CAP. I. ELEMENTE DE MECANICĂ NEWTONIANĂ I.. Noţun fundamentale Punctul mateal (patcula) este un sstem mecanc făă dmensun, caactezat numa pn masă. Sold gdul se defneşte ca un sstem de puncte mateale dstbute omogen înt-o egune fntă dn spaţu, astfel încât dstanţa dnte două puncte oaecae ămâne constantă în tmpul mşcă. Se numeşte efeenţal (sstem de efenţă) un sstem de coodonate în apot cu cae se studază mşcaea sstemulu mecanc, însoţt de un dspoztv pentu măsuaea duatelo (ceas). Vectoul de pozţe ( ) este un vecto având dept componente coodonatele x, y, z (înt-un sstem de axe ectangulae) cae detemnă pozţa punctulu mateal la momentul t (Fg. I). Taectoa este locul geometc al pozţlo succesve ocupate de punctul mateal în spaţu (sau cuba descsă de vâful vectoulu de pozţe). Legea de mşcae aată dependenţa de tmp a vectoulu de pozţe ş ae foma: = (I.) () t x() t + y() t j + z()k t unde, j, k sunt veso axelo de coodonate în sstemul de coodonate catezan OXYZ (Fg. I.). Fg. I. Noţun fundamentale ale cnematc punctulu mateal; sstem de coodonate catezan.
Vteza v se defneşte pn elaţa: d dx v = = & = + = v + v j + v k x y z dy j + dz k = x & + yj & + zk & (I.) Vteza este tangentă la taectoe în punctul cae epezntă pozţa punctulu mateal (Fg. I.). Acceleaţa a se defneşte pn elaţa: dv d x d y d z a v & = = & = = + j + k = && x + && yj + && zk = a + a j + a k x y z Acceleaţa poate f descompusă după două decţ pependculae: tangentă, espectv nomală la taectoe, a ş a (Fg. I.): t n (I.3) a = a t + a n (I.3 ) a) b) Fg. I. Acceleaţa în: a) mşcaea ectlne; b) mşcaea cculaă. Clasfcaea mşcălo după acceleaţe: a) unfome: a = 0 ; b) unfom vaate: a = const 0 ; c) vaate: d a 0. - 8 -
I.. Pncple mecanc newtonene a) Pncpul I (al neţe) Oce cop asupa căua nu acţonează nc o foţă îş păstează staea de mşcae ectlne ş unfomă sau de epaus elatv. Sstemele de efenţă în cae este valabl pncpul neţe se numesc ssteme de efenţă neţale (SRI). Oce sstem de efenţă aflat în mşcae ectlne ş unfomă faţă de un SRI este, de asemenea, SRI. În caz conta sstemul de efenţă se numeşte neneţal, da se poate tata ca unul neţal dacă ntoducem foţe specfce numte foţe de neţe. Folosnd noţunea de mpuls al punctulu mateal p = mv putem sce foma matematcă a pncpulu neţe: p = const. b) Pncpul al II-lea (pncpul fundamental al mecanc) O foţă cae acţonează asupa unu cop î mpmă acestua o acceleaţe dect popoţonală cu foţa ş nves popoţonală cu masa copulu. Foma matematcă este: (I.4) F = ma = m & (I.5) Deoaece în mecanca newtonană m = const. elaţa (I.5) se ma sce: d( mv) dp F = = (I.5') c) Pncpul al III-lea (al acţun ş eacţun) Dacă un cop "" acţoneazå asupa unu alt cop "j" cu o foţă acţona asupa copulu "" cu o foţă egală ş de sens conta j F F j. j atunc copul "j" va F j = F (I.6) Acest pncpu pesupune popagaea nstantanee (dec cu vteză nfntă) a nteacţunlo, fapt nfmat de teoa elatvtăţ enstenene. d) Pncpul al IV-lea (al ndependenţe acţun foţelo) Dacă asupa unu cop acţonează smultan ma multe foţe fecae foţă mpmă copulu o acceleaţe, ndependent de pezenţa celolalte, acceleaţa ezultantă fnd suma vectoală a celo ndvduale (pncpu de supepozţe). a = n a k k = sau F = n F k k = (I.7) - 9 -
e) Pncpul al V-lea (al elatvtăţ clasce - Galle) Legle mecanc au aceeaş fomă (sunt nvaante) în oce SRI. f) Pncpul al VI-lea (al condţlo nţale) Staea mecancă a unu sstem este detemnată la oce moment t dacă se cunoaşte staea mecancă a sstemulu la momentul nţal t 0. Poblema fundamentală a mecanc constă în detemnaea stă mecance a unu sstem la un moment oaecae t, ceea ce se obţne pn ntegaea ecuaţe de mşcae m & = F(, v, t) ş pn cunoaşteea stă nţale ( ) t ( ) 0, v t 0. I.3. Teoeme geneale ş leg de consevae în dnamca punctulu mateal I.3.. Teoema mpulsulu Foţa cae acţonează asupa unu punct mateal este egală cu devata mpulsulu acestua. dp F = (I.8) De fapt, această teoemă epezntă o altă fomă a pncpulu fundamental (I.5) al mecanc. Pentu F = 0, dn elaţa (I.8) ezultă p = const. (I.8') adcă legea consevă mpulsulu: Dacă ezultanta foţelo cae acţonează asupa unu punct mateal este nulă (sstem mecanc zolat), atunc mpulsul mecanc al punctulu mateal ămâne constant în tmp (se consevă). I.3.. Teoema momentulu cnetc Momentul cnetc al unu punct mateal, faţă de un punct fx dn spaţu (numt pol), se defneşte ca podusul vectoal dnte vectoul de pozţe ş mpuls (Fg.I.3): L = p (I.9) Fg. I.3. Momentul cnetc al unu punct mateal - 0 -
Momentul foţe în apot pol se defneşte ca podusul vectoal dnte vectoul de pozţe al punctulu de aplcaţe al foţe (faţă de pol) ş foţă: M = F (I.0) Pentu deduceea teoeme momentulu cnetc calculăm devata momentulu cnetc în apot cu tmpul. dl d dp = p + = v mv + F = M (I.) Devata în apot cu tmpul a momentulu cnetc al punctulu mateal faţă de un punct fx numt pol este egală cu momentul foţe cae acţonează asupa punctulu mateal faţă de acelaş pol. dl = M (I. ) Pentu M = 0, dn (I. ) ezultă L = const. Aceasta se întâmplă în umătoaele cazu: a) F = 0 ş b) F = F (foţă centală). Legea consevă momentulu cnetc: Dacă momentul foţe ezultante cae acţonează asupa unu punct mateal este nul faţă de un punct fx numt pol, atunc momentul cnetc al punctulu mateal faţă de acelaş pol ămâne constant în tmp (se consevă). I.3.3. Lucul mecanc. Enega cnetcă ş enega potenţală. Teoema enege A. Lucul mecanc a) Pentu F = const. lucul mecanc este defnt ca podusul scala dnte foţă ş vectoul deplasae: L = F s = Fs cosα (I.) b) Pentu F const. se defneşte lucul mecanc elementa ca podusul scala dnte foţă ş deplasaea elementaă d : dl = F d = Fd cosα = Fx dx + Fydy + F dz z (I.3) Pn ntegae ezultă lucul mecanc în pocesul mecanc cae se desfăşoaă înte stăle () ş () (Fg.I.4): - -
( ) () ( L = F dx + Fydy + Fzdz x ) (I.4) Fg. I. 4. Calculul luculu mecanc al foţe F. Obsevaţe: Lucul mecanc este o măme de poces (depnde de stăle ntemedae), dec nu admte, în geneal, o dfeenţală totală exactă (adcă, în geneal, F d dφ ). B. Enega cnetcă se defneşte ca sempodusul dnte masa punctulu mateal ş pătatul vteze sale: mv E c = (I.5) Teoema vaaţe enege cnetce Înt-un poces mecanc elementa (nfntezmal): dp mv dl = F d = d = = [ d( mv) v] = d dec (I.6) Relaţa dl = de c epezntă teoema vaaţe enege cnetce pentu un poces mecanc elementa. Pentu un poces mecanc fnt cae se desfăşoaă înte stăle () ş () ezultă: ( ) () ( ) L = Fd = de = E () c c ( ) E ( ) c (I.6') Aşada, lucul mecanc efectuat de foţele cae acţonează asupa unu punct mateal înt-un poces mecanc fnt () () este egal cu vaaţa enege cnetce a punctulu mateal înte aceste stă. - -
C. Foţe consevatve. Enege potenţală Dacă un punct mateal sufeă un poces mecanc după o cubă închsă (Γ) lucul mecanc ae expesa: ( F dx + F dy F dz) L = x y + z (I.7) ( Γ) adcă este egal cu cculaţa vectoulu F pe cuba (Γ). În geneal, lucul mecanc (măme de poces) depnde de stăle ntemedae pn cae tece sstemul, adcă de dumul umat de foţă, dec ntegala dn elaţa (I.7) este nenulă. Exstă însă cazu în cae: L = ( Fx dx + Fydy + Fzdz) = 0 (I.7') ( Γ) În aceste cazu lucul mecanc efectuat de foţă asupa punctulu mateal nu depnde decât de staea nţală ş de cea fnală a sstemulu câmp de foţe + punct mateal. Foţa espectvă se numeşte foţă consevatvă, a câmpul de foţe se numeşte câmp consevatv. Exemple: foţa gavtaţonală, foţa elastcă. Condţa necesaă ş sufcentă pentu îndeplnea elaţe (I.7') este ca: dl = F dx + F dy + F dz = du (I.8) x y z adcă lucul mecanc al foţe F să fe o dfeenţală totală exactă a une măm fzce cae depnde de coodonatele x, y, z. Această măme, consdeată cu semnul "-" (pn convenţe), este enega potenţală U(x, y, z) sau E p (x, y, z). U U U Deoaece du = dx + dy + dz ezultă, pn dentfcae cu elaţa (I.8): x y z F x U = ; x F y U = ; y F z U = (I.9) z sau: U U F = + x y U j + z k = gadu = U (I.0) Se spune că foţele consevatve devă dn enega potenţală. Această enege (U) depnde de confguaţa sstemulu mecanc ş este egală cu lucul mecanc efectuat de foţa consevatvă la teceea de la o confguaţe aleasă abta ca efenţă (pentu cae enega potenţală este nulă) la confguaţa dată. Sstemul mecanc în cae acţonează numa foţe consevatve se numeşte sstem consevatv, a în caz conta se numeşte dspatv. - 3 -
D. Teoema enege Enega mecancă a unu sstem mecanc este o măme de stae egală cu suma dnte enega cnetcă ş cea potenţală: E = Ec + U (I.) Explctăm teoema vaaţe enege cnetce pentu un poces mecanc elementa podus înt-un sstem dspatv: de = dl + dl = du + dl (I.) c cons ds ds dn cae, folosnd defnţa (I.), ezultă: de = dl ds (I.3) Pentu un poces mecanc fnt: ( ) E( ) = Lds ΔE = E (I.4) Teoema enege se enunţă astfel: Vaaţa enege mecance a unu sstem mecanc dspatv este egală cu lucul mecanc efectuat de foţele neconsevatve (dspatve). Înt-un sstem consevatv: dl ds = 0, dec: de = 0 E = const., adcă se obţne legea consevă enege mecance: Enega mecancă E a unu sstem consevatv zolat este constantă (se consevă). I.4. Teoeme geneale ş leg de consevae în dnamca sstemelo de puncte mateale Fe un sstem de N puncte mateale. Asupa fecău punct mateal dn sstem, punct de masă m, acţonează două catego de foţe: a) foţe extene (de la copu cae nu apaţn sstemulu), a căo ezultantă este F b) foţe ntene, I j, dn patea celolalte puncte mateale j. Teoemă: Rezultanta foţelo ntene ş momentul ezultant al acestoa faţă de un pol sunt nule. N N I nt = Ij = 0; M nt = Ij = 0, j=, j= (I.5) I.4.. Teoema mpulsulu mecanc total ş legea de consevae a mpulsulu mecanc total - 4 -
Aplcăm teoema mpulsulu mecanc (I.8) pentu fecae punct mateal m. dp = I + F, cu =,,... N (I.6) nt, ext, unde p = mv este mpulsul punctulu mateal "", N Int, = I j= j (cu j ) este ezultanta foţelo ntene cae acţonează asupa acestu punct mateal, a este ezultanta foţelo extene asupa aceluaş punct mateal (Fg. I. 5). F ext, Fg. I. 5. Sstem de puncte mateale Pn sumae după ndcele ezultă: d N N N p = Int, + F = = = ext, (I.7) Defnm mpulsul total al sstemulu de puncte mateale: N P = p = (I.8a) ş ezultanta foţelo extene cae acţonează asupa sstemulu: N F ez = F. ext = (I.8b) Relaţa (I.7) devne: ext, dp = F ez. ext (I.9) - 5 -
Devata în apot cu tmpul a mpulsulu mecanc total al unu sstem de puncte mateale este egală cu ezultanta foţelo extene cae acţonează asupa sstemulu. Pentu un sstem zolat ( F ez. ext = 0 ) ezultă: dp = 0 P = const. (I.30) Relaţa (I.30) epezntă legea consevă mpulsulu mecanc total al unu sstem de puncte mateale: Pentu un sstem zolat de puncte mateale mpulsul mecanc total este constant (se consevă). I.4.. Teoema momentulu cnetc total ş legea de consevae a momentulu cnetc total Aplcăm teoema momentulu cnetc (I.) pentu fecae punct mateal m. dl = ℵ + M, cu =,,... N (I.3) unde L = p este momentul cnetc al punctulu mateal "", ℵ = I este momentul foţelo ntene faţă de un pol pentu acest punct mateal, a M = F este momentul foţelo extene faţă de acelaş pol, pentu acelaş punct mateal. Pn sumae după ndcele ezultă: d N N N L = ℵ + M = = = Defnm momentul cnetc total al sstemulu de puncte mateale: N L = L = (I.3) (I.33a) ş momentul ezultant al foţelo extene cae acţonează asupa sstemulu: N M ez = M. ext = Relaţa (I.3) devne: (I.33b) dl = M ez. ext (I.34) - 6 -
Devata în apot cu tmpul a momentulu cnetc total al unu sstem de puncte mateale, faţă de un pol, este egală cu momentul ezultant al foţelo extene cae acţonează asupa sstemulu, faţă de acelaş pol. Dacă M ez. ext = 0, condţe îndeplntă în două cazu: când sstemul este zolat ( F ez. ext = 0 ) sau când foţele extene sunt centale ( F = F ) ezultă: dl = 0 L = const. (I.35) Relaţa (I.35) epezntă legea consevă momentulu cnetc total al unu sstem de puncte mateale: Dacă momentul ezultant al foţelo extene cae acţonează asupa unu sstem de puncte mateale, faţă de un pol, este nul momentul cnetc total faţă de acelaş pol este constant (se consevă). I.4.3. Teoema vaaţe enege cnetce totale ş legea consevă enege mecance totale " m ": Aplcăm teoema vaaţe enege cnetce dl = dec (I.6) pentu punctul mateal unde dl de c, = dl + d F d este lucul mecanc elementa al foţelo extene, a (I.36) d = I d este = m lucul mecanc elementa al foţelo ntene cae acţonează asupa punctulu mateal " ". Pn sumae după ndcele "" ezultă: N N N d Ec, = dl + d (I.37) = = = sau: de c = dlext + dl nt (I.37') Relaţa (I.37') epezntă foma locală a teoeme enege cnetce (pentu poces mecanc nfntezmal). Pentu un poces mecanc fnt cae se desfăşoaă înte stăle () ş () avem: Δ E (I.38) c = Ec( ) Ec() = Lext + Lnt Relaţa (I.38) epezntă foma ntegală a teoeme enege cnetce totale. Vaaţa enege cnetce totale a unu sstem de puncte mateale este egală cu lucul mecanc efectuat de toate foţele, atât cele extene cât ş cele ntene. - 7 -
Caz patcula: sstemul de puncte mateale este zolat ( F 0 L 0 ) ş ez. ext = ext = consevatv ( L = ΔU, unde U = este enega potenţală totală a sstemulu de nt N U = puncte mateale). În aceste condţ elaţa (I.38) devne: Δ E c = ΔU (I.39) adcă se obţne legea consevă enege mecance totale a unu sstem de puncte mateale: Pentu un sstem de puncte mateale zolat în cae foţele ntene sunt consevatve enega mecancă totală E = Ec + U este constantă (se consevă). - 8 -