x k + B d u k, y k+1 = Cx k + Du k, ( ) kjer sta A d = e A t t in B d = e As ds B

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 3 25 Numerično računanje matrične eksponentne funkcije Za n n matriko A je eksponentna funkcija definirana z razvojem kjer je t e At = (At) k, k! k= Pogledali bomo nekaj numeričnih metod za izračun e At in obravnavali občutljivost eksponentne funkcije matrike Lep pregled različnih metod za računanje matrične eksponentne funkcije je v [11 251 Občutljivost matrične ekponentne funkcije Pri občutljivosti nas zanima, kako velika je lahko relativna sprememba Φ(t) = e(a+e)t e At e At, kjer je E motnja matrike A Če matriki A in E komutirata, potem velja e (A+E)t e At = e At (e Et I) = e At Et k= (Et) k (k + 1)! Od tod lahko ocenimo Φ(t) E te E t Če matriki A in E ne komutirata, potem analiza ni več tako enostavna Če odvajamo e A(t s) e (A+E)s po s, dobimo d ds (ea(t s) e (A+E)s ) = Ae A(t s) e (A+E)s + e A(t s) (A + E)e (A+E)s = e A(t s) Ee (A+E)s ds Od tod sledi ocena Φ(t) E e At t e A(t s) e (A+E)s ds Definiramo lahko tudi pogojenostno število za e At t ν(a, t) := max E =1 e A(t s) Ee As ds A e At Velja ν(a, t) t A Enakost velja za vse t, če je A normalna matrika Pri matrikah, ki niso normalne, pa lahko ν(a, t) raste kot da gre za polinom visoke stopnje v t Več o tem lahko najdemo v [13 Poglejmo si nekaj možnosti za oceno e At

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 31 1 Iz Taylorjeve vrste sledi očitna ocena e At e A t 2 Dahlquistova ocena je e At e µ(a)t, kjer je { µ(a) = max µ : µ je lastna vrednost 1 } 2 (A + A) 3 Uporabimo Jordanovo formo Če je A = XJX 1, kjer je λ i 1 J 1 J =, J i = 1 J m λi in je J i matrika velikosti n i n i Potem je e Jt = e J 1t e Jmt, kjer je 1 1 t 2 t2 1 1 t e Jit = e λ it 1 t 1 Tako dobimo oceno (uporabimo A 2 nn (A)) in kjer je ti spektralna abscisa e J it 2 e λ it n i e At 2 κ(x)n max e α(a)t max j n i 1 (n i 1)! tn i 1 t j j! max j n max 1 t j j!, α(a) = max{re(λ) : λ lastna vrednost A} 4 Uporabimo Schurovo formo Če je Q AQ = D + N, kjer je D = diag(λ 1,, λ n ), potem lahko ocenimo e At 2 e α(a)t M S (t), kjer je M S (t) = n 1 k= Nt k 2 k! Oceni 1 in 2 sta lahko zelo nepraktični v primeru, ko je α(a) <, saj z naraščajočim t rasteta in ne upoštevata tega, da je v tem primeru limita e At enaka, ko gre t Za oceno Φ(t) se da v primeru uporabe Schurove forme izpeljati (izpeljava je npr v [13), da je Φ(t) t E 2 M S (t) 2 e tm S(t) E 2 Vemo, da je v primeru normalne matrike M S (t) 1, torej lahko pri normalnih matrikah pričakujemo dobre rezultate, sicer pa je problem lahko zelo občutljiv

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 32 Zgled 21 Za obnašanje e At ni dovolj poznati le lastne vrednosti Če vzamemo [ 1 M A =, 1 potem je [ e At = e t 1 tm 1 Preden e At skonvergira proti, lahko vrednost e At nekaj časa narašča in graf e At ima grbo Spodnja slika prikazuje grbo v primeru M = 5 Tukaj manjka še: računanje matrične ekponentne funkcije Tukaj manjka še: računanje integralov z matrično ekponentno funkcijo 26 Računanje frekvenčnega odziva Tukaj manjka še: poglavje o ekonomičnem računanju frekvenčnega odziva (2 strani priprav)

Poglavje 3 Vodljivost in spoznavnost 31 Uvod Imamo linearni zvezni kontrolni sistem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t ) = x, t t, y(t) = Cx(t) + Du(t) Grobo povedano nam vodljivost pove, v kolikšni meri lahko z vhodom u(t) vplivamo na stanje x(t) Spoznavnost pa nam pove, ali lahko iz poznavanja vhoda u(t) in izhoda y(t) razberemo stanje x(t) Z obema pojmoma se srečamo, ko želimo s povratno zvezo iz stanja stabilizirati sistem poznamo stanje x(t), lahko za povratno zvezo vzamemo Če u(t) = v(t) Kx(t), kjer je v(t) referenčna vhodna funkcija (signal) Dobimo ẋ(t) = (A BK)x(t) + Bv(t), x(t ) = x, t t, y(t) = (C DK)x(t) + Dv(t) Pri stabilizaciji iščemo za dani A, B tako matriko K, da bo A BK stabilna Izkaže se, da je obstoj take matrike povezan z vodljivostjo sistema Težava pri zgoraj opisani povratni zvezi je, da ponavadi ne poznamo stanja x(t), temveč le izhod y(t) Če želimo vseeno uporabiti povratno zvezo s stanjem, moramo z novim sistemom, ti opazovalcem, iz vhoda in izhoda generirati čim boljšo sproksimacijo za stanje Obstoj takega opazovalca pa je povezan s spoznavnostjo sistema 32 Vodljivost Definicija 31 Za sistem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t) pravimo, da je vodljiv, če za poljubno začetno stanje x in končno stanje x 1 obstaja končni t 1 in vhod u(t), t t 1, da iz začetnega stanja x() = x sistem pride v končno stanje x(t 1 ) = x 1 33

Bor Plestenjak - Numerične metode za linearne sisteme upravljanja (verzija: 3 april 212) 34 Ker se izkaže, da je vodljivost odvisna le od matrik A in B, govorimo tudi o tem, da je par (A, B) vodljiv Izrek 32 Za A R n n in B R n m, m n, je ekvivalentno: 1 sistem ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) je vodljiv, 2 vodljivostna matrika C M = [ B AB A 2 B A n 1 B R n (nm) je polnega ranga, 3 Matrika je nesingularna za vsak t 1 > W c = t1 e At BB T e AT t dt Dokaz (1= 2): Denimo, da je rang(c M ) < n Potem obstaja neničelni vektor w R n, ki ni linearna kombinacija stolpcev matrike C M Splošna rešitev enačbe stanja je Od tod sledi x(t 1 ) e At 1 x = = B t1 t1 t1 x(t 1 ) = e At 1 x + e A(t1 t) Bu(t)dt (31) (I + A(t 1 t) + A2 (t 1 t) 2 u(t)dt + AB t1 2 ) + Bu(t)dt (t 1 t)u(t)dt + A 2 B t1 (t 1 t) 2 u(t)dt + 2 Po Cayley-Hamiltonovemu izreku je A n linearna kombinacija I, A,, A n 1, to pa pomeni, da je x(t 1 ) linearna kombinacija stolpcev B, AB,, A n 1 B Sedaj se iz začetnega stanja x = ne moremo premakniti v x(t 1 ) = w, saj w im(c M ) (2= 3): Denimo, da je matrika W c singularna Potem obstaja tak neničelni vektor v, da je W c v =, torej tudi v T W c v = Če definiramo c(t) = B T e AT t v, lahko opazimo, da je = t1 v T e At BB T e AT t vdt = t1 c(t) T c(t)dt = t1 c(t) 2 2 Zgornji izraz je lahko nič le v primeru, ko je c(t), torej v T e At B = ta t t 1 Potem so tudi vsi odvodi c(t) enaki, z odvajanjem pa dobimo v T A i B = za i = 1, 2,, torej je vektor v ortogonalen na vse stolpce C M, ki potem ne more biti polnega ranga (3= 1): Za izbrani x 1 in iščemo u(t), da bo x(t 1 ) = x 1 Pokažimo, da je dobra izbira u(t) = B T e AT (t 1 t) W 1 c ( e At 1 x + x 1 ) (32)