ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών
Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής 3. Παρεμβολή τύπου Hermite 1
Παρεμβολή
Το πρόβλημα της παρεμβολής Δεδομένων των σημείων (x i, y i ), i = 0, 1,..., n, μπορούμε να βρούμε μια απλή συνάρτηση y = ϕ(x) της οποίας η γραφική παράσταση να είναι κοντά στα σημεία (x i, y i ); Έστω x 0,..., x n ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, και f πραγματική συνάρτηση. Υπάρχει πολυώνυμο p τέτοιο ώστε p(x i ) = f(x i ), i = 0,..., n Έστω x 0,..., x n ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, και f μια παραγωγίσιμη πραγματική συνάρτηση. Υπάρχει πολυώνυμο p τέτοιο ώστε p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ), i = 0,..., n 2
Πολυωνυμική παρεμβολή Θεώρημα (Παρεμβολή τύπου Lagrange.) Έστω x 0,..., x n ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, και y 0,..., y n R. Τότε, υπάρχει ακριβώς ένα πολυώνυμο p βαθμού το πολύ n, τέτοιο ώστε p(x i ) = y i, i = 0,..., n. Απόδειξη. Αν θέσουμε p(x) = α 0 + α 1 x + + α n x n, με άγνωστα α 0,..., α n, οι συνθήκες παρεμβολής γράφονται ως γραμμικό σύστημα n + 1 εξισώσεων με n + 1 αγνώστους. Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα έχει μόνο την τετριμμένη λύση, γιατί ένα πολυώνυμο βαθμού το πολύ n με n + 1 ρίζες, μηδενίζεται ταυτοτικά. 3
Πολυωνυμική παρεμβολή Αν f είναι μια συνάρτηση και p P n τέτοιο ώστε p(x i ) = f(x i ), i = 0,..., n, όπου x 0,..., x n ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία του πεδίου ορισμού της f, τότε λέμε ότι το πολυώνυμο p παρεμβάλλεται στην f στα σημεία x 0,..., x n. Παράδειγμα. Το γραμμικό πολυώνυμο παρεμβολής της f στα σημεία x = a και x = b είναι το p 1 (x) = f(a) + f(b) f(a) b a (x a) 4
Πολυωνυμική παρεμβολή Θεώρημα. Έστω f C n+1 [a, b], x 0,..., x n [a, b] ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία, και p P n το πολυώνυμο παρεμβολής της f στα σημεία x 0,..., x n. Τότε, και x [a, b] ξ (a, b) f(x) p(x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! n f p max (x x a x b i ) i=0 f (n+1) (n + 1)! n (x x i ) Απόδειξη. Υποθέτουμε x [a, b] και x {x 0,..., x n }, διαφορετικά η προς απόδειξη σχέση είναι τετριμμένη. Θέτουμε και ορίζουμε Φ(t) = n (t x i ), i=0 i=0 5
Πολυωνυμική παρεμβολή ϕ(t) = f(t) p(t) Προφανώς ϕ C n+1 [a, b] και f(x) p(x) Φ(x) Φ(t), t [a, b]. ϕ(x i ) = f(x i ) p(x i ) = 0, i = 0,..., n, ϕ(x) = f(x) p(x) f(x) p(x) Φ(x) Φ(x) = 0, δηλαδή η ϕ έχει στο διάστημα a, b] τουλάχιστον n + 2 διαφορετικές ρίζες. Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle, η ϕ έχει στο (a, b) τουλάχιστον n + 1 ρίζες, η ϕ έχει τουλάχιστον n ρίζες, κ.λ.π., και τέλος η ϕ (n+1) τουλάχιστον μία ρίζα ξ (a, b). Επειδή p (n+1) (t) = 0 και Φ (n+1) (t) = (n + 1)!, έχουμε 6
Πολυωνυμική παρεμβολή συνεπώς ϕ (n+1) (t) = f (n+1) (t) 0 = f (n+1) (ξ) f(x) p(x) Φ(x) f(x) p(x) Φ(x) (n + 1)!, t [a, b]. (n + 1)!, από την οποία έπεται η σχέση που θέλουμε να αποδείξουμε. Παράδειγμα 1. Αν f C 2 [a, b] τότε, το σφάλμα της γραμμικής παρεμβολής είναι max f(x) p 1(x) 1 a x b 2! max (x a)(x b) a x b f = (b a)2 8 f 7
Πολυωνυμική παρεμβολή Παράδειγμα 2. Έστω p 2 το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο που παρεμβάλλεται στην f(x) = sin x στα σημεία x 0 = 0, x 1 = π 4 και x 2 = π 2. Το σφάλμα της παρεμβολής είναι max f(x) p 2(x) 1 a x b 3! max x(x π a x b 4 )(x π 2 ) f = 1 3! 3 π 3 288 1 8
Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Παράσταση σε μορφή Lagrange Έστω x 0,..., x n R ανά δύο διαφορετικά μετάξύ τους σημεία. Σύμφωνα με το θεώρημα αης παρεμβολής υπάρχει ακριβώς ένα πολυώνυμο L i P n, τέτοιο ώστε L i (x j ) = δ ij, j = 0,..., n. Το πολυώνυμο L i μηδενίζεται στα σημεία x 0,..., x i 1, x i+1,..., x n και συνεπώς γράφεται στη μορφή L i (x) = α i n (x x j ), με α i R. Προσδιορίζουμε τη σταθερά α i από τη σχέση L i (x i ) = 1 έτσι ώστε n x x j L i (x) =, i = 0,..., n. x i x j j i j i 9
Παράσταση σε μορφή Lagrange Τα πολυώνυμα L 0,..., L n λέγονται πολυώνυμα του Lagrange ως προς τα σημεία x 0,..., x n. Αν p P n είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της f στα σημεία x 0,..., x n, τότε το p γράφεται στη μορφή p(x) = n f(x i )L i (x), i=0 η οποία λέγεται παράσταση σε μορφή Lagrange του πολυωνύμου παρεμβολής. 10
Παράσταση σε μορφή Lagrange Παράδειγμα. Το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο p 2 που παρεμβάλλεται στις τιμές της συνάρτησης f με f(x) = 1/x στα σημεία x 0 = 2, x 1 = 2.5 και x 2 = 4 είναι το p 2 (x) = 1 2 L 0(x) + 2 5 L 1(x) + 1 4 L 2(x), με και L 0 (x) = L 1 (x) = L 2 (x) = (x 2.5)(x 4) (2 2.5)(2 4) = x2 13 2 x + 10 (x 2)(x 4) (2.5 2)(2.5 4) = 4 3 x2 + 8x 32 3 (x 2)(x 2.5) (4 2)(4 2.5) = 1 3 x2 3 2 x + 5 3 11
Παράσταση σε μορφή Newton Έστω x 0,..., x n R ανά δύο διαφορετικά μετάξύ τους σημεία και y 0,..., y n R n. Γράφουμε το πολυώνυμο p P n για το οποίο ισχύει p(x i ) = y i, i = 0,..., n, στη μορφή p(x) = α 0 + α 1 (x x 0 ) + α 2 (x x 0 )(x x 1 ) + + α n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ), και υπολογίζουμε τους συντελεστές α 0,..., α n διαδοχικά: p(x 0 ) = y 0 = α 0 = y 0, κ.ο.κ.. p(x 1 ) = y 1 = α 1 = y 1 α 0 x 1 x 0 ( ) y2 α 0 p(x 2 ) = y 2 = α 2 = α 1 /(x 2 x 1 ) x 2 x 0 12
Παράσταση σε μορφή Newton Παράδειγμα. Γράφουμε το δευτεροβάθμιο πολυώνυμο p 2 που παρεμβάλλεται στις τιμές της συνάρτησης f με f(x) = 1/x στα σημεία x 0 = 2, x 1 = 2.5 και x 2 = 4 στη μορφή p 2 (x) = α 0 + α 1 (x 2) + α 2 (x 2)(x 2.5) Για x = x 0 = 2 έχουμε p(x 0 ) = 1/2, δηλαδή α 0 = 1/2. Από τη συνθήκη p 2 (x 1 ) = f(x 1 ) = 2/5 παίρνουμε 2 5 = 1 2 + α 1(2.5 2) = α 1 = 1 5. Τέλος, από τη συνθήκη p 2 (x 2 ) = f(x 2 ) = 1/4 έχουμε και έτσι 1 4 = 1 2 + ( 1 5 )(4 2) + α 2(4 2)(4 2.5) = α 2 = 1 20, p 2 (x) = 0.5 0.2(x 2) + 0.05(x 2)(x 2.5) = 1.15 0.425x + 0.05x 2. 13
Παρεμβολή τύπου Hermite
Παρεμβολή τύπου Hermite Η πιο συνηθισμένη περίπτωση παρεμβολής τύπου Hermite είναι εκείνη στην οποία ζητάμε ένα πολυώνυμο p, βαθμού το πολύ 2n + 1, το οποίο πληροί τις συνθήκες παρεμβολής p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ), i = 0,..., n, όπου x 0,..., x n ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία. Θεώρημα (Παρεμβολή τύπου Hermite.) Έστω x 0,..., x n [a, b] ανά δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία και f C 1 [a, b]. Τότε, το πρόβλημα παρεμβολής p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ), i = 0,..., n, λύνεται μονοσήμαντα. 14
Παρεμβολή τύπου Hermite Απόδειξη. Οι συνθήκες παρεμβολής Hermite αποτελούν ένα γραμμικό σύστημα 2n + 2 εξισώσεων με 2n + 2 αγνώστους, τους συντελεστές του πολυωνύμου p. Το αντίστοιχο ομογενές σύστημα έχει μόνο την τετριμμένη λύση. Πράγματι, αν q P 2n+1 είναι η λύση του, τότε κάθε x i, i = 0,..., n είναι ρίζα πολλαπλότητας δύο του q. Συνεπώς το q μηδενίζεται ταυτοτικά. 15
Παρεμβολή τύπου Hermite Εύκολα βλέπουμε ότι το p γράφεται στη μορφή p(x) = n [ ] f(x i )H (1) i (x) + f (x i )H (2) i (x), i=0 όπου H (1) i, H (2) i, i = 0,..., n, είναι τα μοναδικά πολυώνυμα βαθμού το πολύ 2n + 1, τέτοια ώστε για 0 i, j n. H (1) i (x j ) = δ ij, H (2) i (x j ) = 0, d dx H(1) i (x j ) = 0, d dx H(2) i (x j ) = δ ij, 16
Παρεμβολή τύπου Hermite Λήμμα. Τα πολυώνυμα Hermite H (1) i, H (2) i, i = 0,..., n δίνονται από τους τύπους H (1) i (x) = (1 2(x x i )L i (x i)) L 2 i (x), H (2) i (x) = (x x i )L 2 i (x), όπου L i είναι τα πολυώνυμα του Lagrange ως προς τα σημεία x 0,..., x n. Απόδειξη. Εύκολη, χρησιμοποιώντας τον ορισμό των πολυωνύμων Hermite 17
Παρεμβολή τύπου Hermite Παράδειγμα. Έστω f(x) = 1/x και x 0 = 2, x 1 = 2.5, x 2 = 4. Προσδιορίζουμε το μοναδικό πολυώνυμο p, βαθμού το πολύ 5, το οποίο ικανοποιεί p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ), i = 0, 1, 2. Πράγματι, από προηγούμενο παράδειγμα έχουμε L 0 (x) = x 2 13 2 x + 10, L 0(x) = 2x 13 2, L 0(x 0 ) = 5 2, L 1 (x) = 4 3 x2 + 8x 32 3, L 1(x) = 8 3 x + 8, L 1(x 1 ) = 4 3, L 2 (x) = 1 3 x2 3 2 x + 5 3, L 2(x) = 2 3 x 3 2, L 2(x 2 ) = 7 6, 18
Παρεμβολή τύπου Hermite οπότε, H (1) 0 (x) = (1 + 5(x 2))L2 0(x), H (2) 0 (x) = (x 2)L2 0(x), H (1) 1 (x) = (1 8 3 (x 5 2 ))L2 1(x), H (2) 1 (x) = (x 5 2 )L2 1(x), H (1) 2 (x) = (1 7 3 (x 4))L2 2(x), H (2) 2 (x) = (x 4)L2 2(x) Απλές (αλλά επίπονες) πράξεις δίνουν p(x) = 23 10 869 400 x + 431 400 x2 473 1600 x3 + 17 400 x4 1 400 x5 19
Παρεμβολή τύπου Hermite 20
Ερωτήσεις; 20