Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α, să rzult f( V DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric şir (, D\{α}, vâd α =α rzultă f ( = l (critriul cu şiruri DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ε>, δ ε > stfl îcât D\{α} şi - α< δ ε α rzultă f( - l< ε DfiiŃi f ( = l,dcă l s = l d =l, ud l = f ( şi l = f ( α s α <α OprŃii cu it d fucńii f :D R, g:d R, α - puct d cumulr lui D, f ( = l ( f ( + g( = l + l α f ( g( = l l α f ( = l α f ( dc l, = α g( l Limit tip α l α + + + = α + α ( + + ( + + + = ± ± + + + α + α + + = m m m m α b + b + + bm bα + bα + + bm + + + = m m m ± b + b + + bm ± b = α, α R+, N, = α * α =, α R, R+ \ { } = α d g( = l, α +, =, =, dcă > α >α, l,l R
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- =, =, dcă < < α * + log = log α, α > fiit, α R \ { } log = şi log = dcă > log = şi > > log = dcă << si = siα, cos = cosα tg= tg, + Z α α α α, α ctg= ctgα, α Z tg=, tg= α < ctg= < ctg= >, rcsi = rcsiα, α [, > ], rccos = rccos, [, ] α α α α rctg= rctgα, α R, rcctg= rcctgα, α R α α rctg= rcctg=, rcctg= si tg =, Z, > rcsi =, =, =, = + ± l(+ = = l, >, (+ r = r, r =,(+ = R rctg rctg=,
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- LIMITELE FUNCłIILOR ELEMENTARE FUNCłIA PUTERE f : R R, f( =, ud umăr turl ul = + = = Empl: = c = d = b =, ptru că ( = c =, ptru că ( = FUNCłIA RADICAL ( DE ORDIN f:[, R, f ( = Empl: + = b = =, ptru că + ( + =+ =, ptru că ( = = d = FUNCłIA EXPONENłIALĂ f : R R, f( =, ud = bză, >, =, dcă > ( dică bză supruitră =, dcă (, Empl: =, ptru că = > b, =, ( dică bză subuitră, ptru că =, >, ir - ( = + c =, ptru că = > d =, ptru că = >, =, ptru că =, < f =, ptru că = =, g =, ptru că =, FUNCłIA LOGARITMICĂ f (, R + =, ir - ( = = :, f( = l ( logritmul turl, î bz =,, umărul lui Eulr l = Empl: l(+ = b l( = c l( + =, ptru că + ( + =+ =, ptru că ( ==, ptru că -+ ( + =+ =
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- d l( =, ptru că - ( = ( == ErciŃii: Să s clculz următorl it (plicâd rzulttul găsit: +, -,- l(+ l(- ( + +, +, + l( + - ( +, + l + - -,-+,- + + -,--,-,- l(- l(-+ l ( - + l( - - + - -l(+ + - + l( + + - (-
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- LIMITELE FUNCłIILOR POLINOMIALE ŞI A FUNCłIILOR RAłIONALE LIMITE DE FUNCłII POLINOMIALE Empl d fucńii poliomil: f( = +, fucńi poliimilă d grdul I f( = +-, fucńi poliimilă d grdul II f( = +, fucńi poliimilă d grdul III Dci grdul ui fucńii poliomil st c mi mr putr l cr pr cuoscut Fi f( = + - - + + o o fucńi poliomilă d grdul, tuci it s câd st: f ( = ( b Empl: - +- = ( = ( = - + + - -+ = - ( = Empl d fucńii rńiol: f( = ( = LIMITE DE FUNCłII RAłIONALE +, f( =, f ( = + Fi f( = + - - + + o o fucńi poliomilă d grdul şi g( = b i i +b i- i- ++b o o fucńi poliomilă d grdul i, tuci: f ( g ( =, dcă grd f = grd g bi, dcă grd g > grd f, dcă grd f > grd g şi umrl şi b i u clşi sm -, dcă grd f > grd g şi umrl şi b i u sm difrit Empl: = = + = + = + + = + sm difrit, u grdl gl cu, grdul d sus st mi mr, ir umrl şi u clşi sm, grdul d sus st mi mr, ir umrl şi - u sm difrit, grdul clui d jos st mi mr, grdul clui d sus st mi mr, ir umrl - şi u
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- = + =, u grdl gl cu, grdul clui d jos st mi mr ErciŃii ptru mucă idpdtă Să s clculz următorl it, plicâd rzulttul găsit: + (- + +- ( - + + + ( - + (- +- (-+ + + + + + + + ( +- (- - ++ (- + + + + + + + + + + + + + + + (- +- ( - +- (- - +-
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + l( l( + + l( + l( + ( + + Să s dtrmi prmtrii rli şi b, stfl îcât : + b + = Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : + + + + + + + + + + + + + +
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- + + + + ( N* ( m m, N* m + + + + + + + + m şi p fiid umr turl, să s fl : Să s fl : m p m p ( ( ( ( Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : α β, (α > si si Să s clculz itl d fucńii : l (+ l (+ l (+ l (+ l (+ l (+ l (+ + l (+ + l ( l ( + si l ( + si l( + tg
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- l ( + rcsi si Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : si si si si ( si si si si + si si si si rcsi ( + si ( si si ( + si ( + + si ( rcsi ( + rcsi ( + si ( Să s clculz itl d fucńii : tg tg tg tg tg β α, β tg ( + rctg rctg Să s clculz itl d fucńii : siα tg β rcsi ( tg ( rcsi ( rctg ( Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : + +
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + b b Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : ( + ( + ( + + ( + + ( + + ( + + + ( + + + ( + ( + ( + + + ( + ( + + + + + cos si
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- si si ( + ( + ( ( + ( l( + l [ l( l ] + Ndtrmiări : Să s clculz itl d fucńii : + + + + ( + + + + + + ( + ( + + + ( + si ( si + + + b + + AflŃi vloril prmtrului, ptru cr : + + + + + + + + + st : - b c d - st: b c d =