-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. γ) Να βρείτε τους µιγαδικούς που έχουν το µέγιστο και το ελάχιστο µέτρο. δ) Να αποδείξετε ότι 4< 4i < 7 ε) Αν οι, ικανοποιούν την () να αποδείξετε ότι α) Έστω, τότε από την () έχουµε ν ν α βi α βi i = i = β αi β αi ν i = i = = =, όµως για α βi = α β β α i= α= β, άτοπο από υπόθεση. β αi = η () γράφεται β) Από την () έχουµε i = i i = i i = i =, άρα οι εικόνες του στο µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου µε κέντρο το K(, ) και ακτίνα ρ =. γ) Είναι =, όταν = i και =, όταν = µεγ ελ y Ο K δ) Το 4i = ( 4i) και παριστάνει την απόσταση των εικόνων y Μ() των µιγαδικών αριθµών από το σηµείο A, ( 4. ) Αν Β, Γ είναι τα σηµεία τοµής της ευθείας ΑΚ µε τον κύκλο, τότε έχουµε : ( AB) ( AM) ( ΑΓ), όµως ΑΚ = 5 = 4 και Μ(Ζ) Γ Ο K Β ( ΑΒ) = ( ΑΚ) ρ = 4, ΑΓ = ΑΚ ρ = 4, εποµένως 4 4i 4, όµως 4 < 7 και 4< 4, άρα 4< 4i < 7 y A(, 4) ε) Οι εικόνες, Ε των, είναι σηµεία του κύκλου i =, άρα = Ε ρ = ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ ο ίνονται οι µη µηδενικοί µιγαδικοί αριθµοί,, µε = = = ρ και R = R = R = Να αποδείξετε ότι: α) = β) Το τρίγωνο µε κορυφές τις εικόνες των,, είναι ισόπλευρο. α) Έχουµε = R = = = ρ (). Οµοίως έχουµε ρ = () και ρ = () Είναι = = ( )( ) = ( )( ) = = = ρ ρ ρ ρ ρ ρ =, αληθές. Άρα =. β) Αρκεί να δείξουµε ότι = =. Επειδή = διαδοχικά έχουµε: = = = = 4 = 4 = =, αληθές. Άρα =. Οµοίως δείχνουµε ότι =, οπότε = =. Άρα το τρίγωνο που ορίζουν οι εικόνες των,, είναι ισόπλευρο. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ ο ίνεται η εξίσωση ) Να βρείτε τους αριθµούς α, β. ) Να αποδείξετε ότι ο αριθµός α β =,, α,β και,, είναι οι ρίζες της µε = i είναι πραγµατικός. 8 8 ) Έστω A( ), B( ), ( ) µιγαδικό επίπεδο µε ( 7 i) Γ οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών,, αντίστοιχα στο =, τότε: 5 α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. β) Αν w- = w-, να αποδείξετε ότι w. γ) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των µιγαδικών αριθµών w, που επαληθεύουν την εξίσωση w- w- =, βρίσκονται σε έλλειψη. ) Έχουµε την εξίσωση α β = (), α,β. Αφού = i ρίζα της () τότε ρίζα της θα είναι και η = = i, οπότε από τις σχέσεις Via α έχουµε : = ( i) ( i) = α α= 4 β = ( i)( i) = β = β β= 5 ) Έστω u = 8 8 = 8 ( ) 8 8 8 8 = 8 = 8 8 u = = u Έχουµε u = u u u = i Im( u) = Im( u) = u ) α) Είναι = ( 7 i) = ( 7 i) i 5 i 5 i 4 4i = ( 7 i) = ( 7 i) = 5 5 5 4i 7 i 5i = = = 4 i 5 5 Οι εικόνες των µιγαδικών,, στο µιγαδικό επίπεδο αντίστοιχα είναι A(, ), B, Γ( 4, ). Έχουµε : ( AB) = = i i = i = i = ΒΓ = = 4 i i = i = = 8 = ( ΑΓ) = = i4 i = = Παρατηρούµε ότι AB = ΑΓ. Επίσης ΑΒ = = 4, ΑΓ = = 4, ΒΓ = ΑΒ ΑΓ, άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΒΓ = 8, δηλαδή και ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc β) w = w w = w w = w = w = w () (εξίσωση µεσοκαθέτου) Έστω: w = yi,, y, M(,y ) η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο τότε η () γίνεται: yi i yi i = y i = y i ( ) ( y ) = ( ) ( y ) ( ) y =. Άρα w. γ) w w = w w = w w = = 5= α () Παρατηρούµε ότι = = γ Έχουµε γ < α άρα η () είναι εξίσωση έλλειψης. ΘΕΜΑ 4 ο Έστω µια παραγωγίσιµη συνάρτηση y y = ( ) = w w = y y : µε ( ) = και ο µιγαδικός αριθµός. Αν -8-6 7-9 ισχύει ( ) i i = i - -i για κάθε, τότε : α) Να αποδείξετε ότι ( ) =, και - = β) Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του στο µιγαδικό επίπεδο. γ) Σε ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων δίνονται η γραφική παράσταση της και το ορθογώνιο µε κορυφές O,, A κ,, Βκ, ( κ ) και Γ,κ, κ >. Να βρείτε την τιµή του κ ώστε η γραφική παράσταση της να διαιρεί το ορθογώνιο ΟΑΒΓ σε δύο ισεµβαδικά χωρία. = () 8 6 7 9 α) ( ) i i i i = = = = =, i i 8 i 8 4 5 5 4 ( i ) = = = = i i i 6 i 6 4 5 7 4 5 i i i i i i = = = =, () ( ) = i i i 9 Για κάθε έχουµε i = = = = =i 9 4 5 i i i i i= i = και = = =, άρα υπάρχει σταθερά c, ώστε ( ) = c,. Για = έχουµε ( ) = c= c=, άρα =,. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -4-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc β) = ( ) = = () Έστω = yi,, y και M(,y ) η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο, τότε η () γράφεται: yi = yi yi = yi y = y 4 y = y 4 8 4 4y y = y = y = () Η εξίσωση () είναι της µορφής y A By Γ = µε Α =, Β = και Γ =. Παρατηρούµε ότι 64 Α Β 4Γ = 4 = 4= >. 9 9 Άρα η () είναι εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Α Β Κ, δηλαδή 5 Κ, και ακτίνα Α Β 4Γ 4 ρ = =. Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του είναι γ) ο κύκλος µε κέντρο 5 Κ, και ακτίνα 4 ρ = y C Γ(,κ ) Β(κ, κ ) Ω Ο Α(κ, ) y Αν Ω το χωρίο που περικλείεται από την = και = κ, τότε το εµβαδόν είναι : κ κ κ = = > = ( ) E Ω d d d C τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = = άρα πρέπει: Το εµβαδόν E του ορθογωνίου ΟΑΒΓ είναι E β υ κ ( κ ) κ E Ω E d κ κ = ( ) = ( ) κ( κ ) κ = κ > κ κ κ κ = κ = κ κ = άρα κ = ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -5-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ 5 ο ίνεται συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο µε ( ) > και ο µιγαδικός αριθµός ( ) 4 = i α) ( ) ( ) ( ) = 8 β) R( ) = γ) ( ) < <, για τον οποίο ισχύει ότι δ) η αντιστρέφεται και ισχύει < < = i. Να αποδείξετε ότι α) Είναι < < και γνησίως αύξουσα στο, εποµένως ( ) < ( ) <, όµως ( ) >, άρα () > ( ) > (). Επίσης έχουµε ( ) 4 = ( i ) = i ( i ) = () ( ) ( ) 6 = i 4 () () 4 Όµως είναι πραγµατικός αριθµός, άρα () β) Έχουµε ( ) = 8 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) =8 () 4 ( ) 6 = 4 τη σχέση (), προκύπτει ότι () 8 µε αντικατάσταση του () = σύµφωνα µε ( ) ( ) 6 = =( ) ( ) =R( ). 4 8 γ) Από τις σχέσεις () και () προκύπτει ότι, αν οι τιµές ( ), ( ), είναι µικρότερες του τότε το γινόµενό τους θα είναι µικρότερο του 8. Άτοπο γιατί το γινόµενό τους είναι ίσο µε 8. Άρα θα υπάρχει κάποια τιµή από τις τρεις µεγαλύτερη του και αυτή είναι η (). Αν οι παραπάνω τιµές είναι µεγαλύτερες του τότε το γινόµενό τους θα είναι µεγαλύτερο του 8. Άτοπο, άρα θα υπάρχει κάποια τιµή από τις τρεις µικρότερη του και αυτή είναι η ( ). Εποµένως ισχύει ( ) < <. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -6-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc δ) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και, οπότε αντιστρέφεται. Θέλουµε Θέµα 6 o < < < < < < ( ) ( ) < < που είναι αληθές γιατί ( ) ( ) ( ) < < < < > >. Εποµένως ισχύει και η αρχική. Α) Έστω w τέτοιος, ώστε αw βw γ =, όπου α,β, γ µε α β. Να αποδείξετε ότι: i ) αw βw γ = i i ) w Β) Αν ο µιγαδικός αριθµός επαληθεύει τη σχέση α) Να αποδείξετε ότι: 5 7=, τότε : i ) = = i i ) = β) Να βρείτε τον µιγαδικό αριθµό. Α) i ) Είναι αw βw γ = () Παίρνοντας τους συζυγείς και των δύο µελών της () έχουµε αw βw γ = () i i ) Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και () έχουµε αβ α(ww) β(w w) = (αβ)(w w) = w = w w w = i Im( w) = Im( w) = w Β) α) i ) Είναι 5 7 = () Παίρνοντας τους συζυγείς και των δύο µελών της () έχουµε 5 7 = (4) Αφαιρώντας κατά µέλη τις () και (4) έχουµε = = (5) Από () και (5) προκύπτει ότι = = i i ) Είναι =, οπότε = 4 = = = = β) Έχουµε = = και = οπότε = = =± i ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -7-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ 7 ο ίνεται συνάρτηση συνεχής στο και η συνάρτηση g µε : 7 5 ( -( κ) ) g =, κ κ 4 6 4 α) Να αιτιολογήσετε την άποψη ότι έχει νόηµα η αναζήτηση των ορίων: β) Να βρείτε το lim g ( ) lim g ( ) και lim g ( ) γ) Αν () για κάθε και ( 8 ) <, να αποδείξετε ότι lim g = δ) Αν ( κ) [,] και για τη συνάρτηση h( ) = g( ) 8 β,, β ισχύει lim h = α) Είναι g( ) =, να βρείτε τις τιµές των β και ( κ ). ( ) 7 5 κ 6 4 κ 4, κ Μπορούµε να αναζητήσουµε τα lim g ( ) και lim g ( ) αν το πεδίο ορισµού της g περιέχει διάστηµα της µορφής (,α) και ( β, ) αντίστοιχα. Επειδή η g είναι ρητή της µορφής g( ) ορισµού είναι Dg = { :Q( ) = } P = το πεδίο Q Επειδή µόνο µεµονωµένες τιµές µπορεί να µηδενίζουν τον παρονοµαστή άρα το πεδίο ορισµού της g περιέχει διάστηµα της µορφής (,α) και ( ) β) Αν ( κ) και Ισχύει ότι lim =. κ έχουµε: ( ) β,. 7 5 κ κ 6 4 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: κ i) Αν κ (κ) lim g = lim = lim = lim κ 4 κ (κ) > ( ( κ) ) ( κ) > < ( κ) < τότε lim g = ii) Αν < ( κ) < ή ( κ) > τότε lim g κ κ = ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -8-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc iii) Αν ( κ) = τότε g( ) 5 6 4 = 4 5 5 6 4 6 lim g = lim = lim = lim = 4 iv) Αν ( κ) = τότε g( ) Εποµένως = 7 5 4 4 7 lim g = lim = lim 4 =, = 4 4, αν κ < lim g =, αν κ < ή κ >, αν κ γ) Από υπόθεση γνωρίζουµε ότι ( ) για κάθε και συνεχής στο, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο, όµως ( 8) < άρα και < για κάθε άρα και κ <. Άρα lim g( ) Έχουµε lim κ = lim κ =, ( κ) <, κ >, άρα < εποµένως lim g κ κ = δ) h( ) = g( ) 8 β h( ) β = g( ) 8 Από το (β) ερώτηµα προκύπτει ότι αν το ( κ) [,) τότε Άρα και lim h =, άτοπο γιατί lim h = lim g Αν ( κ) = τότε lim ( h ( ) β) = lim ( g( ) 8) άρα lim ( h ( ) β) = 8 ΘΕΜΑ 8 ο ίνεται η συνάρτηση α) Να υπολογίσετε τα όρια: = = lim g 8 = 8 = 8, lim h lim β = 8 β = 8 β = 7 = α α -α, µε α >. lim ( ), lim ( ), lim ( ) - β) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. γ) Να βρείτε το σύνολο τιµών της. δ) Να λύσετε στο την εξίσωση ( ) =., lim ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -9-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc Το πεδίο ορισµού της είναι A = (,) (, ). α) Είναι lim α =, γιατί lim = και u= lim α = u lim = limα u α συνεχής α στο = =. Επίσης lim α = και lim ( α ) α =, > άρα lim = Είναι Επίσης u= u u lim = u lim α lim α = =, γιατί lim = και u u lim α α = = και lim ( α) =, άρα lim =. =. lim α u u Είναι u= u lim α lim α u u lim = = = u ( u ) = = = α u α ln α lim lim D.L.Η u u u D.L.H u ( ln α) u α = lim =. Επίσης lim α = και lim ( α) =, άρα lim ( ) =. α lim = lim α α = Είναι β) Για κάθε A η είναι παραγωγίσιµη µε ( ) = α α ln α α ln α α = α α ln α α ln α α Η είναι παραγωγίσιµη µε = ln α ln α α α ln α α ln α α ( ln α) α α ln α = = = ln α α α ln α Είναι ( ) > για κάθε A, οπότε η γνησίως αύξουσα στο (,) και στο,. Παρατηρούµε ότι () =. Άρα για >, επειδή γνησίως αύξουσα στο (, ), είναι >, άρα Για >. < < έχουµε ( ) < άρα Έχουµε <. lim = lnα α <, γιατί για κάθε α > είναι lnα< α άρα lnα α < α lnα α < άρα lnα α <. α < ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc Η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο (,), οπότε (( )) = = ( ). Άρα ( ) < για κάθε (,), lim (), lim (),lnα α αφού lnα α <. Ο πίνακας µεταβολών της είναι :, ( ) ( ) ελάχιστο Η είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (,), (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, ). Η παρουσιάζει ελάχιστο στο γ) Το σύνολο τιµών της είναι ( A) = (, ) [, ) = [, ). δ) Από τον πίνακα µεταβολών έχουµε ότι ( ) = = = µε ελάχιστη τιµή () =. ΘΕΜΑ 9 ο ίνεται η συνάρτηση : µε ( ) = για την οποία ισχύουν: H είναι παραγωγίσιµη στο. H έχει όριο στο ( ) = για κάθε. Να αποδείξετε ότι: α) Το lim ( ) = β) H είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) H αντιστρέφεται και να βρείτε την δ) H έχει δεύτερη παράγωγο και είναι κοίλη στο. - ε) Το εµβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη C, τον άξονα και τις ευθείες µε εξισώσεις = και = είναι E= τ.µ. α) Αν lim ( ) = τότε lim Αν lim ( ) = τότε =, ενώ lim =, άρα καταλήγουµε σε άτοπο. ( ) lim =, ενώ lim =, άρα καταλήγουµε σε άτοπο. Επειδή από την υπόθεση γνωρίζουµε ότι υπάρχει το όριο της στο υποχρεωτικά β) Για κάθε, είναι ( ) ( ) =, άρα η είναι γνησίως αύξουσα. lim =. ( ) ( ) = ( ) = >, άρα ( ) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc γ) Αφού η είναι γνησίως αύξουσα είναι και, οπότε αντιστρέφεται και ισχύει : y= = (y), άρα έχουµε y y (y) δ) Επειδή η είναι παραγωγίσιµη στο και η =, οπότε ( ) =, R. είναι παραγωγίσιµη στο, άρα και η ( ) είναι παραγωγίσιµη στο, δηλαδή η έχει δεύτερη παράγωγο στο µε (αφού ( ) > ), οπότε η είναι κοίλη στο. ε) Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα για Θέτουµε u = ( ) = ( u), οπότε Για για = είναι u = =, γιατί ( ) ( ) ( ) = < είναι ( ) =, άρα = = u u E d d d = u du = u du = du = = και = είναι u = ( ) =, γιατί = =, άρα u u u u u u E = u( ) du = u du udu = u ( ) du udu = u du = τ.µ ΘΕΜΑ ο Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν: 5 = για κάθε και ( ) = Α. Να αποδείξετε ότι ( ) = 9,. Β. Αν g( ) =ln( ) τότε: α) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g. β) Να βρείτε την g και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα 4 I= d 9 γ) Να αποδείξετε ότι J 9I = K, όπου: J= d 9 4 δ) Να αποδείξετε ότι JK= ε) Να υπολογίσετε τα J, K. και 4 K= 9d στ) Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να ορίσετε την Α. Για κάθε είναι : - g. 5 = ( ) = ( ) ( ) ( ) = 9 ( ) = 9 = 9 h = 9 (), όπου h( ) = ( ), ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc Για κάθε είναι 9> h > h και επειδή η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών, θα διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο. Για = έχουµε h( ) = ( ) = >, οπότε () h( ) = 9 Β. α) Για κάθε είναι 9 9 h >, για κάθε, εποµένως από = =, 9 > =. Άρα A= β) Για κάθε είναι g ( ) = ( 9) g ( ) = 9 9 9 ( ) g = 9 9 = g ( ) 9 9 γ) 4 4 4 9 Είναι I= d = g d = g = g(4) g() = ln9 ln= ln = ln 9 4 4 4 4 9 J 9I = d 9 d = d 9d K = = 9 9 9 K = 9d = 9 9 d = 4 4 4 δ) 4 4 = 9 d = d = J 9 9. Άρα J K = 9 ε) Λύνουµε το σύστηµα: J K 9I J = ln = J K =9ln J K = J K = 9 K = ln g = >. Εποµένως η g είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι 9 στ) Για κάθε είναι και, άρα αντιστρέφεται. Για να βρούµε τον τύπο της αντίστροφης λύνουµε την εξίσωση y g( ) = ως προς. Είναι y > y y y y= ln 9 9 = 9 = 9= y y y y y y 9 9 y y 9= = 9 = y = y y y 9 y y y Όµως > > > 9 > 9, αληθής για κάθε y y Άρα : 9 µε ( ) =. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ ο Έστω οι µιγαδικοί αριθµοί =i µε, µε συνεχή παράγωγο στο. w= και συνάρτηση παραγωγίσιµη στο α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός τέτοιος, ώστε ο πραγµατικός αριθµός. β) Αν α < β < γ, ( β ) =, ( γ ) = και ώστε ( ξ ) = γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα: R w d να είναι α >, να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιος, α) Είναι i w = = i = i = i i,. Για να είναι ο πραγµατικός αριθµός πρέπει και αρκεί = =. Θεωρούµε συνάρτηση g( ) =, και παρατηρούµε ότι : Η g είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυµική και g( ) g( ) = ( ) = <. Ισχύει λοιπόν Θεώρηµα Bolano, οπότε η εξίσωση g( ) = έχει µια τουλάχιστον ρίζα ( ),. Για κάθε είναι g ( ) = 6 >, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε η ρίζα o είναι µοναδική. Εποµένως υπάρχει µοναδικός πραγµατικός αριθµός τέτοιος, ώστε ο να είναι πραγµατικός αριθµός. β) Η είναι παραγωγίσιµη στο, άρα και στο [ β, γ ]. Ισχύει λοιπόν Θ.Μ.Τ, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον δ ( β, γ) τέτοιο, ώστε ( δ) Είναι β γ γ β Έχουµε : γ β = = = γ β γβ γβ < >, (,) < < >, άρα Η είναι συνεχής στο [ α, δ ] και α δ < δ <. Ισχύει λοιπόν Θεώρηµα Bolano, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ τέτοιο, ώστε ( ξ) =. R w d = d = d d d = d = γ) [ ] Άρα 4 ln 4 ln8 = ln = ln = =. 6 6 4 ln8 R w d =. 6 o ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -4-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ ο 7 Θεωρούµε τη συνεχή συνάρτηση : για την οποία ισχύει lim =. ) Να αποδείξετε ότι: α) ( ) = 7 β) =5 ) Έστω (ε) η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της στο σηµείο της M(,( )). α) Να αποδείξετε ότι η (ε) έχει εξίσωση y=5 8. β) Ένα σηµείο Σ, που έχει τετµηµένη µεγαλύτερη του, κινείται στην ευθεία (ε). Αν ο ρυθµός µεταβολής της τετµηµένης του είναι m sc, να βρείτε το ρυθµό µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΜΣ.. α) Θέτουµε h( ) 7 = Έχουµε ( ) = ( ) h( ) 7 lim = lim h 7 = 7 () Θέτουµε ω β) Για έχουµε Θέτουµε ω συνεχής =, ( όταν το ω ), άρα () = 7 η () lim ω = 7 = 7. ω 7 () lim = lim = =, ( όταν το ω ) (), άρα η () για ω γίνεται ω ω ω lim = lim = lim ω ω ω ω =, ω ω από το οποίο προκύπτει ότι ω lim = 5 ω ω, άρα ( ) = 5.. α) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της γραφικής παράστασης της στο σηµείο της M, ( ) ε :y = y 7= 5 y= 5 8 β) Έστω Σ(,y ) σηµείο της (ε). Το εµβαδόν του τριγώνου ΟΜΣ είναι : 7 OMΣ = d OM, ΟΣ = y = y 7 = ( 5 8) 7 = 8 4 4 = ( ) = =, ( > ) Ο ρυθµός µεταβολής του εµβαδού του τριγώνου ΟΜΣ είναι : ( ( ())) = ( () ) = () = = E 4 4 4 8 m sc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -5-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση = ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία. ) Να λύσετε την εξίσωση = ) Θεωρούµε τη γνησίως µονότονη συνάρτηση g: η οποία για κάθε ικανοποιεί τη g σχέση g( ) =. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Να αποδείξετε ότι g( ) = 4) Να λύσετε την ανίσωση ( ) g > 5) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και ότι η C διέρχεται από το σηµείο M(, ). Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο Μ. ) Για κάθε είναι ( ) = >, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο. ) Είναι = = =. Προφανής λύση η =. Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, άρα και η λύση αυτή είναι µοναδική. ) α) Έστω ότι η g δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε θα υπάρχουν, Ag µε <, ώστε g( ) g ( ) g g g( ) g g g άτοπο, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. β) Ισχύει g( ) g = προφανής λύση η και η λύση αυτή είναι µοναδική. 4) Είναι g( ( ) ) g( ( ) ) g( ) g > > 5) Η είναι γνησίως αύξουσα άρα είναι και. g = και επειδή η g είναι γνησίως αύξουσα άρα > > > Το σηµείο M, αν και µόνο αν, το συµµετρικό του Μ ως προς την y=, δηλαδή το σηµείο C N,. C Η εξίσωση της εφαπτοµένης της C στο Ν είναι : ( ε ): y = y= Η συµµετρική της (ε) ως προς την y= θα είναι η εφαπτοµένη της C στο Μ και βρίσκουµε. ότι έχει εξίσωση y= ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -6-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΘΕΜΑ 4 ο ίνεται η συνάρτηση ( ) = ( ) ln ) Να βρείτε το πεδίο ορισµού της. ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. ) Να αποδείξετε ότι 5 lim = 5 4) Να αποδείξετε ότι η C εφάπτεται στον άξονα, σε δύο σηµεία. d 5) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό = ( ) i. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο επίπεδο βρίσκεται στο τέταρτο τεταρτηµόριο. ln ) Θεωρούµε τις συναρτήσεις g() = και F = gd. Η συνάρτηση g είναι ορισµένη και συνεχής στο A = (, ), το (, ) F έχει πεδίο ορισµού το = ( ) A,. Θεωρούµε επίσης τη συνάρτηση h( ) Είναι F =,, οπότε ( ) ( ) g ( ) ln = F h = F h = d { } { } { } A = A /h A = /, = / > = h F { / 4} { / } = > = > = { / ή } Εποµένως = ( ) ( ) A,,. > <, άρα η συνάρτηση ) Η είναι παραγωγίσιµη ως σύνθεση των παραγωγίσιµων συναρτήσεων h( ) = και F = gd η οποία είναι παραγωγίσιµη ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης g. Για κάθε (, ) (, ) έχουµε ln ln 4 ln 4 ( ) = d ( = ) = Είναι = = = A απορρίπτεται () = ή ή ή 4= =5 =± 5 A δεκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -7-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc Το πρόσηµο της () καθώς και η µονοτονία και τα ακρότατα της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. 5 5 ελάχιστο ελάχιστο Η είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (, 5 και (, 5, γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήµατα 5, ) και 5, ). Επίσης η παρουσιάζει ελάχιστο στο = 5 και στο 5 ) Για 5 έχουµε : 4) Επειδή ln( 4) D.L.H lim = lim = lim = 5 5 5 5 ( ) ( 5) 5 5 = µε ελάχιστη τιµή ( ) ( 5 ) 5 ln 5 4 lim = lim = ( 5) = = 5 5 5 = 5 = και 5 = 5 = η 5 = 5 =. ( ος τρόπος) ( ος τρόπος) C εφάπτεται στον άξονα σε δύο σηµεία. 5) Το ( 5, ) και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό ισχύει > άρα ( ) >. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η εικόνα του µιγαδικού αριθµού =( ) θετική τετµηµένη και αρνητική τεταγµένη, δηλαδή βρίσκεται στο 4ο τεταρτηµόριο. ΘΕΜΑ 5 ο ίνεται η συνεχής συνάρτηση : [, ) για την οποία ισχύει: ( ) ( ) = d ) Να αποδείξετε ότι: α) ( ) = ln, > β) ( ) = για κάθε > () ) Να µελετήσετε την ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα. 5, i έχει ) Αποδείξτε ότι η C είναι κυρτή και ότι δεν υπάρχουν τρία σηµεία συνευθειακά σ αυτή. 4) Να αποδείξετε ότι d ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -8-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc () ) α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο (, ), γιατί η d είναι παράγουσα ( ) της συνεχούς συνάρτησης στο (, ). Για κάθε (, ) έχουµε () ( ) = d ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ln ) = = ln c ( ) = ln c Από την () για = έχουµε =, οπότε = ln c c=. Άρα = ln, > β) Επειδή η είναι συνεχής στο έχουµε ln ( ) = lim( ) = lim( ln ) = lim = lim = lim( ) =. D.L.H είναι ( ) = ln. Είναι ( ) = ln = ln = = = ( ) > ln > ln > > > Ο πίνακας µεταβολών της είναι ) Για κάθε (, ) τ.μ. ελάχιστο Άρα ( ) = Η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα,, γνησίως αύξουσα στο,, παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο = (άκρο διαστήµατος) το ( ) = και ελάχιστο στο = το =, είναι () = και επειδή η είναι συνεχής στο συµπεραίνουµε ότι η ) Για κάθε η είναι κυρτή στο [, ). Έστω ότι υπάρχουν τρία σηµεία συνευθειακά τα A(,( ) ), B, ( ( ) ), Γ(, ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ ΑΒ = λβγ = ( Ι ), τότε Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήµατα [, ] και [, ], ( ) ( ) οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) = και ένα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ -9-
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ ) Η ( Ι ) ισοδύναµα γράφεται ( ξ ) ( ξ ) γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και " ". = ( ) = που είναι άτοπο, γιατί η () >, άρα η είναι 4) Η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ], άρα για έχουµε () ( ) ( ) ΘΕΜΑ 6 ο Έστω συνεχής συνάρτηση : ) Να αποδείξετε ότι : d d d d d d. d ( ) d ( ) για την οποία ισχύει ( ), οπότε = d για κάθε. α) Η είναι περιττή και να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα = ( ) β) Η είναι παραγωγίσιµη. γ) ( ) =,. ) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό i w =, µε Αν ο w είναι πραγµατικός αριθµός, να αποδείξετε ότι : 46 I 8 d α) Η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία y =. β) Υπάρχει σηµείο M( α, ( α )) της C µε < α < το οποίο είναι εικόνα του. ) α) Είναι A =, οπότε για κάθε έχουµε d d ( ) = = = () () 46 Είναι = ( ) άρα η είναι περιττή. I 8 d. Θέτουµε u = 8, οπότε du = d. Για = είναι u = 8 και για = 46 είναι u = 8, άρα 8 ( u) =( u) 8 u= 8 8 I= u du = u du = du=d Για = 8 είναι u = 8 και για = 8 είναι u = 8, άρα 8 8 8 Ι = u du = u du = u du =I άρα I = I = 8 8 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc c d d d d, c και. β) Είναι = = () () () () c c c Η είναι παραγωγίσιµη ως άθροισµα παραγωγίσιµων συναρτήσεων, γιατί η φ( ) = () c παραγωγίσιµη ως αρχική της συνεχούς συνάρτησης g() = στο, η οποία είναι συνεχής () ως σύνθεση και πράξη συνεχών συναρτήσεων. K Η = () συναρτήσεων h( ) γ) Για κάθε είναι Είναι ( ) Άρα ( ) d είναι επίσης παραγωγίσιµη στο, ως σύνθεση των παραγωγίσιµων c = και φ(. ) ( ) ( ) περιττή = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = c,. Για =,. = από την αρχική σχέση έχουµε i i ) α) Είναι w w w ( i)( ) ( )( i) = = = i i= i i ( ) i( ) i=, θέτουµε = yi και ισοδύναµα έχουµε yi i i = y =. Άρα η εικόνα του στο µιγαδικό επίπεδο κινείται στην ευθεία y=.. d =, οπότε c=. β) Αρκεί να αποδείξουµε ότι η εξίσωση ( ) = ( ) = έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, ). Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) = ( ), [, ]. Η h είναι συνεχής στο [, ] ως άθροισµα συνεχών συναρτήσεων. h( ) = ( ) = <, h( ) = ( ) = > άρα h h < Ισχύει λοιπόν το Θεώρηµα Bolano, οπότε θα υπάρχει α (, ) τέτοιο, ώστε λ lim Ε λ = lim = και λ h α =. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ --