B Εξεταςτική Περίοδοσ Εαρινοφ Εξαμήνου 11 1 Λφςη Άςκηςησ Θέμα 1 (, μον.): Δίνεται ο παρακάτω πίνακασ δραςτθριοτιτων ζργου. Πίνακασ Δραςτηριοτήτων Έργου Δραςτηριότητα Διάρκεια Σχέςεισ Α Αρχι του ζργου Β 3 Μετά το τζλοσ τθσ Α Γ Μετά το τζλοσ τθσ Α Δ 3 Μετά το τζλοσ τθσ Β Ε Μετά το τζλοσ τθσ Γ Η Μετά το τζλοσ των Δ και Ε 1. Να ςχεδιαςτεί το διάγραμμα Gantt του ζργου και να προςδιοριςτεί ο ελάχιςτοσ χρόνοσ υλοποίθςθσ του ζργου (1, μον.). Να ςχεδιαςτοφν το τοξωτό και το κομβικό δίκτυο του ζργου (1, μον.) 3. Να προςδιοριςτεί θ κρίςιμθ διαδρομι (, μον.), με επίλυςθ είτε του τοξωτοφ είτε του κομβικοφ δικτφου του ζργου. Απαντήςεισ 1. Διάγραμμα Gantt Χρόνοσ Δραςτθρ. 1 3 7 8 9 1 11 1 13 1 1 1 Α Β Γ Δ Ε Ζ. Δίκτυα ζργου Τοξωτό Δίκτυο 3 Β/3 Γ/3 1 Α/ Ε/ Γ/ Δ/ Σθμείωςθ: Στα τοξωτά δίκτυα τα Γεγονότα αποτελοφν χρονικζσ ςτιγμζσ που ορίηουν τθν αρχι ι/και το τζλοσ μιασ δραςτθριότθτασ και οι Δραςτθριότθτεσ παριςτάνονται με βζλθ. Στο ςυγκεκριμζνο ζργο: 1. Το Γεγονόσ 1 ςθματοδοτεί τθν ζναρξθ του ζργου, άρα και τθν ζναρξθ τθσ δραςτθριότθτασ Α.. Το Γεγονόσ ςθματοδοτεί τθ λιξθ τθσ Α. 3. Οι δραςτθριότθτεσ Β και Γ ξεκινοφν μετά τθν ολοκλιρωςθ τθσ Α. Άρα, το Γεγονόσ ςθματοδοτεί τθν ζναρξθ των Β και Γ.. Το Γεγονόσ 3 ςθματοδοτεί τθ λιξθ τθσ Β και τθν ζναρξθ τθσ Δ (επειδι θ δραςτθριότθτα Δ ξεκινά μετά τθν ολοκλιρωςθ τθσ Β).. Το Γεγονόσ ςθματοδοτεί τθ λιξθ τθσ Γ και τθν ζναρξθ τθσ Ε (επειδι θ δραςτθριότθτα Ε ξεκινά μετά τθν ολοκλιρωςθ τθσ Γ).. Θ δραςτθριότθτα Η ξεκινά μετά τθν ολοκλιρωςθ των Δ και Ε. Επομζνωσ το Γεγονόσ ςθματοδοτεί τθ λιξθ των Δ και Ε και, ταυτόχρονα, τθν ζναρξθ τθσ Η. 7. Το Γεγονόσ ςθματοδοτεί τθ λιξθ τθσ Η και, ταυτόχρονα, τθ λιξθ του ζργου.
Κομβικό Δίκτυο Β 3 Γ 3 Α Ε Γ Δ Σθμείωςθ: Στα κομβικά δίκτυα οι κόμβοι αντιςτοιχοφν ςτισ δραςτθριότθτεσ και τα βζλθ απεικονίηουν τισ ςχζςεισ μεταξφ των δραςτθριοτιτων. Στο ςυγκεκριμζνο ζργο όλεσ οι ςχζςεισ μεταξφ δραςτθριοτιτων είναι Τζλουσ Ζναρξθσ (Finish to Start) και μάλιςτα FS(I,j) =, ςφμφωνα με τον πίνακα δραςτθριοτιτων του ζργου, αφοφ δεν δίνονται χρόνοι υςτζρθςθσ μεταξφ τθσ λιξθσ των προθγοφμενων και τθσ ζναρξθσ των επόμενων δραςτθριοτιτων. 3. Επίλυςη Δικτφων Τοξωτό Δίκτυο Ενωρίτεροι χρόνοι γεγονότων: Σθμείωςθ: Ο υπολογιςμόσ των ενωρίτερων χρόνων των γεγονότων γίνεται με ςάρωςθ του δικτφου από αριςτερά προσ τα δεξιά, δθλ. από τθν ζναρξθ προσ τθ λιξθ του ζργου, κζτοντασ ωσ ενωρίτερο χρόνο του πρώτου γεγονότοσ του δικτφου τθν τιμι μθδζν (ζναρξθ του ζργου). ΕΧ 1 = ΕΧ = ΕΧ 1 +ΧΔ Α = + = ΕΧ 3 = ΕΧ + ΧΔ Β = + 3 = ΕΧ = ΕΧ + ΧΔ Γ = + = Στο γεγονόσ καταλιγουν δφο διαδρομζσ, επομζνωσ: ΕΧ (1) = ΕΧ 3 + ΧΔ Δ = + 3 = 8 ΕΧ () = ΕΧ + ΧΔ Ε = + = 1 ΕΧ = max{εχ (1), ΕΧ ()} = max{8, 1} = 1 ΕΧ = ΕΧ + ΧΔ Ζ = 1 + = 1 Επομζνωσ, ο ελάχιςτοσ χρόνοσ υλοποίθςθσ του ζργου είναι 1 χρονικζσ μονάδεσ. Σθμείωςθ: Ο ελάχιςτοσ χρόνοσ υλοποίθςθσ του ζργου προκφπτει και από το διάγραμμα Gantt του ζργου, κακώσ επίςθσ και από το αρχικό τοξωτό δίκτυο του ζργου, αν ακροίςουμε τισ χρονικζσ διάρκειεσ των δραςτθριοτιτων των διαδρομών που ςχθματίηονται, επιλζγοντασ φυςικά τθ διαδρομι που απαιτεί τθ μεγαλφτερθ ςυνολικι χρονικι διάρκεια (Α Γ Ε Η).
Βραδφτεροι χρόνοι γεγονότων: Σθμείωςθ: Ο υπολογιςμόσ των βραδφτερων χρόνων των γεγονότων γίνεται με ςάρωςθ του δικτφου από δεξιά προσ τα αριςτερά, δθλ. από το τζλοσ προσ τθν αρχι του ζργου. Ο βραδφτεροσ χρόνοσ για το τελικό γεγονόσ είναι ίςοσ είτε με τον τακτό χρόνο, εάν δίνεται, είτε με τον ενωρίτερο χρόνο του τελικοφ γεγονότοσ. Δεν δίνεται τακτόσ χρόνοσ. Άρα: ΒΧ = ΕΧ = 1 ΒΧ = ΒΧ ΧΔ Ζ = 1 = 1 ΒΧ = ΒΧ ΧΔ Ε = 1 = ΒΧ 3 = ΒΧ ΧΔ Δ = 1 3 = 9 Στο γεγονόσ καταλιγουν δφο διαδρομζσ, επομζνωσ: ΒΧ (1) = ΒΧ 3 ΧΔ Β = 9 3 = ΒΧ () = ΒΧ ΧΔ Γ = = ΒΧ = min{βχ (1), ΒΧ ()} = min{, } = ΒΧ 1 = ΒΧ ΧΔ Α = = Συνολικό περιθώριο χρόνου δραςτηριοτήτων: ΣΠΧ Α = ΒΧ ΕΧ 1 ΧΔ Α = = ΣΠΧ Β = ΒΧ 3 ΕΧ ΧΔ Β = 9 3 = ΣΠΧ Γ = ΒΧ ΕΧ ΧΔ Γ = = ΣΠΧ Δ = ΒΧ ΕΧ ΧΔ Δ = 1 3 = ΣΠΧ Ε = ΒΧ ΕΧ ΧΔ Ε = 1 = ΣΠΧ Ζ = ΒΧ ΕΧ ΧΔ Ζ = 1 1 = Επομζνωσ, οι δραςτθριότθτεσ Α, Γ, Ε και Ζ είναι κρίςιμεσ, επειδι ζχουν μθδενικό ςυνολικό περικώριο χρόνου, και κακορίηουν τθν κρίςιμθ διαδρομι του ζργου Α Γ Ε Ζ ι 1 : 3 1 Α/ 9 Γ/3 Β/3 1 1 Γ/ Δ/ Ε/ 1 1
Κομβικό δίκτυο Ενωρίτεροι χρόνοι δραςτθριοτιτων: Σθμείωςθ: Ο υπολογιςμόσ των ενωρίτερων χρόνων των δραςτθριοτιτων γίνεται με ςάρωςθ του δικτφου από αριςτερά προσ τα δεξιά, δθλ. από τθν ζναρξθ προσ τθ λιξθ του ζργου, κζτοντασ ωσ ενωρίτερο χρόνο τθσ πρώτθσ δραςτθριότθτασ του δικτφου τθν τιμι μθδζν (ζναρξθ του ζργου). ΕΧΕ Α = ΕΧΤ Α = ΕΧΕ Α + ΧΔ Α = + = ΕΧΕ Β = ΕΧΤ Α + FS(A, B) = + = ΕΧΤ Β = ΕΧΕ Β + ΧΔ Β = + 3 = ΕΧΕ Γ = ΕΧΤ Α + FS(Α, Γ) = + = ΕΧΤ Γ = ΕΧΕ Γ + ΧΔ Γ = + = ΕΧΕ Δ = ΕΧΤ Β + FS(Β, Δ) = + = ΕΧΤ Δ = ΕΧΕ Δ + ΧΔ Δ = + 3 = 8 ΕΧΕ Ε = ΕΧΤ Γ + FS(Γ, Ε) = + = ΕΧΤ Ε = ΕΧΕ Ε + ΧΔ Ε = + = 1 Στθ δραςτθριότθτα Ζ καταλιγουν δφο διαδρομζσ, επομζνωσ: ΕΧΕ Ζ (1) = ΕΧΤ Δ + FS(Δ, Ζ) = 8 + = 8 ΕΧΕ Ζ () = ΕΧΤ Ε + FS(Ε, Ζ) = 1 + = 1 ΕΧΕ Ζ = max{εχε Ζ (1), ΕΧΕ Ζ ()} = max{8, 1} = 1 ΕΧΤ Ζ = ΕΧΕ Ζ + ΧΔ Ζ = 1 + = 1 Επομζνωσ, ο ελάχιςτοσ χρόνοσ υλοποίθςθσ του ζργου είναι 1 χρονικζσ μονάδεσ. Σθμείωςθ: Ο ελάχιςτοσ χρόνοσ υλοποίθςθσ του ζργου προκφπτει και από το διάγραμμα Gantt του ζργου, κακώσ επίςθσ και από το αρχικό κομβικό δίκτυο του ζργου, αν ακροίςουμε τισ χρονικζσ διάρκειεσ των δραςτθριοτιτων των διαδρομών που ςχθματίηονται, επιλζγοντασ φυςικά τθ διαδρομι που απαιτεί τθ μεγαλφτερθ ςυνολικι χρονικι διάρκεια (Α Γ Ε Η). Βραδφτεροι χρόνοι δραςτθριοτιτων: Σθμείωςθ: Ο υπολογιςμόσ των βραδφτερων χρόνων των δραςτθριοτιτων γίνεται με ςάρωςθ του δικτφου από δεξιά προσ τα αριςτερά, δθλ. από το τζλοσ προσ τθν αρχι του ζργου. Ο βραδφτεροσ χρόνοσ τζλουσ για τθν τελικι δραςτθριότθτα είναι ίςοσ είτε με τον τακτό χρόνο, εάν δίνεται, είτε με το μεγαλφτερο από τουσ ενωρίτερουσ χρόνουσ τζλουσ όλων των δραςτθριοτιτων. Δεν δίνεται τακτόσ χρόνοσ. Άρα: ΒΧΤ Ζ = ΕΧΤ Ζ = 1 ΒΧΕ Ζ = ΒΧΤ Ζ ΧΔ Ζ = 1 = 1 ΒΧΤ Ε = ΒΧΕ Ζ FS(Ε, Ζ) = 1 = 1 ΒΧΕ Ε = ΒΧΤ Ε ΧΔ Ε = 1 = ΒΧΤ Δ = ΒΧΕ Ζ FS(Δ, Ζ) = 1 = 1 ΒΧΕ Δ = ΒΧΤ Δ ΧΔ Δ = 1 3 = 9 ΒΧΤ Γ = ΒΧΕ Ε FS(Γ, Ε) = =
ΒΧΕ Γ = ΒΧΤ Γ ΧΔ Γ = = ΒΧΤ Β = ΒΧΕ Δ FS(Β, Δ) = 9 = 9 ΒΧΕ Β = ΒΧΤ Β ΧΔ Β = 9 3 = Στθ δραςτθριότθτα Α καταλιγουν δφο διαδρομζσ, επομζνωσ: ΒΧΤ Α (1) = ΒΧΕ Β FS(Α, Β) = = ΒΧΤ Α () = ΒΧΕ Γ FS(Α, Γ) = = ΒΧΤ Α = min{βχτ Α (1), ΒΧΤ Α ()} = min{, } = BXE A = BXT A ΧΔ Α = = Περικώρια χρόνου δραςτθριοτιτων: Συνολικό περικώριο χρόνου δραςτθριοτιτων: ΣΠΧ Α = ΒΧΤ Α ΕΧΕ Α ΧΔ Α = = ΣΠΧ Β = ΒΧΤ Β ΕΧΕ Β ΧΔ Β = 9 3 = ΣΠΧ Γ = ΒΧΤ Γ ΕΧΕ Γ ΧΔ Γ = = ΣΠΧ Δ = ΒΧΤ Δ ΕΧΕ Δ ΧΔ Δ = 1 3 = ΣΠΧ Ε = ΒΧΤ Ε ΕΧΕ Ε ΧΔ Ε = 1 = ΣΠΧ Ζ = ΒΧΤ Ζ ΕΧΕ Ζ ΧΔ Ζ = 1 1 = Επομζνωσ, οι δραςτθριότθτεσ Α, Γ, Ε και Ζ είναι κρίςιμεσ, επειδι ζχουν μθδενικό ςυνολικό περικώριο χρόνου, και κακορίηουν τθν κρίςιμθ διαδρομι του ζργου: Α Γ Ε Ζ. Σθμείωςθ: Για τον κακοριςμό τθσ κρίςιμθσ διαδρομισ αρκεί ο υπολογιςμόσ του ςυνολικοφ περικωρίου χρόνου των δραςτθριοτιτων, όμωσ για τθν πλθρότθτα επίλυςθσ του δικτφου παρατίκεται και ο υπολογιςμόσ του ελεφκερου περικωρίου χρόνου των δραςτθριοτιτων. Ελεφκερο περικώριο χρόνου δραςτθριοτιτων: ΕΠΧ Ζ = (τζλοσ του ζργου) ΕΠΧ Ε = ΕΧΕ Ζ ΕΧΤ Ε FS(Ε, Ζ) = 1 1 = ΕΠΧ Δ =ΕΧΕ Ζ ΕΧΤ Δ FS(Δ, Ζ) = 1 8 = ΕΠΧ Γ = ΕΧΕ Ε ΕΧΤ Γ FS(Γ, Ε) = = ΕΠΧ Β = ΕΧΕ Δ ΕΧΤ Β FS(Β, Δ) = = Στθ δραςτθριότθτα Α καταλιγουν δφο διαδρομζσ, επομζνωσ: ΕΠΧ Α (1) = ΕΧΕ Β ΕΧΤ Α FS(Α, Β) = = ΕΠΧ Α () = ΕΧΕ Γ ΕΧΤ Α FS(Α, Γ) = = ΕΠΧ Α = min{επχ Α (1), ΕΠΧ Α ()} = min{, } = Β 3 9 Γ 3 9 8 1 Α Ε 1 1 1 1 Γ Δ 1 1