DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR

Transcript

1 Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor, dică studiului codińilor î cre se pote tş uei cure u umăr pozitiv cre să joce rolul uei lugimi Vom fce referiri l drumuri î spńiul pl euclidi DefiiŃie Orice fucńie f:[,]6r, cotiuă pe [,],,R, < se umeşte drum î R, ir mulńime f([,]) se umeşte urm drumului Dcă f:[,]6r este u drum î spńiul R, tuci puctele f() şi f() se umesc cpetele drumului U drum cărui cpete coicid, se umeşte drum îchis, ir u drum cărui cpete sut disticte, se umeşte e-îchis U drum f:[,]6r se umeşte simplu dcă u există ici o pereche de pucte t',t"[,] stfel îcât: <t"-t'<- şi f(t')=f(t") Se costtă că: ) u drum îchis f:[,]6r este simplu dcă şi umi dcă fucńi f* [,] este ijectivă; ) u drum eîchis f:[,]6r este simplu dcă şi umi dcă fucńi f este ijectivă Dcă f :[, ]6R şi f :[, ]6R sut drumuri î R stfel c f ( )=f ( ), tuci fucńi: f cf :[, +( - )]6R defiită pri: f ( t) dc t [, ] (f cf )(t)= f( t) dc t (, + ( )) este u drum î R, cre se umeşte reuiue drumului f cu drumul f Urm cestui drum este reuiue urmelor lui f şi f Iductiv se pote defii reuiue f ccf drumuri f :[, ]6R,,f :[, ]6R, (ude N *, $) dcă ceste se ucură de propriette: f j ( j )=f j+ ( j+ ), ( )j{,,-} DefiiŃie U drum se umeşte poligol dcă există o diviziue =(t,t,,t ) itervlului [,] stfel îcât f ccf =f, ude f j :[t j-,t j ]6R, (j{,,} este defiit pri: t t j t t j f j ( t) = f ( t j ) f ( t j ) t j t + j t j t j petru orice t[t j-,t j ] Urm uui drum poligol se umeşte liie poligolă Exemplu: Dcă drumul este dt î coordote prmetrice, sistemul simult x= cost cu t[,π], > y= sit

2 Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri re drept imgie grfică mulńime puctelor uui cerc cu cetrul î origie şi de rză Sistemul cest împreuă cu imgie s grfică reprezită u drum Teorem Fie f:[,]6r o fucńie derivilă cu derivt cotiuă pe [,] Notăm C={(x,y)R /#x#; y=f(x)} Lugime curei C defiită c mrgie superioră mulńimii perimetrilor "p" le tuturor liilor îscrise î cură S=sup{p} este dtă de l( C) = + dx DemostrŃie: Fie =(x,x,,x ) cu =x <x <<x = o diviziue itervlului [,] Pri puctele x i, i{,,} ducem prlele l Oy ońiîd puctele M i (i{,,}) de pe cură Di figură se vede că d(m i-,m i )= ( xi xi) + [ f ( xi ) f ( xi)] Aplicâd formul creşterilor fiite pe [x i-,x i ] petru f, vem: f(x i )f(x i- )=f '(ξ i )(x i x i- ), ξ[x i-,x i ] Rezultă d(m i-,m i )= = + [ f '( ξ i )] ( xi xi ) Notâd sum segmetelor [M i-,m i ] cu P (liie poligolă), vem:l( P) = + [ f '( ξ i )] ( xi xi ) Cosiderăm cum u şir de diviziui ( ) N şi clculâd lugime liiei poligole pri procedeul de mi sus petru fiecre diviziue, vom ve: l( P ) = + [ f '( ξ i )] ( xi x ) Trecâd l limită, vem: lim l( P ) = + dx i Se oservă că pe măsură ce creşte, lii poligolă P se propie de cur C, de cee pri defiińie se i: l( C) = + dx Mi treuie să rătăm că grficul fucńiei f:[,]6r, derivilă şi cu derivt cotiuă pe [,] re lugime fiită, dică există u umăr M * $ stfel îcât: = i l( P) d( M, M ) <M * i Di ipoteză f ' este cotiuă pe [,] rezultă + [ f '( x )] este cotiuă pe [,], deci mărgiită, dică există u umăr M$ stfel îcât + [ f '( x )] #M, ( )x[,] Atuci:

3 Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri l( P) = d( M, M ) = ( x x ) + [ f ( x ) f ( x )] = i i i i i i i i i i i = + [ f '( ξ )] ( x x ) M ( x x ) = M( ) = M * Lugime elemetului de rc este dtă de ds =dx +dy Exemplul Să se clculeze lugime cercului de ecuńie (C): x +y =R Rezultă y=± R x, x[-r,r] l( C) = 4l = 4 + dx= AB R R R x = 4 dx= 4Rrctg = πr R x R Deci l(c)=πr R Exemplul Să se clculeze lugime elipsei de ecuńie (E): x Rezultă x=cost; y=sit; t[,π] ds= dx + dy = si t+ cos tdt= = ( )cos tdt y + = dt= cos tdt= ( e cos t) dt, ude e< este excetricitte elipsei Lugime elipsei este dtă de: π l( E) = 4 e cos tdt Folosid dezvoltre î serie l( E) = 4 π + e cos t e cos t+ dt 4 4! şi di π ( )!! formul lui Wllis, = lim, rezultă: + ( )!! 4 ( ) ( ) l( E) = + e + e e π 4 4 ( ) Exemplul Să se clculeze lugime grficului fucńiei f(x)=x ; x[-,]

4 Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri Dtorită simetriei fńă de Oy este suficiet să clculăm lugime grficului restricńiei f lui f l [,] Avem: l( f ) = l( f ) = + dx= = + ( x) dx= 5+ l( + 5) Exemplul 4 Să se clculeze lugime stroidei de ecuńie x + y =, > Prim isectore y=x itersecteză stroid î puctul M(, ) Dtorită simetriei vem eglităńiile: lam = lamb = lstroidei 8 Deci, este suficiet să clculăm lugime grficului fucńiei f ( x) = x ; x, Derivâd fucńi f, ońiem; = x x = x + = + x x x = = x x x l( f ) = dx x dx + = = = = 4 Deci lugime stroidei este 8 l(f)=6 Exemplul 5 Lugime cicloidei Cicloid este dtă î coordote polre de sistemul: 4

5 Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri x= ( t si t), t[,π] y= ( cos t) Cicloid este locul geometric descris de u puct de pe u cerc de rză dtă cre se rostogoleşte fără luecre pe o dreptă Lugime uei ucle de cicloidă este dtă de: π l= ( cos t) + si tdt= π π t = ( cos t) dt= si dt = π t = si dt = 6 Spirle Se umesc spirle curele le căror rze vectore sut fucńii uivoce de ughiul ϕ, r=f(ϕ), ude ϕ vriză ître su -4 şi +4, ir r(ϕ) pote fi diferit de r(ϕ+π) De exemplu r=ϕ su r=e ϕ Exemplul 6 Să se clculeze lugime spirlei lui Arhimede Î coordote polre cestă spirlă re ecuńi r=ϕ DistŃ ditre puctele P,P, cre se găsesc pe ceeşi rză este costtă şi eglă cu π deorece r =(ϕ+π)=ϕ+π=r +π Elemetul de rc ds re vlore ds= + ϕ dϕ ; lugime rcului v fi: ϕ s= + d = + + ( + + ϕ ϕ ϕ ϕ ) l ϕ ϕ Petru vlori mri le lui ϕ rezultă s ϕ Exemplul 7 Să se clculeze lugime spirlei logritmice Î coordote polre cestă spirlă re ecuńi r=e ϕ, > Petru vlori egtive le lui ϕ cur se îfăşoră tot mi strâs, cu rz vectore descrescătore, î jurul polului O Lugime rcului s se pote clcul stfel: ds= r + r d ϕ = r + d ϕ = + dr, r, rz de r curură s= + dr = + ( r r) r 5