1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3. Μέτρ ή µήκς διανύσµατς Λέγεται τ µήκς τυ αντίστιχυ ευθυγράµµυ τµήµατς. = (AB) 4. Μναδιαί διάνυσµα Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ τ µέτρ είναι 1. α = 1 5. Φρέας διανύσµατς Λέγεται η ευθεία στην πία ανήκει. ιάνυσµα παράλληλ πρς ευθεία Όταν φρέας τυ διανύσµατς είναι παράλληλς ή συµπίπτει µε την ευθεία. 7. Συγγραµµικά ή παράλληλα διανύσµατα Όταν είναι µη µηδενικά και έχυν παράλληλυς ή ίδιυς φρείς. Εδώ λέµε ότι τα διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση
2 8. ύ µόρρπα διανύσµατα Όταν είναι συγγραµµικά και ανήκυν στ ίδι ηµιεπίπεδ ως πρς την ευθεία πυ ρίζυν ι αρχές των διανυσµάτων. Εδώ λέµε ότι τα διανύσµατα έχυν ίδια φρά (κατεύθυνση) 9. ύ αντίρρπα διανύσµατα Όταν είναι συγγραµµικά και έχυν αντίθετη φρά. 10. ύ ίσα διανύσµατα Όταν έχυν ίδια κατεύθυνση και ίσα µέτρα. 11. ύ αντίθετα διανύσµατα Όταν έχυν αντίθετη κατεύθυνση και ίσα µέτρα. 12. ωνία δύ διανυσµάτων Λέγεται η κυρτή γωνία των φρέων τυς. 13. ύ κάθετα διανύσµατα Όταν η γωνία τυς είναι π 2 α 0 ) 180 14. Ισχύυν ι ισδυναµίες i) α µόρρπα ii) α αντίρρπα 0 α = π ( )
3 ΣΧΟΛΙ - ΜΕΘΟ ΟΙ 1. ιεύθυνση Η έννια «διεύθυνση ευθείας» είναι πρωταρχική έννια των Μαθηµατικών δηλαδή δεν ρίζεται. ια να την πρσεγγίσυµε µπρύµε να πύµε ότι καθρίζει τν πρσανατλισµό µιας ευθείας ή παράλληλων ευθειών. 2. Παραδχή α) κάθε ευθεία ρίζει µία διεύθυνση ) ι παράλληλες ευθείες έχυν ίδια διεύθυνση γ) κάθε σύνλ παράλληλων ευθειών ρίζει µία διεύθυνση 3. Παραδχή Κάθε διεύθυνση είναι εφδιασµένη µε θετική και αρνητική φρά (κατεύθυνση). 4. ιεύθυνση διανύσµατς Λέγεται η διεύθυνση τυ φρέα τυ. 5. Φρά διανύσµατς Λέγεται η θετική ή αρνητική κατεύθυνση τυ φρέα τυ. Τα συγγραµµικά διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση (όχι πωσδήπτε ίδι φρέα) 7. Τα µόρρπα διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση και ίδια φρά. 8. Τα αντίρρπα διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση και αντίθετη φρά.
4 9. Τα ίσα διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση φρά και µέτρ 10. Τα αντίθετα διανύσµατα έχυν ίδια διεύθυνση αντίθετη φρά και ίσα µέτρα. 11. Η γωνία των µόρρπων διανυσµάτων είναι 0. 12. Η γωνία των αντίρρπων διανυσµάτων είναι π. 13. Πρφανής ισότητα ( α ) 14. ια να σχηµατίσυµε τη γωνία δύ διανυσµάτων τα µεταφέρυµε παράλληλα στν εαυτό τυς ώστε να έχυν κινή αρχή 15. Παραδχή Τ 0 έχει πιαδήπτε διεύθυνση και πιαδήπτε φρά. 1 Άνισα διανύσµατα δεν υπάρχυν άρα πτέ δε θα γράψυµε α> 17. Στη ιανυσµατική εωµετρία µπρύµε να χρησιµπιύµε τις γνώσεις της Ευκλείδειας
5 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. παντήστε στις ερωτήσεις i) Πότε δύ διανύσµατα λέγνται συγγραµµικά ii) Πότε δύ διανύσµατα λέγνται ίσα iii) Πότε δύ διανύσµατα λέγνται αντίθετα 2. Χαρακτηρίστε σωστή ή λάθς κάθε µία από τις παρακάτω πρτάσεις i) ν δύ διανύσµατα είναι ίσα τότε έχυν ίσα µέτρα. ii) ν δύ διανύσµατα έχυν ίσα µέτρα τότε είναι ίσα. iii) Τα συγγραµµικά διανύσµατα έχυν ίδι φρέα. πάντηση i) Σωστή ii) Λάθς iii) Λάθς 3. παντήστε στις ερωτήσεις i) Τι νµάζυµε γωνία δύ διανυσµάτων; ii) Πιες τιµές µπρεί να πάρει η γωνία δύ διανυσµάτων; 4. Θεωρύµε τρίγων τα µέσα Κ Λ των αντίστιχα και φέρυµε τ τµήµα ΚΛ. Να αναφέρετε i) δύ ίσα διανύσµατα ii) iii) iv) δύ αντίθετα διανύσµατα δύ µόρρπα και όχι ίσα διανύσµατα δύ αντίρρπα διανύσµατα v) δύ διανύσµατα µε κινή αρχή vi) δύ διαδχικά διανύσµατα Πρτεινόµενη απάντηση i) Κ Κ ii) Κ Κ iii) ΛΚ iv) Λ v) vi) Κ ΚΛ K Λ
6 5. Θεωρύµε παραλληλόγραµµ και τ σηµεί τµής των διαγωνίων τυ Ο. Πώς χαρακτηρίζνται µεταξύ τυς τα διανύσµατα i) ii) iii) Ο Ο iv) Ο Πρτεινόµενη απάντηση i) Ίσα ii) ντίθετα iii) ντίθετα iv) Οµόρρπα Ο ν π υπλγίστε τις α 6 Πρτεινόµενη απάντηση ( ) ( α ) ( α π π π = 5π 6 6 α α ( α π 6 ίνεται κύκλς κέντρυ Ο διάµετρός τυ και σηµεί τυ. ν Ο= = α και α = 5 να ρείτε τις γωνίες τυ τριγώνυ. 6π ( ) Πρτεινόµενη λύση Θεωρύµε διάνυσµα Μ = πότε ( Μ ɵ ) = 5 π = 150 6 Άρα Μ ˆ = 150 ˆ = 30 ˆ = 90 αφύ αίνει σε ηµικύκλι Σχόλι 14 Μ Ο άρα ˆ = 60
7 7. ίνεται ρόµς µε = 40. Να ρείτε τις γωνίες Πρτεινόµενη λύση = ˆ = 20 αφύ η είναι διχτόµς = x ˆ = ˆ = 40 (εντός εκτός επί τα αυτά) Σχόλι 14 1 x 2 = 90 αφύ ι διαγώνιι τυ ρόµυ είναι κάθετες = x ˆ = ˆ 1+ ˆ 2 = ˆ + 1 2 ˆ = 40 + 1 2 (180 40 40 + 70 = 110