SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ TI TUYỂN SIN LỚP NĂM ỌC 9- KÁN OÀ MÔN : TOÁN NGÀY TI : 9/6/9 ĐỀ CÍN TỨC Thời gian làm bài: phút (không kể thời gian giao đề) ài ( điểm) (Không dùng máy tính cầm tay) a Cho biết = 5+ 5 và = 5 5 ãy so sánh tổng + và tích b Giải hệ phương trình : x + y = 3x y = ài (5 điểm) Cho Parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) : y mx a Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) = (m là tham số, m ) c Gọi (x ; y ), (x ; y) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d) Tìm các giá trị của m sao cho : y + y = (x + x ) ài 3(5 điểm) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất ài 4(4 điểm) Cho đường tròn (O; R) Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến M và M (, là hai tiếp điểm) Lấy điểm C bất kỳ trên cung nhỏ (C khác và ) Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên, M, M a Chứng minh ECD là một tứ giác nội tiếp b Chứng minh : CD E = C c Gọi I là giao điểm của C và ED, K là giao điểm của C và DF Chứng minh: IK // d Xác định vị trí điểm C trên cung nhỏ để (C + C ) nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó khi OM = R --------- ẾT --------- Đề thi này có trang; Giám thị không giải thích gì thêm SD : / Phòng : Giám thị : Giám thị :
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ TI TUYỂN SIN LỚP NĂM ỌC 9- KÁN OÀ MÔN : TOÁN CUYÊN NGÀY TI : /6/9 ĐỀ CÍN TỨC Thời gian làm bài: 5 phút (không kể thời gian giao đề) ài ( điểm) a Rút gọn biểu thức : = 3 + 3+ + + 3 3 b Tìm hai số a và b sao cho : 5a + 5b 8ab + a + b + = ài ( điểm) a Cho phương trình : x + (m )x+ m = (m là tham số) Tìm số nguyên m lớn nhất để phương trình có hai nghiệm x,x sao cho (x y)(x y ) = 3 b Giải hệ phương trình : (x + y)(x + y ) = 5 (x x ) + 7 x + x + là một số nguyên ài 3( điểm) a Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện : a + b + c = Chứng minh rằng : abc+ (+ a+ b+ c+ ab+ bc+ ca) b Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên : 4 4 4 4 x + x + x + L + x = 9 3 8 ài 4(3 điểm) Cho tam giác C có ba góc nhọn Vẽ ba đường cao D, E, CF cắt nhau tại Gọi M là điểm đối xứng của qua C a Chứng minh tứ giác MC nội tiếp đường tròn (gọi đường tròn đó là (O)) b Gọi Q là trung điểm của Chứng minh EQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp Δ EC c iết E cắt (O) tại điểm thứ hai là N và CF cắt (O) tại điểm thứ hai là P Tính giá trị biểu M N CP thức : T = + + D E CF ài 5( điểm) Trong mặt phẳng, cho tam giác C và một điểm M sao cho M =, M = CM = Chứng minh rằng : SC 8 3 Đề thi này có trang; Giám thị không giải thích gì thêm --------- ẾT --------- SD : / Phòng : Giám thị : Giám thị :
ƯỚNG DẪN CẤM TUYỂN NĂM ỌC 9- (ĐÁP ÁN CỦ ĐỀ CÍN TỨC) ướng dẫn chung: ướng dẫn chấm gồm có trang; Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa phần tương ứng; 3 ài 4 không vẽ hình không chấm; 4 Điểm toàn bài không làm tròn Đáp án và thang điểm: ài Đáp án Điểm a b = 5+ 5 và = 5 5 ãy so sánh tổng + và tích + = 5 + 5 + 5 5 = ( )( ) ( ) = 5 + 5 5 5 = 5 5 = 5 5 = Vậy + = x + y = Giải hệ phương trình 3x y = x + y = y = x 3x y = 3x ( x) = y= x x = y= 3 x = Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (; 3) Vẽ đồ thị (P):y = x trên mặt phẳng tọa độ Oxy ảng giá trị x - - y = x 4 4 5 Đồ thị a 5 o b Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x = 3x x 3x + = Suy ra x = hay x = Thế x = y =, x = y = 4 Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là (;) và (;4) Trang
ƯỚNG DẪN CẤM TUYỂN NĂM ỌC 9- Tìm các giá trị của m sao cho y + y = (x + x ) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): x = mx x mx + = (*) (d) cắt (P) tại điểm và khi Δ > m 8 > m > 8 m> 8 m< 8 c Áp dụng hệ thức Viet vào phương trình (*), ta có x + x = m 3 Vì, (d) Nên y = mx ; y = mx, do đó y + y = (x + x ) (m )(x + x ) 3 = m m 3 = m = 3 (thỏa) m = (loại) Vậy m = 3 5điểm Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh đất 5điểm Gọi x (m) là chiều dài của mảnh đất (x > 6) Chiều rộng của mảnh đất là : x 6 Chu vi mảnh đất là : 4x ình phương độ dài đường chéo là : x + (x 6) ình phương độ dài đường chéo gấp 5 chu vi nên : x + (x 6) = 5(4x ) Giải phương trình bậc hai được x = (thỏa mãn), x = 4 < 6 (loại) Vậy chiều dài của mảnh đất bằng (m) Chiều rộng mảnh đất bằng 6 = 6 (m) Chứng minh ECD là một tứ giác nội tiếp 4a O D I K C E F M Không cho điểm hình vẽ bài 4 4b 4c 4d EC = 9 (giả thiết) DC = 9 (giả thiết) EC + DC = 8 tứ giác ECD nội tiếp Chứng minh CDE = C CDE = CE (nội tiếp cùng chắn EC ) C = CE (nội tiếp và góc tiếp tuyến dây cung cùng chắn C ) 5 CDE = C Chứng minh IK // CF + CD = 8 tứ giác FCD nội tiếp CDF = CF (nội tiếp cùng chắn CF) C = CF (nội tiếp và góc tiếp tuyến dây cung cùng chắn C ) CDF = C ICK + IDK = ICK + IDC + CDK = C + C + C = 8 tứ giác CIDK nội tiếp CIK = CDK (nội tiếp cùng chắn CK ) CIK = C (đồng vị) IK // Tìm vị trí điểm C để C + C nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất khi OM = R Đặt { } = OM Trang Không mất tổng quát, giả sử C C D thuộc đoạn (D ) C = D + CD = ( D) + CD = + D D + CD C = D + CD = ( + D) + CD = + D + D + CD Suy ra C + C = + C không đổi nên C + C nhỏ nhất khi C nhỏ nhất C là điểm chính giữa Khi đó, với OM = R ta có C = C = R Vậy C + C = R ------- ẾT -------
ƯỚNG DẪN CẤM TUYỂN CUYÊN NĂM ỌC 9- (ĐÁP ÁN CỦ ĐỀ CÍN TỨC) ướng dẫn chung: ướng dẫn chấm gồm có 3 trang; Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa phần tương ứng; 3 ài 4 không vẽ hình không chấm; 4 Điểm toàn bài không làm tròn Đáp án và thang điểm: ài Đáp án Điểm Rút gọn a b a 3 3 3 3 + = + + = + 4 4 3 3 = ( ) ( + ) 3 3+ 3 3 = + = + 3 3 3 3 3 + 3 3 3 + 8 3 = 3 Tìm hai số a và b sao cho : 5a + 5b 8ab + a + b + = Ta có 5a + 5b 8ab + a + b + = (a + a + ) + (b + b + ) + (4a 8ab + 4b ) = Vậy a b (a + ) + (b + ) + 4(a b) = (a + ) = a+ = (b + ) = b + = (a b) = a = b = = Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho ( ) Δ= m 4m = 4m + + x + x + (x x ) 7 là một số nguyên Phương trình có hai nghiệm x, x khi Δ= 4m + m (*) 4 Theo định lý Viet, ta có : x + x = m, x x = m ( ) ( ) ( ) l l x x + 7 x + x 4x x + 7 m 4m + 7 8 4m = = = = + x + x + x + x + m+ m m ( ) xl x + 7 Ζ Ζ m { ;;;3} x+ x + m Đối chiếu điều kiện (*), ta được m = Trang
ƯỚNG DẪN CẤM TUYỂN CUYÊN NĂM ỌC 9- b 3a 3b 4a Giải hệ phương trình ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x y x y = 3 x + y x + y = 5 ( ) ( ) x y x y 3 ( x y)( x y) 3 x+ y x+ y 4xy = 3 = + = x+ y x + y = 5 ( x+ y)( x + y ) = 5 ( x y) ( x y) xy + + = 5 Đặt S = x + y, P = xy, hệ trở thành ( ) ( ) SS 4P = 3 SP = 6 S = 3 SS P = 5 = = 3 S SP 5 P Do đó x,y là nghiệm của phương trình bậc hai t 3t + = ệ có hai nghiệm là (;), (;) Chứng minh abc + ( + a + b + c + ab + bc + ca) với a + b +c = a + b + c = a, b, c Do đó ( + a)( + b)( + c) + a + b + c + ab + bc + ac + abc () Mặt khác (+ a + b + c) + a + b + c + a + b + c + ab + bc + ac + a + b + c + ab + bc + ac ( ) (vì a + b + c = ) Cộng () và () theo vế được bất đẳng thức cần chứng minh Chứng minh phương trình Nếu tất cả x i chẵn thì 4 x i x + x + x + L + x = 9 4 4 4 4 3 8 chẵn nên 4 4 4 x + x + x3 + + x 4 8 không có nghiệm nguyên L chẵn, không thể bằng 9 4 3 Nếu có x k lẻ: x k = m k +, m k Z xk = mk + = 6m k(mk + ) + 8m k(3mk + ) + Nếu m k chẵn thì 8m k(3mk + ) M6 m k lẻ thì 3mk + chẵn 8m k(3mk + ) M6 4 Do đó, x k chia cho 6 có số dư bằng 4 4 4 Vì vậy, x + x + x3 + L+ x 8 chia cho 6 có số dư tối đa bằng 8 Còn 9 = 56 + 9 khi chia cho 6 có số dư là 9 Vậy không thể xảy ra 4 4 4 4 x + x + x3 + L + x8 = 9, với xi Z Chứng minh tứ giác MC nội tiếp đường tròn (O), ( ) 4 N P Q F D E O R C Không cho điểm hình vẽ bài 4 M Trang
ƯỚNG DẪN CẤM TUYỂN CUYÊN NĂM ỌC 9- Xét tứ giác EF ta có E + F = 9 + 9 = 8 FE + FE = 8 Ta có C = FE (đối đỉnh) 4b 4c Theo giả thiết M và đối xứng nhau qua C nên MC = C Suy ra FE + MC = 8 Tứ giác MC nội tiếp (O) Chứng minh EQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp Δ EC Gọi R trung điểm C Ta có RE = R = RC = C (tính chất trung tuyến vuông EC) Δ R là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EC REC = RCE ( Δ REC cân tại R); QE = Q = Q = (tính chất trung tuyến Δ vuông E) QE = QE ( Δ QE cân tại Q) Mà QE + RCE = 9 ( Δ FC vuông tại F) QE + REC = 9 QER = 9 QE ER tại E và E (R) Nên EQ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác EC Tính giá trị của biểu thức T = M N CP + + D E CF Trong (O) có NC = N (nội tiếp cùng chắn N ) và CP = N (cùng phụ C ) NC = CP Δ NC có CE là đường cao vừa là đường phân giác Δ NC cân tại C C là trung trực của đoạn N E = EN Tương tự ta chứng minh được F = FP M N CP D + DM E + EN CF + FP Do đó T = + + = + + D E CF D E CF DM EN FP D E F = 3+ + + = 3+ + + D E CF D E CF S(C) + S(C) + S() S(C) = 3+ = 3+ = 4 S(C) S(C) Chứng minh SC 8 3 Gọi là trung điểm C Do M = CM nên M thuộc trung trực đoạn C M C Lấy trên tia đối của M sao cho M = Ta có ha M+ M= M+ M= Đặt M = x (x > ), ta có SC = Ch a C = S C 5 = M M = x = x+ = (x + ) x ( C) S = (x+ ) ( x ) h a M Ta chứng minh ( C) 4 3 S 9 x x + x + 4x + 9 (x 3) (x + 8x + 9) : luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi M = 3 C --------- ẾT --------- Trang 3