COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ

Transcript

1 COLEGIUL NAȚIONAL MIHAI VITEAZUL SF. GHEORGHE, COVASNA SĂ ȘTII MAI MULTE, SĂ FII MAI BUN LA MATEMATICĂ LUCRARE CONCEPUTĂ ȘI REALIZATĂ DE COLECTIVUL CLASEI XII- A, PROFIL REAL, SPECIALIZAREA MATEMATICĂ-INFORMATICĂ. PROF. COORDONATOR GH. COTFAS APRILIE

2 Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X... X. Prescurtt putem scrie f X k,,..., sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul se umeşte moic su uitr terme liber.,,..., poliomul este cu coeficieţi complecşi şi scriem f X, ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi complecşi. poliomul este cu coeficieţi reli şi scriem f X,,,..., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi reli. poliomul este cu coeficieţi rţioli şi scriem f X,,..., k k., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi rţioli. poliomul este cu coeficieţi îtregi şi scriem f X,,..., ude X este mulţime poliomelor cu coeficieţi îtregi. X X X X., ) Grdul uui poliom Dcă f X X... X şi tuci spuem că poliomul f re grdul. Notţie grd f su gr f Dcă f tuci poliomul se umeşte costt şi grd f. Dcă f tuci poliomul se umeşte ul şi grd f. ) Eglitte poliomelor m m Fie f X X... X şi g bmx bm X... bx b. Poliomele f şi g sut egle şi scriem f g dcă m şi i bi, i, dică u grde egle ir coeficieţii corespuzători egli. ) Vlore uui poliom Fie f X X... X şi. Numărul f... se umeşte vlore poliomului î α şi se obţie di clculul îlocuirii edetermitei X cu α. Dcă f tuci umărul α se umeşte rădăciă poliomului f Sum coeficieţilor se obţie clculâd vlore poliomului î dică f...

3 Termeul liber se obţie clculâd vlore poliomului î dică f 5) Operţii cu poliome m i j Fie f, g [ X], f X i şi g bj X, m. i Sum poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: j k f g c X, ude k bk, k m ck şi grd( f g) mgrd f, grd g. k, mk Sum se efectueză pri dure termeilor(moomelor) semee Produsul poliomelor f şi g este poliomul defiit pri: m f g cmx... cx c, ude c k ib j, k, m. şi grd( f g) grd f grd g. produsul se efectueză pri desfcere prtezelor şi poi pri reducere termeilor(moomelor) semee Împărţire poliomelor f şi g se efectueză plicâd lgoritmul petru flre câtului şi restului. Nu este idict să plicăm lgoritmul l împărţire cu biomul X Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică f ( ) deci reţiem că r f Câtul şi restul împărţirii uui poliom f pri biomul X se pot fl cu schem lui Horer Teorem împărţirii cu rest. Oricre r fi poliomele f, g [ X ], grd f grd g, g, eistă şi sut uice poliomele qr, [ X] cre u proprietăţile: f gq r; şi grd g. Avem evidet că grd q grd f grd g Dcă efectiv u putem plic lgoritmul l împărţire cu X X tuci determire restului se v fce stfel: Aplicăm T.I.R şi obţiem f X X qm Clculăm f şi f î două moduri şi obţiem u sistem î m şi grd r Rezolvăm sistemul şi obţiem f f b f b bf m,, b b b 6) Divizibilitte poliomelor Fie f, g [ X]. Poliomul f este divizibil cu poliomul g dcă eistă u poliom q [ X] stfel îcât f g q. Notăm f g su g f. f g dcă şi umi dcă f împărţit l g dă restul i jk k k

4 f g dcă f împărţit l g u dă restul Dcă f g tuci grd f grd g Dcă f g dcă şi umi dcă rădăciile lui g sut şi rădăcii petru f. f g dcă o rădăciă lui g u este rădăciă şi petru f. 7) Rădăciile poliomelor Numărul α este rădăciă petru poliomului f dcă şi umi dcă f. Teorem lui Bézout. Fie f [ X ] u poliom eul şi. Poliomul f este divizibil cu biomul X dcă şi umi dcă f dică este rădăciă. Dcă α este rădăciă petru poliomul f tuci f ( X ) Dcă α şi β sut rădăcii petru poliomul f tuci f ( X ) şi f ( X ) Dcă f ( X ) şi f ( X ) tuci f ( X ) ( X ) Spuem că este rădăciă multiplă de ordi p petru poliomul f [ X ], dcă f ( X ) p şi f ( X ) p. Dcă p tuci α se mi umeşte rădăciă dublă petru poliom, ir dcă p tuci α se mi umeşte rădăciă triplă petru poliom. f l este rădăciă dublă petru poliomul f [ X ], dcă f ll f dică α este rădăciă petru f, petru f l şi u e petru f l l f l f este rădăciă triplă petru poliomul f [ X ], dcă ll f lll f dică α este rădăciă petru f, petru f l, petru f l l şi u e petru f l l l. Poliomul cre re o ifiitte de rădăcii este poliomul ul 8) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi reli Fie f [ X ] şi umerele bi, b respectiv bi,, b Dcă f re rădăci compleă bi, b tuci şi bi rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte. este Dcă f re rădăci compleă bi, b tuci f ( X ) ( X ). Numărul rădăciilor di \ dică pur complee le poliomului f este pr. Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re cel puţi o rădăciă relă Dcă grdul lui f este impr tuci poliomul re u umăr impr de rădăcii rele.

5 Dcă grdul lui f este pr tuci poliomul re u umăr pr de rădăcii rele su deloc Dcă f f b tuci poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul b,, b,, b 9) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi rţioli Fie f [ X ] şi umerele b d, d, d respectiv b d,, b, d Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci şi b d este rădăciă şi mâdouă u celşi ordi de multiplicitte. Dcă f re rădăci irţiolă b d, d, d tuci f ( X ) ( X ). ) Rădăciile poliomelor cu coeficieţi îtregi p Fie f [ X ] şi umărul ude pq,, pq, q p Dcă f re rădăci frcţi ireductibilă tuci p şi q dică q p divide termeul liber şi q divide coeficietul domit. Rădăciile îtregi sut divizori i termeului liber U poliom u dmite rădăcii îtregi dcă vlorile poliomului î divizori îtregi i termeului liber sut eule. Dcă f este moic(uitr) tuci rădăciile rţiole sut umi îtregi U poliom moic u dmite rădăcii rţiole dcă u re ici îtregi. f f y y ) Descompuere î fctori Fie f X, f X X... X cu rădăciile disticte,,...,. Formul de descompuere este : f X X... X Dcă rădăciile u sut disticte tuci: p p p... k f X X X k ude p, p,..., p k sut ordiele de multiplicitte rădăciilor,,..., k Orice poliom de grd cu coeficieţi reli pote fi descompus îtr-u produs de poliome de grdul I su grdul II cu coeficieţi reli. Petru descompueri căutăm rădăcii îtregi pritre divizorii termeului liber plicâd schem lui Horer. Dcă cuoştem rădăciile,,..., putem fl poliomul desfăcâd prtezele X X... X. Î formul de descompuere f X X... X putem d vlori prticulre petru edermit X şi vom obţie diverse relţii.

6 ) Poliome reductibile-ireductibile Poliomul f cu grd f, se umeşte reductibil peste mulţime de umere M dcă eistă poliomele g,h di M X de grde strict mi mici decât grdul lui f, stfel îcât f g h. Î cz cotrr poliomul f este ireductibil peste mulţime M. Orice poliom de grd este ireductil Orice poliom de grd este reductil peste f M X este ireductibil peste o mulţime de umere M Dcă u poliom tuci u re rădăcii î M dr ivers u dică dcă f M X rădăcii î M u îsemă că este ireductibil peste M( f M X u re este reductibil peste M, dr u re rădăcii î mulţime de umere M) Poliomele ireductibile peste sut de form f b su f bc, ude bc,, U poliom f pote fi ireductibil peste o mulţime dr reductibil peste ltă mulţime. ) Relţii ître rădăcii şi coeficieţi-relţiile lui Viète. Fie f X, f X X... X cu rădăciile,,...,. Relţiile lui Viète sut : V... V... C termei V... C termei...; V... ( ). V Sum iverselor rădăciilor... V Sum pătrtelor rădăciilor... V V Dcă... tuci poliomul u re tote rădăciile rele Dcă plicăm defiiţi rădăcii petru fiecre î prte tuci pri dure relţiilor putem obţie iformţii despre lte sume de puteri de rădăcii Dcă cuoştem V, V,..., V tuci ecuţi cre re soluţiile,,..., este k k : V V... ( ) Vk... ( ) V. ) Teoremă. Orice ecuţiei poliomilă de grd re ect rădăcii complee u epărt disticte.

7 5) Teorem fudmetlă lgebrei (teorem D Alembert Guss). Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre su egl cu re cel puţi o rădăciă compleă. 6) Teorem Abel-Ruffii. Orice ecuţie poliomilă de grd mi mre decât u este rezolvbilă pri rdicli. 7) Rezolvre ecuţiilor poliomile de form X X... X Petru ecuţiile de grdul I şi II vem formule de rezolvre cuoscute. Petru rezolvre ecuţiilor bipătrte de form b c se fce substituţi t Petru ecuţiile reciproce dică ecuţiile cu coeficieţii termeilor egl depărtţi de etremi, egli plicăm lgoritmul : Dcă grdul este impr tuci - este rădăciă şi plicâd schem lui Horer obţiem o ltă ecuţie reciprocă, dr de grd pr Dcă grdul este pr tuci se fce substituţi t, şi pri clcul se observă că + t k Ecuţiile biome de grd impr de form,, k u k rădăci relă k * Ecuţiile biome de grd pr de form,, k u rădăciile k rele 8) Studiul rădăciilor uei ecuţii se pote fce şi cu teoremele Drbou, Rolle. Cu jutorul cestor teoreme se pot determi umărul rădăciilor rele le ecuţiei precum şi itervlele î cre ceste rădăcii sut situte, dcă sociem fucţi poliomilă f :. Coseciţă Teoremei lui Drbou. Dcă o fucţi este cotiuă pe u itervl I şi f f b,, bi, I tuci ecuţi f re cel puţi o soluţie î itervlul (,. Şirul lui Rolle. Ître două rădăcii le derivtei eistă cel mult o rădăciă fucţiei. Algoritmul este: l Se rezolvă ecuţi f şi obţiem rădăciile,,..., k Fcem u tbel de form.... k l f... f lim f f f... f k lim f lizăm vriţi semului fucţiei f. Ître două vriţii de sem cosecutive le fucţiei f() eistă o rădăciă poliomului f.

8 6 Se cosideră 7 şi poliomul f X X ˆ5 7[ X]. ) Să se verifice că petru orice b ˆ 7, b, re loc relţi b 6 ˆ. 6 Să se rte că ˆ5 ( )( ˆ ), ˆ 7. Să se demostreze că petru orice 7, poliomul f este reductibil î [ X ]. 7 Soluţie propusă şi redcttă de Ctic Băj, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Metod. Teoremă Lgrge: Dcă G, u grup fiit şi ordg tuci e, G dică orice elemet di grup ridict l ordiul grupului e dă elemetul eutru grup fiit cu 6 elemete cu elemetul eutru e 7, Lgrge b 6 ˆ, b 7 Metod. Clcul efectiv petru fiecre b, b, ˆ 7 ˆ ˆ ˆ Desfcem prtezele ˆ ˆ ˆ5 6 ) 6 ) Metod. Petru ˆ f 5ˆ ˆ ˆ Petru ˆ știm că, 7 este grup și îtr-u grup orice elemet este simetrizbil ˆ 7 l l simetrizbil (iversbil ) 7 stfel îcât ˆ ) l 6 l f b ˆ5 l ˆ l 5ˆ f l ˆ6 l dr 7 f stfel îcât l ˆ l f ˆ7 l l l ˆ rădăciă f Metod. Clcul efectiv petru fiecre 7 f deci f reductibil î 7

9 Se cosideră b, şi poliomul f X X X b. ) Să se determie şi b ştiid că i este rădăciă poliomului f. Să se determie şi b ştiid că este rădăciă poliomului f. Să se determie şi b ştiid că poliomul f re o rădăciă triplă. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Cioc, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe i i ) i rădăciă f i i i ib i i iib i i i i b iibbi b b6 rădăciă f b b bb b b Fie rădăciă triplă f f f l ll l ll Avem: f și f 6 ll f 6 l l f f 9 f f bb Metod. rădăciă triplă f X X X X b 7 7

10 Se cosideră,,, rădăciile ecuţiei şi determitul. ) Petru, să se determie,,. Să se rte că, petru orice, ecuţi re o sigură rădăciă relă. Să se rte că vlore determitului u depide de. Soluţie propusă şi redcttă de Adre Cîrste, cls XII- A, ) Metod. Petru vem ecuţi C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ( )( ) ( ) ( )( ) i. i i, i S ii., Metod. f X X X f rădăciă f. Di schem lui Horer vem i S, i i q, i Scriem relţiile lui Viete:,,, V, V, V Presupuem că poliomul f X X X re mi mult de o rădăciă relă,, re tote rădăciile rele. Știm că V V fls (u verifică relţi V ).Î cocluzie, ecuţi re cel mult o rădăciă relă. Metod. relți * V Dcă,, sut rădăciile ecuţiei dte deci vem: V ( ) ( ) * u depide de. Metod. circulr V v f X

11 Se cosideră şi ecuţi, cu rădăciile complee,,. ) Să se clculeze ( )( )( ). Să se determie şi ştiid că. Să se determie petru cre,, sut umere îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Mădăli Dermișek, cls XII- A, ) Metod. Scriem relţiile lui Viete,,, V V V C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe E ( )( )( ) ( ) V V V V V V E Metod. Scriem descompuere poliomului f X X f X X X f f ( )( )( ) f ( )( )( ) Metod. Dcă f f Aplicăm schem lui Horer: 6 q i Metod. 8 8i, i Ecuţi de grdul cre re rădăciile, este, i Clculăm sum pătrtelor rădăciilor,, dcă V V,, u di rădăcii este f

12 Se cosideră bc,, şi poliomul f X X bx c, cu rădăciile,,, stfel îcât,,. ) Să se demostreze că. Să se rte că, dcă c, poliomul re cel puţi o rădăciă relă î itervlul ( ; ). Să se rte că, dcă, c, tuci b. Soluţie propusă şi redcttă de Tibor Goz, cls XII- A, ) Scriem relţiile lui Viete :,,, V V b V c Avem b c Fie fucți :,, lim f c f f bc lim f, f cotiuă C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe stfel îcât f deci, poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul (, ), c f X X bx V Dr,, Deorece poliomul f re cel puţi o rădăciă relă î itervlul (, ) rădăciă f bb

13 Se cosideră fucţi f : 5 5, f ( ). ) Să se clculeze f (ˆ ) şi f (ˆ ). Să se rte că fucţi f u este surjectivă. Să se descompuă poliomul X ˆ X [ X] î fctori ireductibili peste. 5 ˆ 5 Soluţie propusă şi redcttă de Remus Herciu, cls XII- A, ) ˆ f ˆ C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ˆ f ˆ ˆ ˆ 5ˆ ˆ f ˆ ˆ f ˆ f ˆ 6 8ˆ ˆ ˆ f 89 ˆ f ˆ , deci f u i tote vlorile di codomeiu. 5 stfel îcât f ˆ f u este surjectivă f ˆ ˆ ˆ ˆ q ˆ q ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ˆ q ireductibil f ˆ ˆ

14 Se cosideră umărul i și poliomul f X, f X X 6 ) Să se rte că f. Să se determie rădăciile poliomului f.. ) Să se rte că poliomul f este ireductibil î X Soluţie propusă şi redcttă de Vld Ppce, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f i i i 6 i 8 8 i6 8 ii 8 8 i i 6 i t 8i ) t t6 t, i i i) i i ii) i i Poliomul f cu grd f, se umeşte reductibil peste mulţime de umere M dcă eistă poliomele gh, di M X de grde strict mi mici decât grdul lui f, stfel îcât f g h. Î cz cotrr poliomul f este ireductibil peste mulţime M. f X X X X f X ix ix ix i f X i X i f X i X i deci f este ireductibil î X.

15 Se cosideră poliomul f [ X ], ) Să se clculeze. X 5X 5, f cu rădăciile,,,. Să se rte că poliomul f re tote rădăciile rele. Să se rte că, dcă g este u poliom cu coeficieţi reli cre re propriette că petru orice rel g( ) f ( ), tuci eistă [; ] stfel îcât g f. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Pătrîjel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relțiile lui Viete :,, 5,, 5 V V... 5 V V 5 Rezolv ecuți bipătrtă X X t t 5t 5 t, 5 5 și observăm că t, Deci ,,, Di g ( ) f( ), g ( ) f( ) g ( ) g ( ) g ( ) dică rădăciă petru poliomul g și log,, rădăcii petru poliomul g, deci tote rădăciile lui f sut și rădăcii petru poliomul g g f X stfel îcât g f g( ) f ( ) f g f f [ ;]

16 Se cosideră bc,, şi poliomul f X X bx c. ) Să se determie, b, c stfel îcât poliomul f să ibă rădăciile şi. Să se rte că, dcă f re rădăci tuci f re o rădăciă rţiolă. Să se rte că, dcă bc,,, ir umerele f () şi f () sut impre, tuci poliomul f u re rădăcii îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Iri Petcu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă f re rădăciile şi f X X f X X X f X X, b și c f X rădăciă rădăciă Scriem relţiile lui Viete,, b, c V și obțiem f re o rădăciă rţiolă Presupuem că poliomul f dmite o rădăciă îtregă k k stfel îcât f k X k f f X k h, h X Obțiem: f khkhimpr k impr k impr f khkhimpr k impr k pr deci cotrdicție poliomul f u re ici o rădăciă îtregă.

17 Se cosideră poliomele f, g [ X], f X X X X, cu rădăciile,,, şi g X. ) Să se determie restul împărţirii poliomului f l poliomul g. Să se clculeze ( ) ( ) ( ) ( ). Să se clculeze g ) g( ) g( ) g( ). ) ( Soluţie propusă şi redcttă de Di Pop, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe X X X X X X X X X / X X X X / X X X / X r X,,, rădăcii f ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Dr f 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) * g( ) g( ) g( ) g( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) f Dr 5 f f f g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) 5 Justicre * f X X X X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f

18 Se cosideră b, şi poliomul f X X X b, cu rădăciile,,. ) Să se determie,, î czul, b.. Să se demostreze că ( ) ( ) ( ) 8( 5). Să se determie, b stfel îcât poliomul f să ibă o rădăciă dublă eglă cu. Soluţie propusă şi redcttă de Vivi Pop, cls XII- A, ) b f, su 8 C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 8i i i deci rădăciile sut 6 6, Scriem relțiile lui Viete :,,, V V V b b V V V V V i, i, Metod. rădăciă dublă f f l b 8 b b6 5 Metod. Fie V V 5 Cz i. Cz ii., b6 b 6, b6 b 6 V V

19 Fie poliomul f X X X X [ X] şi,,, * f( ),. ) Să se clculeze. Să se rte că rădăciile sle. Să se determie petru cre tote rădăciile poliomului f sut umere rele. Soluţie propusă şi redcttă de Coreli Secele, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți: V V... V V,,,, și f f u este rădăciă, deci pot folosi form de l puctul cre re l umitor f Fie t t t. Ecuţi î t re rădăciile rele dcă, deci poliomul f cu edermit t, re tote rădăciile rele dcă. Verificăm dcă ecuţi t re rădăciile rele: t t t t, poliomului f sut umere rele. deci, dcă, tuci tote rădăciile

20 Se cosideră şirul de umere rel ( ), cu şi, poliomul f [ X ], cu f ( ) şi cu propriette că ( ) ( f ( )), ) Să se clculeze f (5). Să se rte că, f ( ). Să se rte că f X. şi f. Soluţie propusă şi redcttă de Robert Veress, cls XII- A, ) Clculăm vlorile petru,, f f f f f 5 f 5 C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Demostrăm pri iducție propoziți: P: f, Verificre: P() : f f (A) Presupuem P() devărtă şi demostrăm că PP Demostrţie: P: f relţie cre trebuie demostrtă. f f Î cocluzie P() este devărtă. Cosiderăm poliomul h f X Observăm că h f h f poliomul h re o ifiitte de rădăcii... h f Deci poliomul h este poliomul ul dică h f X f X

21 Se cosideră Z şi poliomul f X ˆ X [ X]. ) Să se clculeze f ( ˆ) f (ˆ) f (ˆ ). Petru ˆ, să se determie rădăciile di le poliomului f. Să se determie petru cre poliomul f este ireductibil î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Cosmi Vezeteu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f ˆ f ˆ f ˆ ˆ ˆ 8 ˆ 8 ˆ 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f f f ˆ 8 ˆ ˆ rădăciă ˆ f ˆ ˆ, deci reductibil ˆ ˆ ˆ f f f f ˆ ˆ ˆ 7 ˆ grd f ˆ ˆ ˆ f ireductibil ˆ ˆ rădăciă ˆ f, deci reductibil f este ireductibil dcă ˆ.

22 Se cosideră poliomul f [ X ], cu f X 5X. ) Să se determie rădăciile poliomului f. Să se determie poliomul h [ X], petru cre h ( ) şi cre re c rădăcii iversele rădăciilor poliomului f. Ştiid că g este u poliom cu coeficieţi îtregi, stfel îcât g ( ) g( ) g() g(), să se rte că ecuţi g u re soluţii îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Vld, cls XII- A, ) Ecuți este bipătrtă deci C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe t t t t, t 5 Cz i) Cz ii) h... h,,, 5 h h 5 Dr h h Fie p g p p p p, p, q X p g q Presupuem că poliomul g re soluţii îtregi k stfel îcât gk gk kkkkqk fls ecuţi g u re soluţii îtregi.

23 Se cosideră şi poliomul f X X X X [ X]. ) Să se clculeze, ude,,, sut rădăciile poliomului f. Să se determie restul împărţirii poliomului f l ( X ). Să se demostreze că f u re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Mrius Boridel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți:... V V... V... V,,,, și V V 6 6 / 8 / / 8 7r 8 7 V V f u re tote rădăciile rele. 9 9

24 Se cosideră poliomul f [ X ], f ( X i) ( X i), cre re form lgebrică 99 f X 99 X... X. ) Să se clculeze 99. Să se determie restul împărţirii poliomului f l X. Să se demostreze că poliomul f re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Adri Bufte, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Aplicăm biomul lui Newto petru fiecre prteză ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i duâd obţiem f X C X i CX i i de ude, 99 deci 99 Aplicăm teorem împărţirii cu rest f q r, grd r f q m f m f i i i i i i f m i f i i i i i i Rezolv sistemul: m m m r 5 i Presupuem că poliomul u re tote rădăciile rele compleă zbi cu b, și b. Avem f z ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) zi zi zi zi bii bii m 5 m f dmite o rădăciă z Re z Im z ib ib b b b b b bb bb cotrdicție deorece b deci, poliomul f re tote rădăciile rele. 5

25 Se cosideră poliomul f X X 9, cu rădăciile,,,, umărul i şi mulţimile A g ( ) g [ X] şi B h( ) h [ X], grd( h). ) Să se clculeze f (). Să se clculeze. Să se rte că A B. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Costtiescu, cls XII- A, ) Ecuţi este bipătrtă deci fcem substituţi i i t t9 t, i i,,, i deci i rădăciă f( ). Aplicăm formul modulului z y şi obţiem deci C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Arătăm că orice elemet di mulţime A este şi î mulţime B, dr şi reciproc. Fie elemetul y A yg( ) g[ X] y g( ), g [ X], i rădăciă petru f. Di teorem împărţirii cu rest eistă poliomele qr, stfel îcât y f qr, grdr grd f deci grd r r X X X dică y f qx X X y f q y y h yb Fie elemetul y B yh( ) h[ X], grd( h) y h( ), h [ X] Deorece petru orice poliom h de grd( h) cu coeficieţi rţioli eistă u poliom g A stfel îcât h g tuci y g( ) y A t

26 Se cosideră poliomul f [ X ], f X px qx r, cu p, q, r (; ) şi cu rădăciile,,. ) Să se demostreze că f u re rădăcii î itervlul [ ; ). Să se clculeze î fucţie de p, qr,. Să se demostreze că, dcă bc,, sut trei umere rele stfel îcât b c, b bc c şi bc tuci, b, c( ;). Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Dele, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Presupuem că rădăciile,, sut î itervlul [ ; ). Dcă k rădăciă tuci f k dică k p k q k r deci f u re rădăcii î itervlul [ ; ). fls, Scriem relţiile lui Viete ude, p, q, r V p V q V r rădăciă f p qr rădăciă f p q r rădăciă f p q r duăm V V p q p q r V V p deci p p q pq r p pq r Dcă cuoştem V, V,..., V tuci poliomul cre re rădăciile,,..., este : k k f X VX V X... ( ) VkX... ( ) V Fie poliomul g cre dmite rădăciile bc,, g X X b X c g X bcx bcbcx bc V V V p bc, g X px qx r ude q b c bc r bc Coform puctului ) poliomul g u re rădăcii î itervlul [; ) deci v ve rădăcii î itervlul, dică, b, c( ;).

27 Se cosideră poliomul f X bx c, cu bc,,. ) Să se rte că umărul f ( ) f () este umăr pr. Să se rte că, petru orice y,, umărul f ( ) f ( y) este divizibil cu y. Să se determie coeficieţii poliomului f ştiid că f () şi f b. ) Soluţie propusă şi redcttă de Cristi Ghepeș, cls XII- A, f 8 b c f f 8 b pr,, b, c f bc C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f y y b y y y b y y ( ) ( ) y y y b y f f y y f f y y f b f b b b b,, Cz i. f bc b b f c c Cz ii. f bc c c b f 6bc 6c 6c 5 5

28 Se cosideră poliomul f X [ X] şi umărul \, stfel îcât f ( ). ) Să se demostreze că. y z Să se rezolve î mulţime umerelor complee sistemul y z. y z Să se rte că, dcă f divide f( X ) Xf( X ) X f( X ), ude f, f, f sut poliome cu coeficieţi complecşi, tuci fiecre ditre poliomele f, f, f este divizibil cu X. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Igt, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Metod. Dcă f ( ) vem dică rădăciă de ordi uități deci dcă \ Metod. Dcă f ( ) vem Determitul socit sistemului este CC CC Evidet deorece \, deci sistemul este comptibil determit (CRAMER) S,,., dr sistemul este omoge dică soluți uică este Dcă f divide f( X ) Xf( X ) X f( X ) tuci rădăciile lui f sut și rădăciile lui g f( X ) Xf( X ) X f( X ) Știm că poliomul f X dmite rădăciile k,,,,,,,, deci g f() f() f() f() f() f() g f( ) f( ) f( ) f() f() f() g f( ) f( ) f( ) f() f() f() y z Dcă otăm f(), f() y, f() z obțiem sistemul y z. y z f Coform puctului vem y f z f Adică poliomele f, f, f dmit rădăci și di teorem lui Bezout rezultă că f, f f sut divizibile cu X.,

29 Se cosideră poliomul f [ X ], f X X X b. ) Să se determie b, stfel îcât poliomul f să se dividă cu poliomul X. Să se determie b, stfel îcât ecuţi f ( ) să ibă soluţi i. Să se determie b, stfel îcât poliomul să ibă rădăciile,, î progresie ritmetică şi, î plus,. Soluţie propusă şi redcttă de Adree Much, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f X f X X f X f f X f b b8 b b6 b i rădăciă f i i i ib iibbi b Avem următorii coeficieți:,,, b V V V V 9,, î 9 V rădăciă f b b

30 Se cosideră ecuţi 8 8b,, b şi cu soluţiile,,,. ) Să se rte că 8. Să se determie stfel îcât. Să se determie b,, stfel îcât,,, să fie î progresie ritmetică. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Nzre, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relţiile lui Viete ude, 8,, 8, b V... 8 V... V... 8 V b Clculăm epresi E E V V E V V E 8 Dcă s tuci di relți V obțiem s 8s și dcă îlocuim l puctul ) vem Di relți V scrisă covebil obțiem V 8 Rezolvăm ecuți Avem și,,, î progresie ritmetică tuci eistă umerele și r stfel îcât Dcă r r r r Dr r r r r r r Di V b vem 8 b r r r r 9r r 55

31 Se cosideră poliomul f X X X [ X] cu rădăciile,,,. ) Să se determie stfel îcât poliomul f să se dividă cu X. Să se rte că poliomul g X X X re rădăciile,,.. Să se rte că, petru orice poliomul f u re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Păroiu Rreș, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f X f 6 g / / / f rădăciă petru g. Alog,, rădăcii petru g. Arăt că g u re tote rădăciile y,..., y rele. Scriem relţiile lui Viete petru poliomul g V y y... V y y... y y y y y y V V 8 rădăciile y,..., y u sut tote rele,..., u sut tote rele,..., u sut tote rele.

32 Se cosideră poliomele f, g [ X], f X X, g X X, cu * şi,, rădăciile poliomului f. ) Să se clculeze. Să se rte că rădăciile poliomului g sut iversele rădăciilor poliomului f. Să se rte că poliomele f şi g u u rădăcii rele comue. ) Soluţie propusă şi redcttă de Vld Rom, cls XII- A, V V V V C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe g f rădăciă petru g. Alog, rădăciă petru g. Deorece, f X * [ ], poliomul u re tote rădăciile rele poliomul f re o sigură rădăciă relă și două complee. Fie rădăciă relă petru poliomul poliomul g. b f este rădăciă relă petru Presupuem că f şi g u rădăcii rele comue fls deorece f Justificre: şi f sut diferite de,,,

33 Se cosideră şirul ( ), F F, F, F F F, PQ, [ X], P X X, Q X F X F,. ) Să se rte că poliomul X X este divizibil cu P. Să se determie rădăciile rele le poliomului Q. Să se rte că, petru, poliomul ) Avem : X X X X Q este divizibil cu P. şi poliomele Soluţie propusă şi redcttă de Bic Rusu, cls XII- A, X X X X X X X X / / / r X X P C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Avem : Q X F X F F F F F F F ) Q X X Q X X X Rezolv ecuți : Q 5 S, 5 5, Demostrăm pri iducție: P : Q P,, Verificre: : P Q X F X F X X P P Presupuem P devărtă și demostrăm P P Avem P: Q P Metod. Clculăm Q Q X F X F Q X F F X F Q X F X F X F F X Adăugăm și scădem

34 Q X FX F XFX FXF Q X X FX F F X X P Q P Deci P devărtă. Metod. Q P poliomul H stfel îcât Q PH X F X F PH X PH F X F Clculăm Q Q X F X F Q X X F F X F Q PH F X F X F X F X F FX F X F Q P H X F X F X P Q P H X F X X P H X F Q P P

35 Se cosideră corpul,, ) Să se rte că ecuţi 8 u re soluţii î ) Să se determie umărul poliomelor de grd doi di X Să se rte că poliomul X X este ireductibil î. X Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Todor, cls XII- A, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 ˆ6 ˆ7 ˆ8 ˆ9 ˆ ˆ ˆ ˆ9 ˆ5 ˆ ˆ ˆ5 ˆ9 ˆ ˆ ˆ8 dică u vem soluţii î f bc,, b, c, ˆ C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe b c moduri moduri moduri vem poliome ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ5 ˆ6 ˆ7 ˆ8 ˆ9 ˆ ˆ ˆ ˆ7 ˆ ˆ9 ˆ ˆ7 ˆ ˆ f ˆ u re rădăcii f ireductibil î

36 6 Se cosideră poliomele f, g [ X], f X, g X. ) Să se rte că u cel mi mre divizor comu l poliomelor f şi g este X. Să se determie umărul soluţiilor complee disticte le ecuţiei f ( ) g( ) Să se descompuă poliomul f î fctori ireductibili î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Tudose, cls XII- A, ) f X X X X X g X X X X X X X X f g C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f g X, i i i i S,, i, i,,,, deci vem 8 soluţii disticte. f X X X

37 Se cosideră poliomele f X X X5 [ X] şi f ˆ X X ˆ [ ]. X ) Să se rte că rădăciile di le poliomului f u sut tote rele. Să se rte că poliomul fˆ u re rădăcii î. Să se demostreze că poliomul f u pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Ctic Băj, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Avem următorii coeficieți: V V... Deci V V f 9 9,,, 5și u re tote rădăciile rele. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f X X ˆ u re rădăcii î Presupuem că poliomul f pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi f X k X X b, k,, b deci k stfel îcât k rădăciă rădăciile k,, 5, 9, 5, 5 f impr fls umere impre deorece f impr impr impr impr5impr deci, poliomul f u pote fi scris c produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi.

38 5 Se cosideră poliomul f X X X X [ X]. ) Să se determie o rădăciă îtregă poliomului f. Să se clculeze 5, ude,,..., 5 sut rădăciile poliomului f. Să se rte că f re o sigură rădăciă relă. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Cioc, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f o rădăciă îtregă poliomului f Avem următorii coeficieți: V... V...,,,, și Deci V V 6 5 Dcă rădăciăx f. Aplicăm schem lui Horer q X X X X X X X X X deci poliomul f re o sigură rădăciă relă.

39 Fie poliomul f X X X, cu şi cu rădăciile complee,,. ) Să se clculeze f. Să se determie petru cre poliomul re trei rădăcii rele. Să se determie stfel îcât. Soluţie propusă şi redcttă de Adre Cîrste, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Avem : f dică rădăciă relă. Aplicăm schem lui Horer: q X X Poliomul f X X X q X X poliomul re trei rădăcii rele dcă re două rădăcii rele dică discrimitul trebuie să fie pozitiv 6 6,,, 6, Di relţiile lui Viete vem:,,, V V Dr de l puctul ) vem și di relți dtă Di ieglitte modulului obțiem:, 6,

40 Se cosideră ecuţi pq, p, q şi cu soluţiile,,. ) Ştiid că p, q să se determie,,. Să se determie pq, ştiid că i. Să se rte că Soluţie propusă şi redcttă de Mădăli Dermișek, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă p, q cz. cz. i i S, i i i i rădăciă i piq i i p piq ii p piq p q p i p p pq q Di relţiile lui Viete vem:,,, V p q V q V p V V p

41 Dcă,, soluții obțiem p q p q p q p q q Deci membrul stâg l eglității de demostrt devie 7 7 q p 8p q Dcă,, soluții obțiem 7 5 p q p q k p q p q 7 5 p q p q 7 5 p q qs ps Trebuie să clculăm S, S Dcă,, soluții obțiem p q p q k p q p q p q p q S S p q p Dcă,, soluții obțiem 5 p q p q k p q p q 5 p q p q 5 p p q 5pq q p Obțiem că pq5pq 7pqdeci membrul drept l eglității pq 8 pq deci m rătt că de demostrt devie p q.

42 Se cosideră m şi poliomul f X m X m ix m m i X. ) Arătţi că poliomul f re rădăci Arătţi că, dcă b, sut umere complee şi poliomul g X X b X re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci şi b sut umere rele şi b. Determiţi m petru cre poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte. Soluţie propusă şi redcttă de Tibor Gocz, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 8 mm i 88 f m m i m m i f m m i f m m f rădăciă Fie u vi şi uvi, u, v cele două rădăcii disticte, comple cojugte le poliomului g. Di relţiile lui Viète obţiem: S şi P b dică uviuvi u deci uviuvib b u v Dcă poliomul g re rădăcii complee tuci discrimitul, de ude obţiem b dică p q. Aplicăm schem lui Horer m m i m m i m mmi deci f X X mx mmi h Fie poliomul h X mx m m i. b Dcă poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci obligtoriu poliomul h dmite două rădăcii disticte, comple cojugte m deci coform puctului coeficieţi b, mmi m.

43 * Petru se defieşte poliomul P X [ X]. ) Să se determie rădăciile complee le poliomului P. Să se descompuă poliomul P î fctori ireductibili î [ X ]. Să se descompuă poliomul P 6 î fctori ireductibili î [ X ]. Soluţie propusă şi redcttă de Remus Herciu, cls XII- A, ) P X X X X X X C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe cz. P cz. cz. i i P X X X X P X X i X i i, i 6 6 P X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

44 Se cosideră poliomul p X X m cu m şi cu rădăciile,,. ) Ştiid că m 6, să se determie,,. Să se clculeze. Să se determie m petru cre poliomul p re tote rădăciile îtregi. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Ppce, cls XII- A, ) Dcă m6 p 6 Observăm că p dică X Aplicăm schem lui Horer: 6 q i Scriem relţiile lui Viete p 8 8i, i,,, m V V V V rădăciă p m m rădăciă p m m rădăciă p m m Deorece,, dcă,, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe duăm m u di rădăcii este p m

45 Se cosideră b, şi poliomul p X X X b, cu rădăciile,,. ) Ştiid că b, să se fle rădăciile poliomului p. Să se fle şi b, ştiid că poliomul p re rădăci dublă. Î czul b, să se determie vlorile lui petru cre poliomul p re o rădăciă rţiolă. Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Pătrîjel, cls XII- A, ) Dcă C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe b p X X X X X X X X cz i. cz. ii i i Dcă poliomul p re rădăci dublă pe tuci Obțiem l p X X l p p b b l p și p. Dcă b p X X X Deorece poliomul p este moic(uitr) tuci rădăciile rţiole pot fi umi umere îtregi cre se găsesc pritre divizorii termeului liber, deci sigurele rdăcii posibile sut. p p

46 Se cosideră poliomul p X X X, cu şi cu rădăciile.,,, ) Să se verifice că. Să se rte că poliomul p u este divizibil cu X petru icio vlore lui. Să se rte că, dcă, tuci tote rădăciile poliomului p u modulul. Soluţie propusă şi redcttă de Iri Petcu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) V V V V V Presupuem că px p X X p p cotrdicţie P X. Evidet p u e soluţie : t t t t t t t, t, 6 deorece t t i t t i t t t, Re t și Im t z Re z Im z t t,

47 Se cosideră b, şi poliomul f X X 6X X b, cre re rădăciile,,, ) ) Să se determie şi b ştiid că f re rădăci i. Să se clculeze ( ) ( ) ( ) ( ). Să se determie vlorile rele le umerele şi b ştiid că tote rădăciile poliomului f sut rele. Soluţie propusă şi redcttă de Di Pop, cls XII- A, i rădăciă f i i i 6i ib i6ibb5i b 5 E C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe E E E V V V V E V,,, E f X X X X X X X X f X X X X b 6

48 Se cosideră poliomul f ˆX ˆ [ X]. ) Să se determie grdul poliomului f. Să se rte că poliomul f este elemet iversbil l ielului ( [ X ],, ). Să se determie tote poliomele g [ X] de grdul cu propriette că ) g. ( [ X ],, ). Soluţie propusă şi redcttă de Vivi Pop, cls XII- A, f X X X grd f f f f f f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe deci poliomul f este elemet iversbil l ielului g [ X] de grdul g X b,, b g X bx b g X g b b g X b b,

49 Se cosideră corpul,, şi poliomele f, g, f X X, g X X. ) Să se determie rădăciile di le poliomului f. Să se rte că poliomul g este ireductibil î X. Să se determie tote poliomele h X de grdul trei, stfel îcât h g,. ) Soluţie propusă şi redcttă de Secele Coreli, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe deci rădăciile lui f sut,, deci g u re rădăcii grd g g este ireductibil h g, h g p, rădăciile lui f sut rădăcii petru poliomul p p p f p X X p X X qhg X X qh X X qg q,, Cz. q h g X X Cz. q h X X X X X X Cz. q h X X X X X u covie grd h

50 Fie poliomul f X X 5X [ X] şi,, rădăciile sle. ) Să se clculeze ( )( )( ). Să se rte că poliomul f u re ici o rădăciă îtregă. Să se clculeze. Soluţie propusă şi redcttă de Robert Veress, cls XII- A, ) C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Metod. E V V V V V E V Metod. 5 5 f f E f Evetulele rădăcii îtregi sut pritre divizorii termeului liber dică f f 8 poliomul f u re rădăcii îtregi V V V 5 8

51 Fie,, bc şi poliomul f X X X bx c. ) Să se determie bc,, ştiid că b c, ir restul împărţirii lui f l X este. Ştiid că,,, sut rădăciile lui f, să se clculeze. Să se determie bc,, şi rădăciile lui f î czul î cre f re tote rădăciile rele. ) Dcă Soluţie propusă şi redcttă de Cosmi Vezeteu, cls XII- A, bc f X X X X C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Restul împărţirii poliomului f l X este f deci f. Obțiem, deci bc su bc Scriem relţiile lui Viete,,, b, c V V... V V c b Știm că V V deci Fie epresi E Deorece poliomul f re tote rădăciile rele tuci evidet E. Clculăm efectiv epresi și folosim relțiile lui Viete. E... E E Dr Deci E V V V E b8c

52 Se cosideră poliomul f X 6X 8X X 5 [ X]. ) Să se rte că poliomul f se divide cu X X 5. Să se rte că poliomul f u re icio rădăciă relă. Să se rte că rădăciile poliomului f u celşi modul ) Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Vld, cls XII- A, X X X X X X X X 5X X X 5 / X X 8 X X X / 5 X X 5 5 X X / / / r X X 5 / f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe 5 5 f X X X X f 5 5 i 6 6i, i i i, i,,, 5 5

53 5 Fie b, şi poliomul f X X X X X b [ X]. ) Să se rte că restul împărţirii poliomului f l X u depide de. Să se determie şi b stfel îcât restul împărţirii poliomului f l X X să fie X. Să se determie şi b stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu ( X ). Soluţie propusă şi redcttă de Mrius Boridel, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Restul împărţirii poliomului f l X este f deci obțiem r f b b 5 dică restul u depide de Aplicăm teorem împărţirii cu rest f X X q X f X X q X f f b b f f b Dcă f este divizibil cu ( X ) tuci este rădăciă dublă. l Dcă poliomul f re rădăci dublă pe tuci f și f. Obțiem l f X 6X X 5X 5 5 l f 5 f b b

54 Fie f [ X ] u poliom stfel îcât f ( X X ) f ( X ) f ( X ) şi f ( ). ) Să se determie f. Să se determie restul împărţirii poliomului f l X 5 Să se demostreze că f X Soluţie propusă şi redcttă de Adri Bufte, cls XII- A, ) Clculăm vlore petru f f f f f t C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe t tt t deci f Aplicăm teorem : Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică f ( ) dică r f deci r f 5 f f f f f 5 f f f 55 Adică r 5 Cosiderăm șirul, Demostrăm pri iducție propoziți: P : f, Verificre: Petru vem P() : f f deci devărt. Presupuem P() devărtă şi demostrăm că P(+) este devărtă dică P P Demostrţie: P: f relţie cre trebuie demostrtă. f f( ) f f Î cocluzie P() este devărtă. Acum cosiderăm poliomul h f X Observăm că h f h f... poliomul h re o ifiitte de rădăcii h f Deci poliomul h este poliomul ul dică h f X f X

55 Fie bc,, şi poliomul f X X bx c [ X] cu rădăciile,, ) Să se determie bc,, petru cre şi. i Să se rte că resturile împărţirii poliomului f l ( X ) şi l ( X ) u pot fi egle, petru ici o vlore prmetrilor bc,, Să se rte că, dcă tote rădăciile poliomului f sut rele şi bcsut,, strict pozitive, tuci,, sut strict pozitive. Soluţie propusă şi redcttă de Vld Costtiescu, cls XII- A, ) Avem C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f [ X] i rădăciă f ii i rădăciă i 6 şi pri idetificre coeficieţílor obţiem, b6, c Efectuăm împărţirile poliomului f l ( X ) şi l X X bx c X X ( X ) X X bx c X X X X X X X X X X X X bc X X X X bc X X X bc X b c Dcă presupuem că resturile sut egle vom ve: 9 bb cc6 6 deci resturile u pot fi egle. Presupuem că tote rădăciile,, sut egtive. Dcă k rădăciă tuci f k dică k k b k c fls, deorece bc,, deci, dcă tote rădăciile poliomului f sut rele şi, b, c sut strict pozitive, tuci,, sut strict pozitive.

56 Fie b, şi poliomul f X 6X X X b [ X]. ) Să se clculeze sum pătrtelor celor rădăcii complee le poliomului f. Să se determie, b stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu ( X )( X ). Să se determie, b stfel îcât poliomul f să ibă două rădăcii duble. Soluţie propusă şi redcttă de Aledr Dele, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Scriem relţiile lui Viete, 6,,, b V... 6 V... V... V b Știm că V V deci Dcă f este divizibil cu ( X ) X tuci 6 6 f X f 8 b b8 f X f 86 7 b b6 b6 Fie și cele două rădăcii duble. Di relțiile lui Viete obțiem V 6 V Deci și Di relțiile lui Viete obțiem V... V bb

57 Se cosideră corpul,, 7. ) Să se rezolve î 7 ecuţi. Să se rte că poliomul p X 7 X Să se demostreze că fucţi :, ) utomorfism l grupului, 7 u re rădăcii î 7. f f este u 7 7 Soluţie propusă şi redcttă de Cristi Ghepeș, cls XII- A, 56 S X C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe p X X u re rădăcii î 7. Fucţi f : 7 7, f este u utomorfism l grupului, 7 dcă f morfism și f bijecție f y y y f f y f morfism simetrizbil f f y y y f :, ) 7 ijectivă f 7 7 f f i tote vlorile di codomeiu f surjecție deci f bijecție dică f este u utomorfism l grupului, 7

58 Se cosideră mulţime de umere complee G cos q isi q q. ) Să se rte că i G Să se rte că G este prte stbilă lui î rport cu îmulţire umerelor complee. f X 6 X re tote rădăciile î G. Să se rte că poliomul Soluţie propusă şi redcttă de Rmo Igt, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) i cos isi cos isi i G ude q z cos q isi q Fie z, z G, q, q z cos q isi q zz cos q isi qcos q isi qcosqq isi qq G, ude q qq G este prte stbilă lui î rport cu îmulţire umerelor complee. 6 6 k k k k k cos isi cos isi, k,5 6 6 cos isi G, q cos isi G, q cos isi G, q cos isi G, q 5 cos isi G, q cos isi G, q f X 6 X poliomul re tote rădăciile î G.

59 Fie N,,,,..., şi poliomul f X X... X. ) Să se rte că f ( ) f ( ) este umăr pr. Să se rte că, dcă f () şi f () sut umere impre, tuci poliomul f u re icio rădăciă îtregă. Să se rte că poliomul g X X,, u pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi. ) Soluţie propusă şi redcttă de Adree Much, cls XII- A, f f C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe f f... Dr epresi p, pk p, k, p, pr, p k... f f pr f() f( ) umăr pr. pr Presupuem că poliomul f dmite o rădăciă îtregă k k stfel îcât f k X k f f X k h, h X Obțiem: f kh k h impr k impr k impr f khk h impr k impr k pr deci cotrdicție poliomul f u re ici o rădăciă îtregă. Presupuem că poliomul g pr pr pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi g X mx X p m,, p. Obțiem gm gmm mmm mmm mmm fls produs de r. cosecutive cu deci poliomul g u pote fi descompus î produs de două poliome ecostte, cu coeficieţi îtregi.

60 Fie m, și poliomul f X X mx, cre re rădăciile,,. ) Determiți vlorile m, petru cre i. Determiți vlorile m, petru cre restul împărţirii poliomului f l poliomul X este egl cu. Arătți că dcă tote rădăciile poliomului f sut rele și m, tuci rădăciile,, sut strict pozitive. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Nzre, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Dcă i rădăciă tuci f i deci vem i i m i 8i 6i i i mmi 8ii69immi m7i m m m m7 5 Fcem efectiv împărțire l X X X X mx X X X X X X X X m X X X m deci m și Presupuem că rădăciile,, sut egtive. Dcă k rădăciă tuci f k dică k k m k fls, deci dcă tote rădăciile poliomului f sut rele și m, tuci rădăciile,, sut strict pozitive.

61 Fie p şi poliomul f X X p [ X]. ) Să se determie p stfel îcât poliomul f să fie divizibil cu X. Să se determie p stfel îcât poliomul f să ibă o rădăciă relă dublă. Să se rte că, petru orice p, poliomul f u re tote rădăciile rele. ) Soluţie propusă şi redcttă de Păroiu Rreș, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe Poliomul f este divizibil cu X dcă f. Obțiem p p5 Dcă poliomul f dmite o rădăci relă dublă tuci l Clculăm derivt și obțiem f X deci vem p p p p Scriem relţiile lui Viete,,,, p V... V... V... V p f f l Știm că V V deci Presupuem că poliomul f re tote rădăciile rele. Deorece V cotrdicție, deci petru orice p, poliomul f u re tote rădăciile rele.

62 * Petru fiecre f X X X X ) Să se rte că poliomul f u este divizibil cu poliomul g X. Să se determie sum coeficieților câtului împărțirii poliomul f l X Să se rte că restul împărțirii poliomul f l X X u depide de. cosiderăm poliomul Soluţie propusă şi redcttă de Vld Rom, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Evidet f X X X. Trebuie să rătăm că f f 7 f X Evidet 9 f X X X. Aplicăm schem lui Horer petru flre câtului l împărțire cu X c Știm sum coeficeților este vlore poliomului î deci sum coeficieților câtului este c 5 Dcă poliomului f împărțit l poliomul X X f X q r, grd r f X X qm Dr dcă clculăm î două moduri f și f vem f m 6 6 m 6 f 6 6 r X 6 f m m m f 5

63 Se cosideră poliomul f X X X bxc [ X], cu rădăciile,,,. ) Să se clculeze sum. Să se determie rădăciile poliomului f ştiid că, b şi c. Ştiid că rădăciile poliomului f sut î progresie ritmetică, să se demostreze că b. Soluţie propusă şi redcttă de Bic Rusu, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Coeficieții sut,,, b, c V, b şi c f X X X X Dcă descompuem î fctori obțiem f X X X X f X X XX,,, f XXX f XXXX V V V b V c V Deorece,,, Vom scrie relţiile V şi V î fucţie de sumele şi. V V b b Deci obţiem relţi cerută dică b.

64 Se cosideră poliomul f [ X ], f ( X i) ( X i), cre re form lgebrică 9 f X 9 X... X ude,,..., ) Să se determie restul împărţirii poliomului f l X i. Arătţi că toţi coeficieţi poliomului f sut umere rele. Să se demostreze că poliomul f re tote rădăciile rele. Soluţie propusă şi redcttă de Emuel Todor, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) Restul împărţirii uui poliom f pri biomul X este egl cu vlore poliomului î dică r f r f i ii ii i i Aplicăm biomul lui Newto petru fiecre ( X i) X C X ic X i C X i C X i C Xi i ( ) X i X CX icx i CX i C X i C Xi i f X C X i C X i i de ude i i duâd obţiem: f X C X C X deorece i i 6 i şi deci, toţi coeficieţi poliomului f sut umere rele. Presupuem că poliomul f u re tote rele o rădăciă compleă zbi cu b, și b stfel îcât f z. Avem f z ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) ( zi) z i z i zi zi bii bii z Re z Im z i b i b b b b b b bb bb cotrdicție deorece b deci, poliomul f re tote rădăciile rele.

65 Se cosideră şi poliomul f X X ix i X. ) Arătţi că poliomul f re rădăci Arătţi că, dcă pq, sut umere complee şi poliomul g X px q X re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci p şi q sut umere rele şi p q. Determiţi petru cre poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte. Soluţie propusă şi redcttă de Adrei Tudose, cls XII- A, C.N. M. Vitezul, Sf. Gheorghe ) f i i f i i f ii ii f rădăciă Fie u vi şi uvi, u, v, v cele două rădăcii disticte, comple cojugte le poliomului g. Di relţiile lui Viète obţiem: p şi q dică puviuvi pu deci q u viu vi q u v Dcă poliomul g re rădăcii complee tuci discrimitul, de ude obţiem p q dică p q. Aplicăm schem lui Horer i i i deci f X X X i. Fie poliomul h p q h X X i. Metod. Dcă poliomul f re două rădăcii disticte, comple cojugte, tuci obligtoriu poliomul h dmite două rădăcii disticte, comple cojugte deci coform puctului coeficieţi pq, sut reli Metod. Discrimitul socit poliomul h este. i i i i i, i şi i Deorece trebuie să vem două rădăcii disticte, comple cojugte de ude.