ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία

5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης των όρων σφάλματος, η οποία αποτελεί τη βάση του κλασικού υποδείγματος, παραβιάζεται. Εξετάζουμε κριτικά αυτή την υπόθεση με σκοπό να απαντηθούν τα ακόλουθα ερωτήματα: 1. Ποια είναι η φύση της αυτοσυσχέτισης; 2. Ποιες είναι οι θεωρητικές και οι πρακτικές συνέπειες της αυτοσυσχέτισης; 3. Δεδομένου ότι η υπόθεση της απουσίας αυτοσυσχέτισης σχετίζεται με τους μη παρατηρήσιμους διαταρακτικούς όρους, u t, πώς μπορεί κανείς να γνωρίζει ότι υπάρχει αυτοσυσχέτιση σε κάθε δοθείσα κατάσταση; Παρατηρήστε ότι χρησιμοποιούμε το δείκτη t για να επισημάνουμε ότι εξετάζουμε στοιχεία χρονοσειρών. 4. Πως μπορεί κάποιος να διορθώσει το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης; Οικονομετρία 2

5.2 Υπόθεση που παραβιάζεται και που εμφανίζεται Το κλασικό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης υποθέτει cov (u i, u j x i, x j ) = E(u i u j ) = 0 για κάθε i j Αυτοσυσχέτιση (autocorrelation): συσχέτιση μεταξύ των μελών μίας σειράς παρατηρήσεων διατεταγμένων στο χρόνο [όπως σε χρονοσειρές] ή στο χώρο [όπως σε διαστρωματικά στοιχεία]. Δηλαδή, για τις τιμές του διαταρακτικού όρου θα ισχύει: cov (u i, u j x i, x j ) = E(u i u j ) 0 για κάθε i j Εμφανίζεται κυρίως: 1. Σε διαστρωματικά στοιχεία 2. και σε χρονοσειρές. Οικονομετρία 3

5.3 Λόγοι εμφάνισης Γιατί προκύπτει η σειριακή συσχέτιση; Υπάρχουν διάφοροι λόγοι, ορισμένοι από τους οποίους είναι οι ακόλουθοι: Αδράνεια Όπως είναι γνωστό, οι χρονοσειρές, όπως το ΑΕΠ, οι δείκτες τιμών, η παραγωγή, η απασχόληση και η ανεργία εμφανίζουν (οικονομικούς) κύκλους. Στην τάση τους υπάρχει ενσωματωμένη μία «δυναμική», η οποία συνεχίζεται έως ότου συμβεί κάτι (π.χ., αύξηση του επιτοκίου ή των φόρων ή και των δύο) το οποίο τις επιβραδύνει. Ως εκ τούτου, σε παλινδρομήσεις που αφορούν χρονοσειρές, οι διαδοχικές παρατηρήσεις είναι πιθανό να είναι αλληλοεξαρτώμενες. Οικονομετρία 4

5.3 Λόγοι εμφάνισης Σφάλμα Εξειδίκευσης: Η Υπόθεση των Μη Συμπεριλαμβανομένων Μεταβλητών Συχνά, η εισαγωγή αυτών των μεταβλητών αφαιρεί το πρότυπο συσχέτισης που παρατηρήθηκε μεταξύ των καταλοίπων. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε έχουμε το ακόλουθο υπόδειγμα ζήτησης: Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + β 4 X 4t + u t όπου Y = ζητούμενη ποσότητα βοείου κρέατος, X 2 = τιμή βοείου κρέατος, X 3 = εισόδημα των καταναλωτών, X 4 = τιμή χοιρινού κρέατος, και t = χρόνος. Ωστόσο, για κάποιο λόγο εκτιμούμε την ακόλουθη παλινδρόμηση: Y t = β 1 + β 2 X 2t + β 3 X 3t + ν t Χρησιμοποιούμε συμβατικά το δείκτη t για στοιχεία χρονοσειρών και το δείκτη i για διαστρωματικά στοιχεία. Οικονομετρία 5

5.3 Λόγοι εμφάνισης Σφάλμα εξειδίκευσης: Εσφαλμένη Συναρτησιακή Μορφή Ας υποθέσουμε ότι το «πραγματικό» ή σωστό υπόδειγμα σε μία μελέτη κόστους-εκροής έχει ως εξής: Marginal cost i = β 1 + β 2 output i + β 3 output i2 + u i όμως εκτιμούμε το ακόλουθο υπόδειγμα: Marginal cost i = α 1 + α 2 output i + ν i Διαχρονική επίδραση τυχαίων παραγόντων Τυχαία γεγονότα και διάφορα οικονομικά φαινόμενα, όπως απεργίες, καιρικές καταστροφές, πόλεμοι κλπ. μπορεί να επιδράσουν σε μία ή περισσότερες χρονικές στιγμές. Οικονομετρία 6

Φαινόμενο Ιστός αράχνης 5.3 Λόγοι εμφάνισης Η προσφορά πολλών βασικών γεωργικών προϊόντων εκφράζει το λεγόμενο φαινόμενο του ιστού της αράχνης, όπου η προσφορά ανταποκρίνεται στην τιμή με χρονική υστέρηση μίας χρονικής περιόδου, επειδή οι αποφάσεις για την προσφορά απαιτούν χρόνο προκειμένου να εφαρμοστούν (η περίοδος καλλιέργειας). Συνεπώς, κατά την έναρξη της περιόδου καλλιέργειας του τρέχοντος έτους καλλιεργειών, οι αγρότες, επηρεάζονται από την τιμή που επικράτησε κατά το προηγούμενο έτος, με αποτέλεσμα η συνάρτηση προσφοράς τους να είναι Supply t = β 1 + β 2 P t-1 + u t Οικονομετρία 7

Χρονικές Υστερήσεις 5.3 Λόγοι εμφάνισης Σε μία παλινδρόμηση χρονοσειρών των καταναλωτικών δαπανών με το εισόδημα, δεν είναι ασυνήθιστο να διαπιστώσουμε ότι οι καταναλωτικές δαπάνες κατά την τρέχουσα περίοδο εξαρτώνται, μεταξύ άλλων, από τις καταναλωτικές δαπάνες της προηγούμενης περιόδου. Δηλαδή, Consumption t = β 1 + β 2 income t + β 3 consumption t-1 + u t Μια παλινδρόμησης όπως η παραπάνω είναι γνωστή ως αυτοπαλινδρόμηση (autoregression) επειδή μία από τις ερμηνευτικές μεταβλητές είναι η τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής με χρονική υστέρηση. Οικονομετρία 8

5.3 Λόγοι εμφάνισης «Χειραγώγηση» των Στοιχείων Είναι συνηθισμένο στην εμπειρική ανάλυση, τα ανεπεξέργαστα στοιχεία να «χειραγωγούνται». Για παράδειγμα, σε παλινδρομήσεις χρονοσειρών που αφορούν τριμηνιαία στοιχεία, τα στοιχεία αυτά συνήθως προέρχονται από μηνιαία στοιχεία με την απλή προσθήκη τριών μηνιαίων παρατηρήσεων και τη διαίρεση του αθροίσματος με το 3. Αυτή η διαδικασία εισάγει μία ομαλότητα στα στοιχεία μετριάζοντας τις διακυμάνσεις στα μηνιαία στοιχεία. Ως εκ τούτου, το διάγραμμα που παρουσιάζει τα τριμηνιαία στοιχεία φαίνεται πολύ πιο ομαλό από αυτό που παρουσιάζει τα μηνιαία στοιχεία, και αυτή η ομαλότητα μπορεί να εφαρμοστεί σε ένα συστηματικό πρότυπο των διαταρακτικών όρων, εισάγοντας συνεπώς την αυτοσυσχέτιση. Μία άλλη πηγή της χειραγώγησης είναι η παρεμβολή ή παρεκβολή στα στοιχεία. Για παράδειγμα, η Απογραφή του Πληθυσμού πραγματοποιείται κάθε 10 χρόνια. Η τελευταία ήταν το 2011 και η προηγούμενη το 2001. Οικονομετρία 9

5.4 Συνέπειες αυτοσυσχέτισης Τι συμβαίνει με τους εκτιμητές της Μεθόδου Ελαχίστων Τετραγώνων (OLS) και τις διακυμάνσεις τους, αν αγνοήσουμε την αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους; Δηλαδή, αν εκτιμήσουμε το υπόδειγμα σαν να μην υπάρχει αυτοσυσχέτιση; Με την παρουσία αυτοσυσχέτισης οι εκτιμητές της OLS εξακολουθούν να είναι γραμμικοί αμερόληπτοι και συνεπείς και να ακολουθούν ασυμπτωτικά την κανονική κατανομή, όμως δεν είναι πλέον αποτελεσματικοί (δηλαδή, δεν έχουν την ελάχιστη διακύμανση). Τι θα συμβεί στη συνέχεια, με τις συνήθεις διαδικασίες ελέγχου υποθέσεων, αν συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τους εκτιμητές της OLS; Οικονομετρία 10

5.4 Συνέπειες αυτοσυσχέτισης Η κατάσταση είναι δυνητικά πολύ σοβαρή, αν όχι μόνο χρησιμοποιήσουμε, π.χ., το β 2, αλλά και αν συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε τη var β 2 η οποία αγνοεί πλήρως το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης. Δηλαδή, πιστεύουμε λανθασμένα ότι ισχύουν οι συνήθεις υποθέσεις του κλασικού υποδείγματος. Θα προκύψουν σφάλματα για τους ακόλουθους λόγους: 1. Η διακύμανση των καταλοίπων σ 2 = u t 2 /(n k 1) είναι πιθανό να υποεκτιμά την πραγματική σ 2. 2. Ως εκ τούτου, είναι πιθανόν να υπερεκτιμούμε το R 2. 3. Ως εκ τούτου, οι συνήθεις έλεγχοι σημαντικότητας t και F δεν ισχύουν πλέον, και εάν εφαρμοστούν, είναι πολύ πιθανό να δώσουν παραπλανητικά συμπεράσματα σχετικά με τη στατιστική σημαντικότητα των εκτιμημένων συντελεστών παλινδρόμησης. 4. Τα Διαστήματα Εμπιστοσύνης των παραμέτρων είναι μεγαλύτερα σε σχέση με τα πραγματικά. 5. Οι προβλέψεις δεν έχουν ελάχιστη διασπορά και είναι αναποτελεσματικές. Τα Διαστήματα Εμπιστοσύνης των προβλέψεων δεν είναι έγκυρα. Οικονομετρία 11

5.5 Μορφές αυτοσυσχέτισης Έστω ότι έχουμε το ακόλουθο υπόδειγμα: Y t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t + u t και cov (u i, u j x i, x j ) = E(u i u j ) 0 για κάθε i j Δηλαδή, ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί όλες τις υποθέσεις εκτός από την ανεξαρτησία των καταλοίπων. Η πιο απλή μορφή είναι το Αυτοπαλίνδρομο Υπόδειγμα Πρώτης Τάξης (Autoregressive Model-AR(1)): Αν το υπόδειγμα ήταν u t = ρu t-1 + ε t με -1< ρ <1 u t = ρ 1 u t-1 + ρ 2 u t-2 + ε t, θα ήταν AR(2), ή αυτοπαλίνδρομο σχήμα δεύτερης τάξης. Οικονομετρία 12

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης 1. Γραφική παράσταση των καταλοίπων. Εκτιμούμε με την Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων το υπόδειγμα και παίρνουμε τα κατάλοιπα. (α) Θετική αυτοσυσχέτιση (β) Αρνητική αυτοσυσχέτιση (β) Οικονομετρία 13

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης 2. Έλεγχος Durbin-Watson (DW ή d-test). Υποθέσεις στις οποίες στηρίζεται η στατιστική d. 1. Το υπόδειγμα παλινδρόμησης περιλαμβάνει σταθερό όρο, π.χ., Y t = β 0 + β 1 X t + u t και το μέγεθος του δείγματος είναι τουλάχιστον 15. 2. Οι ερμηνευτικές μεταβλητές, οι Χ, είναι μη-στοχαστικές, ή σταθερές σε επαναλαμβανόμενη δειγματοληψία. 3. Οι διαταρακτικοί όροι u t προκύπτουν από το αυτοπαλίνδρομο σχήμα πρώτης τάξης: u t = ρu t-1 + ε t. 4. Ο όρος σφάλματος u t θεωρείται ότι ακολουθεί την κανονική κατανομή. 5. Το υπόδειγμα παλινδρόμησης δεν περιλαμβάνει την εξαρτημένη μεταβλητή με υστέρηση, ως μία από τις ερμηνευτικές μεταβλητές. Οικονομετρία 14

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Τα βήματα του ελέγχου Durbin-Watson: 1. Εκτιμήστε την παλινδρόμηση με OLS. Y t = β 0 + β 1 X t + u t με u t = ρu t-1 + ε t Στη συνέχεια βρείτε τα κατάλοιπα u t. 2. Διεξάγετε τον έλεγχο H 0 : ρ = 0 (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1 ης τάξης-ar(1)) έναντι Η 1 : ρ 0 (υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1 ης τάξης-ar(1)) Στατιστική ελέγχου: d = t=2 n u t u 2 t 1 n u t 2 2(1 ρ) t=1 3. Για το συγκεκριμένο μέγεθος δείγματος και με δεδομένο αριθμό ερμηνευτικών μεταβλητών, βρείτε τις κρίσιμες τιμές d L και d U. Οικονομετρία 15

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Τα βήματα του ελέγχου Durbin-Watson: 4. Ακολουθήστε τώρα τους κανόνες απόφασης που δίνονται στον παρακάτω Πίνακα: Οικονομετρία 16

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Τα βήματα του ελέγχου Durbin-Watson: ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ: Στατιστική d των Durbin-Watson. Οικονομετρία 17

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος Durbin-Watson έχει τα ακόλουθα μειονεκτήματα: Περιορίζεται μόνο για εξέταση πρώτης τάξης αυτοσυσχέτισης. Υπάρχει περίπτωση να μην μπορούμε να πάρουμε απόφαση για τον έλεγχο. Το μοντέλο πρέπει οπωσδήποτε να περιέχει σταθερό όρο. Τα κατάλοιπα πρέπει να είναι ομοσκεδαστικά. Οι ανεξάρτητες μεταβλητές και ο διαταρακτικός όρος πρέπει να είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Στις ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει να περιέχεται εξαρτημένη με υστέρηση, δηλαδή, Y t = β 0 + β 1 X t + γy t-1 + u t Οικονομετρία 18

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος Durbin-Watson. Παράδειγμα Τα ακόλουθα προέκυψαν από ένα δείγμα 20 παρατηρήσεων εφαρμόζοντας την απλή μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. 2 yˆ t 12 0,85x1 t 0,34 x2t, R 0,85, d 0,7 Να εξετάσετε αν υπάρχει αυτοσυχέτιση πρώτης τάξης-ar(1), δηλαδή, u t = ρu t-1 + ε t σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%. Αν υπάρχει, να εκτιμήσετε το συντελεστή αυτοσυσχέτισης ρ. Οικονομετρία 19

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος Durbin-Watson: παράδειγμα Λύση Διεξάγουμε τον έλεγχο H 0 : ρ = 0 (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1 ης τάξης-ar(1)) έναντι Η 1 : ρ 0 (υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1 ης τάξης-ar(1)) Στατιστική ελέγχου: d = 0,7. Από τον Πίνακα DW για n=20, k=2 και α=0,05 βρίσκουμε d L =1,10 και d U =1,54. Επειδή, d = 0,7 < d L =1,10 απορρίπτουμε την H 0 σε α=5%. Άρα, υπάρχει αυτοσυσχέτιση 1 ης τάξης. Εκτίμηση του συντελεστή αυτοσυσχέτισης: d 0,7 d 2(1 ) ˆ 1 1 0, 65 2 2 Οικονομετρία 20

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης 3. Ο γενικός έλεγχος αυτοσυσχέτισης Breusch-Godfrey (BG) Για να αποφύγουν ορισμένες από τις παγίδες του ελέγχου αυτοσυσχέτισης d των Durbin-Watson, οι στατιστικολόγοι Breusch και Godfrey έχουν αναπτύξει έναν έλεγχο αυτοσυσχέτισης που είναι γενικός. Συγκεκριμένα, επιτρέπει μη στοχαστικούς παλινδρομητές, όπως οι υστερήσεις της παλινδρομούμενης μεταβλητής (Y t-1 ). Επίσης, επιτρέπει αυτοπαλίνδρομα σχήματα ανώτερης τάξης, όπως AR(1), AR(2), κ.λπ. Έστω το υπόδειγμα: Y t = β 0 + β 1 X 1t + u t Υποθέστε ότι ο όρος σφάλματος u t ακολουθεί το αυτοπαλίνδρομο σχήμα p-τάξης, AR(p), ως εξής: u t = ρ 1 u t-1 + ρ 2 u t-2 + + ρ p u t-p + ε t Οικονομετρία 21

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος BG περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: 1. Εκτιμήστε την παλινδρόμηση με OLS. Y t = β 0 + β 1 X t + u t Στη συνέχεια βρείτε τα κατάλοιπα u t. Εκτιμήστε την ακόλουθη βοηθητική παλινδρόμηση: u t = α 1 + α 2 X t + ρ 1 u t 1 + ρ 2 u t 2 + + ρ p u t p + ε t και βρείτε το R 2 από αυτή τη (βοηθητική) παλινδρόμηση. Θα έχουμε μόνο (n - p) παρατηρήσεις. 2. Διεξάγετε τον έλεγχο H 0 : ρ 1 = ρ 2 = = ρ p = 0 (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) έναντι H 1 : ρ 1 0 ή ρ 2 0 ή ή ρ p 0 (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Στατιστική ελέγχου: BG = (n p)r 2 Οικονομετρία 22

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος BG περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα: 3. Εάν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο (τεχνικά, άπειρο), οι Breusch και Godfrey έχουν δείξει ότι BG = (n p)r 2 ~χ p 2 Κανόνας απόφασης: αν BG > χ p 2 απορρίπτεται η H 0 σε επίπεδο σημαντικότητας α. Οικονομετρία 23

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος Breusch-Godfrey. Παράδειγμα Ένας ερευνητής εκτίμησε με τη μέθοδο LS το ακόλουθο οικονομετρικό υπόδειγμα για ένα δείγμα Τ=100 χρονολογικών παρατηρήσεων y 5, 00 0, 65 y 0,50 x uˆ, DW 0,50 t t 1 t t 0,50 0,20 0,01 Επίσης εκτίμησε και την ακόλουθη βοηθητική παλινδρόμηση του παραπάνω υποδείγματος: uˆ y x uˆ vˆ R 2 t 0,5 0,05 t 1 0,05 t 0, 25 t 1 t, 0, 45 0,5 0,20 0,70 Να ελέγξετε αν το παραπάνω υπόδειγμα παρουσιάζει αυτοσυσχέτιση πρώτου βαθμού. Οικονομετρία 24

5.6 Εντοπισμός της αυτοσυσχέτισης Ο έλεγχος Breusch-Godfrey: παράδειγμα Λύση Επειδή το υπόδειγμα έχει τη μεταβλητή Y t-1 δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο των Durbin-Watson. Θα χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο των Breusch-Godfrey. Διεξάγουμε τον έλεγχο H 0 : ρ 1 = 0 (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) έναντι H 1 : ρ 1 0 (υπάρχει αυτοσυσχέτιση) Στατιστική ελέγχου: BG = Τ p R 2 = 100 2 0,45 = 98 0,45 = 44,1 2 2 Κριτική τιμή: χ 1, 0,05 = 3,841. Επειδή BG > χ 1, 0,05 = 3,841 απορρίπτεται η H 0 σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%. Οικονομετρία 25

5.7 Διόρθωση της αυτοσυσχέτισης Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Γνωρίζοντας τις συνέπειες της αυτοσυσχέτισης, ιδίως την έλλειψη αποτελεσματικότητας των εκτιμητών της OLS, μπορεί να χρειαστεί να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα. Η «θεραπεία» εξαρτάται από τη γνώση που έχει κάποιος για τη φύση της αλληλεξάρτησης μεταξύ των διαταρακτικών όρων, δηλαδή, τη γνώση σχετικά με τη δομή της αυτοσυσχέτισης. Αρχικά, ας εξετάσουμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y t = β 1 + β 2 X t + u t (1) και έστω ότι ο όρος σφάλματος ακολουθεί το σχήμα AR(1), δηλαδή, u t = ρu t-1 + ε t, -1 < ρ < 1 με ε t να ακολουθεί τις κλασικές υποθέσεις. Οικονομετρία 26

5.7 Διόρθωση της αυτοσυσχέτισης Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Όταν ο ρ είναι γνωστός Εάν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης είναι γνωστός, το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης μπορεί να λυθεί εύκολα. Αν η (1) ισχύει κατά τη χρονική στιγμή t, ισχύει επίσης και στο χρόνο (t - 1). Ως εκ τούτου, Y t-1 = β 1 + β 2 X t-1 + u t-1 (2) Πολλαπλασιάζοντας την (2) με ρ και στις δύο πλευρές, παίρνουμε ρy t-1 = ρβ 1 + ρβ 2 X t-1 + ρu t-1 (3) Αφαιρώντας την (3) από την (1) παίρνουμε όπου ε t = (u t - ρu t-1 ) (Y t - ρy t-1 ) = β 1 (1 - ρ) + β 2 (X t - ρx t-1 ) + ε t (4) Οικονομετρία 27

5.7 Διόρθωση της αυτοσυσχέτισης Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Όταν ο ρ είναι γνωστός Μπορούμε να εκφράσουμε την (4) ως Y t* = β 1* + β 2* X t* + ε t (5) με t = 2,3,4,,T όπου β 1 * = β 1 (1-ρ), Y t* = (Y t - ρy t-1 ), X t * = (X t - ρx t-1 ), και β 2 * = β 2. Για να μην χαθεί η πρώτη παρατήρηση (t=1) χρησιμοποιούμε τους εξής μετασχηματισμούς: y 1 = y 1 1 ρ 2, x 1 = x 1 1 ρ 2 και ε 1 = ε 1 1 ρ 2 Οικονομετρία 28

5.7 Διόρθωση της αυτοσυσχέτισης Γενικευμένη Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων (Generalized Least Squares GLS) Όταν ο ρ δεν είναι γνωστός i. Μπορούμε να εκτιμήσουμε το ρ βάσει της Στατιστικής d των Durbin-Watson. Συγκεκριμένα, είδαμε ότι θα ισχύει ρ 1 d 2 ii. Μπορούμε να εκτιμήσουμε το ρ από τα κατάλοιπα. Δηλαδή, εκτιμούμε την ακόλουθη παλινδρόμηση: u t = ρ u t 1 + ε t όπου u t είναι τα κατάλοιπα που προέρχονται από την αρχική παλινδρόμηση (1). Οικονομετρία 29