ài tập ôn đội tuyển năm 015 Nguyễn Văn inh Số 5 ài 1. ho tam giác nội tiếp () có + =. Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi b, c lần lượt là trung điểm,. b c cắt tại. hứng minh rằng đường tròn (, ) tiếp xúc với () và (). c b a hứng minh. Gọi a là trung điểm. cắt () tại. o = 90 nên ( b c ), từ đó là đường thẳng Simson của ứng với tam giác b c. Suy ra b c hay,, thẳng hàng, suy ra,, a thẳng hàng hay là trung điểm b c. ừ đó dễ dàng có (, ) tiếp xúc với (). ễ chứng minh =, = r, nên = 1 r. ừ đó (, ) tiếp xúc với (). ài. ho tam giác nội tiếp () có + =, H là trực tâm. ẻ. là trung điểm. ựng đường tròn ( 1 ) tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với (), đường tròn ( ) tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với (). hứng minh rằng H tiếp tuyến chung trong thứ hai của ( 1 ) và ( ). hứng minh. ổ đề 1. ho hai đường tròn ( 1 ), ( ) ngoài nhau và cùng tiếp xúc trong với (). Gọi, là hai tiếp tuyến chung trong của ( 1 ) và ( ) sao cho, khác phía với, bờ 1. là tiếp tuyến chung ngoài của ( 1 ) và ( ) sao cho cùng phía với bờ 1. hi đó. 1
1 1 hứng minh. Gọi là điểm chính giữa cung không chứa,., cắt 1 lần lượt tại 1,. cắt tại. Áp dụng định lý hebault suy ra 1, lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác,. Suy ra 1 = =. ừ đó 1 =. à = 1 nên = 1 hay =. Suy ra là điểm chính giữa cung. Vậy. rở lại bài toán. c b H 1 X Y J Z G Gọi,, là tiếp điểm của đường tròn () nội tiếp tam giác với,,, b, c là trung điểm,, J là tâm đường tròn uler của tam giác. éo dài H cắt tại, cắt () tại. + a có = = = nên + = = b + c, suy ra b = c. ừ đó b = c, ta thu được b = c. à Jb = Jc nên J là trung trực của bc hay trung trực của.
Gọi ( 1 ), ( ) lần lượt là đường tròn tiếp xúc với H, tia, và cùng tiếp xúc trong với (). Gọi X, Y là tiếp điểm của ( 1 ) với, H, Z, là tiếp điểm của ( ) với, H. heo định lý Sawayama-hebault, XY cắt Z tại và 1. o XZ = ZX = 45 nên X = Z. à = nên X = Z. o nằm trên tiếp tuyến chung trong của ( 1 ) và ( ) nên nằm trên tiếp tuyến chung trong còn lại. Gọi G là đối xứng của qua suy ra là trung điểm HG. ừ đó G. Áp dụng bổ đề 4 suy ra HG là tiếp tuyến chung trong của ( 1 ) và ( ) ài 3. ho tam giác nội tiếp () có + =. Gọi H là trực tâm tam giác, là trung điểm. hứng minh rằng đường tròn đường kính và đường tròn đường kính H tiếp xúc nhau. hứng minh. heo bài 3 suy ra H nằm trên 1. a thu được H là phân giác H hay H là phân giác ngoài H. à nằm trên trung trực nên H nội tiếp. ặt khác ta có =, = nên =, từ đó = =, suy ra là trung điểm hay. Như vậy (). o nằm trên trung trực nên nằm trên đường trung bình của hình thang hay đường thẳng đi qua trung điểm và H. Vậy tâm của (), (H) và thẳng hàng. Suy ra () tiếp xúc với (H) tại. ài 4. (urkey S 015). ho tam giác nội tiếp đường tròn (), ngoại tiếp (). () tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi 1, 1 lần lượt đối xứng với qua,. Đường tròn ω 1 đi qua 1 tiếp xúc với () tại cắt lần thứ hai tại ; đường tròn ω đi qua 1 tiếp xúc với () tại cắt tại. Gọi, Q lần lượt là trung điểm,. hứng minh rằng Q khi và chỉ khi + =. 3 Q 1 1 hứng minh. + = khi và chỉ khi hay hay Q. Như vậy ta sẽ chứng minh. Gọi 3 là giao của với. là trung điểm 3. o ( 3 ) = 1 nên sau một số phép tính toán suy ra = 1. hay ( 1) tiếp xúc với () hay. heo hệ thức Newton, =. hay thuộc trục đẳng phương của () và (). hứng minh tương tự suy ra. 3
ài 5. (ran 014). Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với, tại, Q., giao Q lần lượt tại,. hứng minh rằng () tiếp xúc với () khi và chỉ khi + = 3. hứng minh. ách 1. Q Y X J Gọi là tiếp điểm của () với. giao () tại J. a có () tiếp xúc với () khi và chỉ khi R () = r. ễ thấy, nên, nằm trên (). ằng cộng góc suy ra là tâm nội tiếp tam giác. ẻ X, Y Q. o hai tam giác và đồng dạng nên R () = Y R () = X = sin X = sin /. Hay R () = J = r. o đó R () = r khi và chỉ khi = J hay J = 3J = 3J (1) Áp dụng định lý tolemy ta có J. =.J +.J, suy ra (1) tương đương + = 3. ách. N Q R 4
Gọi R, là giao của với (). a có R là tứ giác điều hoà. Gọi là giao của với thì do R nên, R là hai tiếp tuyến của (). Suy ra. = r. ương tự gọi N là giao của với Q thì.n = r. ễ thấy, N lần lượt là hình chiếu của trên, và N là đường trung bình ứng với đỉnh của tam giác. Xét phép nghịch đảo r : () (), () N do đó () tiếp xúc với () khi và chỉ khi () tiếp xúc với đường trung bình của tam giác (, ) hay () là đường tròn bàng tiếp góc của tam giác. hi đó = Q = p = 1 p, khi và chỉ khi + = 3. + = 1 ( + + ) hay 4 ài 6. ho tam giác nội tiếp () có + = 3. Đường tròn () nội tiếp tam giác tiếp xúc với,, lần lượt tại,,. Gọi, lần lượt đối xứng với, qua. là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính với (). hứng minh rằng ( ) tiếp xúc với (). X J hứng minh. Gọi J là điểm chính giữa cung. X là trung điểm. ễ thấy = J nên X = J. Suy ra X = J, từ đó J = J, tương tự suy ra, (). éo dài cắt tại suy ra. Suy ra = = = ( J, ), suy ra,, J thẳng hàng. Xét phép nghịch đảo J J :,,. o đó ( ) (). à (), tiếp xúc với () nên ( ) tiếp xúc với (). ài 7. ho tam giác có + = 3. Đường tròn () nội tiếp tiếp xúc với tại. Gọi là điểm đối xứng với qua., cắt, lần lượt tại, N. X là trung điểm. hứng minh rằng X là tâm ngoại tiếp tam giác N. 5
N X hứng minh. Với kí hiệu như bài 5, ta có = 180, = = nên,, thẳng hàng. ương tự,, thẳng hàng. Suy ra, N là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc, với,. a có N = = = 90 1. ặt khác, = = p c, N = = ( + ) = = + = p c. Suy ra = N. ừ đó X = XN(c.g.c). Suy ra NX = X hay XN nội tiếp. à X là phân giác N nên X = XN, đồng thời NX = 180 = N nên X là tâm ngoại tiếp tam giác N. ài 8. ho tam giác có + = 3. Gọi a là tâm bàng tiếp góc. rên lấy hai điểm, Q sao cho =, Q = và theo thứ tự,,, Q. Đường tròn ( a ) cắt lần thứ hai tại, đường tròn (Q a ) cắt lần thứ hai tại N. hứng minh rằng N là tứ giác lưỡng tâm. 6
Q a N hứng minh. Gọi là tâm nội tiếp tam giác, là điểm chính giữa cung. ễ thấy = Q =. ừ giả thiết + = 3 suy ra = hay = a. Vậy a Q nội tiếp đường tròn tâm. ằng cộng góc suy ra Q, nội tiếp. a có = a = a a = Q = a =. Suy ra a = 180 = + = + 1. ương tự a N = + 1. a thu được a + a N = 180. Suy ra N tiếp xúc với ( a ) hay tứ giác N ngoại tiếp. ặt khác, N = N a = Q a = = = hay tứ giác N nội tiếp. a có đpcm. 7