ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006. Οι Ασκήσεις -8 της πρώτης εργασίας (µε άθροισµα 0 µονάδων) αναφέρονται στα: Κεφάλαιο (Πίνακες, Ορίζουσες, Γραµµικά Συστήµατα) Κεφάλαιο ( ιανυσµατικοί Χώροι) του συγγράµµατος του ΕΑΠ «Γραµµική Άλγεβρα» των Μ. Χατζηνικολάου και Γρ. Καµβύσα. Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συµβουλευθείτε το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη http://edu.eap.gr/pli/pli/studets.htm ως εξής: Εναλλακτικό ιδακτικό Υλικό: Κεφ Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ Πίνακες και Γραµµικά Συστήµατα, Κεφ Ορίζουσες, Κεφ5 Οι χώροιr^, Κεφ6 ιανυσµατικοί χώροι και Κεφ7 Βάση και ιάσταση Συνοδευτικό ΕκπαιδευτικόYλικό: Πίνακες, Οι Χώροι R^, ιανυσµατικοί Χώροι. Πρίν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να µελετούνται τα παραδείγµατα και οι λυµένες ασκήσεις των υποδείξεων και παραποµπών στα συγγράµµατα και στο βοηθητικό υλικό. Εχει δοθεί έµφαση στους στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών πινάκων και την αντίστοιχη αλγοριθµική µέθοδο απαλοιφής Gauss µε την οποία επιλύονται γραµµικά συστήµατα και προβλήµατα της Γραµµικής Αλγεβρας που ανάγονται σε αυτά. Η άσκηση 8 αποτελεί εφαρµογή των δυνάµεων πίνακα σε ένα πρόβληµα γραφηµάτων (ή γράφων) και δείχνει την αναγκαιότητα χρήσης προγράµµατος υπολογιστή για την επίλυσή του. Ολες οι αναγκαίες υποδείξεις όπως και αντίστοιχο παράδειγµα δίνονται αναλυτικά. ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΟΥΝ ΕΙΝΑΙ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΣΕ ΜΕΡΙΚΑ ΣΗΜΕΙΑ ΑΝΑΦΕΡΟΝΤΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΟΥΣ. ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

Τύποι - Πράξεις Ιδιότητες Πινάκων. (0 µονάδες) α) (0 µονάδες) ίνονται οι πίνακες A=, B, C, D = = = Να υπολογισθούν, εφ όσον έχουν νόηµα, οι παρακάτω πίνακες A+ B, A+ D, A C, C A, D C β) ( µονάδες) ίνεται η εξίσωση XA XBR B X Q A X A M ( ), B M m ( ), R M mm ( ), Q M ( ) συµµετρικό και Q συµµετρικό πίνακα. είξτε ότι αν ο ( ) + + = 0 ως προς τον άγνωστο πίνακα Χ, όπου οι θεωρούνται γνωστοί πίνακες µε R αντιστρέψιµο X M είναι λύση της εξίσωσης τότε και ο λύση αυτής.(υπόδειξη. Θεωρείστε τον ανάστροφο των δύο µελών της εξίσωσης και ιδιότητες του αναστρόφου). X θα είναι λ a c γ) (8 µονάδες) Αν A= 0 λ b, να υπολογίσετε τον 0 0 λ 7, Κεφ Ε Υ Γραµµικά Συστήµατα και Πίνακες ). ΛΥΣΗ α) A + B δεν έχει νόηµα. A + D = + + 5 + = = + + 6 0. A, για κάθε φυσικό αριθµό. (βλ. Λυµένη Άσκηση, σελ. A C δεν έχει νόηµα επειδή αν και ο C είναι αντιστρεψιµος o A ειναι ενώ ο C -. C A= = 7 7. D C = =. ΛΥΣΗ β) Εστω ( ) X M λύση της εξίσωσης. Από την ισότητα XA XBR B X Q A X + + = 0, έχουµε ότι και ( XA XBR B X + Q + A X ) = 0 δηλαδή ( XA XBR B X Q A X ) Αλλά από τις ιδιότητες του αναστρόφου έχουµε + + = 0. ( XA XBR B X Q A X) ( XA) ( XBR B X) Q ( A X) ( ) ( ) A X X B R B X + Q + X ( A ) = ( ) + + = + + = X A X BR B X + Q+ A X. Οπότε η σχέση ( XA XBR B X Q A X ) A X X B R B X Q X A + + = + + = 0 γράφεται X A X BR B X + Q+ A X =0 ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

Που σηµαίνει ότι ΛΥΣΗ γ) X είναι λύση της αρχικής εξίσωσης. λ a c λ 0 0 0 a c 0 0 0 a c 0 0 A= 0 λ b = 0 λ 0 + 0 0 b = λ 0 0 + 0 0 b =λ Ι +Ν, µε Ι= 0 0 0 0 λ 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a c και Ν= 0 0 b. Επειδή οι πίνακες λ Ι και Ν µετατίθενται δηλ. (λι) Ν=Ν (λι)=λν, έχουµε ότι 0 0 0 Α = (λ Ι +Ν) k k k k = ( λi) N = λ N. Για τις δυνάµεις του πίνακα Ν εχουµε k= 0k k= 0k 0 a c 0 0 ab 0 0 ab 0 a c 0 0 0 Ν = 0 0 b = 0 0 0, Ν = Ν Ν = 0 0 0 0 0 b = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 και συνεπώς Ν k =0 για k>. Αρα Α k k k k = λ N = λ N = λ I + λ N + λ N k= 0k k= 0k 0 ( ) (καθώς,, = = = )= 0 ( ) λ λ a λ c+ λ ab ( ) = λ I + λ N + λ N = 0 λ λ b 0 0 λ = Ανηγµένη κλιµακωτή µορφή πίνακα - Επίλυση γραµµικών συστηµάτων. (5 µονάδες) Για κάθε πραγµατική τιµή της παραµέτρου a: α) (0 µονάδες) να υπολογιστεί η ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του πίνακα A = a 0 και στην συνέχεια ως εφαρµογή β) (5 µονάδες) να λυθεί το σύστηµα: (βλ. π.χ. Παράδειγµα, Παρ.. στο βιβλίο του ΕΑΠ). x y+ z+ w= x y z+ w= a x y+ w= ΛΥΣΗ α) ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

a a a 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a η περιπτωση) Αν - a =0 δηλαδή a = τότε συνεχίζουµε ως εξής: 0 0 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 η περιπτωση) Αν - a 0 δηλ. a τότε συνεχίζουµε ως εξής 0 0 0 0 a A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ΛΥΣΗ β) Επειδή ο πίνακας Α του προηγούµενου ερωτήµατος είναι ο επαυξηµένος πίνακας του συστηµατος x y+ z+ w= x y z+ w= a η διερευνηση για το συστηµα έχει ως εξής: x y+ w= η περιπτωση) Αν a= τότε 0 0. Αρα θεωρούµε τις τιµές των z, w αυθαίρετες ισες προς κ, λ A 0 0 0 0 0 0 αντίστοιχα και λύνουµε ως προς x, y : x = ½+κ, y = - ½ +κ+ λ. ηλαδή το συνολο των λύσεων είναι {(x, y, z, w)= (½, - ½,0,0)+ κ (,,,0) +λ ( 0,,0,), κ, λ }. 0 0 0 η περιπτωση) Αν a τότε A 0 0 οπότε το συστηµα είναι αδύνατο καθώς οι τάξεις (rak) του 0 0 0 0 πίνακα συντελεστών και του επαυξηµένου είναι διαφορετικές. Υπολογισµός Ορίζουσας µε µέθοδο Laplace ή και µε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς γραµµών/στηλών.. ( µονάδες) α) (7 µονάδες) Να υπολογισθούν οι ορίζουσες των παρακάτω πινάκων : = [], =,, = =. Σε τι συµπέρασµα οδηγείστε για την ορίζουσα του πίνακα = και πώς υπολογίζεται αυτή; ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

Υπόδειξη. Να χρησιµοποιήσετε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς στηλών/γραµµών. (Βλ. π.χ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). β) ( 6 µονάδες) Αν d ισούται προς την ορίζουσα του πίνακα α β 0 0 β α D = 0 0, α β 0 0 β α (δηλ. aii = α για i =,...,, ai+ i = β, aii+ = β για i =,..., και όλα τα άλλα στοιχεία 0) να δειχθεί ότι d = αd β d, για. (Υπόδειξη: Αναπτύξτε την ορίζουσα ως προς την πρώτη γραµµή. Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). Προσθέτουµε όλες τις γραµµές στην τελευταία γραµµή ΛΥΣΗ α) = = = ( + ) + + + + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ( + ) = ( + ) = ( + ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( Είναι δυνατόν επίσης να δειχθεί ο αναδροµικός τυπος =, και στην συνεχεια ότι = +, ). Αφαιρούµε την τελευταία γραµµή από κάθε άλλη γραµµή Αφαιρούµε την τελευταία στήλη από κάθε άλλη στήλη ΛΥΣΗ β) Ανάπτυγµα κατά την πρώτη γραµµή D α β 0 0 α β 0 0 β β 0 0 β 0 0 β α β α 0 α 0 α = 0 0 = α 0 0 β 0 β 0 = = α D β 0 β 0 = α D β D α β α β α β α β 0 0 β α 0 0 β α 0 0 β α ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 β α ( ) ( ) Ανάπτυγµα κατά την πρώτη στήλη Αντίστροφος πίνακα µε µέθοδο προσαρτηµένου ή µέθοδο Gauss Λύση γραµµικού συστήµατος 0. (5 µονάδες) Έστω ο πίνακας A = 6 όπου a R. a α) (5 µονάδες) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος και για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί ο A, µε χρήση της ορίζουσας και του προσαρτηµένου πίνακα του Α (βλ. Παράδειγµα σελ 0, Λυµενη Ασκηση 0 από το Κεφ Ε Υ Ορίζουσες). β) (5 µονάδες) Να βρεθούν οι τιµές του a για τις οποίες ο Α είναι αντιστρέψιµος και για τις τιµές αυτές να υπολογιστεί ο A µε την µέθοδο απαλοιφής Gauss (βλ. ΣΕΥ Πίνακες σελίδα, ή Παράδειγµα 6 στην Ενότητα. του βιβλίου του ΕΑΠ). ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 5

γ) (5 µονάδες) Εφαρµόστε τις δύο µεθόδους α), β) στην διερεύνηση και λύση του συστήµατος x+ z = x+ y+ 6z = x+ y+ az = (Υπενθυµίζεται ότι: η λύση του συστήµατος AX = b, µε Α τετραγωνικό πίνακα, είναι X = A b εάν ο Α είναι αντιστρέψιµος. Σε διαφορετική περίπτωση κάνουµε διερεύνηση για το αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις ή καµία λύση). ΛΥΣΗ α) Aναγκαία και ικανή συνθήκη για να υπάρχει ο αντίστροφος του Α είναι det(a) 0. Υπολογίζουµε την ορίζουσα του Α (π.χ. αναπτυσσοντας ως προς την πρωτη γραµµή) και βρίσκουµε det(a)=(a-5). Αρα ο Α αντιστρέφεται όταν και µόνο a 5 και τότε ο αντίστροφος ισούται προς Α - =(det Α) - adj(α ), µε adj(α ) να υπολογίζεται µε τα αλγεβρικά συµπληρώµατα Α i j = (-) ij D ij, όπου D ij η ελάσσων ορίζουσα που αντιστοιχεί στο στοιχείο a ij: Α =a-6, Α =8-a, Α = -, Α =, Α = a - Α = -, Α =-, Α =-, Α =. A A A a 6 adj(a)= A A A = 8 a a A A A ε + ε ε ε = ε ε + όπου θεσαµε ε =a-5. ε ε ε ε ε ε οπότε A = a 6 8 a a ( a 5) = ΛΥΣΗ β) Θεωρούµε τον πίνακα Α επαυξηµένο µε τον ταυτοτικό πίνακα και µε πράξεις στις γραµµές έχουµε: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( A I) = 6 0 0 0 0 0 0 a 0 0 0 a 0 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 / 0 0 / 0 0 a 0 0 0 a5 / Στο σηµείο αυτό διακρίνουµε δύο περιπτώσεις: η ) αν a-5 0 τότε, θέτοντας (για ευκολία) a-5 = ε, µε ε 0, συνεχίζουµε ως εξής: ε + 0 0 0 0 0 0 0 0 ε ε ε 0 / 0 0 0 ε ε + 0 0 = ε ε ε 0 0 ε / 0 0 0 0 ε ε ε ε ε ε ε + ε ε ε δηλαδή Α - = ε ε +. ε ε ε ε ε ε ( I A ) ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 6

0 0 0 η ) αν a-5 = 0, δηλ. a=5, τότε ο πίνακας στο αριστερό µέρος του πίνακα 0 / 0 0 0 0 / είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή και επειδή δεν είναι ο Ι, έπεται ότι ο Α δεν αντιστρέφεται για a=5. ΛΥΣΗ γ) Λύση του συστήµατος x+ z = x+ y+ 6z =. x+ y+ az = Εχοντας ακολουθήσει την µέθοδο α) έχουµε ότι: Αν a-5 0 τότε το συστηµα έχει µοναδική λύση την (x y z) Τ = A b όπου b η στήλη ( ) Τ υπολογίζοντας. ηλαδή ε + ε ε ε ε ε + = 0 ε ε ε 0 ε ε ε έχουµε ότι η µοναδική λύση είναι (x, y, z)= (, 0, 0). Αν a-5 =0 τότε σχηµατίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα, για a=5 και µε πράξεις στις γραµµές θα βρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του (βλ. δευτερη περίπτωση παρακάτω). Εχοντας ακολουθήσει την µέθοδο β) έχουµε ότι αν a-5 0 τότε το συστηµα έχει µοναδική λύση (x, y, z)= (, 0, 0) την οποία βρίσκουµε πολλαπλασιάζοντας τον αντίστροφο του Α µε b =( ) Τ (όπως πριν). αν a-5 =0 τότε σχηµατίζουµε τον επαυξηµένο πίνακα (Α b) και εκτελούµε πράξεις στις γραµµές για να βρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του. Οµως στην περίπτωση της β) µεθόδου έχουµε το πλεονέκτηµα ότι γνωρίζουµε µέρος της διαδικασίας για την κλιµακωτή µορφή : 0 0 0 0 0 0 Συγκεκριµενα εχουµε βρεί ότι ( A I) = 6 0 0 0 / 0 5 0 0 0 0 0 / Οπότε αρκεί να πολλαπλασιάσουµε την στήλη b =( ) Τ µε τον πίνακα στο δεξί µέρος του επαυξηµένου 0 0 0 0 / 0 = 0 για να βρούµε ότι και (Α b) = 6 0 0. / 0 5 0 0 0 0 Ετσι από τον τελευταίο πίνακα διαβάζουµε το συνολο λύσεων του συστήµατος στην περίπτωση a=5: x=-λ, y= -λ, z= λ, οπου λ αυθαίρετος πραγµατικός αριθµός ή (x, y, z) = (,0,0) + λ(-,-,). ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 7

ιανυσµατικοί Χώροι-Υπόχωροι Βάση ιάσταση Συµπληρωµατικός υπόχωρος 5. (5 µονάδες) ίδονται τα παρακάτω υποσύνολα αντίστοιχων διανυσµατικών χώρων: U x y = {,,,,,, } ( ) z w x = z y = z x y z w M V = {( a+ b, ab, b), a, b } W = { ax +, a } P x [ ] Για κάθε περίπτωση να εξετάσετε αν το υποσύνολο είναι υπόχωρος και, αν είναι, να βρείτε α) µια βάση του και β) δυο διαφορετικα συµπληρώµατα αυτού. (Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ7 Ε Υ Βάση και ιάσταση ). ΛΥΣΗ 5) x y z z / U = {, x = z, y = z, x, y, z, w } = {, z, w } z w z w x Θα εξετάσουµε αν ισχύει ότι για κάθε λ και z y U, λ x y U. w z w Όµως λ x y z w =λ z z / λz λz / = και για να ανήκει το στοιχειο z w λz λw αυτό στο U πρέπει ( ) λz = λz για κάθε λ, z. Όµως αυτό δεν ισχύει (π.χ. λ = και z =), άρα ο U δεν είναι διανυσµατικός υπόχωρος του M ( ). Επειδή ( a+ b, a b, b) = a(,, 0) + b(,,) V = {( a+ b, ab, b), a, b } το συνολο V είναι το συνολο ολων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων v =(,,0) και v = (,-,) του τρισδιάστατου χώρου άρα είναι διανυσµατικός υποχωρος. Καθως τα παραπάνω διανύσµατα παραγουν τον V και είναι γραµµικά ανεξάρτητα, αφού δεν είναι συγγραµµικά, αποτελούν βάση του. Ενας υποχωρος του, Μ, λεγεται συµπληρωµα ή συµπληρωµατικός υπόχωρος του V ως προς τον χώρο, αν = V M, δηλαδή =V+Μ και V M ={0} οπότε και θα ισχύει ότι dimv+dimm= και συνεπώς dimm=-=. Αρκεί λοιπόν να προσδιορίσουµε ένα διανυσµα που παράγει τον Μ. Το διάνυσµα v = (x,y,z) παράγει τον Μ αν και µονο αν µία βαση του V συπληρωµένη µε το v αποτελεί βάση όλου του πραγµατικού τρισδιάστατου χώρου. Το τελευταίο όµως µπορεί να ελεγχθεί από την τάξη του πίνακα µε στήλες τις συνιστώσες των διανυσµάτων v =(,,0), v = (,-,) και v = (x,y,z): Με πράξεις στις γραµµές του πίνακα αυτού x x x a y 0 yx 0 z 0 c 0 z 0 z 0 yx 0 0 yxz εχουµε οτι το v = (x,y,z) παράγει ένα συµπληρωµατικό υπόχωρο του V όταν και µόνον όταν y-x+z 0. ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 8

Μπορουµε λοιπόν να επιλέξουµε x=, y=, z / π.χ. z = και τότε ο υποχωρος που παράγεται από το διάνυσµα (,,) είναι συµπληρωµατικός του V όπως και αυτός που παράγεται από το διάνυσµα (,,-). Προφανώς οι τελευταιοι δυο υπόχωροι είναι διαφορετικοί καθώς τα διανυσµατα (,,) και (,,-) δεν είναι συγγραµµικά. Σηµειωση:Με την παραπάνω λύση ουσιαστικά βρίσκουµε όλα τα συµπληρώµατα του V ως προς τον χώρο. Θα µπορουσαµε να εξετασουµε και µεµονωµενες περιπτωσεις για παραδειγµα να επισυναψουµε στα (,,) και (,,-) ένα από τα στοιχεια της συνηθους βασης {(,0,0),(0,,0),(0,0,)} και να εξετασουµε αν αποκτουµε βαση του χωρου. Ο W δεν είναι γραµµικός υποχωρος του P [x] καθώς δεν περιέχει το µηδενικό πολυώνυµο. 6. ( µονάδες) Θεωρούµε τα σύνολα W και W : W = ( x y,x+ y+ z, x+ z, x+ y+ z), x, y, z { } {( ) } W = 6 x y,5x8 y, 5x+ y, x+ z, x, y, z α) ( µονάδες) είξτε ότι W και W είναι υπόχωροι του χώρου R. β) (9 µονάδες) Βρείτε τις διαστάσεις και βάσεις των W,W, W + W και W W. (Βλ. Λυµένη Άσκηση από το Κεφ7 Βάση και ιάσταση ). ΛΥΣΗ 6. α) Επειδή ( x y,x y z, x z, x y z) + + + + + = x (,,-,-) + y (-,,0,) + z (0,,,) το σύνολο W είναι υπόχωρος αφού είναι το σύνολο ολων των γραµµικών συνδυασµών των διανυσµάτων α =(,,-,-), β =(-,,0,), γ =(0,,,), δηλ. το W είναι ο υποχωρος που παράγεται από τα διανύσµατα α, β, γ. Παρόµοια επειδή ( 6 x y,5x 8 y, 5x y, x z) + + = x (6, 5,-5,-) + y (-,-8,,0) + z (0,0,0,) το W είναι ο υποχωρος που παράγεται από τα α = (6, 5,-5,-), β =(-,-8,,0), γ = (0,0,0,). β) Ο χώρος W + W παράγεται από το σύνολο των διανυσµάτων α, β, γ, α, β, γ Για να βρούµε βασεις για κάθε ένα από τους W,W, W + W, καθώς γνωριζουµε ηδη ένα πεπερασµενο συνολο γεννητορων για τον καθενα, µπορουµε να ακολουθησουµε δυο αλγορίθµους (σελ. βιβλιου). Ο πρωτος χρησιµοποιει πινακα µε γραµµες τα διανυσµατα των γεννητορων κάθε υποχωρου.. Ενας τρόπος που στηρίζεται στον δευτερο αλγόριθµο ευρεσης βάσης ενός υποχωρου συνδυάζει τις απαντήσεις και στα τεσσερα ερωτηµατα του β) είναι ο εξής Σχηµατίζουµε τον πίνακα Π µε στήλες τις συντεταγµένες των α, β, γ, α, β, γ (ως προς την συνήθη βάση) και µε πράξεις στις γραµµες, 0 6 0 0 0 0 5/9 5 8 0 0 0 0 /9 Π= 0 5 0 0 0 0 7/9 0 0 0 0 0 /9 βρίσκουµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του, Π. = Π ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 9

Από τον τελευταίο πίνακα Π είναι φανερό ότι: ο. Το σύνολο διανυσµάτων που αντιστοιχεί στις στήλες η, η, η και 5 η είναι ένα από τα µεγαλύτερα γραµµικά ανεξάρτητα σύνολα στηλών του πίνακα Π. Αρα τα διανύσµατα α, β, γ, β είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν (γεννούν) τον χώρο W + W άρα µια βάση του W + W είναι η { α, β, γ, β } και συνεπώς dim (W + W )=. ο. Το σύνολο διανυσµάτων που αντιστοιχεί στις στήλες η, η και η είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Αρα τα διανύσµατα α, β, γ είναι γραµµικά ανεξάρτητα και παράγουν (γεννούν) τον χώρο W, άρα µια βάση του W είναι η { α, β, γ } και συνεπώς η διάσταση του W ισούται προς (dim W =) ο. Το σύνολο που απαρτίζεται από τις στήλες η, 5 η και 6 η, καθως µε επιπλέον πράξεις στις γραµµες του αντιστοιχου τµηµατος ( block) του πίνακα Π γινεται 0 5/9 0 0 0 /9 0 0,είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Αρα τα διανύσµατα α, β, γ είναι 0 7/9 0 0 0 /9 0 0 0 γραµµικά ανεξάρτητα άρα µια βάση του W είναι η { α, β, γ } και συνεπώς dim W =. Απο την σχέση για την διάσταση του αθροίσµατος υποχώρων έχουµε ότι dim( W W) = dim W + dim W - dim(w + W )=+-=. Για να βρούµε µία βάση της τοµής W Wεργαζόµαστε ως εξης: Ένα τυχόν διάνυσµα v ανήκει στην τοµή W W αν και µονο αν υπαρχουν πραγµατικοί αριθµοί κ, λ, µ, κ, λ, µ ετσι ώστε κ α + λ β + µ γ = κ α +λ β +µ γ ή ισοδυναµα κ α + λ β + µ γ +(- κ ) α +(-λ ) β +(-µ ) γ = 0. Η τελευταια εξισωση αντιστοιχεί σε οµογενές συστηµα γραµµικών εξισώσεων µε πίνακα συντελεστών τον Π ως προς τους αγνώστους κ, λ, µ, -κ, -λ, -µ. 0 0 0 5/9 0 0 0 /9 Αρα έχοντας ηδη την ανηγµενη κλιµακωτη µορφή του Π, Π = µπορουµε αµεσα να 0 0 0 7/9 0 0 0 0 /9 δώσουµε την γενική λυση του αντιστοιχου οµογενους συστήµατος : κ = κ + (5/9) µ, λ = - κ + (/9) µ, µ = κ + (7/9) µ, λ = -(/9) µ µε κ, µ αυθαίρετα. Ετσι η τοµή W W αποτελείται από τα διανυσµατα κ α +λ β +µ γ = κ α - (/9) µ β +µ γ = κ α + µ (-(/9) β +γ ) µε κ, µ αυθαίρετα και συνεπώς µια βάση της τοµης είναι το συνολο { α, -β +9γ }= {(6, 5, -5, ), (, 68,-6, 87)}. ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 0

7. (0 µονάδες) Έστω S={u, u, u, u } µία βάση του R. Θεωρούµε το σύνολο ={v, v, v, v } µε v = u + u, v = u + u, v = u + u, v = α u + u, όπου α πραγµατική παράµετρος. α) ( µονάδες) Να βρεθούν όλες οι τιµές του α για τις οποίες το σύνολο είναι βάση του R και για τις τιµές αυτές του α: β) ( µονάδες) να βρεθεί ο πίνακας αλλαγής βάσης από την S στην Τ, γ) ( µονάδες) να γραφεί το διάνυσµα v = u - u + u - u στην βάση Τ. (Βλ. Παραδείγµατα της Παραγράφου.9 του βιβλίου του ΕΑΠ). ΛΥΣΗ 7) Για να είναι το σύνολο βάση του R αρκεί τα διανύσµατα v, v, v, v, να είναι γραµµικώς ανεξάρτητα (καθώς η διάσταση του χώρου R είναι τέσσερα και το σύνολο αποτελείται από στοιχεία). Επιπλέον µε την υποθεση ότι τα διανύσµατα v, v, v, v, αποτελούν βάση, οι συντελεστές λ, λ, λ, λ ικανοποιούν την σχέση v = λ v + λ v + λ v + λ v αν και µόνο αν ισχύει [v] S = λ [v ] S + λ [v ] S + λ [v ] S + λ [v ] S όπου [v] S ο πίνακας στήλη συντεταγµένων του διανύσµατος v ως προς την βάση S. Άρα µπορούµε να εργαστούµε µε τα διανύσµατα (στήλες) συντεταγµένων ως προς την βάση S και να απαντήσουµε σε όλα τα ερωτήµατα θεωρώντας τον επαυξηµένο πίνακα Α µε στήλες τα διανύσµατα συντεταγµένων των v, v, v, v και v ως προς την βάση S. Προχωρούµε στην κλιµακωτή του µορφή: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 a 0 0 a 0 0 a 0 0 0 a και στο σηµείο αυτό είµαστε σε θέση να συµπεράνουµε ότι: Για να αποτελούν τα διανύσµατα v, v, v, v, βάση του R, πρέπει και αρκεί α. Σε αυτή την περίπτωση ο πίνακας αλλαγής βάσης από την S στην Τ είναι o πίνακας που απαρτίζεται από τις πρώτες 0 0 0 0 στήλες του Α δηλαδή ο B = και οι συντελεστές λ, λ, λ, λ βρίσκονται προχωρώντας στην 0 0 0 0 a ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Α: 0 0 0 0 0 ( + a)/( a) 0 0 0 0 0 0 0 ( a+ )/( a). 0 0 0 0 0 0 0 (+ a)/( a) 0 0 0 a 0 0 0 /( a) 0 0 0 /( a) Αρα λ =(+a)/( a-), λ =(a+)/(- a), λ =(+a)/( a-), λ =/(-α) v = (( + a ) v ( a+ ) v ( + a ) v v ). a και ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

Ενας άλλος τρόπος για να γράψουµε το διάνυσµα v στην βάση Τ είναι να βρούµε τον πίνακα αλλαγής βάσης από την Τ στην S που είναι ο αντίστροφος του Β: a a a B = (π.χ. µε την µέθοδο Gauss) a a a a και να τον πολλαπλασιάσουµε µε τον πίνακα στήλη συντεταγµένων του v ως προς την βάση S: a + a a a ( + a) =. a a a a a a+ Έτσι βρίσκουµε ότι v = (( + a ) v ( ) ( ) ) a+ v + a v v. a Εφαρµογή µε αριθµητικό/συµβολικό πακέτο υπολογισµού 8. (0 µονάδες) Η αναπαράσταση ενός κατευθυνοµένου γραφήµατος όπως το παρακάτω 5 6 δίνεται µε την µορφή του πίνακα 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 όπου υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j aij = 0 δεν υπάρχει κατευθυνόµενο τόξο από τον κόµβο i στον κόµβο j Μπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µετάβασης (συνδέσεων) από τον κόµβο i στον κόµβο j διατρέχοντας ακριβώς κατευθυνόµενα τόξα (ακολουθώντας την φορά τους) είναι ίσος προς τον αριθµό: aa + aa + + aa i j i j i6 6 j (δηλαδή µέσω του κόµβου ή µέσω του κόµβου ή ή µέσω του κόµβου 6). Από τον ορισµό του γινοµένου πινάκων διαπιστώνουµε ότι ο αριθµός αυτός είναι το στοιχείο (i,j) του πίνακα A. Παρόµοια, ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µετάβασης από τον κόµβο i στον κόµβο j διατρέχοντας ακριβώς κατευθυνόµενα τόξα (ακολουθώντας την φορά τους) είναι ίσος προς το στοιχείο (i,j) του πίνακα A κ.ο.κ.. ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

Με την χρήση του Matlab/Octave προσπαθήστε να βρείτε : α) τον αριθµό συνδέσεων µέσω τόξων του κόµβου i µε τον κόµβο j δηλ. τον πίνακα A. 5 β) αν όλα τα στοιχεία του πίνακα I + A+ A + + A είναι µη µηδενικά (δηλ. αν υπάρχει άµεση ή έµµεση σύνδεση µεταξύ όλων των κόµβων). Το τελευταίο ερώτηµα µπορεί να λυθεί στον υπολογιστή σας µε τη βοήθεια του MALAB ή του προγράµµατος «κλώνου» του Octave µε τις ίδιες εντολές. ΛΥΣΗ 8. (α) Πρώτα δηµιουργούµε τον πίνακα A στο Matlab >> a=[ 0 0 0 0 ; 0 0 0; 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0] a = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 και στη συνέχεια υπολογίζουµε τον >> a^ as = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A Άρα για παράδειγµα ο αριθµός συνδέσεων µέσω τόξων µεταξύ των κόµβων 5 και δίνεται από το στοιχείο (5,) του πίνακα A δηλ. είναι (5 και 5 ). (β) >> eye(6)+a+a^+a^+a^+a^5 as = 0 6 6 6 5 8 9 7 8 5 5 5 6 5 ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

9 5 6 5 6 5 Επειδή όλα τα στοιχεία του πίνακα µεταξύ όλων των κόµβων. 5 I + A+ A + + A είναι µη µηδενικά, υπάρχει άµεση ή έµµεση σύνδεση 5 6 5 6 6 6 6 6 5 6 5 6 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 5 6 6 6 6 6 6 5 6 6 Μια άλλη λύση δίνεται παρακάτω µε χρήση της επαναληπτικής εντολής for. >> s=[ 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 ] s = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007

ή >> s=zeros(6,6); >> for i=0:5 s=s+a^i; ed >> s s = 0 6 6 6 5 8 9 7 8 5 5 5 6 5 9 5 6 5 6 5 Αρχικά θέτουµε το αποτέλεσµα του αθροίσµατος των πινάκων s να είναι ο µηδενικός πίνακας, ενώ στη συνέχεια η µεταβλητή i θα πάρει τις τιµές 0,,,,,5 και για κάθε µια από αυτές θα προστίθεται στον πίνακα s ο πίνακας a^i. Το ερωτηµατικό στο τέλος κάθε εντολής δηλώνει ότι δεν θέλουµε να εµφανίζονται τα αποτελέσµατα, ενώ η τελευταία εντολή θα εκτυπώσει την τιµή του s. ΠΛΗ-ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ _ - 006-007 5