1 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΡΑΤΩΝ ( ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ RICHARDSON ) Μπερκέτης M. Νίκος ρ. Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστήµιου Αθηνών Τµήµα Μαθηµατικό Καθορισµός του όρου Πρόβληµα. Μαθηµατικοποίηση ενός προβλήµατος µε χρήση Μαθηµατικών µοντέλων. Η διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος. Η χρήση των διαφορικών εξισώσεων, συνήθεις ή µε µερικές παραγώγους, για την αντιµετώπιση πολλών προβληµάτων. Μοντελοποίηση του ανταγωνισµού των εξοπλισµών των κρατών ( Μοντέλο του Richardson ). Μαθηµατική εξήγηση η τάση για τον Β Παγκόσµιο πόλεµο µε το µοντέλο του Richardson. 1. Εισαγωγή Τα µαθηµατικά, γενικά, είναι σαν το χάρτη που αναπαριστά µια πραγµατικότητα αλλά δεν είναι η πραγµατικότητα. Τα µαθηµατικά, λοιπόν µας δίνουν ένα χάρτη του πραγµατικού κόσµου.[4] Ο χώρος της φυσικής προµήθευε πολλά προβλήµατα στους µαθηµατικούς για να γίνει η αρχή της θεωρίας και των µεθόδων σε πάρα πολλούς τοµείς των µαθηµατικών. Σήµερα έχουν εµφανιστεί δύο νέες πηγές προβληµάτων 1. Ο ανθρώπινος οργανισµός. Τα κοινωνικά προβλήµατα ( π.χ οικονοµικά προβλήµατα, δυναµική των πληθυσµών ) Με τον όρο Πρόβληµα εννοείται µια κατάσταση η οποία χρήζει αντιµετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.[5] Αυτή η αλληλεπίδραση µεταξύ της κατανόησης φυσικών φαινοµένων ή κοινωνικών φαινοµένων και της γνώσης µαθηµατικών µεθόδων καθώς και των περιορισµών τους είναι χαρακτηριστική για τα Εφαρµοσµένα µαθηµατικά στην καλύτερη µορφή τους και είναι απαραίτητη για την επιτυχή κατασκευή χρήσιµων µαθηµατικών µοντέλων περιγραφής
περίπλοκων φυσικών διαδικασιών. Η διαδικασία µέσω της οποίας οι επιστήµονες βρίσκουν το ζητούµενο ( επιτυγχάνουν τον επιθυµητό στόχο) ονοµάζεται επίλυση ή αντιµετώπιση του προβλήµατος.h διαδικασία επίλυσης ενός προβλήµατος περιλαµβάνει τα ακόλουθα αλληλεπιδρώντα στάδια : [1],[] 1. Κατανόηση και καθορισµό του προβλήµατος δηλαδή ορίζουµε το πραγµατικό πρόβληµα συλλέγοντας δεδοµένα.. Ανάλυση του προβλήµατος. Στο στάδιο αυτό µε την συλλογή δεδοµένων από το πρώτο στάδιο και την αποδοχή κάποιων υποθέσεων κάνουµε την µαθηµατικοποίση του προβλήµατος. Η µαθηµατικοποίηση ονοµάζεται µαθηµατικό πρότυπο (µοντέλο) για πραγµατικά φαινόµενα. 3. Σχεδιασµός ( σύνθεση ) ενός σχεδίου λύσης του προβλήµατος 4. Μετά την µαθηµατικοποίηση του προβλήµατος και τον σχεδιασµό λύσης γίνεται επίλυση του µαθηµατικού προβλήµατος. 5. Γνωρίζοντας τη λύση ( ή κάποιες πληροφορίες για αυτή) πρέπει να την ερµηνεύσουµε µε όρους του χώρου από τον οποίον προέκυψε το δοθέν πρόβληµα. Για την επίλυση πολλών προβληµάτων χρησιµοποιούµε µαθηµατικά µοντέλα, που αποτελούνται από διαφορικές εξισώσεις (differential equations)., συνήθεις ή µε µερικές παραγώγους, που περιγράφουν τον τρόπο µεταβολής των µεγεθών του προβλήµατος καθώς επίσης και από βοηθητικές συνθήκες, αρχικές ( πρόβληµα αρχικών τιµών ) ή συνοριακές ( πρόβληµα συνοριακών τιµών ), που εκφράζουν τις τιµές των µεγεθών ή και των παραγώγων τους σε κάποια δεδοµένη χρονική στιγµή ή θέση ( δεδοµένα του προβλήµατος ). Ιδιαίτερα πρέπει πάντα να ελέγχουµε αν και κατά πόσο η λύση εµφανίζεται να είναι φυσική, λογική δηλαδή να ισχύει η αρχή της αιτιότητας, αυτό απαιτεί την καλή τοποθέτηση του προβλήµατος, δηλαδή ότι η λύση υπάρχει, ότι είναι µοναδική και ότι εξαρτάται συνεχώς από τα δεδοµένα του προβλήµατος. Για να εξετάσουµε ένα µαθηµατικό πρόβληµα, αρκεί να το µεταφράσουµε από την καθηµερινή γλώσσα στη γλώσσα της Άλγεβρας Ι. Νεύτων. Το Μοντέλο του Richardson (ή ένα µοντέλο ανταγωνισµού εξοπλισµού) Α ) Κατανόηση και ανάλυση του προβλήµατος:
3 Έχουµε δύο κράτη Α και Β όπου το καθένα εξοπλίζεται αντιµετωπίζοντας το ενδεχόµενο της επίθεσης του άλλου. Ο εξοπλισµός τους εξαρτάται : 1) από τον συνολικό εξοπλισµό του άλλου, ) από το οικονοµικό κόστος τους και 3) από τις «σταθερές απειλής» c 1,c που εκφράζουν την εχθρότητα που επικρατεί στις διαθέσεις του κράτους Α απέναντι στο κράτος Β και αντίστροφα. Β ) Μαθηµατικοποίηση του προβλήµατος : Αν x=x(t) είναι ο συνολικός εξοπλισµός του κράτους Α το χρόνο t και ψ= ψ(t) του κράτους Β τον ίδιο χρόνο τότε οι µεταβολές των x(t) και ψ(t) εξαρτώνται από τις υποθέσεις (1), () και (3) που έγιναν στην ανάλυση του προβλήµατος. Τα παραπάνω εκφράζονται µε το παρακάτω γραµµικό σύστηµα διαφορικών εξισώσεων : [3],[4] dx = a dψ = a 1 x+ a x a 1 ψ + c ψ + c 1 (.1) Οι σταθερές a a, a,, είναι θετικές και µπορούµε να τις, 1 1 a προσδιορίσουµε και c 1, c Αν θεωρήσουµε ότι c 1,c είναι συναρτήσεις του χρόνου t θα είµαστε πιο κοντά στην πραγµατικότητα, δηλαδή θα έχουµε ένα πιο αξιόπιστο µοντέλο. Θέτουµε ψ(t) =,δηλαδή το κράτος Β δεν εξοπλίστηκε τον χρόνο t και η σταθερά απειλής c 1 είναι µηδέν, τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήµατος (.1) έχουµε : dx dx = ax = a x x( t ) dp = a p x t t
4 άρα a ( ) ( t t x t = e ) x( t ) (.) µε x ( t ) = x για κάθε t t 1 αν θέσουµε στη σχέση (.) όπου t το t + θα έχουµε ότι a 1 1 x( t + ) = x( t ) (.3) a e από τη σχέση (.3) έχουµε ότι το a είναι ο χρόνος που απαιτείται σ αυτή την περίπτωση ώστε το κράτος Α να µείωση τον εξοπλισµό του στο e του αρχικού εξοπλισµού x ( t ). Το a λαµβάνεται µε µία κοινοβουλευτική περίοδο του κράτους Α. Οµοίως αν x ( t) = και c = έχουµε ότι : 1 1 ψ ( t + ) = ψ ( t ) (.4) a e µε ψ ( t ) = ψ για κάθε t t δηλαδή το a είναι ο χρόνος που απαιτείται ώστε το κράτος Β να κάνει µείωση στον εξοπλισµό του ίσο µε το e του αρχικού εξοπλισµού ψ ( t ).Το a λαµβάνεται µε µία κοινοβουλευτική περίοδο του κράτους Β. Αν ψ (t ) = η, η: σταθερά για κάθε t δηλαδή το κράτος Β έχει σταθερό εξοπλισµό µε c 1 = και το κράτος Α δεν κάνει καθόλου εξοπλισµό δηλαδή x( t) =, t τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήµατος (.1) έχουµε ότι : dx = a1 ψ ( t) άρα x( t ) dp= a αν στη σχέση (.5) θέσουµε όπου t το 1 t η x( t) = a1η t, για κάθε t (.5) a προκύπτει ότι 1 α 1 x ( ) =η (.6) 1
5 δηλαδή a 1 είναι ο χρόνος που απαιτείται για να εξισωθεί ο εξοπλισµός του κράτους Α µε το σταθερό εξοπλισµό του κράτους Β. Οµοίως αν x (t) = ξ, ξ: σταθερά για κάθε t έχουµε ότι : ψ α 1 ( 1 ) = ξ (.7) δηλαδή a 1 είναι ο χρόνος που απαιτείται για να εξισωθεί ο εξοπλισµός του κράτους Β µε το σταθερό εξοπλισµό του κράτους Α.Οι συντελεστές a 1, a1 λαµβάνονται ανάλογα της οικονοµικής και βιοµηχανικής δυνατότητας των κρατών Α και Β αντίστοιχα. Γ ) Ποιοτική λύση του προβλήµατος : I ) Αν x ( t) = για κάθε t και c 1 =, c = τότε από την δεύτερη εξίσωση του συστήµατος (.1) έχουµε ότι : dψ = a ψ ( t) άρα ψ ( t) ψ () dp p = a ψ at ( t) = e ψ () για κάθε t (.8) από τη σχέση (.8) προκύπτει ότι : lim ψ ( t) = (.9) t + Οµοίως αν ψ ( t) = για κάθε t και c 1 =, c = τότε από την πρώτη εξίσωση του συστήµατος (.1) καταλήγουµε ότι : lim x( t) = t + t (.1) Η σχέση (.9) µας δηλώνει ότι αν τα κράτη Α και Β έχουν µηδενικές σταθερές απειλής και το κράτος Α δεν κάνει εξοπλισµούς τότε το κράτος Β τείνει να µηδενίσει τους εξοπλισµούς του, δηλαδή τα κράτη Α και Β συνυπάρχουν στον πραγµατικό κόσµο σε διαρκή ειρήνη µεταξύ τους. Οµοίως από τη σχέση (.1) το κράτος Α τείνει να µηδενίσει τους εξοπλισµούς του, όταν το κράτος Β δεν κάνει εξοπλισµούς (π.χ η Ελβετία και η Γαλλία )
6 ΙΙ ) Αν x ( t) και ψ ( t) το γραµµικό µη οµογενές σύστηµα (.1) έχει κρίσιµο σηµείο που είναι η λύση του συστήµατος : ax+ a1ψ = c1 (.) a1x aψ = c που είναι a1c + ac1 x = aa a1a1 (.1) ac + a1c1 ψ = aa a1a1 αν θέσουµε λόγω των σχέσεων (..1) όπου x x το x και όπου το ψ ψ το ψ το σύστηµα (.1) γίνεται : dx = ax+ a1ψ (.13) dψ = a ψ 1x a το διαφορικό σύστηµα (.13) είναι γραµµικό οµογενές της µορφής η χαρακτηριστική εξίσωση της (.14) είναι : X = A X (.14) αν θέσουµε λ + a + a ) λ+ ( a a a a ) = (.15) ( 1 1 p= ( a + a ) q= aa a1a 1 (.16) τότε η (.15) βάση των (.16) γίνεται λ pλ+ q= (.17) Έστω λ 1,λ ιδιοτιµές του πίνακα Α της (.14) και βάση του πρόσηµου των ριζών λ 1,λ της (.17) έχουµε :
7 Αν q < ή ισοδύναµα α α < 1 τότε λ 1 < λ α1 α <, άρα έχουµε Σαγµατικό σηµείο ασταθές, δηλαδή τα κράτη Α,Β παρουσιάζουν κλιµάκωση των εξοπλισµών και του ανταγωνισµού, συνεπώς η συνύπαρξη δεν είναι δυνατή. Αν q> ή ισοδύναµα α α > 1 τότε έχουµε τις εξής υποπεριπτώσεις α1 α 1. Αν για την διακρίνουσα της (.17) ισχύει > τότε για : i) p> ή ισοδύναµα α +α < τότε < λ 1 < λ, άρα έχουµε Κόµβο ασταθές, δηλαδή αποµάκρυνση από το κρίσιµο σηµείο του συστήµατος, συνεπώς έχουµε κλιµάκωση των εξοπλισµών. ii) p < ή ισοδύναµα α +α > τότε λ 1 < λ <, άρα έχουµε Κόµβο ασυµπτωτικά ευσταθές, δηλαδή έχουµε µια πορεία προς τη σταθεροποίηση των εξοπλισµών των δύο κρατών Α και Β, συνεπώς η συνύπαρξη είναι δυνατή. p. Αν = τότε λ 1 = λ = <, άρα έχουµε νόθο κόµβο ασυµπτωτικά ευσταθές, δηλαδή έχουµε σταθεροποίηση των εξοπλισµών και τα κράτη Α,Β τείνουν οριακά στη συνύπαρξη τους. 3. Αν < τότε δεν υπάρχουν πραγµατικά λ 1, λ και έχουµε ότι i) λ 1, = κ + iµ µε κ > τότε έχουµε Σπειροειδές σηµείο ασταθές, δηλαδή αποµάκρυνση από το κρίσιµο σηµείο,συνεπώς τα κράτη Α, Β τείνουν για ένταση. ii) λ 1, = κ + i µ µε κ < τότε έχουµε Σπειροειδές ασυµπτωτικά σηµείο ευσταθές, δηλαδή τα κράτη Α,Β τείνουν στην ύφεση, συνεπώς η συνύπαρξη είναι δυνατή. iii) λ 1, = ± i µ, τότε έχουµε Κέντρο ευσταθές, δηλαδή τα κράτη Α,Β παρουσιάζουν µία περιοδικότητα ως προς το κρίσιµο σηµείο. Συνεπώς έχουµε τα εξής συµπεράσµατα για τα κράτη Α και Β : Ασυµπτωτική ευστάθεια της µηδενικής λύσης x( t) =, ψ ( t) = της (.14) έπεται πορεία προς τη σταθεροποίηση των εξοπλισµών των δύο
8 κρατών Α και Β στις τιµές x και ψ άρα και της λύσης x ( t) = x ψ t = ψ, ( ) Ελλειψοειδείς τροχιές των µηδενικών λύσεων της (.14) έπεται ότι τα κράτη Α και Β παρουσιάζουν περιοδικούς ανταγωνισµούς στους εξοπλισµούς µε εναλλασσόµενη ένταση και ύφεση στις σχέσεις τους.το ύψος των εξοπλισµών εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες x t ), ψ ( t ), όπου t είναι ο αρχικός χρόνος. ( Αστάθεια των µηδενικών λύσεων της (.14) έπεται ότι τα κράτη Α και Β παρουσιάζουν κλιµάκωση των εξοπλισµών και του ανταγωνισµού που οριακά οδηγεί στην πολεµική σύγκρουση τους. 3. Πρόβληµα Έστω τα κράτη Α και Β όπου Έχουν κοινοβουλευτική θητεία 4 και 7 χρόνια αντίστοιχα Η οικονοµική και βιοµηχανική δυνατότητα του κράτους Β είναι τριπλάσια του κράτους Α Τότε : Αν a =,5 και a =, 14 a 1 = k >, k σταθερά, a1 = 3k Το διαφορικό σύστηµα (.13) γίνεται dx =,5x+ kψ dψ = 3kx,14ψ συνεπώς από τις σχέσεις (.16) και (.17) έχουµε
9 λ +,39λ+,35 3k p=,39 q=,35 3k = Συµπεράσµατα : I ) αν q < k >, 18, τότε έχουµε σαγµατικό σηµείο ασταθές, δηλαδή κλιµάκωση των εξοπλισµών τους που οριακά οδηγεί στην πολεµική σύγκρουση. II ) Αν q > < k <, 18 και επειδή > µε p < έχουµε κόµβο ασυµπτωτικά ευσταθή δηλαδή πορεία για σταθεροποίηση των εξοπλισµών των δύο κρατών Α και Β. 4. Ιστορικό πρόβληµα Η Γερµανία από την συνθήκη των Βερσαλλιών (1919) ξεκινώντας αφοπλισµό εξισώθηκε στρατιωτικά µε τα γειτονικά κράτη µετά από τρία χρόνια. Η Γερµανία ήταν απρόθυµη στη συνέχεια να δεχτεί τα σύνορα που της ορίστηκαν το 1919 µε την συνθήκη των Βερσαλλιών,για αυτό τον λόγο και για άλλους φυσικά άρχισε να αυξάνει τον στρατιωτικό και βιοµηχανικό της εξοπλισµό, φτάνοντας στα βιοµηχανικά και στρατιωτικά επίπεδα των κρατών Γαλλίας Αγγλίας. Ονοµάζουµε Α την συµµαχία Γαλλία Αγγλία και Β την συµµαχία Γερµανία Ρωσίας. Θεωρώντας τις δύο συµµαχίες στρατιωτικά ισοδύναµες και έχοντας περίπου τριπλάσιο οικονοµικό και βιοµηχανικό δυναµικό από την Γερµανία της συνθήκης των Βερσαλλιών καθώς και οι δύο συµµαχίες είχαν πενταετή κοινοβουλευτική θητεία έχουµε : [4]
1 από τις σχέσεις (.16) έχουµε : dx =,x+,9ψ dψ =,9x,ψ p=,4 q=,77 αφού q =,77< έχουµε σαγµατικό σηµείο ασταθές, δηλαδή κλιµάκωση των εξοπλισµών και του ανταγωνισµού που οριακά οδήγησε σε πολεµική σύγκρουση, στο Β Παγκόσµιο πόλεµο. Determination of the term problem. Mathematical model of problem. Process of solving it use of ordinary or partical differential equations for Solutions of the problem. Richardson s model or the model of antagonism between the countries. Explanation of the nd World War by means of Richardson s model ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. G. Polya Πώς να το λύσω, Εκδόσεις Καρδαµίτσα, Αθήνα 1991.. G. Polya How to solve it a new aspect of mathematical method Princeton University Press ( second edition renewed ), 1985. 3. William E. Boyce and Richard C. Diprima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley, New York 1977. 4. Κυβεντίδης Θ. ιαφορικές εξισώσεις, Θεσσαλονίκη 1998. 5. Ανάπτυξη εφαρµογών σε προγραµµατιστικό περιβάλλον, Γ Ενιαίου Λυκείου, Τεχνολογική Κατεύθυνση.
ΜΠΕΡΚΕΤΗΣ Μ. ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΣ Ι /ΡΑΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
1 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ RICHARDSON Ή ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ ΚΡΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ : Ελληνική Μαθηµατική Εταιρεία Αθήνα Σεπτέµβριος
13
14