Μάθημα 5-6: Στάσιμες πολυμεταβλητές χρονοσειρές και μοντέλα Διασυσχέτιση Διανυσματικά αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Δίκτυα από πολυμεταβλητές χρονοσειρές Αιτιότητα κατά Granger Ασκήσεις
Ανάλυση μονομεταβλητής χρονοσειράς αυτοσυσχέτιση στασιμότητα x y y x ln y ln y
Ανάλυση διμεταβλητής χρονοσειράς συσχέτιση μεταξύ τους στασιμότητα?
Διασυσχέτιση Δύο στοχαστικές διαδικασίες χρονοσειρά { x, y} n { X },{ Y} και οι πραγματοποιήσεις τους δίνει τη διμεταβλητή Δια-συνδιασπορά (cross-covariance) XY ( ) Cov[ X, Y ] E[( X X )( Y Y )] n Δειγματική c ˆ XY ( ) XY ( ) ( x x)( y y) δια-συνδιασπορά n Διασυσχέτιση (cross-correlaion) Δειγματική διασυσχέτιση r XY XY XY ( ) ( ) cxy ( ) ( ) ˆ XY ( ) s s X X Y Y Η δια-συνδιασπορά δεν είναι άρτια συνάρτηση ( ) ( ) αλλά ισχύει ( ) ( ) XY YX Επίσης ισχύει XY ( ) XY XY
διασυσχέτιση X: USA Y: UK Σημαντική διασυσχέτιση Σημαντική διασυσχέτιση r r (0) Corr( X, Y ) XY Όρια σημαντικότητας z / / : οι USA και UK αποδόσεις είναι συσχετισμένες την ίδια μέρα () Corr( X, Y ) : οι USA αποδόσεις είναι συσχετισμένες με τις UK αποδόσεις την επόμενη μέρα XY Οι USA αποδόσεις επιδρούν στις UK αποδόσεις a n
διασυσχέτιση X: USA Y: UK Όρια σημαντικότητας z / / a n Χρονοσειρές δεικτών (με ισχυρή αυτοσυσχέτιση): ισχυρή διασυσχέτιση Χρονοσειρές αποδόσεων (με ασθενή ή μηδενική αυτοσυσχέτιση): ασθενή διασυσχέτιση Ισχυρή αυτοσυσχέτιση μπορεί να προκαλέσει ψευδή διασυσχέτιση προλεύκανση της κάθε μιας χρονοσειράς ώστε να έχει μηδενική αυτοσυσχέτιση
Παράδειγμα : Δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες Η διμεταβλητή χρονοσειρά { x, y} n προέρχεται από δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες X 0.95X Z Y 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) Z W Προλεύκανση: ) Προσαρμογή μοντέλου AR() στην { x } n και στην { y } n ξεχωριστά ) Χρησιμοποίησε τις χρονοσειρές των υπολοίπων { } n και { w } n z Μετά την προλεύκανση δε φαίνεται να υπάρχουν στατιστικά σημαντικές διασυσχετίσεις
Παράδειγμα : Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - Η πρώτη AR() διαδικασία «οδηγεί» τη δεύτερη AR() διαδικασία. X 0.95X Z Y 0. 5X 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) Z W Μετά την προλεύκανση r ( ),,,3 XY είναι στατιστικά σημαντικά το X συσχετίζεται με το (και όχι το αντίθετο) Y η{ X } επιδρά στην { } (αιτιότητα κατά Granger) Y
Παράδειγμα 3: Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - Οι δύο AR() διαδικασίες είναι αλληλο-εξαρτημένες. X X Z Y 0.6X 0.3Y W. 0.5Y Z ~ WN(0, Z ), W ~ WN(0, W ) Μετά την προλεύκανση, υπάρχουν στατιστικά σημαντικές αυτοσυσχετίσεις για θετική και αρνητική υστέρηση το συσχετίζεται με το και το X Y Y X και { Y } Αλληλοεξάρτηση των { }
Μοντέλα VAR Τάξη Για μονομεταβλητή χρονοσειρά, αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, AR() X 0 X Z Z ~ WN(0, ) Z Για διμεταβλητή χρονοσειρά, διανυσματικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, VAR() Z ~ WN(0, Z) X X Y Z,0,, Y X Y W,0,, Σε μορφή πινάκων X a,0,, X Z,0 Y a,0,, Y W Η διαδικασία VAR() είναι σταθερή (sable) (στάσιμη, saionary) αν οι ιδιοτιμές του Α είναι κατά απόλυτη τιμή < X A AX Z 0
Μοντέλα VAR Τάξη Για διμεταβλητή χρονοσειρά, διανυσματικό αυτοπαλίνδρομο μοντέλο τάξης, VAR() Z ~ WN(0, Z) X X Y Z,0,, i i,, i i i Y X Y Z,0,, i i,, i i i Σε μορφή πινάκων X a,0,,,, X,,,, X Z Y a,0,,,, Y,,,, Y W X A AX Z 0 i i i Η διαδικασία VAR() είναι σταθερή (sable) αν οι ιδιοτιμές του Α είναι κατά απόλυτη τιμή < A A A A I 0 0 0 A 0 I 0 0 0 0 0 I 0
Παράδειγμα : Δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες Η διμεταβλητή χρονοσειρά { x, y} n προέρχεται από δύο ανεξάρτητες AR() διαδικασίες X 0.95X Z Y 0.85Y W Z ~ WN(0, ), W ~ WN(0, ) VAR() X A0 A X Z X Χ Y 0 A 0 0 A 0.95 0 0 0.85 Z Z W Z W Παράδειγμα : Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - X 0.95X Z Y 0. 5X 0.85Y W VAR() X A0 A X Z X Χ Y A0 0 0 A 0.95 0 0.5 0.85 Z Z W Παράδειγμα 3: Δύο εξαρτημένες AR() διαδικασίες - X X Z Y 0.6X 0.3Y W. 0.5Y VAR() X A0 A X Z X Χ Y 0 A 0 0 A. 0.5 0. 6 0.3 Z Z W
Πολυμεταβλητές χρονοσειρές και δίκτυα Τα μοντέλα VAR() και η διασυσχέτιση επεκτείνονται για K μεταβλητές (πολυμεταβλητή χρονοσειρά Κ μεταβλητών), συμβολισμός VAR Κ () Παράδειγμα: VAR 3 () X, 0.95 0.5 0.3 X, Z, X, 0 0.85 0.3 X, Z, X 0 0 0.9] X Z 3, 3, 3, X X X X,, 3, X A X Z
Παράδειγμα: VAR 3 () X, 0.95 0.5 0.3 X, Z, X X, 0 0.85 0.3 X, Z, X X X 3, 0 0 0.9] X 3, Z 3, X Πίνακας διασυσχέτισης R(τ) Κατώφλι σημαντικότητας 0.00 0.0 R(0) 0.00 0. 0.0 0. 0.05 0.05 R() 0.39 0.0 0.40 0. 0 0.09 0.04 R() 0.0 0.03 0. 0.0 3. Αυθαίρετο κατώφλι. Στατιστική σημαντικότητα / n σταθμισμένες συνδέσεις π.χ. στάθμιση () r ij Δίκτυο (για διασυσχέτιση υστέρησης ),, 3, απλές συνδέσεις X A X Z Πίνακας γειτνίασης Α(τ) 0 0 A(0) 0 0 0 0 0 A() 0 0 A() 0 3
Παράδειγμα: VAR 5 () X X X X X X,, 3, 4, 5, X A X Z Πίνακας διασυσχέτισης R(τ) 0.6 0.47 0.40 0.07 0.6 0.58 0.36 0.05 R(0) 0.47 0.58 0.4 0.04 0.40 0.36 0.4 0.04 0.07 0.05 0.04 0.04 0.0 0.03 0.04 0.0 0.04 0. 0.09 0.0 R() 0.9 0. 0.0 0.0 0.53 0.48 0.6 0.06 0.49 0.53 0.6 0.65 A 5 5 0.95 0. 0.3 0.4 0.8 0. 0.3 0.4 0.9 0. 0. 0.8 0.8 0.9 0.8 Πίνακας γειτνίασης Α(τ) 0 3 0 A(0) 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A() 0 0 3 4
Παράδειγμα: Αποδόσεις 4 χρηματαγορών χωρών αποδόσεις x log( y ) log( y ) X: ΑUS Υ: GRE rxy rxy (0) 0.58 () 0.0 r ( ) 0.9 XY
Παράδειγμα: Αποδόσεις 4 χρηματαγορών χωρών Πίνακας διασυσχέτισης για υστέρηση, R() Πίνακας γειτνίασης Α() R() 0.38 0.333 0.596 0.049 0.039 0.303 0.096 0.00 0.90 0.03 0.00 0.0 A() 0 0 0 0 0 0 4 3
Παράδειγμα: Αποδόσεις 3 χρηματαγορών χωρών Πίνακας γειτνίασης Α(0) Πίνακας γειτνίασης Α() δίκτυο διασυσχέτισης 3 κόμβοι κατευθυνόμενες συνδέσεις από () r ij
Μερική διασυσχέτιση Μονομεταβλητή χρονοσειρά Είναι τα X και X + (γραμμικά) συσχετισμένα? r rx () r( X, X ) 0 Είναι τα X και X + (γραμμικά) συσχετισμένα? r rx () r( X, X ) 0 Είναι τα X και X + άμεσα (γραμμικά) συσχετισμένα?, r( X, X X ) 0 Διμεταβλητή χρονοσειρά Είναι τα X και Υ + (γραμμικά) συσχετισμένα? rxy () r( X, Y ) 0? Είναι τα X και Y + άμεσα (γραμμικά) συσχετισμένα? r( X, Y?) Λύση με χρήση μοντέλου
Αιτιότητα κατά Granger (Granger causaliy) Η ιδέα της αιτιότητα κατά Granger X Y Υπάρχει αιτιότητα κατά Granger Χ Υ όταν η πρόβλεψη της Y βελτιώνεται όταν το μοντέλο παλινδρόμησης περιλαμβάνει και την X Διμεταβλητή χρονοσειρά { x, } n y μεταβλητή οδηγός (driving variable): X μεταβλητή απόκρισης (resonse variable): Y Μοντέλο, περιορισμένο μοντέλο (resriced model, R-model) δεν περιέχει τη Χ i i R, er, R i y a y e { } ~ WN(0, ) Μοντέλο, μη-περιορισμένο μοντέλο (unresriced model, U-model) περιέχει τη Χ i i bx i i U, eu, U i i y a y e { } ~ WN(0, ) Δείκτης αιτιότητας κατά Granger (Granger causaliy index, GCI) X Y GCI X s Var( ˆR, ) Y ln ln s e Var( eˆ ) R U U, GCI XY 0 X Y υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ GCI XY 0 X Y δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ
Έλεγχος σημαντικότητας του δείκτη αιτιότητας κατά Granger GCI 0? Έλεγχος σημαντικότητας XY Αν δεν υπάρχει αιτιότητα κατά Granger από Χ στο Υ τότε η συνεισφορά της X στο μη-περιορισμένο θα πρέπει να μην είναι σημαντική Άρα οι όροι της X στο U-μοντέλο θα πρέπει να μην είναι στατιστικά σημαντικοί Η : b 0, i,, 0 i Η : b 0 για κάποιο i,, i Στατιστικό ελέγχου (έλεγχος Snedecor-Fisher, F-es): R U (SSE SSE ) / F U SSE / ndf SSE (sum of squared errors): άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων ndf (number of degrees of freedom): αριθμός βαθμών ελευθερίας ndf ( n ) αριθμός εξισώσεων αριθμός συντελεστών
Πολυμεταβλητή χρονοσειρά μεταβλητή οδηγός (driving variable): X Μοντέλο, περιορισμένο μοντέλο (resriced model, R-model) δεν περιέχει τη Χ i i Ai zi R, er, R i i y a y e { } ~ WN(0, ) Μοντέλο, μη-περιορισμένο μοντέλο (unresriced model, U-model) περιέχει τη Χ y a y A z bx e i i i i i i i Δείκτης αιτιότητας κατά Granger με δέσμευση (Condiional Granger causaliy index, CGCI) X Y Z CGCI s eˆ R R, X Y Z ln ln s ( ˆ U eu, { x, y, z, z,, z } n K μεταβλητές,, K, Var( ) Var ) i i μεταβλητή απόκρισης (resonse variable): Y υπόλοιπες παρατηρούμενες μεταβλητές (confounding variables): Z Z { Z, Z,, ZK } U, { eu, } ~ WN(0, U )
Έλεγχος σημαντικότητας του δείκτη CGCI CGCI 0 X Y Z? Έλεγχος σημαντικότητας Η : b 0, i,, 0 i Η : b 0 για κάποιο i,, i Στατιστικό ελέγχου (έλεγχος Snedecor-Fisher, F-es): R U (SSE SSE ) / F U SSE / ndf SSE (sum of squared errors): άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων ndf (number of degrees of freedom): αριθμός βαθμών ελευθερίας ndf ( n ) K αριθμός εξισώσεων αριθμός συντελεστών