Συμπληρωματικές Ασκήσεις

Συμπληρωματικές Ασκήσεις Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Αν για ένα ενδεχόμενο ισχύει Α, να ρείτε την πιθανότητα εμφάνισης του Έστω, τα ενδεχόμενα ότι ένας συγκεκριμένος γιατρός ρίσκεται στις πμ στο ιατρείο του ή στο σπίτι του αντίστοιχα Αν,, ποια είναι η πιθανότητα στις πμ να μη ρίσκεται ούτε στο ιατρείο ούτε στο σπίτι του; Έστω Α, Β, τρία ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει Β Α και Αα,, γ με γ α Να υπολογιστούν οι πιθανότητες,, συναρτήσει των α,,γ Τι παρατηρείτε; Να γίνει εφαρμογή για α/, / και γ/ Έστω ο δειγματικός χώρος {,,,} με αντίστοιχες πιθανότητες των απλών ενδεχομένων {} -,,, να δείξετε ότι να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α{,,}, Β{,,, }, {,,, }, Δ{: } Ζητάμε από ένα φίλο μας να μας πει στην τύχη έναν αριθμό μικρότερο από δισεκατομμύριο Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός που θα μας πει να περιέχει μία τουλάχιστον φορά το ψηφίο 8; 'Ενας δρομέας των m πρόκειται να τρέξει στη λωρίδα ενός στίου με 8 λωρίδες Αν γνωρίζει ότι στον αγώνα παίρνουν μέρος εκτός από αυτόν άλλοι αθλητές οι οποίοι τοποθετούνται εντελώς τυχαία στις υπόλοιπες 7 λωρίδες, ποια είναι η πιθανότητα να μην τρέχει δίπλα του σε γειτονική λωρίδα κανένας αντίπαλος; 7 Στο τμήμα επισκευών μιας εταιρίας ηλεκτρικών συσκευών υπάρχουν προς επισκευή τηλεοράσεις και ίντεο Το προσωπικό που διαθέτει η εταιρεία επισκευάζει σε μία μέρα μόνο συσκευές Αν οι συσκευές που θα επισκευαστούν διαλέγονται τυχαία, να ρεθεί η πιθανότητα σε μία μέρα να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο να επισκευαστούν το πολύ τηλεοράσεις 8 'Ενας πομπός στέλνει σήματα, καθένα από τα οποία είναι "" ή "" Πόσα είναι τα στοιχεία του δειγματικού χώρου του πειράματος; Αν όλα τα στοιχεία του είναι ισοπίθανα, ποια είναι η πιθανότητα α να μην υπάρχουν στο σήμα καθόλου διαδοχικές εκπομπές από "" ή ""; να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά ""; Στην αποθήκη ενός εργοστασίου παραγωγής ελαστικών αυτοκινήτων υπάρχουν λάστιχα από τα οποία τα παρουσιάζουν ένα μικρό ελάττωμα Ένα κατάστημα παραγγέλνει λάστιχα Αν αυτά διαλεχτούν τελείως τυχαία, ανάμεσα στα ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα να αποσταλεί στο κατάστημα; Σε μία οικογένεια με παιδιά η μητέρα έχει αγοράσει τρία δώρα για την πρωτοχρονιά Ζητάει από τα παιδιά να γράψουν σε ένα χαρτί ποιο από τα τρία δώρα θέλει ο καθένας χωρίς ο ένας να ξέρει τι δώρο διάλεξε ο άλλος Ποια είναι η πιθανότητα κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο; τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο; Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να πάρουμε ίδια αποτελέσματα τουλάχιστον ίδια αποτελέσματα outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Μπορείτε να ρείτε τις πιθανότητες των προηγούμενων ενδεχομένων, αν ρίξουμε το ζάρι k φορές k ; Μία εταιρεία διαθέτει φορτηγά, από τα οποία τα είναι ρυπογόνα εκπέμπουν καυσαέρια έξω από τα φυσιολογικά όρια Ο τεχνικός της εταιρείας διαλέγει στην τύχη από τα φορτηγά και τους κάνει έλεγχο καυσαερίων Ποια είναι η πιθανότητα να εντοπίσει ακριώς ρυπογόνα φορτηγά το πολύ ρυπογόνα φορτηγά τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό Ρίχνουμε ένα ζάρι φορές Ποια είναι η πιθανότητα να μη φέρουμε καμία φορά έξι να φέρουμε τουλάχιστον μία φορά έξι; Μία γραμματέας τοποθετεί στην τύχη n διαφορετικά γράμματα σε n φακέλους με διαφορετικές διευθύνσεις Ποια η πιθανότητα να πάει ένα τουλάχιστον γράμμα στο σωστό παραλήπτη; Τι συμαίνει όταν το n είναι πολύ μεγάλο; υπόδειξη: χρησιμοποιήστε τον τύπο του onre για την πιθανότητα ένωσης ενδεχομένων Λύσεις Επειδή, θα έχουμε ότι από όπου προκύπτει ότι / Ζητειται η πιθανότητα του ενδεχομένου Παρατηρούμε ότι και επομένως, " " α είναι, και γ α, και τέλος, α Παρατηρούμε ότι Ισχύει ότι / { } { } " α είναι 7 {} {} {}, / } {,, 8 / / / { } Δ

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους αριθμούς από το έως το δισεκατομμύριο Με άλλα λόγια, ο αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία Κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,, Άρα Έστω Α το ενδεχόμενο επιλογής ενός αριθμού που δεν περιέχει το 8 Το Α αποτελείται από όλους τους αριθμούς με ψηφία μόνο που τώρα κάθε ψηφίο μπορεί να είναι ένας από τους αριθμούς,,,,7, Άρα Α Σύμφωνα με την εκφώνηση ζητείται η πιθανότητα Α και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα, θα έχουμε τελικά ότι Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των 7 ανά χωρίς επανάληψη από τις υπόλοιπες 7 λωρίδες εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Έστω Α το ενδεχόμενο να να μην τρέχει στη λωρίδα ή κανένας από τους αθλητές Το Α θα αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη από τις λωρίδες που απομένουν εκλέγονται για την τοποθέτηση των αθλητών Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και άρα τελικά 7 7 7 7 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλους τους συνδυασμούς των ανά χωρίς επανάληψη Επομένως θα ισχύει ότι Έστω το ενδεχόμενο Α: να επισκευαστούν τηλεοράσεις και ίντεο α ισχύει ότι Επομένως, ο περιέχει ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα % 7 Έστω το ενδεχόμενο : να επισκευαστούν ακριώς τηλεοράσεις και - ίντεο Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Β " " " " Τα Α είναι ξένα ανά δύο και επομένως, και εργαζόμενοι όμοια με το τελικά προκύπτει ότι

8 Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, α Έστω Α το ενδεχόμενο να μην υπάρχουν στο σήμα διαδοχικές εκπομπές από "" ή "" Ε- πομένως, {,,,,,,,} και 8 Έστω Β το ενδεχόμενο να υπάρχουν στο σήμα τρία διαδοχικά "" Επομένως, {,,,,,,,,,,,} και Έστω Α το ενδεχόμενο να επιλεγεί τουλάχιστον ένα από τα ελαττωματικά λάστιχα α ισχύει ότι Α να μην επιλεγεί κανένα από τα ελαττωματικά λάστιχα Όμοια με την άσκηση 7, θα είναι Ο δειγματικός χώρος του πειράματος δυνατές επιλογές των παιδιών αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά με επανάληψη είναι δυνατό δύο παιδιά να επιλέξουν το ίδιο δώρο Επομένως, 7 Έστω Α το ενδεχόμενο «κανένα από τα τρία παιδιά να μη διαλέξει το ίδιο δώρο με τα άλλα δύο» «τα παιδιά επιλέγουν διαφορετικά δώρα» Το Α θα αποτελείται από όλες τις διατάξεις των παιχνιδών ανά χωρίς επανάληψη επιλογή διαφορετικών δώρων Τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα και επομένως, 7 Το ενδεχόμενο «τουλάχιστον δύο παιδιά να διαλέξουν το ίδιο δώρο» είναι συμπληρωματικό του Α Επομένως, ζητείται η πιθανότητα 7 Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά με επανάληψη Επομένως, Αν Α είναι το ενδεχόμενο εμφάνισης ίδιων αποτελεσμάτων, θα είναι {,,,,,,,,,,,,} και επειδή ο χώρος αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι Αν το ενδεχόμενο εμφάνισης τουλάχιστον ίδιων αποτελεσμάτων, θα ισχύει ότι {,,, : για j} και άρα το αποτελείται από όλες τις διατάξεις των στοιχείων ανά χωρίς επανάληψη Επομένως, Β, και επειδή ο αποτελείται από ισοπίθανα ενδεχόμενα θα ισχύει ότι j outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, Τέλος, αν ρίξουμε το ζάρι k k φορές θα έχουμε ότι k και k k, k k Αν το ενδεχόμενο να εντοπιστούν ακριώς ρυπογόνα φορτηγά, τότε όμοια με την Ά- σκηση 7 θα είναι Λόγω του ότι τα ενδεχόμενα Α,Α,,Α είναι ξένα ανά δύο θα ισχύει ότι να εντοπιστούν το πολύ ρυπογόνα φορτηγά " " α ισχύει ότι να εντοπιστούν τουλάχιστον ρυπογόνο και μη ρυπογόνο φορτηγό να εντοπιστούν ρυπογόν ή μη ρυπογόνα φορτηγά " Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις διατάξεις των δυνατά αποτελέσματα σε κάθε ρίψη ανά πειράματα με επανάληψη Επομένως Έστω Α το ενδεχόμενο να μην φέρουμε καμία φορά Το Α αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη και επομένως Επειδή τα στοιχειώδη ενδεχόμενα του είναι ισοπίθανα τελικά συμπεραίνουμε ότι Εναλλακτικά, μπορούσαμε να ρούμε την παραπάνω πιθανότητα ως εξής Σε κάθε ένα από τα τρία ανεξάρτητα μεταξύ τους πειράματα ρίψεις ζαριού, η πιθανότητα μη εμφάνισης του «έξι» είναι / Επομένως, όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη και όχι στην η ρίψη όχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψηόχι στην η ρίψη Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου Άρα, /

Έστω Α το ενδεχόμενο τοποθέτησης του γράμματος στο σωστό φάκελο,,,,n Ζητείται η πιθανότητα του ενδεχομένου " "" Από τον τύπο του onre θα έχουμε ότι n n " "" n j j k n < j α ισχύει ότι, j j j, j k n n n n n n κοκ, n n Παρατηρούμε επίσης ότι το πρώτο άθροισμα Σ αποτελείται από n όρους για,,,n, το δεύτερο άθροισμα Σ <j αποτελείται από n όρους {, j} {,,,n}, j, το τρίτο άθροισμα Σ <j<k αποτελείται από < j< k n όρους, κοκ το τελευταίο άθροισμα αποτελείται από θα έχουμε ότι n n n " " " n n n n n n n n n n e / Από το ανάπτυγμα της εκθετικής συνάρτησης, συμπεραίνουμε ότι και άρα τελικά, αν n, e " "" n e n n όρους Άρα n n n n n Το αποτέλεσμα αυτό είναι αξιοσημείωτο διότι όταν ο αριθμός n των φακέλων και των γραμμάτων γίνεται πολύ μεγάλος πρακτικά n >, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης δεν γίνεται μηδέν, όπως ίσως θα αναμέναμε, αλλά συγκλίνει σε μία σταθερά e Έτσι, είτε έχουμε είτε γράμματα, η πιθανότητα μιας τουλάχιστον σωστής τοποθέτησης πρακτικά παραμένει ίδια Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Δείξτε ότι δύο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α, Β με Α>, > δεν είναι ανεξάρτητα Αν η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή; Το άθροισμα της ρίψης δύο ζαριών μπορεί να είναι,,, Μπορούμε να δώσουμε πιθανότητα / σε καθένα από αυτά τα γεγονότα; Δείξτε ότι αν Α>Β τότε Α > Β Μία επιτροπή αποτελείται από μέλη Κάθε μέλος παίρνει σωστή απόφαση για κάποιο ζήτημα ανεξάρτητα από τους άλλους και με πιθανότητα p Αν η τελική απόφαση λαμάνεται κατά πλειοψηφία ποια είναι η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης Από ένα δοχείο που περιέχει άσπρες και κόκκινες σφαίρες εξάγουμε μία σφαίρα και χωρίς να επιστρέψουμε τη σφαίρα στο δοχείο, διαλέγουμε στη συνέχεια μία δεύτερη Ποια είναι η πιθανότητα να διαλέξουμε στην πρώτη εξαγωγή κόκκινη σφαίρα και στη δεύτερη άσπρη; outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

άσπρες σφαίρες και στις δύο εξαγωγές; 7 'Ενα εξάρτημα παρουσιάζει δύο ειδών λάες, τύπου α και τύπου, οι οποίες εμφανίζονται ανεξάρτητα η μία από την άλλη Η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη α είναι %, ενώ η πιθανότητα να εμφανιστεί η λάη είναι % Ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστούν και οι δύο λάες συγχρόνως; να εμφανιστεί μία τουλάχιστον από τις δύο λάες; να εμφανιστεί λάη τύπου, αν είναι γνωστό ότι έχει ήδη εμφανιστεί λάη τύπου α; 8 'Ενα στα χίλια άτομα ενός πληθυσμού πάσχει από κάποια σοαρή ασθένεια Η εξέταση που χρησιμοποιείται για τη διάγνωση της ασθένειας δίνει λάθος διάγνωση στo % των περιπτώσεων, αν το άτομο που υποάλλεται στην εξέταση πράγματι πάσχει από την ασθένεια, και στο % των περιπτώσεων, αν δεν πάσχει Ποια είναι η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση σε κάποιο άτομο που διαλέχτηκε τυχαία από τον πληθυσμό; Αν για κάποιο άτομο του πληθυσμού η εξέταση ήταν θετική, ποια είναι η πιθανότητα να πάσχει πράγματι από την ασθένεια; Αν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ανεξάρτητα, να δείξετε ότι το ίδιο συμαίνει και για τα ζευγάρια α Α, Β, γ, Αν για τρία ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α, Β, ισχύει ότι,, 7, Β να ρεθούν οι πιθανότητες, Β, Κατά τη ρίψη ενός μαύρου και ενός κόκκινου ζαριού ορίζουμε τα ενδεχόμενα : το μαύρο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το κόκκινο ζάρι έδειξε περιττό αριθμό : το άθροισμα των δύο ενδείξεων είναι περιττό Να δείξετε ότι τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα Είναι τα Α, Β, ανεξάρτητα; Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε κεφαλές, να φέρουμε κεφαλές, αν είναι γνωστό ότι α η πρώτη ένδειξη ήταν κεφαλή, οι δύο πρώτες ενδείξεις ήταν κεφαλές, γ οι δύο από τις τρεις ενδείξεις ήταν κεφαλές 'Ενα δοχείο περιέχει κόκκινες και πράσινες σφαίρες, ενώ ένα δεύτερο δοχείο περιέχει 7 κόκκινες και πράσινες σφαίρες Μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το πρώτο δοχείο και τοποθετείται στο δεύτερο Στη συνέχεια μια σφαίρα διαλέγεται στην τύχη από το δεύτερο δοχείο και τοποθετείται στο πρώτο α Ποια είναι η πιθανότητα να διαλεχτεί κόκκινη σφαίρα από το πρώτο δοχείο και κόκκινη από το δεύτερο; Ποια είναι η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων; Περίπου % των ανδρών και % των γυναικών πάσχουν από αχρωματοψία Ποια είναι η πιθανότητα ένα άτομο που διαλέγεται στην τύχη από το ακροατήριο μιας διάλεξης να πάσχει από αχρωματοψία, αν στην αίθουσα υπάρχουν α άνδρες και 7 γυναίκες; ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών; γ διπλάσιοι άνδρες από γυναίκες; Αν τα ενδεχόμενα, είναι ξένα μεταξύ τους και ισχύει >, >, τότε ποιά από τις επόμενες προτάσεις ισχύει πάντοτε τα, είναι ανεξάρτητα ισχύει τα, δεν είναι ανεξάρτητα Λύσεις Ισχύει ότι < Η εμφάνιση του ενδεχομένου Α κάνει την εμφάνιση του ενδεχομένου Β ποιο πιθανή, δηλαδή, > έλουμε να δούμε αν με άση αυτή την ανισότητα προκύπτει επίσης ότι > α έχουμε ότι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

> Άρα, πράγματι, και η εμφάνιση του Β κάνει την εμφάνιση του Α πιο πιθανή Τα ενδεχόμενα αυτά δεν είναι ισοπίθανα διότι πχ ενώ άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι, άθροισμα πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι και δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι πρώτο ζάρι δεύτερο ζάρι κοκ η ρίψη δύο ζαριών μπορεί να θεωρηθεί ως δύο ανεξάρτητα πειράματα το καθένα από τα οποία συνίσταται στη ρίψη ενός ζαριού α είναι > Έστω Α το ενδεχόμενο λήψης σωστής απόφασης από το -μέλος της επιτροπής Η πιθανότητα λήψης σωστής απόφασης θα είναι Από τον τύπο του onre αυτή η πιθανότητα θα είναι ίση με p p p p p p Έστω Α, K το ενδεχόμενο επιλογής άσπρης, κόκκινης σφαίρας αντίστοιχα, στην -εξαγωγή K K K 7 8 7 8 7 Αν Α,Β είναι τα ενδεχόμενα εμφάνισης λάης α, αντίστοιχα, τότε 8 " 8 8 Το πείραμα αποτελείται από την τυχαία επιλογή ενός ατόμου από τον πληθυσμό και την εξέτασή του Έστω το ενδεχόμενο, το άτομο αυτό να πάσχει από την ασθένεια και,α τα ενδεχόμενα εμφάνισης θετικού, αρνητικού τέστ Σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 7,, και άρα 8,, Από το εώρημα ολικής πιθανότητας, η πιθανότητα να προκύψει θετική η εξέταση θα είναι 7 Από τον τύπο του yes θα ισχύει ότι 7 7 α όμοια με το α, γ " " Από τις υποθέσεις της εκφώνησης προκύπτει το σύστημα, 7, Από τις δύο πρώτες σχέσεις προκύπτει ότι, από όπου, σε συνδυασμό με την τρίτη από τις αρχικές σχέσεις, θα έχουμε ότι 7 Άρα, 8 και Ο δειγματικός χώρος {,,,,,,} αποτελείται από όλες τις διατάξεις των ανά με επανάληψη το α,α σημαίνει ότι το μαύρο ζάρι έφερε α και το κόκκινο α α είναι {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Εξάλλου, τα Α,Β είναι ανεξάρτητα διότι αφορούν δύο ανεξάρτητα μεταξύ τους στοχαστικά πειράματα Επίσης {,,,,,,,,,,,,,,,,,} και {,,,,,,,,,,,,,,,,,} Β Β Επομένως, τα Α, Β, είναι ανά δύο ανεξάρτητα ια να είναι όμως τα Α, Β, ανεξάρτητα θα πρέπει επιπλέον να ισχύει ότι Β Β

Παρατηρώντας όμως ότι Β τελικά θα έχουμε ότι 8 Β Β και συνεπώς τα Α,Β, δεν είναι ανεξάρτητα Έστω Κ το ενδεχόμενο εμφάνισης κεφαλής στην -ρίψη Οι τρείς ρίψεις μπορούν να θεωρηθούν ως τρία ανεξάρτητα πειράματα Επομένως: K K K K K K K K K K K K α K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK " KK " KK K K " K K " K K KK γ KKK KK " KK " KK παρατηρούμε ότι ο αριθμητής είναι ίσος με KKK ενώ ο παρονομαστής θα είναι ίσος τύπος onre με και άρα K K K K K K K K K K K K K K K K K K KK KK KK KKK KKK 8 K K K K K K /8 K KK KK " KK " KK / Έστω Κ, Π πιθανότητα εκλογής κόκκινης, πράσινης σφαίρας αντίστοιχα από το -δοχείο α Η πιθανότητα επιλογής κόκκινης σφαίρας από το πρώτο δοχείο και κόκκινης από το δεύτερο είναι 8 K K K K K Η πιθανότητα στο τέλος του πειράματος να μην έχει αλλάξει η σύνθεση των δύο δοχείων είναι K K " Π Π K K Π Π K K K Π Π Π 8 Έστω Β το ενδεχόμενο το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία, και Α, τα ενδεχόμενα να είναι άντρας ή γυναίκα αντίστοιχα α Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν στην αίθουσα υπάρχουν άνδρες και 7 γυναίκες θα είναι εώρημα ολικής πιθανότητας 7, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, 8

Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε ίσο πλήθος ανδρών και γυναικών στην αίθουσα θα είναι 8 γ Η πιθανότητα το άτομο να πάσχει από αχρωματοψία αν έχουμε διπλάσιους άνδρες από γυναίκες στην αίθουσα θα είναι Ισχύει πάντοτε μόνο η τρίτη πρόταση λ άσκ Ασκήσεις Στατιστικής ΙΙ Έστω ότι ο χρόνος αναμονής Χ σε λεπτά σε συγκεκριμένο σταθμό του υπογείου σιδηροδρόμου είναι μια συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση κατανομής:, < < /, < F /, < Να παρασταθεί γραφικά η F και να υπολογισθούν οι πιθανότητες, <, > / 8, < 8, 8 < Από υποψήφιους δωρητές αίματος μόνο οι δύο έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον α- σθενή που το έχει ανάγκη Να δοθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η αθροιστική συνάρτηση κατανομής του αριθμού των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε ως προς την ομάδα αίματος προτού ρεθεί ο πρώτος κατάλληλος δωρητής Σε μια λαχειοφόρο αγορά με λαχνούς κληρώνεται ένας λαχνός που κερδίζει δρχ τρεις λαχνοί που κερδίζουν από δρχ και λαχνοί που κερδίζουν από δρχ Ποιό είναι το αναμενόμενο κέρδος για ένα άτομο που αγοράζει ένα μόνο λαχνό πληρώνοντας δρχ; 'Ενας παίκτης ρίχνει ζάρι μια φορά και κερδίζει δρχ αν φέρει άσσο, δρχ αν φέρει ή ενώ χάνει δρχ αν φέρει, ή Να ρεθεί η συνάρτηση πιθανότητας και η μέση τιμή του κέρδους του παίκτη ανά παιχνίδι Σε ένα διαγώνισμα με ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής δίνονται δύο ερωτήσεις με α απαντήσεις στο πρώτο και απαντήσεις στο δεύτερο Αν ο διαγωνιζόμενος διαλέγει τις απαντήσεις στην τύχη ποιός είναι ο μέσος αριθμός ορθών απαντήσεων; ποιά είναι η διασπορά του; 'Ενα ιλιοπωλείο αγοράζει ιλία προς δραχμές το ένα και τα πουλάει Αν μετά από ένα έτος υπάρχει η δυνατότητα επιστροφής των απούλητων ιλίων και η κατανομή του α- ριθμού των ιλίων που πουλιούνται σε ένα έτος δίνεται από τον τύπο,,, Να υπολογιστεί η μέση τιμή του και το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος 7 Σε κάθε μια από τις επόμενες περιπτώσεις να ρεθεί η τιμή της σταθεράς, έτσι ώστε οι αντίστοιχοι τύποι να ορίζουν συναρτήσεις πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταλητής θ α, < e, γ /, outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

8 H συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής δίνεται από τον τύπο, Αν να ρεθούν τα α και Να υπολογιστούν οι τιμές των σταθερών α και έτσι ώστε η συνάρτηση με τύπο, να είναι συνάρτηση πυκνότητας μιας τυχαίας μεταλητής με Η ποσότητα ενζίνης Χ σε χιλιόλιτρα που πωλεί πρατήριο ενζίνης σε μια μέρα είναι συνεχής τυχαία μεταλητή με συνάρτηση πυκνότητας, <, <, < Αφού υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς, να ρεθούν οι πιθανότητες /, / < / και > / Τέλος, να ρεθεί η μέση ποσότητα ενζίνης που πουλάει το πρατήριο σε μια μέρα και η διασπορά V Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί μια συνεχή κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας αν αλλού ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι ανά λάη Λύσεις Η συνάρτηση κατανομής F θα παριστάνεται γραφικά ως εξής: F, να ρεθεί το μέσο κόστος / 8 ενώ F /8 /, < F F /8 / / 8 και < F F /8 / > F /8 Έστω Χ ο αριθμός των δωρητών τους οποίους θα χρειαστεί να ελέγξουμε Αν {,} είναι οι υποψήφιοι δωρητές που έχουν ομάδα αίματος που ταιριάζει στον ασθενή και {,,} οι υπόλοιποι, θέτουμε Α το ενδεχόμενο επιλογής του δωρητή ή του δωρητή στην -επιλογή Η επιλογή outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

της σειράς εξέτασης των δωρητών είναι τυχαία και επομένως χρησιμοποιώντας και τον πολλαπλασιαστικό κανόνα για την τομή ενδεχομένων,, Ισχύει ότι Χ {,,,} και επαληθεύουμε ότι φυσικά Επομένως, F, F, F 7, F, F Έστω Χ το ποσό που κερδίζει το άτομο από τον λαχνό δεν συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού Αν το άτομο επιλέγει τυχαία τον λαχνό που αγοράζει θα ισχύει ότι,,, θα ισχύει ότι Χ {,,,}, 8 Το καθαρό κέρδος του ατόμου τώρα συμπεριλαμάνεται το κόστος του λαχνού θα είναι Y και άρα τελικά το αναμενόμενο καθαρό κέρδος θα είναι Y 8 7 ζημιά 7 δρχ Έστω Χ το κέρδος του παίκτη α ισχύει ότι {}, {,}, {,,} και Έστω Χ ο αριθμός των σωστών απαντήσεων Αν οι επιλογές των απαντήσεων των δύο ερωτήσεων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους οι επιλογές των δύο απαντήσεων θεωρούνται δύο στοχαστικά ανεξάρτητα πειράματα, θα ισχύει ότι λάθος απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση λάθος απάντηση στην η ερώτησηλάθος απάντηση στην η ερώτηση outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, λάθος απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και λάθος απάντηση στην η ερώτηση σωστή απάντηση στην η ερώτηση και σωστή απάντηση στην η ερώτηση και επομένως, Επίσης και τέλος, V Είναι 87 Το κέρδος του ιλιοπωλείου σε ένα έτος θα είναι Υ Χ και άρα το μέσο κέρδος του ιλιοπωλείου θα είναι 87 Y 7 Και στις τρείς περιπτώσεις θα πρέπει να ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d d d d και άρα επαληθεύουμε ότι για ισχύει ότι Όμοια με το α θα πρέπει θ θ e θ d θ e θ e d θ e d e θ θ θ θ θ και άρα θ επαληθεύοντας ότι αν θ τότε και γ α πρέπει

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, d d και άρα επαληθεύουμε και πάλι ότι για ισχύει ότι 8 Τα α, θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε να ισχύει ότι, d και ΕΧ / ια να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη θα πρέπει d d ενώ για να ικανοποιείται η τρίτη θα πρέπει d d Άρα θα πρέπει και οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη Όμοια με την προηγούμενη άσκηση θα πρέπει τα α, να είναι τέτοια ώστε, d και ΕΧ Επομένως θα πρέπει d και d d d Άρα τελικά θα πρέπει Οι τιμές αυτές είναι αποδεκτές διότι επαληθεύουν και τη συνθήκη α ρούμε την τιμή της σταθεράς έτσι ώστε και d α πρέπει [] d d d d και άρα / επαληθεύουμε ότι για / ισχύει και ότι Στη συνέχεια θα έχουμε

outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ, / / / d d F, / / / / d d d d F F 8 7 / /, / / / > d d F Τέλος, d d d d, d d d d 8 και άρα 8 V Το κόστος επισκευής είναι Υ Χ και επομένως το μέσο κόστος ανά λάη θα είναι d d Ασκήσεις Στατιστικής II Η πιθανότητα να πετύχει ένας σκοπευτής το στόχο στις από τις ολές είναι τριπλάσια της πιθανότητας να τον πετύχει στις από τις Ποιά είναι η πιθανότητα στις ρίψεις να πετύχει το στόχο α τουλάχιστον μια φορά, και το πολύ φορές To 7% των αυτοκινήτων που φτάνουν σε μια συγκεκριμένη διασταύρωση στρίουν αριστερά και το % δεξιά Αν η επιλογή της κατεύθυνσης κάθε αυτοκινήτου είναι ανεξάρτητη από την επιλογή των υπολοίπων τότε να ρεθεί η πιθανότητα σε αυτοκίνητα που φτάνουν στη διασταύρωση α τουλάχιστον να στρίψουν αριστερά, και τουλάχιστον να στρίψουν στην ίδια κατεύθυνση Ας υποθέσουμε ότι ένα αεροπλάνο μπορεί να πραγματοποιήσει επιτυχή πτήση μόνο αν τουλάχιστον οι μισές από τις μηχανές που διαθέτει λειτουργούν Αν η πιθανότητα να χαλάσει μια μηχανή είναι p, για ποιές τιμές του p είναι ένα δικινητήριο αεροπλάνο ασφαλέστερο από ένα τετρακινητήριο; Μια δακτυλογράφος δακτυλογραφεί με σταθερό ρυθμό λέξεις το λεπτό και η πιθανότητα να δακτυλογραφήσει μια λέξη λανθασμένα είναι Αν κάθε λανθασμένη λέξη απαιτεί χρόνο δευτερολέπτων για να διορθωθεί τότε α να ρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση του χρόνου Τ σε δευτερόλεπτα που απαιτείται για τη σωστή δακτυλογράφηση ενός κειμένου λέξεων, και μήπως είναι προτιμότερο ο ρυθμός δακτυλογράφησης να είναι λέξεις το λεπτό αν αυτός ο ρυθμός μειώνει την πιθανότητα λανθασμένης δακτυλογράφησης μιας λέξης σε ;

Αν η τμ δηλώνει τον αριθμό των επιτυχιών σε ν ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές τότε να ρεθεί η σπ της τμ Y ν Ποια η φυσική ερμηνεία της τμ Y; Ένας ποδοσφαιριστής χτυπάει συνεχώς πέναλτι με πιθανότητα επίτευξης γκολ ίση με p Ποια είναι η πιθανότητα να επιτύχει για πρώτη φορά γκολ σε ζυγό χτύπημα πέναλτι; 7 Δύο φίλοι Α και Β παίζουν το εξής παιχνίδι: Ένα ζάρι ρίχνεται συνεχώς μέχρι να εμφανιστεί για πρώτη φορά άσσος ή έξι και έστω Χ ο αριθμός των ρίψεων που θα απαιτηθούν Αν το Χ είναι άρτιος αριθμός, ο παίκτης Α δίνει στον Β ποσό α δραχμών ενώ αν είναι περιττός, ο παίκτης Β δίνει στον Α ποσό δραχμών α Να ρεθεί η κατανομή της τμ Χ Να ρεθεί η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Α Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο παίκτης Β; γ Να δειχθεί ότι για να είναι το παιχνίδι δίκαιο θα πρέπει να ισχύει α 8 Ο αριθμός των ελαττωματικών σημείων πχ μικροσκοπικές οπές της μόνωσης ενός ηλεκτρικού καλωδίου ακολουθεί την κατανομή osson με μέση τιμή ελαττωματικό σημείο σε κάθε m καλωδίου α Να ρεθεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία ένα καλώδιο μήκους m Αν επιλέξουμε τυχαία καλώδια μήκους m το καθένα, να υπολογιστεί η πιθανότητα να έχει ελαττωματικά σημεία μόνο το ένα καλώδιο γ Να απαντηθούν τα ερωτήματα α και όταν τα καλώδια έχουν μήκος m το καθένα Σε μια επιχείρηση με εργαζομένους να ρεθεί η πιθανότητα να έχουν γεννηθεί την Πρωτοχρονιά εργαζόμενοι Να γίνει υπολογισμός χρησιμοποιώντας α την ακριή κατανομή, και την προσέγγιση με την κατανομή osson Ο αριθμός των θαλάσσιων ατυχημάτων πνιγμών που συμαίνουν σε ένα χρόνο σε μια πόλη κατοίκων είναι τμ Χ με Ποιά είναι η πιθανότητα, σε μια πόλη κατοίκων να έχουμε α,, γ έως και δ το πολύ θαλάσσια ατυχήματα το χρόνο Ένας φαρμακοποιός έχει στην αποθήκη του μπουκάλια παιδικού αντιπυρετικού εκ των ο- ποίων στα η ημερομηνία λήξης είναι σε ημέρες ενώ στα υπόλοιπα σε χρόνο Αν διαλέξει 8 μπουκάλια στην τύχη για έλεγχο, ποιά είναι η πιθανότητα να ρει τουλάχιστον με την κοντινή ημερομηνία λήξης; Ο χρόνος επισκευής σε ώρες μιας λάης σε ένα μηχάνημα ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, ] ν το κόστος μη λειτουργίας του μηχανήματος για ώρες είναι να ρεθεί το μέσο κόστος ανά λάη Έστω ότι η διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή λεπτά Αν κάποιος φθάσει σε ένα τηλεφωνικό θάλαμο ακριώς πριν από μας, ποιά είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιμένουμε α περισσότερο από λεπτά, και μεταξύ και λεπτών Αν η τμ Χ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ, να υπολογιστεί η τιμή της παραμέτρου λ σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις: α >, >, γ, δ V Η διάρκεια σε se εκτέλεσης ενός προγράμματος σε Η/Υ ακολουθεί την εκθετική κατανομή με λ se Αν στον Η/Υ ξεκινήσει ταυτόχρονα η εκτέλεση τέτοιων προγραμμάτων, να ρεθεί η πιθανότητα να εκτελούνται περισσότερα από προγράμματα se μετά την έναρξη της εκτέλεσής τους Απαντήσεις : α 8 8 : α 7 7 : p</ : α T 7, V T 888 όχι : q / q 7: α G / / και / 8: α 8 γ 7 και : α 8 88 : α 78 7 γ 777 δ 88 : : / :α 8 : α ln ln/ γ / δ : 7 outsks MV, Σημειώσεις Στατιστικής ΙΙ,