ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1
Στόχοι μαθήματος Υπολογισμός της γραμμής της (απλής) παλινδρόμησης από ένα δείγμα δεδομένων με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Ερμηνεία της κλίσης και του σταθερού όρου της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος. Εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος με το Eviews. 2
Περιεχόμενο μαθήματος 1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση 2. Βασικές υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος παλινδρόμησης 3. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 4. Ιδιότητες της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος 5. Θεώρημα των Gauss-Markov 6. Παλινδρόμηση χωρίς σταθερό όρο 7. Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή 3
1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση π.χ. Η πολιτεία καθιερώνει αυστηρές νέες ποινές στους μεθυσμένους οδηγούς. Ποια η επίδραση στα θανατηφόρα τροχαία; π.χ. Μια σχολική περιφέρεια μειώνει το μέγεθος της τάξης στο δημοτικό σχολείο. Ποια είναι η επίδραση στη βαθμολογία των μαθητών στα τυποποιημένα τεστ; π.χ. Ολοκληρώνεται με επιτυχία ένα ακόμη ακαδημαϊκό έτος σπουδών. Ποια είναι η επίδραση στις μελλοντικές αποδοχές σας; Μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε την άγνωστη επίδραση της μεταβολής μιας μεταβλητής Χ (εξαρτημένη μεταβλητή), σε μια άλλη μεταβλητή, την Υ (ανεξάρτητη μεταβλητή). 4
1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση π.χ. Χ: ποινές στους μεθυσμένους οδηγούς, Υ: θανατηφόρα τροχαία π.χ. Χ: μέγεθος τάξης στο δημοτικό, Υ: βαθμολογία των μαθητών στα τεστ π.χ. Χ: έτη σπουδών, Υ: μελλοντικές αποδοχές Το υπόδειγμα γραμμικής παλινδρόμησης ορίζει μια γραμμική σχέση μεταξύ της μεταβλητής Χ και της Υ. Η κλίση της γραμμής που συνδέει την Χ με την Υ είναι η επίδραση μιας μεταβολής της Χ κατά μια μονάδα στην Υ. Το οικονομετρικό πρόβλημα είναι να εκτιμήσουμε αυτήν την κλίση, χρησιμοποιώντας ένα δείγμα από δεδομένα από τις δύο μεταβλητές, Χ και Υ. 5
π.χ. Θέλουμε να ερευνήσουμε εμπειρικά την σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες καταναλώσεως (Υ) και στο διαθέσιμο εισόδημα (Χ) με βάση τις πληροφορίες από ένα δείγμα με Τ οικογένειες για μια δεδομένη χρονική περίοδο. Έχουμε δηλαδή Τ ζεύγη από παρατηρήσεις (Υ t, X t ) όπου Υ t : δαπάνες καταναλώσεως της οικογένειας t, t = 1, 2,, T X t : διαθέσιμο εισόδημα της οικογένειας t, t = 1, 2,, T Αν η μαθηματική μορφή της συναρτησιακής σχέσης ανάμεσα στις δύο μεταβλητές είναι γραμμική τότε μπορούμε να γράψουμε: Υ t = β 0 + β 1 Χ t (1) 1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση 6
Η σχέση (1) είναι προσδιοριστική και σημαίνει ότι όλες οι οικογένειες με το ίδιο διαθέσιμο εισόδημα έχουν τις ίδιες δαπάνες καταναλώσεως. Στην πραγματικότητα η σχέση αυτή δεν μπορεί να ικανοποιείται από όλα τα ζεύγη παρατηρήσεων (Υ t, X t ). Οι διαφορές ή αποκλίσεις από την ευθεία που ορίζει η σχέση (1) μπορούν να ληφθούν υπόψη με την προσθήκη μιας τυχαίας μεταβλητής ή αλλιώς ενός διαταρακτικού όρου u t, οπότε η προσδιοριστική σχέση γίνεται στοχαστική: Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t (2) 1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση συστηματικό μέρος μη συστηματικό μέρος 7
1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση β 0 Στοχαστική συνάρτηση κατανάλωσης Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t Υ u 1 0 Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ Ευθείας παλινδρόμησης Προσδιοριστική σχέση Υ t = β 0 + β 1 Χ t Πραγματικές τιμές Υ t από δεδομένα Προσθήκη διαταρακτικού όρου στην συνάρτηση παλινδρόμησης Ύπαρξη άγνωστων ή μη μετρήσιμων μεταβλητών που δεν συμπεριλαμβάνονται στο υπόδειγμα, σκόπιμη παράλειψη μεταβλητών μικρής σημασίας Αστάθμητη ανθρώπινη συμπεριφορά Σφάλματα μετρήσεως 8
1. Κλασσική γραμμική παλινδρόμηση Ορολογία για το υπόδειγμα γραμμικής παλινδρόμησης με μια ερμηνευτική μεταβλητή Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t Ο δείκτης t αναφέρεται στις παρατηρήσεις, t = 1, 2,, T. Υ t είναι η εξαρτημένη μεταβλητή Χ t είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή β 0 + β 1 Χ t είναι η γραμμή παλινδρόμησης β 0 είναι ο σταθερός όρος της γραμμή παλινδρόμησης β 1 είναι η κλίση της γραμμή παλινδρόμησης u t είναι o όρος σφάλματος ή τυχαίος όρος ή διαταρακτικός όρος 9
2. Βασικές υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος παλινδρόμησης Η στοχαστική φύση της σχέσης Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t (2) συνεπάγεται πως για κάθε τιμή της Χ δεν υπάρχει μια μόνο τιμή για την Υ, αλλά μια κατανομή τιμών, που εξαρτάται από το u t. 0 Χ 1 Χ 2 Χ 3 Χ Για την εκτίμηση της (2) έχουμε ένα δείγμα με Τ ζεύγη παρατηρήσεων (Υ t, X t ), αλλά δεν έχουμε παρατηρήσεις για τον διαταρακτικό όρο u t, πράγμα που σημαίνει ότι θα κάνουμε κάποιες υποθέσεις σχετικά με την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής u t. Υ 10
2. Βασικές υποθέσεις γραμμικού υποδείγματος Ολοκληρωμένη εξειδίκευση του γραμμικού στοχαστικού υποδείγματος Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t u t ~ (0, σ 2 ) α) u t είναι τυχαία μεταβλητή β) Εu t = 0 γ) Var u t = Εu t 2 = σ 2 u t : ομοσκεδαστικός όρος, δηλ. έχει σταθερή διακύμανση Cov(u t, u s ) = Eu t u s = 0 για t s (ανεξαρτησία τυχαίων όρων) Η μεταβλητή Χ δεν είναι στοχαστική. Οι τιμές της παραμένουν σταθερές και δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους. 11
Η κατανομή της Υ και η Γραμμή Παλινδρομήσεως Η μεταβλητή Υ είναι συνάρτηση της τυχαίας μεταβλητής u t και επομένως είναι και αυτή τυχαία μεταβλητή. Η κατανομή της Υ είναι κατανομή υπό συνθήκη, δεδομένης της τιμής της Χ. Ισχύουν τα παρακάτω: 2. Βασικές υποθέσεις γραμμικού υποδείγματος ΕΥ t = β 0 + β 1 Χ t : γραμμή παλινδρομήσεως στον πληθυσμό Var Υ t = σ 2 12
Οι συντελεστές β 0, β 1 δεν είναι γνωστοί άρα πρέπει να εκτιμηθούν από το δείγμα των παρατηρήσεων των μεταβλητών Χ, Υ. Έστω β 0, β 1 είναι οι εκτιμήσεις των συντελεστών β 0, β 1, αντίστοιχα. Οπότε: Υ t = β 0 + β 1 Χ t : γραμμή παλινδρομήσεως στο δείγμα Υ t : η τιμή της Υ που υπολογίζουμε από την γραμμή παλινδρομήσεως του δείγματος 2. Βασικές υποθέσεις γραμμικού υποδείγματος u t = Y t Υ t : κατάλοιπο (residual) ή απόκλιση, η διαφορά μεταξύ των πραγματικών τιμών Y t και των εκτιμώμενων τιμών Υ t 13
2. Βασικές υποθέσεις γραμμικού υποδείγματος Γραμμή παλινδρομήσεως πληθυσμού και δείγματος Υ Υ t = β 0 + β 1 Χ t (δείγμα) Ε(Υ/Χ t )= β 0 + β 1 Χ t (πληθυσμός) 0 Χ 1 Χ 2 Χ 14
3. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων (Ordinary Least Square - OLS) Εκτίμηση των συντελεστών β 0, β 1 ώστε να ελαχιστοποιήσουμε τα κατάλοιπα u t και συγκεκριμένα η OLS αποσκοπεί στην ελαχιστοποίηση του αθροίσματος των τετραγώνων των καταλοίπων (minimum sum of squared residuals): min T t=1 u t 2 = min T t=1 (Y t Υ t ) 2 Υ (X 1,Y 1 ) u 1 u 2 (X t,y t ) u t Υ t = β 0 + β 1 Χ t 0 Χ 1 Χ 2 Χ 15
Εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων, προβλεφθείσες τιμές και κατάλοιπα Εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων της κλίσης β 1 : β 1 = t=1 Τ (Xt X)(Y t Y) Τ = S XY X t X 2 t=1 s2 ή β 1 = ΧΥ Τ X Υ X Χ 2 Τ X 2 Εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων του σταθερού όρου β 0 : β 0 = Y β 1 Χ Προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των Υ t : Υ t = β 0 + β 1 X t, t = 1,, T Προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των καταλοίπων u t : u t = Y t Υ t, t = 1,, T 3. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Οι εκτιμήσεις των παραπάνω γίνονται με βάση το δείγμα των T παρατηρήσεων των X t και Υ t, t = 1,, T. Είναι εκτιμήσεις των πραγματικών παραμέτρων του πληθυσμού. 16
4. Ιδιότητες της γραμμής παλινδρομήσεως του δείγματος α) Η γραμμή παλινδρομήσεως του δείγματος περνάει από το σημείο που ορίζεται από το μέσο των Υ και Χ, δηλαδή το σημείο ( Χ, Υ). β) Το άθροισμα των τιμών της Υ από το δείγμα είναι ίσο με το άθροισμα των τιμών που υπολογίζουμε από την παλινδρόμηση, δηλαδή Υ = Υ. γ) Το άθροισμα των καταλοίπων είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή u = 0. δ) Το άθροισμα των γινομένων των τιμών της Χ και των καταλοίπων είναι μηδέν, δηλαδή Χ u = 0. ε) Το άθροισμα των γινομένων των καταλοίπων και των τιμών Υ που υπολογίζουμε από την παλινδρόμηση του δείγματος είναι μηδέν, δηλαδή Υ u = 0. 17
5. Θεώρημα των Gauss-Markov Εφόσον ισχύουν οι υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης, οι εκτιμητές β 0, β 1 αποτελούν τους καλύτερους γραμμικούς αμερόληπτους εκτιμητές, δηλαδή: α) Είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής Υ t. β) Είναι αμερόληπτοι εκτιμητές. Ένας εκτιμητής ονομάζεται αμερόληπτος όταν η αναμενόμενη τιμή του είναι ίση με την τιμή της υπό εκτίμηση άγνωστης τιμής του συντελεστή του πληθυσμού, δηλαδή Ε β 0 = β 0 και Ε β 1 = β 1. γ) Είναι αποτελεσματικοί εκτιμητές, δηλαδή μεταξύ όλων των γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών έχουν την μικρότερη διακύμανση. 18
Άσκηση 1. Τα στοιχεία του Πίνακα αναφέρονται στην αξία (σε δισεκ. δραχμές) των εισαγωγών καταναλωτικών αγαθών (Υ) και στο διαθέσιμο εισόδημα (Χ) για την Ελληνική Οικονομία για την περίοδο 1958-1973. Να βρεθεί η γραμμή παλινδρομήσεως του δείγματος, οι προβλεφθείσες τιμές Υ και τα κατάλοιπα u. Έτος Υ Χ Έτος Υ Χ 1958 5,121 105,508 1966 8,625 182,420 1959 4,134 107,497 1967 9,204 192,895 1960 4,653 111,875 1968 9,647 204,164 1961 5,622 124,676 1969 10,167 221,908 1962 5,499 130,118 1970 9,961 240,471 1963 6,453 142,140 1971 10,580 267,849 1964 7,093 155,338 1972 10,658 289,450 1965 8,907 171,456 1973 13,139 318,550 19
Άσκηση 1 Αρχικά υπολογίζουμε την δειγματική μέση τιμή των μεταβλητών Χ και Υ, αντίστοιχα: X = 1 Τ Υ= 1 Τ t=1 Τ X t t=1 Τ Υ t. Έπειτα υπολογίζουμε τους συντελεστές της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος β 1 = ΧΥ Τ X Υ Χ 2 Τ X 2 β 0 = Y β 1 Χ και Είναι: Τ = 16 (πλήθος παρατηρήσεων) X = 1 16 = 1 16 = 1 16 Υ= 1 16 = 1 16 = 1 16 t=1 16 X t = (105, 508 + 107, 497 + + 318, 550)= 2966, 315 = 185, 394 t=1 16 Υ t = (5, 121 + 4, 134 + + 13, 139)= 129, 463 = 8, 091 20
16 ΧΥ = X t Υ t = t=1 Άσκηση 1 = 105, 508 5, 121 + 107, 497 4, 134 + + 318, 550 13, 139 =26541,949 Χ 2 = t=1 16 Χ 2 t = 105, 508 2 + 107, 497 2 + + 318, 550 2 =617645,622 Οπότε: β 1 = ΧΥ Τ X Υ Χ 2 Τ X 2 26541,949 16 185, 394 8, 091 = 617645, 622 16 185, 394 2 β 0 = Y β 1 Χ = 8, 091 0, 0375 185, 394 = 1, 136 = 0, 0375 21
Άσκηση 1 Υ t = 1, 136 + 0, 0375Χ t γραμμή παλινδρομήσεως στο δείγμα Οπότε οι προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των Υ t υπολογίζονται από την σχέση: Υ t = β 0 + β 1 X t, t = 1,, T Οι προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των καταλοίπων u t υπολογίζονται από την σχέση: u t = Y t Υ t, t = 1,, T Προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των Υ t : t = 1: Υ 1 = 1, 136 + 0, 0375Χ 1 = = 1, 136 + 0, 0375 105, 508 = = 5, 094 t = 2: Υ 2 = 1, 136 + 0, 0375Χ 2 = = 1, 136 + 0, 0375 107, 497 = = 5, 169. Προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των καταλοίπων u t : t = 1: u 1 = Y 1 Υ 1 = = 5, 121 4, 134 = 0, 026 t = 2: u 2 = Y 2 Υ 2 = = 4, 134 5, 169 = 1, 035. 22
Άσκηση 1 Έτος Υ Χ Υ u 1958 5,121 105,508 5,094 0,026 1959 4,134 107,497 5,169-1,035 1960 4,653 111,875 5,333-0,679 1961 5,622 124,676 5,814-0,191 1962 5,499 130,118 6,018-0,518 1963 6,453 142,140 6,469-0,016 1964 7,093 155,338 6,964 0,129 1965 8,907 171,456 7,568 1,338 1966 8,625 182,420 7,980 0,644 1967 9,204 192,895 8,373 0,831 1968 9,647 204,164 8,796 0,851 1969 10,167 221,908 9,461 0,705 1970 9,961 240,471 10,158-0,197 1971 10,580 267,849 11,185-0,605 1972 10,658 289,450 11,995-1,337 1973 13,139 318,550 13,087 0,052 23
Άσκηση 1 Η συνάρτηση εισαγωγών καταναλωτικών αγαθών είναι: Υ t = 1, 136 + 0, 0375Χ t Ο συντελεστής παλινδρομήσεως β 1 παριστάνει τη μεταβολή στην προσδοκώμενη τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ερμηνευτική μεταβλητή (Χ) μεταβάλλεται κατά μια μονάδα ή εναλλακτικά είναι η παράγωγος της Ε(Y t ) ως προς Χ t : β 1 = de(y t ) dx t Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, β 1 = 0, 0375, το οποίο παριστάνει την οριακή ροπή για εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών, δηλαδή όταν το διαθέσιμο εισόδημα αυξάνεται κατά ένα δισεκ. δραχμές, οι εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών θα αυξηθούν κατά 0, 0375 δισεκ. δραχμές. Με άλλα λόγια, το 3,75% της αύξησης του διαθέσιμου εισοδήματος απορροφάται από τις εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών. 24
Ελαστικότητα Η ελαστικότητα μετρά την ποσοστιαία μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής Y, η οποία οφείλεται σε μια μικρή ποσοστιαία μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβολής Χ. Η ελαστικότητα της Υ ως προς Χ γενικά είναι: ε yx = dy Εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης είναι η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας ενός προϊόντος, σε σχέση με τη μεταβολή του εισοδήματος των καταναλωτών και δίνεται από την παρακάτω σχέση: Χ ε yx = β 1 Υ Η ελαστικότητα δεν είναι σταθερή σε όλο το μήκος της συναρτήσεως. Συνήθως εκτιμάται στο σημείο των μέσων, δηλαδή ε yx = β 1 Χ Υ. Χ 185,394 Στο παράδειγμά μας είναι: ε yx = β 1 = 0, 0375 = 0, 86 Όταν το εισόδημα Υ 8,091 αυξάνεται κατά 1%, οι εισαγωγές καταναλωτικών αγαθών αυξάνονται κατά 0,86%. dx Χ Υ. Άσκηση 1 25
Επίλυση άσκησης με το Eviews Ανοίγουμε το πρόγραμμα Eviews. Δημιουργούμε ένα νέο φύλλο εργασίας (workfile): File New Workfile Καταχώρηση δεδομένων στο Eviews: Object New Object Object New Object Type of object: Series Type of object: Series Name of object: Y Name of object: X Γραφική παράσταση κάθε μιας χρονοσειράς χωριστά: Επιλέγουμε την μεταβλητή που μας ενδιαφέρει και: View Graph General : Basic graph Specific: Line & Symbol 360 320 280 240 200 160 120 80 14 12 10 8 6 4 Άσκηση 1 X 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 Y 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 26
View Show View Show Άσκηση 1 Διάγραμμα διασποράς (Scatter plot): View Graph Γραφική παράσταση και των δυο χρονοσειρών: View Graph 350 300 14 12 10 250 200 Y 8 150 100 6 50 0 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 4 80 120 160 200 240 280 320 360 X Y X 27
Διάγραμμα διασποράς (Scatter plot) και γραμμή παλινδρόμησης δείγματος: View Graph Άσκηση 1 14 12 10 Y 8 6 4 80 120 160 200 240 280 320 360 X 28
Εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος με την μέθοδο OLS στο Eviews Από το κεντρικό παράθυρο του Eviews επιλέγουμε: Quick Estimate Equation Άσκηση 1 29
Εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος με την μέθοδο OLS στο Eviews Στο παράθυρο Equation Estimation που ανοίγει, γράφουμε: με τη σειρά της μεταβλητές μας: Πρώτα την εξαρτημένη μεταβλητή (Y), αφήνουμε κενό, μετά τον σταθερό όρο (C), αφήνουμε κενό, και τέλος την ανεξάρτητη (ερμηνευτική) μεταβλητή (Χ). Άσκηση 1 30
Εμφανίζεται το παράθυρο Equation στην περιοχή εργασίας (Work area) με τα αποτελέσματα της εκτίμησης της συνάρτησης Υ t = β 0 + β 1 Χ t + u t. Άσκηση 1 31
Άσκηση 1 Συγκεντρωτικά αποτελέσματα σχετικά με τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος: View Representations 32
Άσκηση 1 Επιπλέον αποτελέσματα σχετικά με τις αρχικές τιμές δεδομένων του δείγματος (Υ t ), εκτιμώμενες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ( Υ t ) και των καταλοίπων ( u t ), σε μορφή γραφήματος: View Actual, Fitted, Residual Actual, Fitted, Residual Graph 33
Άσκηση 1 Επιπλέον αποτελέσματα σχετικά με τις αρχικές τιμές δεδομένων του δείγματος (Υ t ), εκτιμώμενες τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής ( Υ t ) και των καταλοίπων ( u t ), σε μορφή πίνακα: View Actual, Fitted, Residual Actual, Fitted, Residual Table 34
6. Παλινδρόμηση χωρίς σταθερό όρο Μερικές φορές εκτιμάμε την γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος ανάμεσα σε δύο μεταβλητές χωρίς τον σταθερό όρο. Π.χ. αν υποθέσουμε ότι η οριακή ροπή για εισαγωγές είναι ίση με τη μέση ροπή για εισαγωγές, τότε η συνάρτηση εισαγωγών περνάει από την αρχή των αξόνων, πράγμα που σημαίνει ότι ο σταθερός όρος είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή το υπόδειγμα είναι: Υ t = β 1 Χ t + u t. Για την εκτίμηση του β 1 εφαρμόζουμε τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων υπό περιορισμό, από την οποία προκύπτει ότι: β 1 = ΧΥ Χ 2 35
Άσκηση 1 (συνέχεια) Άσκηση 1 (συνέχεια) Να βρεθεί η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος χωρίς σταθερό όρο. Ο συντελεστής παλινδρόμησης είναι: β 1 = ΧΥ 26541,949 Χ2 = 617645,622 Από το κεντρικό παράθυρο του Eviews επιλέγουμε: Quick Estimate Equation = 0, 0429. Στο παράθυρο Equation Estimation γράφουμε με τη σειρά της μεταβλητές μας: Πρώτα την εξαρτημένη μεταβλητή (Y), αφήνουμε κενό, και μετά την ανεξάρτητη (ερμηνευτική) μεταβλητή (Χ). 36
Άσκηση 1 (συνέχεια) 37
7. Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή Οι μεταβλητές συνήθως αυξάνονται ή μειώνονται με το χρόνο, δηλαδή έχουν χρονική τάση. Αν η συναρτησιακή σχέση που συνδέει μια μεταβλητή Υ (εξαρτημένη μεταβλητή) με το χρόνο (ως ερμηνευτική μεταβλητή Χ) είναι γραμμική, τότε υπάρχει γραμμική τάση και το υπόδειγμα που θεωρούμε είναι Υ t =β 0 + β 1 Χ t + u t όπου το Χ είναι παριστάνει τη μεταβλητή χρόνος. Για να χρησιμοποιηθεί ο χρόνος ως παλινδρομητής, θα πρέπει να καθοριστεί η αρχή από την οποία αρχίζει η μέτρηση καθώς και η μονάδα μέτρησης. 38
7. Ο χρόνος ως ερμηνευτική μεταβλητή π.χ. Ετήσιες παρατηρήσεις για το ΑΕΠ (ακαθάριστο εγχώριο προϊόν) για την περίοδο 1985-1999. Η μεταβλητή Χ μπορεί να οριστεί ως εξής: (α) Χ = 1985, 1986,, 1999 (β) Χ = 1,2,3,,15 (γ) Χ = -7, -6,, 6, 7 Και στις τρεις περιπτώσεις η μονάδα μέτρησης είναι το έτος, απλώς αλλάζει η αρχή μέτρησης. Συνήθως χρησιμοποιείται η περίπτωση (β). 39
Άσκηση 2. Ακαθάριστο εγχώριο προϊόν (ΑΕΠ) της Ελλάδας για τα έτη 1960 1994. Να βρεθεί η γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος αν η ερμηνευτική μεταβλητή είναι ο χρόνος. Χρησιμοποιήστε το Eviews. Τα δεδομένα δίνονται σε αρχείο Excel. α/α Έτος ΑΕΠ α/α Έτος ΑΕΠ α/α Έτος ΑΕΠ 1 1960 143387 13 1972 348631 25 1984 490696 2 1961 159374 14 1973 374160 26 1985 506011 3 1962 161818 15 1974 360547 27 1986 514214 4 1963 178220 16 1975 382362 28 1987 510758 5 1964 192938 17 1976 406679 29 1988 531555 6 1965 211060 18 1977 420622 30 1989 550034 7 1966 223933 19 1978 448793 31 1990 549753 8 1967 236207 20 1979 465355 32 1991 559697 9 1968 251949 21 1980 473510 33 1992 567528 10 1969 276891 22 1981 473771 34 1993 573775 11 1970 298917 23 1982 475641 35 1994 583690 12 1971 320198 24 1983 477551 40
Άσκηση 3. Έστω οι ακόλουθες υποθετικές παρατηρήσεις για τη ζήτηση ενός αγαθού: Υ (ποσότητα σε κιλά) 10 15 12 9 6 7 Χ (τιμή κιλού σε ευρώ) 2 3 4 1 3 5 (α) Σχεδιάστε το διάγραμμα διασποράς των μεταβλητών. (β) Να βρεθεί η γραμμική συνάρτηση της ζήτησης του αγαθού. (γ) Να βρεθούν οι προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων της ζήτησης Υ t του αγαθού. (δ) Να βρεθούν οι προβλεφθείσες τιμές ελαχίστων τετραγώνων των καταλοίπων u t. 41
Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 42