DongPhD Problems Book Series. vnmath.com. (Free) Thông tin. (Free)

DongPhD Problems Book Series Tuyển Tập Đề Thi Thử Đại Học 9 Đại số Giáo án (Free) vnmath.com Dịch vụ Toán học Sách Giải tích dichvutoanhoc@gmail.com Hình học Bài báo Thông tin bổ ích (Free) Kiếm tiền trên mạng Các loại khác Toán học vui Bản điện tử chính thức có tại http://www.vnmath.com

Trường Đại học Hồng Đức ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG 9 Khoa Khoa học Tự nhiên Môn thi: TOÁN, khối A Thời gian làm bài: 8 phút I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7, điểm) Câu I (, điểm) ( ). Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số f + 6.. Tìm số tiếp tuyến của đường cong y ln đi qua điểm A ;. Câu II (, điểm). Giải phương trình: ln 5ln 7 +. + + + o o o o. Tính: cos + cos8 cos5 cos cos. Câu III (, điểm) o ( ) Trên parabol y lấy ba điểm A, BC, khác nhau sao cho tiếp tuyến tại C song song với đường thẳng AB. Ký hiệu S là diện tích tam giác ABC, S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB. Tìm tỉ số giữa S và S. Câu IV (, điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng α đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại B, C. Biết rằng C là trung điểm của SC, tính tỉ số giữa SB và B B. Câu V (, điểm) Với là số dương, y là số thực tuỳ ý, tìm tập hợp mọi giá trị của biểu thức y A. ( + y ) + + y II. PHẦN RIÊNG (, điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: theo chương trình Chuẩn hoặc Nâng cao.. Theo chương trình Chuẩn Câu VIa ( điểm). Tìm toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC, biết đỉnh A( ; ), trọng tâm G và trung trực cạnh AB có phương trình + y. (; ). Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc toạ độ và tiếp úc với hai mặt phẳng: P: + y và Q: + y+ 6. Câu VIIa ( điểm) Một hộp đựng bi có viên, trong đó có viên trắng, viên đỏ, 5 viên anh. Ký hiệu A là tổng số cách lấy 6 trong viên đó, B là số cách lấy 6 viên sao cho số bi đỏ bằng số bi anh. Tính tỉ số B : A.

. Theo chương trình Nâng cao Câu VIb ( điểm). Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng d : k y+ k ( ) và d : k + ky k. Khi k thay đổi thì giao điểm của hai đường thẳng này di chuyển trên một đường cong. Xác định đường cong đó.. Mặt cầu S đi qua các điểm A( ; ; ), B( ; ; ), C( ;; ), D ( ;; ) ; mặt cầu S đi qua các điểm A' ; ;, B' ; ;, C' ( ;; ), D' ( ;; ). Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu đó. Câu VIIb ( điểm) Tính căn bậc hai của số phức 5+ i. GHI CHÚ.. Đề thi này được soạn theo MẪU quy định trong văn bản Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT & tuyển sinh ĐH-CĐ 9 do Cục Khảo thí & Kiểm định chất lượng giáo dục, Bộ Giáo dục & Đào tạo, ban hành tháng năm 8.. Cán bộ coi thi không được giải thích gì về đề thi!

ĐÁP ÁN TOÁN KHỐI A Câu Lời giải Điểm I..(đ) Tập ác định:. Giới hạn tại vô cực: lim f.,5 ± ( ) ------------------------------------------------------------------------------------- ( ) ( ) ( ) 9; f ( ). f ' 6 + 6; f ' ±. f Bảng biến thiên: + f () + + f() 8 Nhận ét: Hàm số nghịch biến trên hai khoảng ( ; ),(; + ); đạt cực tiểu tại -, cực đại tại và fct 8; fcd. Giao điểm với trục tung: (;-); với trục hoành: (-;) và (;) (điểm cực đại). ------------------------------------------------------------------------------------- Đồ thị như hình vẽ. y - -,5,5 - y - + 6 - - -6-8 I..(đ) Ta có ( ln )' ln +. Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ a (a > ) là y (+ ln a)( a) + aln a. ------------------------------------------------------------------------------------- Để tiếp tuyến đi qua A, phải có (+ ln a)( a) + alna a+ lna lna a,. (),5 ------,5

II..(đ) II..(đ) III(đ) ------------------------------------------------------------------------------------- Số tiếp tuyến đi qua A phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình (). Xét hàm số f ( a) ln a a. Ta có: Bảng biến thiên của f ( a ): f '( a) ; a f ' a a. ( ) a + f (a) + f(a) Từ bảng này ta thấy giá trị lớn nhất của f(a) là - nên phương trình () vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua A. Vế trái có nghĩa khi và chỉ khi >. Khi đó vế phải cũng có nghĩa. Dễ thấy vế phải đơn giản bằng. ------------------------------------------------------------------------------------ Như vậy ta có phương trình ln 5ln + 7 ln 5ln + 6 ln 5ln + 6,() ------------------------------------------------------------------------------------ ln e Mặt khác: () ln e Vậy phương trình đã cho có nghiệm, e, e. Ta có: o o o o o cos + cos8 cos5 cos cos o o o o o cos + cos8 (cos 6 + cos 6 ) cos o o o o o cos + cos8 cos 6 cos cos cos 6 o o o cos + cos8 cos 6 cos cos cos8 o o + cos 6 cos Giả sử điểm trên parabol là Aaa,, Bbb,, Ccc,,( a< b). Hệ số góc của đường thẳng AB là ( ) ( ) ( ) b a a + b b a o, còn hệ số góc của tiếp o,5,5,5,5,

a+ b tuyến tại C hiển nhiên là c. Vậy c. Độ dài AB ( b a) ( b a ) ( b a) ( a b) + + +. Phương trình đường thẳng AB: a y a ( a+ b)( a) y a b a b a a + b y ab y a + b ab. Khoảng cách từ C đến AB: ( ) ( ),5 IV(đ) a+ b a+ b ( a+ b) ( a+ b) ab ab ( b a) h. a+ b + a+ b + a+ b + ( ) Diện tích tam giác ABC: ( ) ( a b) ( ) ( b a) ( b a). ( ) ( ). 8 S ABh b a + a+ b + + ------------------------------------------------------------------------------------ Diện tích giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB: b ' (( ) ) S a + b ab d ( a b) ab + a b a b a ( a b) ab( b a) + ( ( a b) 6ab ( a ab b )) ( b a) b a + + + 6 6 S Suy ra: S '. S S C A D D B B C I C A H C (Hình này có thể không vẽ). b a.,5,5

V(đ) Xét tam giác cân SAC (cân tại S) với H là trung điểm của AC. Rõ ràng SH là đường cao của tam giác SAC và của cả hình chóp. Lại có AC ' SC và C là trung điểm SC nên AC SC, tức là tam giác SAC là đều. ------------------------------------------------------------------------------------- SB ' SI Dễ thấy, trong đó I là giao điểm giữa SH và AC. Vì I B ' B IH cũng là trọng tâm tam giác SAC nên SI : IH :. Vậy tỉ số giữa SB và B B là. Ta có ( ) ( ) ( ) y + y + y A + y y + y ( ) y +. y + ------------------------------------------------------------------------------------- y Đặt t, ( t ) và A f ( t). Khi đó + t f () t ; t + ( t+ ) + t + f ' t () t + t + () ( ) t+ t+ + t t+ + t ; t+ + t t+ + t ( ) ( ) f ' t + t t () t, + t t t +,() () t 8t t 8. ------------------------------------------------------------------------------------- Dễ thấy bên trái điểm t 8 thì f (t) > và bên phải thì t <. Ngoài ra lim f t. Do đó, ta có bảng biến thiên sau: t + () t 8 + f t + - '( ) f () t /6,5,5,5 ------,5 ------,5

Từ bảng này ta thấy tập hợp giá trị của f (t) là [ ;/ 6 ] nên tập hợp mọi giá trị của A là ; 8. CHÚ Ý. Thí sinh có thể dùng bất đẳng thức để chỉ ra giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất tương ứng bằng và /8 rồi kết luận rằng tập hợp mọi giá trị của A là ; 8. Cách làm này không thật chặt chẽ vì không chỉ ra được rằng A nhận mọi giá trị giữa và /8 nên chỉ cho tổng cộng,75đ. VIa.(đ) Phần riêng theo chương trình Chuẩn Đường thẳng AB có phương trình t, Trung điểm I của cạnh y t. AB là giao điểm của AB với đường trung trực nên có giá trị tham số t thoả mãn phương trình (t ) + (t ) t t. ------------------------------------------------------------------------------------ Vậy ta có I (;. Dễ thấy điểm B ứng với giá trị t nên có B ( 5;). ). ; 6; ) Tiếp theo, IC IM ( ) ( nên có C( 8; ). VIa.(đ) Tâm I của mỗi mặt cầu như vậy phải nằm trên mặt phẳng R đi qua chính giữa hai mặt phẳng đã cho. Dễ thấy hai toạ độ của I phải thoả mãn phương trình mặt phẳng R: + y+. Mặt khác, vì khoảng cách từ I đến O bằng bán kính nên phải bằng nửa khoảng cách giữa hai mặt phẳng đã cho hay bằng khoảng cách giữa P và R. Lấy một điểm bất kỳ trên P và tính khoảng cách tới R, ta được giá trị bằng 5 5 +. ------------------------------------------------------------------------------------- Như vậy, chính I phải nằm trên mặt cầu S, tâm O, bán kính 5, tức là VIIa(đ) các toạ độ thoả mãn phương trình: + y + z 5. Như vậy, tập hợp tâm các mặt cầu đi qua O và tiếp úc với hai mặt phẳng đã cho là đường tròn giao tuyến của mặt cầu S và mặt phẳng R. Nói cách khác, đó là tập hợp các điểm có ba toạ độ, y, z thoả mãn hệ phương trình: + y+ + y + z 5. 6 Số cách lấy 6 trong viên là C (tức là A C ). Lấy 6 viên sao cho số viên đỏ bằng số viên anh có hai trường hợp: hoặc viên đỏ, 6,5,5,5,5,5

viên anh (không viên nào trắng) hoặc viên trắng, đỏ và anh. ------------------------------------------------------------------------------------ Trường hợp thứ nhất có thể thực hiện theo CC 5 cách; trường hợp thứ hai: CCC5 cách. Như vậy B CC 5 + CCC 5 ; do đó B CC 5 + CCC 5.+.6. 5. A 6 C 9 Phần riêng theo chương trình Nâng cao d d VIb.(đ) Rút y từ phương trình của rồi thế vào phương trình của, ta được: VIb.(đ) Do đó ( ) ( ) k + k k+ k k ( ) k + k + k + k k k k y + k. + k + k ------------------------------------------------------------------------------------- Suy ra: k k + y + k + + k ( k ) ( + k ) ( k ) k + k + k. + + Vậy giao điểm của hai đường thẳng di chuyển trên đường tròn tâm O, bán kính bằng. Giả sử S có phương trình + y + z a by cz+ d. Do S đi qua A, B, C, D nên có: c+ d a+ d a b c+ d b + d. Suy ra a b c ½ và d. Vậy mặt cầu S có phương trình: + y + z y z (tâm là I( ½, ½, ½), bán kính R + + ). ------------------------------------------------------------------------------------- Tiếp theo, giả sử S có phương trình + y + z a' b' y c' z+ d'. Do S đi qua A, B, C,.,5,5,5,5

a' + d' D nên có: b' c' + d' a' b' + d' b' c' + d'. 5 Suy ra a' c', b' ' d'. Vậy mặt cầu S có phương trình: 5 5 + y + z y z+. 5 5 (tâm là I ( 5/, /, 5/), bán kính R ' + +. 6 6 6 ------------------------------------------------------------------------------------- Phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến: y+ z y+ z. Khoảng cách từ I tới mặt phẳng này: +. 9+ + 9 9 Bán kính đường tròn giao tuyến:,5,5 VIIb(đ) 56 r R d. 76 76 9 Giả sử căn bậc hai của 5 + i là + yi. Khi đó: ( ) + yi y + yi 5+ i y 5 6 5,( ) y 56 5 6.() ------------------------------------------------------------------------------------- Đặt t,( t ), thì () trở thành: t 5t 6 ; Δ 5+ 5 769 ; 5+ t 6. Suy ra ± 8, y± 7. Vậy căn bậc hai của 5 + i có hai giá trị là ± ( + i) 8 7.,5,5

M«n Thi: To n Thêi gian: 8 phót (kh«ng kó thêi gian giao Ò) ( Ò thi gåm trang) PhÇn chung cho têt c c c thý sinh (7 ióm ) C u I: ( ióm) Cho hµm sè y. Kh o s t sù biõn thiªn vµ vï å thþ (C) cña hµm sè.. Cho M lµ ióm bêt k trªn (C). TiÕp tuyõn cña (C) t¹i M c¾t c c êng tiöm cën cña (C) t¹i A vµ B. Gäi I lµ giao ióm cña c c êng tiöm cën. T m to¹ é ióm M sao cho êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c IAB cã diön tých nhá nhêt. C u II ( ióm) π. Gi i ph ng tr nh + sin sin cos sin cos. Gi i bêt ph ng tr nh log ( + ) > ( + )log C u III ( ióm) ln TÝnh tých ph n I + ln d + ln C u IV ( ióm) e a Cho h nh chãp S.ABC cã AB AC a. BC. SA a, SAB SAC. TÝnh thó tých khèi chãp S.ABC. C u V ( ióm) Cho a, b, c lµ ba sè d ng tho m n : a + b + c. T m gi trþ nhá nhêt cña bióu thøc P + a + b b + c c + + a PhÇn riªng ( ióm) ThÝ sinh chø îc lµm mét trong hai phçn: PhÇn hoæc phçn PhÇn :(Theo ch ng tr nh ChuÈn) C u VIa ( ióm). Trong mæt ph¼ng víi hö trôc to¹ é Oy cho cho hai êng th¼ng d : y + 5. d : +6y 7. LËp ph ng tr nh êng th¼ng i qua ióm P( ; -) sao cho êng th¼ng ã c¾t hai êng th¼ng d vµ d t¹o ra mét tam gi c c n cã Ønh lµ giao ióm cña hai êng th¼ng d, d.. Trong kh«ng gian víi hö trôc to¹ é Oyz cho ióm A( ; -; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; -; ) vµ mæt ph¼ng (P) cã ph ng tr nh: + y + z. Gäi A lµ h nh chiªó cña A lªn mæt ph¼ng Oy. Gäi ( S) lµ mæt cçu i qua ióm A, B, C, D. X c Þnh to¹ é t m vµ b n kýnh cña êng trßn (C) lµ giao cña (P) vµ (S). C u VIIa ( ióm) T m sè nguyªn d ng n biõt: C.. C +... + ( ) k( k ) C +... n(n + ) C k k k n n+ n+ n+ n+ n+

PhÇn : (Theo ch ng tr nh N ng cao) C u VIb ( ióm).trong mæt ph¼ng víi hö trôc to¹ é Oy cho Hypebol (H) cã ph ng tr nh: y 6 9. ViÕt ph ng tr nh chýnh t¾c cña elip (E) cã tiªu ióm trïng víi tiªu ióm cña (H) vµ ngo¹i tiõp h nh ch nhët c së cña (H).. Trong kh«ng gian víi hö trôc to¹ é Oyz cho ( P ): + y z + 5 vµ êng th¼ng + ( d ) : y + z, ióm A( -; ; ). Gäi lµ êng th¼ng n»m trªn (P) i qua giao ióm cña ( d) vµ (P) ång thêi vu«ng gãc víi d. T m trªn ióm M sao cho kho ng c ch AM ng¾n nhêt. C u VIIb ( ióm): Gi i hö ph ng tr nh + + y. + + y y+ + -------------- HÕt-------------- Chó ý: ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph i lµm c u V ThÝ sinh kh«ng îc sö dông tµi liöu. C n bé coi thi kh«ng gi i thých g thªm Hä vµ tªn thý sinh:--------------------------- Sè b o danh:-----------------------------

H íng dén chêm m«n to n - ióm toµn bµi thi kh«ng lµm trßn - Häc sinh lµm c ch kh c nõu óng vén îc ióm tèi a. - NÕu häc sinh lµm c hai phçn trong phçn tù chän th kh«ng týnh ióm phçn tù chän - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph i lµm c u V, thang ióm dµnh cho c u I. vµ c u III lµ,5 ióm C u Néi dung ióm I. Kh o s t hµm sè vµ vï å thþ hµm sè..., ) Hµm sè cã TX : R \ { },5 ) Sù biõn thiªn cña hµm sè: a) Giíi h¹n v«cùc vµ c c êng tiöm cën: * lim y ; lim y + +,5 Do ã êng th¼ng lµ tiöm cën øng cña å thþ hµm sè * lim y lim y êng th¼ng y lµ tiöm cën ngang cña å thþ hµm sè + b) B ng biõn thiªn: Ta cã: y' <, ( ) B ng biõn thiªn: - + y - - + y * Hµm sè nghþch biõn trªn mçi kho ng ( ;) vµ ( ;+ ) ) å thþ: + å thþ c¾t trôc tung t¹i ; vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ióm ; + NhËn Ðt: å thþ nhën giao ióm I( ; ) cña hai tiöm cën lµm t m èi øng. y -,5,5 / O / I. T m M Ó êng trßn cã diön tých nhá nhêt..., Ta cã: M ;,, y'() ( ) Ph ng tr nh tiõp tuyõn víi ( C) t¹i M cã d¹ng: : y ( ) + ( ),5

A A + B + ya + yb,5 Ta thêy M, ym suy ra M lµ trung ióm cña AB. MÆt kh c I (; ) vµ tam gi c IAB vu«ng t¹i I nªn êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c IAB cã diön tých,5 S πim π ( ) + π ( ) + π ( ) To¹ é giao ióm A, B cña ( ) vµ hai tiöm cën lµ: ; ; B( ;) DÊu y ra khi ( ) ( ),5 Do ã cã hai ióm M cçn t m lµ M(; ) vµ M(; ) II. Gi i ph ng tr nh l îng gi c... ióm π + sin sin cos sin cos () π ( ) + sin sin cos sin + cos + sin,5 sin sin cos sin sin sin cos.sin cos,5 sin sin sin + sin +,5 sin kπ kπ sin π k, k π Z + kπ π + kπ sin + sin +,5 II. Gi i bêt ph ng tr nh... ióm < > < K: < (*),5 ( ) + > > Víi iòu kiön (*) bêt ph ng tr nh t ng ng víi: log( ) > + ( + ) [ log( ) ],5 log ( ) + < [ ] > > > log + < < ( ) log ( ) ( ) < > < < < < log( ) + > log ( ) > ( ) > KÕt hîp víi iòu kiön (*) ta cã: < < hoæc <.,5,5

III TÝnh tých ph n... ióm e ln I d + + ln e e lnd ln +) TÝnh I d. Æt t + ln t + ln ; tdt d + ln æi cën: t ; e t I ( t ) t ( ) ( ).tdt t dt t t,5 d e du u ln +) TÝnh I ln d. Æt,5 dv d v e e e + e e e e + I.ln d.,5 9 9 9 5 + e I I + I,5 IV TÝnh thó tých h nh chãp... ióm S,5 M A C Theo Þnh lý c«sin ta cã: SB SA + AB SA.AB. cos SAB a + a.a.a.cos a Suy ra SB a. T ng tù ta còng cã SC a. Gäi M lµ trung ióm cña SA, do hai tam gi c SAB vµ SAC lµ hai tam gi c c n nªn MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC). Ta cã V S.ABC VS.MBC + VA.MBC MA.S MBC + SA.S MBC SA. S MBC Hai tam gi c SAB vµ SAC cã ba cæp c¹nh t ng øng b»ng nhau nªn chóng b»ng nhau. Do ã MB MC hay tam gi c MBC c n t¹i M. Gäi N lµ trung ióm cña BC suy ra MN BC. T ng tù ta còng cã MN SA. MN Do ã AN V AM AB BN AM a a a a 6 a MN.,5,5,5 a a a SA. MN.BC a.. 6 6,5 S.ABC B N

V T m gi trþ nhá nhêt cña bióu thøc... ióm p dông BÊt ¼ng thøc C«si cho ba sè d ng ta cã 9 ( + y + z) + + yz 9 + + (*) y z yz y z + y + z,5 9 p dông (*) ta cã P + + a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a p dông BÊt ¼ng thøc C«si cho ba sè d ng ta cã a+ b + + ( a+ b). ( a+ b + ) b + c + +,5 ( b + c). ( b + c + ) c+ a + + ( c+ a). ( c+ a + ) Suy ra a + b + b + c + c + a ( a b c) 6 + + +. 6 +,5 Do ã P DÊu y ra a + b + c a b c a+ b b + c c+ a VËy P ¹t gi trþ nhá nhêt b»ng khi a b c / VIa. LËp ph ng tr nh êng th¼ng... ióm C ch : d cã vect chø ph ng a (; ) ; d cã vect chø ph ng (;6 ) Ta cã: a.a..6 nªn d d vµ d c¾t d t¹i mét ióm I kh c P. Gäi d lµ êng th¼ng i qua P( ; -) cã ph ng tr nh: d : A( ) + B(y + ) A + By A + B d c¾t d, d t¹o ra mét tam gi c c n cã Ønh I khi vµ chø khi d t¹o víi d ( hoæc d ) mét gãc 5 A B A B cos5 A 8AB B A + B + ( ) B A * NÕu A B ta cã êng th¼ng d : + y 5,5 * NÕu B -A ta cã êng th¼ng d : y 5 VËy qua P cã hai êng th¼ng tho m n yªu cçu bµi to n. d : + y 5,5 d : y 5 C ch : Gäi d lµ êng th¼ng cçn t m, khi ã d song song víi êng ph n gi c ngoµi cña Ønh lµ giao ióm cña d, d cña tam gi c cho. C c êng ph n gi c cña gãc t¹o bëi d, d cã ph ng tr nh,5 y + 5 + 6y 7 9y + ( ) y + 5 + 6y 7 + ( ) + 6 9 + y + 8 ( ) +) NÕu d // th d cã ph ng tr nh 9y + c.,5 Do P d nªn 6 + 9 + c c 5 d : y 5 +) NÕu d // th d cã ph ng tr nh 9 + y + c. Do P d nªn 8 + c c 5 d : + y 5 VËy qua P cã hai êng th¼ng tho m n yªu cçu bµi to n. d : + y 5 d : y 5 a,5,5,5,5,5

VIa. X c Þnh t m vµ b n kýnh cña êng trßn... ióm DÔ thêy A ( ; -; ) * Gi sö ph ng tr nh mæt cçu ( S) i qua A, B, C, D lµ:,5 + y + z + a + by + cz + d, ( a + b + c d > ) 5 a b + d + a a + 6b + c + d + V A',B,C,D ( S) nªn ta cã hö: b 8a + 6b + c + d + 9 c 8a b + c + d d VËy mæt cçu ( S) cã ph ng tr nh: + y + z 5 y z + 5 9 (S) cã t m I ;;, b n kýnh R +) Gäi H lµ h nh chiõu cña I lªn (P). H lµ t m cña êng trßn ( C) +) Gäi ( d) lµ êng th¼ng i qua I vµ vu«ng gãc víi (P). (d) cã vect chø ph ng lµ: n ( ;; ) 5/ + t 5 Suy ra ph ng tr nh cña d: y + t H + t ; + t; + t z + t 5 5 5 5 Do H ( d) (P) nªn: + t + + t + + t t t H ; ; 6 6 6 75 5 IH, (C) cã b n kýnh 6 6,5,5 9 75 86 r R IH,5 6 6 6 VII a. T m sè nguyªn d ng n biõt... ióm n+ k k k n+ n+ * XÐt ( ) Cn+ Cn+ + Cn+... + ( ) Cn+ +... Cn+ () * LÊy ¹o hµm c hai võ cña () ta cã: n k k k n+ n (n + )( ) C + C... + ( ) kc +... (n )C (),5 L¹i lêy ¹o hµm c hai võ cña () ta cã: n n(n + )( ) C C +... + ( ) n+ n+ n+ + n+ n+ k k(k )C k n+ k n+ +... n(n + )C n+ n n+ Thay vµo ¼ng thøc trªn ta cã: n(n + ) C..C +... + ( ) k(k ) C +... n(n + ) C k k k n n+ n+ n+ n+ n+ Ph ng tr nh cho n(n + ) n + n n,5 VIb. ViÕt ph ng tr nh chýnh t¾c cña E lýp ióm (H) cã c c tiªu ióm F ( 5; );F ( 5; ). H nh ch nhët c së cña (H) cã mét Ønh lµ,5 M( ; ), y Gi sö ph ng tr nh chýnh t¾c cña (E) cã d¹ng: + ( víi a > b) a b F 5; ;F 5; a b 5 (E) còng cã hai tiªu ióm ( ) ( ) ( ) M( ;) ( E) 9a + 6b a b ( ) a 5 + b Tõ () vµ () ta cã hö: 9a + 6b a b a b 5 y VËy ph ng tr nh chýnh t¾c cña (E) lµ: +,5 5,5,5,5,5

VIb. T m ióm M thuéc Ó AM ng¾n nhêt ióm t ChuyÓn ph ng tr nh d vò d¹ng tham sè ta îc: y t z t +,5 Gäi I lµ giao ióm cña (d) vµ (P) I ( t ; t ; t + ) I P t + ( t ) ( t ) + 5 t I ;; Do ( ) ( ) * (d) cã vect chø ph ng lµ a (;; ), mp( P) cã vect ph p tuyõn lµ n ( ;; ) a,n ;;. Gäi u lµ vect chø ph ng cña u( ;; ) [ ] ( ) u y u z + u :. V M M( u;u; + u), AM( u;u ;u),5,5 AM ng¾n nhêt AM AM u AM.u ( u) + (u ) +.u 7 6,5 u. VËy M ; ; VIIb Gi i hö ph ng tr nh:... ióm + y y+ +. () + + y + () + Ph ng tr nh () + + y + ( + y ) + y y y y y y y 8 * Víi thay vµo () +. 8 +. y log + * Víi thay y vµo () ta îc: +. y Æt t + V nªn t ( ) log ( + 8) t 8 lo¹i () t + 6 t 6t + t t + 8 y log( + 8) [ log ( + 8) ] VËy hö ph ng tr nh cho cã nghiöm 8 vµ y log y log(+ 8) [ ] 8,5,5,5,5

IV TÝnh thó tých khèi l ng trô, A C B H A O M C B Gäi M lµ trung ióm cña BC, gäi H lµ h nh chiõu vu«ng gãc cña M lªn AA, Khi ã (P) (BCH). Do gãc A ' AM nhän nªn H n»m gi a AA. ThiÕt diön cña l ng trô c¾t bëi (P) lµ tam gi c BCH. a a Do tam gi c ABC Òu c¹nh a nªn AM,AO AM a a a Theo bµi ra S BCH HM.BC HM 8 8 AH AM HM a a 6 a Do hai tam gi c A AO vµ MAH ång d¹ng nªn AO.HM a a a suy ra A ' O AH a 5 A ' O HM AO AH a a a ThÓ tých khèi l ng trô: V A' O.S ABC A' O.AM.BC a,5 V T m gi trþ lín nhêt..., Ta cã a +b ab, b + b a + b + a + b + b + + ab + b + T ng tù, b + c + bc + c + c + a + ca + a +,5 ab b P + + + + ab+ b + bc+ c + ca+ a + ab+ b + b + + ab + ab+ b,5 P khi a b c. VËy P ¹t gi trþ lín nhêt b»ng khi a b c.,5 VIa. ViÕt ph ng tr nh êng trßn i qua giao ióm cña(e) vµ (P), Hoµnh é giao ióm cña (E) vµ (P) lµ nghiöm cña ph ng tr nh ( ) 9 6 7,5 + + 9 (*) 9 XÐt f() 9 6 + 7 9, f() liªn tôc trªn R cã f(-)f() <, f()f() <, f()f() <, f()f() < suy ra (*) cã nghiöm ph n biöt, do ã (E),5 c¾t (P) t¹i ióm ph n biöt y To¹ é c c giao ióm cña (E) vµ (P) tháa m n hö + y 9,5,5,5,5

8 6 8y 9 + 9y 6 8y 9 (**) + 9y 9 8 6 (**) lµ ph ng tr nh cña êng trßn cã t m I ;, b n kýnh R Do 9 9 9,5 ã giao ióm cña (E) vµ (P) cïng n»m trªn êng trßn cã ph ng tr nh (**) VIa. ViÕt ph ng tr nh mæt ph¼ng (β)..., Do (β) // (α) nªn (β) cã ph ng tr nh + y z + D (D 7) MÆt cçu (S) cã t m I(; -; ), b n kýnh R 5 êng trßn cã chu vi 6π nªn cã b n kýnh r.,5 Kho ng c ch tõ I tíi (β) lµ h R r 5,5 Do ã.+ ( ) + D D 7 5 + D + + ( ) D 7 (lo¹i),5 VËy (β) cã ph ng tr nh + y z - 7,5 VII.a T m hö sè cña..., n n n Ta cã I ( + ) d ( C n + C n + C n + L + C n ) n n+ C n + C n + C n + L + C n n + n+ n suy ra I C n + C n + C n + L + C n () n + n+ n+ MÆt kh c I ( + ) () n + n + n+ Tõ () vµ () ta cã C n + C n + C n + L + C n + n+ Theo bµi ra th 656 n + 656 n 7 n + n + 7 + 9 + a + 6b + c a 8/ 5,5 + 6 a 8b + c b 7 /8 5 + + a + b + c c 8/ 7 8 7 8 VËy (C) cã ph ng tr nh + y + y,5 7 9 7 6 d n n n + n + 7 7 7 k k k Ta cã khai trión + C 7 ( ) C k 7,5 k Sè h¹ng chøa øng víi k tháa m n k VËy hö sè cçn t m lµ C 7,5 VIb. ViÕt ph ng tr nh êng trßn..., Do B d nªn B (m; - m 5), C d nªn C (7 n; n),5 + m+ 7 n. m n m Do G lµ träng t m tam gi c ABC nªn m 5+ n. m+ n n,5 Suy ra B (-; -), C (5; ) Gi sö êng trßn (C) ngo¹i tiõp tam gi c ABC cã ph ng tr nh + y + a + by + c. Do A, B, C (C) nªn ta cã hö k k,5,5

VIb. T m gi trþ nhá nhêt..., 7 8 Gäi G lµ träng t m cña tam gi c ABC, suy ra G ; ;,5 F MA + MB + MC MG + GA + MG + GB + MG + GC Ta cã ( ) ( ) ( ) MG + GA + GB + GC + MG(GA + GB + GC) MG + GA + GB + F nhá nhêt MG nhá nhêt M lµ h nh chiõu cña G lªn (P),5 7 / 8/ 9 MG d(g,(p)) + +,5 56 6 GA + GB + GC + + 9 9 9 9 6 55 VËy F nhá nhêt b»ng. + khi M lµ h nh chiõu cña G lªn (P) 9,5 VIIb Gi i hö ph ng tr nh mò, y + y y e + e ( + ) e + y + + y + y e y + e y + v v e u + e u + () Æt u + y, v - y ta cã hö u u v e v + e e v u (),5 - NÕu u > v th () cã võ tr i d ng, võ ph i m nªn () v«nghiöm - T ng tù nõu u < v th () v«nghiöm, nªn () u v,5 ThÕ vµo () ta cã e u u+ (). XÐt f(u) e u - u-, f'(u) e u - B ng biõn thiªn: u - + f'(u) - + f(u) GC,5 Theo b ng biõn thiªn ta cã f(u) u. + y Do ã () cã nghiöm u v y y VËy hö ph ng tr nh cho cã mét nghiöm (; ),5 7

c c c cm«n Tr êng T.H.P.T NguyÔn Trung Ng¹n Ò thi thö ¹i häc n m 9 to n - Khèi A Thêi gian 8 phót ( kh«ng kó giao Ò ) PhÇn A : Dµnh cho têt c c c thi sinh. C u I (, ióm) ) Kh o s t sù biõn thiªn vµ vï å thþ (c) cña hµm sè : y + m ) BiÖn luën theo m sè nghiöm cña ph ng tr nh : π 5 7π 9π C u II (, ióm ) ) Gi i ph ng tr nh : cos sin sin + + 9 y 5y ) Gi i hö ph ng tr nh : y 9 y z 5z z 9z 5 C u III(, ióm ) ) TÝnh tých ph n : ( + ) d + + + ) Cho, y, z lµ ba sè thùc tháa m n : - + -y + -z.chøng minh r»ng : y z + + y+ z y z+ z + y y z + + + + + C u IV (, ióm ) : Cho h nh chãp S.ABCD cã y ABCD lµ h nh ch nhët víi AB a, AD a. C¹nh SA vu«ng gãc víi mæt ph¼ng y, c¹nh bªn SB t¹o víi mæt ph¾ng y mét gãc 6. Trªn c¹nh SA lêy ióm M sao cho a AM, mæt ph¼ng ( BCM) c¾t c¹nh SD t¹i N. TÝnh thó tých khèi chãp S.BCNM. PhÇn B ( ThÝ sinh chø îc lµm mét trong hai phçn ( phçn hoæc phçn ) PhÇn ( Dµnh cho häc sinh häc theo ch ng tr nh chuèn ) C u V.a (, ióm ) Trong kh«ng gian víi hö täa é yz cho hai êng th¼ng : d : y z + 7 y z ; d : 6 8 6 9 ) Chøng minh r»ng d vµ d song song. ViÕt ph ng tr nh mæt ph¼ng ( P) qua d vµ d. ) Cho ióm A(;-;),B( ;- ;-).T m ióm I trªn êng th¼ng d sao cho IA +IB ¹t gi trþ nhá nhêt C u VI.a (. ióm) Gi i ph ng tr nh : log ( + ) + log log + log ( + ) 9 7 PhÇn ( Dµnh cho häc sinh häc ch ng tr nh n ng cao ) C u V.b (, ióm) Trong kh«ng gian víi hö täa é yz cho hai êng th¼ng : D : y z, D : t y z t ) Chøng minh r»ng D chðo D. ViÕt ph ng tr nh êng vu«ng gãc chung cña D vµ D ) ViÕt ph ng tr nh mæt cçu cã êng kýnh lµ o¹n vu«ng gãc chung cña D vµ D C uvi.b (, ióm) Cho ph ng tr nh : log + log + m, ( m lµ tham sè ). 5 5 T m c c gi trþ cña tham sè m Ó ph ng tr nh cho cã Ýt nhêt mét nghiöm thuéc o¹n.hõt Gi m thþ coi thi kh«ng gi i thých g thªm. ;5

H íng dén gi i : PhÇn A : Dµnh cho têt c c c thý sinh C u I : ) ( ThÝ sinh tù kh o s t vµ vï å thþ ) ) å thþ hµm sè y ( ), víi cã d¹ng nh h nh vï : - + m - y m Dùa vµo å thþ ta cã : *) NÕu m < - : Ph ng tr nh v«nghiöm *) NÕu m - : Ph ng tr nh cã hai nghiöm *) NÕu < m < : Ph ng tr nh cã nghiöm ph n biöt *) nõu m : Ph ng tr nh cã hai nghiöm ph n biöt π 5 7π 9π C u II : ) cos sin sin + + ( ) 5 π π π ( ) sin sin cos - cos cos cos + π cos hoæc cos( + ). Gi i c c ph ng tr nh c b n t m îc nghiöm : π kπ π +, + k π, kπ y 9 y 5y 9 + 5 ) Ta cã y 9y z 5z y z ( ). Tõ hö ta cã, y, z kh«ng m 9y 5 + z 9z 5 z 9z + 5 *) NÕu th y z suy ra ( ;; ) lµ nghiöm cña hö t *) NÕu >, y>, z >. XÐt hµm sè : f(t), t > 9t + 5 Ta cã f 5t (t) > víi mäi t >. ( 9t + 5 ) Do ã hµm sè f(t) ång biõn trªn kho ng ( ;+ ) y f ( ) HÖ () îc viõt l¹i z f ( y). f ( z) Tõ týnh ång biõn cña hµm f ta dô dµng suy ra y z. Thay vµo hö ph ng tr nh Ta îc nghiöm y z 5.

NghiÖm cña hö lµ ( ) C u III ) TÝnh tých ph n I Æt t 5 5 5 ;;, ; ; ( + ) d + + + +. Ta cã I ( 6) t + t dt + dt ( 6 ) + t + t + t t + t t dt + t + 8 8-8 + dt dt t + - 8 + 8ln 8 ln t + ) Cho, y, z lµ ba sè thùc tháa m n : - + -y + -z.chøng minh r»ng : y z + + y+ z y z+ z + y y z + + + + + Æt a, y b, z c. Tõ gi thiõt ta cã : ab + bc + ca abc a b c a + b + c BÊt ¼ng thøc cçn chøng minh cã d¹ng : + + a + bc b + ca c + ab a b c a + b + c ( *) + + a + abc b + abc c + abc a b c a + b + c + + ( a + b)( a + c) ( b + c)( b + a) ( c + a)( c + b) a a + b a + c Ta cã + + a ( a + b)( a + c) 8 8 ( ) ( BÊt ¼ng thøc C«si) b b + c b + a T ng tù + + b ( b + c)( b + a) 8 8 ( ) c c + a c + b + + c ( c + a)( c + b) 8 8 ( ). Céng võ víi võ c c bêt ¼ng thøc ( ), ( ), () suy ra iòu ph i chøng minh C u IV : S H ( *) M N A D B C TÝnh thó tých h nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nªn mæt ph¼ng nµy c¾t mp( SAD) theo giao tuyõn MN // AD BC AB Ta cã : BC BM. Tø gi c BCMN lµ h nh thang vu«ng cã BM lµ êng cao BC SA

Ta cã SA AB tan6 a, Suy ra MN a a. BM S a a + BC + MN a a BM a a MN SM MN AD SA a a DiÖn tých h nh thang BCMN lµ : H¹ AH BM. Ta cã SH BM vµ BC (SAB) BC SH. VËy SH ( BCNM) SH lµ êng cao cña khèi chãp SBCNM Trong tam gi c SBA ta cã SB a, AB AM SB MS. VËy BM lµ ph n gi c cña gãc SBA SBH SH SB.sin a Gäi V lµ thó tých chãp SBCNM ta cã V.( ) SH dtbcnm a 7 PhÇn B. (ThÝ sinh chø îc lµm phçn I hoæc phçn II) PhÇn I. (Danh cho thý sinh häc ch ng tr nh chuèn) C u V.a.) VÐc t chø ph ng cña hai êng th¼ng lçn l ît lµ: u ur (; - 6; - 8) u uur ( - 6; 9; ) +) u ur vµ u uur cïng ph ng +) M( ; ; - ) d ; M( ; ; - ) d VËy d // d A *) VÐc t ph p tuyõn cña mp (P) lµ n r ( 5; - ; 9) (P): 5 y + 9z + 9 uuur H ) AB ( ; - ; - ); AB // d d I Gäi A lµ ióm èi øng cña A qua d Ta cã: IA + IB IA + IB A B IA + IB ¹t gi trþ nhá nhêt b»ng A B A Khi A, I, B th¼ng hµng I lµ giao ióm cña A B vµ d Do AB // d nªn I lµ trung ióm cña A B. 6 5 *) Gäi H lµ h nh chiõu cña A lªn d. T m îc H ; ; 9 9 9 95 8 A èi øng víi A qua H nªn A ; ; 9 9 9 65 I lµ trung ióm cña A B suy ra I ; ; 9 58 9 C u VI a) log 9 ( + ) + log log + log ( + ) () K: < < () log ( + ) + log log ( ) + log ( + ) log + log (6 ) + 6 Gi i ph ng tr nh t m îc hoæc - PhÇn II. C u V. b. ) C c vðc t chø ph ng cña D vµ D lçn l ît lµ u ur ( ; - ; ) vµ u uur ( - ; ; ) *) Cã M( ; ; ) D ; N( ; ; ) D ur uur uuuur XÐt u; u. MN - 7 B

VËy D chðo D *) Gäi A( + t; t; t) D B( t ; ; t ) D uuurur AB. u t uuur uur AB. u t ' A 5 ; ; ; B (; ; ) êng th¼ng qua hai ióm A, B lµ êng vu«ng gãc chung cña D vµ D. + t Ta cã : y + 5t z t *) Ph ng tr nh mæt cçu nhën o¹n AB lµ êng kýnh cã d¹ng: 5 y z 6 + + + 6 6 b.) Æt t log5 + ta thêy nõu ;5 th t [ ; ] Ph ng tr nh cã d¹ng: t + t m ; t [ ; ] t + t m ; t [ ; ] LËp bêt ph ng r nh hµm f(t) t + t trªn [ ; ] ta îc f(t) 5 K cña m lµ: m 5 u ur A B D u uur D

Tr êng THPT «ng S n k thi KSCL tr íc tuyón sinh n m 9 (lçn ) M«n Thi: To n Thêi gian: 8 phót (kh«ng kó thêi gian giao Ò) ( Ò thi gåm trang) PhÇn chung cho têt c c c thý sinh (7 ióm ) C u I: ( ióm) Cho hµm sè y. Kh o s t sù biõn thiªn vµ vï å thþ (C) cña hµm sè.. Cho M lµ ióm bêt k trªn (C). TiÕp tuyõn cña (C) t¹i M c¾t c c êng tiöm cën cña (C) t¹i A vµ B. Gäi I lµ giao ióm cña c c êng tiöm cën. T m to¹ é ióm M sao cho êng trßn ngo¹i tiõp tam gi c IAB cã diön tých nhá nhêt. C u II ( ióm) π. Gi i ph ng tr nh + sin sin cos sin cos. Gi i bêt ph ng tr nh log ( + ) > ( + )log C u III ( ióm) ln TÝnh tých ph n I + ln d + ln C u IV ( ióm) e a Cho h nh chãp S.ABC cã AB AC a. BC. SA a, SAB SAC. TÝnh thó tých khèi chãp S.ABC. C u V ( ióm) Cho a, b, c lµ ba sè d ng tho m n : a + b + c. T m gi trþ nhá nhêt cña bióu thøc P + a + b b + c c + + a PhÇn riªng ( ióm) ThÝ sinh chø îc lµm mét trong hai phçn: PhÇn hoæc phçn PhÇn :(Theo ch ng tr nh ChuÈn) C u VIa ( ióm). Trong mæt ph¼ng víi hö trôc to¹ é Oy cho cho hai êng th¼ng d : y + 5. d : +6y 7. LËp ph ng tr nh êng th¼ng i qua ióm P( ; -) sao cho êng th¼ng ã c¾t hai êng th¼ng d vµ d t¹o ra mét tam gi c c n cã Ønh lµ giao ióm cña hai êng th¼ng d, d.. Trong kh«ng gian víi hö trôc to¹ é Oyz cho ióm A( ; -; ), B( ; ; ), C( ; ; ), D( ; -; ) vµ mæt ph¼ng (P) cã ph ng tr nh: + y + z. Gäi A lµ h nh chiªó cña A lªn mæt ph¼ng Oy. Gäi ( S) lµ mæt cçu i qua ióm A, B, C, D. X c Þnh to¹ é t m vµ b n kýnh cña êng trßn (C) lµ giao cña (P) vµ (S). C u VIIa ( ióm) T m sè nguyªn d ng n biõt: C.. C +... + ( ) k( k ) C +... n(n + ) C k k k n n n+ n+ n+ n+

PhÇn : (Theo ch ng tr nh N ng cao) C u VIb ( ióm).trong mæt ph¼ng víi hö trôc to¹ é Oy cho Hypebol (H) cã ph ng tr nh: y 6 9. ViÕt ph ng tr nh chýnh t¾c cña elip (E) cã tiªu ióm trïng víi tiªu ióm cña (H) vµ ngo¹i tiõp h nh ch nhët c së cña (H).. Trong kh«ng gian víi hö trôc to¹ é Oyz cho ( P ): + y z + 5 vµ êng th¼ng + ( d ) : y + z, ióm A( -; ; ). Gäi lµ êng th¼ng n»m trªn (P) i qua giao ióm cña ( d) vµ (P) ång thêi vu«ng gãc víi d. T m trªn ióm M sao cho kho ng c ch AM ng¾n nhêt. C u VIIb ( ióm): Gi i hö ph ng tr nh + + y. + + y y+ + -------------- HÕt-------------- Chó ý: ThÝ sinh dù thi khèi B vµ D kh«ng ph i lµm c u V ThÝ sinh kh«ng îc sö dông tµi liöu. C n bé coi thi kh«ng gi i thých g thªm Hä vµ tªn thý sinh:--------------------------- Sè b o danh:-----------------------------

Tr êng THPT «ng s n I k thi KSCL tr íc tuyón sinh n m 9 ( lçn II) H íng dén chêm m«n to n - ióm toµn bµi thi kh«ng lµm trßn - Häc sinh lµm c ch kh c nõu óng vén îc ióm tèi a. - NÕu häc sinh lµm c hai phçn trong phçn tù chän th kh«ng týnh ióm phçn tù chän - ThÝ sinh dù thi khèi B, D kh«ng ph i lµm c u V, thang ióm dµnh cho c u I. vµ c u III lµ,5 ióm C u Néi dung ióm I. Kh o s t hµm sè vµ vï å thþ hµm sè..., ) Hµm sè cã TX : R \ { },5 ) Sù biõn thiªn cña hµm sè: a) Giíi h¹n v«cùc vµ c c êng tiöm cën: * lim y ; lim y + +,5 Do ã êng th¼ng lµ tiöm cën øng cña å thþ hµm sè * lim y lim y êng th¼ng y lµ tiöm cën ngang cña å thþ hµm sè + b) B ng biõn thiªn: Ta cã: y' <, ( ) B ng biõn thiªn: - + y - - + y * Hµm sè nghþch biõn trªn mçi kho ng ( ;) vµ ( ;+ ) ) å thþ: + å thþ c¾t trôc tung t¹i ; vµ c¾t trôc hoµnh t¹i ióm ; + NhËn Ðt: å thþ nhën giao ióm I( ; ) cña hai tiöm cën lµm t m èi øng. y -,5,5 / O / I. T m M Ó êng trßn cã diön tých nhá nhêt..., Ta cã: M ;,, y'() ( ) Ph ng tr nh tiõp tuyõn víi ( C) t¹i M cã d¹ng: : y ( ) + ( ),5