90 Μάθηµα ευτέρας 20 / / 7 5) ιανυσµατικά διαγράµµατα στην Η.Μ.Κ. Κατά την µελέτη ηλεκτρικών δικτύων στην Η.Μ.Κ. χρησιµοποιούνται πολύ συχνά τα λεγόµενα διανυσµατικά διαγράµµατα. Οι στρεφόµενοι µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω παραστατικοί µιγαδικοί (phasrs) σχεδιάζονται στο µιγαδικό επίπεδο ως διανύσµατα µε αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σηµείο που παριστά τον µιγαδικό αριθµό. Προφανώς τα διανύσµατα αυτά στρέφονται (αντι- ωρολογιακά) και στο σχετικό διάγραµµα απεικονίζεται µια χρονική στιγµή ( ένα στιγµιότυπο) από την περιστροφική τους κίνηση! Για όλα τα διανύσµατα που έχουµε, σε ένα κοινό διάγραµµα, ισχύει η θεµελειώδης σχέση: -Οι γωνίες µεταξύ των διανυσµάτων ΕΝ αλλάζουν καθώς κυλά ο χρόνος, διότι προφανώς στρέφονται όλα µε το ίδιο ω. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να κάνουµε χρήση όλων των κανόνων της διανυσµατικής άλγεβρας για προσθέσεις και αφαιρέσεις διανυσµάτων ( Προσοχή! όχι γινόµενα και πηλίκα) Τα παραπάνω θα γίνουν καλλίτερα κατανοητά µε το παράδειγµα που ακολουθεί: Παράδειγµα Έστω δύο ηµιτονοειδείς συναρτήσεις α και α 2 όπου: α 5sin ( 0 t 32 ) και α 2 8sin ( 0 t 47 προφανώς θα έχουµε εδώ ω 0 rad / sc µέσα στις παρενθέσεις «ανακατεύονται» µοίρες µε ακτίνια αλλά αυτό γίνεται σε όλα τα βιβλία για λόγους εποπτικούς Χρησιµοποιώντας τον κανόνα µετατροπής µιας γωνίας φ από µοίρες σε ακτίνια: φ (σε ακτίνια) φ ( σε µοίρες) / (80/π) ) ή φ (σε ακτίνια) φ ( σε µοίρες) / 57.2958 µπορούµε να γράψουµε: α 5sin ( 0 t 0.5585 ) και α 2 8sin ( 0 t 0.8203 )
Βρίσκουµε τους παραστατικούς µιγαδικούς ( phasrs ) A και Α2 των α και α 2 α α 9 5sin ( 0 t 32 ) Α 5 j 32 j 2 8sin ( 0 t 47 ) Α2 8 Όπως προαναφέρθηκε ο παραστατικός µιγαδικός του αθροίσµατος α και α 2 θα είναι το άθροισµα των παραστατικών µιγαδικών A και Α2, άρα: 47 j32 j 47 A Α2 5 8 4.2402 j 2.6496 5.4560 j 5.8508 9.6962 j 3.202 όπου εποµένως: A j8.27 Α2 9.6962 j 3.202 0.20 α α 2 5sin ( 0 t 32 ) 8sin ( 0 t 47 ) 0.20 sin (0 t 8.27 ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των A, Α 2 και A Α2 m 5 A 5 j 32 ω0 rad/ sc 0 32 47 5 0 8.27 A j8.27 A2 0.2 5 A j 47 2 8 Ο στρεφόµενος µιγαδικός A Α2 προκύπτει ως το διανυσµατικό άθροισµα των A και Α2
92 Στο παρακάτω σχήµα φαίνονται οι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις α, α 2 και α α 2 α α 2 α α2 τ τ0.379sc 0 0.2 0. 4 0. 6 0. 8. t ( sc ) T 2π 2π Η περίοδος T 0.6283 sc ω 0 Μετρώντας το χρονικό διάστηµα τ το οποίο απέχουν δυο κορυφές των α και α 2 βλέπουµε ότι είναι τ 0.379 sc. Άρα η διαφορά φάσεως µεταξύ τους θα είναι: φ ( τ / Τ ) 360 ο 0.295x 360 79 µε την α να προηγείται. Αυτό επαληθεύεται αµέσως από την αφαίρεση 32 ο -(-47 ο ) 79 ο 6 ) Σχέσεις τάσεως ρεύµατος των τριών βασικών ηλεκτρικών στοιχείων στην Η.Μ.Κ. Παρακάτω διατυπώνονται για τα τρία βασικά ηλεκτρικά στοιχεία οι σχέσεις τάσεως ρεύµατος στην Η.Μ.Κ. Οι σχέσεις αυτές, όπως είναι φυσικό, προκύπτουν απ ευθείας από τις αντίστοιχες σχέσεις που ισχύουν στο πεδίο του χρόνου, θέτοντας την βασική παραδοχή ότι όλα τα µεγέθη ( τάσεις ρεύµατα) έχουν ηµιτονοειδή µορφή.
93 6. ) Ωµική αντίσταση Στο πεδίο του χρόνου: i Θεωρούµε ότι i m sin ( ω t φ ) άρα ο phasr θα είναι και i m sin ( ω t φ ) άρα ο phasr θα είναι m m Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) και i, καθώς και οι m ϕ i T t Παρατηρούµε ότι τα µεγέθη και i έχουν την ίδια φάση σε κάθε χρονική στιγµή
94 6. 2 ) Πηνίο µε αυτεπαγωγή Στο πεδίο του χρόνου: d i d t Θεωρούµε ότι i m sin ( ω t φ ) άρα ο phasr θα είναι d i και ω m cs ( ω t φ ) ω m sin ( ω t φ π/2 ) d t m άρα ο phasr θα είναι: π j ( ϕ ) 2 ω m m Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) και i m, καθώς και οι i i T t Παρατηρούµε ότι στο πηνίο η τάση προηγείται του ρεύµατος i κατά 90 ο
95 6. 3 ) Πυκνωτής µε χωρητικότητα Στο πεδίο του χρόνου: i d d t Θεωρούµε ότι m sin ( ω t φ ) άρα ο phasr θα είναι d και i ω m cs ( ω t φ ) ω m sin ( ω t φ π/2 ) d t m άρα ο phasr θα είναι: π j ( ϕ ) 2 ω m m Στα παρακάτω σχήµατα φαίνεται το διανυσµατικό διάγραµµα των συναρτήσεις ( κυµατοµορφές) και i m, καθώς και οι i T t Παρατηρούµε ότι στον πυκνωτή το ρεύµα i προηγείται της τάσεως κατά 90 ο
6. 4 ) Σύνθετη αντίσταση στην Η.Μ.Κ. 96 Ακριβώς όπως και στο πεδίο του χρόνου µπορούµε και στην Η.Μ.Κ. να σκεφτούµε έναν «γενικευµένο» νόµο του hm σύµφωνα µε τον οποίο σε ένα ηλεκτρικό στοιχείο ορίζεται η γενικευµένη σύνθετη αντίσταση ( ) ( ή και απλά ( ω ) ) ( ω ) ( hm ) και η γενικευµένη σύνθετη αγωγιµότητα Y( ω ) Y( ω ) ( ω ) ( hm - ) Για τα τρία βασικά παθητικά ηλεκτρικά στοιχεία θα είναι: Ωµική αντίσταση ( ω ) Y ( ω ) Πηνίο ( ω ) Y ( ω ) Πυκνωτής ( ω ) Y ( ω )
97 Αν θεωρήσουµε συνδεσµολογίες δύο ακροδεκτών Α-Β, αποτελούµενες από τα βασικά στοιχεία,, µπορούµε να υπολογίσουµε την συνολική γενικευµένη σύνθετη αντίσταση ( ω ). Ισχύουν και εδώ όλοι οι κανόνες σύνθεσης αντιστάσεων που είναι γνωστοί από τη στοιχειώδη θεωρία κυκλωµάτων. Παρακάτω αναφέρουµε δύο παραδείγµατα: α) Να βρεθεί η ( ω ) A B ( ω ) j ( ω ω ) β) Να βρεθεί η ( ω ) A B ( ω ) Γενικά µπορούµε να γράψουµε: A B άν m και m Τότε m m j ( ϕ ϕ ) i j X Στην περίπτωση που το στοιχείο αποτελείται µόνον από παθητικά στοιχεία,, τότε το πραγµατικό µέρος και το φανταστικό µέρος X µπορούν να γραφούν σαν ρητές συναρτήσεις ( πηλίκα πολυωνύµων ) του ω, δηλαδή: ( ω) j X ( ω) ( ω )