Descriere CIP a Bibliotecii Naționale a României SOFONEA, GALAFTION Rezistența materialelor /

Galaftion SOFONEA Adrian Marius PASCU REZISTENȚA MATERIAEOR Universitatea ucian Blaga din Sibiu 007

Copyright 007 Toate drepturile asupra acestei lucrări sunt reervate autorilor. Reproducerea integrală sau parțială a textului sau figurilor din această carte este posibilă numai cu acordul prealabil scris al autorilor. Descriere CIP a Bibliotecii Naționale a României SOFONEA, GAAFTION Reistența materialelor / Galaftion Sofonea, Pascu Adrian Marius. Sibiu: Editura Universității ucian Blaga din Sibiu, 007 Bibliografie ISBN () 978 97 79 I. Pascu, Adrian Marius 59.(075.8) Tehnoredactare: Adrian Marius PASCU

C U P R I N S 9. DEPASĂRI 5 9.. Generalități 5 9.. Deformarea grinii drepte solicitate la încovoiere 6 9... Ecuația diferențială a fibrei medii deformate 6 9... Metoda integrării ecuației diferențiale a fibrei medii deformate 9 9.. Metode grafo analitice 9... Metoda grinii reciproce (fictive) 9... Ecuația celor două rotiri. Ecuația celor două săgeți. 7 9... Ecuația celor trei săgeți (Clapeyron) 9 9.. Metoda suprapunerii de efecte 9.5. Metode energetice de calculul deformațiilor 9.5.. Expresiile energiei şi lucrului mecanic de deformație 9.5.. ucrul mecanic al forțelor exterioare 5 9.5.. Teoria reciprocității lucrului mecanic şi a deplasărilor 6 9.5.. Teorema Castigliano 8 9.5.5. Metoda lui Mohr Maxwell 9 9.5.6. Regula de integrare a lui Vereşceaghin 9.6. Întrebări test 7 9.7. Probleme propuse 8 0. SISTEME STATIC NEDETERMINATE 0.. Introducere 0.. Metoda eforturilor 0.. Simetrii şi antisimetrii în sistemele static nedeterminate 6 0.. Recomandări pentru alegerea sistemului de baă 7 0.5. Grinda continuă (pe mai multe reaeme) 8 0.6. Deplasări în sisteme static nedeterminate 5 0.7. Întrebări test 5 0.8. Probleme propuse 5. SOICITĂRI DINAMICE 57.. Considerații generale 57.. Solicitări prin forțe de inerție 57... Calculul unui cablu de macara 58... Bară în mişcare de rotație uniformă 59... Solicitare de încovoiere produsă de forțe de inerție 60... Grinda rulantă 60... Biela motoare 6... Calculul aproximativ al volantului 6 pag

.. Solicitări produse prin şoc 65... Solicitare axială prin şoc 66... Solicitare de încovoiere prin şoc 68... Solicitare de răsucire prin şoc 70.. Întrebări test 7.5. Probleme propuse 7. CACUU DE REZISTENȚĂ A SOICITĂRI VARIABIE 77.. Generalități 77.. Clasificarea solicitărilor variabile în timp 78.. Reistența la oboseală 80.. Diagrame ale reistențelor la oboseală 8.5. Factorii care influențeaă reistența la oboseală 86.5.. Factorii constructivi 86.5.. Factorii tehnologici 88.5.. Influența condițiilor de lucru 90.6. Calculul de reistență la oboseală pentru o piesă 9.7. Calculul de reistență la solicitări variabile 9.7.. Ciclul alternant simetric 9.7.. Solicitarea variabilă cu coeficient de asimetrie oarecare 9.7... Metoda Soderberg 9.7... Metoda Serensen 95.7... Metoda Budugan 98.7.. Solicitarea variabilă compusă de încovoiere şi torsiune 0.8. Întrebări test 07.9. Probleme propuse 08. FAMBAJU BAREOR DREPTE.. Noțiuni generale.. Sarcina critică de flambaj. Formula lui Euler.. Modul de reemare. ungime de flambaj 7.. imita de valabilitate a relației lui Euler. Flambajul în domeniul elasto plastic 8.5. Calculul barelor comprimate la flambaj.5.. Calculul de flambaj în construcția de maşini.5.. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului ϕ.6. Întrebări test 5.7. Probleme propuse 6. TESTE PENTRU VERIFICAREA CUNOŞTINȚEOR 9 ANEXE 5 Anexa. Reistențe admisibile 5 Anexa,a. Reistențe de calcul la stare limită 7 Anexa. Valorile constantelor E, G, ν şi α 9

Anexa. Coeficienții de siguranță 0 Anexa. Mărimi geometrice ale secțiunilor Anexa 5. Presiunea maximă de contact 7 Anexa 6. Elemente geometrice la răsucire 9 Anexa 7. Oțel cornier cu aripi egale 5 Anexa 8. Oțel cornier cu aripi neegale 5 Anexa 9 Oțel I 5 Anexa 0. Oțel U 5 Anexa. Oțel T 55 Anexa. Oțel Z 56 Anexa Ecuația liniei elastice, săgeata maximă, rotirea maximă 57 Anexa Indicatorul tabelelor cu coeficientul ϕ şi STAS 008/0 78 60 SOUȚII A PROBEMEE PROPUSE 6 BIBIOGRAFIE 7

9. DEPASĂRI 9.. Generalități Prin solicitare orice element de reistență se deformeaă. Bara solicitată la întindere compresiune se alungeşte sau se scurteaă cu Δ (vei relația 5. din vol. I []). Bara solicitată la torsiune se răsuceşte cu Δϕ (vei relația 6. din vol. I []). Prin solicitarea la încovoiere bara dreaptă se curbeaă; curbura barei, într o secțiune oarecare, se poate calcula cu relația 7.5 din vol. I. Deplasarea definită în cap. al primului volum, prin drumul parcurs de un punct al unui element de reistență în mişcarea sa cauată de deformarea acelui element de reistență sub acțiunea sarcinilor lămureşte mai bine natura diferită a celor două deformații. Astfel, lungirea Δ are valoarea egală cu deplasarea liniară a secțiunii transversale, aflată la distanța de secțiunea considerată fixă (vei fig. 5. din vol. I []), rotirea Δϕ este valoric egală cu deplasarea unghiulară a direcției unei drepte aflată în secțiune la distanța de secțiunea fixă (vei fig. 6.,b din vol. I []). Studiul deformației barei solicitate la încovoiere ce are ca scop stabilirea formei deformate a acesteia, nu este aşa de simplu de analiat ca alungirea la întindere sau rotirea la răsucire. De aceea, în reistența materialelor, studiul deformațiilor la încovoiere se realieaă prin stabilirea deplasărilor liniare şi a rotirilor fibrei medii în dreptul unei secțiuni. Tot de aceea pentru stabilirea acestor deplasări a fibrei medii se utilieaă mai multe metode. Fiecare metodă preintă avantaje şi deavantaje şi poate fi utiliată cu succes numai pentru aflarea deplasărilor la anumite bare şi anumite încărcări. Pentru început se va studia deformarea grinii la solicitarea de încovoiere. Aici se vor preenta cele mai utiliate metode folosite de ingineri, pentru determinarea deplasărilor, apoi se vor preenta metode generale (energetice) pentru calculul deplasărilor. 5

9.. Deformarea grinii drepte solicitate la încovoiere Studiul deformării grinii drepte solicitate la încovoiere se impune întrucât în exploatare se cer respectate atât condițiile de reistență cât şi cele de rigiditate. Aceasta înseamnă, că atunci când deformațiile maxime depăşesc limitele impuse de condițiile de exploatare se redimensioneaă bara astfel încât şi condițiile de rigiditate să fie respectate. 9... Ecuația diferențială a fibrei medii deformate În reistența materialelor grinda dreaptă solicitată la încovoiere se repreintă prin fibra medie (axa barei). Aceasta se raporteaă la un sistem de axe xoy în care axa Ox este axa longitudinală a barei. Fig. 9. Starea deformată a barei (grinii) drepte poate fi caracteriată prin următoarele mărimi geometrice ale fibrei medii deformate în dreptul secțiunii x (fig.9..): deplasarea transversală, v (numită săgeată), care repreintă poiția deplasării punctului de abscisă x pe normala la aceasta; rotirea unei secțiuni normale, definită prin unghiul θ, dintre planul secțiunii inițiale cu planul secțiunii după deformare; panta la axa deformată ϕ definită cu tangenta trigonometrică a unghiului ϕ dintre axa nedeformată şi tangenta geometrică la axa deformată; deplasarea axială u, a punctului de abscisă x de pe axa deformată față de poiția sa de pe axa nedeformată. 6

Deoarece deformația grinii este foarte mică deplasarea axială, u, se neglijeaă iar panta la fibra medie deformată se consideră egală cu rotirea, adică: dv tgϕ ϕ θ. dx Egalitatea dintre pantă şi rotire mai presupune neglijarea efectului forței tăietoare asupra deformațiilor, efect care produce deplasarea secțiunilor. În paragraful 7.. din vol. I, de la încovoiere s a stabilit expresia curburii: dϕ M ω, dx r EI unde: M este momentul încovoietor din secțiunea x, iar produsul (9.) EI constituie rigiditatea la încovoiere. În caul încovoierii pure, când momentul încovoietor este constant pe toată lungimea barei şi bara are rigiditate constantă din relația de mai sus reultă r constant, adică fibra medie se deformeaă sub forma de arc de cerc. Deşi relația (9.) a fost dedusă pentru încovoiere pură, datorită faptului că efectul forței tăietoare de la încovoierea simplă este mic în comparație cu cel al momentului încovoietor, aceasta se utilieaă şi la încovoierea simplă. Deplasarea v se consideră poitivă când are sensul axei y (în jos), iar rotirea ϕ este poitivă când are sensul orar. Deoarece, în sistemul de axe ales (fig.9.) rotirea poitivă este în sens orar, atunci pentru M poitiv, unghiul d ϕ are sens antiorar, deci negativ. De aceea relația (9.) se va scrie: dϕ M. (9.) dx E I Din relația (9.), ținând seama că: dv ϕ, (9..a) dx reultă ecuația: d v dx M E I, care se numeşte ecuația diferențială aproximativă a fibrei medii deformate. Semnul minus este impus de orientarea axelor. Pentru sistemul de axe din figura (9.), când M>0, reultă: d v dϕ > 0 şi < 0 dx dx r ω. (9.) 7

Înlocuind în ecuația (9.) momentul încovoietor în funcție de variabila x şi integrând se obțin funcțiile: 8 dv θ ϕ C dx v C + C x M dx, E I M dx dx. E I Cele două constante de integrare (C şi C) se determină din condițiile la limită. Acestea repreintă valori ale rotirii ϕ, (C) şi ale deplasării v (C) în anumite puncte ale secțiunii. De obicei aceste puncte sunt legăturile în care se cunosc valorile săgeților şi ale rotirilor. Astfel, la bara simplu reemată din fig. 9., condițiile limită luate în considerare sunt pentru x 0, v 0 şi pentru x, v 0, (u 0 prin aproximația admisă). Când nu poate fi scrisă expresia momentului încovoietor funcție de x, situație întâlnită la sistemele static nedeterminate, atunci se ține seama de relațiile diferențiale între eforturi: d M dx în ecuația (9.), d dx (E dt p dx, d v I ) p dx, care prin derivare, devine: d v p. dx EI Din ecuația (9.5) se poate obține deplasarea v funcție de patru constante de integrare ale căror valori se obțin din condițiile la limită în deplasări, rotiri, momente şi forțe tăietoare. Observații: a) Ecuația (9.) este forma simplificată a ecuației fibrei medii deformate. Ecuația exactă se obține din relația: d v M dx. (9.6) / r dv E I + dx Pentru marea majoritate a problemelor din practică inginerească poate fi folosită ecuația aproximativă (9.) b) Efectul forței tăietoare asupra deplasării se poate lua prin integrarea relației: (9.) (9.5)

T dv dx G A, (9.7) unde A, este aria redusă, în care tensiunile tangențiale se consideră distribuite uniform şi se calculeaă cu expresia: I A. (9.8) S da A b 5 Pentru secțiunea dreptunghiulară vom aveaaʹ A, iar pentru cea circulară A ʹ 0,9A. 6 c) Expresiile săgeților maxime şi ale rotirilor maxime pentru anumite bare, mai frecvent utiliate sunt date în anexe (Anexa ). 9.. Metoda integrării ecuației diferențiale a fibrei medii deformate Aceasta este o metodă analitică şi se baeaă pe integrarea ecuației fibrei medii deformate (9.). Pentru aceasta se delimiteaă grinda în regiuni, în care momentul încovoietor are aceeaşi expresie şi rigiditatea grinii nu are variații bruşte. Astfel, pentru o grindă simplu reemată cu o consolă şi cu secțiunea variabilă în trepte, încărcată cu sarcina uniform distribuită şi sarcina concentrată (fig.9.), se va împărți în 5 regiuni şi va trebui să se scrie şi să se integree 5 ecuații diferențiale. Pentru aceasta este necesar să se determine 5 x 0 constante de integrare. În acest ca pentru fiecare regiune din grindă (a, a,..a5) se obțin câte două constante de integrare. Valorile constantelor de integrare se determină din condițiile de legătură (din reaeme) şi din condițiile de continuitate ale fibrei medii deformate. Astfel în dreptul reaemelor deplasările fibrei medii deformate sunt cunoscute. În articulații, reaeme simple şi încastrări săgețile grinilor sunt egale cu ero, iar în încastrare rigidă rotirea este nulă. Fig. 9. Condițiile de continuitate ale fibrei medii deformate exprimă continuitatea acesteia în dreptul secțiunilor de trecere de la o regiune la alta, adică fibra medie 9

deformată a grinii este o fibră continuă, cu racordări (fără discontinuități sau salturi) chiar dacă rigiditatea sau expresia momentului încovoietor se schimbă brusc. Continuitatea se exprimă prin egalitatea săgeților şi rotirilor pe cele două regiuni vecine în apropierea punctelor de discontinuitate. În figura (9.,b) se arată modul cum se deformeaă fibra medie în secțiunea de separație la abscisa xm, a două regiuni cu rigiditate sau cu expresii ale momentului încovoietor diferite: 0 v ms v md, ms ϕmd ϕ. (9.9) Metoda analitică de integrare a ecuației diferențiale a fibrei medii deformate, poate fi utiliată pentru calculul deplasărilor la orice grindă dreaptă, solicitată, dar preintă dificultăți mari față de alte metode. De aceea se recomandă utiliarea acesteia numai în caul stărilor simple de încărcare când grinda este de rigiditate constantă. În caul existentei mai multor regiuni, deoarece trebuie scrise şi integrate mai multe ecuații, apoi determinate câte două constante de integrare pentru fiecare regiune, această metodă se caracterieaă printr un volum mare de calcule, fapt pentru care nu este utiliată în mod frecvent. Aplicația 9.. Să se determine expresia săgeții şi rotirii, precum şi valorile maxime ale acestorapentru o bară încastrată la un capăt şi solicitată de o forță concentrată, conform figurii 9.. Reolvare: Momentul încovoietor în secțiunea x are expresia: M P( x), iar ecuația diferențială a fibrei medii deformate devine: d v Mi P ( x). dx E I E I Prin integrare se obține: Fig. 9. x P ( x ) dv P x x ϕ + C, şi v + C x+ C. dx E I E I 6 Din condițiile la limită, în încastrare pentru x 0, unde v0 0 şi ϕ0 0 se obține C 0 şi C 0 astfel că: P x x P x x ϕ şi v E I 6E I Rotirea şi săgeata, ce se produc în dreptul forței (x ) sunt:

ϕ max P E I şi v max P E I. Aplicația 9.. Să se determine expresiile săgeții şi rotirii pentru o bară simplu reemată solicitată de o forță concentrată P (fig.9.). Reolvare: Expresiile momentului de încovoiere pe cele două porțiuni ale barei sunt: M P b x Fig. 9. P a ( x ), pentru x [ a,]., pentru [ 0,a] x M Ecuația diferențială a fibrei medii deformate se integreaă pe cele două porțiuni şi se obține: dv P b E I ϕ E I x + C dx, dv P a x E I ϕ + E I x C, dx iar expresiile săgeților pe cele două porțiuni sunt: P b x C x C, 6 E I v + + P a x x E I v + C x + C. 6 Pentru determinarea constantelor de integrare se impun condițiile de legătură şi condițiile de continuitate a fibrei medii în punctul şi anume: condiții de legătură: x 0, v 0 şi x, v 0, condițiile de continuitate a fibrei medii: x x a, v v şi ϕ ϕ. Din aceste condiții reultă următoarele valori pentru constantele de integrare: C P a b P a (a + b), C 0, C ( + a ) 6 6 iar cu aceste valori expresiile săgeților sunt: P a b 6 E I x x x + a b a b v,, pentru 0 x a şi C P a 6,

P a a a x x x v + + + pentru a x 6E I Săgeata în dreptul forței se obține pentru x a din oricare din aceste expresii şi are valoarea: P a b v. E I Săgeata maximă se produce pe porțiunea cea mai lungă a barei de la reaeme la forță şi pentru caul a > b, la distanța x0, care se obține prin anularea derivatei primei relații. dv P a b x a + 0, dx 6 E I a b a b de unde: b x0 Înlocuind această valoare în prima relație a săgeții se obține expresia săgeții maxime: P b vmax ( b ). 9 E I 9.. Metode grafo analitice Întrucât prin utiliarea metodei analitice pentru determinarea deplasărilor este necesar un mare volum de calcul, inginerii utilieaă metode rapide, fără să mai calculee în prealabil ecuația fibrei medii deformate. Metodele grafo analitice, care constau în îmbinarea calculului analitic cu utiliarea diagramelor de momente încovoietoare, evită neajunsurile metodei analitice. 9... Metoda grinii reciproce (fictive) Această metodă are la baă analogia (lui Mohr) dintre relațiile diferențiale dintre sarcini şi eforturi şi ecuațiile diferențiale aproximative ale fibrei medii deformate: d M dt d v dϕ p, ( E I) (E I) M. dx dx dx dx

Se observă că cele două relații, ce exprimă două fenomene fiice diferite, au aceeaşi formă de exprimare matematică şi aceeaşi structură. Pe baa acestei constatări diagrama momentelor încovoietoare redusă prin produsul EI se consideră ca fiind sarcină fictivă: p f M, (9.0.a) ce acționeaă pe grinda reciprocă sau conjugată (fictivă). După ce se stabileşte modul de reemare a grinii reciproce, se pot calcula reacțiunile, forțele tăietoare şi momentele încovoietoare fictive (Tf, Mf) produse la sarcina fictivă pf (9.0.a), procedând în mod similar ca la grinile reale. Momentul încovoietor fictiv, forța tăietoare fictivă şi sarcina fictivă satisfac relațiile: dm f dt T, f d Mf dtf f p dx dx f, p f (9.) dx dx care, formal sunt identice cu relațiile (.9) şi (.0) stabilite între sarcini şi eforturi în paragraful.5 din vol. I. După integrări succesive se obține: dv Tf Mf ϕ + C, v + C x + C, dx E I E I unde C şi C sunt constante de integrare. Dacă se aleg legăturile grinii fictive în mod corespunător, astfel încât, să satisfacă condițiile de legătură şi de continuitate a fibrei deformate a grinii reale, constantele C şi C sunt nule, astfel că relațiile de mai sus devin: Tf Mf ϕ, v. (9.) E I E I În aceste relații s a notat cu Tf, forța tăietoare fictivă şi respectiv Mf, momentul încovoietor fictiv, produse de încărcarea grinii reciproce cu sarcina fictivă pf M, calculate în secțiunile unde se determină deformațiile. Din relațiile (9.) reultă: panta la axa deformată într o secțiune oarecare este egală cu raportul dintre forța tăietoare în acea secțiune a grinii reciproce încărcate cu sarcina fictivă şi rigiditatea barei; săgeata grinii într o secțiune oarecare este egală cu raportul dintre momentul încovoietor în acea secțiune a grinii reciproce încărcate cu sarcina fictivă şi rigiditatea barei. Condițiile de legătură şi de continuitate a fibrei medii deformate a grinii reale sunt îndeplinite dacă se respectă modalitățile de sprijinire a grinii fictive ce sunt preentate în tabelul 9..

Nr. Grinda reală crt. egătura Simbol Deformații Reaem de capăt Reaem intermediar Articulație intermediară Încastrare 5 Capăt liber ϕ v ϕ v v 0 ϕ 0 S S s s ϕ 0 d d v 0 ϕ d d 0 v 0 ϕ 0 v 0 ϕ 0 v 0 Sarcini fictive M T f f 0 0 T T 0 fs M fs M fs fs fd M 0 fd fd T T 0 T M T M 0 f f M f fd 0 f 0 0 0 Tabelul 9. Grinda fictivă egătura Simbol Reaem de capăt Articulație intermediară Reaem intermediar Capăt liber Încastrare Sarcina fictivă ce reultă din diagrama reală de momente, amplasată conform convenției pe fibra întinsă a barei, i se pun săgețile în aşa fel încât să tragă de bară. Trei cauri tipice de transformarea grinii reale în grindă reciprocă sunt date în tabelul 9.. Tabelul 9. Grinda reală Grinda fictivă ϕ 0 0 v ϕ v 0 0 Tf M 0 f 0 Tf M f 0 0 ϕ 0 0 v ϕ v 0 0 Tf M 0 f 0 Tf M f 0 0 ϕ 0 0 v ϕ v 0 0 Tf M 0 f 0 Tf M f 0 0 Din tabelul de mai sus reultă următoarele reguli de corespondență între condițiile de legătură ale grinii reale şi cele ale grinii reciproce:

reciproca grinii în consolă este tot o grindă în consolă, la care capătului încastrat îi corespunde unul liber, iar celui liber o încastrare; reciproca unei grini simplu reemate îi corespunde tot o grindă simplu reemată; reciproca grinii simplu reemată cu o consolă este o grindă care are o încastrare în capătul liber, simplu reemată în capătul opus şi o articulație intermediară în locul reaemului intermediar. Forța tăietoare fictivă (Tf) şi momentul fictiv (Mf) se calculeaă în mod similar ca în caul sarcinilor distribuite. În figura 9.5 sunt date ariile diagramelor de momente şi poițiile centrelor de greutate ale acestora, corespunătoare celor mai frecvente diagrame M întâlnite în practică şi la care se poate aplica metoda grafo analitică. Dacă grinda are rigiditate constantă pe porțiuni, atunci este necesar să se reducă rigiditatea pe toată lungimea barei la o rigiditate constantă cu amplificarea sau micşorarea diagramei de momente cu acelaşi coeficient cu care s a mărit sau micşorat rigiditatea reală la cea convenită. Fig. 9.5 5

Aplicația 9.. Să se determine săgeata şi rotirea punctului k al barei din oțel din figura 9.6. Reolvare: În figura 9.6 s a repreentat diagrama de momente pe grinda fictivă. Reacțiunea Vk pentru grinda fictivă este: V T T fk fks M ϕ ϕ fkd fk a P,5a P a a a a + a 6,75a P. a Eforturile în secțiunea k pentru bara fictivă sunt: a P a a P, T + V a P + 6,75a P,75a P, fks fk a P a a a P. Aplicând relațiile (9.), reultă: T a P 000 6 0 Fig. 9.6 fks o ks,7 0 rad 0, 98 5 E I E I, 0 60 00 T,75a P,75000 60 fkd o kd,0 rad 0, 556 5 EI EI, 0 6000 M E I a P 000 E I, 0 fk vk 5 6 0,86mm. 60 00 Aplicația 9.. Să se determine deplasarea şi rotirea capătului, la grindă în consolă cu momentul de inerție variabil în trepte (fig.9.7). Reolvare: După ce sa trasat diagrama de momente, s a calculat şi s a trasat diagrama de momente reduse (Mr), reultată prin împărțirea momentului încovoietor la rigiditatea barei la încovoiere pe fiecare onă. Utiliând relațiile (9.a) se obține:,, 6

ϕ Tf E I E I ( Pa + Pa) a + 6,5 Pa E I ( Pa + 0,5Pa) a + Pa a ; Mf a v Pa a a E I E I + + a a + a Pa ( a + a) + 0,5 Pa a + + a a a a 8,67 Pa + Pa a + + Pa. E I Fig. 9.7 9... Ecuația celor două rotiri. Ecuația celor două săgeți Se consideră o porțiune a unei grini, de lungime a şi rigiditate constantă, EI, pe care este cunoscută aria diagramei momentului încovoietor Ω şi poiția centrului de greutate al acesteia (fig.9.8). Se traseaă diagrama de momente pe grinda conjugată, se repreintă eforturile fictive în secțiunile făcute ce delimiteaă această porțiune şi se scriu ecuațiile de echilibru ale elementului a, pentru sarcinile şi eforturile fictive. Tf Tf Ω, (9.) M M + a T a Ω. f f f unde: Ω este aria diagramei pe regiunea a, iar a este distanța de la centrul de greutate al ariei Ω la secțiunea. Înlocuind aceste expresii în relațiile (9.) se obține: Ω a Ω ϕ ϕ şi v v + a ϕ. E I E I Ecuațiile (9.) permit calcularea rapidă a deplasărilor în secțiunea () când se cunosc deplasările în secțiunea () suprafața diagramei Ω precum şi distanța a de la centrul de greutate al acesteia la secțiunea (). 7

8 Fig. 9.8 Fig. 9.9 Aplicația 9.5. Să se determine săgeata în punctul () şi rotirea în punctul () pentru bara din figura 9.9 utiliând ecuația celor două rotiri şi ecuația celor doua săgeți. Reolvare: Datorită faptului că bara este simetrică şi încărcată simetric, săgeata în punctul () este maximă, iar rotirea în acest punct este ero ( 0). Aplicând relațiile (9.) pentru secțiunile () şi () se obține: 0 I E P P P I E I E ϕ + ϕ Ω ϕ ϕ, deci: I E P ϕ, şi. I E P 0,85 P P I E P,5 0 I E a a v v + + + Ω ϕ +

9... Ecuația celor trei săgeți (Ecuația lui Clapeyron) Se consideră două regiuni vecine ale unei grini drepte cuprinse între secțiunile consecutive (), () şi (), de rigiditate constantă pe fiecare porțiune (EI pentru porțiunea şi EI pentru porțiunea ) conform figurii 9.0. Deplasările celor trei secțiuni sunt: ϕ, v, ϕ, v, ϕ, v. Ecuațiile de echilibru ale momentelor pentru porțiunile fictive () (), respectiv () (), sunt: M M T Ω a, M f f f f f f M + T Ω a, şi respectiv prin împărțire la rigiditatea corespunătoare fiecărei porțiuni: a Ω v v ϕs, E I v v + ϕd, E I a Ω în care a, b, a, a, Ω şi Ω au semnificațiile de la paragraful 9.., iar ϕs şi ϕd sunt rotirile din secțiunea (), la stânga şi respectiv la dreapta care sunt egale între ele conform condiției de continuitatea fibrei medii ( ϕ s ϕ ϕ ). d Fig. 9.0 Exprimând aceste rotiri din expresiile de mai sus reultă: v v a Ω v v a Ω ϕ, ϕ. E I E I E Adunând aceste expresii se obțin: v v v v +. a Ω I a Ω + I Expresiile momentelor statice ale ariilor diagramelor de momente Ω, de pe regiunea () (), respectiv Ω de pe lungimea () () se obține astfel: a Ω M + M + A d 9

0 d A M M a + + Ω, care înlocuite în egalitatea de mai sus conduc la ecuația lui Clapeyron:. I d A I d A 6 I M I I M I M v v v v 6E + + + + + + (9.) Dacă rigiditatea barei pe cele două porțiuni este aceeaşi ecuația lui Clapeyron devine: ( ) + + + + + + d A d A 6 M M M v v v v I 6E (9.,a). Ecuația lui Clapeyron permite determinarea săgeții într o secțiune dacă se cunosc săgețile în alte două secțiuni precum şi momentele în cele trei secțiuni. Termenii Ad şi Ad numiți termeni de încărcare sunt momentele statice ale ariei diagramei de momente produse de sarcinile de pe regiunea () (), aplicată pe grinda, considerată grindă simplu reemată în secțiunile () şi () fața de secțiunea () şi respectiv a diagramei de momente produsă de sarcinile de pe regiunea () (), aplicată pe grinda, considerată grindă simplu reemată în () şi () față de secțiunea (). Pentru calculul mărimilor Ad şi Ad, se traseaă diagramele momentelor încovoietoare produse de forțele reale pe regiunile şi (considerate simplu reemate în () şi () respectiv în () şi (). Aplicația 9.6. Să se determine săgeata în punctul () pentru grinda din figura 9.. Reolvare: Înlocuind valorile mărimilor din ecuația (9.) se obține: ( ), a a a a P b 0 6 0 a a b b a b a P 0 b ) a 0 v b 0 v ( I E 6 + + + + + + + din care reultă: ( ) b) (a I E 6 b a b a P v + +.

v Fig. 9. Fig. 9. Pentru caul particular în care ba săgeata va fi: 5P a. 8 E I Aplicația 9.7. Să se determine săgeata în capătul liber pentru bara în consolă solicitată de o forță uniform distribuită (fig.9..). Reolvare: În caul barelor în consolă încastrarea se înlocuieşte cu două reaeme foarte apropiate ( 0), a căror deplasări sunt nule. Se scrie ecuația lui Clapeyron (9.), 6E I M v v + M v v + în care se identifică termenii: v A d A d ( + ) + M + 6 +, v 0, M 0, M M pa, 0, a A d A d 0, pa p a a a a Înlocuind aceste valori şi calculând se obține: v pa. E I.

9.. Metoda suprapunerii de efecte În manualele inginerului ca şi în cursurile şi culegerile de reistența materialelor sunt date tabele cu ecuațiile fibrei medii deformate, expresiile rotirilor şi săgeților maxime pentru grini şi încărcări frecvent utiliate de ingineri (Anexa ). Aceste pot fi utiliate şi în cauri complexe de încărcare pentru calcularea rapidă a deformațiilor prin aplicarea principiului suprapunerii efectelor (vei paragraful. din vol. I). Conform principiului suprapunerii efectelor starea complexă de solicitare poate fi considerată ca fiind suma mai multor stări simple, date în tabele. Astfel momentul încovoietor într o secțiune este suma momentelor încovoietoare, produse de acțiunea separată a fiecărei sarcini, adică: M M + M + M +... Mi. Ținând seama de aceasta în ecuația diferențială a fibrei medii deformare (9.), se obține: d v dx astfel că: dϕ dx M E I, d v dx dϕ M d v dϕ ( M + M + M +...). dx dx E I Z d v dϕ M,,... dx E I dx dx E I Integrând se obține: ϕ ϕ + ϕ + ϕ +... +, (9.5) v v + v + v +... vi. Deci rotirea şi săgeata dintr o secțiune a grinii se poate calcula prin însumarea deplasărilor produse separat de fiecare sarcină în parte. Aplicația 9.8. Să se determine expresiile deplasărilor secțiunii () a grinii din figura 9..a. Reolvare: Pentru a putea utilia metoda suprapunerii de efecte este necesar ca sarcina p să fie distribuită pe toată lungimea grinii. În acest scop se adaugă sarcina p şi pe porțiunea () () şi în acelaşi timp se aplică o sarcină p egală dar de sens contrar pe aceeaşi porțiune (fig.9.,b) Rotirea maximă se produce în punctul () şi are valoarea: ϕ ϕ + ϕ, ϕ

iar din anexa se pot scrie: P pa (a) pa ϕ, E I E I E I p p(a) pa pa ϕ,, 6E I 6E I E I E I p pa ϕ 0,67. 6E I E I După înlocuire se obține: pa pa pa pa ϕ + 5,67. E I E I 6E I E I Analog se obține şi săgeata punctului (): v + v v ϕ a, v iar din anexă valorile acestor săgeți sunt: v v p pa (a) pa 5,, E I E I E I p p(a) pa, 8EI 8EI EI care după înlocuiri şi calcule reultă: v v p pa 0,5, 8EI EI 6pa pa pa pa pa + a 7,0. E I E I 8E I 6E I E I Fig. 9. 9.5. Metode energetice de calculul deformațiilor 9.5.. Expresiile energiei şi lucrului mecanic de deformație În caul studiului energiei de deformație pentru caul general (starea triaxială de tensiune), se poate determina următoarea expresie a energiei de deformație specifică: U ( x εx + y εy + ε + τxy γ xy + τy γ y + τx γ x ) (9.6) [ x + y + υ( x y + y + x )] + ( τxy + τy + τx ) E G iar energia de deformație acumulată în elementul de reistență este:

U U dv. V În caul unui element de reistență solicitat uniaxial ( 0, y τxy τy τx U, E 0 ) energia specifică de deformație devine: şi ținând seama de expresia tensiunii pentru întindere sau compresiune simplă reultă: N U. E A Energia de deformație acumulată în volumul elementului de reistență este: x N A N N U U dv dx da dx (9.7) v E A A E A Dacă elementul de reistență este solicitat numai la forfecare pură: τ τ 0 şi τ τ 0 se obține: ( ) x y y x τ U. G Tensiunea tangențială la forfecare poate fi exprimată prin: K T τ, A iar energia de deformație acumulată în elementul de reistență va fi: xy k T k T U U dv dx da dx. (9.8) V G A A G A unde, s a notat K k. Pentru caul unui element de volum solicitat numai la încovoiere ( x 0), τ τ τ 0, analog vom obține: y xy y x U, E şi ținând seama de relația M I i yx y, energia de deformație are expresia: M M M U U dv y dv dx y da dx (9.9) EI EI EI V V A

a răsucire, energia de deformație acumulată de un element de volum este dată M de relația τ t r, reultând: I Mt U dx. G I p p M t sau generaliând pentru caul barelor de secțiune oarecare: U dx. G I t (6.) În caul solicitărilor compuse, admițând că deformațiile sunt elastice, în baa principiului suprapunerii efectelor, energia (lucrul mecanic) de deformație este suma energiilor solicitărilor simple componente. Astfel în caul general de solicitare expresia energiei (lucrului mecanic) de deformație acumulată în bara dreaptă de lungime este: Mi Mt N k T U dx + dx + dx + dx. (9.0) E I G I E A G A t Observații: a) Dacă bara este curbă elementul dx se înlocuieşte cu ds. b) Termenii din relația de mai sus au fost aranjați în ordinea importanței. Energia de deformație produsă de forța tăietoare, cu excepția barelor în consolă scurte, este neglijabilă şi nu se ia în considerare. De asemenea se neglijeaă energia de deformație produsă de forțele axiale, cu excepția grinilor cu ăbrele şi a barelor solicitate axial, iar la cadrele plane solicitate de forțe în planul cadrului se iau numai efectele momentelor încovoietoare. 9.5.. ucrul mecanic al forțelor exterioare Se consideră un corp elastic asupra căruia acționeaă sarcina statică, P. Punctul de aplicație al sarcinii are deplasarea δ pe direcția forței când aceasta creşte de la valoarea 0 la valoarea nominală P. ucrul mecanic efectuat de acțiunea statică a sarcinii P prin deplasarea punctului de aplicație cu δ se poate repreenta prin aria triunghiului OAB din figura 9.. Fig. 9. Dacă sarcina P creşte cu dp, deplasarea creşte cu dδ, iar lucrul mecanic creşte cu d, repreentat în figura 9. prin aria trapeului BACD şi are expresia: 5

d P dδ + dp dδ. În general ultimul termen (aria triunghiului ACE), fiind infinit de ordin superior se neglijeaă în raport cu primul termen, astfel că: d P dδ, (9.) În caul deformațiilor liniar elastice deplasările sunt proporționale cu forțele aplicate: δ k P, astfel că lucrul mecanic elementar are expresia: d k P dp. (9.) (9.,a) Pentru corpul ce se deformeaă liniar elastic sub acțiunea sarcinilor statice se poate obține expresia lucrului mecanic total prin integrarea relației (9.,a): P k P P δ d k P dp. Relația 0 δ P are caracter general în sensul că P este forța generaliată (forță sau moment), iar δ are componente pe axele de coordonate, expresia lucrului mecanic devine: ( X u + Y v + Z w) + ( M ϕ + M ϕ + M ϕ ) x x y y. (9.) În reistența materialelor se consideră că tot lucrul mecanic efectuat de sarcinile exterioare se înmagaineaă în corp sub formă de energie elastică de deformare care se poate restitui la descărcare. 9.5.. Teorema reciprocității lucrului mecanic şi a deplasărilor Asupra unui corp elastic se aplică succesiv două încărcări. Prin aplicarea primei încărcări corpul acumuleaă energia datorită deplasărilor punctelor de aplicație a forțelor P, pe direcțiile acestora. Dacă asupra aceluiaşi corp se aplică a doua încărcare aceasta produce noi deplasări. Forțele din a doua încărcare cu deplasările produse de aceasta caueaă acumularea în corp a energiei de deformație, dar în acelaşi timp se acumuleaă în corp energia produsă de forțele din prima încărcare ce îşi deplaseaă punctele de aplicație datorită deplasărilor produse de a doua încărcare. Astfel datorită aplicării succesive a celor două stări de încărcare se acumuleaă energia de deformație egală cu lucrul mecanic al forțelor exterioare: 6

+ + Ținând seama că energia acumulată nu depinde de ordinea de aplicare a sarcinilor, reultă că: (9.) Relația (9.) exprimă teorema reciprocității lucrului mecanic de deformație (teorema lui Betti) care se poate formula astfel: când asupra unui corp elastic acționeaă succesiv două sisteme de sarcini atunci lucrul mecanic produs de sarcinile din prima încărcare cu deplasările produse de al doilea sistem de încărcare este egal cu lucrul mecanic produs de sarcinile celui de al doilea sistem de încărcare cu deplasările produse de primul sistem de sarcini. Aplicând teorema reciprocității lucrului mecanic la o grindă simplu reemată (fig. 9.5) asupra căreia acționeaă succesiv sarcinile P şi P în secțiunea () şi respectiv () se obține: P v P v. + + + + P v Aplicând întâi sarcina P şi apoi sarcina P lucrul mecanic efectuat de sarcini este: P v P v + + + + P v. Având în vedere că sarcinile P şi P se aplică static, acestea parcurg deplasările v şi v cu intensitate variabilă de la ero la valoarea finală (vei figura 9.), astfel că primii termeni au factorul / şi întrucât sarcinile P şi respectiv P parcurg deplasările v respectiv v cu întreaga intensitate, ultimii factori ai expresiei lucrului mecanic nu conțin factorul /. Fig. 9.5 Din egalitatea celor două expresii ale lucrului mecanic (energia acumulată de bară nu depinde de ordinea de aplicare a sarcinilor), reultă: P v P. (9.5a) P v Pentru caul general se scrie v δ şi v δ astfel că; δ P δ. (9.5b) Dacă în relația (9.5b) se ia PPP reultă teorema reciprocității deplasărilor (Maxwell): δ δ, (9.6) 7

adică: deplasarea secțiunii () a unei bare când forța acționeaă în secțiunea () este egală cu deplasarea secțiunii () când forța acționeaă în secțiunea (). Ambele deplasări sunt măsurate pe direcția forței. 9.5.. Teorema lui Castigliano dp P Din asemănarea triunghiurilor OAB şi ACE din figura 9. reultă: dδ δ şi respectiv:, d P dδ δdp. δ P Ultima egalitate poate fi scrisă şi sub forma:, (9.7) care exprimă faptul că: derivata parțială a lucrului mecanic de deformație acumulat de întregul corp elastic în raport cu o forță oarecare P este egală cu deplasarea δ a forței P pe direcția acesteia. În caul că se deriveaă în raport cu un moment se obține rotirea: M ϕ, (9.7a) din punctul de aplicație al momentului şi în sensul acestuia. Utiliând expresia lucrului mecanic pentru o bară solicitată de un sistem compus de forțe (9.0), în relația (9.7), se obține expresia săgeții în dreptul şi pe direcția forței P: Mi Mi Mt Mt N N k T T δ dx + dx + dx + dx. (9.8) EI P GIt P E A P G A P Această expresie este cunoscută sub denumirea de teorema lui Castigliano şi are caracter general în sensul că se poate utilia pentru determinarea deplasării generaliate (săgeată sau rotirea) la orice corp elastic, pentru orice fel de solicitare. Când în punctul în care se va determina deplasarea sau rotirea nu acționeaă o sarcină concentrată, se aplică o forță fictivă, respectiv moment fictiv Pf, Mf, care serveşte numai la calcularea derivatei şi respectiv. P f M f 8

Aplicația 9.9. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului (k) al barei din fig. 9.6. Reolvare: Pentru aflarea săgeții în secțiunea (k) se scrie expresia momentului încovoietor în funcție de variabila x: M P x, iar derivata acestuia este: Fig. 9.6 M x P v k. Integrând pe intervalul 0 reultă: 0 M E I M P dx P E I 0 x P dx E I. Pentru aflarea rotirii ϕ k s a aplicat un moment fictiv în secțiunea (k), Mf ce se ia în considerare în expresia momentului numai pentru obținerea derivatei (apoi se ia Mf 0): M M P x M f,, M ϕ k M E I M M f dx Mf 0 f P E I 0 P x dx E I. 9.5.5. Metoda Mohr Maxwell Teorema lui Castiglianio, cu toate că are un caracter general, preintă deavantajul de a fi o metodă laborioasă. Față de aceasta, metoda Mohr Maxwell are avantajul de la corpul elastic deformabil, la bara elastică. Eforturile din secțiunea x a unei bare, ținând seama şi de acțiunea sarcinii fictive Pf, sunt: M M + m P, M t N N T T M x x x tx + m + n P, + t P. f t f f P, f unde: Mx, Mtx, Nx şi Tx sunt eforturile produse de sarcinile reale de pe bară, iar m, mt, n şi t sunt eforturile produse de sarcina fictivă Pf, aplicată în secțiunea unde se 9

calculeaă deplasarea pe direcția acesteia. Întrucât Mx, Mtx, Nx, şi Tx nu depind de sarcina fictivă, derivatele acestora față de sarcina Pf sunt nule. Derivatele eforturilor din formula (9.8) sunt: M i M t N T mi, m t, n, t. P P P P δ f f Cu acestea înlocuite în relația (9.8.) se obține expresia: M m Mt m t N n k T t dx + dx + dx + dx E I G I E A G A l t f f (9.9) ceea ce repreintă relația Mohr Maxwell de calcul a deplasărilor. Observații: a) Relația (9.9) se utilieaă ținând seama de observațiile de la 9.5.. b) De efectul forței fictive (Pf ) se ține seama numai pentru determinarea eforturilor mi, m t, n şi t ce se iau în considerare în formula (9.9); c) Eforturile Mx, Mtx, Nx şi Tx sunt funcții de eforturi (în secțiunea de abscisă x) produse de forțele reale ( sarcini şi reacțiuni); d) Eforturile m, mt, n şi t sunt funcții de eforturi (în secțiunea de abscisă x ) date de acțiunea forței fictive Pf aplicată în secțiunea unde se determină deplasarea δ şi pe direcția acesteia; e) Deplasarea δ are sensul şi direcția forței unitare fictive. Dacă din calcul se obține semnul minus reultă că sensul deplasării este contrar celui ales pentru forța fictivă; f) Forța fictivă are caracter generaliat forța sau moment şi se ia forța unitară (Pf ) pentru calculul deplasărilor liniare şi respectiv moment unitar (Mf ) pentru calculul rotirilor. Aplicația 9.0. Să se determine săgeata şi rotirea punctului (k) pentru bara din figura 9.7 de rigiditate constantă. Reolvare: În secțiunea definită de abscisa x, momentul încovoietor, este: M x p(a + x). Pentru calculul săgeții se aplică în punctul (k) o forță unitară verticală Pf l (adimensională), care produce în secțiunea x momentul încovoietor: m lx. Fig. 9.7 Înlocuind în relația (9.9), neglijând efectul forței tăietoare se obține: 0

v k M m p dx E I E I 0 v k P a 57, E I. Z a ( a + x) p x dx E I Z a x a x + x + Pentru determinarea rotirii se aplică un moment unitar Mf l, în punctul (k), în locul rotirii cerute, care produce în orice secțiune efortul: mf l. Procedând în mod similar, ca la calculul săgeții v, se obține: ϕ k M mʹ p dx EI EI a 0 p E I x ( a + x) dx a x + a x + 0,67. a 0 a 0 pa EI Aplicația 9.. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului (k) pentru cadrul din figura 9.8. Fig. 9.8 Reolvare: În secțiunile definite de variabila x, momentele încovoietoare pe cele două porțiuni sunt: pe porțiunea k : M M x x p x, m u x, m v 0, mʹ pe portiunea :,5 pa pa x, m u a, x, mʹ m v, pentru [ 0,a] x,, pentru [ 0,a] Înlocuind în relația (9.9) expresiile de mai sus se obțin deplasările: x. M m a p x a u (,5pa + pa x) a pa uk dx dx + dx 6,6, E I 0 E I 0 E I E I a a M m v p x 0,5pa + pa x pa v k dx dx + x dx 5,8 E I 0 E I 0 E I E I

Deplasarea δ se obține prin însumarea geometrică a celor două deplasări calculate: pa δ uk + vk 7,6. E I Rotirea punctului (k) va fi: ϕ k a M mʹ a p x,5pa + pa x pa dx 0 dx + dx 0 E I E I 0 E I E I Aplicația 9.. Să se determine deplasarea şi rotirea punctului de aplicație al forței pentru bara curbă din figura 9.9 de rigiditate constantă. Reolvare:Momentele încovoietoare date de solicitările barei din figură sunt: M P R sin α, m v m u mʹ, R sin α, R ( cos α), π pentru α 0,. Fig. 9.9 iar cu acestea înlocuite în relația (9.9) se obține: π M m u P R P R u k ds sin α ( cos α) dα, E I E I E I l 0 π/ M m v P R π P R v k ds sin α dα, E I E I E I ϕ l M mʹ P R ds E I E I 0 P R sin α dα E I π/. k 0 Observație: Pentru bara curbă elementul dx s a înlocuit cu ds Rdx. Deplasarea δ punctului (k) este: P R δ uk + vk 0,9. E I a

9.5.6. Regula de integrare a lui Vereşceaghin În reistența materialelor se preferă, în general substituirea calculului integral prin metode grafo analitice, sau grafice. Integrarea expresiei (9.9) se preferă numai când metodele grafo analitice nu pot fi aplicate sau când funcțiile ce intervin în integrală sunt foarte simple şi nu merită să fie utiliată altă metodă. Regula de integrare a lui Veresceaghin, care este o metodă matematică de integrare a produsului a două funcții dintre care una este liniară, numită şi metoda de înmulțire a diagramelor şi se aplică în următoarele situații: bara să fie dreaptă, de rigiditate constantă pe întreaga lungime sau cel puțin pe un număr mic de regiuni; se pot calcula ariile diagramelor de eforturi şi se pot precia poițiile centrelor de greutate ale acestora pe întreaga bară sau pe regiuni din bară. Pentru demonstrarea metodei se consideră o bară simplu reemată de rigiditate constantă pe toata lungimea, solicitată la încovoiere, la care se va determina deplasarea punctului (k) de pe axa barei: În acest ca se poate scrie: δ M m dx E I EI unde: m (Mdx) EI mdω. dω M dx este elementul de arie a diagramei de momente. Fig. 9.0 Pentru caul din fig.9.0, efortul m are două one de variație liniară: m x tgα şi m x tgα, astfel că expresia deplasării va reulta: δ tgα E I δ EI a x dω + tgα dω E I Ω m E I i Gi ( Ω m + Ω m ). G G b x [ Ω x tgα + Ω x tgα ] G G

Deplasarea δ se obține din suma produselor dintre aria diagramei momentului încovoietor de pe regiunea respectivă înmulțită cu ordonata mg pe care o are diagrama liniară m, în dreptul centrului de greutate a diagramei M, de pe regiunea respectivă şi împărțită la rigiditatea EI. În caul general, când asupra barei acționeaă toate eforturile şi prin aplicarea forței unitare pe direcția pe care se doreşte calculul deplasării se produc în bară eforturile m, mt, n şi t, ținând seama de relația (9.9) expresia deplasării devine: ΩM mg ΩMt mgt ΩN ng k ΩT tg δ + + +. (9.0) E I G I E A G A t În relația (9.0) ΩMi, ΩMt, ΩN şi ΩT sunt ariile diagramelor de eforturi Mi, Mt, N şi T de pe bară sau porțiuni de bară iar mig, mtg, ng, tg sunt ordonatele în dreptul centrelor de greutate ale diagramelor Mi, Mt, N şi T luate din diagramele m, mt, n şi respectiv t. Eforturile mi, mt, n, şi t sunt produse de sarcina unitară aplicată în punctul şi pe direcția deplasării. Observații: a. se ține seama de observația b) de la 9.5.. b. segmentele de bară se aleg astfel încât: i. pe porțiunea respectivă rigiditatea să fie constantă; ii. diagrama produsă de sarcini să fie o funcție continuă la care să se cunoască aria şi poiția centrului de greutate al acesteia; c. diagrama dată de sarcina unitară să fie liniară şi să aibă panta constantă pe porțiunea respectivă. Aplicația 9.. Să se determine deplasarea pe verticală a capătului liber şi rotirea din reaemul () la bara din figura 9.. Reolvare: Pentru calculul deplasării pe verticală se ia în considerare diagramele (M) şi (m) produse de sarcinile de pe bară şi respectiv de sarcina unitară P aplicată în capătul liber. Utiliând formula (9.0) în caul solicitării de încovoiere, se obține: Fig. 9. v ΩM m E I G E I a pa ( 0,75a) pa E I.

Semnul minus arată că săgeata punctului () este de sens opus sensului forței unitare şi deci capătul liber se deplaseaă în sus. Pentru rotirea din reaemul () care este egală cu cea din capătul liber () se ia în considerare diagrama (M) şi diagrama (m ) produsă de momentul unitar aplicat în capătul liber: ΩM mʹg 8pa ϕ ϕ a p a. E I E I E I Aplicația 9.. Să se determine săgeata capătului liber la bara cotită din figura9.. Reolvare: S au trasat diagramele (M) şi (Mt) produse de sarcina P şi diagramele (m) şi (mt) produse de sarcina unitară aplicată în capătul liber. Utiliând formula (9.0) şi ținând seama că: I 0cm, α It b t +, ( 9, ) ( 0,) 0,75,5cm. se obține, conform expresiei relației lui + Vereşceaghin: ΩM m G ΩMt m tg v + E I G I t că Fig. 9. v ( a Pa a + a P a a) + a P a a EI GIt 5P a 8P a 550 00 850 00 + + 7,mm 5 E I GI, 0 00 8, 0,50 t Aplicația 9.5. Să se determine deplasările u, v, v, şi ϕ, pentru cadrul din figura 9.. Reolvare: Aplicând formula (9.0) din diagramele 9., b şi c reultă: a,5 a p a 6,75 pa u u u E I E I 5

6 Fig. 9. Procedând în mod analog pentru diagramele 9. b şi d, apoi pentru 9.. b şi respectiv 9. b şi f se obține: I E a p I E a a p,5a I E a a a p v, I E a 8,56p I E a a p a,5 I E a a a p,5 v +, I E a p 6,75 I E l a p a,5 I E l a a p,5 + ϕ.

9.6. Întrebări test. Ce este o deplasare?. Definiți starea de deformație la încovoiere.. Ce reguli cunoaşteți pentru deformațiile liniare şi unghiulare la încovoiere?. Ce este energia specifică de deformație? Dar energia elementară? Dar energia totală? 5. Care este expresia energiei potențiale specifice de deformație totală în caul barelor? 6. Ce este energia de deformație modificatoare de formă la bare? 7. În ce constă metoda lui Mohr Maxwell? 8. Care sunt metodele energetice de calcul a deformațiilor? 9. Definiți săgeata, rotirea, curbura şi raa de curbură la deformarea grinilor drepte supuse la încovoiere. 0. Scrieți şi comentați ecuația diferențială a fibrei medii deformate.. Ce metode pentru calculul deformațiilor grinilor supuse la încovoiere, cunoaşteți?. În ce constă metoda analitică de calcul a deformațiilor la încovoiere? Ce deavantaje preintă această metodă? Ce condiții trebuiesc puse pentru calculul constantelor de integrare?. Prin ce se caracterieaă fibra medie deformată în punctele în care Mî 0?. Ce este o grindă reciprocă (conjugată)? Cum se alege ea? 5. În ce constă metoda parametrilor inițiali? 6. Care sunt particularitățile metodei suprapunerii de efecte la calculul deplasărilor? 7. Scrieți şi comentați ecuația celor două rotiri şi ecuația celor două săgeți. 8. Scrieți şi comentați ecuația celor trei săgeți. Când se poate aplica această ecuație? 9. Scrieți expresia energiei de deformație pentru solicitările de tracțiune, forfecare, încovoiere şi torsiune la bare drepte. 0. Când se neglijeaă energia de deformație produsă de solicitările de tracțiune şi compresiune?. Ce metode energetice folosite la calculul deplasărilor liniar elastice cunoaşteți?. În ce constă metoda Clapeyron pentru calculul deplasărilor? Ce deavantaje preintă această metodă?. Enunțați teorema lui Castigliano. Ce particularități preintă această metodă?. Scrieți şi comentați formula lui Mohr Maxwell. 5. Care sunt etapele de calcul la aplicarea metodei lui Mohr Maxwell? 6. În ce constă regula lui Vereşceaghin? Care sunt etapele de calcul la aplicarea acestei reguli? Când nu se poate aplica regula lui Vereşceaghin? 7. Enunțați teorema lui Betti. 8. În ce constă teorema reciprocității deplasărilor? 7

9.7. Probleme propuse. Să se calculee deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9... Să se calculee deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9.5 Fig. 9. Fig. 9.5. Să se determine deplasarea pe oriontală a capătului liber a barei din figura 9.6.. Să se calculee deplasarea pe verticală a punctului k a barei spațiale repreentată în figura 9.7, ştiind faptul că bara este confecționată din oțel şi are secțiune circulară cu diametrul d 80 mm (P 5 kn, a 00 mm). Fig. 9.6 Fig. 9.7 5. Să se determine deplasarea pe verticală a punctului k a barei din figura 9.8, ştiind că: E 0 GPa; I 605 cm. 8

6. Să se determine reacțiunea pe direcție verticală ce ia naştere în reaemul barei din figura 9.9, dacă acesta se taseaă cu mm pe direcție verticală. (E 0 GPa; I 9800 cm ). Fig. 9.8 Fig. 9.9 7. Pentru barele din figura 9.0, se cere să se determine săgeata şi rotirea punctului k. a) b) c) d) Fig. 9.0 8. Pentru barele din figura 9., se cere să se determine săgeata şi rotirea punctului k. a) b) Fig. 9. 9

9. Pentru barele din figura 9., se cere să se determine săgeata şi rotirea punctului k. a) b) Fig. 9. 0

0. SISTEME STATIC NEDETERMINATE 0. Introducere Sistemele static nedeterminate sunt acele sisteme de bare la care numărul ecuațiilor de echilibru este insuficient pentru determinarea, fie a forțelor de legătură (reacțiunilor), fie a eforturilor secționale. Diferența dintre numărul necunoscutelor şi numărul ecuațiilor de echilibru repreintă gradul de nedeterminare statică a sistemului. Prin metoda eforturilor se suprimă legăturile suplimentare (ce depăşesc numărul de ecuații ) dintre elementele componente astfel încât acestea să devină un sistem static determinat. Notăm cu e numărul de elemente componente ale sistemului şi cu numărul legăturilor simple suprimate care constituie tot atâtea forțe de legătură necunoscute. Pentru o structura plană, la care se pot scrie trei ecuații de echilibru, diferența, n e, (0.) dintre numărul necunoscutelor () şi numărul ecuațiilor de echilibru repreintă gradul de nedeterminare statică al sistemului plan. Structura este: mecanism pentru caul când: n < 0, static determinată pentru caul când: n 0, static nedeterminată pentru caul când: n > 0. Aplicând relația (0.) pentru structura din figura (0.,a) la care e, se obține n, ceea ce înseamnă că structura este de două ori nedeterminată. a nodurile articulate C, D şi E numărul necunoscutelor este egal cu (b ), unde b este numărul de bare ce formeaă nodul. Pentru caul structurilor spațiale gradul de nedeterminare statică se determină cu relația: n 6 e, (0.) relație ce diferă de (0.) prin numărul (6 e) al ecuațiilor de echilibru. Gradul de nedeterminare statică dat de relațiile (0.) şi (0.) repreintă numărul forțelor de legătură care nu pot fi determinate din ecuațiile de echilibru. Aceste forțe de legătură sunt denumite necunoscute static nedeterminate.

Fig. 0. Metoda de calcul în care se aleg eforturile (forțele) ca necunoscute static nedeterminate şi prin care ecuațiile suplimentare se determină din condițiile de continuitate a modului de deformare a structurii este denumită metoda eforturilor. Forma de echilibru elastic a unei structuri sub acțiunea unui sistem de forțe dat, constituie o soluție unică. Cunoscând forțele exterioare şi forma deformată a structurii se pot determina eforturile în orice secțiune a acesteia. Metoda de calcul în care se aleg deplasările şi rotirile ca parametri necunoscuți (care caracterieaă complet modul de deformare a unei structuri) şi prin care ecuațiile suplimentare se determină din condițiile de echilibru ale eforturilor, este denumită metoda deplasărilor. Cele două metode, a eforturilor şi a deplasărilor, constituie metodele generale pentru calculul sistemelor static nedeterminate. Aplicarea uneia sau a celeilalte metode se face în funcție de numărul de necunoscute şi de uşurința de alcătuire a sistemului de ecuații pentru determinarea lor. Aceste aspecte depind de configurația structurii. 0.. Metoda eforturilor Ridicarea nedeterminării, prin metoda eforturilor pentru o structură static nedeterminată necesită parcurgerea următoarelor etape: a. se determină gradul de nedeterminare statică a sistemului şi apoi se suprimă, la structura reală (fig.0.,a) un număr de legături egal cu gradul de nedeterminare. egăturile suprimate se înlocuiesc cu forțe corespunătoare, notate cu X, X,.. Xn (unde n este gradul de nedeterminare statică). Sistemul static determinat obținut astfel, se numeşte sistem de baă (fig. 0.,b)

Fig. 0. b. se încarcă sistemul de baă, în mod succesiv, întâi cu sarcinile exterioare şi apoi numai cu fiecare din necunoscute, luate în valoare unitară. Pentru fiecare ca de încărcare se determină funcțiile, respectiv diagramele de eforturi şi apoi deplasările corespunătoare (produse de fiecare încărcare şi pe direcția fiecărei necunoscute). Deplasarea Δk a secțiunii k, depinde de mărimea şi de poiția sarcinilor: Δ Δ X,X,... X + δ, k k ( n ) ko şi poate fi exprimată cu ajutorul principiului suprapunerii efectelor: Δ δ X +... + δ X + δ, (0.) k k k n k0 unde semnificația coeficienților de influență δk,.. δkn, reultă din particulariarea expresiei (0.). Astfel, dacă se consideră sistemul încărcat cu o singură sarcină concentrată egală cu unitatea, aplicată în locul sarcinii X j, deplasarea secțiunii k se obține: Δ, k δ kj ceea ce arată că δkj constituie deplasarea secțiunii k pe direcția şi sensul forței X k, produsă de o sarcină X j (egală cu unitatea şi aplicată singură pe sistemul de baă în locul şi pe direcția sarcinii X j). Primul indice arată locul şi direcția deplasării, iar cel de al doilea indică sarcina unitate care produce deplasarea respectivă δkj. În caul sistemelor de bare, expresia generală a coeficienților de influență se poate obține prin utiliarea relației Mohr Maxwell: mij mik mtj mtk nj nk ktj tk δk dx+ dx+ dx+ dx (0.) j EI GI EA GA Dar, δ, kj δ jk t (0.5) adică deplasarea în k pe direcția lui Xk produsă de o sarcină unitate Xj, aplicată în j pe direcția lui Xj, produsă de aceeaşi sarcină unitate aplicată în k pe direcția lui Xk.

c. se determină deplasările δk0, pe direcția necunoscutelor Xk produsă de sarcinile exterioare aplicate pe sistemul de baă, care cu ajutorul relației lui Mohr Maxwell reultă din relația: M0 mk Mt0 m δk dx + 0 EI GI t tk dx + N0 n EA k dx + T0 tk dx. (0.6) G A d. întrucât pe sistemul real (fig.0..0), deplasările pe direcțiile legăturilor sunt nule, reultă condițiile de continuitate Δ k 0, ( k,..., n) care conduc la sistemul: n δk,j X j + δj,0 j 0, (0.7) care este sistemul ecuațiilor de condiție al metodei eforturilor. Valorile necunoscutelor X,..Xn, sunt soluțiile sistemului (0.7). Δ Sistemul (0.7) poate fi scris şi sub forma: δ X +... + δ X + δ 0 Δ δ X +... + δn X n + δ0 0, (0.7,a)... Δ n δ n X n +... + δ nn n X n + δ 0 n0 0 care este un sistem format dintr un număr de n ecuații liniare cu n necunoscute şi poartă denumirea de sistem de ecuații canonice ale metodei eforturilor (sau metodei forțelor). Prin reolvarea acestui sistem se obțin valorile mărimilor static nedeterminate. În caul unui grad mai mare de nedeterminare calcularea coeficienților δkj şi δk0 necesari pentru reolvarea sistemului de ecuații canonice (0.7,a) constituie o operație greoaie şi necesită timp şi o anumita practică de calcul. Pentru reolvarea ecuațiilor (0.7,a) cu ajutorul calculatoarelor se utilieaă calculul matriceal. Astfel, sistemul de ecuații canonice al metodei eforturilor se scrie sub forma: δ, []{ } { } unde: X δ 0 [] δ (0.8) s a notat cu matricea deplasărilor unitare sau a coeficienților de influență care este o matrice pătratică simetrică ( δ ): [] δ δ δ... δ n δ δ δ... n { X}............ ij δ ji δn δ n, (0.9)... δ nn matricea coloană a forțelor necunoscute:

T { X } { X,X,..., Xn}, { 0 } { δ } { δ, δ δ } T 0 0 0,..., δ matricea coloană a termenilor liberi: n0 (0.0) (0.) Alegerea rațională a sistemului de baă simplifică sistemul de ecuații canonice şi implicit micşoreaă volumul de calcul. Aplicația 0.. Să se ridice nedeterminarea cadrului din figura0.a şi să se trasee diagramele de eforturi. Reolvare: Cadrul este dublu static nedeterminat. Ca necunoscute se pot alege, spre exemplu, reacțiunile din A. În acest ca se înlocuieşte articulația din A cu cele două reacțiuni reultând sistemul de baă din figura (0.,b), astfel că sistemul ecuațiilor canonice ia forma: δ δ X X + δ + δ X X + δ + δ 0 0 0 0. Pentru determinarea coeficienților de influență şi a termenilor liberi se încarcă succesiv sistemul de baă mai întâi cu forța exterioară şi apoi cu câte o sarcină egală cu unitatea aplicată în locul necunoscutelor static nedeterminate. Pentru fiecare din aceste stări de solicitare se traseaă diagrama de momente (fig.0., c, d şi e). Fig. 0. Pentru determinarea deformațiilor şi a coeficienților de influență, se aplică metoda lui Vereşceaghin: 7P a δ 0 a P a a a +, E I E I,5 P a δ 0 a P a,5 a, E I E I,5a δ a a a, E I E I 5

,75a δ δ a a,5a, E I E I δ E I,5a,5a + E I cu aceste valori sistemul de ecuații canonice devine: 7,5 X,75 X P 0,75 X +,5 X +,58 P 0 ale cărui soluții sunt: X 0,68P şi,5a a,5a,5a E I X 0,7P. Cunoscând reacțiunile din articulația A s au trasat diagramele de eforturi, care sunt repreentate în figura 0.. Fig. 0. 0.. Simetrii şi antisimetrii în sistemele static nedeterminate În practica inginerească se întâlnesc frecvent sisteme static nedeterminate care preintă simetrie atât geometrică cât şi de încărcare mecanică. În axele de simetrie unele eforturi sunt nule astfel că aceasta face ca să se reducă gradul de nedeterminare statică. Reducerea gradului de nedeterminare se baeaă pe constatarea că în caul sistemelor simetrice din punct de vedere geometric şi încărcate simetric, forța tăietoare (efort asimetric) este nulă în axa de simetrie iar pentru caul sistemelor simetrice şi încărcate asimetric eforturile M şi N (eforturi simetrice) sunt nule în axa de simetrie. Astfel, în caul sistemelor static nedeterminate simetrice şi încărcate simetric, în planele de simetrie forța tăietoare este nulă. Spre exemplu cadrul din figura (0.5,a), ce are, pentru un sistem de baă oarecare, gradul de nedeterminare 6, datorită faptului că este simetric şi încărcat simetric, forțele tăietoare sunt nule în axa de simetrie. Deci alegând sistemul de baă din figura (0.5,b) vor fi numai necunoscute. a cadrele 6

simetrice şi încărcate asimetric, în planele de simetrie eforturile M şi N sunt nule. a acelaşi cadru, dar încărcat asimetric, (fig.0.6,a) din acest motiv pentru sistemul de baă ales, numărul necunoscutelor este în loc de 6. Fig. 0.5 Fig. 0.6 Mai mult, prin secționarea unei structuri simetrice într un plan de simetrie unele necunoscute reultă din condițiile de echilibru. Astfel, în caul inelului din figura (0.7,b) forțele tăietoare de pe axa verticală sunt ero, iar forțele axiale reultă N P/, ceea ce conduce la un sistem simplu static nedeterminat (față de ori static nedeterminat pentru un sistem de baă obținut prin tăierea inelului într o secțiune Fig. 0.7 oarecare). 0.. Recomandări pentru alegerea sistemului de baă Teoretic, legăturile static nedeterminate ale unei structuri pot fi suprimate în oricare secțiune a acesteia, cu condiția ca sistemul static determinat (sistemul de baă) la care se ajunge, să fie un sistem corect, adică să nu fie critic. Totuşi, de alegerea sistemului de baă depinde foarte mult volumul de calcul. De aceea se fac următoarele recomandări: sistemul de baă să fie cât mai simplu şi să permită determinarea cu uşurință a funcțiilor de eforturi, respectiv a diagramelor de eforturi; diagramele m să se întindă pe porțiuni cât mai reduse din structură, astfel ca termenii δij să fie simplu de calculat; 7

la sistemele simetrice se vor folosi sisteme de baă obținute prin secționarea structurii printr un plan de simetrie care să conducă la micşorarea numărului necunoscutelor; pentru sarcinile exterioare se indică un sistem de baă pe care diagrama Mo să fie cât mai apropiată de diagrama reală M, pentru ca aceasta să fie uşor trasată prin suprapunere de efecte. 0.5. Grinda continuă (pe mai multe reaeme) Grinda dreaptă reemată pe r reaeme simple plus o articulație sau o încastrare şi acționată de sarcini (de regulă transversale) şi momente se numeşte grindă continuă. Exemple de grini continue sunt: arborii drepți reemați pe sau mai multe paliere, longeroanele unor maşini unelte ce se reaemă pe trei sau mai multe puncte de sprijin, căile de rulare ale podurilor rulante, unele poduri de cale ferată şi rutiere etc. Gradul de nedeterminare a grinii continue reultă din ecuația: n i + r pentru grinda cu o încastrare, n a + r pentru grinda cu o articulație. Ridicarea nedeterminării prin metoda eforturilor, alegând un sistem de baă oarecare, conduce la calcule laborioase. Această dificultate este diminuată prin utiliarea ecuației celor momente. Sistemul de baă ce stă la baa ecuației lui Clapeyron, este format din grini simplu reemate obținut prin secționarea grinii continue în dreptul reaemelor, unde se introduc momente necunoscute conform figurii 0.8. Ecuația lui Clapeyron (9.) poate fi transcrisă pentru grinda din figura 0.8 cu notațiile şi semnificațiile date în 9: Fig. 0.8 v v v v 6E( + ) (0.) A d A d M + ( + ) M + M + 6( + ) 0, I I I I I I care pentru v v v 0 (când reaemele nu se taseaă) devine: A d A d M + ( + ) M + M + 6 ( + ) 0, (0.) I I I I I I 8

şi poartă numele de ecuația celor trei momente. Dacă bara are rigiditatea constantă pe toată lungimea ecuația devine: A d A d M + ( + ) M + M + 6 ( + ) 0. (0.,a) Această ecuație se scrie pentru trei grupuri consecutive de reaeme. Pentru o grindă de n ori static nedeterminată se scriu n ecuații: prima pentru reaemele, şi ; a doua pentru reaemele, şi ş.a.m.d. Reolvând sistemul de n ecuații liniare se obțin, ca soluții, valorile celor n momente necunoscute din reaeme. În caul grinii continue cu o încastrare la capăt, aceasta se echivaleaă cu două reaeme simple, situate la o distanță foarte mică ε, care practic se consideră egală cu 0 (vei aplicația 0.). Când grinda continuă are console încărcate, sarcina de pe acestea se reduce în reaemul adiacent la o forță şi un moment (cunoscute). Reacțiunile din reaeme se calculeaă pentru sistemul de baă (grinile simplu reemate) acționat atât cu sarcinile reale cât şi cu momentele de la capetele barelor (din dreptul reaemelor). Cunoscând valorile reacțiunilor şi ale momentelor din reaeme se pot scrie funcțiile de eforturi şi trasa diagramele acestora. Aplicația 0.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru grinda din figura 0.9. Reolvare: Bara este dublu static nedeterminată şi se aplică de două ori ecuația celor trei momente: unde: M M + ( + ) M + M A d + 6 A d + M + ( + ) M + M A d + 6 A d + 0, 0, M 0,95 pa 5a, a. Se traseaă diagramele M0 pentru barele simplu reemate în punctele, şi respectiv, numai pentru sarcinile ce acționeaă efectiv între aceste puncte şi se obține: A d 0 ; 0, 0, 9

A d A d a,8 p,6p a 5a 0 + a + 5a ; 5a 5a,pa A d,6p a 0 + a + 5a 5a pa a a pa a. ; M M Fig. 0.9 Cu aceste valori determinate anterior, ecuațiile celor trei momente, devin: 5a de unde reultă: 50 M ( 0 + 5a) + M 5a + 6 ( 0 +,8 pa ) 0; + M ( 5a + a) 0,95 pa a6 + 6 (, pa + pa ) 0.,88 pa, M pa. Pentru calculul reacțiunilor se exprimă momentele în dreptul reaemelor şi : M V 5a pa a + M ; M M V V a,5 p a a 0,5 pa 5,9a; 5a + V 9a pa a,5 p a 7a 0,5 pa 0,9a.

de unde: V,776 pa, V,87 pa, V,7 pa. Cu valorile obținute s au trasat diagramele T şi M (fig. 0.9). 0.6. Deplasări în sisteme static nedeterminate După ridicarea nedeterminării, deplasările într un sistem static nedeterminat se pot calcula prin metodele cunoscute. În caul folosirii metodei Mohr Maxwell, deplasarea dintr o secțiune oarecare k, scrisă cu ajutorul suprapunerii de efecte este: δ δ + δ + δ + + δ. (0.) k k0 k X k X... kn X n Notăm cu: M0 momentul încovoietor într o secțiune oarecare a sistemului de baă, produs de forțele exterioare date; mi momentul încovoietor într o secțiune oarecare produs de sarcinile unitare aplicate în locul pe direcția şi sensul de aplicare al necunoscutei static nedeterminate Xi; M momentul încovoietor real, într o secțiune oarecare a sistemului static nedeterminat. Deoarece, prin definiție sistemul de baă, încărcat cu sarcinile exterioare şi cu necunoscutele static nedeterminate, este echivalent cu sistemul static nedeterminat real, reultă că momentul real este dat prin suprapunerea de efecte în sistemul de baă: M M + m X + m X +... + m. (0.5) 0 n Xn Înlocuind deplasările din relația (0.) cum au fost definite de formulele (0.) şi respectiv (0.5), ținând seama numai de încovoiere, reultă: M0 m k m k m m k m m k m n δk dx + Xl dx + X dx +... + X n dx. (0.6) E I E I E I E I Expresia de mai sus se poate scrie: M0 + m X + m X +... + m n X n δk m k dx, E I sau ținând seama de relația (0.5) vom avea: M m k δ k dx. E I (0.7) Relația (0.7) ne arată că într un sistem static nedeterminat, solicitat la încovoiere, deplasarea într un punct oarecare se obține cu formula lui Mohr Maxwell, în care intervin momentele încovoietoare reale din sistemul static, nedeterminat şi 5

momentul sarcinii unitare aplicate în secțiunea respectivă, pe direcția şi sensul deplasării cerute aplicate pe sistemul de baă. Aplicând regula lui Vereşceaghin, relația de calcul devine: ΩM mkg δ k (0.8) E I Concluia dată de relația (0.7) este valabilă şi pentru sisteme static nedeterminate în care se produc şi alte eforturi (Mt, N, T). Aplicația 0.. Să se ridice nedeterminarea şi să se determine deplasarea punctului de aplicație a forței P pe verticală la bara din figura 0.0. Reolvare: Se alege sistemul de baă şi se scriu funcțiile de eforturi pentru determinarea deplasărilor δ0 şi δ prin metoda Mohr Maxwell: M0x 0, m x x, pentru x [ 0, a], P a ( cos α), m [ a + a ( cos α) ], M 0 α α pentru α π 0,, iar deplasările vor fi: δ 0 l E I l E I P a E I M π 0 oα m ds P ( cos α) a ( cos α) a dα a α 5π P a ( ) 0,97 E I, δ Fig. 0.0 l EI a EI l ( m l ds EI x dx+ 9π a + ),0 EI Valoarea necunoscutei X este: δ o X 0,75 P. δ ( α 0, π 0 a ( cosα) ) adα 5

Pentru a calcula deplasarea pe verticală a punctului de aplicație a forței scriem funcțiile reale ale momentului M, precum şi funcțiile de moment mk, pentru o forță unitară aplicată în locul, pe direcția şi sensul deplasării cerute, pe sistemul de baă: M X x 0,75 P x, m 0 x 0,a δ k M m, pentru [ ] x kx α kα l EI l EI 0,75 P a ( cosα) P a ( cosα) ( 0,77 cos α 0,55), P a a ( cos α). Aplicând relația (0.70 se obține deplasarea: π 0 π M α m kα ds pentru α π 0, Pa Pa(0,55 0,775 cosα) a( cosα) adα 0,06 EI 0. 0.7. Întrebări test. Ce este un sistem static nedeterminat? Dați exemple de astfel de sisteme.. Ce influență au simetria şi antisimetria la structurile static nedeterminate?. Ce este un sistem static nedeterminat? Ce este gradul de nedeterminare şi cum se calculeaă acesta?. Cum se clasifică sistemele static nedeterminate? Dați câteva exemple de astfel de sisteme. 5. Ce este sistemul de baă? Ce este un sistem static echivalent? 6. Ce metode cunoaşteți pentru ridicarea nedeterminării? 7. Ce avantaje preintă simetria şi antisimetria asupra gradului de nedeterminare? 8. Care sunt etapele de calcul la ridicarea nedeterminării cu metoda eforturilor? 9. În ce condiții se poate aplica ecuația celor trei momente (Clapeyron)? 0. Care este semnificația termenilor δii, δij, δji, δi0 din ecuațiile canonice ale metodei eforturilor?. Cum se calculeaă deplasările în caul sistemelor de bare static nedeterminate? 5

0.8. Probleme propuse. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru structurile din figura 0.. a) b) c) d) e) f) g) h) 5 i) Fig. 0.

. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru structurile din figura 0.. a) b) c) d) Fig. 0.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru structurile din figura 0.. a) b) c) d) Fig. 0. 55

. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru cadrele din figura 0.. a) b) c) Fig. 0. 5. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru structurile preentate în figura 0.5. a) b) 56 c) d) Fig. 0.5

. SOICITĂRI DINAMICE.. Considerații generale În capitolele precedente s au studiat atât solicitările simple cât şi cele compuse produse de sarcinile aplicate static (lent). De asemenea s a considerat că elementul de reistență sau structură, asupra căruia acționeaă sarcina statică, este fie în poiție de repaus, fie în mişcare rectilinie şi uniformă. În general se consideră că sarcina este aplicată static când la aplicarea acesteia, în cel mai solicitat punct al secțiunii periculoase a ER, tensiunea nu creşte cu o viteă mai mare de 0 MPa/s (în anumite cauri se admite o viteă de max. 0 MPa/s). În ca contrar sarcina se consideră aplicată dinamic. De asemenea, se consideră că un ER este solicitat dinamic când se află în mişcare, alta decât mişcarea de translație rectilinie şi uniformă şi iau naştere accelerații, sau în caul în care sarcinile se aplică dinamic (cu şoc). Folosind drept criteriu modul de variație a viteei ER şi a sarcinilor aplicate, ER, solicitările dinamice se pot clasifica în trei grupe: I. Solicitări prin forțe de inerție, produse de mişcarea ER cu accelerație mare, dar constantă sau cu variație lentă; II. Solicitări prin şoc, produse de variația bruscă a viteei ER sau de lovirea (ciocnirea) acestuia cu un corp în mişcare; III. Solicitări variabile în timp, produse fie de variația periodică a tensiunilor, fie a deformațiilor ER. Aceste solicitări pot fi produse atât de mişcarea ER, astfel încât accelerația acestuia sa variee ciclic cât şi de acțiunea unor sarcini a căror intensitate variaă ciclic. În aceste cauri se pot produce două fenomene diferite: oboseala şi vibrația sistemelor elastice... Solicitări prin forțe de inerție Problema esențială, în caul solicitărilor prin forțe de inerție, este determinarea forțelor de inerție. Reolvarea se baeaă, cel mai frecvent, pe principiul lui D Alembert (metoda cinetostatică). Conform acestui principiu un ER de masă m, aflat 57

în mişcare accelerată poate fi considerat în echilibru fictiv dacă se admite că pe lângă forțele exterioare (sarcini şi reacțiuni) mai este acționat şi de o forță de inerție. Forța de inerție elementară, ce se produce datorită mişcării elementului de masă dm, cu accelerația a, se obține din relația: df i a dm, în care semnul minus arată că sensul forței de inerție este opus sensului accelerației. (.) Forța de inerție este o forță masică, ce se distribuie uniform în toate punctele corpului, proporțional cu valoarea accelerației punctului respectiv. Forța de inerție se ia în considerare în calculul reistenței ca forță exterioară, alături şi împreună cu celelalte forțe exterioare. Astfel, problema solicitării unui ER se reduce la o problemă de solicitare statică. Mai jos se dau câteva exemple din multiplele probleme din care reiese modul de reolvare al acestora.... Calculul cablului de macara Se consideră un cablu, de greutate q pe unitatea de lungime, de care este legat la capătul inferior greutatea P, iar capătul superior este înfăşurat pe un tambur, acționat de un motor (fig..). În momentul pornirii în sus a sarcinii, ansamblul sarcină cablu are accelerația circumferențială a tamburului a R εt, (εt este accelerația tangențială) dirijată în sus. Datorită acestei accelerații în masa sarcinii se va produce o forță de inerție: P a F i M a a P, g g iar în fiecare porțiune de lungime unitară a cablului o forță de inerție distribuită: q a f i m a a q g g Fig.. Forța axială maximă, în secțiunea cea mai solicitată, aflată în punctul de contact dintre cablul şi tambur, este: a N P + q + Fi + fi + (P + q ) ψ (P + q ) g (.) în relația (.) s a notat cu ψ mărimea: a ψ + (.) g 58

numită coeficient dinamic. Tensiunea dinamică maximă, din secțiunea periculoasă este: Nmax P + q ψ ψ s, (.) A A unde, prin S s a notat tensiunea statică maximă ce se produce în secțiunea periculoasă când macaraua se află în repaus sau în mişcare uniformă.. d a Condiția de reistență ce trebuie respectată este: Observații: (.5). Situația periculoasă de la pornire în sus poate avea loc şi la frânare la coborâre, când accelerația este tot în sus.. Dacă lungimea cablului este mică astfel ca γ << P, se ia în considerare numai greutatea P a sarcinii.... Bară dreaptă în mişcare de rotație uniformă Se consideră o bară dreaptă de secțiune constantă A, ce are la un capăt un ax vertical, în jurul căruia se roteşte cu o vitea unghiulară ω ct. (fig..). Într un element de bară de lungime dr, situat la raa r de axa de rotație, se produce o forță de inerție elementară: df γ ω r) A dr g A γ r dr g i a dm ( ω, în care γ este greutatea specifică a materialului barei. Intensitatea forței de inerție în lungul barei este: dfi γ ω A fi r, dr g Fig.. unde se observă că dacă bara este prismatică (Aconst.) sarcina fi are o distribuție liniară. Forța axială din secțiunea curentă, situată la distanța r este: γ N ω A r dr. g r 59

Pentru bara prismatică se obține expresia: ω γ A N ( r ), g ce este o funcție parabolică, cu maximul, la îmbinarea barei cu butucul: N ω γ A g d max. (.6.) N A Dacă se pune problema ca bara sa fie de egală reistență ( ct. ), din condiția de echilibru dinamic al eforturilor pe cele două fețe ale unui element de bară din secțiunea r: N dn N + df i +, respectiv, γ A dr a A + a da a A ω r, g reultă: da A γ ω r dr, g a din care reultă o funcție exponențială de variație a secțiunii: γω d r g a A A e, (.7) 0 unde A0 este mărimea secțiuni în dreptul axei de rotație. Observații:. Dacă bara se roteşte în jurul unei axe verticale, datorită încovoierii acesteia sub greutatea proprie se produc tensiuni suplimentare, care nu pot fi neglijate când bara este lungă;. Dacă axa este oriontală, când bara trece prin poiția verticală inferioară, se produc tensiuni suplimentare, sub greutatea proprie, ce se însumeaă cu cele produse de forța centrifugă.... Solicitare de încovoiere produsă de forțe de inerție... Grinda rulantă Unul din caurile repreentative de solicitare la încovoiere produse de forța de inerție este repreentat în figura.. Grinda rulantă din figura. susține căruciorul 60

mobil cu dispoitivele de ridicat şi transportat. Atât la transportul cât şi la ridicarea sarcinii în timpul pornirii căruciorului pe grindă se produc accelerații, respectiv forțe de inerție. Când accelerațiile au valori mari, forțele de inerție sunt relativ mari şi nu pot fi neglijate. Aceste forțe de inerție sunt: a. forța de inerție produsă de punerea în mişcare a sarcinii P şi a cablului la ridicare, a cărui valoare este: ar Fi (P + q ), (.8) g b. forța de inerție produsă de pornirea căruciorului pe grinda rulantă: Gc a F t it, (.9) g în care ar este accelerația la ridicare; at accelerația de transport pe grindă, iar Gc este greutatea căruciorului împreună cu sarcina P. Forța de inerție verticală se însumeaă cu Gc şi solicită grinda la încovoiere simplă. Forța de inerție longitudinală Fi, ce acționeaă în centrul de greutate al căruciorului, produce în grindă o solicitare compusă suplimentară: o solicitare axială şi una de încovoiere. Fig.. Întrucât pentru fiecare instalație de ridicat şi transport se cunosc, din datele tehnice ale instalației atât ar cât şi at se pot calcula cele două forțe de inerție. Acestea se iau în considerare ca sarcini ce acționeaă împreună cu cele statice (Gc, P, etc.) în scrierea funcțiilor de eforturi şi la determinarea secțiunii (secțiunilor) periculoase. În final se face un calcul de reistență reultat din problema respectivă.... Biela motoare În cadrul mecanismului bielă manivelă (fig..) biela transmite forța atât de la arborele motor la piston (la compresor) cât şi de la piston la arbore (la motor). Datorită mişcării bielei în planul figurii se produc accelerații, respectiv forțe de inerție de care trebuie ținut seama în calculul de reistență. 6

În bielă accelerațiile sunt maxime când aceasta este perpendiculară pe manivelă. În această poiție punctul A al bielei are accelerația punctul B, are accelerația a a A B R ω a A, iar R. Fig.. Întrucât în mod frecvent R < 05,, a B < 0, 00 a A şi se poate neglija. De aceea se poate admite că accelerațiile din bielă variaă liniar, fiind normale pe axa bielei şi într o secțiune x, de la bolțul pistonului are valoarea: a x x x R ω aa. Intensitatea forței distribuite produsă de forța de inerție este: dfi ax dm γ ω R A x fi. (.8) dx dx g Dacă biela are secțiunea constantă intensitatea forței de inerție variaă liniar, ca şi accelerația ax, având valoarea maximă: f ia γ ω R A fi max. g Această forță produce momentul maxim la cărui valoare se calculeaă cu relația: M max x de bolț (vei aplicația.9.), a fia γ ω R A. (.9) 9 9 g Cu această valoare şi ținând seama şi de forța axială ce o transmite biela se face calculul de reistență al acesteia.... Calculul aproximativ al volantului Volantul este o coroană circulară, numită obadă, de secțiune constantă ce se roteşte în jurul unei axe centrale normale pe planul median şi care este legată de butuc prin mai multe spițe. Calculul aproximativ al volantului se face neglijând masa spițelor 6

şi a butucului şi considerând grosimea obeii mică în raport cu raa medie R a volantului, (fig..5). În baa acestor ipotee în obada volantului, rotit cu vitea unghiulara ω constantă, vor acționa numai forțele de inerție. (Prin neglijarea masei spițelor s a înlăturat şi acțiunea acestora, ca forțe de legătură, asupra obeii). Forța de inerție elementară ce revine unui element de obadă (fig..5.b.) este: γ γ df a dm ω R A R dα A R ω dα g g i, Fig..5 Din ecuația de proiecții a forțelor ce acționeaă asupra elementului, pe d d bisectoarea unghiului dα (considerând sin α α ) se obține: dfi γ γ N A R ω A v, (.0) dα g g în care: A este aria secțiunii transversale a obeii şi centrului de greutate a secțiunii (de raă R). v R ω este vitea liniară a Tensiunea normală, constantă pe secțiune se obține din: N γ γ R ω v, (.) A g g relație ce nu depinde de aria secțiunii obeii, astfel că se utilieaă numai pentru verificare şi capacitate de încărcare. Capacitatea de încărcare constă în determinarea viteei maxime cu relația: g a v max. γ (.) Obada volantului se dimensioneaă în funcție de energia cinetică ce trebuie să o acumulee volantul şi se face verificarea acesteia cu una din relațiile (.) sau (.). Sub acțiunea forțelor de inerție obada se lungeşte cu: π R γ v Δ ε π R, (.) E g E şi raa creşte cu: Δ γ R v Δ R. π g E (.) 6

În calculul de reistența nesimplificat se ține cont atât de efectul spițelor cât şi de grosimea obeii. Ținând seama de efectul spițelor, volantul trebuie analiat ca o structură static nedeterminată, axial simetrică şi în secțiunea curentă se vor determina eforturile N, T şi M, ce produc o repartiție neuniformă a tensiunii pe grosimea obeii. Aplicația.. Să se dimensionee cablul unui ascensor ce ridică o sarcină de 50 kn, cu vitea de m/s, ştiind că atinge această viteă pe distanța de 0, m, iar cablul este din oțel cu r 00 MPa şi coeficientul de siguranță c0 8. Reolvare: a t Din relațiile h şi v m a 0 h 0. s. ( v v ) se obține accelerația mişcării: a 0 Forța axială în cablu, neglijând greutatea acestuia, este: a N P + kn g + 0 50 0 98, A Secțiunea necesară a cablului reultă: nec N c r 0 00 8 579, 00 mm Se alege un cablu 6 7 fire cu diametrul de,8 mm, având forța de rupere N r 790kN, pentru care se obține coeficientul de siguranță: Nr 790 c 7,8 > 7,69. N 0,05 c 0 Aplicația.. Să se calculee turația maximă cu care se poate roti un volant din kn fontă γ 77, a 5MPa, dacă are diametrul mediu al obeii D R,8m. m Să se determine cu cât se măreşte diametrul la turația adoptată. Reolvare: Ținând seama de relația (.) se obține: 0 0 g a 0 980 5 rot ω,6. π π γ R 00 π 77 0 min n 6 Se adoptă: n5 rot/min. În acest ca, vitea medie este: π n π 5, m v ω R R 56,55, 0 0 s iar din formula. se obține: Δ γ r v ΔR g E 6 77 0 00 56550 980, 0 D 5. 0,577mm. 6

.. Solicitări produse prin şoc Solicitarea prin şoc a unui ER este produsă de lovirea acestuia cu un corp sau de lovirea acestuia de un corp în repaus. Durata contactului între corpurile ce se lovesc este foarte scurtă, de ordinul 0...0 secunde. Datorită timpului foarte scurt, în care vitea relativă a corpului față de ER scade la ero, se produc forțe de contact ce cresc brusc de la ero la o valoare foarte mare şi apoi scad din nou la ero. Forța dinamică, provocată de ciocnire, produce o solicitare locală foarte mare. Aceasta se propagă prin unde elastice în toată masa corpurilor ce se lovesc. Intensitatea undei scade o dată cu mărirea distanței de la locul ciocnirii. Studiul stării reale de solicitare produsă în jurul punctului de impact este foarte complicat şi nu poate avea loc în cadrul disciplinei de reistența materialelor. Dacă se neglijeaă fenomenul local şi se admit unele ipotee simplificatoare ale fenomenului, se pot stabili relații simple de calcul a tensiunilor şi a deformațiilor. Aceste ipotee sunt: Solicitarea prin şoc poate fi asimilată unei solicitări statice prin considerarea că întreaga energie cinetică se transformă în energie de deformație ce se acumuleaă în volumul elementului de reistență; Deplasările din locul lovit (a axei şi a secțiunii) au direcția mişcării corpului care loveşte, sunt liniar elastice şi se consideră că acestea se obțin prin aplicarea statică a unei forțe dinamice Fd, egală cu cea care produce şocul; Deformațiile elementului de reistență sunt proporționale cu mărimea forței dinamice şi coincid ca direcție cu unicul grad de libertate a elementului de reistență; Corpul care loveşte este perfect rigid; Pe durata şocului cele două corpuri rămân în contact; Vitea corpului care loveşte este inferioară viteei undei de şoc, iar durata şocului este superioară duratei propagării acestor unde în tot volumul corpului lovit. În baa acestor ipotee deplasările dinamice (δ), tensiunile dinamice (, τ) şi eforturile dinamice (N, T, M, Mt) din elementul de reistență lovit se pot exprima prin funcții liniare de mărimile similare statice prin relații de forma: δ ψ δ s, ψ s, τ ψ τs, N ψ Ns, M ψ Ms (.5) Mărimile δs, S, τs, NS, MS,.., corespund acțiunii statice a forței dinamice Fd, ce acționeaă asupra ER în locul şi pe direcția corpului care loveşte (sau de care se loveşte), 65

iar Ψ este un coeficient dinamic numit multiplicator de impact fără dimensiuni şi este supraunitar.... Solicitare axială prin şoc Se consideră o bară verticală prismatică (fig..6) încastrată la capătul superior, pe care se poate mişca fără frecare un disc de greutate P, ce este împiedicat să iasă de talerul inferior. Bara are mărimile A,, E constante şi greutatea acesteia se neglijeaă față de cea a discului. ăsând discul să cadă de la înălțimea h, față de taler produce un şoc la contactul cu talerul. În momentul lovirii se consideră că discul şi talerul îşi continuă drumul cu o viteă încetinită întinând bara. Mişcarea se opreşte când forța elastică ajunge să fie egală cu cea produsă de şoc. În acest moment alungirea barei δ, numită alungire dinamică, este maximă. Tot maximă este în acel moment forța de interacțiune dintre disc şi opritor, numită forță dinamică Fd N. Fig..6 În continuare, datorită forței elastice, deplasarea îşi schimbă sensul şi împreună cu ea şi forța axială. Acestea devin egale cu ero şi apoi de sens contrar, talerul oscilând în jurul poiției inițiale (de echilibru elastic). În momentul trecerii înapoi prin poiția inițială de repaus a talerului, discul se desprinde de taler şi ar trebui să se ridice la înălțimea h, însă datorită pierderilor inevitabile de energie (sub formă de căldură, etc.), discul se ridică numai la înălțimea h < h, de la care cade din nou pe taler. Procesul se repetă până când mişcările discului şi ale talerului se amortieaă în poiția de repaus. În acest ca, discul aflat pe taler lungeşte bara cu: P δ s. (.6) E A ucrul mecanic efectuat de disc în mişcarea sa din momentul căderii sale de la înălțimea h, până în momentul opririi sale, după alungirea barei cu δ este: P( h + δ ). Acest lucru mecanic se consideră că este în întregime înmagainat de bară sub formă de energie de deformație. Expresia energiei potențiale de deformație este: 66

N N δ E A U N δ N. E A E A Din egalitatea U se obține: E A δ P (h + δ), respectiv: δp P δ h 0, E A E A şi ținând seama de relația (.6) se obține ecuația de gradul doi: δδs h δs 0 δ, din care reultă: h δ + + δs ψ δs. (.7) δs Soluția negativă a ecuației de gradul doi nu are sens fiic. În relația de mai sus s a notat cu: h ψ + +, δ S factorul dinamic sau multiplicatorul de impact, definit prin relația (.5). Ținând seama că în momentul atingerii talerului vitea discului se poate determina cu expresia v 0 g h, factorul dinamic poate fi scris astfel: h v0 ψ + + + + (.8) δ g δ S S Factorul dinamic ia valori mari datorită valorilor mici ale deplasării statice (δs) în comparație cu înălțimea de cădere (h). În caul în care discul se aplică brusc pe taler fără înălțime de cădere (h 0), din relația.8 reultă: ψ min (.8a) adică efectul unei sarcini aplicate brusc este cel puțin dublu față de cel al sarcinii aplicate static (lent). h Dacă raportul 0, factorul dinamic se poate calcula cu formula simplificată: δ S S h v ψ + +, (.8b) δ g δ S 67

h făcând o eroare mai mică de 5%. Când 00, se poate utilia tot cu o eroare de δ sub 5%, formula: h δ 0 ψ. S v g δ S S (.8c) Tensiunea maximă din bara solicitată axial prin şoc reultă: δe E P E P ε E ψ δs ψ ψ ψ S. (.9) E A A Calculul de reistență al barei solicitate axial are la baă formula: h E A P ψ S + + a. (.0) P A Din relația de mai sus se obține relația de dimensionare: P h E A + mec (.) a a Formula (.) pentru factorul dinamic a fost dedusă fără a se ține seama de greutatea barei, respectiv de faptul că după lovire aceasta are o mişcare de amplitudine δ la capătul liber şi care descreşte în lungul barei până la ero în încastrare. Această mişcare se execută consumând o parte din lucrul mecanic, deci reducând efortul şocului. Din bilanțul energetic se deduce următoarea formulă pentru factorul dinamic: h P ψ + + (.) δ P + k G S în care G este greutatea barei şi k / este coeficientul de reducere a greutății barei la locul unde se produce lovitura.... Solicitare la încovoiere prin şoc Procedând în mod similar ca la solicitarea axială se poate deduce aceeaşi relație (.8) pentru factorul dinamic. În acest ca, însă, deplasarea statică repreintă săgeata statică a secțiunii lovite a grinii, pentru caul în care sarcina P este aplicată static în acea secțiune. Astfel, pentru grinda în consolă (fig..7,a) când sarcina P cade pe capătul liber 5 P δ S v, E I 68

iar pentru grinda simplu reemată (fig..7b), lovită de sarcina P la mijlocul deschiderii P δ S v 8E I. Pentru determinarea coeficientului de impact se consideră bara din figura (.7,b) de rigiditate constantă, simplu reemată cu deschiderea şi asupra căreia cade o sarcină P de la înălțimea h. Fig..7 Forța dinamică creată prin ciocnire produce o solicitare dinamică Q care va Q conduce la apariția în bară a unui efort dinamic M d x. După ciocnire apare un proces de oscilație în jurul poiției de echilibru până la amortiarea în poiția de repaus. În acest ca săgeata barei va fi: P δ s. 8EI ucrul mecanic efectuat de sarcina P în mişcarea sa din momentul căderii de la înălțimea h, până în momentul opririi va fi: P (h + δ). Acest lucru mecanic se consideră că se acumuleaă în întregime în volumul elementului sub formă de energie de deformație. În acest ca expresia energiei va fi: Q x M dx U E I E I deoarece sau: Q dx 96E I 0 Q δ (vei anexa ). 8E I Din egalitatea U reultă: E I P(h + δ) δ, Q Q δ δ h 0, E I E I respectiv se obține ecuația de gradul II: Q 8E I E I δ E I, 69

δ δδ δ h 0. s s Soluția compatibilă cu problema va fi: h δ + + δs ψ δs, δs unde: h v0 ψ + + +. δ g δ s s Se observă că se obține aceeaşi relație a coeficientului de impact ca şi la solicitările axiale, cu observația că δ s este deplasarea punctului de impact, pe direcția şi sensul sarcinii aplicate, determinate la încovoiere sub acțiunea statică a sarcinii P. Observațiile făcute la.. referitoare la coeficientul de impact, rămân valabile. După determinarea coeficientului ψ cu una din formulele (.) tensiunea maximă, respectiv deplasarea secțiunii lovite, se determină cu relațiile: Mmax ψ s ψ, δ ψ δs (.) W Coeficientul de reducere a greutății barei la locul de lovire este k /0 pentru grinda în consolă lovită în capătul liber şi k 7/5 pentru grinda simplu reemată.... Solicitare de răsucire prin şoc Elementele de reistență aflate în mişcare de rotație (ex. arborii), sunt solicitate prin şoc atunci când sunt frânate brusc sau când sunt acționate la răsucire de momente dinamice. În figura.8 s a repreentat un arbore cu dimensiunile şi d care are la un capăt un volant, iar la celălalt capăt un cuplaj F. Acesta se roteşte cu vitea unghiulară ω, iar volantul are momentul de inerție masic J. Se consideră că arborele se roteşte numai datorită inerției volantului. Dacă prin cuplajul F se imobilieaă brusc arborele, volantul mai continuă să se rotească un timp foarte scurt, până când întreaga energie cinetică a sistemului se acumuleaă sub formă de energie de deformație în volumul arborelui. Mişcarea volantului se reia în Fig..8 sens invers şi se amortieaă cu timpul. 70

Mt G I Din egalitatea U Ec scrisă sub forma: p J ω, reultă momentul de răsucire dinamic: G J Ip Mt ω. (.) Tensiunea dinamică maximă produsă în arbore de momentul de torsiune dinamic este: M I t G J p G J G J τ ω ω ω. (.5) W W πd p p V Din formula (.5) se observă că tensiunea tangențială dinamică depinde de volumul V al arborelui. Cu cât volumul acestuia este mai mare cu atât tensiunea tangențială dinamică este mai mică. Momentul de inerție masic, în caul volantului sub formă de disc este: P D J, 8g iar în caul unei obade (cilindru gol): P ( D d ) J. 8g Aplicația.. Să se verifice sistemul de bare din figura.9. din oțel, dacă c 00 MPa. Reolvare: Eforturile statice maxime în cele două bare sunt: 9 5 T 6kN, 7,5 9,5 5 M 5kN. 7,5 N Fig..9 Tensiunile statice maxime produse în cele două bare de forța axială şi respectiv de momentul încovoietor sunt: N 6000 NS 5,05MPa, A π 7

6 Mi 5 0 MS 70,09MPa. W 0 Deplasările pe verticală ale secțiunilor şi sunt: 5,05 5000 v S,6mm, E 0000 50 v 75 P a b 50,6 9000 500 5000 + + 5 E I 75, 0 0 0 7500 v Factorul dinamic este: h 00 ψ + + + +,8. δ,75 S Tensiunile dinamice maxime în cele două bare reultă: ψ,8 5,05 7,MPa, N NS ψ,8 70,09 967,MPa. M MS,75mm. În ambele cauri se depăşeşte limita reistenței admisibile şi în acest ca se propun următoarele soluții: P a. Reducerea sarcinii la cea capabilă pentru sistem: a 9 00 P,86kN, 967, cap deci: P,8 kn. MS b. Reducerea înălțimii de la care poate să cadă sarcina inițială: a δ S 00,75 h 7,96 MS 70,09 deci: h 8 mm. mm, c. Reemarea elastică a sistemului de bare, printr un sistem de arcuri care să aibă deplasarea sub sarcină: h δ v a MS 00 00 70,09 respectiv sistemul de arcuri să aibă constanta elastică: P 9000 N k 9,7 δ 970,7 mm.,75 970,7mm., Aplicația.. Să se stabilească ce se poate întâmpla cu bara din O 7, având d 50 mm, 800 mm, ce este strunjită la turație n 600 rot/min şi accidental cuțitul se înfige la capătul opus universalului astfel încât blocheaă mişcarea. Se va lua în 7

considerare numai energia cinetică a universalului având diametrul D 50 mm şi greutatea P 00 N. Reolvare: J P D 8g 00 50 8 980 59,N mm s, π d π 50 800 V τ 57000mm, G J V 600 π 0 8000 59, 57000 max ω 5,7MPa. Neglijând efectul cuplului motor şi energiile cinetice ale celorlalte elemente în mişcare, bara suferă deformații plastice permanente inadmisibile. uând în considerare toate efectele sau pentru > 800 bara se rupe... Întrebări test. Cum se clasifică solicitările dinamice?. Cum se fac calculele la solicitări dinamice datorate forțelor de inerție?. Ce este coeficientul dinamic?. a ce solicitare este supus un volant (considerat fără spițe şi butuc) aflat în mişcare de rotație uniformă? 5. Care este secțiunea cea mai solicitată a unei bare drepte aflată în mişcare de rotație uniformă? 6. Care trebuie să fie poiția reciprocă a bielei şi manivelei, astfel încât forța de inerție să fie maximă? 7. Cum se calculeaă turația critică a unui arbore aflat în mişcare de rotație? 8. Ce metode cunoaşteți pentru efectuarea calculului la şoc? 9. Cum influențeaă volumul barei tensiunea dinamică dintr o bară solicitată la încovoiere. Dar la întindere? 0. Care sunt factorii care determină creşterea tensiunii într o bară supusă la întindere prin şoc? Dar la compresiune? Dar la încovoiere?. Cum influențeaă lungimea barei tensiunea dinamică la solicitarea de încovoiere?. Scrieți şi comentați formula lui ψ la şoc.. Cum influențeaă masa corpului lovit solicitarea prin şoc? 7

.5. Probleme propuse. Cu ce viteă poate atinge mijlocul unei bare drepte simplu reemate lungă de 5 m, confecționată din profil I0 (I 0 cm ) o sarcină P kn dacă a 00 MPa.. Să se determine tensiunea ce ia naştere în bara din figura.0, dacă pe capătul în consolă al acesteia cade de la o înălțime h 00 mm o greutate P kn. (I 50 cm ).. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere în bara din figura., confecționată din profil I0, (I 0 cm ), dacă sarcina P 8 kn atinge bara cu o viteă de 0, m/s. Fig..0 Fig... Tensiunea într un cablu ce ridică o greutate de 5 kn este de 00 MPa. Se cere să se determine cu cât creşte tensiunea în acest cablu dacă vitea de coborâre scade de la m/s la 0 în 0,5 s. 5. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o greutate P kn pe bara curbă din figura., dacă materialul din care este confecționată bara are a00 MPa. Fig.. 7

6. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere într un arc elicoidal ce are următoarele dimensiuni: d mm; D 80 mm; n 6 spire; confecționat din oțel cu G8 GPa, dacă pe acesta cade o greutate P kn de la o înălțime h 00 mm. 7. Să se determine forța de inerție maximă ce ia naştere într o bară lungă de (un) metru, care are aria secțiuni transversale A 0 mm, este confecționată dintr un material cu greutatea specifică γ 78,5 kn/m şi se roteşte cu o turație n 00 rot/min în jurul unei axe normale pe axa proprie, la unul din capete. 8. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o sarcină Q 00 N pe bara din figura. fără ca tensiune din bară să depăşească valoarea a 00 MPa. Fig.. Fig.. 9. Să se verifice elementele sistemului din figura. dacă sarcina Q 800 N cade de la înălțimea h 60 mm. Caracteristicile arcului sunt: D 76 mm, d mm, n 7 spire, iar tensiunile admisibile ale grinii şi respectiv ale arcului sunt a 50 MPa şi τa 00 MPa. 0. Să se determine tensiunea maximă ce ia naştere într un arc cu: D 70 mm, d 6 mm, n 0 spire şi H 00 mm, precum şi înălțimea maximă de la care trebuie să cadă o sarcină Q 00 N pentru a comprima arcul spiră pe spiră. Se cunoaşte că τa 00 MPa. Să se determine înălțimea maximă de la care poate să cadă o sarcină Q kn pe bara din figura.5, dacă aceasta este confecționată din oțel cu a 50 MPa. Fig..5 75

76

. CACUU DE REZISTENȚĂ A SOICITĂRI VARIABIE.. Generalități Elementele de reistență nu reistă la fel de bine la solicitări variabile în timp, ca şi la solicitări statice. Astfel au apărut ruperi premature la multe organe de maşini ca: arbori cotiți, roți dințate, arcuri de supapă, bolțuri de piston, etc., aparent bine dimensionate cu relațiile clasice ale reistenței materialelor. Ruperile s au produs la tensiuni mult mai mici decât tensiunea corespunătoare limitei de curgere sau limitei de rupere pentru solicitarea statică. Aceste ruperi s au numit impropriu, ruperi la oboseală, ca şi cum materialul ar fi obosit la solicitarea variabilă, datorită preluării şi cedării de foarte multe ori într un timp scurt a energiei de deformație. S a observat că ruperea apare după un număr cu atât mai mic de variații ale solicitării cu cât tensiunea maximă din secțiunea periculoasă are o valoare mai mare. Dacă însă tensiunile produse au valori relativ mici, atunci ruperea la oboseală nu se produce nici după un număr foarte mare de variații ale solicitării. Comparativ cu ruperile produse prin solicitări statice, ruptura la oboseală are un aspect specific (fig.. ). În secțiunea de rupere se disting două one, o onă lucioasă şi o onă grăunțoasă, cu cristale ascuțite, reultate dintr o rupere casantă, produsă în mod brusc. Ruperea la oboseală se produce în ona tensiunilor mari, unde anumiți factori constructivi sau tehnologici, cum ar fi concentratorii de tensiune, conduc la început la apariția de microfisuri. Aceste microfisuri se adâncesc datorită variației solicitării. Contactul dintre suprafețele reultate prin fisurare conduce la apariția onei lucioase în secțiunea de rupere. Fig.. Prin propagarea fisurii secțiunea se micşoreaă şi la un moment dat conduce la ruperea bruscă şi astfel apare ona grăunțoasă în ona de rupere. a explicarea ruperilor la oboseală trebuie avut în vedere şi faptul că relațiile de calcul stabilite până acum, se baeaă pe ipotea mediului continuu şi pe ipotea iotropiei. Din examinarea mai atentă a materialelor se constată că aceste ipotee nu concordă cu realitatea. Astfel, metalele utiliate în construcția de maşini sunt aniotrope 77

şi neomogene. Ele conțin pori, incluiuni nemetalice, grupuri de cristale orientate diferit, ceea ce constituie concentratori de tensiune deosebit de periculoşi, în caul solicitărilor variabile. Din caua neomogenității materialelor distribuția tensiunilor din secțiunile elementelor de reistență diferă de cea reultată din relațiile de calcul ale tensiunilor deduse pentru materiale omogene şi iotrope. Distribuția reală a tensiunilor preintă abateri, vârfuri de tensiune, față de cea teoretică. Aceste vârfuri de tensiune pot constitui caua microfisurilor care conduc la ruperea la oboseală. Pe baa acestor constatări s au elaborat metode de calcul pentru solicitările variabile în timp care se aplică în mod special la calculul de reistență al organelor de maşini... Clasificarea solicitărilor variabile în timp În majoritatea caurilor, în dreptul unui punct dintr un organ de maşină tensiunea preintă o variație periodică între aceleaşi valori maxime max (sau τmax) şi minime min (respectiv τmin). Această variație poate fi asimilată cu o sinusoidă ca în figura.. având ecuația: Fig.. + sinωt, m a (.) unde: ω constituie pulsația variației periodice, iar t timpul. Variația tensiunii pe durata unei perioade formeaă un ciclu de tensiune. Elementele caracteristice ale unui ciclu de tensiune sunt: tensiunea maximă: max m + a, tensiunea minimă: tensiunea medie: amplitudinea tensiunilor: coeficientul de asimetrie:, min m a ( + ) max min m, (.) ( ) max min a, min R S. max Valoarea coeficientului de asimetrie defineşte natura unui ciclu de tensiune. Ciclurile cu acelaşi coeficient de asimetrie se numesc cicluri asemenea. 78

În funcție de valoarea coeficientului de asimetrie se disting următoarele tipuri de solicitări: a. solicitare statică, dacă tensiunea îşi menține valoarea constantă; 0,R ; max min m, a + b. solicitarea oscilantă, când tensiunea în timpul solicitării îşi păstreaă semnul: min > 0 sau 0 < R < ; max c. solicitarea pulsantă, dacă una din tensiunile limită este egală cu ero: max m a ; min 0,sau R 0 ; d. solicitarea alternantă, dacă tensiunea îşi schimbă semnul: min < 0, < R < 0 ; max e. solicitarea alternant simetrică, dacă tensiunile limită au aceeaşi valoare, dar de semn contrar: 0, R. max min a ; m Solicitarea statică, oscilantă şi pulsantă pot fi poitive sau negative după cum tensiunea m este de întindere sau de compresiune. Fig.. Stările de solicitare variabilă cu tensiuni tangențiale sunt caracteriate prin aceleaşi elemente ca şi stările de tensiuni normale. Clasificarea preentată mai sus în dependență de coeficientul de asimetrie este aplicabilă şi în caul tensiunilor tangențiale. 79

.. Reistența la oboseală Determinarea reistenței materialelor supuse la solicitări variabile se face prin încercări pe maşini special construite. Există maşini universale de tracțiune, dotate cu pulsatoare care pot realia orice solicitare variabilă simplă. S au construit şi maşini speciale care devoltă numai o anumită solicitare variabilă. Se utilieaă mult maşinile care realieaă solicitarea de încovoiere alternant simetrică. Aceste maşini folosesc pentru încercare epruvete de secțiune circulară (fig..,a) solicitate la încovoiere alternant simetrică, într o mişcare de rotație (fig..,b). Fig.. Astfel, în timpul mişcării de rotație a epruvetei tensiunea normală din dreptul unui punct oarecare îşi schimbă valoarea după un ciclu de solicitare alternant simetric. Vitea unghiulară constantă a unui punct M situat într o poiție oarecare, determinată de unghiul ϕ este: ϕ t ω, iar ordonata lui instantanee: y d d sin ϕ sin ω t, Tensiunea din dreptul punctului M se calculeaă cu relația lui Navier: M y P sinω t, (.) I π d 80

tensiune alternant simetrică şi care are amplitudinea: P a max, πd iar tensiunea normală medie este egală cu ero (m 0). Pentru stabilirea comportării materialului la solicitare variabilă se confecționeaă mai multe epruvete identice (0...0 buc.) care se încarcă la diferite forțe şi apoi se rotesc până la rupere. Se constată astfel că epruvetele încărcate cu forțe mai mari se rup la un număr mai mic de rotații decât cele încărcate cu forțe mai mici. Astfel, o epruvetă se rupe după n rotații, dacă ea este încărcată cu o forță care în secțiunea periculoasă produce o tensiune. a o tensiune ruperea apare după n rotații, pentru la n, ş.a.m.d. Valorile astfel obținute se înscriu într o diagramă max f(n), iar punctele astfel reultate se pot uni printr o curbă continuă (fig..5). Curba obținută pentru oțel, se apropie asimptotic de o valoare denumită reistența la oboseală. Diagrama astfel trasată poartă denumirea curbă de durabilitate sau curba lui Wöhler. Deci, reistența la oboseală (notată pentru R ) este cea mai mare valoare a tensiunilor maxime a ciclurilor la care epruveta nu se rupe oricât de mare ar fi numărul de cicluri. De obicei se limiteaă durata încercării şi în acest scop se adoptă un Fig..5 număr de 5x0 7.. 0 8 cicluri. Reistența la oboseală (notată în general cu R) depinde de natura solicitării variabile, exprimată prin valoarea coeficientului de asimetrie. Ca urmare se atribuie în notație, ca indice, coeficientul de asimetrie al ciclului corespunător reistenței la oboseală. Astfel, se noteaă cu reistența la oboseală în caul ciclului alternant simetric, 0 reistența la oboseală în ciclul pulsant şi 0, reistența la oboseală a materialului cu coeficientul de asimetrie R 0,. In tabelul. se dau valori ale reistențelor la oboseală pentru câteva oțeluri mai des utiliate în practică. Întrucât în tabele nu se dau reistențele la oboseală pentru toate materialele şi toate tipurile de solicitări, iar încercarea necesită un număr foarte mare de epruvete şi timp foarte îndelungat, pentru determinarea reistențelor la oboseală se pot utilia unele relații empirice, în funcție de reistența la rupere astfel: ( 0, 0, ) r 5 ( 0,5 0, 5 r, pentru oțel la încovoiere, ), pentru metale neferoase, 8

τ ( 0,7 0, ) ( 0,6 0, ) (,5, ) (,8 ) τ t 8 8 0 6 0 τ, la tracțiune compresiune,, la torsiune,, pentru ciclul pulsant,, pentru ciclul pulsant la torsiune. Tabelul. r t τ tracțiune compresie încovoiere torsiune [MPa] [MPa] [MPa] [MPa] 0 0 0 50 60 0 80 0 00 500 0 60 70 0 00 0 80 600 70 0 00 70 0 0 600 750 90 50 50 0 50 00 700 850 0 80 70 0 850 050 00 50 0 60 050 50 50 500 50 00 50 50 500 600 80 50 Dacă se urmăreşte a stabili exact modul de comportare la solicitări variabile a anumitor elemente de reistență încercările la oboseală se fac direct pe aceste elemente... Diagrame ale reistențelor la oboseală Diagramele reistențelor la oboseală permit trasarea şi citirea valorii reistențelor la oboseală în dependență de natura ciclului de solicitare variabilă, exprimat prin coeficientul de asimetrie. Se impune folosirea lor atunci când prin coeficientul de asimetrie, ciclului este oarecare. Cel mai frecvent utiliate sunt diagramele în coordonate m şi a (diagrama de tip Haigh) şi diagramele în coordonate m şi max, min (diagrame de tip Smith). În figura.6 este repreentată o diagramă în coordonate m şi a. Un punct oarecare M (m, a) defineşte complet ciclul de solicitare. Coordonatele punctului permit să se calculee şi celelalte mărimi ale ciclului de tensiune: Fig..6 8

+,, max m a min m a şi R m a. Curba A B C este curba ciclurilor limită sau curba reistențelor la oboseală, a epruvetei. Punctele de pe curbă repreintă solicitări pentru care coeficientul de siguranță este egal cu. Un punct M situat sub curba ciclurilor limită repreintă un ciclu de tensiune nepericulos, pe când orice punct N situat în exteriorul diagramei conduce la ruperea epruvetei. Un punct repreintă o reistență la oboseală a epruvetei corespunătoare unui anumit coeficient de asimetrie R: R m + a. m + a (.5) ocul geometric al ciclurilor asemenea, deci al ciclurilor cu acelaşi coeficient de asimetrie, este o dreaptă ce trece prin originea sistemului de referință. Pentru a demonstra aceasta, din expresia coeficientului de asimetrie: m a R, + m a se exprimă amplitudinea tensiunilor: a R + R, m şi se observă că s a obținut ecuația unei drepte ce trece prin origine, în caul în care R constant. Această dreaptă are panta: R tgα + R (.6) Pentru caurile particulare: R +, reultă ϕ 0, ceea ce arată că axa absciselor este locul geometric al solicitărilor statice, R, se obține ϕ 90 0, adică axa ordonatelor este locul geometric al ciclurilor alternat simetrice, R 0, ϕ 5 0 prima bisectoare a sistemului de referință este locul geometric al ciclurilor pulsante. Această bisectoare împarte în două părți domeniul solicitărilor repreentate prin puncte situate în primul cadran al sistemului de referință şi anume, punctele 0 < ϕ < 5 0 repreintă cicluri oscilante şi punctele cu 5 0 < ϕ < 90 0, cicluri alternante. Punctul A corespunde reistenței la oboseală, la un ciclu alternant simetric, punctul B ( 0, 0 ) reistența la oboseală la un ciclu pulsant (0), iar punctul C repreintă reistența la solicitarea statică (+), adică o reistență de rupere (sau de curgere, c) a materialului. 8

În diagrama din figura.7 locul geometric al ciclurilor cu aceeaşi tensiune medie (m ct.), este o dreaptă verticală, iar locul geometric al ciclurilor cu aceeaşi amplitudine (a ct.) este o dreaptă oriontală. Ciclurile cu aceeaşi tensiune minimă (min ct.) se află pe o linie paralelă cu a doua bisectoare (înclinată cu 5 0 ). Fig..7 În caul materialelor casante reistența la solicitare statică, +, se ia egală cu reistența la rupere r, iar la materialele tenace, care au un palier de curgere + se consideră egale cu limita de curgere c. Diagrama în coordonate m, max, min (de tip Smith), are relațiile:. max m a, min m a În acest ca, orice tip de ciclu de solicitare se repreintă prin două puncte M şi M cu abscise egale cu m şi ordonatele egale cu max respectiv min (fig.8). Cele două puncte sunt simetrice față de bisectoarea primului cadran. Punctele situate deasupra bisectoarei exprimă tensiunea maximă iar cele de sub bisectoare, tensiunea minimă. În diagramă apar două curbe ale ciclurilor limită, una pentru tensiunea maximă a ciclului reistenței la oboseală, iar cealaltă pentru cea minimă. Cele două curbe se întâlnesc în punctul C, care repreintă reistența la rupere statică + r. Fig..8 În caul materialelor tenace se introduce şi în această repreentare limitarea valorilor tensiunilor la limita de curgere. Perechile de puncte simetrice față de prima bisectoare şi situate în interiorul diagramei repreintă un ciclu nepericulos la solicitare variabilă, respectiv perechile de puncte din exterior repreintă un ciclu periculos. Pentru un anumit material diagrama reistențelor la oboseală se construieşte pe baa încercărilor la oboseală. Pentru o repreentare cât mai exactă a curbei ciclurilor 8

limită este necesar să se cunoască reistența al oboseală pentru un număr cât mai mare de solicitări caracteriate prin diverşi coeficienți de asimetrie, ceea ce este greu de realiat pe cale experimentală. Din acest motiv, pentru calculul la oboseală se folosesc diagrame schematiate ale reistențelor la oboseală, pentru care este necesară determinarea unui număr redus de stări limită şi anume: reistența la rupere sau limita de curgere (r sau c), reistența la oboseală pentru ciclul alternant simetric şi eventual pentru ciclul pulsant 0. În figura.9 se repreintă câteva diagrame schematiate în coordonate m şi a după cum urmeaă: a. diagrama schematiată printr o linie dreaptă (fig..9, a) de ecuație: m a +. (.7) + b. diagrama schematiată printr un sfert de elipsă (fig..9, b) având ecuația: m a + +. c. diagrama schematiată prin linii drepte pentru caul materialelor tenace, cu limitarea la tensiunea de curgere pe baa condiției: +. max m a c 85

d. diagrama schematiată prin două linii drepte după metoda S.V. Serensen, unind punctele A, B, şi o dreaptă la 5 o din C (fig..9, d). Schematiări asemănătoare se pot folosi şi în caul diagramelor de tip Smith (în coordonate m, max şi min). Cele spuse mai sus cu privire la tensiunile normale sunt valabile şi pentru tensiunile tangențiale..5. Factorii care influențeaă ruperea la oboseală Ruperea la oboseală a pieselor de maşini prin solicitare variabilă în timp depinde de mai mulți factori, care se pot grupa astfel: factori constructivi cum ar fi forma piesei (concentratorii de tensiune) şi mărimea piesei; factori tehnologici dintre care menționăm caracteristicile fiico mecanice ale materialului şi calitatea suprafeței piesei, care depind de prelucrările mecanice, de tratamentele termice, termochimice sau mecanice, de acoperirile anticoroive; factori de lucru sau condiții de exploatare, în care se încadreaă: felul solicitării, coeficientul de asimetrie al ciclului, suprasolicitările sau subsolicitările, şocurile, frecvența solicitării, temperatura, acțiunea chimică a mediului, etc.. 5. Factori constructivi Cei mai importanți factori constructivi care influențeaă mult ruperea la oboseală sunt concentratorii de tensiuni şi dimensiunile presei. a. Coeficientul de concentrare a tensiunilor În figura 6.5 s a analiat fenomenul concentrării tensiunilor la solicitări statice şi s a preciat modul de determinare experimentală a coeficientului de concentrare al tensiunilor αk. a solicitări variabile fenomenul local de concentrare a tensiunilor este mult mai complex şi nu poate fi exprimat numai prin coeficientul αk. a solicitările variabile, concentratorii de tensiuni preintă o mare influență asupra reistenței la oboseală, deoarece în onele respective apar şi se devoltă fisurile. Marginile fisurilor, în jurul cărora se devoltă o stare spațială de tensiuni, constituie la rândul lor, concentratori de tensiuni foarte puternici, ceea ce contribuie la propagarea fisurii. Reistența la oboseală a piesei depinde de tipul solicitării, de tipul concentratorului, de materialul piesei şi de coeficientul de asimetrie al ciclului. Pentru a 86

ține seama de toți aceşti factori se introduce coeficientul de concentrare a tensiunilor variabile definit de raportul: k R Rk sau d 0 k τ τ R Rk τ, (.9) d 0 ai cărui termeni sunt: R, τr reistența la oboseală a epruvetei netede standardiate de diametrul d0, Rk, τrk reistența la oboseală a epruvetei standardiate (cu diametrul d0) având un anumit concentrator. Majoritatea determinărilor pentru k şi k τ sunt făcute pentru cicluri alternant simetrice ceea ce conduce la expresiile: k k sau d 0 k τ τ k τ. (.9,a) d 0 Valorile acestor coeficienți se iau din manualele inginereşti unde sunt date în grafice. Trei exemple de astfel de grafice sunt preentate în figurile.0,. şi.. Fig..0 Fig.. b. Influența dimensiunilor Datele experimentale arată că reistența la oboseală a unei piese scade o dată cu creşterea dimensiunilor acesteia. O explicație a acestui fenomen, ce are la baă teoria probabilităților, arată că posibilitatea de a exista un defect de fabricație este cu atât mai mare cu cât piesa este mai mare. Factorul dimensional ε se defineşte, pentru ciclul alternant simetric, prin raportul: ( ) d ( ) d 0 ε sau ( τ ) d ( τ ) d 0 ε, (.0) 87

unde: ( )d, (τ )d repreintă reistența la oboseală a unei epruvete cu diametrul d, iar ( ) ( ) d 0 diametrul d0. τ d0, repreintă reistența la oboseală a unei epruvete standardiate cu Fig.. Fig.. Valorile acestui coeficient sunt date în figura.. Astfel: curba, este pentru oțeluri carbon fără concentratori de eforturi; curba, este pentru oțeluri aliate fără concentratori sau oțeluri carbon cu concentratori moderați (k,8.. ); curba, este pentru oțeluri aliate cu concentratori moderați; curba este pentru oteluri aliate cu concentratori puternici. Se constată că efectul dimensiunilor este mult mai puternic la oțelurile aliate decât la oțelurile carbon şi de asemenea la piesele cu concentratori..5.. Factori tehnologici A. Materialul şi tehnologia de fabricație Ca şi celelalte caracteristici mecanice şi reistența la oboseală diferă de la un material la altul. Tabelele din standarde dau, alături de celelalte caracteristici mecanice valorile reistenței la oboseală, determinate pe epruvete netede standardiate. Structura neuniformă a materialului sau cu granulație mare, existența crustei de turnare, forjare, laminare sunt factori tehnologici cu efect nefavorabil asupra reistenței la oboseală. Crearea de fibre longitudinale prin forjare sau laminare are un efect favorabil şi de toate aceste situații trebuie să se țină seama la alegerea coeficientului de siguranță al piesei. B. Starea suprafeței piesei Experiențele făcute pentru determinarea reistenței la oboseală au arătat că unul din factorii esențiali care influențeaă asupra acesteia este calitatea suprafeței piesei. Existența crustelor, gârieturilor şi a surselor de coroiune pe suprafața piesei constituie o sursă de fisuri şi micşoreaă reistența la oboseală. Alături de gârieturi, acțiunea 88

agenților coroivi are efect dăunător asupra reistenței la oboseală. Deci din punct de vedere al reistenței la oboseală, suprafața pieselor este punctul slab al acestora şi asupra acesteia trebuie să şi concentree atenția proiectantul şi tehnologul. Cauele care fac ca suprafața pieselor să fie punctul slab al piesei solicitate variabil sunt: gârieturile reultate din prelucrarea mecanică ce constituie sursa de amorsare a microfisurilor; distrugerea grăunților de la suprafață din caua prelucrării mecanice; la încovoiere şi răsucire punctele cele mai solicitate ale pieselor sunt cele de suprafață. Din aceste motive lustruirea suprafeței pieselor are o mare importanță asupra reistenței la oboseală. Când gradul de prelucrare este mai grosolan, reistența la oboseală scade. Coeficientul de stare al suprafeței γ, de obicei subunitar, este raportul: p τ p γ, sau γ (.) τ unde: p este reistența la oboseală a epruvetei având aceeaşi rugoitate cu a piesei; reistența la oboseală a epruvetei cu suprafața lustruită. În figura. se dau valorile lui γ pentru piese care au suprafața: lustruită ; suprafața şlefuită fin sau prelucrată cu cuțitul ; suprafața şlefuită sau strunjită brut ; suprafața laminată cu crustă ; supusă coroiunii în apă dulce 5; supusă coroiunii în apă sărată 6. Pe lângă prelucrarea fină a suprafeței se utilieaă uneori tratamente de suprafață, termice, termochimice sau mecanice (honuirea, rularea cu role, ecruisare cu jet de alice) prin care se obțin Fig.. coeficienți de calitate a suprafeței supraunitari. (γ,...,5). C. Tratamentele termice, mecanice Se poate obține o creştere a reistenței la oboseală a pieselor, uneori cu 00 00%, prin anumite tratamente superficiale care să îmbunătățească proprietățile suprafeței. 89

Aceste tratamente pot fi mecanice (prelucrare fină a suprafeței, ecruisarea cu jet de alice, rularea cu role) sau termice şi termochimice (călirea superficială cu flacără sau C.I.F., cementarea, nitrurarea). Acoperirile anticoroive, cromare, nichelare, alămire, cadmiere, micşoreaă reistența la oboseală..5.. Influența condițiilor de lucru A. Acțiunea agenților coroivi Agenții coroivi conduc la micşorarea reistenței la oboseală ceea ce se observă şi la curbele 5 şi 6 din figura.. Acest efect se combate prin acoperiri anticoroive. B. Variația solicitărilor Experiențele au arătat că reistența la oboseală rămâne practic aceeaşi când frecvența ciclului se schimbă. a frecvențele foarte mari, de peste 0 kh se constată creşteri ale reistenței la oboseală de 0...0%. În schimb reistența la oboseală este influențată defavorabil de existența suprasolicitărilor, adică a unor solicitări de durată limitată având o valoare mai mare decât reistența la oboseală. Subsolicitările, încărcările unei piese care produc tensiuni mai mici decât cele ale ciclului de solicitare variabilă, influențeaă în sens favorabil reistența la oboseală dar într o măsură mică. C. Temperatura Prin creşterea temperaturii piesei scade reistența la oboseală. a oțeluri, peste 00 0 C se produce o scădere a reistenței la oboseală cu 5 0% pentru fiecare creştere a temperaturii cu 00 0 C. Pentru un calcul corect este necesară determinarea reistenței la oboseală corespunătoare temperaturii respective. D. Felul solicitării Pe lângă mărimea solicitării o importanță deosebită preintă natura solicitării variabile. Dintre reistențele la oboseală, pentru solicitări simple, cea de încovoiere are cea mai mare valoare, fapt explicabil dacă se are în vedere că tensiunile la încovoiere sunt mari numai într o onă restrânsă a secțiunii transversale, ceea ce conduce la o posibilitate mai mică de apariție a microfisurilor. a întindere compresiune reistența la oboseală este mai mică decât la încovoiere, iar la torsiune este şi mai mică. Mai ştim din. că pentru o aceeaşi solicitare variabilă simplă, sau compusă, reistența la oboseală depinde de coeficientul de asimetrie al ciclului. Ea are valoarea cea mai mică pentru ciclul alternant simetric. 90

.6. Calculul de reistență la oboseală pentru o piesă Reistența la oboseală a unei piese este influențată de foarte mulți factori (analiați mai sus) şi deci valorile acesteia diferă foarte mult de valorile definitive pe epruvete standardiate. Întrucât în majoritatea caurilor, reistența la oboseală nu poate fi determinată experimental pe piesa reală, este necesară determinarea acesteia ținând cont de influența fiecărui factor menționat în.5. Aşadar, reistența la oboseală a unei piese reale solicitate alternant simetric p se poate calcula prin aplicarea succesivă a relațiilor.9,.0 şi. astfel că se obțin formulele: ε γ ε γ p şi τ p τ, (.) k k τ unde: repreintă reistența la oboseală a epruvetei standardiate de diametru d0, confecționate din acelaşi material cu piesa reală şi supusă la acelaşi tip de solicitare. Pornind de la diagrama Haigh schematiată pentru un material, prin dreapta AC, diagrama reistenței la oboseală a piesei se poate admite sub forma dreptei A C (figura.5). Întrucât concentratori de tensiune nu modifică reistența la rupere sau curgere, solicitare statică (punctul C) rămâne aceeaşi. Fig..5 În consecință, față de dreapta AC, aproximația constă în asigurarea unei ε γ dependențe liniare a grupului de coeficienți în intervalul dintre solicitarea statică k şi ciclul alternant simetric. imitei de reistență a pieselor solicitate de cicluri cu MM0 a caracteristică tgϕ, îi corespunde punctul de pe dreapta A C (figura.5). OM 0 m.7. Calculul de reistență la solicitări variabile Reistența la oboseală depinde de factorii studiați în.5 care nu pot fi cunoscuți decât pentru o piesă reală, respectiv după dimensionarea acestei piese. Aceşti factori se iau în considerare în relațiile de calcul prin diverşi coeficienți ce conțin de obicei mai multe necunoscute. De aceea dimensionarea pieselor solicitate variabil se 9

face cu ajutorul metodelor clasice ale reistenței, elaborate pentru solicitările statice, adoptând însă reistențe admisibile mai mici. Între reistențele admisibile la solicitări statice şi cele utiliate pentru ciclul pulsant, respectiv cel alternant simetric se poate utilia următoarea relație aproximativă:. a a R + R 0 a R Deci, calculul la oboseală este un calcul de verificare şi de capacitate de încărcare care se poate efectua numai după ce există toate dimensiunile piesei şi tehnologia de fabricație. Verificarea la solicitarea variabilă constă în calculul coeficientului de siguranță în secțiunile periculoase ale piesei şi în secțiunile slăbite prin concentratori. Pentru ca piesa calculată să reiste la solicitarea variabilă şi materialul piesei să fie eficient folosit este necesar să se obțină un coeficient de siguranță cât mai apropiat de cel prescris în manualele inginereşti. În tabelul. se dau câteva valori orientative ale coeficientului de siguranță la oboseală. Tabelul. Coeficient Felul solicitării de siguranță Piese de maşini, din oțel,5...,7 Piese de maşini uşoare, din oțel,..., Piese importante din oțel, la care încercarea s a făcut pe piesă,5 Piese din oțel turnat, Piese din fontă Piese din aliaje de cupru,7 Piese din aliaje uşoare,5 Coeficientul de siguranță la o solicitare variabilă se defineşte ca raportul dintre reistența la oboseală a piesei şi tensiunea maximă produsă în aceasta: Rpies τrpies c, respectiv cτ. (.) τ max max Ținând seama că reistența la oboseală a piesei se obține din formulele (.), expresiile coeficienților de siguranță la solicitări variabile vor fi: ε γ R ε γ τr c, şi respectiv cτ. (.5) k k τ max τ max 9

.7. Ciclul alternant simetric Relațiile (.5) pot avea forme particulare, dependente de natura solicitării. Astfel în caul ciclului alternant simetric la care m0 formula (.5) devine: ε γ ε γ τ c, şi respectiv cτ. (.6) k k τ max τ max.7.. Solicitarea variabilă cu coeficient de asimetrie oarecare În caul solicitării variabile oarecare, caracteriată de un coeficient de asimetrie de o anumită valoare, expresia coeficientului de siguranță şi deci reultatele calculelor depind de: modul (criteriul) de atingere a reistenței la oboseală, tipul diagramelor reistențelor la oboseală utiliat în calcul. În figura.6 se consideră curba ciclurilor limită a piesei în coordonate m şi a precum şi o solicitare variabilă oarecare repreentată printr un punct M. Coeficientul de siguranță este raportul dintre tensiunea limită, marcată prin punctul pe diagramă şi de tensiunea maximă din piesa marcată prin punctul M. Expresia coeficientului de siguranță depinde de drumul de la M la, respectiv de modul de creştere al solicitării pentru a atinge limita. Deci, este necesar să se stabilească modul cum variaă mărimile max. min, a, m, şi R ale solicitării variabile respective. Prin repreentarea legii de creştere a solicitării variabile se obține punctul, care repreintă reistența la oboseală căutată. Acest mod de determinare a reistenței la oboseală constituie criteriul lui Kilmelmann. Ținând seama de acest criteriu reultă o serie de cauri particulare ce au în vedere mărimea ce rămâne constantă cum ar fi coeficientul de asimetrie, tensiunea medie, tensiunea minimă, etc. a cele mai multe piese de maşini creşterea tensiunii are loc după cicluri asemenea (criteriul Soderberg), ce are la baă atingerea stării limită prin creşteri cu acelaşi coeficient de asimetrie (R ct.). Acest criteriu se foloseşte chiar dacă creşterea tensiunilor nu se produce după cicluri asemenea. Fig..6 9

.7... Metoda Soderberg Utiliând criteriul Soderberg şi respectiv schematiarea diagramei reistențelor la oboseală printr o linie dreaptă (figura.7), de ecuație: m a +, Fig..7 + se obține: m m a a + m + respectiv: c a m a + Întrucât coeficientul de siguranță poate fi exprimat prin relația: c a +,. (.7) r() m a m a, (.8) max(m) m + + a m şi ținând seama de influența factorilor k, ε şi γ expresia (.7) devine: c k a ε γ, + m + (.9) ce poartă numele de relația lui Soderberg. Observații: a. Relația lui Soderberg pentru ciclurile variabile de tensiuni tangențiale devine: c, (.9.a) kτ τa τm + ε γ τ τ + b. Dacă materialele utiliate sunt tenace în locul tensiunii + şi τ+ se va utilia în relația (.8) limita de curgere c şi respectiv τc: c, c τ. (.9.b) k a m k τ τa τm + + ε γ ε γ τ τ c c 9

.7... Metoda Serensen Dacă se adoptă pentru calculul unei piese o schematiare a diagramei reistențelor la oboseală de tip Serensen (schematiare prin două linii drepte) reultă două relații de calcul, aplicabile pe domenii, după cum punctul (punctul care defineşte atingerea stării limită) se află pe dreapta AB, sau pe dreapta B C (fig..8). Vom adopta şi în acest ca drept criteriu de atingere a stării limită criteriul lui Soderberg (R ct.). Pentru deducerea relațiilor de calcul se prelungesc dreptele AB până la intersecția cu axa oriontală Om (punctul D) şi B C până ce intersecteaă axa Oa (punctul A ). a. În caul în care dreapta R ct. taie prima oara dreapta AB. Fig..8 Din ecuația dreptei AD, care trece prin punctele A(0; ) şi B o + md o, reultă abscisa punctului D: 0 md, (.0) ψ unde s a notat: ψ 0 0 0 o ;. (.) 95 o,

Scriind din nou ecuația dreptei AD în funcție de coordonatele punctului (m; a) se obține: m a + md, (.) din care reultă coordonatele punctului care defineşte starea limită conform criteriului Soderberg (R ct.), precum şi reistența la oboseală R. Dacă ținem seama de expresia coeficientului de asimetrie R, conform definiției (.) se obține: max + min max + R max + R m R ; max min max R max R a R, unde: R max, deoarece aşa s a definit reistența la oboseală.5. Cu aceste valori introduse în relația (.) se obține reistența la oboseală a materialului pentru ciclul de solicitare respectiv: + R R ψ R + R R, (.) ( + R) ψ + ( R) Reluând ecuația dreptei (.) şi procedând analog ca la metoda Soderberg, înmulțind şi împărțind primul termen cu m, iar pe al doilea cu a, obținem: m m a a ψ +, m a de unde reultă expresia coeficientului de siguranță la oboseală, prin metoda Serensen (având în vedere relația.8): c, (.) + ψ a m relație valabilă numai dacă dreapta R ct. taie mai întâi dreapta AB. În caul în care reistența la oboseală a piesei diferă de reistența la oboseală a materialului se determină reistența la oboseală a piesei pentru ciclul alternant simetric k ε γ ținând seama de factorii k, ε şi γ ( p ) şi vom aprecia tot o dependență liniară a reistenței la oboseală a piesei de la ciclul alternant simetric repreentat de punctul A (0; p) la punctul D (repreentată în figura.8 prin dreapta A D). Scriind ecuația dreptei A D în funcție de coordonatele punctului (mp; ap) se obține: mp md + ap p, (.5) 96

din care se pot obține coordonatele punctului care defineşte starea limită a piesei, conform criteriului Soderberg (R ct.), precum şi reistența la oboseală Rp. Dacă ținem seama de expresia coeficientului de asimetrie R, conform definiției (.), se obține: max p + min max p + R p max p + R mp Rp, max p min max p R p max p R ap Rp, unde: R max deoarece aşa s a definit reistența la oboseală în.5. Cu aceste valori introduse în relația (.) se obține reistența la oboseală a piesei pentru ciclul de solicitare respectiv: + R R ψ Rp + Rp Rp p k ( + R) ψ + ( R) ε γ, (.6) Procedând analog ca la deducerea relației (.), cu valorile tensiunilor p şi md se obține expresia coeficientului de siguranță la oboseală prin metoda Serensen pentru piese: c k a + ψ ε γ m. (.7) b. În caul în care dreapta R ct. taie prima oară dreapta B C. Procedând analog şi în acest ca, scriind ecuația dreptei A D în funcție de noul punct limită se obține: m a +, + + de unde reultă reistența la oboseală a materialului în acest ca: +, R ml m + respectiv: + c + a m, (.8) (.9) iar dacă se ține seama de factorii k, ε şi γ se obține expresia coeficientului de siguranță prin metoda Serensen pentru piese: c k ε γ + a + m. (.0) 97

Dacă materialul este tenace diagramele reistenței la oboseală se limiteaă la dreapta corespunătoare limitei de curgere c (figura.8) şi relația (.0) devine: c k ε γ c a + m. (.) Relațiile de calcul ale coeficientului de siguranță prin metoda Serensen, în caul solicitărilor la care apar tensiuni tangențiale sunt aceleaşi, cu observația că în locul tensiunilor se introduc tensiunile τ şi relațiile (.7), (.0) şi (.) devin: c c c τ kτ τa + ψ τ ε γ τ kτ τ ε γ + τ kτ τ ε γ a c a + τ + τ m m,. m, (.7 ) (.0 ) (. ) Observațiile făcute privind modul de utiliare rămân valabile şi pentru relațiile scrise în tensiuni tangențiale..7... Metoda Budugan Dacă se adoptă pentru calculul unei piese o schematiare a diagramei a reistențelor la oboseală printr un arc de elipsă (Metoda Budugan, figura.9), vom adopta şi în acest ca drept criteriu de atingere a stării limită criteriul lui Soderberg (Rct.) şi scriind ecuația arcului de elipsă AC în funcție de coordonatele punctului (m, a) se obține ecuația stării limită pentru material: m a + +, iar pentru piesă se obține următoarea ecuație a stării limită: ε γ + k m a +. (.) Din ecuația (.) se pot obține coordonatele punctului care defineşte starea limită conform criteriului Soderberg (Rct.), precum şi reistența la oboseală R, analog cu metoda Serensen. Procedând analog ca la deducerea relației (.), se obține expresia coeficientului de siguranță la oboseală prin metoda Budugan: 98

m a k c + γ ε +. (.) Fig..9 Şi în acest ca, pentru materialele tenace se limiteaă în partea dreaptă diagrama reistenței la oboseală, la limita de curgere a materialului şi relația (.) devine: c m a k c + γ ε. (.) Pentru solicitări variabile la care apar tensiuni tangențiale relațiile (.) şi (.) devin: pentru materiale casante: m a k c τ τ + τ τ γ ε + τ, (. ) pentru materiale tenace: c m a k c τ τ + τ τ γ ε τ. (. ) 99

Aplicația.. Să se verifice la oboseală arborele confecționat din O cu +70 MPa, 0 50 MPa, 0 MPa, dacă în cel mai solicitat punct al său se devoltă k tensiuni între max 00 MPa şi min 0 MPa, ştiind că 8,, c0,6 prin cele trei ε γ metode. Reolvare: Elementele ciclului sunt: tensiunea medie: max + min 00 0 m 0MPa, amplitudinea: max min 00 + 0 m 65MPa, Coeficientul de siguranță are următoarele valori: prin metoda SODERBERG: c,69 > c k a m 65 5 +,8 + ε γ 0 70 + prin metoda SERENSEN: 0 0 50 ψ 0,07, 50 0 c,68 > c k,8 65 + 0,07 5 a + ψ m ε γ prin metoda BUZDUGAN: c,75 > c k 65 5 a m,8 + + ε γ 0 70 + Deoarece prin toate cele trei metode s au obținut valori ale coeficientului de siguranță mai mari decât valoarea impusă arborele este dimensionat corect. Observație importantă: Comparând cele trei valori ale coeficientului de siguranță obținute, pentru aceeaşi piesă, se observă că cea mai mică valoare o are cea calculată prin metoda Soderberg, iar celelalte valori sunt mai mari, dar apropiate între ele. Pentru a sesia mai uşor de unde provin aceste diferențe şi care sunt mai apropiate de realitate vom repreenta suprapus cele trei schematiări (fig..0). Se observă că schematiările tip Serensen şi Budugan sunt mai apropiate de diagrama reistenței la oboseală reală şi 0, 0, 0. 00

vor utilia mai bine capacitatea portantă a materialului. Din acest motiv se vor utilia aceste două metode, cu precădere metoda Serensen. Fig..0 Aplicația.. Să se determine sarcina maximă capabilă să o suporte un arc elicoidal confecționat din O cu τc 700 MPa; τ0 600 MPa; τ 50 MPa, cu d 8 mm, k, ε γ τ D 0 mm, n spire care este solicitat de o forță de montaj P 0, kn, dacă şi se impune un coeficient de siguranță c. Fig.. Reolvare: Deoarece în acest ca se impune ca tensiunea minimă, corespunătoare sarcinii de montaj, să fie constantă, nu se mai poate aplica criteriul lui Soderberg de atingere a stării limită (R ct.) ci în acest ca se va folosi criteriul tensiunii minime (τmin ct.), deci creşterea se va face după o dreaptă paralelă cu prima bisectoare 0

(fig..,a) având ca abscisă a originii acestei drepte valoarea tensiunii tangențiale minime: 8 P D 8 0, 0 πd π8 0 min τ. Din relația (.7ʹ) se obține: c kτ τa + ψ τ ε γ unde: τ τ ψ τ 0 m, τ 50 600 600 6 0 a 9,79 MPa 50 + 0,67 τ 0,67 m 7, τ a + τ m 050 Dacă ținem seama de relațiile de definiție ale elementelor ciclului de solicitare variabilă (.) obținem cea de a doua ecuație necesară soluționării problemei: τ τ τ 9,79 MPa, m a min din cele două ecuații se obține: τ a, MPa şi τ max τ min + τ a 9,79 +, 86, MPa. Cu valoarea tensiunii maxime se poate determina sarcina capabilă (maximă) la care poate lucra arcul: P πd τ 8D π8 86, 8 0 max max Se adoptă: P,5 kn.,9 kn. Deoarece nu pot fi reglate valorile sarcinilor ce solicită arcul decât prin săgețile corespunătoare se vor calcula aceste săgeți şi se va trasa caracteristica arcului (fig..,b) 8 Pmin D n 80,0 0 f min,70 mm, G d 80 8 8Pmax D n 8,50 0 f max 7,8 mm. G d 80 8 Pentru a satisface condiția de reistență la oboseală arcul trebuie să lucree între fmin,7 mm şi fmax 7,8 mm...7.. Solicitare variabilă compusă de încovoiere şi torsiune Față de solicitările statice, unde era necesar să se aleagă doar teoria de reistență, la solicitările variabile, compuse trebuie să se stabilească: diagrama reistenței la oboseală, tipul de schematiare şi criteriul de creştere a solicitărilor până la atingerea 0

stării limită. Pentru a simplifica problema care a devenit deosebit de complicată, se va lua în considerare la început, calculul la solicitări alternant simetrice şi în faă, la care: max min a şi τ max τmin τa Coeficienții parțiali de siguranță se definesc în conformitate cu relațiile (.6): p c τ p şi c τ. (.5) τ max max Pe cale experimentală s au determinat valori şi apoi s a trasat o curbă a reistențelor la oboseală, în coordonate a şi τa pentru solicitări variabile compuse de încovoiere şi torsiune prin cicluri alternant simetrice şi în faă (fig..). Un punct oarecare (a; τa) de pe curbă repreintă o anumită stare limită de solicitare compusă, caracteriată prin amplitudinile a şi τa ale celor două solicitări. Pe axa absciselor (a 0) sunt repreentate numai stări de încovoiere cu reistența la oboseală, iar pe axa ordonatelor (τa 0) stări de torsiune cu reistența la oboseală τ. a acțiunea simultană a celor două solicitări ruperea la oboseală se produce în dreptul unui punct de coordonate: a < şi τ a < τ. Punctul de coordonate a şi τa, repreintă reistența la oboseală la acțiunea celor două solicitări. Fig.. ocul geometric al reistențelor la solicitări compuse (punctele cu coeficientul de siguranță c ), poate fi aproximat printr un arc de elipsă de ecuație: a a τ + τ. (.6) O elipsă asemenea cu aceasta repreintă locul geometric al stărilor compuse de solicitare cu acelaşi coeficient de siguranță c >. Coeficientul de siguranță al stării de solicitare compusă, repreentată prin punctul M de coordonate a şi τa se calculeaă de obicei față de starea limită definită de punctul. Dreapta OM, care trece prin originea sistemului de referință taie curba AB în (criteriul Soderberg). Prin această ipoteă se admite că solicitarea creşte de la M la prin menținerea constantă a raportului R ct. Coeficientul de siguranță al solicitării variabile compuse este: a τa c. (.7) τ a a 0

Amplificând şi simplificând funcțiile din ecuația (.6) cu aceeaşi mărime (a respectiv τa) obținem: a a a a a τ + τ a τ τ, reultă relația coeficientului de siguranță al solicitării variabile compuse: c c c + c τ, respectiv c c c c. (.7) + τ cτ Relația (.7) poartă denumirea de relația lui H. J. Gongh şi H. V. Polard. Cu ajutorul ei calculul la oboseală la solicitări compuse se reduce la determinarea coeficienților de siguranță parțiali ai solicitărilor simple. Deşi această relație a fost dedusă pentru caul ciclului de solicitare alternant simetric se foloseşte şi la calculul de verificare al solicitărilor variabile asimetrice pentru că dă valori acoperitoare. Aplicația:.. Pentru secțiunea periculoasă a arborelui din figura (.,a) realiată din Ol cu c 80 MPa, 0 00 MPa, 00 MPa, τc 00 MPa, τ0 0 MPa, τ 0 MPa, k ε γ,, k τ ε γ 8,, solicitat la încovoiere de un moment variabil M knm, variabil cu R 0,6 şi la torsiune de un moment variabil cu R τ 0,. Se cere să se determine: a. reistența la oboseală a materialului la încovoiere pentru ciclul respectiv, b. reistența la oboseală a piesei la încovoiere pentru ciclul respectiv, c. coeficientul parțial de siguranță la încovoiere, d. reistența la oboseală a materialului la torsiune pentru ciclul respectiv, e. reistența la oboseală a piesei la torsiune pentru ciclul respectiv, f. momentul de torsiune capabil, maxim şi minim ce acționeaă simultan cu cel de încovoiere dacă se impune un coeficient de siguranță global de c,6. Reolvare: a. Se construieşte la scară diagrama schematiată de tip Serensen, pentru valorile ale materialului (ABB C, fig..,b). Se determină unghiul ϕ corespunător ciclului cu R 0,6. R + 0,6 arctan arctan 75,96 + R 0,6 o ϕ. Se duce dreapta corespunătoare lui R 0,6 măsurând unghiul ϕ 75,96 o de la axa oriontală (Om). Se determină valoarea coeficientului ψ cu relația (.): 0 00 00 ψ 0,5. 00 0 0

Cu relați a (.) se obține reistența la oboseală a materialului: 00 R 5,9 MPa. + R ψ + R 0,6 0,5 + + 0,6 ( ) ( ) ( ) ( ) Fig.. b. Utiliând relația (.6) se obține reistența la oboseală a piesei: 00 Rp k ( + R ) ψ + ( R ) ( 0,6) 0,5 + ( + 0,6) ε γ, 6.MPa c. Pentru a determina coeficientul de siguranță parțial, la încovoiere trebuie să determinăm elementele ciclului de solicitare şi pentru aceasta mai întâi mărimile geometrice ale secțiunii: I I I y π 80 6 5 80 6 8 6 8 6,6 0 π80 5 6 8 6,986 0 mm, 6 80 6 p I + Iy,69 0 mm, I,6 0 W 6 y min Wy 650mm, max 0 I,69 0 W 6 p p 9070mm, rmax 0 iar tensiunile la încovoiere sunt: 6 mm,. 05

6 M 0 max 8,69MPa, W 080 min R 0,6 8,69 9,MPa, min max max + min m 9,MPa, max min a 8,95MPa. c Aplicând relația (.7) se obține: k a + ψ ε γ m 00, 8,95 + 0,59,75,88. d. Pentru a determina reistența la oboseală a aceluiaşi material la torsiune se traseaă diagrama schematiată, de tip Serensen pentru tensiuni tangențiale (fig..). 06 Fig.. Se determină unghiul ϕ corespunător ciclului cu R 0, Se duce dreapta de R τ 0, măsurând unghiul de la axa oriontală Oτm, R τ 0, o ϕτ arctan arctan,69, + R + 0, τ Se determină valoarea coeficientului ψ cu relația (.): τ τ0 0 ψ 0,555 τ + 0, 0,555 + 0,6 τ τ, 0 ( ) ( ) Utiliând relația (.) se obține reistența la oboseală a materialului: τ 0 R ( + R) ψ + ( R) ( + 0,) 0,5 + ( 0,),8 0,5MPa.

τ e. Din relația (.6) se obține reistența la oboseală a piesei: τ 0 Rp kτ ( + R) ψ + ( R) ( + 0,) 0,5 + ( 0,) ε γ,8 5MPa f. Ca să determinăm momentul de torsiune capabil trebuie aflat coeficientul de siguranță parțial la răsucire din relația (.8): c c c,88,8,56 τ. c c,88,6 Având valoarea reistenței la oboseală a piesei şi coeficientul de siguranță se poate determina momentul de torsiune capabil: τr 5 6 Mt max Wp 9070 0 6,96kNm. c,56 τ Se adoptă: Mt max 6 knm şi Mt min R τ Mt max, knm.,.8. Întrebări test. Ce este o solicitare variabilă?. Ce sunt solicitările periodice?. Care sunt elementele unui ciclu de solicitare variabilă?. Definiți mărimile m şi a. 5. Ce este coeficientul de asimetrie R? Ce sunt ciclurile asemenea? 6. Care sunt caracteristicile ciclurilor alternant simetrice? 7. Care sunt caracteristicile ciclurilor pulsatorii? 8. Ce este reistența la oboseală? 9. Cum se construieşte curba lui Wöhler? 0. Ce tipuri de diagrame ale reistențelor la oboseală cunoaşteți? Cum se construiesc?. Ce sunt diagramele schematiate? Comentați schematiarea Sodenberg, Serensen şi Budugan.. Cum arată o secțiune a unei bare ruptă prin oboseală?. Care sunt factorii care influențeaă reistența la oboseală?. Cum influențeaă materialul şi tehnologia de fabricație reistența la oboseală? Dar natura solicitării? 5. Care reistență la oboseală este mai mare +,, 0, c? Cum se explică răspunsul? 6. Odată cu creşterea dimensiunii piesei scade sau creşte reistența la oboseală? Cum explicați acest lucru? Ce este factorul dimensional? 07

7. Dați exemple de concentratori de tensiune. 8. Cum influențeaă concentratorii de tensiune reistența la oboseală? 9. Definiți coeficientul efectiv de concentrare a tensiunilor. 0. Cum influențeaă starea suprafeței piesei reistența la oboseală?. Care din următorii coeficienți are valoare mai mică γ sau γτ? Cum se explică acest lucru?. Cum influențeaă temperatura reistența la oboseală a metalului? Dar a lemnului?. Cum influențeaă umiditatea reistența la oboseală a lemnului? Cum se explică răspunsul dat?. Scrieți şi comentați expresiile coeficienților de siguranță la oboseală. 5. De cine depinde expresia coeficientului de siguranță la oboseală? 6. Ce este un concentrator de tensiune? Dați câteva exemple. 7. Care sunt factorii care influențeaă reistența la oboseală?.9. Probleme propuse + 600. Să se verifice un arbore de secțiune inelară confecționat din oțel cu MPa, 0 60 MPa, 0 MPa, k k G, dacă este solicitat de un γ ε moment de încovoiere ce variaă între Mi max 9,5 knm şi Mi min, knm şi se impune un coeficient de siguranță c, (d 0,8D, D 00 mm). r 00. Să se verifice fusul de bielă din figura.5 confecționat din oțel cu siguranță c0. MPa, r 00 MPa, 00 MPa, dacă se impune un coeficient de Fig..5 Fig..6 08

. Să se verifice arborele a cărui secțiune este preentată în figura.6, confecționat din oțel cu: c 80 MPa, 0 00 MPa, 0 MPa solicitat de un moment de încovoiere Mî knm, într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,6, dacă se impune un coeficient de siguranță c,. Se cere de asemenea, să se determine reistența la oboseală a materialului R şi reistența la oboseală a piesei Rp, k dacă k G, 5 γ ε.. Să se determine sarcina maximă de încărcare a unui arc de supapă cu următoarele caracteristici: d 8 mm, D 0 mm, n 6 spire, ştiind că este confecționat din oțel cu: τ + 0 MPa, τ 0 00 MPa, τ 50 MPa, k τ kτ G. Se cunoaşte γ ε faptul că sarcina de montaj este de 0,5 kn şi se impune un coeficient de siguranță cτ. 5. Să se determine momentul de torsiune capabil să l suporte arborele din figura.7 confecționat din oțel cu: τ c 50 MPa, τ 0 0 MPa, τ 00 MPa, kτ kτ G,5, dacă impune un coeficient de siguranță cτ,. γ ε Fig..7 Fig..8 6. Să se determine coeficientul de siguranță în caul solicitării la oboseală a unui arbore cu diametrul d60 mm confecționat din OC 60, solicitat de un moment de torsiune ce variaă între Mt max knm şi Mt min knm, dacă: τ 00 MPa, τc 80 MPa ; kτ,; γ 0,85; ε 0,9. 7. Pentru arborele cu secțiunea periculoasă din figura.8 confecționat din oțel cu: c 80 MPa, 0 00 MPa, 00 MPa, τ c 00 MPa, τ 0 80 MPa, k τ 00 MPa şi k G kτ, 5, kτ G, 5 se cere să se determine: γ ε γ ε a) Momentul de încovoiere capabil ( R 0,) b) Momentul de torsiune pulsator, dacă c,., dacă c,; 09

τc 50 8. Să se determine pentru arborele cu secțiune din figura.9, dacă se cunosc: kτ MPa, τ0 00 MPa, τ 50 MPa, k G, 5 γ ε a) Reistența la oboseală a materialului, dacă R τ 0, ; b) Reistența la oboseală a piesei; c) Momentul de torsiune capabil dacă se impune un coeficient de siguranță cτ,; d) Momentul de încovoiere ce poate acționa simultan cu cel de torsiune, dacă se cunosc R 0, 6 c 600 MPa, 0 500 MPa, k 00 MPa, k G 5, 5, iar coeficientul γ ε τ : de siguranță total este c,6. Fig..9 0

. FAMBAJU BAREOR DREPTE.. Noțiuni generale Barele solicitate la întindere, forfecare, răsucire, încovoiere şi la solicitări compuse, studiate în capitolele precedente, se deformeaă sub acțiunea sarcinilor, dar deformația are loc în cadrul echilibrului elastic. Situația de echilibru elastic nu se menține la bare drepte, de o anumită lungime comprimate, când forța P depăşeşte o valoare limită. Se consideră bara dreaptă, articulată la ambele capete, din figura (.,a). Atât timp cît valoarea sarcinii P este mică, bara îşi păstreaă poiția sa de echilibru elastic stabil. Fenomenul de echilibru stabil se constată prin aplicarea unei forțe transversale asupra barei comprimate. Această forță încovoaie bara, dar odată cu înlăturarea forței transversale bara revine la forma dreaptă. Mărind valoarea forței de compresiune P se ajunge la situația când, la încetarea acțiunii forței transversale perturbatoare, bara nu mai revine din poiția deformată. Această situație, când bara îşi păstreaă poiția deformată (nu revine), după acțiunea forței perturbatoare, se numeşte poiție de echilibru instabil. Instabilitatea este cauată de valoarea nedeterminată a săgeții barei încovoiate (mărimea curburii nu depinde numai de valoarea forței transversale). Reultă că la atingerea unei anumite sarcini Pf, numită sarcină critică de flambaj, bara trece din starea de echilibru stabil în cea de echilibru instabil. Acest fenomen de pierdere a stabilității elastice a barei, la atingerea sarcinii critice de flambaj, ce comprimă bara, se numeşte flambaj. Mărind sarcina de compresiune peste valoarea Pf poate avea loc unul din următoarele fenomene: a. dacă bara este deja curbată, curbura acesteia creşte depăşind orice valoare acceptabilă; b. când bara este rectilinie, poiția sa de echilibru se păstreaă un timp până când intervine o forță perturbatoare care scoate bara din poiția de echilibru şi în acest moment curbura barei creşte foarte rapid conducând la distrugerea acesteia prin flambaj. Bielele de motor şi de compresor, tijele de piston, stâlpii şi barele comprimate din construcții sunt piese ce sunt supuse la flambaj şi care, sub acțiunea sarcinilor, nu trebuie să şi piardă stabilitatea.

Fenomenul de instabilitate elastică (flambajul) diferă mult de fenomenele studiate în capitolele precedente prin: a. odată cu creşterea sarcinii de compresiune apar şi cresc eforturile de încovoiere sau/şi răsucire ce depind de deformații, eforturi care sporesc aceste deformații; b. deformațiile nu au dependență liniară de sarcina de compresiune, ci neliniară; c. deformațiile (la apariția fenomenului de flambaj) sunt mari astfel că nu mai pot fi luate în considerare ipoteele ce au la baă deformațiile mici ale barei. Deci, fenomenul de flambaj trebuie situat şi studiat într o altă perspectivă comparativ cu solicitările la eforturile N, T, Mi şi Mt. Numai aşa se poate înțelege de ce o bară flambeaă când tensiunea normală de compresiune este inferioară reistenței admisibile. Dacă se are în vedere că flambajul este pierderea poiției de echilibru static la valolri inferioare lui a şi nu o nouă solicitare totul devine explicabil... Sarcina critică de flambaj. Formula lui Euler Se consideră o bară dreaptă de lungime, realiată dintr un material elastic, articulată la cele două capete şi comprimată de sarcina P. Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarcinii critice de flambaj la care bara are o poiție de echilibru indiferent (deformație mare, de curbă nepreciată) cum este repreentată în figura (.,a). Fig.. Pentru bara având deformații mari ecuațiile de echilibru trebuie scrise considerând starea deformată (fig..,b). În această situație partea din stânga secțiunii x conține eforturile N P şi M Pv.

Deformația barei, repreentată în figura (.,a) prin curba O CA se poate aproxima prin ecuația fibrei medii deformate (.) a barei drepte solicitate la încovoiere: d v dx M E I. diferențială: (9.) Substituind în această ecuație expresia momentului încovoietor se obține ecuația d v P v + 0, dx E I ce are soluția: v B sin ax + C cos ax. (.) Din condiția la limită în origine x 0, v0 0, reultă că C 0, astfel că ecuația axei barei deformate este: v B sin ax. Derivând şi înlocuind în (.) se obține ecuația: a P + E I B sin ax 0, ce este satisfăcută pentru: a P sau EI B sinax 0 a P E I (.). (.), deoarece dacă ar fi egală cu ero, înseamnă că bara nu se deformeaă pentru orice x şi deci bara nu flambeaă. Condiția la limită în reaemul A: x, v A B sin a 0 este satisfăcută numai pentru: sin a 0, numită ecuația de stabilitate, ale cărei soluții sunt: a P EI n π din care reultă sarcinile critice de flambaj: P π E I f, P f, π E I π E I n,... Pnf, (.) şi respectiv deformațiile barei corespunătoare acestor soluții: π x B sin πx, v B sin n πx,... v B n sin v n. (.5)

Deformațiile repreentate prin expresiile (.5) au o semiundă, două semiunde,...n semiunde. Notând cu f distanța dintre două puncte succesive de inflexiune a deformației şi numind această distanță lungime de flambaj (lf, f /,..., nf /n) soluțiile (.) şi (.5) se pot scrie sub forma: P π E I v π x. (.6) nf, n Bn sin nf nf Din infinitatea de soluții (.6) numai prima soluție (n l) corespunde realității date în figura (.,a). Soluțiile reultate pentru n corespund realității numai dacă bara e constrânsă de ghidaje suplimentare ca în figura., să ia forma corespunătoare acestor legături în ca contrar valorile Pf, Pf,..., Pnf, respectiv deformațiile v, v,...,vn sunt doar soluții teoretice. Fig.. Deci în lipsa legăturilor suplimentare flambajul are loc numai pentru sarcina cea mai mică, respectiv numai pentru lungimea de flambaj maximă. Considerând articulațiile O şi A spațiale, adică bara se poate curba în orice direcție transversală ei, aceasta se va produce astfel încât vectorul dirijat după axa principală cu moment de inerție minim (I Imin). M v P să fie Sarcina critică de flambaj este egală cu sarcina minimă dată de soluțiile (.6) care este corespunătoare atât lungimii de flambaj minime cât şi momentului de inerție minim : P π E I min f. f (.7) Relația (.7) se numeşte formula lui Euler. Constantele BBi din soluțiile (.5) nu pot fi determinate din ecuația diferențială (.), astfel că nu se pot stabili valorile deformațiilor de flambaj pornind de la ecuația diferențială aproximativă a fibrei medii deformate (.). Acest neajuns nu deranjeaă întrucât interesul inginerului este dirijat către aflarea sarcinii critice de flambaj, sarcină ce produce pierderea echilibrului.

.. Modul de reemare. ungime de flambaj a. s a stabilit formula pentru sarcina critică de flambaj în caul barei articulate la capete şi s a definit lungimea de flambaj ca distanță dintre două puncte de inflexiune consecutive a deformației. În practica inginerească se întâlnesc şi alte moduri de reemare a barelor comprimate, care vor avea deformații corespunătoare acestor moduri de reemare. Observând, în figura. deformata după care flambeaă fiecare ca de bară dreaptă, de lungime, se deduce lungimea de flambaj pentru cele 6 cauri de reemare: Caul (ca fundamental de flambaj, figura.) este repreentat de bara articulată la cele două capete, ce are f, respectiv are deformata sub formă de semiundă. Caul este cel al barei în consolă, comprimată de forța ce acționeaă la capătul liber şi are deformata sub forma unei jumătăți de semiundă, f. Fig.. Caul este repreentat de bara încastrată la un capăt şi articulată la celălalt. Deformata la flambaj a acestei bare are un punct de inflexiune în articulație iar al doilea se află la de primul astfel că f 07,. Caul al barei dublu încastrate, ce are punctele de inflexiune la / față de fiecare din încastrări, astfel că f /. Caul 5 este repreentat tot de o bară dublu încastrată dar unul din capete îşi poate deplasa încastrarea în planul transversal al barei, astfel că rotirile din încastrări 5

sunt nule şi punctul de inflexiune se află la mijlocul barei, iar deformata este compusă din două sferturi de undă, respectiv f. Caul 6 este repreentat de o bară articulată la un capăt şi încastrată la celălalt (similar caului ) dar la care încastrarea se poate deplasa într un plan transversal barei (ca la caul 5), astfel că deformata barei constituie un sfert de undă deci. f Deci, calculul sarcinii critice de flambaj se va face cu formula (.7), calculându se în prealabil lungimea de flambaj, ținând seama de relația corespunătoare caului de flambaj în care se află bara. De asemenea, mai trebuie avut în vedere că bara dublu încastrată (caul ) este cea mai reistentă la flambaj, iar bara încastrată la un capăt şi liberă la celălalt (caul ) are capacitatea de încărcare cea mai mică (de 6 ori față de caul )... imita de valabilitate a relației lui Euler. Flambajul barei în domeniul elasto plastic Mărimea reultată din raportul: f λ i în care: min Imin imin, A (.8) este raa de inerție minimă (vei 5.6), se numeşte coeficient de sveltețe sau de subțirime. Această mărime are o importanță deosebită în analia fenomenului de stabilitate. Tensiunea critică de flambaj se obține ținând seama de formula (.7): P E f f A f λ (.9) I A min π E Diagrama de variație a tensiunii critice de flambaj f în funcție de coeficientul de sveltețe λ este o hiperbolă (hiperbola lui Euler, fig..). Întrucât formula (.7) a fost dedusă în condițiile deformării barei în domeniul liniar elastic, reultă că tensiunea critică de flambaj nu poate depăşi limita de proporționalitate a materialului. Coeficientul de veltețe corespunător limitei de proporționalitate ( ): 6 f p

λ π E p, (.0) constituie limita la stânga a domeniului de valabilitate a relației lui Euler (flambaj elastic). imita la dreapta a domeniului elastic este fixată pe baă empirică şi stabilită prin norme tehnice. În STAS 008/0 78, tabelul, sunt date valorile maxime pentru coeficienții de veltețe, dintre care redăm mai jos valorile: λmax 0 pentru stâlpi principali şi grini cu ăbrele din oțel; λmax 50 pentru stâlpi secundari din oțel; λmax 50 pentru barele care nu fac parte din elementele de reistență solicitate direct. Pentru barele din fontă se recomandă λmax 0, iar pentru cele din lemn λmax50. Formulele (.7) şi (.9) pot fi utiliate la calculul la flambaj numai pentru λ. λ 0,λ max domeniul elastic, respectiv pentru [ ] Pentru barele scurte, la care se deduce o valoare f > p, flambajul are loc în domeniul elasto plastic (λ > λ0). In domeniul elasto plastic au fost stabilite formule empirice pentru calculul tensiunii critice de flambaj. Dintre acestea, cea mai largă utiliare o are formula Tetmayer Iasinski. a b λ f. (.) Diagrama funcției (.) este o dreaptă din care se utilieaă doar segmentul BD (fig..). Punctul B constituie limita la dreapta şi reultă din intersecția dreptei Tetmayer Iasinski cu hiperbola lui Euler. Punctul D constituie limita la stânga şi reultă din intersecția dreptei Tetmayer Iasinski cu palierul f c. Abscisa corespunătoare punctului D este λ. Deci, formula (.) poate fi utiliată numai λ. λ,λ 0 pentru domeniul [ ] Calculul coeficientului λ reultă din limitarea valabilității relației lui Tetmayer Iasinski la stânga, astfel: de unde se obține: a c λ > λ. b > f c a bλ, f c (.) În caul barelor foarte scurte, la care reultă λ < λ şi din relația (.) se obține flambajul are loc în domeniul plastic. În acest ca bara se calculeaă la compresiune cu relațiile de la 5. 7

Diagrama f( λ) f Fig.., repreentată cu linii groase în figura. poartă numele de caracteristică de flambaj a materialului. Aceasta este formată din trei porțiuni: λ [ λ,λ 0 max] ; λ [ λ,λ 0] ; π E λ hiperbola AB, de ecuația f dreapta BD, de ecuație palierul CD, de ecuație f f, valabilă în domeniul elastic, a b λ, valabilă în domeniul elasto plastic, în domeniul plastic, pentru λ < λ. c Valorile mărimilor λ0, λ şi ale coeficienților a şi b din formula (.) pentru unele materiale mai frecvent utiliate sunt date în tabelul.. Materialul λ0 λ f [MPa] O 7 (c 0 MPa) 05 60 f 0, λ O (c 80 MPa) 00 60 f 60,57 λ O 5 (c 50 MPa) 00 60 f 577,7 λ Oțel cu 5% nichel 80 0 f 6,5 λ Oțel crom molibden 55 0 f 980 5, λ Duraluminiu 50 0 f 7, λ emn 00 0 f 8,7 0,9 λ Tabelul. Fontă 80 0 f 776 λ + 0,05 λ 8

.5. Calculul la flambaj al barelor comprimate Calculul la flambaj al barelor comprimate se efctueaă în funcție de domeniul de utiliare al barei: a. în construcția de maşini, prin metoda coeficientului de siguranță; b. în construcțiile civile, industriale şi agricole, prin metoda coeficientului ϕ (STAS 008/0 78)..5.. Calculul la flambaj în construcția de maşini Coeficientul de siguranță, ce stă la baa calculului de reistență în construcția de maşini este raportul dintre sarcina critică de flambaj şi sarcina efectivă, sau cel dintre tensiunea critică de flambaj şi tensiunea efectivă: Pf c, sau c f. (.) P Valoarea coeficientului de siguranță la flambaj c, se alege în funcție de domeniul unde se utilieaă piesa respectivă. În tabelulul. se indică orientativ, valori ale coeficientului de siguranță la flambaj. Calculul de verificare şi de capacitate de încărcare la flambaj începe cu determinarea coeficientului de veltețe λ şi numai după ce se stabileşte domeniul în care trebuie calculată bara, ținând seama de caracteristicile de flambaj ale materialului ( λ0 şi λ ), se poate efectua calculul respectiv. Tabelul. Domeniul de utiliare a barei comprimate c Construcții metalice: civile, industriale şi agricole,7..., (met.ϕ) Construcții din lemn 0 Construcții obişnuite de maşini Piese de maşini supuse şocului şi solicitărilor variabile 8 8 Formulele de verificare la flambaj sunt: Pf π E Imin c, pentru [ ] P P λ λ,λ 0 max, (.a) cef > f c Pf (a bλ) A c pentru [ ] P P λ,λ 0 P ac λ < λ A ef > max λ, (.b). pentru. (.c) 9

Capacitatea de încărcare se calculeaă cu formula corespunătoare pentru fiecare domeniu şi anume: P cap P cap P cap π E I c, pentru [ ] min f λ, (.5a) λ 0,λ max (a b λ) A, pentru [ ] c 0 (.5b) a A, pentru λ < λ. (.c) Dimensionarea secțiunii barei se poate realia numai cu formula (.5,a): c P π E I min nec f. (.6) Valoarea obținută pentru Imin stă la baa adoptării dimensiunilor pentru secțiunea transversală. Apoi, după ce s a calculat în prealabil λ, secțiunea se verifică cu relațiile (.,b şi c). Verificarea cu relația (.,a) nu mai este necesară deoarece Imin a fost calculat cu formula (.6) corespunătoare domeniului elastic ( λ [ ] λ 0,λ max ). Când în urma verificării cu formulele (.,a sau b) reultă că secțiunea adoptată este supradimensionată, sau respectiv că nu reistă la sarcina P se adoptă o nouă secțiune, cu dimensiuni mai mici, respectiv mai mari şi această nouă secțiune se verifică din nou. Calculul de dimensionare urmat de adoptarea unei mărimi a secțiunii şi verificarea acesteia se face până când valoarea coeficientului de siguranță efectiv satisface relația: c,05 c ef c 0,8, (.7) şi se numeşte dimensionarea prin încercări succesive. Din analia formulei de dimensionare (.6) se observă că la flambaj materialul nu se ia în considerare prin reistența la rupere sau de curgere (r sau c) ci prin caracteristica elastică E. Întrucât modulul de elasticitate are aproximativ aceeaşi valoare pentru oțeluri (E 0 GPa) în domeniul elastic este necesar să se folosească un oțel de mică reistență (folosirea unui oțel aliat nu este justificată). Mai trebuie reținut că este necesar ca secțiunea transversală să aibă acelaşi moment de inerție pe cele două direcții principale sau de valori cît mai apropiate. Materialul care contribuie la diferența Imax Imin nu este utiliat la stabilitatea echilibrului elastic. O bară are o secțiune ce utilieaă eficient materialul, la flambaj, când Imax Imin. 0

.5.. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului ϕ În domeniul construcțiilor civile, industriale şi agricole coeficientul de siguranță la flambaj are valori mai mici, comparativ cu cel din construcția de maşini, care sunt preciate prin norme. Funcție de valoarea lui c, care variaă în funcție de λ, s au dedus formule pentru un coeficient ϕ, care intră în formula de verificare: f P R ϕ A, (.8) în care P este sarcina (efortul) de compresiune, A aria efectivă a barei, ϕ coeficientul minim de flambaj şi R reistența de calcul (vei anexa.a, din STAS 0.08/0 78, sau anexa.b). Coeficientul minim de flambaj ϕ depinde de coeficientul de sveltețe λ, forma secțiunii şi de materialul barei. Acesta, pentru mărcile de oțel frecvent utiliate în construcții, se poate calcula cu una din relațiile date în anexa.b (sau se poate lua din tabelele...6 date în STAS 0.08/0 78), în conformitate cu indicațiile date în anexa,a (sau tabelul din STAS 0.08/0 78). Capacitatea de încărcare se calculeaă cu relația : P cap ϕ A R (.9) Bara se predimensioneaă la flambaj utiliând relația (.6) şi apoi se verifică cu formula (.8), efectuându se şi de această dată dimensionarea prin încercări succesive, aşa cum s a arătat la dimensionarea în construcțiile de maşini. Aplicația.. Să se dimensionee din O 5 şurubul conducător al unui strung ce se consideră încastrat la un capăt şi articulat la celălalt, de lungime,5 m, dacă este comprimat de o forță P 65 kn şi se impune un coeficient de siguranță c. Reolvare: f 0,7 0,750 875 mm. Din relația (.6), pentru 6P f c π E I πd 6, se obține: 6 650 875 π 0 0 d nec 7,mm Se adoptă şurubul cu filet trape Tr 6 x 8 cu dimensiunile: d7 mm, d6 mm. Cu dimensiunile adoptate reultă: Imin πd d 9,5mm ; A 6 d imin lf 875 λ 9,59, deci λ < λ < λ0 i 9,5 min

Şurubul preintă pericol de flambaj în domeniul elasto plastic şi trebuie verificat. a b λ 577,7 λ,mpa, f P, π 7 c0, P 650 f c,69 < deci şurubul nu reistă. Se măresc dimensiunile adoptându se Tr 8x8 cu d 9 mm şi d 8 mm. Se verifică pentru aceste dimensiuni obținându se: d f imin 9,75mm, λ 89, 7 ; i min a bλ 577,789,7,MPa ; f P, 9 c0. P 650 c f, > Se adoptă şurub Tr 8x8. Aplicația.. Să se verifice bara comprimată din figura.5 ce este solidariată cu plăcuțe dispuse la distanța de 0,7 m. Reolvare: Caracteristicile geometrice ale unui profil cornier 00 x 00 x 0 sunt : Iul 80 cm ;Ivl 7,9 cm, A 9, cm, e,8 cm, iul,8 cm, ivl,97 cm (din anexa 7). Fig..5 Momentele de inerție față de axele centrale principale de inerție sunt: u Iu 80 560 cm ; I I deci: i i v [ ( ) ] a Iv + + e A cm 79. + 0, + 8, 9, 9,. i,8 cm ; min u i,97 cm ; v 80 f 0cm 70 cm ; ;

f 0 λ 09,7 ; i,8 min Întrucât bara este confecționată din două profile solidariate cu plăcuțe la distanța de 0,7 m este necesar să se aibă în vedere şi flambajul local al unui profil dintre două plăcuțe de solidariare. În acest ca coeficientul de veltețe al unui profil va fi: 70 λ 5,5 < 0. i,97 Întrucât în STAS 008/0 78 este preciată condiția ca λ < 0pentru ca un profil să nu flambee, se poate concluiona că în acest ca nu apare pericolul de flambaj local. Calculul la flambaj se va face în acest ca numai pentru întreaga bară. Pentru secțiunea barei din figură, din anexele.a şi.b reultă următoarea formulă pentru coeficientul ϕ: 585 ϕ 0,7506 + λ 585 0,7506 + 09,7 585 0,7506 + λ 585 0,7506 + 09,7 Înlocuind în formula (.8) se obține: 70 λ 70 09,7 P 0 0 f 0,65MPa, ϕ A 0,88 9, 0 0,88. valoare ce este mult sub valoarea reistenței de calcul (R0 MPa conform anexei.a), se afirmă: bara este supradimensionată pentru P 0 kn şi se calculeaă sarcina capabilă: Pcap A ϕr 9, 0 0,88 0 0, kn Se adoptă: Pcap 00 kn...6. Întrebări test. Definiți raa de inerție.. Ce se înțelege prin lungime de flambaj?. Ce este flambajul? Este flambajul o solicitarea?. a ce solicitare apare fenomenul de instabilitate? Dați câteva exemple. 5. Prin ce se caracterieaă flambajul? 6. Ce este forța critică de flambaj? 7. Ce este coeficientul de siguranță la flambaj? Ce valori are şi de cine este influențat?

8. Ce este lungimea de flambaj? 9. Ce metode cunoaşteți pentru calculul forței critice de flambaj? 0. Scrieți şi comentați relația lui Euler.. Care sunt valorile lungimilor de flambaj pentru barele confecționate din lemn?. Ce este coeficientul de veltețe?. Ce este flambajul elastic? Dar cel plastic?. Care sunt etapele de calcul în caul problemelor de dimensionare la flambaj? 5. Cum se face verificarea unei bare la flambaj? 6. Cum se calculeaă forța capabilă a unei bare la flambaj? Dar forța critică de flambaj?.7. Probleme propuse. Să se dimensionee o bară dreaptă de secțiune pătrată, încastrată la un capăt şi articulată la celălalt, lungă de m şi solicitată la compresiune de o sarcină P 00 kn, ştiind că materialul din care este confecționată bara este O 7 şi se impune un coeficient de siguranță c0.. Să se verifice bara comprimată din figura.6 ştiind că este confecționată din O 7 şi se impune un coeficient de siguranță c0.. a ce diferență de temperatură flambeaă bara din figura.7, confecționată din oțel cu: E 0 GPa şi α x 0 6 grad? Fig..6 Fig..7. Să se verifice la flambaj o bară confecționată din O7 de lungime m şi diametru d 00 mm, încărcată cu o sarcină P 500 kn, dacă este încastrată la ambele capete. (c0, f 0, λ [MPa], λ0 05 şi λ 60). 5. Să se determine sarcina critică de flambaj ce poate să o suporte o bară de lemn (E 0 GPa) cu secțiunea dreptunghiulară 80 x 0 [mm ] solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime m şi este încastrată la ambele capete. (ptr lemn λ0 80 şi λ 0). 6. Să se verifice bara comprimată din figura.8 confecționată din patru corniere 0x0x5 asamblate prin sudură.

Fig..8 Fig..9 7. Să se verifice la flambaj bara confecționată din țeavă de oțel O 7, ştiind că are dimensiunile şi încărcările preentate în figura.9 8. Să se dimensionee biela din figura.0 confecționată din oțel O 5, dacă se impune un coeficient de siguranță c0 6. Fig..0 9. Să se dimensionee bara comprimată din figura. confecționată din oțel O7, dacă se impune un coeficient de siguranță c0,5. Fig.. 0. Să se determine sarcina capabilă să o suporte bara din figura., în condiții de eficiență economică. De asemenea, să se determine distanța dintre ăbreluțele de rigidiare. Fig.. 5

. Să se dimensionee bara din figura., ştiind că este confecționată din O7 şi se impune un coeficient de siguranță c0. Fig.. 6

. TESTE PENTRU VERIFICAREA CUNOŞTINȚEOR Testul nr.. Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de siguranță.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se dimensionee bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din oțel O 7, dacă se impune un coeficient de siguranță c0,5. (ptr. O 7, E0 GPa, λ60, [ ] λ005, 0,λ MPa ). f. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: c 8(0 + 0, n) MPa, 0(0 + 0, n) MPa, 0 (0 + 0, n) MPa, este solicitat de un moment de încovoiere într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,6. Se cere să se determine: a) reistența la oboseală a materialului R; b) reistența la oboseală a piesei Rp, dacă k G, 5 ; c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță c,5. 7

Testul nr.. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Soderberg).. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se dimensionee bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din oțel O 7, dacă se impune un coeficient de siguranță c0,5. (ptr. O 7, E0 GPa, λ60, λ005, 0,λ [ MPa] ). f. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: 0(0 + 0, n) MPa τ (0 + 0, n) MPa, τ + τ 6(0 + 0, n) MPa 0 este solicitat de un moment de torsiune într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este Rτ 0,. Se cere să se determine: k G,5 ; τ a) reistența la oboseală a materialului τr; b) reistența la oboseală a piesei τrp, dacă a) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ,. 8

Testul nr.. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Serensen).. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se dimensionee o bară dreaptă de secțiune circulară, încastrat la ambele capete, lungă de (000 + 0n) mm şi solicitată la compresiune de o sarcină P 0 (0+n) kn, ştiind că materialul din care este confecționată bara este O 7 şi se impune un coeficient de siguranță c0. (ptr. O 7, E0 GPa, λ60, λ005, 0,λ [ MPa]). f. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: 5(0 + 0, n) MPa, 7 (0 + 0, n) MPa, + 0(0 + 0, 0 n) MPa, este solicitat de un moment de încovoiere într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,. Se cere să se determine: k G ; a) reistența la oboseală a materialului R; b) reistența la oboseală a piesei Rp, dacă c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță c,7. 9

Testul nr.. Demonstrați expresia coeficientului de siguranță la oboseală (metoda Soderberg).. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară de lemn (E 0 GPa) cu secțiunea dreptunghiulară b x h [mm ] (b[8 (0+n)] şi h[ (0+n)]), solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime (000 + 0n) mm şi este încastrată la ambele capete, dacă se impune un coeficient de siguranță c0. (ptr. lemn λ 0, λ0 80, 8,7 0,9λ [ MPa]). f. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: τ 8(0 + 0, n) MPa τ 0(0 + 0, n) MPa, C 0 τ (0 + 0, n) MPa este solicitat de un moment de torsiune într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este Rτ 0,8. Se cere să se determine: a) reistența la oboseală a materialului τr; b) reistența la oboseală a piesei τrp, dacă k G ; τ c) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ. 0

Testul nr. 5. Demonstrați relația lui Euler.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se verifice bara comprimată din figura de mai jos, ştiind că este confecționată din O 7 şi se impune un coeficient de siguranță c0. (ptr. O 7, E0 GPa, λ60, λ005, 0,λ MPa ). f [ ]. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: τ 0(0 + 0, n) MPa, τ 5(0 + 0, n) MPa, c τ 0 0(0 + 0, n) MPa, este solicitat de un moment de încovoiere într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este Rτ 0,5. Se cere să se determine: k G,7 ; τ a) reistența la oboseală a materialului τr; b) reistența la oboseală a piesei τrp, dacă c) momentul de torsiune maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ,8.

Testul nr. 6. Întindere compresiune cu şoc.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se dimensionee o bară dreaptă de secțiune inelară (d0,8d), încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, lungă de (500 + 0n) mm şi solicitată la compresiune de o sarcină P 0 (0+n) kn, ştiind că materialul din care este confecționată bara este O 5 şi se impune un coeficient de siguranță c0. (ptr. O 5, E0 GPa, λ60, λ005, 577,7λ [ MPa]). f. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: (0 + 0, n) MPa 0(0 + 0, n) MPa, + 6(0 + 0, n) MPa 0 este solicitat de un moment de torsiune într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,. Se cere să se determine: k G,5 ; a) reistența la oboseală a materialului R; b) reistența la oboseală a piesei Rp, dacă c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță cτ,7

Testul nr. 7. Încovoiere cu şoc.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se dimensionee bara comprimată din figura de mai jos, confecționată din oțel O 7, dacă se impune un coeficient de siguranță c0. (ptr. O 7, E0 GPa, λ60, λ005, 0,λ MPa ). f [ ]. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: 0(0 + 0, n) MPa, τ 7 (0 + 0, n) MPa, τ + τ 5(0 + 0, 0 n) MPa, este solicitat de un moment de încovoiere într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,. Se cere să se determine: k G ; τ a) reistența la oboseală a materialului τr; b) reistența la oboseală a piesei τrp, dacă c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță c,.

Testul nr. 8. Răsucire cu şoc.. Să se ridice nedeterminarea şi să se trasee diagramele de eforturi pentru bara din figura de mai jos.. Să se determine sarcina capabilă să o suporte o bară confecționată din oțel cornier cu laturi egale 70x70x7 solicitată la compresiune, dacă bara are o lungime (00 + n) mm şi este încastrată la un capăt şi liberă la celălalt.. Arborele a cărui secțiune este preentată în figura alăturată, confecționat din oțel cu: 5(0 + 0, n) MPa, 8(0 + 0, n) MPa, + 0(0 + 0, 0 n) MPa, este solicitat de un moment de încovoiere într un ciclu al cărui coeficient de asimetrie este R 0,7. Se cere să se determine: k G ; a) reistența la oboseală a materialului R; b) reistența la oboseală a piesei Rp, dacă c) momentul de încovoiere maxim şi minim, dacă se impune un coeficient de siguranță c,8.

Anexa Tabelul Reistențe admisibile Pentru unele materiale folosite în construcția de maşini Materialul Grupa Simbol STAS Caracteristici mecanice r MPa c MPa A n % Reistențe admisibile I statică la tracțiune [MPa] II pulsantă III alternant simrtică Compr. ac at Celelalte reistențe admisibile Încov. ai at Răsucire τat 5 6 7 8 9 0 Oțel carbon Oțel corbon de calit. Oțel aliat O 7 O O 5 O 60 OlC 0 x OC5 xx 500/ 80 OC5 xx 880 80 8MC0 MoC CN5 79 80 70 50 0 500 500 60 min.700 0 500 660 880 880 0 0 0 0 60 70 90 0 60 50 0 00 75 690 90 5 7 9 0 9 7 0 0 0 50 0 60 50 80 0 50 0 70 0 70 00 60 00 80 00 80 80 60 0 0 0 0 5 60 60 00 0 70 0 50 70 0 0 0 0 80 80 80 70 00 80 0 90 0 0 50 80 0 85 5 0 60 50 0 80 0 90 60,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, at 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 0,6 0,65 Forfec. τ af at 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 5

Anexa Tabelul (continuare) 5 6 7 8 9 0 Oțel turnat în piese OT 0 OT 50 600 7 00 500 00 80 8 00 0 0 80 80 0 00 0 50 75 70 95,,,, 0,6 0,65 0,6 0,65 0,8 0,8 Fonte grafit lamelar Fc00 Fc00 568 8 0 0 60 80 90 0 50 70 70 90 0 5 5 60,5,5., Fonte grafit lmodul. Fgn5 5 Fgn60 607 75 50 600 0 00 5 50 00 00 60 00 0 0 70 75 00 90 0,5,5,0, **,0, ** Aliaje nefer.de turnare BT AmT67 ATMgSi 97 80 99/ 80 0 77 00 80 0 6 0 0 60 0 60 0 75 0 50 0 50 0 55 0 0 0 5 0 5,0,0,0,0,0,, 0,7 0,7 0,7 Observație: x călire şi revenire joasă; xx îmbunătățit; * pentru probe cu diametrul de 0 mm.piese cu crustă de turnare; **, la solicitare I ;, la solicitare II ;, la solicitare III. 6

Anexa a Tabelul Reistențe de calcul la starea limită în MPa N/mm (Stas 008 78) I. aminate din oțel Marca oțelului imita de curgere minimă csaur 0, γ R m Reistența de calcul ptr. întindere, compresiune şi încovoiere t <6 mm 6 < t < 0 mm t <6 mm 6 < t < 0 mm O 0 00,0 90 80 OT 5 0 0,0 0 00 O 7, RCA 7 0 0,0 0 0 OT 5 60 50,0 0 0 O 80 70, 60 50 OCS 65 55, 60 50 O 5 50 0,5 5 00 RCA 5, RCS 5 55 5,5 5 00 OCS 5 55 5,5 5 00 OCS 55 0 0,0 60 0 OCS 58 60 50,0 90 70 Valoarea limitei de curgere, respectiv a reistenței de calcul (pentru grosimi t>0) se obțin din relațiile urnătoare: R c R cm R s; R c γ în care: R este media aritmetică a limitei de curgere; cm s abaterea medie pătratică standard; γ coeficientul din tabelul de mai sus. m m, II. Piese din oțel carbon şi de calitate turnate sau forjate sau din fontă turnată Solicitarea Întindere din încovoiere Compresiune din incov. sau din forță axială Simbol Coef. γ m OT0 OT50 OC5 Față de R i Fc50 Fc0 0 R i 5 60 R,0 50 0 0 R 60 80 Forfecare R f 0,6 90 0 0 0,6 5 5 Presiune locală R,0 600 80 80,5 550 650 Presiune diametrală R d 0,0 6 8 8 7

III. Profile şi table laminate Anexa a Tabelul (continuare) Solicitarea Simbol Coef. γ m OT5 O7, RCA7 OT5 O, OCS O5, OCS5, RCA5, RCB5 OCS55 OCS58 8 Întindere, compresiune, încovoiere R,0 00 00 0 50 00 0 70 Forfecare R f 0,6 0 0 0 50 80 0 0 Presiune locală de contact Presiune pe plan diametral Întindere, compresiune, încovoiere R 0, 800 80 90 000 00 60 500 R d 0,0 8 8, 9, 0,6 5 Reistențe de calcul pentru profile ş table cu grosimi t 6mm R,0 0 0 0 60 5 60 90 Forfecare R f 0,6 5 0 5 55 90 5 5 Întindere, compresiune, încovoiere Întindere, suduri necontrolate Compresiune s R i s R i R c s Reistențe de calcul pentru cordoane de sudură,0 00 0 0 50 00 0 70 0,8 60 70 80 00 0 80 00,0 00 0 0 50 00 0 70 Forfecare R f 0,6 0 0 0 50 80 0 0 Forfecare R f 0,7 0 50 60 70 0 0 60 Reistențe de calcul pentru cordoane de sudură la profile laminate cu grosimi Întindere, suduri controlate Întindere, suduri necontrolate Compresiune s R i s R i R c s t 6mm,0 0 0 0 60 5 60 90 0,8 70 75 90 0 50 900 0,0 0 0 0 60 5 60 90 Forfecare R f 0,6 5 0 5 55 90 5 5 Observație: Sudură cap la cap; Sudură de colț.

Anexa Valorile caracteristicilor E, G, ν şi α Material E [ GPa ] G [ GPa ] ν α 0 6 [ C ] Oțel carbon 00 5 78 85 0,6 0,9 Oțel aliat 90 0 8 8 0,5 0, Oțel turnat nerecopt 75 85 80 85 Oțel inoxidabil 90 00 66 75 0,5 0, 5 8 Fontă cenuşie şi albă 75 60 5 0, 0,7 0 Fontă perlitică maleabilă 60 85 68 80 0 Aluminiu 69 70 6 0, 0, Duraluminiu (Al Cu Mg) 69 75 7 8 0, 0, Aliaje de A cu siliiciu 76 0 0,7 8 Aliaje de A cu magne. 5 6 8 0,5 6 Cupru laminat la rece 0 0 9 0, 0, 6 7 Alamă 90 0 5 9 0. 0, 8 0 Bron 90 0 0, 0,5 8 Plumb 7 7 0, 0,5 9 emn de brad în lungul fibrelor 9,5 6 5 6 emn de stejar în lungul fibrelor,5 6,5 5 emn perpendicular pe fibre,5 6,5 Beton cu r 0 0 MPa 5 7 0,6 0,8 9 Beton armat comprimat 8 0,8 0, 0 Beton armat încovoiat 0 0,8 0, 0 Zidărie de cărămidă,5 Piatră de calcar, granit 9 Sticlă 5 00 0, 0,7 8 Celuloid,,7 0,6 0,8 0,5 0,5 6 7 Răşini epoxidice,5 0 60 Bachelit 6 0,7 0,5 0,8 Polistiren 5 0 Polietilenă,5 70 Pertinax,5 Textolit fibre 6 0, Cauciuc 0, 0,6 0,00 Observa:ie: 0,00 a fontă E şi G scad odată cu creşterea solicitări. 0,5 9

Coeficienți de sigurană la solicitarea monoaxială şi temperatură normală Anexa Solicitarea Coeficientul de siguranță faşă de : Cedarea materialului prin: Modul Felul Deformare Rupere Oboseală Flambaj Deformare tenace c 0,, Întindere Rupere tenace Rupere fragilă Statică Variabilă periodică Compresiune Cicluri simetrice Cicluri pulsante la întindere Cicluri pulsante la compresiune Deformare tenace Flambaj Rupere tenace Rupere fragilă Oboseală Flambaj Deformare tenace Oboseală tenace Rupere fragilă Oboseală fragilă Deformare tenace Oboseală tenace Rupere fragilă Oboseală fragilă Flambaj r r, c sau 0 sau c 0, r r t f ot r ot sau c 0, sau c 0, ot r ot f,,,. 5 5 5 5 5 Observație: După Wellinger Dietmann, Festigkeitsberechnung, Alfred KrönermVerlag; Față de sarcina critică de flambaj elastic. 0

MÃRIMI GEOMETRICE Anexa SECȚIUNEA Axele principale: şi Axele centrale: şi y. Dreptunghi înclinat ARIA A DISTANȚE MAXIME pânã la punctele extreme de la axele principale MOMENTE DE INERȚIE PRINCIPAE fațã de axele inițiale alese MODUE DE REZISTENȚÃ I I y W, Wy y max max RAZE DE INERȚIE i I / A, i I / A 5 A bh y h b cosα+ sin α h b sinα+ cosα I A h + b h b + I A h + b h b y + Pentru: α 0 I I, I I o y cosα sin α h b h b i + + i h + b h b + cosα cosα. Dreptunghi cu gol simetric Ah(B b) B max h y max B b Iy I h B b Iy I h i i W B b 6B W B b 6B h h B + Bb + b h

. Pătrat cu gol simetric. Secțiuni compuse simetrice 5. Secțiuni compuse simetrice 5 A H h A(BH bh) ABH+bh u H y H v y H B B H b h ( BH bh) H, y B ( ) ( BH + bh ) b h+ B H B+ b I H I I I I y u v h B H b h I I B H b h Iy I ( ) ( ) B H h + B b h I y B I y I I y B H + I I I I y y y b b h B H + b h I B ( H h) + ( B + b) h I ( B + b) H b ( H h) I B h + b h I + B b + BH b + bh W W W W W y y y y Anexa (continuare) W W H h y 6H W W H h u v 6H i i i i i y y v H + h W B H b h 6H B H b h Wy 6B I y Wy BH b h BH bh BH + bh 6H ( ) ( ) + ( + ) 6( B+ b) ( B+ b) H b( H h) ( ) I B H h B b h y 6 B+ b

6. Secțiune dublu T 7. Secțiune Z 8. Cornier 5 A(Bt+bt+gt) A(BH bh) A(BH bh) y y ( ) + gh t + h + gh) ( ) Bt + bt H t + ( Bt + bt + e e ' e y H y H B g cosα+ sinα H h B g sinα+ cosα H H g sinα+ cosα H BH bh ( BH bh) BH bh y ( BH bh) B, y H y e y cosα+ sin α ( ) e cosα y t sin α I I I I I I y Bt + bt+ gh ( )( ) By B g y t ( )( ) by b g y t + α y y BH bh g h + B t Bt + Bt ( B g)( H t), I ( B g) I + I I I ± y y I y arctg I I y ( ) + + I By b y t + gy I H h( g) + t I y BH I y ( B )( H y ) bh ( b )( h y ) I y α arctg I I y y Anexa (continuare) W W i i y W i i y Bt + bt+ gh 6B I I, W y y Bt + bt + gh I A ( Bt + bt + gh) I W I, e e I, i A BH bh BH bh W W ( ) I e max I e max I A

9. Triunghi 5 y h A bh y h I Anexa (continuare) W bh bh bh W 6 h I 8 0. Romb A bh y b h I I y bh I 8 bh I 8 W bh W bh, y i h b, i y 8 8. Trape A B b h y y B+ b h B+ b b+ B B + Bb+ b h I B+ b 6 Pentru trape isoscel h I B + y B b + Bb + b 8 ( ) W ( ) i I W I, y y h + + 6 B+ b ( B Bb b )

. Coroana circularã (k d/d). Sector inelar. Segment de cerc 5 π ( ) Inel subțire A D k A π( D t) t D d t A ( R r ) ϕ Sector de inel subțire A tr m ϕ A ϕ sinϕ R D y D d t sinϕ R r 0 ϕ R r 0 rcosϕ R 0 sin ϕ 0 Rm ϕ y R sin ϕ m Rsinϕ R sin ϕ y o ϕ sinϕ y R yo y y Rcosϕ o I I I I πd 6 I y ( k ) πt Iy D d 6 ( ) R r I ( ϕ sin ϕ) 8 R r sin I y ϕ sin ϕ 8 9ϕ R r tsin ϕ 9( R+ r) ϕ tr m I ( ϕ sin ϕ) tr m I y ϕ+ sin ϕ sin ϕ ϕ ϕ AR I y I sin ϕcos ϕ W ϕ sin ϕ AR I I + sin ϕcosϕ ( ϕ sinϕ sin ϕ ) 9ϕ sinϕ Anexa (continuare) W i πd Wy i y D + d ( k ) ( ) D t W Wy πt D D+ t i iy W R r 8R W I y I, Wy ( ) i R r i y y i y I y A ϕ sin ϕ sinϕ y ϕ sinϕ 8ϕ I y W I I,, W y y y R sin ϕcosϕ ϕ sinϕ i I A 5

5. Semicoroanã circularã 5 A D d π 8 y y D d π D d D y D D d Iy I 8 D d I I 8 Dd D d 8π D + d π 6 π 9π Anexa (continuare) πd Wy ( k ) 6 W I I, W y y i y D + d, i I A 6. Coroanã elipticã ( A ab a b π yb π Iy I a b ab ( ) W y π a ab ( ab ) a π I I ab ab ( ) W π b ab ( ab ) 7. Hexagon regulat A 5, R y R R 5 I Iy I I R 6 W W R i i R y 5 8 y 5 6 R 5 6

PRESIUNEA MAXIMĂ DE CONTACT Anexa 5. Schema corpurilor în contact A B Pmax d + d d + d dd dd 06, + PE d d dd. d d dd d + d dd 06, PE d d dd. d d 06, PE d. d + α d d PE d 5. d d d α PE d d dd Anexa 5 7

6. (continuare) d d + α d d PE d d dd 7. d d + α d d PE d d dd 8. d d α PE d 9. + 059, d d PE d + d dd 0. d 059, P E d 8

EEMENTE GEOMETRICE A RĂSUCIRE Anexa 6 Forma secțiunii transversale. Coroană circulară de reistențã Wt [cm ] Caractersticile geometrice de rigiditate It [cm ] ocul unde este τmax πd d Wt D d 6 D I t D π pe conturul exterior. Segment de cerc 8, W D H t, 9 D I t 7, D H D 5, A D pentru < < 8 H. Cerc fãrã segment W D 6, H D t 8 0, H+ 07, D I t D 6 6, H D A. Cerc scobit 5. Dreptunghi b<h r/ R Wt αr I R t β 0 0,05 0, 0, 0, 0,6 0,8,0,5 α,57 0,89 0,8 0,8 0,76 0,66 0,5 0,8 0, β,57,56,56,6, 0,9 0,6 0,8 0,07 A W k b h t A It k b h τ k τ B A h/b,5,5,75,0,5 5 6 8 0 k 0,08 0, 0, 0,9 0,6 0,58 0,67 0,8 0,9 0,99 0,07 0, 0, k 0, 0,7 0,96 0, 0,9 0,9 0,6 0,8 0,9 0,99 0,07 0, 0, k,0 0,9 0,859 0,80 0,795 0,766 0,75 0,75 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 Anexa 6 9

6. Triunghi echilateral (continuare) W b h t 0, 99 h It b 80 5, 98 A 7. Hexagon regulat Wt 089, h It 0, 5h A 8. Octogon regulat Wt 0, 85h It 0, 08h A 9. Elipsă πab πnb Wt a unde: n b 0. Coroanã elipticã ( ). Profil subțire deschis W c nb t a b unde c a b a n b I t πab a + b :, ( I π c ) W h i t > b i t πnb n + bh i i b max I b h t i i nb n + A A la mijlocul dreptunghi ului cu bmax. Arc de grosime t constantã W st t I s lungimea arcului t st la mijlocul laturii. Profil subțire închis Wt Ωt min Ωaria închisã de fibra medie s Ω Ω I t ds si t t i s este lungimea fibrei medii în dreptul lui tmin 50

OȚE CORNIER CU ARIPI EGAE (STAS 80) Anexa 7 i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) I momente de inerție, W module de reistență, Dimensiunile secțiunii Aria secțiunii Masa liniară r r Distanța axelor [cm] Mărimile statice pentru axele de încovoiere x x şi y y u u v v a*a*g, [mm] [cm ] [kg/m] [mm] [mm] e u v v Ix Iy [cm ] Wx Wy [cm ] 0*0*,5,,5,0 0,6, 0,90 0,7 0, 0,6 0,58 0,77 0,7 0, 0, 0,8 0*0*,7,78 5,5 0,88,,,05,8 0,85 0,89,85, 0,75 0,6 0,58 0*0*,08, 6,,8,58,0,7,55, 7,09,5,85,7 0,78 0*0*5,79,97 6,6,8,6, 5,,9,0 8,60,5,6,7 0,77 50*50*5,80,77 7,5,0,5,98,76,0,05,5 7,,90,5,59 0,97 50*50*6 5,09,7 7,55,5,5,0,77,8,6,50 0,,89 5,,6 0,97 60*90*6 6,9 5, 8,69,,9,,8 5,9,8 6,,9 9,,95,7 60*60*8 9,6 7,0 8,77,,50, 9, 6,89,80 6,,6,,86,6 70*70*7 9,0 7,8 9,5,97,95,79,7, 8,, 67,,67 7,5 6,7,6 80*80*8,0 9,6 0 5,6 5,66,9,8 7,,6, 5,06 9,8 9,6,55 00*00*0 9, 5,0 6,8 7,07,99,5 77,6,0 80,8 7,9 8,,95 0*0*0, 8, 6,5, 8,9,69, 6,0,67 97,6 9 7,5,6 0*0* 7,6 9, 5 7,5,98 9,90 5,6 5,07 689 68,8,0 09 5, 8 50,5,7 50*50*6 5,7 5,9 6 8,9 0,6 6,07 5, 99 88,7,56 50 5,7 9 6,,9 60*60*,,0 7 8,5,7, 6,0 5,77 06 90,8,9 66 6,0 68,,6 60*60*6 9, 8,5 7 8,5,55, 6, 5,79 75 0,89 866 6,7 85 75,, ix iy [cm] Iu [cm ] OBSERVAȚIE Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baa densității de 7,85 kg/dm. iu [cm] Iv [cm ] Wv [cm ] iv [cm] 5

Anexa 8 OȚE CORNIER CU ARIPI INEGAE (STAS 5 80) I momente de inerție, W module de reistență, i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) Dimensiunile secțiunii a*b*g Aria secțiuni Masa liniară r r Mărimile statice pentru axele de încovoiere Unghiul Distanța axelor de [cm] x x y y u u v v înclinare a axelor ex ey v v u u u Ix Wx ix Iy Wy iy Iu iu Iv iv [mm] [cm ] [kg/m] [mm] [mm] tg(ϕ) [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm] [cm ] [cm] 80*65*8,0 8,66 9,7,7 5,59,65,79,9,05 0,65 68,,,9 0, 8,,9 88,0,8 0,,5 00*75*9 5,,8 0 5,5,9 6,9 5,5,,6, 0,59 8,5, 7,0,7,7 8,7 7,8,59 OBSERVAŢIE: -Momentul de inerţie (I), modulul de reistenţă (W), raa de giraţie (i) sunt raportate la axele de încovoiere respective. - Masa este calculată pentru dimensiunile nominale pe baa densităţii de 7,85 kg/dm. 5

ANEXA 9 OȚE I (STAS 565 80) I momente de inerție, W module de reistență, i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) Sibol Dimensiuni [mm] Aria secțiunii Mărimi geometrice inerțiale S Simbol I h b t g R r [cm ] y y I I W i Iy Wy iy [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] 8 80 5,77,9, 7,58 778 9,5,0 6,9,00 0,9, 8 0 00 50 6,6,5,7 0,6 7,,0,,88,07 9,9 0 0 58 7,5 5,,, 8 5,7,8,5 7,,,8 0 66 8,0 5,7, 8, 57 8,9 5,6 6, 0,7,0 7,7 6 60 7 9,8 6,,8,8 95 7 6,0 5,7,8,55 68,0 6 80 8 0,6 6,9, 7,9 50 6 7,0 8, 9,8,7 9, 8 0 00 90,0 7,5,5,5 0 8,00 7 6,0,87 5 0 * 0 98,9 8,,9 9,6 060 78 8,80 6,,0 6 * 0 06,80 8,7 5, 6, 50 5 9,59,7,0 06 6 * 60,77 9, 5,6 5, 570 0, 88 5,0, 57 6 * 8 * 80 9,85 0, 6, 6, 7590 5, 6 6,,5 6 8 * 0 00 5 5,8 0,8 6,5 69, 9800 65,9 5 7,,56 8 0 * 0 6,9,5 6,9 77,8 50 78,7 555 8,7,67 57 * 6 * 60 9,05,0 7,8 97, 960 090, 88,90 68 6 * 0 00 55,0, 8,6 8 90 60 5,7 60 9, 857 0 OBSERVAŢIE: * Aceste profile nu mai sunt prevăute în STAS 565 80 5

ANEXA 0 OȚE U (STAS 56 80) I momente de inerție, W module de reistență, i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) Sibol Dimensiuni [mm] Aria secțiunii Mărimi geometrice inerțiale S ey Simbol U h b t g R r [cm ] y y U I W i Iy Wy iy [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm ] [cm] [cm ] [cm] 5 * 50 8 5 7 5 7, 6, 0,6,9 9,,75, 6,,7 5 6,5 65 5,5 7,8 9,0 57,5 7,7,5, 5,07,5 0,6, 6,5 8 80 5 6 7,76,0,06 6,5, 9, 6,6, 5,9,5 8 0 00 50 6 8,6,5,5 05,,9 9, 8,9,7,5,55 0 0 55 7 8,7,5 7,0 6 60,7,6,,,59 6,,60 0 60 7 9,7 5 0, 605 86, 5,5 6,7,8,75 5,,75 6 60 65 7,5 0,0 5,5,0 95 6 6, 85, 8,,89 68,8,8 6 8 80 70 8 0,68 5,5 8,0 50 50 6,95,,0 89,6,9 8 0 00 75 8,5,6 6, 90 9 7,70 8 7,0,0 0 * 0 80 9, 6,5 7, 690 5 8,5 97,6 0 6, * 0 85 9,5,6 6,5, 600 00 9, 8 9,6, 79, 6 * 60 90 0,60 7 8, 80 7 9,99 7 7,7,56,6 6 * 0 00 00 0 5,60 8 58,8 800 55,7 95 67,8,90 6,70 0 OBSERVAŢIE: * Aceste profile nu mai sunt prevăute în STAS 56 80 5

ANEXA OȚE T (STAS 566 80) I momente de inerție, W module de reistență, i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greutatea e Mărimi geometrice inerțiale Denumirea T ah gtr r r A G y y T [cm ] [N/m] [cm] I [cm ] W [cm ] i [cm] Iy [cm ] Wy [cm ] iy [cm] * 0,5, 0,88 0,58 0,8 0,7 0,58 0,0 0,0 0, *,/ * 5 5,65,9 0,7 0,87 0,9 0,7 0, 0, 0,5,/ * 0,6,77 0,85,7 0,80 0,87 0,87 0,58 0,6 0 5,5,77,96, 5,8,8,8,58,9 0,8 5 50 6,5 5,66,,9,0,6,6 6,06,,0 5 OBSERVAŢIE: * Aceste profile nu mai sunt prevăute în STAS 566 80 55

OŢE Z I momente de inerție, W module de reistență, ANEXA i I raă de inerție A (indicele dă axa în raport cu care s au calculat) Denumirea Dimensiuni [mm] Secțiunea Greutate Mărimi geometrice inerțiale Denumirea a Z h a gt r r A G y y Z [cm ] [N/m] I [cm ] W [cm ] i [cm] Iy [cm ] Wy [cm ] iy [cm] 8 80 65 6,0 6,0,0,0 9,,9 0,98, 9,0 5,7,80 8 0 00 75 6,5 6,5,5 5,5,0 5, 50,9,0 58,0,0,9 0 OBSERVAŢIE: Greutatea teoretică este calculată cu greutatea specifică de 78,5 N/dm. 56

Ecuația liniei elastice, săgeata maximă, rotirea maximă Anexa Nr Încărcarea grinii Ecuația liniei elastice Săgeata maximă Rotirea 0 P x x v x EI, 0 f 6 P, x EI P ϕ A, x EI p x x v x EI + 6, 0 x f P, x 8EI P ϕ A, x 6EI Mx v, 0 x EI f M, x EI M ϕ A, x EI p x x x x v o EI +, 0 0 x f P o, x 0EI p o ϕ A, x EI p x x x 5 v x EI +, 0 f P 6 v x x EI 6, 0 x f 5p, x 8EI p, x 8EI ϕ A p ϕb EI x 0, x ϕ A p ϕb 6EI x 0, x,, 57

0 Pa b ' ' ' x x x v + ' x a 6EI a b a b, 0 7 Pa b '' '' '' x x ( x ) v + '' 0 x b 6EI b a ab, x v a x P; 0 x 6E I 8 ax + ax x v P; 0 x a 6E I 9 0 v v ( ) x a x P; 0 x E I ax + ax x 6E I a a x v + 6 6E I v 6E I ( x) ( x a x ) x+ x v 6EI 7x 0x + x v 60EI P; 0 x a ( ) Pb b b f, 9 EI v p Pa b, x a EI f Pa 0 x 7EI max ; a + f E I apx ; a f P x 8EI max ; a + f ap; x a 6E I xm; 0 x a Dacă a>b f în intervalul a la M; 0 x x M ; 0 x A 5 x a a M 0 f 9 EI pt.,, 7P 0 f ; 0 x 50EI x pt. x / 5 ϕ ϕ A A ϕ ϕ b+ abp, x 6EI a+ abp, x 6EI ϕ ϕ A A ϕ B K ϕ ϕ A K ap ϕa EI a+ ap 6EI ap ϕb EI a + ap EI a + a b b 6EI a a b b 6EI A ϕ ϕ ' '' M ϕb EI A B p 5EI 7 P 0 60EI 0 0 M M A 58

0 ( ) a b x v b xp; 0 x a EI a ( b) x b x x a v E I [ ] ( ) x x v 8EI ; 0 a v Pab a f EI b x a ; 6 b p ab a abp; EI f P ; x 9EI ϕ ϕ ϕ A B A abp EI 0 ϕ 0 B 59

Anexa Tabelul INDICATORU TABEEOR CU COEFICIENTU ϕ Nr. crt.. Tipul profilului a) Tuburi laminate la cald fără sudură. b) Profile dublu T laminate sau sudate din tablă în plan paralel cu inima. Indicatorul coef. ϕ A. a) Chesoane sudate, profile solidariate. b) Profile dublu T sau sudate care flambeaă în plan paralel cu tălpile. B. Profile deschise cu o axă de simetrie a) Flambaj în plan paralel cu axa de simetrie y. C b) Flambaj în plan perpendicular pe axa de simetrie. B 60