Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. 8 Δεκεμβρίου 2017

Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. siroskonstantogiannis@gmail.com 8 Δεκεμβρίου 7 8//7

Coyrigt Σπύρος Κωνσταντογιάννης, 7. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Επιτρέπεται μόνο η μη εμπορική χρήση περιεχομένου από το παρόν έγγραφο, με την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. 8//7

Περιεχόμενα Η κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής Ασκήσεις... Περιεχόμενα... 3 Εισαγωγή... 4 Άσκηση.... 5 Άσκηση.... 6 Άσκηση 3.... 7 Άσκηση 4.... 9 Άσκηση 5....3 Άσκηση 6....7 Συμπλήρωμα άσκησης 6....4 Άσκηση 7....7 Άσκηση 8....33 Άσκηση 9....38 Αναφορές...44 3 8//7

Εισαγωγή Λύνουμε αναλυτικά εννέα ασκήσεις υπολογισμού και μελέτης της κυματοσυνάρτησης στον χώρο των ορμών, και χρησιμοποίησής της για τον υπολογισμό μέσων τιμών σε στοιχειώδη κβαντικά συστήματα, όπως ο αρμονικός ταλαντωτής, το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, το ελκτικό δυναμικό δέλτα, και το μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου. Για την απόδειξη της σχέσης που συνδέει την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση ορμής με την κυματοσυνάρτηση στην αναπαράσταση θέσης, καθώς και άλλων σχέσεων που χρησιμοποιούμε στις ασκήσεις, μπορείτε να δείτε την αναφορά 3, στο τέλος των ασκήσεων. Λέξεις-Κλειδιά: αναπαράσταση ορμής, χώρος ορμών, μετασχηματισμός Fourier της κυματοσυνάρτησης, τύπος Parseval-Plancerel, αρμονικός ταλαντωτής, απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, ελκτικό δυναμικό δέλτα, μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου, ανώμαλα σημεία, πόλοι, ενέργεια, μέσες τιμές 4 8//7

Άσκηση. Έστω ότι y ( ) d ( - ). Τι εκφράζει η y ( ) ; Υπολογίστε την y% ( ). Λύση Η συνάρτηση δέλτα d ( - ) είναι ιδιοσυνάρτηση της θέσης, με ιδιοτιμή, στην αναπαράσταση θέσης. Πράγματι, η ιδιοσυνάρτηση θέσης στην αναπαράσταση θέσης είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης της θέσης στην τυχαία ιδιοκατάσταση της θέσης. Επειδή ο τελεστής της θέσης είναι ερμιτιανός, δύο ιδιοκαταστάσεις του που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετες. Επίσης, επειδή το φάσμα του τελεστή της θέσης είναι συνεχές, η καθετότητα των ιδιοκαταστάσεων και εκφράζεται από τη σχέση d ( - ) Όμως, το εσωτερικό γινόμενο είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης στην τυχαία ιδιοκατάσταση, είναι επομένως η ιδιοσυνάρτηση θέσης στην αναπαράσταση θέσης. Ως ιδιοσυνάρτηση θέσης, η y ( ) περιγράφει ένα σωμάτιο που βρίσκεται στη θέση. Έτσι, στην περίπτωσή μας, η y% ( ) πρέπει να είναι η ιδιοσυνάρτηση θέσης στην αναπαράσταση ορμής. Ας το δούμε. Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως y% ( ) i i e - d ( - ) d e - - y% ( ) i e - Ο τελεστής της θέσης στην αναπαράσταση ορμής είναι ˆ ( ) i d d Αν ο προηγούμενος τελεστής δράσει στην y% ( ), θα μάς δώσει d i i i e - i - e d i e - y% ( ) 4444 3 44 ˆ ( )y% ( ) i y% ( ) 5 8//7

( )y% ( ) y% ( ) Η y% ( ) είναι, λοιπόν, ιδιοσυνάρτηση του τελεστή της θέσης, με ιδιοτιμή. Άσκηση. Έστω ότι y ( ) i e. Τι εκφράζει η y ( ) ; Υπολογίστε την y% ( ). Λύση Ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση θέσης είναι ˆ ( ) -i d d Αν ο προηγούμενος τελεστής δράσει στην y ( ), θα μάς δώσει ˆ ( )y ( ) -i d i i i e -i e y ( ) d 44 4444 3 y ( ) ( )y ( ) y ( ) Η y ( ) είναι επομένως ιδιοσυνάρτηση ορμής στην αναπαράσταση θέσης και περιγράφει ένα σωμάτιο με ορμή. Έτσι, στην περίπτωσή μας, η y% ( ) πρέπει να είναι η ιδιοσυνάρτηση ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως y% ( ) i ( - ) i i d e e d e - - y% ( ) i ( - ) d e - Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης σε u αλλάζουν (αφού > ), και d du. Έτσι, η y% ( ) γράφεται y% ( ) -, τα όρια ολοκλήρωσης δεν du e ( i ( - ) u ) 6 8//7

y% ( ) du e ( i ( - ) u ) () - Παρατηρήστε ότι [u ] éê ù P -, ú ë û P δηλαδή η μεταβλητή ολοκλήρωσης u έχει διαστάσεις αντίστροφης ορμής, επομένως ο εκθέτης ( - ) u είναι αδιάστατος, όπως πρέπει. Με τη βοήθεια της ολοκληρωτικής αναπαράστασης της συνάρτησης δέλτα d (v) du e ( iuv ), όπου v πραγματική παράμετρος, - η () γράφεται y% ( ) d ( - ) () που είναι η ιδιοσυνάρτηση ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Πράγματι, η ιδιοσυνάρτηση ορμής στην αναπαράσταση ορμής είναι η προβολή της ιδιοκατάστασης της ορμής στην τυχαία ιδιοκατάσταση της ορμής, είναι δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο. Επειδή ο τελεστής της ορμής είναι ερμιτιανός, δύο ιδιοκαταστάσεις του που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές είναι μεταξύ τους κάθετες. Επειδή το φάσμα του τελεστή της ορμής είναι συνεχές, η καθετότητα των ιδιοκαταστάσεων και εκφράζεται από τη σχέση d ( - ) d ( - ), όπου στην τελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε το ότι η συνάρτηση δέλτα είναι άρτια. Έτσι, η () γράφεται y% ( ), απ όπου βλέπουμε ότι η y% ( ) είναι ιδιοσυνάρτηση ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Άσκηση 3. 4 y ( ) e -, a a. Αυτή είναι η mw κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Η σταθερά a έχει διαστάσεις μήκους και ορίζει μια κλίμακα μήκους για τον αρμονικό ταλαντωτή. Έστω ότι 7 όπου a 8//7

Υπολογίστε την y% ( ) και εκφράστε τη συναρτήσει της σταθεράς mw, που έχει διαστάσεις ορμής και ορίζει μια κλίμακα ορμής για τον αρμονικό ταλαντωτή. Τι παρατηρείτε; c Δίνεται ότι d e ( -b - c ) e, b > b b - Λύση Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως y% ( ) i 4 d e e - - a a mw i mw 4 d e - Όμως mw i d e - - - i e e mw mw mw mw Επομένως mw 4 y% ( ) mw 4 e e mw mw mw { mw ( mw ) 4 4 mw 4 e e ( mw ) mw mw mw 4 y% ( ) e mw mw Όμως mw, επομένως 4 y% ( ) e Αυτή είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή στον χώρο των ορμών. 8 8//7

Παρατηρούμε ότι η y% ( ) έχει την ίδια ακριβώς μορφή με την y ( ), με τη θέση να έχει αντικατασταθεί από την ορμή και την κλίμακα μήκους από την κλίμακα ορμής του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή a } y ( ) y% ( ) Αυτή είναι μια γενική ιδιότητα που ισχύει για όλες τις ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή a } y n ( ) y% n ( ), και οφείλεται στην τετραγωνική μορφή του δυναμικού του αρμονικού ταλαντωτή, δηλαδή στο γεγονός ότι η χαμιλτονιανή του αρμονικού ταλαντωτή είναι τετραγωνική ως προς τη θέση και ως προς την ορμή. Άσκηση 4. i) Δείξτε ότι οι ιδιοσυναρτήσεις της ενέργειας y% n ( ) του αρμονικού ταλαντωτή στον χώρο των ορμών προκύπτουν από τις αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις y n ( ) στον χώρο των θέσεων αν η θέση αντικατασταθεί από την ορμή και η κλίμακα μήκους από την κλίμακα ορμής του ταλαντωτή, δηλαδή a } y n ( ) y% n ( ), όπου a και mw. mw 4 ii) Χρησιμοποιήστε την κυματοσυνάρτηση y ( ) e -, που a a περιγράφει τη βασική κατάσταση του ταλαντωτή στον χώρο των θέσεων, για να υπολογίσετε τις κυματοσυναρτήσεις y% ( ) και y% ( ), που περιγράφουν την η και τη η διεγερμένη κατάσταση, αντίστοιχα, του ταλαντωτή στον χώρο των ορμών. Λύση i) Στην προηγούμενη άσκηση δείξαμε ότι a } y ( ) y% ( ), δηλαδή η αντιστοιχία ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή. Εξάλλου, ο τελεστής δημιουργίας του αρμονικού ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση aˆ mw i ˆ ˆ, mw όπου ˆ, ˆ είναι, αντίστοιχα, ο τελεστής της θέσης και ο τελεστής της ορμής. Ο a γράφεται 9 8//7

aˆ mw ˆ ˆ - i mw ˆ ˆ -i a aˆ ˆ ˆ - i () a Στην αναπαράσταση θέσης, ( ) και ˆ ( ) -i d, και η () γράφεται d d -i d - d aˆ ( ) -i a a d Όμως a, οπότε mw mw aˆ ( ) d - a () d a Αυτή είναι η έκφραση του τελεστή δημιουργίας στην αναπαράσταση θέσης. d Στην αναπαράσταση ορμής, ˆ ( ) i και ( ), και η () γράφεται d d i d d aˆ ( ) - i -i a a d Όμως, οπότε a aˆ ( ) -i d - (3) d Αυτή είναι η έκφραση του τελεστή δημιουργίας στην αναπαράσταση ορμής. Από τις () και (3), βλέπουμε ότι, με την απροσδιοριστία της σταθερής φάσης i -i e -, ο τελεστής καταστροφής στην αναπαράσταση ορμής προκύπτει από τον τελεστή καταστροφής στην αναπαράσταση θέσης αν αντικαταστήσουμε τη θέση με την ορμή και την κλίμακα μήκους με την κλίμακα ορμής. Εξάλλου, η δράση του τελεστή καταστροφής σε μια ιδιοκατάσταση n της ενέργειας του ταλαντωτή μάς δίνει aˆ n n + n + (4) Αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της (4) σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της θέσης, θα πάρουμε 8//7

aˆ n * } n + n + Þ aˆ ( ) n n + n + * Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε την αναφορά 3. Όμως n y n ( ) και n + y n + ( ), οπότε aˆ ( )y n ( ) n + y n+ ( ) (5) Με το ίδιο σκεπτικό, αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της (4) σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ορμής, θα πάρουμε aˆ ( )y% n ( ) n + y% n + ( ) (6) Όπως είδαμε, η αντιστοιχία που θέλουμε να δείξουμε ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις a } της βασικής κατάστασης του ταλαντωτή, δηλαδή y ( ) y% ( ). Από τις (5) και (6), βλέπουμε ότι αν η αντιστοιχία ισχύει για τις ιδιοσυναρτήσεις a } y n ( ) και y% n ( ), δηλαδή αν y n ( ) y% n ( ), τότε ισχύει και για τις a } ιδιοσυναρτήσεις y n + ( ) και y% n + ( ), δηλαδή y n + ( ) y% n + ( ). Αυτό συμβαίνει γιατί, όπως είδαμε από τις () και (3), με την απροσδιοριστία της i σταθερής φάσης -i e -, η οποία δεν επηρεάζει τις κυματοσυναρτήσεις, η ίδια αντιστοιχία ισχύει και για τις εκφράσεις του τελεστή δημιουργίας στις a } αναπαραστάσεις θέσης και ορμής, δηλαδή aˆ ( ) aˆ ( ). Έτσι, επαγωγικά, ισχύει ότι a } y n ( ) y% n ( ), για n,,... ii) Με τη βοήθεια της (), η (5) γράφεται d - a y n ( ) n + y n + ( ) (7) d a Αντικαθιστούμε τη δοθείσα y ( ) στην (7) και παίρνουμε, για n, 8//7

d 4 a e - y ( ) Þ d a a a 4 4 Þy ( ) a e e - a a a a a a a 4 e - a a a 4 y ( ) e - a a a Οπότε, η y% ( ) είναι 4 y% ( ) e Αντικαθιστούμε την y ( ) στην (7) και παίρνουμε, για n, d 4 a e - y ( ) Þ d a a a a 4 Þy ( ) - a + - e - a a a a a a 4 - a - 3 e - a a a a a 4 - + a a a e - a 4 - e - a a a 4 y ( ) e - a a a Οπότε, η y% ( ) είναι y% ( ) 4 - e 8//7

Άσκηση 5. ì cos, αν ï ï. Αυτή είναι η κανονικοποιημένη Έστω ότι y ( ) í ï, αν > ïî κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη βασική κατάσταση σωματίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα στα σημεία - και. % i) Υπολογίστε την y ( ). Είναι η y% ( ) κανονικοποιημένη; ii) Δείξτε ότι η y% ( ) έχει δύο ανώμαλα σημεία, στις ορμές που ικανοποιούν την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου E, όπου E m είναι η ενέργεια της κατάστασης που περιγράφει η y% ( ), είναι δηλαδή η ενέργεια της βασικής κατάσταση του σωματίου. iii) Αν το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, βρείτε τις «απαγορευμένες» τιμές της ορμής του, δηλαδή τις τιμές της ορμής για τις οποίες μηδενίζεται η πυκνότητα πιθανότητας ορμής. iv) Αν το σωμάτιο βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, υπολογίστε την πιθανότητα η ορμή του να είναι περίπου μηδέν. Δίνεται ότι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του σωματίου είναι E. m Λύση i) Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως i y% ( ) d e cos - i i e + e i d e - i i i i + + d e d e - - d e i - + d e -i + - - e i - + e -i + i - -i + - - cosj e( ij ) + e ( - ij ) } 3 8//7

e i - - e -i - e -i + - e i + + i - -i + e( ij ) - e( - ij ) i sin j i sin - e i + - e -i + } + i - i + i sin - i sin + + i - i + sin sin + sin - sin + + + + + cos cos + + cos + - + - + cos cos - + - + Επομένως cos y% ( ) () - + Η () είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των ορμών, τη βασική κατάσταση σωματίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα στα σημεία - και. Ας κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (). Η σταθερά έχει διαστάσεις P, επομένως το όρισμα του συνημιτόνου είναι αδιάστατο, όπως πρέπει. Στον παρανομαστή του κλάσματος, η ποσότητα αφού αφαιρείται από/προστίθεται στην ποσότητα 4 - έχει διαστάσεις, όπως πρέπει,, που επίσης έχει διαστάσεις -. 8//7

Έτσι, οι διαστάσεις της κυματοσυνάρτησης y% ( ) είναι éëy% ( ) ùû - - [ ] [ ] [ ] P -, P όπως πρέπει, αφού η ποσότητα y% ( ) d είναι (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των ορμών) και πρέπει να είναι αδιάστατη. Η y ( ) είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή d y ( ) - Έτσι, από τον τύπο Parseval-Plancerel παίρνουμε d y% ( ) - Επομένως, και η y% ( ) είναι κανονικοποιημένη. Γενικότερα, ο τύπος Parseval-Plancerel μάς λέει ότι αν η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των θέσεων είναι κανονικοποιημένη, τότε (και μόνο τότε) είναι και η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών κανονικοποιημένη. ii) Τα ανώμαλα σημεία της y% ( ) είναι οι ορμές στις οποίες μηδενίζεται ο παρανομαστής της (), δηλαδή οι ορμές, ± Οι ορμές αυτές είναι αντίθετες και αν τις αντικαταστήσουμε στην κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου E, παίρνουμε την ίδια ενέργεια m E, m m, που είναι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του σωματίου στο απειρόβαθο πηγάδι. Παρατηρήστε επίσης ότι cos cos y% ( - ) y% ( ), + - - + δηλαδή η y% ( ) είναι άρτια, κάτι αναμενόμενο αφού η y ( ) είναι άρτια και, όπως ξέρουμε, αν η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των θέσεων είναι άρτια/περιττή τότε (και μόνο τότε) η κυματοσυνάρτηση στον χώρο των ορμών είναι άρτια/περιττή. Στα ανώμαλα σημεία ± της y% ( ) είναι 5 8//7

± cos cos ±, δηλαδή μηδενίζεται και ο αριθμητής του κλάσματος στην (). Επειδή η y% ( ) είναι άρτια, τα όρια lim y% ( ) είναι ίδια, επομένως αρκεί να ± υπολογίσουμε το ένα (αν υπάρχει). Με τη βοήθεια του κανόνα του 'Hosital έχουμε cos - sin } % ( ) lim lim y lim - + + - - + sin sin sin lim lim lim - - + - - sin sin Επομένως lim y% ( ) ± Αφού τα όρια της y% ( ) στα ανώμαλα σημεία ± υπάρχουν και είναι πεπερασμένα, τα ανώμαλα αυτά σημεία είναι αιρόμενα, και μπορούμε να ορίσουμε º y% ± iii) Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής y% ( ) μηδενίζεται στις ορμές που μηδενίζεται η y% ( ), δηλαδή όταν n ( n + ) cos + n Þ + Þ Επομένως ± ( n + ), όπου* n,,... 6 8//7

Αυτές είναι οι «απαγορευμένες» τιμές της ορμής του σωματίου, όταν αυτό βρίσκεται στη βασική του κατάσταση. * Για n, παίρνουμε τα δύο ανώμαλα σημεία, στα οποία, όπως είδαμε, η y% ( ) παίρνει πεπερασμένη, μη μηδενική τιμή. iv) Η πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι περίπου μηδέν, όταν αυτό βρίσκεται στη βασική του κατάσταση, ισούται με y% ( ), επομένως είναι 4 4 3 4 Άσκηση 6. ml. Αυτή είναι η κανονικοποιημένη κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των θέσεων, τη μοναδική δέσμια κατάσταση σωματίου στο ελκτικό δυναμικό δέλτα V ( ) - l d ( ). Έστω ότι y ( ) k e ( -k ), όπου k i) Υπολογίστε την y% ( ). ii) Δείξτε ότι η y% ( ) έχει, στο μιγαδικό επίπεδο, δύο απλούς, συζυγείς φανταστικούς πόλους, στις ορμές που ικανοποιούν την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου E, όπου E είναι η ενέργεια της m κατάστασης που περιγράφει η y% ( ), είναι δηλαδή η ενέργεια της δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα. iii) Ποια είναι η πιθανότερη ορμή του σωματίου; iv) Χρησιμοποιήστε την y% ( ) για να υπολογίσετε τη μέση τιμή της ορμής και τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου. Λύση i) Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως y% ( ) ml 3 ml 3 ml m l i ml i m l d e e d e 3 - - m l i m l i + d e d e - m l m l - i + d e - + i d e - 7 8//7

m l m l ml e - i + e - + i 3 m l m l i + i - Όμως m l ml i e - i e e Έτσι, έχουμε m l ml ml i i e - i e e e e 443 ml e, και επειδή m l lim e, - παίρνουμε m l lim e - i - Έτσι, με τη βοήθεια της σχέσης z Û z, παίρνουμε m l lim e - i - Με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε m l lim e - + i Έτσι, η y% ( ) γράφεται 8 8//7

y% ( ) ml 3 ml ml m l m l + m l ml 3 m l m l - i + i - i - + i ml m l + i + - i m l m l m l m l - i + i - i + i ml m l m l m l m l + i - i m l ml m l m l - i + i + m l m l ml + i - i m l ml y% ( ) m l + m l () Η () είναι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει, στον χώρο των ορμών, τη μοναδική δέσμια κατάσταση σωματίου μάζας m στο ελκτικό δυναμικό δέλτα V ( ) - l d ( ) Βλέπουμε ότι η y% ( ) είναι άρτια, όπως πρέπει, αφού η y ( ) είναι άρτια. ii) Από την (), βλέπουμε ότι η y% ( ) έχει δύο απλούς πόλους, στα σημεία όπου + m l, επομένως ml im l ±i Þ ± - i Þ ml Οι δύο απλοί πόλοι της y% ( ) είναι συζυγείς και φανταστικοί, και αν αντικαταστήσουμε στην κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου E, παίρνουμε την ίδια ενέργεια m 9 8//7

im l ± i m l ml E, m m που είναι η ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού ml δέλτα, όπως βλέπουμε αν συνδυάσουμε τη σχέση k με τη γνωστή σχέση m E k, και λάβουμε υπόψη ότι επειδή το δυναμικό είναι μη θετικό, η ενέργεια της δέσμιας κατάστασης θα είναι αρνητική. iii) Με τη βοήθεια της (), η πυκνότητα πιθανότητας ορμής y% ( ) είναι y% ( ) m l + m l y% ( ) m l y% ( ) y% ( ) () Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής μάς δίνει την πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι μεταξύ και + d. Έτσι, από τη () βλέπουμε ότι η πιθανότερη ορμή του σωματίου, δηλαδή η πιθανότερη τιμή της ορμής του σωματίου, είναι. Σημείωση Η σταθερά ml έχει διαστάσεις ορμής Πράγματι, από τη σχέση του δυναμικού βλέπουμε ότι το γινόμενο l d ( ) έχει διαστάσεις ενέργειας E και επειδή η συνάρτηση d ( ) έχει διαστάσεις - θυμηθείτε τη σχέση dd ( ), από την οποία βλέπουμε ότι το dd ( ) πρέπει - να είναι αδιάστατο η σταθερά l έχει διαστάσεις E, οπότε έχουμε é m l ù ME ME ê ú P P ë û M P M P P Μπορούμε έτσι να θεωρήσουμε τη σταθερά ml ως μια κλίμακα ορμής του συστήματός μας και να τη συμβολίσουμε με, δηλαδή ml Τότε, η () γράφεται 8//7

y% ( ) + (3) iv) Η μέση τιμή της ορμής στην κατάσταση y είναι y ˆ y Με τη βοήθεια της σχέσης πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής, δηλαδή της σχέσης d, - η μέση τιμή της ορμής γράφεται y d ˆ y d y ˆ y - - Όμως y y * y% * ( ) και }* ˆ y ˆ ( ) y ˆ ( )y% ( ), όπου ( ) είναι ο τελεστής της ορμής στην αναπαράσταση ορμής. * Για περισσότερες λεπτομέρειες, δείτε την αναφορά 3. Έτσι, η μέση τιμή της ορμής γράφεται dy% * ( ) ˆ ( )y% ( ) - dy% * ( ) y% ( ) - d y% ( ) - d y% ( ) (4) - Αυτή είναι η έκφραση της μέσης τιμής της ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Στην περίπτωσή μας, η y% ( ) δίνεται από την (), ή από την (3), και είναι άρτια. Έτσι, στην (4), η ολοκληρωτέα συνάρτηση y% ( ) είναι περιττή και το διάστημα ολοκλήρωσης συμμετρικό, επομένως το ολοκλήρωμα είναι μηδέν, δηλαδή Η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής στην κατάσταση y είναι 8//7

y ˆ y Όπως και στην περίπτωση της μέσης τιμής της ορμής, χρησιμοποιούμε τη σχέση πληρότητας των ιδιοκαταστάσεων της ορμής για να γράψουμε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής στην αναπαράσταση ορμής. Έτσι παίρνουμε d y% ( ) (5) - Στην περίπτωσή μας, όπου η y% ( ) είναι άρτια, η ολοκληρωτέα συνάρτηση y% ( ) είναι επίσης άρτια, επομένως - d y% ( ) d y% ( ), και η (5) γράφεται d y% ( ) Αν αντικαταστήσουμε την y% ( ) από την (3), θα πάρουμε 4 d (6) + Όμως + - + + - + + Επομένως + + Με τη βοήθεια της προηγούμενης σχέσης, η (6) γράφεται 8//7

4 - d d - + + Με παραγοντική ολοκλήρωση παίρνουμε - + - d (7) + Για, : :. + Έτσι, + - d, και η (7) γράφεται + }* 3 d arctan + + 3 ( arctan - arctan ) - (8) * d arctan + c +a a a tts://en.wikiedia.org/wiki/ist_of_integrals_of_rational_functions#miscellane ous_integrands Αν συνδυάσουμε τις σχέσεις ml ml και k, παίρνουμε k, οπότε η (8) γράφεται, εναλλακτικά, k 3 8//7

Συμπλήρωμα άσκησης 6. Υπολογισμός της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής με μιγαδική ολοκλήρωση. Θεωρούμε τη μιγαδική συνάρτηση f ( ) +, όπου Î. Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα της f στην κλειστή διαδρομή C που περιλαμβάνει τον πραγματικό άξονα -, και το ημικύκλιο SC ( R ) ακτίνας R, που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και βρίσκεται στο πάνω ημιεπίπεδο, όπου Im ³. Είναι Ñ df ( ) df ( ) + - C SC ( R ) df ( ) (9) Στο ημικύκλιο SC ( R ), R e ( ij ), όπου j : Θυμίζουμε ότι η θετική φορά κίνησης επάνω σε μια καμπύλη στο μιγαδικό επίπεδο είναι αριστερόστροφα. Έτσι, η f ( ) στο ημικύκλιο SC ( R ) είναι f ( ) ( R e ( ij ) ) R e ( ij ) + R e ( ij ) R e ( ij ) + ( 4 R e ( ij ) + R e ( ij ) ) f ( ) ( 4 R e ( ij ) + R e ( ij ) ) Το μέτρο της f ( ) στο ημικύκλιο SC ( R ) είναι, αν εφαρμόσουμε τη στοιχειώδη ιδιότητα z z z z των μιγαδικών αριθμών, 4 8//7

e( ij ) } f ( ) ( 4 R + R e ( ij ) ) 4 R + R e ( ij ) 4 R R 4 + e ( ij ) R 4 R + e ( ij ) R f ( ) 4 R + e ( ij ) R Καθώς R,, επομένως R R + e ( ij ) e ( ij ), και το μέτρο της f ( ) στο ημικύκλιο SC ( R ) τείνει στο μηδέν ως Επομένως, καθώς R, είναι df ( ) SC ( R ) Ri e ( ij ) dj SC ( R ) i e( ij ) d j > R d f ( ) : } SC ( R ) d R d ( R e ( ij ) ) R. R Rdj dj R R R df ( ) SC ( R ) Έτσι, με τη βοήθεια της ιδιότητας SC ( R ) df ( ) SC ( R ) df ( ), που απορρέει από την τριγωνική ανισότητα z + z z + z, συμπεραίνουμε ότι SC ( R ) df ( ), 5 8//7

και με τη βοήθεια της σχέσης z Þ z, καταλήγουμε ότι SC ( R ) df ( ) Έτσι, από την (9) παίρνουμε Ñ df ( ) df ( ) () - C Εξάλλου, η f ( ) γράφεται f ( ) + ( 4 + ) 4 éë( + i )( - i ) ùû 4 ( + i ) ( - i ) f ( ) 4 ( + i ) ( - i ) Στο εσωτερικό της καμπύλης C, όπου Im >, η f ( ) έχει έναν πόλο δεύτερης τάξης, στο σημείο i. Έτσι, με τη βοήθεια του θεωρήματος των ολοκληρωτικών υπολοίπων, το ολοκλήρωμα Ñ df ( ) είναι C Ñ df ( ) i Re s ( f ( ), i ), C όπου Re s ( f ( ), i ) d - lim - ( - )! i d (( - i ) ) d 4 i d ( + i ) f ( ) lim 4 4 ( i ) 4 4i i5 6 lim + 3 i ( i + i ) ( i + i )3 ( i ) ( i )3 + i + i ( ) ( ) 3 3 3 3 i i i i3 + 4i 4 4 Επομένως i3 3 ÑC df ( ) i - 4 Έτσι, από τη () παίρνουμε d - + 3 () 6 8//7

Εξάλλου, με τη βοήθεια της (3), είναι y% ( ) + Έτσι, με τη βοήθεια της (), παίρνουμε d y% ( ) - 3 Οπότε Άσκηση 7. Η κατάσταση ενός σωματίου μέσα σε απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού με τοιχώματα στα σημεία ± περιγράφεται, στον χώρο των θέσεων, από την ì ïï A, < κυματοσυνάρτηση y ( ) í, όπου A ¹. ï, > ïî Παρατηρήστε ότι η y ( ) έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού. i) Υπολογίστε την κυματοσυνάρτηση y% ( ), που περιγράφει την κατάσταση του σωματίου στον χώρο των ορμών. ii) Δείξτε ότι η y% ( ) έχει ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο, στην ορμή. iii) Αν ορίσουμε y% ( ) º limy% ( ), υπολογίστε την πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι περίπου μηδέν. iv) Δείξτε ότι η πιθανότερη ορμή του σωματίου είναι η ορμή. v) Υπολογίστε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου και δείξτε ότι η κατάσταση που εξετάζουμε είναι μια κατάσταση άπειρης ενέργειας. Λύση Για να προχωρήσουμε, θα κανονικοποιήσουμε την y ( ), δηλαδή θα απαιτήσουμε d y ( ) - Επειδή στα τοιχώματα του πηγαδιού η y ( ) έχει πεπερασμένη ασυνέχεια, μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης ως - d y ( ) ( - )- - d y ( ) + ( )- d y ( ) + ( - )+ d y ( ) ( )+ 7 8//7

Τότε, επειδή η y ( ) είναι μηδέν έξω από το πηγάδι, η συνθήκη κανονικοποίησης γράφεται ( )- d y ( ) ( - )+ d A A - Επομένως A Έτσι, με τη συνήθη για τις κυματοσυναρτήσεις απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, καταλήγουμε ότι A, και η κυματοσυνάρτηση y ( ) γράφεται ì ïï, < y ( ) í ï, > ïî i) Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως y% ( ) i y ( ) d e - - Όπως και πριν, η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού, και ορίζουμε το ολοκλήρωμα όπως προηγουμένως. Έτσι, έχουμε ( )- i y% ( ) d e ( - )+ i d e - i i i - e - e - e i i - sin i i e e i sin i i y% ( ) sin () Παρατηρήστε ότι η y% ( ) είναι άρτια, ως πηλίκο δύο περιττών συναρτήσεων, κάτι αναμενόμενο, αφού η y ( ) είναι άρτια. 8 8//7

Επίσης, επειδή κανονικοποιήσαμε την y ( ), η y% ( ) που βρήκαμε είναι και αυτή κανονικοποιημένη, όπως προκύπτει από τον τύπο Parseval-Plancerel. Αν θέλουμε να κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (), βλέπουμε ότι το όρισμα του ημιτόνου είναι αδιάστατο, αφού η σταθερά έχει διαστάσεις P, επομένως η διαστάσεις της κυματοσυνάρτησης y% ( ) είναι éëy% ( ) ùû [] P P P -, P όπως πρέπει ώστε η ποσότητα y% ( ) d να είναι αδιάστατη, ως (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των ορμών). ii) Από την (), βλέπουμε ότι η y% ( ) έχει ένα ανώμαλο σημείο, στην ορμή. Όμως, με τη βοήθεια του κανόνα του 'Hosital, έχουμε } limy% ( ) lim cos Επομένως, το μηδέν είναι αιρόμενο ανώμαλο σημείο της y% ( ). iii) Αν ορίσουμε y% ( ) º limy% ( ), τότε y% ( ) º. Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής είναι y% ( ) και μάς δίνει την πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι μεταξύ και + d. Έτσι, η πιθανότητα η ορμή του σωματίου να είναι περίπου μηδέν είναι y% ( ). iv) Με τη βοήθεια της ανισότητας* sin j < j, που ισχύει για j >, παίρνουμε > sin sin } < < sin < Þ Þ 4 3 4 44443 y% ( ) y% ( ), y% ( ) < y% ( ), για >. Επειδή η y% ( ) είναι άρτια, y% ( ) < y% ( ) για κάθε Î *. * Θα δείξουμε ότι sin j < j, για j >. Αν f (j ) sin j - j, τότε f (j ) cos j -. Στο διάστημα (, ), η f (j ) είναι αρνητική, επομένως η f (j ) είναι γνησίως φθίνουσα, άρα, στο διάστημα αυτό, f (j ) < f ( ) Þ sin j - j < Þ sin j < j, δηλαδή η ανισότητα ισχύει. 9 8//7

Για j ³, είναι sin j < j, άρα sin j < j. Επομένως η ανισότητα sin j < j ισχύει για κάθε j >. Για να δείξουμε ότι η ορμή μηδέν είναι η πιθανότερη ορμή του σωματίου, πρέπει να δείξουμε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής, δηλαδή η συνάρτηση y% ( ), ή ισοδύναμα η y% ( ), έχει ολικό μέγιστο για, και για να το κάνουμε αυτό πρέπει να δείξουμε ότι η ελάχιστη τιμή της y% ( ), που είναι αρνητική, αφού το ημίτονο παίρνει και αρνητικές τιμές, είναι κατ απόλυτη τιμή μικρότερη από την τιμή y% ( ). Επειδή η y% ( ) είναι άρτια, μπορούμε να περιοριστούμε στις θετικές ορμές, όπως κάναμε και στην περίπτωση εύρεσης της μέγιστης τιμής της y% ( )., sin ³, οπότε y% ( ) ³. 3 Στο διάστημα <, sin <, οπότε y% ( ) <. H παράγωγος της y% ( ) είναι Στο διάστημα cos sin cos - sin y% ( ) cos - sin y% ( ) Παρατηρούμε ότι για 3, η y% ( ) είναι αρνητική, ενώ για, η y% ( ) είναι θετική. Έτσι, επειδή η y% ( ) είναι συνεχής στο διάστημα 3, θα μηδενίζεται μία τουλάχιστον φορά στο συγκεκριμένο διάστημα. Όμως cos - sin cos - sin - cos 3 - sin. >, στο διάστημα < cos - sin είναι επομένως γνησίως αύξουσα στο προηγούμενο διάστημα, οπότε δεν μπορεί να μηδενίζεται περισσότερες από μία Η συνάρτηση 3 8//7

φορές, που σημαίνει ότι η y% ( ) δεν μπορεί να έχει περισσότερες από μία ρίζες στο συγκεκριμένο διάστημα. 3 Επομένως, η y% ( ) έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα <, που σημαίνει ότι η y% ( ) έχει μόνο ένα ακρότατο στο διάστημα αυτό, και το ακρότατο αυτό είναι ελάχιστο και είναι αρνητικό. Επειδή η y% ( ) είναι συνεχής και πεπερασμένη στο συγκεκριμένο διάστημα, η ελάχιστη τιμή της δεν μπορεί να είναι μικρότερη από την τιμή - - y% ( ), που προκύπτει αν βάλουμε στον αριθμητή την ελάχιστη αρνητική τιμή που παίρνει το ημίτονο στο συγκεκριμένο διάστημα, δηλαδή -, και στον παρανομαστή την ελάχιστη θετική τιμή της ορμής στο συγκεκριμένο διάστημα, που είναι Þ Λόγω του παράγοντα y% ( )., η προηγούμενη τιμή είναι κατ απόλυτη τιμή μικρότερη από 3 <, < +, κ.λπ., η ελάχιστη τιμή της y% ( ), όταν είναι αρνητική, είναι μεγαλύτερη από την ελάχιστη τιμή της στο Στα επόμενα διαστήματα, 3, γιατί ο παρανομαστής του κλάσματος της () παίρνει μεγαλύτερες τιμές, επομένως το κλάσμα κατ απόλυτη τιμή μικραίνει, και επειδή είναι αρνητικό μεγαλώνει αλγεβρικά. Έτσι, λοιπόν, διάστημα < y% ( ) ³ - y% ( ) > -y% ( ), και άρα -y% ( ) < y% ( ) y% ( ), οπότε y% ( ) y% ( ) Η πυκνότητα πιθανότητα ορμής y% ( ) γίνεται επομένως μέγιστη όταν, δηλαδή η πιθανότερη ορμή του σωματίου είναι η ορμή. v) Στην άσκηση 6, δείξαμε ότι η έκφραση της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής στον χώρο των ορμών είναι 3 8//7

d y% ( ) () - Όπως είδαμε, η y% ( ) έχει στο μηδέν ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο και ορίσαμε την τιμή της στο μηδέν ως limy% ( ), οπότε η y% ( ) είναι συνεχής παντού. Έτσι, η ολοκληρωτέα συνάρτηση στη σχέση () είναι συνεχής παντού και το αντίστοιχο ολοκλήρωμα είναι καλά ορισμένο. Αντίθετα, αν γράψουμε την έκφραση της μέσης τιμής του τετραγώνου της ορμής στον χώρο των θέσεων, δηλαδή d d * ˆ ˆ, όπου i, d y y ( ) ( ) ( ) ( ) d d - βλέπουμε ότι το ολοκλήρωμα δεν είναι καλά ορισμένο, αφού η y ( ) έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα τοιχώματα του πηγαδιού, επομένως οι παράγωγοί της στα σημεία αυτά δεν είναι καλά ορισμένες. Βλέπουμε λοιπόν ότι, για την κατάσταση που εξετάζουμε, η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής δεν μπορεί να υπολογιστεί στον χώρο των θέσεων, μπορεί όμως να υπολογιστεί στον χώρο των ορμών. Με τη βοήθεια της (), η () γράφεται d sin - Επειδή η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια, - d sin d sin Επομένως 4 d sin (3) Το ολοκλήρωμα d sin ισούται με το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζει η καμπύλη sin, ο θετικός ημιάξονας, και οι κατακόρυφες και. Η συνάρτηση sin είναι περιοδική, με περίοδο Þ. 3 8//7

Επομένως, το προηγούμενο εμβαδόν ισούται με άπειρες φορές το εμβαδόν του χωρίου που σχηματίζει η καμπύλη sin, ο θετικός ημιάξονας, και οι κατακόρυφες και, το οποίο είναι sin j d sin - cos d - cos d > - sin 4444 3 ( sin ( ) -sin ) - cosj } d - d cos Επομένως d sin Έτσι, από την (3) παίρνουμε Μέσα στο πηγάδι, το δυναμικό είναι μηδέν, οπότε η μέση ενέργεια του σωματίου είναι E, επομένως για την κατάσταση που εξετάζουμε, η μέση ενέργεια m είναι συν άπειρο. Άσκηση 8. Αν στη σχέση () της προηγούμενης άσκησης, αντικαταστήσουμε τη θέση με την ορμή και το πλάτος του πηγαδιού με μια θετική σταθερά με διαστάσεις ορμής, παίρνουμε την κυματοσυνάρτηση, στον χώρο των θέσεων, sin, y ( ) που όμως δεν αφορά το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Παρατηρήστε ότι η y ( ) έχει διαστάσεις -, όπως πρέπει ώστε το γινόμενο y ( ) d να είναι αδιάστατο, ως (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των θέσεων). Παρατηρήστε επίσης ότι, σε αντιστοιχία με την y% ( ) της προηγούμενης άσκησης, η y ( ) έχει ένα αιρόμενο ανώμαλο σημείο, στο, και αν ορίσουμε y ( ) º limy ( ), η y ( ) είναι συνεχής παντού. i) Ποια είναι η κυματοσυνάρτηση y% ( ) που αντιστοιχεί στην παραπάνω y ( ) ; 33 8//7

ii) Αν η y ( ) περιγράφει την κατάσταση ενός σωματίου, υπολογίστε τη μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής του σωματίου. sin u iii) Υπολογίστε το ολοκλήρωμα du. u Λύση i) Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως sin i y% ( ) d e - sin i - d e - i i e - e - i d e { e( ij )- e( - ij ) i - sin j i i i e - e - i d e i - i i i i e - e - d i - i - i + - e - e d i - i - i + e e - d i - 34 8//7

i - i + e e - y% ( ) d i - () Θέλουμε να χωρίσουμε το ολοκλήρωμα της () στα δύο επιμέρους ολοκληρώματα. Επειδή οι δύο επιμέρους συναρτήσεις, i - i + e e - και, δεν ορίζονται στο μηδέν, αντίθετα με τη συνάρτηση i - i + e - e sin i e - i, της οποίας το όριο, καθώς, είναι sin sin e - i i lim lim e - i lim i 4 3 4 44 sin } i lim cos i i lim (στην προτελευταία ισότητα χρησιμοποιήσαμε τον κανόνα του 'Hosital), μπορούμε να ορίσουμε τα δύο επιμέρους ολοκληρώματα ως εξής: i - i - e e lim d d - + e - ie - και 35 8//7

i + i + e e - lim d - d e + - ie - Έτσι, η () γράφεται i - i + e e - - lim d lim+ d y% ( ) + e e i e i e i - - i - i + e e - - lim lim+ d d e + i - ie i e e i - - Με τη βοήθεια της σχέσης e ( iut ), H ( u ) lim+ dt e i t - ie - που είναι μια ολοκληρωτική αναπαράσταση της συνάρτησης βήματος H ( u ), η y% ( ) γράφεται y% ( ) H - - H - - H - - H - + Οπότε, επειδή >, θα έχουμε - Όταν < -, τότε - - >, και - - - > - - >, οπότε H - H - -, επομένως y% ( ). - Όταν < <, τότε - > και - - <, οπότε H - και H - -, επομένως y% ( ). 36 8//7

, τότε - < και - - - + - < - <, οπότε H - H - -, επομένως y% ( ). Έτσι, καταλήγουμε ότι Όταν > - ì ï, αν < ï y% ( ) í () ï, αν > ïî, δηλαδή η ορμή του σωματίου, στην κατάσταση που περιγράφει η (), βρίσκεται εντός του διαστήματος -,. Βλέπουμε ότι η κυματοσυνάρτηση y% ( ) έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα σημεία Παρατηρήστε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής μηδενίζεται όταν >. Με το σκεπτικό που χρησιμοποιήσαμε στην άσκηση 7, μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της y% ( ) ως ± d y% ( ) - ( - )- d y% ( ) + ( )- d y% ( ) + ( - )+ - d y% ( ) ( )+ Επομένως, με τη βοήθεια της (), έχουμε d y% ( ) - d - Η y% ( ) είναι, επομένως, κανονικοποιημένη. ii) Όπως δείξαμε στην άσκηση 6, στον χώρο των ορμών, η μέση τιμή του τετραγώνου της ορμής γράφεται d y% ( ) - Η ολοκληρωτέα συνάρτηση έχει πεπερασμένη ασυνέχεια στα σημεία ± μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα ολοκλήρωμα κανονικοποίησης της y% ( ). Έτσι, με τη βοήθεια της (), παίρνουμε 3 d 3 - - d y% ( ) και όπως ορίσαμε το - 3 3 3 3 - + 3 3 8 8 37 8//7

iii) Η y% ( ) είναι κανονικοποιημένη, επομένως, από τον τύπο Parseval-Plancerel, είναι και η y ( ) κανονικοποιημένη, οπότε d y ( ) - sin d - sin (3) d - Αν αλλάξουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης σε u, τα όρια ολοκλήρωσης δεν αλλάζουν, και u du και d, οπότε το ολοκλήρωμα της (3) γράφεται sin du sin u sin u d du u - u - - Έτσι, η (3) γράφεται sin u du Þ - u sin u sin u du u Þ - du u - Η ολοκληρωτέα συνάρτηση sin u είναι άρτια, επομένως u sin u sin u du du u - u Άσκηση 9. ì A e ( - k ), ³ Η κυματοσυνάρτηση y ( ) í περιγράφει, στον χώρο των î, θέσεων, τη βασική κατάσταση σωματίου στο μονοδιάστατο ελκτικό δυναμικό 38 8//7

ì l ï-, > Coulomb V ( ) í. Το σύστημα αυτό αναφέρεται και ως ï, î μονοδιάστατο άτομο του υδρογόνου. i) Αφού υπολογίσετε τη σταθερά κανονικοποίησης A, υπολογίστε την κυματοσυνάρτηση y% ( ), που περιγράφει τη βασική κατάσταση του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου στον χώρο των ορμών. ii) Χρησιμοποιώντας την y ( ), βρείτε την ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου και, ανατρέχοντας στην άσκηση 6, παρατηρήστε ότι είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα V ( ) - l d ( ). Ως εξήγηση γι αυτό, δείξτε ότι η πυκνότητα πιθανότητας ορμής της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου ταυτίζεται με την πυκνότητα πιθανότητας ορμής της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα V ( ) - l d ( ). iii) Δείξτε ότι η y% ( ) έχει έναν φανταστικό πόλο ης τάξης, στην ορμή που, m όπου E είναι η ενέργεια της κατάστασης που περιγράφει η y% ( ), είναι δηλαδή η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου. ικανοποιεί την κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου E Λύση i) Παρατηρούμε ότι η y ( ) είναι συνεχής στο μηδέν, οπότε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης γράφεται d y ( ) A - d e ( -k ) () Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα d e ( -k ), κάνουμε παραγοντική ολοκλήρωση και παίρνουμε d e ( -k ) - e -k - d e -k d e k ( ) ( ) ( ) ( ) k k Όμως, με τη βοήθεια του κανόνα του 'Hosital, έχουμε lim ( e ( -k ) ) lim e ( k ) } lim } lim k e ( k ) ( k ) e ( k ) Επομένως e ( -k ) Έτσι 39 8//7

d e ( -k ) k d e ( -k ) Με μία ακόμα παραγοντική ολοκλήρωση, παίρνουμε d e k d e k e k d e k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k Με τον ίδιο με πριν τρόπο, δείχνουμε ότι e ( -k ), οπότε d e ( -k ) d e ( -k ) - 3 e ( -k ) 3 k 4k 4k Έτσι, η () γράφεται d y ( ) A -, 4k 3 και τότε η συνθήκη κανονικοποίησης μάς δίνει A Þ A k k 4k 3 Με την απροσδιοριστία μιας σταθερής φάσης, καταλήγουμε ότι A k k Έτσι, η κυματοσυνάρτηση y ( ) γράφεται ìïk k e ( -k ), ³ () ïî, y ( ) í Η y% ( ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier της y ( ), επομένως με τη βοήθεια της () παίρνουμε k i i y% ( ) d e k d e - k k k e ( - k ) k i k k i k d e - k + d e - k + k + i k k i i e - k + - d e - k + k + i 4 8//7

k k i i e - k + - d e - k + y% ( ) k + i Όμως i i lim e - k + lim e ( - k ) e, αφού lim ( e ( - k ) ), όπως προκύπτει από τον κανόνα του 'Hosital, και η i i συνάρτηση e είναι φραγμένη, αφού e. Έτσι, η y% ( ) γράφεται k k i k k i y% ( ) d e - k + e - k + k + i i k + Όμως i i lim e - k + lim e ( - k ) e, i αφού lim ( e ( - k ) ) και η συνάρτηση e είναι φραγμένη. Έτσι, η y% ( ) γράφεται y% ( ) - k k k k k k k -) ( i i i i k + k + k + k + k k k i + k y% ( ) (3) k i + k Αν θέλουμε να κάνουμε έναν διαστατικό έλεγχο στην (3), επειδή [ k ] -, είναι P i é ù êë k úû P-, όπως πρέπει αφού η ποσότητα k προστίθεται στη μονάδα. 4 8//7

é ù ú k ë û Έτσι, éëy% ( ) ùû ê P -, όπως πρέπει ώστε η ποσότητα - P y% ( ) d να είναι αδιάστατη, ως (απειροστή) πιθανότητα (στον χώρο των ορμών). ii) Η y ( ) περιγράφει τη βασική κατάσταση του συστήματός μας, επομένως ικανοποιεί την εξίσωση ιδιοτιμών της ενέργειας y ( ) + m ( E - V ( ) )y ( ) (4) όπου E η ενέργεια της βασικής κατάστασης και V ( ) το δυναμικό μας. Με τη βοήθεια της (), υπολογίσουμε τη η παράγωγο της y ( ). Είναι ( e ( -k ) ) e ( -k ) - k e ( -k ) ( - k ) e ( -k ) Οπότε ( e ( -k ) ) ( ( - k ) e ( -k ) ) -k e ( -k ) - k ( - k ) e ( -k ) - k ( - k ) e ( - k ) ( e ( -k ) ) -k ( - k ) e ( -k ) Επομένως ìï-k k ( - k ) e ( -k ), > y ( ) í (5) < ïî, Στο, η y ( ) δεν ορίζεται, ως αποτέλεσμα της άπειρης ασυνέχειας που παρουσιάζει εκεί το δυναμικό, αφού V ( - ) και V ( + ) -. Αν αντικαταστήσουμε στην (4), τη (), την (5), και το δυναμικό, θα πάρουμε, για >, -k k ( - k ) e ( - k ) + l m E + k k e ( - k ) Προφανώς k ¹, διαφορετικά η y ( ) θα είναι ταυτοτικά μηδέν, δηλαδή γραμμικά εξαρτημένη, επομένως δεν θα είναι ιδιοσυνάρτηση. Έτσι, από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε l m l m me E + Þ -k + k + + Þ ml me Þ k + + - k -k ( - k ) + 4 8//7

Η τελευταία εξίσωση ισχύει για κάθε >, επομένως k + ml me και - k Από την η εξίσωση παίρνουμε E - k (6) m Από τη η εξίσωση παίρνουμε k ml (7) απ όπου βλέπουμε ότι k >, όπως πρέπει ώστε η y ( ) να είναι τετραγωνικά ολοκληρώσιμη. Με τη βοήθεια της (7), η (6) γράφεται E - ml Αυτή είναι η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου και, όπως βλέπουμε, είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα V ( ) - l d ( ). Με άλλα λόγια, η ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου είναι ίση με την ενέργεια της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του (μονοδιάστατου) ελκτικού δυναμικού δέλτα που έχει την ίδια «ισχύ» - ή την ίδια σταθερά ζεύξης, αν προτιμάτε με το μονοδιάστατο ελκτικό δυναμικό Coulomb. Με τη βοήθεια της (7), η (3) γράφεται y% ( ) ml i + ml m l i + ml y% ( ) m l i + ml Η πυκνότητα πιθανότητας ορμής είναι y% ( ), οπότε 43 8//7

y% ( ) m l m l i i + + ml ml 4 4 m l + m l m l + ml y% ( ) m l + ml Για να υπολογίσουμε το μέτρο y% ( ), εφαρμόσαμε τις στοιχειώδεις ιδιότητες z z z z και z z. z z Για z z, η η ιδιότητα μάς δίνει z z. Με τη βοήθεια της σχέσης () της άσκησης 6, η πυκνότητα πιθανότητας ορμής της μοναδικής δέσμιας κατάστασης του ελκτικού δυναμικού δέλτα V ( ) - l d ( ) είναι y% ( ), m l + ml ταυτίζεται δηλαδή με την πυκνότητα πιθανότητας ορμής της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου. iii) Από την (3), βλέπουμε ότι η y% ( ) έχει έναν φανταστικό πόλο ης τάξης, στην ορμή ik, και αν αντικαταστήσουμε την ορμή αυτή στην κλασική σχέση της ενέργειας του ελεύθερου σωματίου, θα πάρουμε k E, m που είναι η σχέση (6), που μας δίνει την ενέργεια της βασικής κατάστασης του μονοδιάστατου ατόμου του υδρογόνου. Αναφορές. David J. Griffits, Introduction to Quantum Mecanics, Prentice Hall, 995 44 8//7

. Zwiebac, ecture Notes in Quantum Pysics II, MIT OenCourseWare, Fall 3, tts://ocw.mit.edu/courses/ysics/8-5-quantum-ysics-ii-fall-3/lecture-notes/ 3. Σπύρος Κωνσταντογιάννης, Μια γεωμετρική παρουσίαση των αναπαραστάσεων θέσης και ορμής στην κβαντική μηχανική, 3 Νοεμβρίου 7, tts://q4quantum.wordress.com/5/8//%ce%b7%ce%ba%cf%85%ce%bc%ce%b%cf%84%ce%bf%cf%83%cf%85%ce%bd%ce%b %cf%8%cf%84%ce%b7%cf%83%ce%b7-%cf%83%cf%84%ce%b7%ce%bd%ce%b%ce%bd%ce%b%cf%8%ce%b%cf%8%ce%b%cf%83%cf%84%ce%b %cf%83%ce%b7/ 45 8//7