Τριγωνομετρία Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 8 / / 0 5 Άλγεβρα Κεφάλαιο 9 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για την τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών 4 9. Αν,, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 5,,, 94. Ομοίως αν,0 a Αν α ακτίνια και μ μοίρες : 80 95. Ομοίως αν, 96. Δίνεται, Σ ή Λ 97. Δίνεται, Σ ή Λ 98. Δίνεται, 0 Σ ή Λ 99. Αν a y a y, 9 4 ; 400. Ν.δ.ο. 40. 40. 40. 404. 405. 406. 0 ημω 0 συνω εφω 0 σφω - 6 4 0-0 Τριγωνομετρικές ταυτότητες, Τα παραπάνω χρησιμοποιούνται σε ασκήσεις : (π.χ.) Αν, τότε να 5 βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς.
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 407. Μετατροπή τριγωνομετρικών αριθμών 408. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : (),(),(),(),(),(), (),() 409. (),(),(),(),(),(),(),() 40. (),(),(),(),(), (),() 4. (),(),(),(), (),(),() 4. (5),(4),(),(),(),(),, 4. Ν.δ.ο. ισχύουν οι σχέσεις : 44. Ν.δ.ο. 45. Αν y, y a 46. Ν.δ.ο.,,, 47. Να αποδείξεις ότι : 48. 49. 40. 4. 4. 4. 44. Να υπολογίσεις :, H O E
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 45. 46. 47. Αν, ; 5 48. Αν,, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 49. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημ0,συν0,εφ0,σφ00,ημ60,εφ40 5 5 5 40. Να υπολογίσεις :,,, 4 6 6 5 4. Αν 8, να βρεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 7 ο 4 4. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξεις ότι :, ()() 4. Ν.δ.ο. 7 ()() 44. ()()()() 0 ()(7) 45. ήά A 7 (9) ( ) 46. ίόό 4 ίόύύ 9 47. άύύώ έύύί 48. έ ()()()() 49. A, ()() ()() ήά (80)(540)(450) 440. ήά (90)(80)( 70)
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 44. ίώ 44. άέ 44. a 675 90 40 675 444. ή 0 0 445. (,)...() () Γραφικές παραστάσεις 446. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : f (),() g,() h,() k 5 447. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : f (),() g,() h 448. Ομοίως : f (),() g,() h 449. Με μία ματιά να βρεις τα μέγιστα, ελάχιστα, περίοδο των συναρτήσεων : f (),() g,() h 450. Ομοίως : f (),() g 5,() v 5 6 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 45. Να λυθούν οι εξισώσεις :,, 45. 4 0 a 45. 4 0 a 454. 8 9 4 455. 4 0 456. 457. 4 4 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 458. 0, 0, 460. 7 459., 0, 46. 46. 46. 4 4 464. 5 5 465. Ανωμαλίες σε τριγωνομετρικές εξισώσεις : 466. ΤΥΠΟΙ ΑΛΛΑΓΗΣ με τετράγωνο : 6 467.,, 468. 469. 0 470. 47. 0 0 47. 0 4 6 474. 5 0 6 47. 0 475. 476. 477. 4 4 4 478. 479. 480. 0,, 4 48. 48. 48. 484. 485. 5 Χωρίς τετράγωνο :,, Με - :, (),()
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 486. 487. 488. 489. 490. 49. 49. 49. 494. ίί 495. ί 496. 497. 498. 5 499. 5 500. 50. 50. 50. 504. ύί 5 505. 506. 507. 508. 509. 50. 5. 5. Έστω η εξίσωση, να βρεις πότε ορίζεται η εξίσωση αυτή.να λύσεις για 0, t 5. Το βάθος νερού σε λιμάνι κατά της διάρκειας της ημέρας δίνεται από τύπο : h() t 5 0 σε μέτρα 6 0 t 4, να βρεις ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι 40 μέτρα, ποιο το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο βάθος του νερού.ποια ώρα της ημέρας το νερό έχει το μέγιστο βάθος 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 54. ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ,,, 55. 0, 0, 0, 0 56. 0, 0, 6 0 57. 0, 0 0 58. 59. 0, 0, 0 50. 5. 5. 0, 0, 4 0,,, 5. 0, 0, 0, 6 0 54. 55. 0 0, 0, 0 56. 57. 0 4 0, 4 0, 0 58. 0, 0, 4 0 59. 5,, 5 0 5 50.,, 6 4 5. 0, 0, 5. 5. 54. 0, 5 0, 5 0,,, 0, 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Δύσκολες 55. Να μελετήσεις της τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς περίοδο, άρτια και περιττή. 56. Να σχεδιάσεις f () σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και την ίδια σε πλάτος π. 57. Αν f () να βρεις : μέγιστο, ελάχιστο,περίοδο και γραφική παράσταση 58. Να μελετήσεις τη συνάρτηση f () 59. Να βρεις τη χρονική στιγμή όπου η συνάρτηση () t t παίρνει την τιμή /8 4 540. Να βρεις τα εύρος της συνάρτησης y=ημt 54. Η θερμοκρασία σε πλανήτη t ώρες μετά τα μεσάνυχτα t δίνεται από τύπο () t, t 0,4.Να βρεις το κ αν στις 8 το πρωί η θερμοκρασία είναι 5.Π τε έχει ελάχιστη θερμοκρασία ο πλανήτης και ποια η μέγιστη θερμοκρασία του. 54. Να λυθεί η εξίσωση : 0, 0,. Να παραστήσεις τη λύση σε τριγωνομετρικό κύκλο και να βρεις το είδος και το εμβαδό του σχήματος που δημιουργείται. 54. Αν f () Άρτια συμμετρία Περιττή συμμετρία Περιοδική ()() Άρτια ()() Περιττή f ()(), να βρεις πότε η f παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή. χχ Αρχή των αξόνων f T f f f f 544. Να βρεις για ποιο χ η ποσότητα,0 έχει τη μέγιστη τιμή. t 545. Οι μηνιαίες πωλήσεις προιόντος σε χιλιάδες κομμάτια δίνονται από τύπο : () t 75 50, όπου 6 to χρόνος σε μήνες. Να βρεις σε πόσους μήνες θα έχω 00000 πωλήσεις.να βρεις τις μέγιστες πωλήσεις.να βρεις το μήνα με τις μέγιστες πωλήσεις. 546. Αν 547. Αν,, να υπολογίσεις την παράσταση : 5,, να βρεις το συνχ 548. Ν.δ.ο. 549. Ν.δ.ο. 550. Ν.δ.ο. 8
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 55. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : (5)(0) 55. Ν.δ.ο. 7 ()() 55. Να βρεις μέγιστο, ελάχιστο και περίοδο με μία ματιά στις συναρτήσεις : f (),() g,() ( h ) 554. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : y, y ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 555. 0 6 556. 0 557. 0 5 5 4 6 559. 0 558. 0 560. 0 56. 0 56. 56. 564. 4 565. 0 566., 90, 70 567. 568. 569. 570. 6 5 4( ) 0 57. 0 57. 0 9
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 57. () 0 574. 0, 575. 4 4 576. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις : 577. 578. 4 4 579. 580. 58. 58. 58. 5 7 8 9 0 584. Να βρεις τη σχέση των α,β αν γνωρίζεις ότι οι συναρτήσεις έχουν την ίδια περίοδο : f () a,() g b 585. Να βρεις τις τιμές του χ ώστε 586. Να λυθεί η εξίσωση : 0 587. Να συγκρίνεις 0, 40 & 0, 0 588. Δίνεται η συνάρτηση 5 f () a 589. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α<Β<Γ=Α, ισχύει με μέγιστη τιμή το 7. Να βρεις τη γωνία α. 0, να βρεις το είδος του τριγώνου ως προς τις γωνίες του και ν.δ.ο. 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 5 5 Υπολόγισε : 590. Υπολόγισε : 65 5 65 5 59. Υπολόγισε : 59. Υπολόγισε : 65 5 5 65 59. Ν.δ.ο. 4 4 594. Ν.δ.ο. a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b 99 595. Υπολόγισε : 0 0 00 596. Ν.δ.ο. ( ) ( ) 597. Αν ( ), να αποδείξεις ότι : ( ) 0 598. Να λύσεις την εξίσωση : 4 4 599. Ν.δ.ο. 600. Αν 0 60. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : 57 a b a b ab a b a b ab a b a b ab b a ab b a 60. Ν.δ.ο. 45 60. Ν.δ.ο. 604. Ν.δ.ο. 0 40 0 605. Ν.δ.ο. ()() 606. Ν.δ.ο. 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 607. Ν.δ.ο. y y 608. Δίνεται 609. Δίνεται y, y ; 4 y 60, y ; 5 60. Δίνονται y k y m y, ; 6. Αν a b a b, να αποδείξεις ότι : a b a b 6. Ν.δ.ο. 45 45 y 45 45 y y a b a b a b 6. Ν.δ.ο. 64. Αν a b c 90, να αποδείξεις ότι : ab ac bc 65. Αν a b c 90, να αποδείξεις ότι : ab c b c 66. Να λυθεί η εξίσωση : 4 4 67. Ν.δ.ο. 68. Ν.δ.ο. 69. Αν, να λυθεί στο διάστημα [0,π] η εξίσωση : 60. Ν.δ.ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλασίου τόξου 6. Υπολόγισε : 6. Υπολόγισε : 6. Υπολόγισε : 5 5 4 4 8 5,5 64. Υπολόγισε :,5 65. Ν.δ.ο. a a a a a a a a a a a a a
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 66. Ν.δ.ο. 67. Ν.δ.ο. 68. Ν.δ.ο. a a a a a a a 69. Ν.δ.ο. 60. Να λύσεις την εξίσωση : 0 6. Αν 6. Ν.δ.ο.,,, ; 6. Ν.δ.ο. 64. Ν.δ.ο. 65. Ν.δ.ο. 4 4 4 4 8 66. Ν.δ.ο. 4 4 67. Ν.δ.ο. 68. Ν.δ.ο. 69. Να λυθεί η εξίσωση : 4 5 0 640. Να λυθεί η εξίσωση : 64. Να λυθεί η εξίσωση : 64. Να λυθεί η εξίσωση : 64. Να λύσεις την εξίσωση : 0 644. Να λύσεις την εξίσωση : 645. Να λύσεις την εξίσωση : 0 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 646. Ν.δ.ο. 4 4 647. Ν.δ.ο. 648. Να βρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 649. Να λυθεί η εξίσωση : :,0 Επαναληπτικές δύσκολες 650. Αν εφα,εφβ οι ρίζες της εξίσωσης : a b 65. Να λύσεις το σύστημα : y 4 y 4 65. Να λύσεις την εξίσωση : 6 65. Ν.δ.ο. 5 5 654. 4 655. Να λυθεί η εξίσωση : 0 656. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 657. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 658. Να λυθεί η εξίσωση : 659. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : 0 ; A 0 A B 90 660. Ν.δ.ο.σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ : 66. Ν.δ.ο. 66. Ν.δ.ο. 4 5 6 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 66. Ν.δ.ο. 4 4 4 664. Να λύσεις εξίσωση : 665. Να λύσεις εξίσωση : 666. Να λύσεις την εξίσωση : 667. Ν.δ.ο. 4 0 0 668. Να λύσεις την εξίσωση : 8 5