1. PROBLEMA LUNII NOIEMBRIE 2017 (EN/RO)... pag.2 Marin Chirciu
|
|
|
- Αιθήρ Δεσποτόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 EN/RO pg Mri Chirciu SOUȚII - PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 pg 3 Măescu Avr Coreliu Alte soluții dte de : Gheorghe Alexe, George-lori Șerb Rox, Mri Chirciu, Octvi Stroe, Buze Gbriel, Mihel Stciu, Nel Ciceu, Costti Telteu, Gheorghe Procopiuc, Codreu Io Viorel, Alexdru Ele - Mrcel 3 THE NUMBERS of IBONACCI d UCAS IDENTITIES - PROOS WITH EW WORDS pg Duitru M Bătieţu-Giurgiu d Neculi Stciu 4 O NOUĂ INEGAITATE AGEBRICĂ ȘI APICAȚII AE EI ÎN TRIUNGHI pg0 Mri Chirciu APICAȚII AE UNCȚIEI YAPUNOV A REZOVAREA PROBEMEOR DIUZIEI DE CĂDURĂ Apostol Georgi Mri
2 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo PROBEMA UNII NOIEMBRIE 07 Deteriți tote uerele rele pozitive și b petru cre b b b * b b, ude N b b b Prof Mri Chirciu, Pitesti Așteptă soluții cât i itereste pâă pe dt de 07 pe dres de e-il revist@teiforo
3 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo SOUȚII PROBEMA UNII OCTOMBRIE 07 Se dă u triughi ABC, uerele rele strict pozitive,, p şi puctele B [AC], C [AB] stfel îcât =, = Să se rte că dreptele BB, CC sut perpediculre dcă şi ui dcă + pab + + pac = + + p + BC Prof Măescu Avr Coreliu Soluţie utor: olosi coordotele coplexe Alege origie O î cetrul cercului circuscris triughiului ABC, cosideră şi puctul A [BC] stfel îcât =, deci O0, Az, Bz, Cz 3, z, z, z 3, z = z = z 3 = R, z z = c, z z 3 =, z 3 z = b cu otţiile uzule Ave = = +, de ude = R şi logele ie M u, M v ; fixul puctului M cre îprte segetul M M î rportul este z = Rezultă A, B, C Ave şi = =, deci, cofor reciprocei teoreei lui Cev, dreptele AA, BB, CC sut cocurete îtr-u puct G Să deteriă g = zg, fixul lui G Di relţi lui V Aubel ve Se deduce = + = + = g = = Dreptele BB, CC sut perpediculre dcă şi ui dcă GB + GC = BC, eglitte cre se trscrie î coplex + = su g = * Clculă 3
4 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo = g = = R, g + = 4R, = = R, vlori cre se substituie î * Se efectueză clculele, se grupeză tereii seee, se revie l otţiile = BC şi logele şi se obţie stfel eglitte di euţ Prof Gheorghe Alexe, Bril p p p p BB AB AC, p BB BC BA, Alte soluții, CC CA CB CC AB AC AB AC BC AB AC BC AB AC AB AC cos A AB AC, AB AC p BB CC BB CC AB AC AB AC, p p p BB CC AB [ ] AB AC AC, p p, p A, p p BB C AB AB p AB AC BC p BB CC AB [ ] AC, p p p p p p BB CC [ ] AB [ ] AC BC p p p p p p p p BB CC AB AC BC, p p p p BB CC [ p AB p AC p BC ], p p BB CC BB CC 0 p AB p AC p BC 0 p p AB p AC p BC BB O, CC O, Observtie: Di B AC,C AB B AC AB [ ],C [ ] si, p 0, B AC,C AB 4
5 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Prof George-lori Șerb, Brăil { } I ABC plic teore lui Cev, AA BB CC M BA p I CA BM, B M p trsversl I BB BB ABB plic teore lui Meelos, trsversl B, M,B BM p BM p, I B M BB p AB CM C B, ABC plic teore lui Stewrt CB C M AB p CM, C M 3 BC AC p AB AC AC p, AC p p p p p p BC p AB AC p CC AB BC AC AC BC AC BC AB, CC CC 3 BC AB AC AB AB, AB BC AC AB BB CC MBC, BM MC BC, AC BA CB BC, CA AB C, M, C BA, CA p AC BM B C, BC B M AC ACC plic teore lui Meelos, CM CM, C M p C C p BB AC BC AB AB B C AB B C AC,, I MB 0 BMC 90, teore lui Pitgor, BB p CC p p ABC plic teore lui Stewrt BC BB p, p, MC BM MC BC CC p p p BC p AB AC p BC AC AB BC p p p BC p AB p AC BC p p p p AB p AC BC p p, p AB p AC BC p p, p p AB p AC BC p, cctd 0 Deci BB CC MBC, BMC 90, teore lui Pitgor, p p AB p AC BC p BM MC BC,
6 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 Prof Mri Chirciu și prof Octvi Stroe, Colegiul Nțiol Zic Golescu di Pitești Di CB p rezultă BB BA BC BA p p p AC Di rezultă CC CA CB CB p Ave BB CC BB CC 0 BA BC CA CB 0 p p BACA BA CB pbc CA pbc CB 0 AB AC BA BC pcb CA pbc BC 0 AB AC cos A AB BC cosb pbc AC cosc pbc 0 AB AC BC AB BC AC BC AC AB p p BC 0 p AB p AC p p BC p p AB p AC p BC Cu cest deostrți este îcheită 4 Prof Buze Gbriel, Școl Gizilă Nr 6, București olosid relțiile di ipoteză obție ie BB CC ={T}, ir AT BC={A } Î triughiul ABC, AA BB CC ={T}, plică teore lui Cev Î triughiul ABC, AA BB CC ={T}, plică teore lui V Aubel și obție Î triughiul ABC, plică teore lui Stewrt și obție 6
7 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Di si obție că Alog, obtie Di obție că Prof Nel Ciceu, Roşiori, Bcău şi prof Rox Mihel Stciu, Buzău Ave b pb NC c CB ' BA' AC ' C ' B ' ' ' p p N ' c p b pbc b c p p bc Rezultă că BB ' CC ' BC B ' C ' BC ' B ' C BC ' ' c p b p b c c b p p p c pc p b pb p p p p p c pc p b pb p p p p p p p c p b p p 7
8 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo p p b p c p 6 Prof Costti Telteu uâd ltur BC pe x Ox şi îălţie di A pe x Oy, ve: AB b ; AC c ; BC b c, cre îlocuite î relţi dtă î euţ, după câtev clcule, coduce l relţi echivletă: b p pc bc p p 0 c 0 0 CB ' p pc p Pe de ltă prte, ve: xb' ; yb' ; B ' A p p p p p b 0 0 BC ' b xc' ; y C' C ' A yc' yc yb' yb CC ' ; BB ' x x b c c x x pc pb b C ' C B' B Codiţi de perpediculritte di euţ este echivletă cu: CC ' BB ' b c c pc pb b 8
9 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 7 Cof dr Gheorghe PROCOPIUC, Uiversitte Tehică Işi 9
10 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 8 Prof Codreu Io-Viorel Dreptele BB si CC sut perpediculre dc si ui dc CB' AC' Di = si = rezult B' A p C' B BB ' x CC ' = 0 BB ' = su BC BA p p si CC ' = AC BC BB ' = Ave pbc BA p BB ' CC ' = 0 si CC ' = pbc BA p AC BC AC BC p BC AC + p BC + BA AC + BA BC = 0 p CB CA + p BC + AB AC + BA BC = 0 BC AC AB AB AC BC p + p BC + + AB BC AC = 0 pbc +pac - pab pbc - AB - AC + BC +AB +BC -AC =0 +p-ab + +-pac = +-p+pbc -+pab ++-pac p = ++p+ BC = 0 9 Prof Alexdru Ele - Mrcel, Școl Gizilă Io Iriescu ălticei, jud Sucev Teoreă: ie ABCD u ptrulter covex Urătorele firţii sut echivlete: i AC BD ; ii AB CD AD BC Deostrție: iii ie { O} AC BD Deorece AC BD rezultă AB CD AO OB OC OD AO OD OB OC AD BC iii ie BOA Atuci: AB BO AO BO AO cos CD CO OD CO DO cos 0 AD AO OD AO DO cos80 0
11 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 0 BC BO CO BO CO cos80 olosid ultiele ptru eglități și relți ii se obție: BO AO CO DO AO DO BO COcos 0 Rezultă cos 0, dică AC BD Problee prctice de geoetrie, iviu Nicolescu, Vldiir Bosoff, Ed Tehică Buc 990, pg0-pg
12 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 THE NUMBERS of IBONACCI d UCAS - IDENTITIES - PROOS WITH EW WORDS I By Duitru M Bătieţu-Giurgiu d Neculi Stciu ibocci 7-40 rçois-édourd-atole ucs 84 89,, 0 0,, 0, N, N r r 0, r, r 0 x, ibocci-ucs s sequece x A B, N,
13 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 If,, x x the, B A so:, N Biet, 843, If,, 0 0 x x the B A, so, N Note tht: d, * * * IDENTITIES, N * ucs, 876 Proof, N *,, N *, 3 N * Proof, N,, 3 N *, 3, N * Proof, N *
14 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 4 0 0, su IM 4, N * Proof, N * 0 0, N * ucs, 876 Proof, N *, 0 0 N * 6, N * ucs, 876 Proof, N *, N * 7, N * Proof, N *, 0 0 N * 8, N *
15 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Proof, N *, 0 N * 9 i i i i,, 0 N Proof i i i i,, N i i i i i 0, N Proof, N, N ucs, 876 Proof, N *
16 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 6, N Proof, N 3, N Proof, N 4, N Proof, N, N Proof, N 6, 4 N Proof 4 4 4
17 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo , N Proof, N 8, N *, N, Ctl, 879 Proof, but, So, 9,, N, Proof
18 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 8 0,, N, Proof 0 4, N Proof,, N, Wll, 964 Proof
19 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 9 3,, N, Wll, 964 Proof 4, 4 N * ucs, 876 Proof , 4 N ucs, 876 Proof , N Koshy, 999 Proof 7,, N Blzej, 97 Proof
20 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 4 O NOUĂ INEGAITATE AGEBRICĂ ȘI APICAȚII AE EI ÎN TRIUNGHI Mri Chirciu, Pitești Î legătură cu rticolul O ieglitte lgebrică și plicții le ei î triughi di Revist Electroică Mteiforo Octobrie 07 Articolul porește de l o ieglitte lgebrică i tre decât ce di rticolul de i sus și obție relții de for E R, r, ude E este o expresie cre depide de eleete le triughiului eă Dcă,, 0 x y z tuci 9 x y z Ieglitte este echivletă cu: x y z y z x x y z x y 9 x y x x x y x y x y y y Eglitte re loc dcă și ui dcă x y z Aplicții î triughi Aplicți Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z, b, c, evidetă b c 4r b c R și ție se p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r că b c p 0 b c 4Rrp Rr Rr R de ieglitte de i sus rezultă di ieglitte lui Gerretse p 6Rr r,g Aplicți Î triughiul ABC si A si B sic 4r si B sic si A R olosi teore siusurilor și Aplicți Aplicți 3 u Profesor, Colegiul Nțiol Zic Golescu, Pitești 0
21 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Î triughiul ABC S olosi h și Aplicți Aplicți 4 Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z r, r, r b c h hb h c 4r hb hc h R r rb r c 8R 7 rb rc r r și ție se 4R 4 r rb rc r r că r r r R r b c Aplicți Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z, b, c b c r b c R și ție se G 6Rr r r 4Rr 6r 4 b c Rr Rr R că b c p r Rr Aplicți 6 Î triughiul ABC olosi teore siusurilor și Aplicți Aplicți 7 Î triughiul ABC Pue î eă x, y, z p, p b, p c si si si A B C r si B si C si A R p p b p c 8R 7 p b p c p r și ție se 4R r 4R că p p b p c p p p b p c rp r Aplicți 8 Î triughiul ABC
22 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Pue î eă x, y, z r, rb, rc r rb r c 6R 3 rb rc r r și ție se p r 8Rr r rb r c 4R r p r rb r c r p 6Rr r r 8Rr 8R 3p p 7, ude ieglitte rezultă di ieglitte lui r p r că Doucet 4R r 3p, D și Gerretse Aplicți 9 Î triughiul ABC p 6Rr r, G A B C tg tg tg 8R 7 B C A tg tg tg r A B C Pue î eă x, y, z tg,tg,tg și ție se A B C 4R r p 4R că tg tg tg A B C tg tg tg p r r Aplicți 0 Î triughiul ABC A B C tg tg tg 6R 3 B C A tg tg tg r A B C Pue î eă x, y, z tg,tg,tg, ție se A B C 4R r p p r 8Rr că tg tg tg A B C tg tg tg p r DG 3p p 6Rr r r 8Rr 8R 7 p r r Aplicți Î triughiul ABC D G
23 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C si si si 4 R r 9 B C A si si si Rr A B C Pue î eă x, y, z si,si,si și ție se G A B C r p r 8Rr că si si si A B C si si si R r G r 6Rr r r 8Rr R r R r Rr Aplicți Î triughiul ABC A B C cos cos cos r 4R r 9 4 B C A cos cos cos R p A B C Pue î eă x, y, z cos,cos,cos și ție se A B C r 4R r că cos cos cos A B C cos cos cos R p Aplicți 3 Î triughiul scuțitughic ABC este devărtă ieglitte cos A cos B cos C 4 9 r p r R cos B cosc cos A R p R r Pue î eă x, y, z cos A,cos B,cosC și ție se r p r 4R că cos A cos B cosc cos A cos B cosc R p R r Aplicți 4 Î triughiul ABC A B C tg b tg c tg 4 R r 9 B C A b tg c tg tg Rr 3
24 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C Pue î eă x, y, z tg, btg, c tg și ție se că G 8 R r A tg Rr Rr A p r Rr tg R r 4 Aplicți Î triughiul ABC A B C si si si b c R r 9 8 B C A bsi csi si r R A B C Pue î eă x, y, z si, bsi, csi și ție se că 4 3 A r p p r 6Rr r 4R r si p 3 A si R 4Rr p = R rp p r Rr r 3 4R r G R r 4 3 4R r r R Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z r, br, cr r 4 brb cr R r c 9 brb crc r Rr și ție se că b c G p r 8Rr R r r pr r r 4Rr p Rr Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte hr hbr b hcr c r 4R r 9 4 hbr b hcrc hr R p x, y, z h r, h r, h r și ție se că Pue î eă hr p R r b b c c r 4R r 4 r 4R r h r R rp R p Aplicți 8 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 4
25 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C tg tg tg h hb hc r 4R r 9 4 B C A hb tg hc tg h tg R p A B C Pue î eă x, y, z h tg, hb tg, hc tg și ție se că A r 4R r h tg p 4R r r 4R r A h tg Rp rp R p Aplicți 9 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C ctg ctg ctg h hb hc 4 R r 9 B C A hb ctg hc ctg h ctg Rr A B C Pue î eă x, y, z h ctg, hb ctg, hc ctg și ție se că G A p p r 8Rr R r R r h ctg A h ctg Rr rp Rr Aplicți 0 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h si hb si hc si 8R 7 B C A hb si hc si h si r A B C Pue î eă x, y, z h si, hb si, hc si și ție se că A r 4R r R 4R h si A h si R r r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte
26 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C h cos hb cos hc cos 8R 7 B C A hb cos hc cos h cos r A B C Pue î eă x, y, z h cos, hb cos, hc cos și ție se că A p R4R r 4R h cos A h cos R rp r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h tg hb tg hc tg 4 9 B C A hb tg hc tg h tg Rr A B C Pue î eă x, y, z h tg, hb tg, hc tg și ție se că A R r r tg Doucet h p r R R r A h tg r Rp Doucet R r p r 8R 3p 4R r Rrp R rr r Rr Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte R r R r A B C ctg b ctg c ctg 4 B C A b ctg c ctg ctg R r r h h h r R R 9 3 h h h A B C Pue î eă x, y, z h ctg, hb ctg, hc ctg și ție se că A p p r Rr R 4R r p h ctg A h ctg Rr rp 4 G p r Rr R R r p 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r Rr r Rr r 4r R r 4R Rr 3r r 4R R 3 Rr r R r r 6
27 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte h r hb rb hc r c r 4R r 9 4 hb rb hc rc h r R p x, y, z h r, h r, h r și ție se că Pue î eă b b c c 4 p R r 4R r r 4R r h r h r R p R p Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z r r, r r, r r r 4 r r R r b r rc r 9 rb r rc r r r Rr și ție se că b c G p r 8Rr R r r r R r r r 4Rr Rr Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Pue î eă x, y, z h r, h r, h r h r hb r hc r 9r 7 hb r hc r h r R și ție se că b c p r Rr p r Rr h r h r R r p r Rr p r Rr Rr p r Rr p r Rr G G 3 p r Rr 3 R 6r 4 9r 4 Rr 4 R 4 R Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte h 4 r hb r h R r c r 9 hb r hc r h r Rr Pue î eă x, y, z h r, hb r, hc r G p r 8Rr R r R r h r și ție se că h r R r Rr Aplicți 8 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 7
28 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C r tg rb tg rc tg 6R 3 B C A rb tg rc tg r tg r A B C Pue î eă x, y, z r tg, rb tg, rc tg și ție se că G D 4R r p A p r 8Rr 3p p 6Rr r r 8Rr r tg A r tg p r p p r 8R 7 r Aplicți 9 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r ctg rb ctg rc ctg 8R 7 B C A rb ctg rc ctg r ctg r A B C Pue î eă x, y, z r ctg, rb ctg, rc ctg și ție se că A p 4R r 4R r ctg A r ctg r p r Aplicți 30 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r si rb si rc si r 4R R B C A rb si rc si r si R r r A B C Pue î eă x, y, z r si, rb si, rc si și ție se că 4 Gerretse A R R r p p r Rr r si 3 A r si R r G R4R r 4R 4Rr 3r 6Rr r r Rr 4R Rr 3r 4r R r 3 R r R r r 4R R 3 R r r 8
29 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r cos rb cos rc cos 4r B C A rb cos rc cos r cos R A B C Pue î eă x, y, z r cos, rb cos, rc cos și ție se că G A p p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r r cos 0 A r cos R rp Rr Rr R A plicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r sec rb sec rc sec 4 9 B C A rb sec rc sec r sec Rr Pue î eă R r R r A B C x, y, z r sec, rb sec, rc sec și ție se că p r R R r sec r r A R r A sec p Rr Doucet R 4r R rr r Doucet p r R p R r R r R r p Rr Rr Aplicți 33 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r csc rb csc rc csc 4r B C A rb csc rc csc r csc R A B C Pue î eă x, y, z r csc, rb csc, rc csc și ție se că G A p r 4Rr p r 4Rr 6Rr r r 4Rr r r csc 0 A r csc r R Rr Rr R Aplicți 34 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Rr 9
30 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C csc csc csc h hb hc R r 9 8 B C A hb csc hc csc h csc r R A B C Pue î eă x, y, z h csc, hb csc, hc csc și ție se că 4 3 A p p r 6Rr r 4R r R r h csc A h csc Rr Rr R rp p r Rr r 3 4R r G R r 4 3 4R r r R Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte p b p b c p c r 4R r 9 4 b p b c p c p R p x, y, z p, b p b, c p c și ție se că Pue î eă p 4R r r 4R r p r 4R r Aplicți 36 p 4Rrp R p Î triughiul ABC este devărtă ieglitte p h p b hb p c h c 4Rr 9 p b hb p c hc p h Rr x y z p h p b hb p c hc p p r 8Rr R r G Rr p h Pue î eă,,,, și ție se că p h R r p Rr Aplicți 37 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p si p bsi p csi 4r B C A p bsi p csi p si R,, A B C si, si, si și Pue î eă x y z p p b p c 30
31 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo p A si p si Aplicți 38 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte G rp p r 4Rr r 0 A R r p R A B C p cos p bcos p ccos 4 9 B C A p bcos p ccos p cos Rr,, A B C cos, cos, cos și Pue î eă x y z p p b p c 3 R r R r A R r p r 8R 4R r Doucet pcos A p cos Rr p Doucet R r p r 8R 3p 4R r R r 4R 4r R r R r Rr p Rr Rr Aplicți 39 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p tg p btg p ctg 8R 7 B C A p btg p ctg p tg r A B C Pue î eă x, y, z p tg, p btg, p ctg și A r 4R r p 4R p tg A p tg p r r Aplicți 40 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p ctg p bctg p cctg 4R 39 B C A p bctg p cctg p ctg r,, A B C ctg, ctg, ctg și Pue î eă x y z p p b p c 3
32 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo 3 A p p Rr 4R r Rp p ctg 3 A p ctg r rp 3 G D 4R r Rp p Rr 6Rr r Rr 3p 4R r Rp R r rp r rp r Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C p sec p bsec p csec 4r B C A p bsec p csec p sec R A B C Pue î eă x, y, z p sec, p bsec, p csec și G A p r 4Rr p r p sec 0 A p sec p Rr R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C r 4R R B C A R r r p csc p b csc p c csc p bcsc p ccsc p csc A B C Pue î eă x, y, z p csc, p bcsc, p ccsc și A pcsc 4 Gerreste p r Rr R R r p A p csc r Rr G 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r 4r R r 4R Rr 3r r Rr r Rr r 4R R 3 R r r Aplicți 43 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r tg hb rb tg hc rc tg 4 9 B C A hb rb tg hc rc tg h r tg Rr R r R r 3
33 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo,, A B C tg, b b tg, c c tg și Pue î eă x y z h r h r h r că 3 A p r 8R 4R r R r Doucet h r tg A h r tg p Rr Doucet p r 8R 3p 4R r R r R r 4R 4r R r R r p Rr Rr Rr Aplicți 44 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb rb ctg hc rc ctg 4r B C A hb rb ctg hc rc ctg h r ctg R A B C Pue î eă x, y, z h r ctg, hb rb ctg, hc rc ctg, poi 4 G A p p r Rr r h r ctg 0 A h r ctg Rr p R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r si hb rb si hc rc si 6R 3 B C A hb rb si hc rc si h r si r A B C Pue î eă x, y, z h r si, hb rb si, hc rc si, poi A 4R r p R p r 8Rr h r si A h si R r p r DG p r p r p p Rr r r Rr R 7 Aplicți 46 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte Doucet Gerretse A B C tg tg tg b b c c h r h r h r r R 4R r 9 8 B C A hb rb tg hc rc tg h r tg R r p 33
34 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C Pue î eă x, y, z h r tg, hb rb tg, hc rc tg, poi A h r tg A h r tg 4 4R r p r 8Rr 48R G R 4R r r R 4R r 8 Rp r r p R r p Aplicți 47 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb rb ctg hc rc ctg 4 R r 9 B C A hb rb ctg hc rc ctg h r ctg Rr A B C Pue î eă x, y, z h r ctg, hb rb ctg, hc rc ctg, poi G A p p r 8Rr R r h r ctg A h ctg Rr p r r G R Rr Aplicți 48 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r csc hb rb csc hc rc csc r B C A hb rb csc hc rc csc h r csc R,, A B C csc, b b csc, c c csc, poi Pue î eă x y z h r h r h r 8 4 p p r Rr r R r h csc G A p r 4Rr r csc D A h Rr 4 Rp r GD p 6Rr r r 8Rr r 3p 6Rr r r 4Rr 6r Rr 4Rp R Aplicți 49 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte 34
35 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A B C h rtg hb rtg hc rtg 4r B C A hb rtg hc rtg h rtg R A B C Pue î eă x, y, z h rtg, hb rtg, hc rtg și 4 G A r p r Rr p p r 4Rr r h r tg 0 A h rtg Rp r Rr R Aplicți 0 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h r ctg hb r ctg hc r ctg r 4R R 9 3 B C A hb rctg hc rctg h rctg R r r A B C Pue î eă x, y, z h rctg, hb rctg, hc rctg, poi A p r Rr R4R r p Gerretse h rctg A h rctg r Rr Gerretse 6Rr r r Rr R4R r 4R 4Rr 3r r Rr 4r R r 4R Rr 3r r 4R R 3 r Rr R r r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h rcos hb rcos hc rcos 6R 3 B C A hb rcos hc rcos h rcos r A B C Pue î eă x, y, z h rcos, hb rcos, hc rcos, poi 8 R 4R r p A p r Rr h cos G r A h cos R r p r 3
36 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Rr r r Rr R 3p p R R r p r Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C tg tg tg b c h r h r h r r 4R r 9 4 B C A hb rtg hc rtg h rtg R p A B C Pue î eă x, y, z h rtg, hb rtg, hc rtg, poi r A p 4R r 4R r h rtg A h tg Rp r r r 4R r R p Aplicți 3 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C h rsec hb rsec hc rsec r B C A hb rsec hc rsec h rsec R,, A B C sec, b sec, c sec,poi Pue î eă x y z h r h r h r h r 8 4 A p p r Rr r R r p r 4Rr sec G A h sec Rp 4 Rr r G p 6Rr r r 8Rr r 3p 6Rr r r 4Rr 6r Rp 4Rr R Aplicți 4 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C tg tg tg b c R r 9 8 B C A b tg c tg tg r R A B C x, y, z tg, b tg, c tg și ție se că Pue î eă 36
37 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo A p p r 6Rr r 4R r R r A tg 6R r p r R 4 3 G tg 4pR r 4 3 Aplicți Î triughiul ABC este devărtă ieglitte r b rb c r c R r 9 8 b rb c rc r r R Pue î eă x, y, z r, b rb, c rc și ție se că 6 4 r p R r 3 p 4 p r Rr r 3 R r G R r 4 4 r 6R r p r R Aplicți 6 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C sec b sec c sec 4 R r 9 B C A b sec c sec sec Rr Pue î eă, ude 30 A B C x, y, z sec,b sec,c sec și ție se că G 8 R r A sec R r Rr A p r Rr 6 sec 8R R r Aplicți 7 Î triughiul ABC este devărtă ieglitte A B C csc b csc c csc r 4R r 9 4 B C A b csc c csc csc R p Dezvoltări, Mri Chirciu, Pitești A B C Pue î eă x, y, z csc,b csc,c csc și ție se că A p 4R r r 4R r csc 8R4R r A csc 6R p R p fiecre di ieglitățile di triughi de i sus eglitte re loc dcă și ui dcă triughiul este echilterl 37
38 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Bibliogrfie: Roi Mtheticl Mgzie 07, oudig Editor Diel Sitru, Roi Mtheticl Society, Mehediți Brch Mri Chirciu, Ieglități lgebrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 04 3 Mri Chirciu, Ieglități geoetrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 0 4 Mri Chirciu, Ieglități trigooetrice, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 06 Mri Chirciu, Ieglități cu lturi și rze î triughi, de l iițiere l perforță, Editur Prlel 4, Pitești, 07 APICAȚII AE UNCȚIEI YAPUNOV A REZOVAREA PROBEMEOR DIUZIEI DE CĂDURĂ Prof Apostol Georgi Mri Școl Gizilă Vle Mre, Dâboviț ie X = spțiul fucțiilor itegrbile pe Ω, Ω u doeiu ărgiit și ăsurbil î și fie defiit u opertor A precu ureză: D A = petru u este spțiul Sobolev l fucțiilor pe Ω petru cre, cu or lui obișuită, = este îchidere lui, este lplciul lui î sesul distribuțiilor e Opertorul A defiit de este cretiv Acestă leă este dtortă lui Brezis și Struss Teore : ie A plicți cretivă pe X, cre stisfce codiți de igie pe X, St seigrupul de cotrcții geert de - A pe, ude îchidere topogrfică opertorului A ucțiol este slb iferior seicotiuă, este u grf xil ooto î R, stisfăcâd R, ude R este igie plicției Dcă sut stisfăcute codițiile: D D x + λ x D tuci Stx Vt, t, ude Vt este uic soluție probleei cu vlori iițile 0 Di le și teore rezultă că - A geereză u seigrup de cotrcții St î și că petru fiecre, ut = St este soluți teută probleei difuziei: 38
39 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo u0, x = Coportetul siptotic l cestei soluții câd t depide de fucți di defiiți lui A Î fucție de coportetul diferit l lui, vo obție diferite coportete le soluției u câd t e ie A opertorul cretiv defit de și fie că să stisfcă le Dcă f și u - λ = f,ude este spțiul fucțiilor p itegrbile, tuci Dcă tuci + dx 3 și petru N 3 tuci 4 ude sut costte pozitive idepedete de p Deostrție: ie r =, tuci stisfce relți : și este ipschitz cotiuă î R ie f și fie soluți lui - = f Vo îcepe pri deostr estiările, 3 și 4 petru Îulțid cu ude: itegrâd peste Ω și folosid ieglitte lui Youg b găsi că: câd idică ulție Di și este cotiuă ipschitz rezultă că și că Itegrâd tereul di ijloc di 6 pri părți Cu + pute îlocui cu î 7 fără schib ieglitte ăcâd cest și lăsâd M î 7, găsi: și, cu, ve : Di 8 și di eglitte : rezultă că: î drept,
40 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo Acu, petru că Ω este fiit și dispre î rezultă, utilizâd ieglitte lui Poicre că: Cobiâd 0 și flă: Petru N și flă : 3 pute folosi ieglitte lui Sobolev 3 4 Estiările 9, și 4 sut estiările derivte le lui Petru deostr estiările corespodete petru u, soluți lui u - λ, trebuie să rătă că câd î Alegâd u șir stfel c î Ω, depășid liit pri cest șir î 9, și 4 și folosid le lui ATOUX, ureză, 3 și 4 Voi schiț cu câtev cosecițe di le și di teori bstrctă Propoziți ie c să stisfcă și u să fie soluți teută probleei difuziei: Dcă, tuci ut, petru orice t 0, dică St :, petru Deostrție: ie X = și fie Trebuie verifict că petru orice, și λ și deci St :, petru utilizâd și teore: ie A u opertor cretiv î X, stisfăcâd codiți igiii, St seigrupul de cotrcții geert de A, o fucțiolă slb iferior seicotiuă, Ψ o fucțiolă slb superior seicotiuă Notă-, dcă : tuci este o fucție ypuov petru A și stisfce relți: Ss Di 6 și presupue că pute trece l liită câd p î 6 petru obție cee ce iplică, di ou, utilizâd teore că : 40
41 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo St : Rezulttul urtor se dtoreză lui M Crdll Propoziți ie c să stisfcă * și cu Dcă u este soluți lui ** tuci petru orice t > 0, p <, ut si 7 ude c > 0 este o costtă cre depide ui de Deostrție: Se dă p și se presupue i îtâi că propoziți terioră, ut petru orice t 0 Di oet ce este liitt, rezultă di ieglitte lui Holder că 8 ude c este o costtă depedetă dor de Defiid:, rezult di 8 și 3 că: și di propoziți de i jos: *** ie A o plicție cretivă stisfăcâd codiți igiii î X, St seigrupul geert de A, o fucțiolă slb iferior seicotiuă eegtivă Dcă sut îdepliite codițiile:, tuci: Există o descreștere uiverslă cu b O descreștere expoețilă c O stigere fiită petru deduce că:, de ude 7 Dcă, lege,precu î Di oet ce 7 este vlbil petru orice î pri prte deostrției și di oet ce este iferior seicotiuă rezultă că ut petru orice t>0, și că 7 este vlbil petru u Propoziți 3 Se rtă că dcă stisfce * si, tuci seigrupul St geert de A stisfce: 4
42 REVISTA EECTRONICĂ MATEINORO ISSN NOIEMBRIE 07 wwwteiforo St : 9 Petru orice t > 0 și p < 0 și, i ult, șirul St este liitt uifor î, idepedet de dtele iițile ie p petru rt că St coperă î Totuși, cest lucru u pote fi făcut folosid 7, deorece costt se trsfoă câd p Petru N vo răt că pute depăși cestă situție Propoziți 4 regulrizre ie N și fie să stisfcă * și, cu > N-/N Dcă u este soluție lui **, tuci petru orice t > 0, ut 0 Petru orice ude c este o costtă idepedetă de Deostrție: Se dă si fie, ude rezultă di 4 c și 0 v rezult di observți: presupue că și fie î 0, flă di ou că St : M Crdll rătt că î cest cz ve : ude c 0 este o costtă idepedetă de Cobiâd cest rezultt cu propoziți 4 rezultă că, dcă u este soluți lui **, tuci petru orice t 0, și este vlbil Observție: A Brezis și A ried rtă că, dcă î propoziți 4,, tuci u există ici o piedică, ici chir de l l, p petru t 0 Propoziți ie N și fie c să stisfcă * și, cu 0 ie p = și fie Dcă u este soluți lui **, tuci există Tu 0 stfel îcât ut = 0, petru t Tu Mi ult Tu 3 ude c este o costtă idepedetă de Deostrție: ie p =, cest iplică și, de cee, dcă 4 coduce l 4 Utilizâd propoziți *** iplică, petru t Tu, ude Tu, de ude rezulttul dorit Rezulttul cestei propoziții este vlbil petru doeii eărgiite Petru doeii ărgiite, rezulttul este devărt petru u șir i re l lui, dică 0 4
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
π } R 4. ctg:r\{kπ} R FuncŃii trigonometrice 1. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic 2. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice 1.
Trigonometrie FuncŃii trigonometrice. DefiniŃii în triunghiul dreptunghic b c b sin B, cos B, tgb c C c ctgb, sin B cosc, tgb ctgc b b. ProprietãŃile funcńiilor trigonometrice. sin:r [-,] A c B sin(-x)
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
lim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Şiruri recurente. Mircea Buzilă. 2009, Editura Neutrino Titlul: Şiruri recurente Autor: Mircea Buzilă ISBN
Mirce Buzilă Şiruri recurete Editur eutrio 9 9 Editur eutrio Titlul: Şiruri recurete utor: Mirce Buzilă SB 978-97-896-7-9 Descriere CP Bibliotecii ţiole Roâiei BUZLĂ MRCE Şiruri recurete / Mirce Buzilă.
Integrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Cap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Transformata z (TZ) TZ este echivalenta Transformatei Laplace (TL) in domeniul sistemelor discrete. In domeniul sistemelor continui: Sistem continuu
Prelucrre umeric semlelor Trsformt Trsformt este echivlet Trsformtei Lplce TL i domeiul sistemelor discrete. I domeiul sistemelor cotiui: xt s Sistem cotiuu yt Ys ht; Hs I domeiul sistemelor discrete:
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Seminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
0 z z < r ea admite o dezvoltare în serie Laurent. n n. din dezvoltarea în serie Laurent în vecinătatea punctului z. z (notat { } { } = ρ
CAPITOLUL ME5 5 eiduuri Teore reiduurilor Defiiţi reiduului Fie w o fucţie litică vâd î u puct sigulr iolt Atuci îtr-o coroă circulră < r e dite o devoltre î serie Luret < w c Se ueşte reiduu l fucţiei
REZIDUURI ŞI APLICAŢII
Mtemtici specile şi metode umerice EZIDUUI ŞI APLICAŢII. Formule petru reiduuri Câd sigulrităţile du vlore şi uţ. Teorem reiduurilor Defiiţi. Fie f() o fucţie cre re î C u pol su u puct sigulr eseţil iolt.
Analiza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA î ul uiversitr 9 PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii lor
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
MULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ. pentru examenul de bacalaureat şi admiterea în învăţământul superior UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA
TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ petru emeul de bcluret şi dmitere î îvăţămâtul superior l UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA PREFAŢĂ Prezet culegere se dreseză deopotrivă elevilor de liceu, î scopul istruirii
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
4.7 Reprezentarea complexă a seriilor Fourier
4.7 Reprezetre compeă seriior Fourier Presupuem că f ( ) îdepieşte codiţii suficiete petru dezvotre î serie Fourier. Atuci pote fi reprezettă pe [, ] cu seri: f b + ( cos + si ) f cos d,,, b f si d,, Foosid
ANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Exerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a
CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση.
Αυτό το κεφάλαιο εξηγεί τις ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ προς χρήση αυτού του προϊόντος. Πάντα να μελετάτε αυτές τις οδηγίες πριν την χρήση. 3. Λίστα Παραμέτρων 3.. Λίστα Παραμέτρων Στην αρχική ρύθμιση, μόνο οι παράμετροι
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
CAPITOLUL 4 REZOLVAREA ECUAŢIILOR NELINIARE
Tri CICNE Metode umerice î igieri ecoomică CAPITLUL 4 REZLVAREA ECUAŢIILR NELINIARE Rezolvre uei ecuţii eliire pre prctic î orice modelre mtemtică uei proleme fizice. Cu ecepţi uor czuri forte prticulre,
! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
2) Numim matrice elementara o matrice:
I TRANSFORMARI ELEMENTARE ) Cre di urmtorele opertii efectute supr uei mtrice este trsformre elemetr: ) dure uei liii l o colo; b) imultire uei liii cu sclrul α = c) schimbre dou liii itre ele; d) dure
CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
![CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât](/thumbs/72/67568076.jpg "CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât")
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ
COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ.
Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert
3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
HONDA. Έτος κατασκευής
Accord + Coupe IV 2.0 16V (CB3) F20A2-A3 81 110 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0 16V (CB3) F20A6 66 90 01/90-09/93 0800-0175 11,00 2.0i 16V (CB3-CC9) F20A8 98 133 01/90-09/93 0802-9205M 237,40 2.0i 16V
Batigoal_mathscope.org ñược tính theo công thức
SỐ PHỨC TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Batigoal_mathscope.org Hoangquan9@gmail.com I.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN. Khoảng cách giữa hai ñiểm Giả sử có số phức và biểu diễn hai ñiểm M và M trên mặt phẳng tọa
OperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
cz+d d (ac + cd )z + bc + dd c z + d
T (z) = az + b cz + d ; a, b, c, d C, ad bc 0 ( ) a b M T (z) = (z) az + b c d cz + d (T T )(z) = T (T (z) (T T )(z) = az+b a + cz+d b c az+b + = (aa + cb )z + a b + b d a z + b cz+d d (ac + cd )z + bc
!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.
..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$
IV.3. Factorul de condiţionare al unei matrice
IV.3. Fctorul de codiţiore l uei mtrice defieşte pri Defiiţie. Fctorul de codiţiore l uei mtrice pătrte A M, (R) se cod(a) = A A - ude este o orm opertorilă mtricei A (de exemplu, su ). Pri coveţie cod(a)
Adrian Stan Editura Rafet 2007
Dreptul de copyright: Crte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului Adri St Editur Rfet 007
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
ITU-R P (2009/10)
ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Matrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s
P P P P ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s r t r 3 2 r r r 3 t r ér t r s s r t s r s r s ér t r r t t q s t s sã s s s ér t
Πίνακας ρυθμίσεων στο χώρο εγκατάστασης
1/8 Κατάλληλες εσωτερικές μονάδες *HVZ4S18CB3V *HVZ8S18CB3V *HVZ16S18CB3V Σημειώσεις (*5) *4/8* 4P41673-1 - 215.4 2/8 Ρυθμίσεις χρήστη Προκαθορισμένες τιμές Θερμοκρασία χώρου 7.4.1.1 Άνεση (θέρμανση) R/W
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Jeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Polinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Đường tròn : cung dây tiếp tuyến (V1) Đường tròn cung dây tiếp tuyến. Giải.
Đường tròn cung dây tiếp tuyến BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : 1. AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). 2. FA.FH
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
!"#$ % &# &%#'()(! $ * +
,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
sin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
Tema 4. Primitiva şi integrala Riemann. Aplicaţii. Modulul Primitiva. Aplicaţii
Tem 4 Primitiv şi itegrl Riem. Alicţii. Modulul 4. - Primitiv. Alicţii Noţiue de rimitivă s- degjt di licţiile mtemticii î situţii cocrete, cre costă î determire modelului mtemtic l uui roces tuci câd
OILGEAR TAIFENG. (ml/rev) (bar) (bar) (L/min) (rpm) (kw)
PVWW!"#$ PVWW!"#$%&'()*+!"#$% 12!"#$%&'()*!!"#$%&'(!"#$!"#$%&'()*+!"#$%!!"#!$%&'()*+!"#$%!"!"#$%&'!"#$%&'!"#!"#$%!" SE!"!"#$%&'!"#!"#$%&'!"#$%&'!"#$!"#$!"#$%&'!"#$%&'!"#$%&!"#$%&'!"!"#$%&!"#$%&!"!"#$%!"#$%!"#$%&'(!"#$%&'!!"#!"#!"#$%&!"#$%&'(
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Varianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
ĐỀ SỐ 1. ĐỀ SỐ 2 Bài 1 : (3 điểm) Thu gọn các biểu thức sau : Trần Thanh Phong ĐỀ THI HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN LỚP O a a 2a
Trần Thanh Phong 0908 456 ĐỀ THI HỌC KÌ MÔN TOÁN LỚP 9 ----0O0----- Bài :Thưc hiên phép tính (,5 đ) a) 75 08 b) 8 4 5 6 ĐỀ SỐ 5 c) 5 Bài : (,5 đ) a a a A = a a a : (a > 0 và a ) a a a a a) Rút gọn A b)
Acest manual este proprietatea Ministerului Educaţiei al Republicii Moldova. Școala/Liceul... Manualul nr... școlar la primire la returnare 1
Mulul fost prot pri ordiul Miistrului Educţiei l Repulicii Moldov r 7 di i 0 Lucrre este elortă cofor curriculuului disciplir și fiţtă di Fodul Specil petru Mule cest ul este propriette Miisterului Educţiei
,, #,#, %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, )
!! "#$%&'%( (%)###**#+!"#$ ',##-.#,,, #,#, /01('/01/'#!2#! %&'(($#(#)&*"& 3,,#!4!4! +&'(#,-$#,./$012 5 # # %, ) 6###+! 4! 4! 4,*!47! 4! (! 8!9%,,#!41! 4! (! 4!5),!(8! 4! (! :!;!(7! (! 4! 4!!8! (! 8! 4!!8(!44!
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
![Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].](/thumbs/70/63994121.jpg "Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].")
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
EcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Η ΑΝΘΥΦΑΙΡΕΤΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΗΣ ΕΞΩΣΗΣ ΤΗΣ ΠΟΙΗΣΗΣ ΣΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΗΣ ΠΟΛΙΤΕΙΑΣ ΤΟΥ ΠΛΑΤΩΝΟΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ MΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ, ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΉΜΩΝ ΑΓΩΓΉΣ & ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ, ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ &
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
DUMITRU BUŞNEAG PROBLEME ALGEBRĂ
DUMITRU BUŞNEAG FLORENTINA CHIRTEŞ DANA PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Dumitru BUŞNEAG Floreti CHIRTEŞ D PICIU PROBLEME de ALGEBRĂ Editur UNIVERSITARIA
Dreptul de copyright: Cartea downloadată de pe site-ul nu poate fi publicată pe un alt site şi nu poate fi folosită în scopuri
reptul de copyright: rte dowlodtă de pe site-ul www.mteifo.ro u pote fi pulictă pe u lt site şi u pote fi folosită î scopuri comercile fără specificre sursei şi cordul utorului, Refereţi ştiiţifici: Profesor