ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ Σ.Α.Ε ΜΕ ΤΟ SIMULINK (MATLAB)

ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ Σ.Α.Ε ΜΕ ΤΟ SIMULINK (MATLAB) ΤΕΙ Α.Μ.Θ. ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΣΙΡΙΓΩΤΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΚΑΒΑΛΑ 08

ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ Σ.Α.Ε ΜΕ ΤΟ SIMULINK (MATLAB). ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ Σ.Α.Ε. Εισαγωγή στο Simulink Το MATLAB είναι ένα μαθηματικό λογισμικό, της εταιρείας Mathworks Inc, που μεταξύ των άλλων, μας παρέχει και την δυνατότητα πραγματοποίησης εξομοιώσεων στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου (ΣΑΕ), με το εργαλείο Simulink που διαθέτει. Έτσι γίνεται πλέον δυνατή, η αντικατάσταση του αναλογικού υπολογιστή από τον ψηφιακό (PC), σ ότι αφορά την εξομοίωση και την μελέτη των γραμμικών, αναλογικών ΣΑΕ. Το Simulink μας παρέχει όμως δυνατότητες μελέτης και εξομοίωσης και για άλλα είδη συστημάτων (πολυμεταβλητών, ψηφιακών, μή γραμμικών κ.λ.π.). Με την έναρξη του MATLAB, η οθόνη εργασίας που εμφανίζεται είναι αυτή που έχουμε στο Σχήμα.. Για να περάσουμε στην οθόνη εργασίας του Simulink, αρκεί να το καλέσουμε γράφοντάς το στην οθόνη. Σχήμα. Η οθόνη εργασίας του MATLAB Η οθόνη εργασίας του Simulink που εμφανίζεται (Σχήμα. ), εμφανίζει συγχρόνως και την γενική βιβλιοθήκη του Simulink (Σχήμα. 3), η οποία έχει τις υποβιβλιοθήκες: Sources: Περιέχει εργαλεία δημιουργίας σημάτων (Σχήμα. 4). Sinks: Περιέχει εργαλεία απεικόνισης (παλμογράφους, καταγραφικά, κ.λ.π.) (Σχήμα. 4). Linear: Περιέχει εργαλεία κατασκευής Συναρτήσεων Μεταφοράς αναλογικής μορφής (Σχήμα. 5). Discrete: Περιέχει εργαλεία κατασκευής Συναρτήσεων Μεταφοράς ψηφιακής μορφής (Σχήμα. 5). Nonlinear: Περιέχει εργαλεία κατασκευής μή γραμμικών ΣΑΕ (Σχήμα. 6). Connections: Περιέχει εργαλεία σύνδεσης και μεταφοράς δεδομένων (Σχήμα. 6). SIMULINK

Block sets & Toolboxes: Περιέχει σύνθετες εργασίες και εφαρμογές (Σχήμα. 7). Demos: Περιέχει όλες της εφαρμογές demos του MATLAB (Σχήμα. 8). Σχήμα. Η οθόνη εργασίας του Simulink Σχήμα. 3 Η γενική βιβλιοθήκη του Simulink Προσοχή Ενδεχομένως (ανάλογα με την έκδοση του Matlab που χρησιμοποιείτε) να σχήματα των στοιχείων στις βιβλιοθήκες να είναι διαφορετικά. Επίσης, οι νεότερες εκδόσεις εμπεριέχουν περισσότερα στοιχεία και έχουν περισσότερες δυνατότητες. SIMULINK 3

Σχήμα. 4 Βιβλιοθήκες Sources και Sinks Σχήμα. 5 Βιβλιοθήκες Linear και Discrete SIMULINK 4

Σχήμα. 6 Βιβλιοθήκες Nonlinear και Connections Σχήμα. 7 Βιβλιοθήκη Blocksets and Toolboxes SIMULINK 5

Σχήμα. 8 Βιβλιοθήκη Demos Με τα εργαλεία που έχουν οι υποβιβλιοθήκες μπορούμε στην συνέχεια να εξομοιώσουμε τα συστήματα. Για να φέρουμε ένα εργαλείο από μία βιβλιοθήκη του Simulink, αρκεί να το επιλέξουμε με το ποντίκι και στην συνέχεια να το σύρουμε στην επιφάνεια εργασίας (Σχήμα. 9). Στην περίπτωση του σχήματος η επιφάνεια εργασίας είναι χωρίς όνομα (untitled). Αποθηκεύοντάς την, μπορούμε να την ονοματίσουμε. Κάνοντας διπλό κλικ πάνω σ ένα εργαλείο της επιφάνειας εργασίας, μπορούμε να ορίσουμε τις παραμέτρους του εργαλείου, πάνω στο παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται (Σχήμα. 0, Σχήμα. ), ή ακόμα να τις αλλάζουμε κάθε φορά που το επιθυμούμε. Εάν έχουμε ένα εργαλείο στην επιφάνεια εργασίας, μπορούμε να το αντιγράψουμε στην ίδια ή σε άλλη επιφάνεια εργασίας, με την γνωστή διαδικασία copy και paste. SIMULINK 6

Σχήμα. 9 Μεταφορά εργαλείου από μία βιβλιοθήκη στην επιφάνεια εργασίας Σχήμα. 0 Ορισμός μεταβλητών εργαλείου SIMULINK 7

Σχήμα. Ορισμός μεταβλητών εργαλείου Στο Σχήμα. φαίνεται ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να κάνουμε την εξομοίωση (simulation) του συστήματος που πραγματοποιήσαμε και να πάρουμε την απεικόνιση του σήματος με την βοήθεια του εργαλείου Scope. Η εξομοίωση μπορεί να αρχίσει ή να σταματήσει και με το πάτημα των κουμπιών αντίστοιχα. Σχήμα. Εξομοίωση (Simulation) και απεικόνιση του σήματος SIMULINK 8

Στην περίπτωση που θέλουμε να απεικονίσουμε πολλά σήματα συγχρόνως, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε έναν πολυπλέκτη (Mux) (Σχήμα. 3) Σχήμα. 3 Περίπτωση απεικόνισης πολλών σημάτων SIMULINK 9

.3 Άσκηση η : Παραγωγή χρονικών συναρτήσεων.3. Συνάρτηση ημιτόνου-συνημιτόνου Έστω ότι θέλουμε να παράγουμε την συνάρτηση: Ft A cos t. Οι αρχικές συνθήκες της, για t=0, θα είναι: F0 A cos0 A Η παράγωγός της θα είναι: dft Asint dt της οποίας η αρχική συνθήκη, για t=0, θα είναι: 0 df Asin dt Παραγωγίζοντας ακόμα μια φορά θα έχουμε: t 0 0 d F A cos t Ft dt d Ft Ft dt Η διαφορική αυτή εξίσωση, μπορεί να εξομοιωθεί σύμφωνα με το Σχήμα. 4. Α F(t) - Σχήμα. 4 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης του συνημιτόνου Η εξομοίωσή της δε στο Simulink, και για (Α=3 και ω= rad/sec) θα είναι όπως φαίνεται στο Σχήμα. 5. Οι αρχικές συνθήκες σε κάθε ολοκληρωτή τοποθετούνται εσωτερικά, με διπλό κλικ πάνω στο σχήμα του. SIMULINK 0

Σχήμα. 5 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης του συνημιτόνου στο Simulink Η έξοδος της εξομοίωσης είναι όπως φαίνεται στο Σχήμα. 6 όπου βλέπουμε ότι πρόκειται για ένα συνημίτονο και μπορούμε να επαληθεύσουμε και τα μεγέθη Α και ω. Σχήμα. 6 Το σήμα στην έξοδο της εξομοίωσης Από την απόκριση του συστήματος υπολογίστε τα μεγέθη Α και ω. Επαναλάβετε την διαδικασία για διάφορες τιμές των σταθερών Α και ω: (Α=- ω=0,5 rad/sec), (Α=5 ω=4 rad/sec) και (Α=-5 ω=0, rad/sec). Να παράγετε την ίδια συνάρτηση με την χρήση των εργαλείων: Step, Gain, Transfer Fcn, Scope. Στις εργασίες που θα παραδίδετε, θα φαίνονται οι μετρήσεις και οι υπολογισμοί που σας ζητούνται, πάνω στις καταγραφές που παίρνετε. SIMULINK

.3. Εκθετική Συνάρτηση F(t)=Ae -at Έστω ότι θέλουμε να εξομοιώσουμε την συνάρτηση: Η αρχική της συνθήκη θα είναι: Παραγωγίζοντας την F(t) θα έχουμε: Α df dt t F F 0 t A e A e 0 t A t A e F dft Ft dt t - Σχήμα. 7 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης της εκθετικής συνάρτησης Η διαφορική αυτή εξίσωση, μπορεί να εξομοιωθεί σύμφωνα με το Σχήμα. 7, στο δε Simulink και για (Α=3 και τ= sec) θα είναι όπως φαίνεται στο Σχήμα. 8 Σχήμα. 8 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης στο Simulink SIMULINK

Η έξοδος θα είναι αυτή του Σχήμα. 9. Στο εν λόγω σχήμα φαίνεται η εκθετική συνάρτηση και μπορούμε να επαληθεύσουμε τα μεγέθη Α και τ. Σχήμα. 9 Η έξοδος της εξομοίωσης Από την απόκριση του συστήματος υπολογίστε τα μεγέθη Α και τ. Επαναλάβετε την διαδικασία για διάφορες τιμές των σταθερών Α και τ: (Α=- τ=0,5 sec), (Α=5 τ=4 sec) και (Α=-5 τ=0, sec). SIMULINK 3

.4 Άσκηση η : Εξομοίωση συναρτήσεων.4. Στάθμη υγρού σε δοχείο Σύμφωνα με την ανάλυση που προηγήθηκε στο θεωρητικό μάθημα, το δοχείο του σχήματος: q (t) A όπου: R = έχει διάσταση ενίσχυσης τ =Α R =σταθερά χρόνου h (t) C q (t) R Σχήμα. 0 Στάθμη υγρού σε δοχείο Θα έχει Συνάρτηση Μεταφοράς: H Q s s R s Για R=4, A=,5 και τ=0 sec και ενώ το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, αφού του έχουμε εφαρμόσει μια σταθερή είσοδο, π.χ. (δηλαδή έχουμε ροή εισόδου=ροή εξόδου και στάθμη σταθερή), εφαρμόζουμε εκ νέου μια βηματική είσοδο q(t) =8, δώστε την μορφή της εξέλιξης που θα έχει η στάθμη h(t) του υγρού στο δοχείο καθώς και οι ροές εισόδου και εξόδου q(t) και q(t) αντίστοιχα. SIMULINK 4

.4. Στάθμη υγρού σε δοχεία εν σειρά Πραγματοποιείστε την εξομοίωση για τα δύο δοχεία του σχήματος που ακολουθεί: q (t) A h (t) C q (t) R A h (t) C q 3 (t) R Σχήμα. Στάθμη υγρού σε δοχεία εν σειρά Για R=4, A=,5, τ=0 sec και R=6, A=3,33, τ=0 sec και ενώ το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, αφού του έχουμε εφαρμόσει μια σταθερή είσοδο, π.χ. (δηλαδή έχουμε ροή εισόδου=ροή εξόδου και στάθμη σταθερή), εφαρμόζουμε εκ νέου μια βηματική είσοδο q(t) =8, δώστε την μορφή της εξέλιξης που θα έχουν οι στάθμες h(t), h(t) του υγρού στα δοχεία καθώς και οι ροές εισόδου και εξόδου q(t), q(t) και q3(t) αντίστοιχα. Η Συνολική Συνάρτηση Μεταφοράς θα είναι: H (s) Q (s) = + τ s R + τ s = R τ τ s + (τ + τ )s + Q 3 (s) = H (s) R SIMULINK 5

.4.3 Στάθμη υγρού σε συγκοινωνούντα δοχεία Πραγματοποιείστε την εξομοίωση για τα δύο δοχεία του σχήματος που ακολουθεί: q (t) h (t) A q (t) A C C h (t) q 3 (t) R R Σχήμα. Στάθμη υγρού σε συγκοινωνούντα δοχεία R Q (s) = H (s) H (s) Q (s) = H (s) H (s) R Q (s) Q (s) = A sh (s) Q (s) = A sh (s) + Q (s) R Q 3 (s) = H (s) Q (s) Q 3 (s) = A sh (s) Q (s) = A sh (s) + Q 3 (s) Για R=4, A=,5, τ=0 sec και R=6, A=3,33, τ=0 sec και ενώ το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, αφού του έχουμε εφαρμόσει μια σταθερή είσοδο, π.χ. (δηλαδή έχουμε ροή εισόδου=ροή εξόδου και στάθμη σταθερή), εφαρμόζουμε εκ νέου μια βηματική είσοδο q(t) =8, δώστε την μορφή της εξέλιξης που θα έχουν οι στάθμες h(t), h(t) του υγρού στα δοχεία καθώς και οι ροές εισόδου και εξόδου q(t), q(t) και q3(t) αντίστοιχα. Η συνολική Συνάρτηση Μεταφοράς θα είναι: H (s) Q (s) = R τ τ s + (τ + τ + A R )s + SIMULINK 6

.5 Άσκηση 3 η : Σύστημα ου βαθμού Έστω ότι θέλουμε να εξομοιώσουμε στον υπολογιστή το ΣΑΕ ου βαθμού (Σχήμα. 3), για Κ=4 και τ= sec και για βηματική είσοδο. E(s) + - S(s) Σχήμα. 3 Σύστημα ου βαθμού Η Συνάρτηση Μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος θα είναι: F(s) = S(s) E(s) = T(s) + T(s) = K + τs + K = + τs K + K + τs = K + K + τ + K s = K + τ s Δηλαδή η Σ.Μ του κλειστού βρόχου, θα είναι της ίδιας μορφής με αυτήν του ανοιχτού ( ου βαθμού), αλλά με διαφορετικές τιμές για τις σταθερές (ΚΚ) και (ττ). Κάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και με μηδενικές αρχικές συνθήκες θα έ- χουμε την διαφορική εξίσωση: S(s) E(s) = K + τ s S(s) ( + τ s) = K E(s) S(s) + S(s) τ s = K E(s) L [S(s) + S(s) τ s] = L [K E(s)] S(t) + τ ds(t) dt ds(t) dt = K τ E(t) τ S(t) = K E(t) SIMULINK 7

Η ανωτέρω διαφορική εξίσωση μπορεί να εξομοιωθεί όπως στο Σχήμα. 4. E(t) Κ /τ S(t) /τ - Σχήμα. 4 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης του συστήματος ου βαθμού K 4 4 K 0,8 K 4 5 Οι τιμές των συντελεστών θα είναι: 0,4 K 4 5 K,5 Η εξομοίωση του ΣΑΕ στο Simulink φαίνεται στο Σχήμα. 5. Σχήμα. 5 Εξομοίωση του ΣΑΕ ου βαθμού στο Simulink SIMULINK 8

H βηματική είσοδος και η έξοδος του συστήματος καταγράφονται στο Σχήμα. 6. Σχήμα. 6 Βηματική απόκριση του ΣΑΕ Η εξομοίωση του συστήματος μπορεί να πραγματοποιηθεί απλούστερα στο Simulink, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της Συνάρτησης Μεταφοράς, κατά το Σχήμα. 7. Η απόκριση του συστήματος είναι ακριβώς η ίδια με προηγουμένως. Σχήμα. 7 Εξομοίωση με την χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς SIMULINK 9

Από την απόκριση του συστήματος και χρησιμοποιώντας την ανάλυση στο Παράρτημα, υπολογίστε: Τα μεγέθη Κ και τ. Το στατικό σφάλμα %. Επαναλάβετε την διαδικασία με τον απλούστερο τρόπο για διάφορες τιμές των σταθερών Κ και τ: (τ= και Κ=, 5, 8, 0), (Κ=4 και τ=, 5, 8, 0). Για κάθε μία από τις περιπτώσεις υπολογίστε: Τα μεγέθη Κ και τ. Το στατικό σφάλμα %. Ποια κατά την γνώμη σας είναι η επίδραση των μεγεθών Κ και τ στην ποιότητα της απόκρισης του συστήματος;.6 Άσκηση 4 η : Σύστημα ου βαθμού Έστω ότι θέλουμε να εξομοιώσουμε στον υπολογιστή το ΣΑΕ ου βαθμού του Σχήμα. 8, για Κ=4 και τ= sec και για βηματική είσοδο. E(s) + - S(s) Σχήμα. 8 Σύστημα ου βαθμού Η Συνάρτηση Μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος θα είναι: K S s Ts s s K K F s Es Ts K K s s s s K s s s s K K Δηλαδή η Σ.Μ του κλειστού βρόχου, θα είναι της γνωστής μορφής ου βαθμού με τα μεγέθη ωn (σε rad/sec) και ξ. S s K F s όπου: n Es s s K n n Κάνοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και με μηδενικές αρχικές συνθήκες θα έ- χουμε την διαφορική εξίσωση: SIMULINK 0

SIMULINK t S dt t ds t E dt t S d t S dt t ds dt t S d t E s S s ss s S s L s E L s s s S s E s s s E s S n n n n n n n n n n n Η ανωτέρω διαφορική εξίσωση μπορεί να εξομοιωθεί όπως στο Σχήμα. 9. Σχήμα. 9 Εξομοίωση της διαφορικής εξίσωσης του συστήματος ου βαθμού Για Κ=4 και τ=, οι τιμές των συντελεστών ωn και ξ θα είναι: 0,5 0,767 4,44 4 n n n K K Η εξομοίωση του ΣΑΕ στο Simulink φαίνεται στο Σχήμα. 30. S(t) E(t) - -

Σχήμα. 30 Εξομοίωση του ΣΑΕ ου βαθμού με το Simulink Η βηματική απόκριση του συστήματος φαίνεται στο Σχήμα. 3. Σχήμα. 3 Βηματική απόκριση του ΣΑΕ ου βαθμού SIMULINK

Η εξομοίωση του συστήματος, όπως στην περίπτωση του συστήματος ου βαθμού μπορεί να πραγματοποιηθεί απλούστερα στο Simulink, χρησιμοποιώντας το εργαλείο της Συνάρτησης Μεταφοράς, κατά το Σχήμα. 3. Η απόκριση του συστήματος είναι ακριβώς η ίδια με προηγουμένως. Σχήμα. 3 Εξομοίωση με την χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς Μπορούμε επίσης να πραγματοποιήσουμε την εξομοίωση βάζοντας απ ευθείας την Συνάρτηση Μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος, όπως αποτυπώνεται στο Σχήμα. 33, α- φού την υπολογίσουμε, σύμφωνα με την σχέση: F s S E s s s s n n Σχήμα. 33 Εξομοίωση με την χρήση της Συνάρτησης Μεταφοράς κλειστού βρόχου Από την απόκριση του συστήματος υπολογίστε: Την λογαριθμική απόσβεση δ και τα μεγέθη ωn και ξ. Επαναλάβετε την διαδικασία με τον απλούστερο τρόπο (Σχήμα.33) για διάφορες τιμές των σταθερών ωn και ξ : (ωn= και ωn= για ξ=0., 0., 0.4, 0.7,, ). Για κάθε μία από τις περιπτώσεις (ωn= και ωn=) χαράξτε συγχρόνως τις αποκρίσεις για κάθε τιμή του ξ. Βρείτε την συχνότητα της ταλάντωσης ωp για κάθε περίπτωση. Για ποια τιμή του ξ κατά την γνώμη σας έχετε την καλύτερη απόκριση; SIMULINK 3

ΕΞΟΜΟΙΩΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ Σ.Α.Ε. Δειγματοληψία μηδενικού βαθμού (Zero Order Hold) Οι δειγματολήπτες είναι απαραίτητες διατάξεις για την μετατροπή ενός σήματος από αναλογικό σε διακριτό (discrete) ή ψηφιακό (digital). Η μαθηματική τους περιγραφή δίδεται στο θεωρητικό μέρος του μαθήματος. Το Simulink έχει έτοιμο εργαλείο ZOH (Σχήμα. ), που βρίσκεται στην βιβλιοθήκη discrete. Στον ZOH μπορούμε να ορίσουμε την περίοδο της δειγματοληψίας του. Σχήμα. ΖΟΗ Στο Σχήμα. που ακολουθεί, κάνουμε δειγματοληψία ενός ημιτονικού σήματος πλάτους 5 και συχνότητας ω= rad/sec. Σχήμα. Δειγματοληψία SIMULINK 4

Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε δύο διαφορετικές δειγματοληψίες του αναλογικού ημιτονικού σήματος, με συχνότητες και 5 Hz αντίστοιχα. Σχήμα.3 Δειγματοληψία με και 5 Ηz Όπως είναι ήδη γνωστό, για να έχουμε μία ικανοποιητική δειγματοληψία, πρέπει να τηρείται το θεώρημα του Shannon, δηλαδή η συχνότητα με την οποία κάνουμε δειγματοληψία σε ένα σήμα, θα πρέπει να είναι τουλάχιστον διπλάσια από την συχνότητα της υψηλότερης αρμονικής του σήματος. Σε αντίθετη περίπτωση, έχουμε απώλεια πληροφορίας κατά την μετάβαση από το συνεχές στο δειγματολημένο σήμα. Ένα παρεμφερές πρόβλημα της δειγματοληψίας, είναι αυτό του φαινομένου aliasing που φαίνεται στο Σχήμα.4. Στο εν λόγω σχήμα έχουμε ένα ημιτονικό σήμα συχνότητας 7/8 Hz, στο οποίο κάνουμε δειγματοληψία με συχνότητα Hz. Βλέπουμε ότι το σήμα που προκύπτει είναι ένα η- μιτονικό σήμα συχνότητας /8 Hz με διαφορά φάσης 80 ο, δηλαδή εντελώς διαφορετικό από το αρχικό. Για να δούμε το φαινόμενο αυτό, θα πρέπει να δώσουμε και να καταγράψουμε (παράλληλα με τα άλλα σήματα) και το ημιτονικό σήμα συχνότητας /8 Hz αντεστραμμένο. Εφιστάται η προσοχή σας στο ότι οι τιμές εδώ δίδονται σε Hz, ενώ στο Simulink πρέπει να εισαχθούν σε ω(rad/sec), ή σε Τ(sec) για την συχνότητα των ημιτονικών σημάτων και για την περίοδο της δειγματοληψίας αντίστοιχα. Για να καταγράφουμε τα σήματα των αποκρίσεων στον παλμογράφο με μεγαλύτερη ακρίβεια, υπάρχει η δυνατότητα ρύθμισης των παραμέτρων καταγραφής. Ο τρόπος της ρύθμισης είναι ελαφρά διαφορετικός (ανάλογα με την έκδοση του Matlab). Για την έκδοση π.χ. R0b, η ρύθμιση γίνεται ως εξής: Simulation Parameters Data Import/Export Save Options Refine Output Refine Factor=0 (αντί για που είναι αρχικά). SIMULINK 5

Σχήμα.4 Φαινόμενο aliasing. Άσκηση η : Δειγματοληψία σημάτων με ΖΟΗ. Πραγματοποιήστε τις δειγματοληψίες: Σήμα 4sin0t 4sin0t + sin5t 4sin0t + sin5t + + Repeating sequence [0 ] [- ] Συχνότητα Δειγματοληψίας 0, sec 0, sec 0, sec.3 Άσκηση η : Δειγματοληψία ου βαθμού (First Order Hold) Εκτός από την δειγματοληψία μηδενικού βαθμού (ΖΟΗ), υπάρχει και η δειγματοληψία ου βαθμού (FOH). Η διαφορά της απ αυτήν του μηδενικού βαθμού, συνίσταται στο ότι η τιμή του δείγματος που λαμβάνουμε, δεν παραμένει σταθερή μέχρι να έλθει το επόμενο, όπως στον ΖΟΗ, αλλά διαφοροποιείται σύμφωνα με την σχέση: f k t f kt f kt f k T t kt T όπως φαίνεται και στο Σχήμα.5. Στην συνέχεια των ψηφιακών ΣΑΕ θα χρησιμοποιήσουμε την δειγματοληψία ΖΟΗ. SIMULINK 6

Σχήμα.5 Δειγματοληψία ου βαθμού (FOH) Πραγματοποιείστε τις δειγματοληψίες της προηγούμενης άσκησης με FOH..4 Άσκηση 3 η : Δημιουργία ψηφιακής συνάρτησης ημιτόνου Έστω ότι θέλουμε να παράγουμε την ψηφιακή συνάρτηση: Αsin(akT). Με πλάτος 5 volts, συχνότητα σήματος Hz και συχνότητα δειγματοληψίας 00 Hz. Το ημιτονικό ψηφιακό σήμα, στην έξοδο, μετασχηματισμένο κατά z, θα είναι με βάση τους πίνακες (N o 9): sin A z a T Y z α=ω cos z z a T Εάν θεωρήσουμε ότι η είσοδος (διέγερση) είναι μία ψηφιακή βηματική είσοδος (z/(z-) κατά z), τότε η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος που θα παράγει το ψηφιακό ημιτονικό σήμα, θα είναι έξοδος / είσοδος : A z sinat Y z z z at z z at at z at z H z cos sin sin sin A A 3 X z z z z z cosat z cosat z z z έχουμε: f 6,8rad sec T 0,0sec sin at sin 6,8 rad 0,0sec sin 0,068 rad 0, cos 0679 sec at cos 6,8 rad 0,0 sec cos0,068 rad 0, 998 sec άρα η Σ.Μ θα είναι: H z 0,068 z 0,068 z 5 3 z 0,998 z z 0,068 z 0,068 z 5 3 z,996 z z Το εξομοιωμένο κύκλωμα φαίνεται στο Σχήμα.6 και το σήμα στο Σχήμα.7. SIMULINK 7

Σχήμα.6 Κύκλωμα ψηφιακού ημιτόνου Σχήμα.7 Το ψηφιακό ημίτονο Επαναλάβετε την όλη διαδικασία για την παραγωγή του ψηφιακού σήματος: Αcos(akT), με πλάτος 4 volts, συχνότητα σήματος Hz και συχνότητα δειγματοληψίας 50 Hz. SIMULINK 8

.5 Άσκηση 4 η : Σύστημα ου βαθμού (μετατροπή σε ψηφιακό) Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε σε ψηφιακό (με περίοδο δειγματοληψίας Τ=0. sec), το ΣΑΕ ου βαθμού (Σχήμα.8), για Κ=4, α= sec και βηματική είσοδο. E(s) + - S(s) Σχήμα.8 Σύστημα ου βαθμού Η μετατροπή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος είναι να παρεμβάλουμε έναν ΖΟΗ μετά τον συγκριτή και έναν ΖΟΗ καθρέφτη στην έξοδο. Ο άλλος τρόπος είναι να βρούμε την Συνάρτηση Μεταφοράς κατά z του απ ευθείας κλάδου (βλέπε θεωρητικό μάθημα). Οι τρεις περιπτώσεις (μαζί με το αναλογικό) φαίνονται στο Σχήμα.9. Στο Σχήμα.0 φαίνονται τα σήματα (είσοδος έξοδοι) για την κάθε περίπτωση και φαίνεται ότι για τους δύο τρόπους ψηφιακής εξομοίωσης οι αποκρίσεις ταυτίζονται. Σχήμα.9 Εξομοίωση του αναλογικού και του ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού SIMULINK 9

Σχήμα.0 Σήματα εισόδου εξόδων Το αναλογικό σύστημα (καθώς πρόκειται για σύστημα ου βαθμού) θα είναι ευσταθές για οποιαδήποτε θετική τιμή του Κ (0< Κ< ). Σ ότι αφορά την ευστάθεια του ψηφιακού συστήματος τα πράγματα είναι διαφορετικά. Η χαρακτηριστική του εξίσωση θα είναι: Q(z)=z+0,0906K-0,887=0 Εφαρμόζοντας το κριτήριο της ευστάθειας του Jury θα έχουμε ότι το σύστημα περνάει στην α- στάθεια για Κ>0,074. Επαναλάβετε την διαδικασία για Σ.Μ: G s K με Κ=4 και συχνότητα δειγματοληψίας s 4 Hz. Από τις αποκρίσεις δώστε τα τελικά σφάλματα %. SIMULINK 30

.6 Άσκηση 5 η : Σύστημα ου βαθμού (μετατροπή σε ψηφιακό) Έστω ότι θέλουμε να μετατρέψουμε σε ψηφιακό το ΣΑΕ ου βαθμού (Σχήμα.), για Κ=4 και τ= sec και για βηματική είσοδο. Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 0 Hz. E(s) + - S(s) Σχήμα. Σύστημα ου βαθμού H μετατροπή μπορεί να γίνει, όπως και για το σύστημα ου βαθμού, με δύο τρόπους. Με την προσθήκη δύο ΖΟΗ, ή με την εύρεση της Σ.Μ ανοιχτού βρόχου κατά z. Το εξομοιωμένο κύκλωμα για τις τρεις περιπτώσεις φαίνεται στο Σχήμα. και οι αποκρίσεις στο Σχήμα.3. Οι αποκρίσεις των δύο ψηφιοποιημένων συστημάτων είναι ακριβώς ίδιες. Σχήμα. Εξομοίωση του αναλογικού και του ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού Το αναλογικό σύστημα (καθώς πρόκειται για σύστημα ου βαθμού) θα είναι ευσταθές για οποιαδήποτε θετική τιμή του Κ (0< Κ< ). Σ ότι αφορά την ευστάθεια του ψηφιακού συστήματος τα πράγματα είναι διαφορετικά. Η χαρακτηριστική του εξίσωση θα είναι: Q(z)=z -(,95+0.005K)z+0,95+0,005K=0 SIMULINK 3

Εφαρμόζοντας το κριτήριο της ευστάθειας του Jury θα έχουμε ότι το σύστημα περνάει στην α- στάθεια για Κ>0,68. Σχήμα.3 Σήματα εισόδου εξόδων Επαναλάβετε την όλη διαδικασία για συχνότητα δειγματοληψίας 5 Hz. Τι παρατηρείτε για την ευστάθεια του συστήματος; SIMULINK 3

3 ΔΙΟΡΘΩΣΗ Σ.Α.Ε Στην συνέχεια θα ασχοληθούμε με την διόρθωση των ΣΑΕ. Πιο συγκεκριμένα θα διορθώσουμε αναλογικά συστήματα ου, ου και 3 ου βαθμού, ένα σύστημα με καθαρή χρονική καθυστέρηση, καθώς και τα ψηφιακά ου και ου βαθμού. Το Matlab (Simulink) στις νεώτερες εκδόσεις του εμπεριέχει την δυνατότητα αυτορρύθμισης (tuning) των σταθερών του διορθωτή PID, δυνατότητα την οποία και θα χρησιμοποιήσουμε. 3. Άσκηση η : Διόρθωση ΣΑΕ ου βαθμού Θα διορθώσουμε το ΣΑΕ ου βαθμού το οποίο μελετήσαμε ήδη. Το κύκλωμα θα είναι όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 3.. Η επιλογή του διορθωτή για το ΣΑΕ ου βαθμού είναι με επενέργεια PI. Η Συνάρτηση Μεταφοράς του διορθωτή είναι: PI K Οι σταθερές του διορθωτή επιλέγονται εμπειρικά με P= και I=0,5. Προφανώς και μπορούν να γίνουν κι άλλες προσεγγίσεις για τις τιμές των συντελεστών του. p K s i Σχήμα 3. Διόρθωση ΣΑΕ ου βαθμού με Διορθωτή PI Από την απόκριση των δύο συστημάτων (με και χωρίς διόρθωση) είναι προφανές ότι η ανωτέρω επιλογή των συντελεστών διορθώνει ικανοποιητικά το ΣΑΕ (Σχήμα 3.). Στην συνέχεια, μπορούμε να επιλέξουμε την αυτορρύθμιση του PI με το κουμπί Tune (Σχήμα 3.3). Η αυτορρύθμιση του διορθωτή, πέρα από την επιλογή των παραμέτρων του, κάνει και την επιλογή του τύπου της διόρθωσης (PI, PID). Επίσης μας δίνει την δυνατότητα να μελετήσουμε την συμπεριφορά του ΣΑΕ πέρα από την κύρια είσοδο- και ως προς την διατάραξη, βηματικής μορφής αμφότερες. Η αποκρίσεις του συστήματος με την διαδικασία της αυτορρύθμισης δίδονται στα σχήματα 3.4 & 3.5, για την κύρια είσοδο και την διατάραξη αντίστοιχα, όπου φαίνονται και τα μεγέθη του ΣΑΕ, τα οποία μεταβάλλονται όταν μεταβάλλουμε το slider με την επιλογή στην ταχύτητα απόκρισης. SIMULINK 33

Σχήμα 3. Βηματική απόκριση ΣΑΕ ου βαθμού με Διορθωτή PI Σχήμα 3.3 Αυτορρύθμιση του διορθωτή PI SIMULINK 34

Σχήμα 3.4 Απόκριση του ΣΑΕ ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PI Σχήμα 3.5 Απόκριση σε διατάραξη του ΣΑΕ ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PI SIMULINK 35

3. Άσκηση η : Διόρθωση ΣΑΕ ου βαθμού Όπως και για το ΣΑΕ ου βαθμού, έτσι και εδώ θα πάρουμε το ΣΑΕ ου βαθμού που χρησιμοποιήσαμε αρχικά, μόνο που εδώ η διόρθωση θα γίνει με PID. Σχήμα 3.6 Διόρθωση ΣΑΕ ου βαθμού με Διορθωτή PID Επειδή όμως η επενέργεια D δημιουργεί προβλήματα ευστάθειας, συνήθως χρησιμοποιείται μαζί με ένα φίλτρο για την αποτροπή αυτών των παρενεργειών και ο διορθωτής γίνεται τότε PIDF. Για τον υπολογισμό των συντελεστών του διορθωτή θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο Ziegler Nichols. Οι Συναρτήσεις Μεταφοράς του διορθωτή στις δύο περιπτώσεις θα είναι: PID PIDF Ki K p Kd s s Ki Kd s K p s T s Η μέθοδος Ziegler Nichols συνοψίζεται στον κάτωθι πίνακα. Όπου: Τύπος Διόρθωσης Kp Ki, Kd P 0,5 Ku - - PI 0,45 Ku, (Kp/Tu) - PID 0,6 Ku (Kp/Tu) (KpTu)/8 Ku : Η ενίσχυση που οδηγεί το σύστημα σε ταλάντωση Tu : Η περίοδος των ταλαντώσεων Στην περίπτωση του ΣΑΕ, η περίοδος Tu των ταλαντώσεων είναι περίπου 4,5 sec και η ενίσχυση Ku =4. Σύμφωνα με την μέθοδο θα έχουμε: Kp = 0,6 Ku =0,6.4=,4 Ki = (Kp/Tu) = (,4/4,5)=,067 Kd =(KpTu)/8=(,4.4,5)/8=.35 Η τιμή για το φίλτρο τίθεται αυτόματα στο Ν=00. f SIMULINK 36

Στο Σχήμα 3.7 φαίνεται η βηματική απόκριση του συστήματος με (και χωρίς) διόρθωση. Στα ε- πόμενα σχήματα 3.8, 3.9, παρουσιάζονται αντίστοιχα οι αποκρίσεις του συστήματος με την αυτορρύθμιση, όπως και στο σύστημα ου βαθμού. Σχήμα 3.7 Βηματική απόκριση ΣΑΕ ου βαθμού με Διορθωτή PI Σχήμα 3.8 Απόκριση του ΣΑΕ ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PID SIMULINK 37

Σχήμα 3.9 Απόκριση σε διατάραξη του ΣΑΕ ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PID 3.3 Άσκηση 3 η : Διόρθωση ΣΑΕ 3 ου βαθμού Έστω ένα ΣΑΕ κλειστού βρόχου μοναδιαίας επιστροφής, με Συνάρτηση Μεταφοράς του απ ευθείας κλάδου, 3 ου βαθμού: G s 3 3 s s 3s 3s Η εξομοίωσή του (με και χωρίς διόρθωση) στο Simulink φαίνεται στο σχήμα 3.0. Σχήμα 3.0 ΣΑΕ 3 ου βαθμού με και χωρίς διόρθωση PID SIMULINK 38

Η αποκρίσεις με (και χωρίς) αυτορρυθμιζόμενη διόρθωση φαίνονται στα Σχήματα 3., 3.. Σχήμα 3. Απόκριση του ΣΑΕ 3 ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PID Σχήμα 3. Απόκριση σε διατάραξη του ΣΑΕ 3 ου βαθμού με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PID SIMULINK 39

3.4 Άσκηση 5 η : Διόρθωση ΣΑΕ με καθαρή καθυστέρηση Η χρονική καθυστέρηση είναι ένα μέγεθος που εμφανίζεται στα ΣΑΕ και συνίσταται στο ότι υ- πάρχει μια καθυστέρηση στο σήμα μέσα στον βρόχο ελέγχου, η οποία έχει την προέλευσή της στα φυσικά κατασκευαστικά στοιχεία του συστήματος. Για παράδειγμα, όταν σε ένα σύστημα θέρμανσης ενός χώρου (Σχήμα 3.4), το στοιχείο μέτρησης της θερμοκρασίας βρίσκεται σε απομακρυσμένο σημείο, σε σχέση με το σημείο παροχής της θερμότητας, τότε οι αλλαγές στην θερμοκρασία του χώρου αργούν να φτάσουν στο σημείο μέτρησης. Αυτή η αργοπορία εκφράζεται σε χρόνο καθυστέρησης L. Αυτή η καθυστέρηση σχηματικά φαίνεται στο Σχήμα 3.3. Μαθηματικά συμμετέχει στην Συνάρτηση Μεταφοράς με την κάτωθι μορφή e Ls : Σχήμα 3.3 Αποτύπωση της καθυστέρησης μεταξύ σημάτων εισόδου - εξόδου Σχήμα 3.4 Σύστημα ελέγχου θερμοκρασίας της Feedback SIMULINK 40

Άλλο παράδειγμα συστήματος με καθυστέρηση φαίνεται στο σχήμα 3.5. Εδώ η καθυστέρηση προκύπτει από τον χρόνο που απαιτείται για να φτάσει το νερό, από την βαλβίδα που ρυθμίζει την ροή μέχρι το δοχείο και εξαρτάται από το μήκος του σωλήνα και την ταχύτητα ροής του νερού. Σχήμα 3.5 Σύστημα ελέγχου στάθμης Ένα παρόμοιο σύστημα θα μελετήσουμε στην συνέχεια, με L= sec και Σ. Μ. ανοιχτού βρόχου: G s s 6s 5e s s s 3s 4 Η εξομοίωσή του στο Simulink θα είναι όπως φαίνεται στο σχήμα 3.6 Σχήμα 3.6 Σύστημα με καθυστέρηση Οι αποκρίσεις του συστήματος (με και χωρίς την διόρθωση) φαίνονται στα σχήματα 3.7, 3.8. SIMULINK 4

Σχήμα 3.7 Απόκριση του ΣΑΕ με καθυστέρηση με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PI Σχήμα 3.8 Απόκριση του ΣΑΕ με καθυστέρηση με αυτορυθμιζόμενο διορθωτή PI SIMULINK 4

3.5 Άσκηση 6 η : Διόρθωση ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού Θα μελετήσουμε στην συνέχεια την διόρθωση PI του ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού, όπως το είχαμε μετατρέψει από το αναλογικό του, με συχνότητα δειγματοληψίας 0, sec. Σχήμα 3.9 Αναλογικό, ψηφιακό και ψηφιακό ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PI Οι αποκρίσεις του συστήματος με αυτορρύθμιση PI, σε βηματικές (κύρια είσοδο και διατάραξη), φαίνονται στα σχήματα 3.0 και 3. αντίστοιχα. Σχήμα 3.0 Βηματική απόκριση ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PI SIMULINK 43

Σχήμα 3. Απόκριση βηματικής διατάραξης ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PI 3.6 Άσκηση 7 η : Διόρθωση ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού Θα μελετήσουμε στην συνέχεια την διόρθωση PID του ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού, όπως το είχαμε μετατρέψει από το αναλογικό του, με συχνότητα δειγματοληψίας 0, sec. Σχήμα 3. Αναλογικό, ψηφιακό και ψηφιακό ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PID SIMULINK 44

Οι αποκρίσεις του συστήματος με αυτορρύθμιση PID, σε βηματικές (κύρια είσοδο και διατάραξη), φαίνονται στα σχήματα 3.3 και 3.4 αντίστοιχα. Σχήμα 3.3 Βηματική απόκριση ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PID Σχήμα 3.4 Απόκριση βηματικής διατάραξης ψηφιακού ΣΑΕ ου βαθμού με διορθωτή PID SIMULINK 45

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το τυπικό ΣΑΕ ου βαθμού είναι της γενικής μορφής: E s + ε s K + τs S s Η ΣΜΚΒ είναι: Η ΣΜΑΒ είναι: G s = K +τs = K + τs + K + τs F s = = S s E s = K + K + τs = G s + G s H s = K + Κ + τ + Κ s = K + τ s K = K + Κ τ = τ + Κ

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Η απόκριση του ΣΑΕ σε μια βηματική είσοδο θα είναι: S s = E s F s = K s + τ s = K S s L S t = K τ τ τ s τ + s e t τ = K e t = K τ s τ + s τ Από την σχέση 9 του πίνακα μετασχηματισμών Laplace: s s + α L a e at a = τ τ = a S t = K e t τ S 0 = K e 0 τ = 0 S = K e τ = K S τ = K e τ τ = 0,63K

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού για διάφορα Κ

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ S t = K + Κ e t τ 0,63 K +Κ K + Κ + Κ τ Υπολογισμός Κ, τ του ΣΑΕ ου βαθμού από την βηματική απόκριση

Το σφάλμα θα ισούται: ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ε t = E t S t = K ε 0 = K e 0 τ = e t τ K = K + Κ τ = τ + Κ ε = K e τ = K = K + Κ = + K + Κ K + Κ = + Κ Από την μορφή της βηματικής απόκρισης του ΣΑΕ ου βαθμού φαίνεται πως το ΣΑΕ έχει καλύτερες επιδόσεις (μικρότερο σφάλμα, μεγαλύτερη ταχύτητα) όσο το Κ είναι πιο μεγάλο και το τ πιο μικρό.

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το τυπικό ΣΑΕ ου βαθμού είναι της γενικής μορφής: E s + ε s K s + τs S s Η ΣΜΚΒ είναι: Η ΣΜΑΒ είναι: G s = K s +τs = F s = S s E s = G s + G s H s = K τs + s + K = τ Κ s + = Κ s + K s + τs K + s + τs ω s + ξ n ω s + n τ Κ = Κ = ξ ω n ω n

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Η ΣΜΚΒ είναι: F s = S s E s = ω s + ξ s + n ω n Με: τ Κ = ω ω n = n K τ Κ = ξ ξ = ω n Kτ Η απόκριση του ΣΑΕ σε βηματική είσοδο θα είναι: S s = E s ω s + ξ = s + n ω n s ω s + ξ s + n ω n

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Από την σχέση 9 του πίνακα μετασχηματισμών Laplace: S s L S t = ξ e ξω nt sin ω n ξ t + φ S t = Ae ξω nt sin ω p t + φ Με: A = ξ ω p = ω n ξ φ = cos ξ Το σφάλμα θα είναι: ε t = S t = Ae ξω nt sin ω p t + φ ω p : συχνότητα ταλαντώσεων

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού για διάφορα ξ

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ξ = 0, M p t r t 0 t p M p = + e ξπ ξ t p = π ω n ξ Βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου βαθμού

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Το σήμα του σφάλματος σε βηματική απόκριση ΣΑΕΚΒ ου t 0 0,05 t r A n 0,05 A n+ t p T T + t p t 0 : Χρόνος ου μηδενισμού του σφάλματος t r : Χρόνος αποκατάστασης ± 5% τελικής τιμής A n : η υπερύψωση A n+ : η υπερύψωση t p : Χρόνος ης υπερύψωσης T: Περίοδος ταλαντώσεων

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ω p = ω n ξ T = π ω p = π Λογαριθμική απόσβεση: ω n ξ Μεταξύ δύο συνεχόμενων υπερυψώσεων μεσολαβεί μία περίοδος: δ = ln Α n Α n+ Α n Α n+ = A. e ξω nt p. sin ω p t p + φ A. e ξω n t p +T. sin ω p t p + T + φ = = e ξω n tp e ξω n tp.e ξω nt = eξω nt δ = ln Α n Α n+ = ln e ξω nt = ξω n T = ξω n δ = ln Α n Α n+ = πξ ξ ω n e ξω n t p e ξω n t p +T = π ξ

ΤΥΠΙΚΟ ΣΑΕ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ δ = πξ ξ δ = 4π ξ ξ δ δ ξ = 4π ξ δ = 4π ξ + δ ξ δ = ξ 4π + δ ξ = δ 4π + δ ξ = δ 4π + δ ω p = ω n ξ ω n = ω p ξ Δηλαδή από την μορφή της απόκρισης (ή του σφάλματος) μπορούμε να υπολογίσουμε τα μεγέθη: T, ω p, ξ, ω n. Στην συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε τα Κ και τ του ΣΑΕ ανοιχτού βρόχου.