EXERCICIOS DE ÁLXEBRA. PAU GALICIA

Maemáicas II EXERCICIOS DE ÁLXEBRA PAU GALICIA a) (Xuño ) Propiedades do produo de marices (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan M e N M + I, onde I denoa a mariz idenidade de orde n, calcule N e M 3 Son M ou N inversibles? Razoe a resposa a) (Xuño ) Propiedades dos deerminanes (só enuncialas) b) (Xuño ) Sexan F, F, F 3 e F 4 as filas dunha mariz cadrada P de orde 4 x 4, al que o seu deerminane vale 3 Calcule razoadamene o valor do deerminane da inversa de P, o valor do deerminane da mariz αp, onde α denoa un número real non nulo, e o valor do deerminane da mariz al que as súas filas son F - F 4, F 3, 7F e F 4 3 (Seembro ) Calcule α para que o seguine sisema homoxéneo eña máis solucións que a rivial Resólvao para dio valor de α e dea unha inerpreación xeomérica do sisema de ecuacións e da súa solución x + y z x + y αz x y z 4 (Seembro ) Calcule os valores do parámero α para os que a mariz mariz inversa de M para α, se é posible M 4 α 3 non en inversa Calcule a α 5 a) (Xuño ) Definición de produo de marices b) (Xuño ) Dadas res marices A, B e C sábese que A B C é unha mariz de orde x 3 e que B C é unha mariz de orde 4 x 3, cal é a orde de A? Xusifíqueo 6 a) (Xuño ) Enunciado do eorema de Rouché-Fröbenius 3x + z b) (Xuño ) É compaible deerminado o sisema de ecuacións 5x + y? Xusifique a súa resposa x y + 4z 3 Como consecuencia da súa resposa anerior, xusifique se en unha, ningunha ou máis dunha solución ese sisema 7 (Seembro ) Discua o seguine sisema de ecuacións segundo o valor de α e resólvao no caso en que sexa x + y + z α compaible indeerminado: αx + y + z α x + y + αz 8 (Seembro ) Ache, se exise, unha mariz X que verifique a ecuación B X BX + X B, sendo B 3 9 (Xuño 3) Considéranse dúas marices A e B que verifican A 3 + B 7 e 3 A B Calcule A B PAU GALICIA Bloque: Álxebra

Maemáicas II (Xuño 3) Calcule, por ransformacións elemenais (sen empregar a regra de Sarrus) e xusificando os pasos, o + a b c deerminane: a + b c a b + c (Seembro 3) Demosre que a mariz A verifica unha ecuación do ipo A + αa + βi O, deerminando α e β (I denoa a mariz idenidade) Uilice ese feio para calcular a inversa de A (Seembro 3) Discua e inerpree xeomericamene, segundo o parámero a, o sisema de ecuacións: 3x y a x 5x + y + z a y 4 y + 3x a z 3 (Xuño 4) Ache res números sabendo que o primeiro menos o segundo é igual a un quino do erceiro, que se ao dobre do primeiro lle resamos seis resula a suma do segundo e o erceiro e, que ademais o riplo do segundo menos o dobre do erceiro é igual ao primeiro menos oio 4 (Xuño 4) Demosra que oda mariz cadrada 3-dimensional se pode escribir como suma dunha mariz simérica e oura anisimérica 5 a) (Seembro 4) Enunciado da regra de Cramer b) (Se 4) Deermine os coeficienes do polinomio de grao dous al que a súa gráfica pasa polos punos (, 5), (, 7) e (-, 5) Pode haber ouro polinomio de segundo grao que pase por eses res punos? Razoa a súa resposa 6 a) (Seembro 4) Exprese a condición que eñen que cumprir dúas marices M e N para que poida realizarse a súa suma E, se o que preendemos é muliplicalas, que condición deben cumprir as marices? b) (Seembro 4) Dadas as marices A e 5 B, ache a mariz X al que A X + B 5 7 (Xuño 5) Ache odas as marices ( ) a ij mariz idenidade de orde res e A, cadradas de orde res, ales que a a3 e A + A 4I, sendo I a A a mariz rasposa de A, das que ademais sábese que o seu deerminane vale 8 (Xuño 5) Discua e inerpree xeomericamene, segundo os diferenes valores do parámero m, o seguine sisema: x + y z 4x y + z m 3x y + mz 4 9 (Seembro 5) Resolva a ecuación maricial: A X + C B sendo 4 A, B e C 3 (Seembro 5) Discua e resolva, segundo os valores do parámero α, o seguine sisema de ecuacións Inerpréeo x 3y + z xeomericamene en cada caso: x αy 3z 5x + 3y z PAU GALICIA Bloque: Álxebra

(Xuño 6) Dada a mariz A m : Maemáicas II a) Calcula os valores do parámero m para os que A en inversa 3 5 b) Para m calcula A e A c) Para m, calcula a mariz X que verifica X A B, sendo B ( ) (Xuño 6) a) Discue e inerprea xeomericamene, segundo os valores do parámero m: x y + z x y + z m mx y + z b) Resólveo, se é posible, para os casos m e m 3 a) (Seembro 6) Sexan A, B e C res marices ales que o produo A B C é unha mariz 3 x e o produo unha mariz cadrada, sendo C a rasposa de C Calcula, razoando a resposa, as dimensións de A, B e C A C b) (Se 6) Dada M, obén odas as marices X que conmuan con M, é dicir, verifican X M M X é c) (Seembro 6) Calcula a mariz Y que verifica M Y + M Y I, sendo M a mariz dada en b), inversa de M e I a mariz unidade de orde M a mariz 4 a) (Seembro 6) Se nun sisema de res ecuacións lineais con res incógnias, o rango da mariz dos coeficienes é 3, podemos afirmar que o sisema é compaible? Razoa a resposa y + mz (Seembro 6) b) Discue, segundo os valores do parámero m, o sisema de ecuacións lineais: x + z mx y m c) Resolve o sisema anerior para o caso m 5 a) (Xuño 7) Sexan F, F, F 3 as filas primeira, segunda e erceira, respecivamene, dunha mariz cadrada M de orde 3, con de(m) - Calcula o valor do deerminane da mariz que en por filas F - F, F, F + F 3 b) (Xuño7) Dada C acha as marices X e Y que verifican: X + Y X Y C C se C a rasposa de C 6 (Xuño 7) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: mx + y + z x my z x + y + z b) Resólveo, se é posible, no caso m 7 (Seembro 7) Dada a mariz A m : m + a) Esuda, segundo os valores de m, o rango de A b) Para m -, calcula a mariz X que verifica X A + A I, sendo I a mariz unidade de orde 3 8 (Seembro 7) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: x + my + mz x + my + mz m my + mz 4m b) Resólveo, se é posible, no caso m PAU GALICIA Bloque: Álxebra 3

9 (Xuño 8) Dada a mariz m A m : Maemáicas II a) Calcula os valores de m para os que A en inversa b) Para m, calcula a mariz X que verifica X A + X A x + 3y + z m 3 (Xuño 8) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións: x y + z 3x + y + z b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m - 3 (Seembro 8) a) Esuda, segundo os valores de m, o rango da mariz M b) Para o valor m, resolve a ecuación maricial Para ese valor de m, cano valerá o deerminane da mariz M X 3A m, sendo ( ) M? A e m m A a mariz rasposa de A 3 (Seembro 8) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: 3x y 3z m x + y z mx + 3y + z 3 b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m a 33 a) (Xuño 9) Dada a mariz A, calcula os rangos de a A Para o valor a, resolve a ecuación maricial A A X B, sendo B 3 A A e de A A, sendo A a mariz rasposa de b) (Xuño 9) Sexa M unha mariz cadrada de orde 3 con de(m) - e que ademais verifica M 3 + M + I, sendo I a mariz unidade de orde 3 Calcula os deerminanes das marices: M + I e 3 M + 3I 34 (Xuño 9) a) Resolve, se é posible, o seguine sisema de ecuacións lineais: x + y z 5 x + y z b) Calcula o valor de m, para que ao engadir ao sisema anerior a ecuación: x + y z m resule un sisema compaible indeerminado 3 35 a) (Seembro 9) Esuda, segundo os valores de m, o rango da mariz M m m + m 8 b) (Seembro 9) Resolve a ecuación maricial A X B, sendo A, B 36 (Seembro 9) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: x y + z x y z x y + 4z m b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m PAU GALICIA Bloque: Álxebra 4

Maemáicas II 37 (Xuño ) Dada a mariz A : a) Se I é a mariz idenidade de orde 3 calcula os valores de λ para os que A + λ I non en inversa Calcula se exise a mariz inversa de A I b) Calcula a mariz X al que X A + A X, sendo A a mariz rasposa de A 38 (Xuño ) a) Discue, segundo os valores do parámero a, o seguine sisema de ecuacións lineais: a x + y + z a x + y + z x y + z a b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso a 39 a) (Seembro ) Pon un exemplo de mariz simérica de orde 3 e ouro de mariz anisimérica de orde 3 b) (Seembro ) Sexa M unha mariz simérica de orde 3 con de( M) deerminane de M + M, sendo M a mariz rasposa de M Calcula, razoando a resposa, o c) (Seembro ) Calcula unha mariz X simérica e de rango que verifique X 4 (Seembro ) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: m x + y z x + y + z x y + z m b) Resólveo, se é posible, nos casos m e m - 4 a) (Xuño ) Sexan C, C, C 3 as columnas primeira, segunda e erceira, respecivamene, dunha mariz cadrada de orde 3 con de ( M) 4 Calcula, enunciando as propiedades de deerminanes que uilices, o deerminane da mariz cuxas columnas primeira, segunda e erceira son, respecivamene, C, C C3, C + C3 b) (Xuño ) Dada a mariz mariz rasposa de A a A b, calcula odos os valores de a e b para os que A A, sendo A a 4 (Xuño ) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: m x y + z x + m y + z x + 3y z m b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m 43 a) (Seembro ) Se A é unha mariz al que A 3 + I O, sendo I a mariz idenidade e O a mariz nula de orde 3, cal 3 é o rango de A? Calcular o deerminane de A Calcula A no caso de que sexa unha mariz diagonal verificando a igualdade anerior b) (Seembro ) Dada a mariz B, calcula unha mariz X al que B X B B B PAU GALICIA Bloque: Álxebra 5

Maemáicas II 44 (Seembro ) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: x + m y + 3z x + y + m z m x + 4 y + 3z b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m 4 m m m 45 (Xuño ) Dada a mariz A m m a) Esuda, segundo os valores de m, o rango da mariz A b) Resolve, se é posible, o sisema x A y para o valor m z 46 (Xuño ) Dado o sisema: x y + 3z 5 x 3y + z 4 a) Calcula o valore de α para que ao engadirlle a ecuación α x + y + z 9, resule un sisema compaible indeerminado Resólveo, se é posible, para α b) Exise algún valor de α para o cal o sisema con esas res ecuacións non en solución? 47 a) (Seembro ) Calcula, segundo os valores de a, o rango de deerminane da mariz A A a A a + a a + a Para a, calcula o a + b) (Seembro ) Sexa B y x Calcula x e y para que se cumpra que B B (Noa: A e B represenan a mariz rasposa de A e B respecivamene) 48 (Seembro ) a) Discue, segundo os valores de m, o sisema: x + y m x m y 3 3x + 5 y 6 b) Resólveo, se é posible, para m 49 (Xuño 3) Dadas as marices A, B, sexa B a mariz rasposa de B e I a mariz idenidade de orde 3 a) Esuda, segundo os valores do parámero λ, o rango de A B + λ I b) Calcula a mariz X que verifica: A B X X B PAU GALICIA Bloque: Álxebra 6

Maemáicas II 5 (Xuño 3) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: x + m y + z m x y + z x y + z b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m 5 a) (Seembro 3) Sexa M unha mariz cadrada de orde al que M 4 M Deermina a mariz X que verifica a ecuación maricial (M I) X I, sendo I a mariz idenidade de orde x y b) (Seembro 3) Deermina odas as marices B da forma y x inversible, calcula a súa inversa que verifiquen B 4B Se algunha é c) (Seembro 3) Cando un sisema de ecuacións lineais se di homoxéneo? Pode ser incompaible un sisema de ecuacións lineais homoxéneo? Xusifica a resposa 5 (Seembro 3) Dada a mariz A : m a) Calcula, segundo os valores de m, o rango de A b) Coincide A coa súa inversa para algún valor de m? Para m calcula 6 A c) Se m e A é a mariz de coeficienes dun sisema de res ecuacións lineais con res incógnias, podemos afirmar que o sisema en solución única? Xusifica a resposa 53 a) (Xuño 4) Esuda, segundo os valores de m, o rango da mariz 3 A m m 3 b) (Xuño 4) Coincide 3 A m coa súa inversa para algún valor de m? m 3 3 c) (Xuño 4) Deermina unha mariz simérica X de orde al que X e o deerminane da mariz 3 X sexa 5 9 54 (Xuño 4) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o seguine sisema de ecuacións lineais: 3x y z m + m x + 3 y z 3x y + 5z b) Resolve, se é posible, o sisema anerior para o caso m 9 9 55 a) (Seembro 4) Define menor complemenario e adxuno dun elemeno nunha mariz cadrada PAU GALICIA Bloque: Álxebra 7

Maemáicas II PAU GALICIA Bloque: Álxebra 8 b) (Seembro 4) Sexan I a mariz idenidade de orde 3 e A, deermina os valores de λ para os que A λ I + non en inversa c) (Seembro 4) Calcula a mariz X que verifica X A X A, sendo A 56 (Seembro 4) a) Discue, segundo os valores do parámero m, o sisema: ( ) ( ) + + + + y x z y m m z m m y x b) Resolve, se é posible, para 3 m