Fizica cuatica partea I-a 1 Radiatia terica 1.1 Itroducere I. Origiile ecaicii cuatice Este bie cuoscut faptul că pe seaa diferitelor fore de eergie, corpurile pot eite ude electroagetice. Radiaţia electroagetică obţiută pe seaa eergiei itere a corpurilor poartă uele de radiaţie terică. oate celelalte tipuri de radiaţie ( obţiute pe seaa altor fore de eergie decât cea iteră) sut cobiate î tereul de luiesceţă. Astfel descărcările î gaze reprezită feoeul de electroluiesceţă, eisia de radiaţie de către corpuri bobardate cu electroi poartă uele de catodoluioesceţă iar eisia de radiaţie pe baza radiaţiei electroagetice absorbită de corpuri este uită fotoluiesceţă, iar. Orice substaţă aflată la o teperatură superioară lui K eite radiaţie terica. Di puct de vedere fizic, pricipala probleă referitoare la radiatia terica este legată de explicarea distribuţiei eergiei î spectrul acesteia. Realizarile de la iceputul secolului XX i doeiul istruetatiei utilizate i cadrul tehicilor de ivestigatie au codus la rezultate care u erau i cocordata cu rezultatele teoretice obtiute paa la acel oet. 1. Radiaţia terică de echilibru Presupue u corp, care eite ude electroagetice pe seaa eergiei sale itere (radiaţie terică), aflat îtr-o icită vidată cu pereţii cosideraţi suprafeţe perfect reflectătoare. Radiaţia reflectată de pereţii icitei va fi absorbită de corp (parţial sau coplet). Ca urare ître corp şi radiatia di cavitate va avea loc u schib cotiuu de eergie. Dacă distribuţia de eergie ître corp şi radiaţie răâe costată petru orice lugie de udă, starea sisteului alcătuit di corp şi radiaţie va fi ua de echilibru. Experieta arata ca sigura radiatie, care se poate afla i echilibru cu corpurile eitatoare este radiatia terica. Existeţa radiaţiei terice de echilibru (radiaţia electroagetică aflată î echilibru cu corpul eiţător) u poate obţie o explicaţie corespuzătoare plecâd de la legile fizicii clasice. Este uşor de observat cu două feoee aseăătoare di puctul de vedere al fizicii clasice u pot fi explicate cu ajutorul acesteia. Astfel o bucată de fier, aflată la 5 teperatura de C îtr-o icită vidată eite o eergie de 3 1 erg/secudă pe fiecare cetietru al suprafeţei sale î tip de o secudă şi se află î echilibru cu o radiaţie 5 terică avâd o desitate de eergie de 4 1 erg/c. Pe de altă parte desitatea 9 eergiei terice î iteriorul bucăţii de fier este de 8 1 erg/c 3 14, fiid de 1 ori ai are decât aceea a radiaţiei. Această eergie este datorată vibraţiei atoilor î jurul poziţiilor lor de echilibru. Cocluzia care se despride iediat este că i cazul atoilor de fier care vibrează, aflaţi î echilibru terodiaic cu eergia terică de echilibru,
aproape toată eergia este cocetrată î atoii aflaţi î işcare de vibraţie şi doar o ică parte di această eergie se află î radiaţia terică de echilibru. Acest feoe este de eîţeles di puct de vedere al ecaicii clasice. U odel siplu, corespuzător di puct de vedere clasic cu cel descris ai îaiteeste cel i care la suprafaţa uei ape aflată îtr-o icită se află u siste de dopuri legate pri resorturi, itr-u astfel de od îcât ele pot oscila uul faţă de altul. Dacă face să vibreze dopurile, acestea vor couica eergia lor apei cu suprafaţa liiştită la oetul iiţial, observâdu-se forarea uor ude. Udele se vor propaga la suprafaţă î direcţii diferite, reflectâdu-se pe pereţii rezervorului divizâdu-se î ude di ce î ce ai ici, iar ele se vor trasfora ca urare a vâscozităţii î eergie calorică. După u tip eergia dopurilor se va trasfora î îtregie î eergie calorică, dopurile trasferâdu-şi eergia ediului îcojurător. Deosebirea ditre cele două experieţe este evidetă. Pe baza coceptelor fizicii clasice este iposibil să se poată explica difereţa ditre desităţile eergiei electroagetice di iteriorul bucăţii de fier şi accea a radiaţiei terice de echilibru. Capacitatea radiaţiei terice de a fi î echilibru cu corpurile ce eit radiaţie terică se datorează faptului că itesitatea ei este depedetă de teperatură. Astfel dacă se cosideră o violare a echilibrului ditre radiaţie şi corp, corpul va eite ai ultă eergie decât absoarbe, avad loc o scădere a eergiei corpului ceea ce va duce la o scădere a teperaturii. Acest lucru va coduce la o reducere a catităţii de eergie eise de corp. eperatura corpului se va icşora pâă ce catitatea de eergie eisă va fi egală cu catitatea de eergie absorbită. Aşadar violarea echilibrului ditre corp şi radiaţie geerează procese care coduc la restaurarea echilibrului. Studiile experietale asupra radiaţiei terice arata ca aceasta are urătoarele proprietăţi caracteristice: - spectrul său se îtide î od cotiuu pe îtreg doeiul de frecveţe ître şi ; - la echilibru terodiaic, radiaţia terică este oogeă şi izotropă (are aceleaşi proprietăţi î toate puctele şi după toate direcţiile); - radiaţia terică este total epolarizată. Î cotiuare prezetă ăriile care caracterizează radiaţia terică de echilibru. Itesitatea radiaţiei terice este caracterizată de fluxul de eergie ăsurat î watti. Fluxul de eergie eis de uitatea de suprafaţă a uui corp î toate direcţiile (î iteriorul uui ughi solid de π ) este cuoscut ca eitaţă radiată a corpului-r. Eitaţa radiată este o fucţie de teperatură. Eergia radiaţiei pe uitate de volu costituie desitatea de eergie şi va fi otată cu w fiid o ărie depedetă de teperatură. Desitatea de eergie a radiaţie corespuzătoare uui iterval de frecveţă d este w şi este legată de desitatea de eergie pri relaţia: w w d (1.1) Dacă se cosideră că fluxul de eergie eis pe uitatea de suprafaţă, a corpului î itervalul de frecveţă d este dr atuci se poate scrie: ude dr R (1.) dr r d (1.3) r reprezetâd puterea spectrală de eisie sau eisivitatea corpului.
Dacă fluxul de eergie dφ datorat radiaţiei cu frecveţa î itervalul d cade pe i o suprafaţă eleetară a corpului şi dφ este fluxul absorbit de corp atuci ăriea defiită de relaţia: i dφ a (1.4) d Φ este puterea spectrală de absorbţie sau absorbitivitatea corpului. Ea este o fucţie de frecveţă şi de teperatură. Pri defiiţie puterea spectrală de absorbţie este ai ică decât uitatea. Corpul ce absoarbe radiaţia asociată tuturor frecveţelor ce cade pe el este cuoscut ca fiid corp egru. Corpurile cu a cost < 1 sut uite corpuri gri. O substaţă cu a 1 u există î realitate. Carboul egru şi platia eagră au o putere spectrală de absorbţie aproape de uitate î iteriorul uui iterval liitat de frecveţe. Puterea spectrală de absorbţie a acestor substaţe este sesibil ai ică decât uitatea î regiuea ifraroşului îdepărtat. Este posibil să se costruiască u dispozitiv, ale cărui proprietăţi să corespudă cu cele ale uui corp egru. U astfel de dispozitiv este o icită îchisă aproape coplet, prevăzută cu u ic orificiu (fig. 1.1). Fig. 1.1 Radiaţia care pătrude î cavitate pri orificiu suferă ui are uăr de reflexii pe pereţii icitei îaite de a ieşi di ea. O parte di eergie este absorbită la fiecare reflexie şi ca rezultat virtual, îtreaga radiaţie de orice frecveţă este absorbită de dispozitiv. 1.3 Legile radiatiei terice 1.3.1 Legea lui Kirchhoff Pria icercare legata de studiul teoretic al radiaţiei terice de echilibru a fost facuta de Gustav Kirchhoff, care a arătat pe cosiderete terodiaice că petru o teperatură costată, desitatea spectrală de eergie a radiaţiei este coplet idepedetă de atura şi proprietăţile corpurilor ce se află î iteriorul icitei. Kirchhoff a arătat că există o legătură ître puterea spectrală de eisie şi puterea
spactrală de absorbţie ale uui corp. Vo presupue că u uăr de corpuri se află îtro icită vidată la teperatura (fig. 1.) 3 1 Fig. 1.. Corpurile pot schiba eergie ître ele doar pri eisie şi absorbţie de ude electroagetice. Experieţa arată că toate corpurile vor ajuge îtr-o stare de echilibru terodiaic atuci câd ele vor avea aceeaşi teperatură, egală cu teperatura icitei. Î această stare, u corp cu o auita putere spectrala de eisie va eite ai ultă eergie pe uitate de suprafaţă î uitatea de tip, decât u corp cu puterea spectrală de eisie ai ică. Deoarece teperatura (şi deci eergia) corpului u se schibă, atuci corpul ce eite ai ultă eergie va absorbi ai ultă, deci va avea o putere spectrală de absorbţie ai are. Ître cele două arii există urătoarea relaţie: r r r...... (1.5) a 1 a a i Relaţia (1.5) reprezită legea stabilită de Kirchhoff, care se euţă astfel: raportul ditre puterea spectrală de eisie şi puterea spectrală de absorbţie u depide de atura corpului, el este o fucţie uiversală de fecveţă şi de teperatură petru toate corpurile: r f (, ) (1.6) a ude f(,) este fucţia uiversală a lui Kirchhoff. Este evidet că petru u corp egru fucţia uiversală a lui Kirchhoff este egală cu puterea spectrală de eisie ( a 1). Î studiile teoretice este ai coveabil să se utilizeze fucţia de frecveţă, iar î studiile experietale se utilizează ai frecvet fucţia depedetă de lugiea de udă ϕ(,). Cele două fucţii sut legate pri relaţia: πc f (, ) ϕ(, ) ϕ(, ) (1.7) πc sau πc πc f (, ) ϕ, (1.8)
1.4 Legătura ditre desitatea spectrală a eergiei radiaţiei terice de echilibru şi fucţia lui Kirchhoff Desitatea de eergie spectrală a radiaţiei terice de echilibru este legată de eitaţa corpului egru R* pritr-o expresie siplă, care va fi dedusă î cotiuare. Cosideră o cavitate vidată cu pereţi corp egru. La echilibru u flux de aceeaşi desitate va trece pri fiecare puct î iteriorul cavităţii î orice directie. Dacă radiaţia s-ar fi propagat îtr-o direcţie dată ( adică doar o rază ar trece pritr-u puct), desitatea fluxului de eergie la puctul cosiderat ar fi egală cu produsul ditre desitatea de eergie si viteza luiii î vid c. Deoarece o ultie de raze ale căror direcţii sut uifor distribuite î iteriorul uui ughi solid de 4π, fluxul de eergie cu este de aseeea distribuit uifor î iteriorul liitei de ughi solid. Î coseciţă, u flux de eergie a cărui desitate este: cu j dω (1.9) 4π va trece pri fiecare puct î iteriorul liitei ughiului solid dω. Luă o arie eleetară S pe suprafaţa cavităţii (fig. 1.3) θ r r dω Scosθ S Fig. 1.3. Această arie eite urătorul flux de eergie î iteriorul liitei de ughi solid dω siθdθdϕ, i direcţia ce face ughiul θ cu orala r : cu dφ e dj S cosθ dω S cosθ 4π sau cu Φ e S cosθ siθdθdϕ 4π (1.1) Aria S eite fluxul de eergie: cu π π c Φ e dφ e S cosθ siθdθ dϕ u S (1.11) 4π 4
î toate direcţiile care se află î iteriorul liitelor ughiului solid π. Î acelaşi tip, fluxul de eergie eis de aria S poate fi găsit ultiplicâd eitaţa radiată R* cu S: Φ e R * S (1.1) Pe baza relaţiilor (1.11) şi (1.1) rezultă: c R* u (1.13) 4 Ecuaţia (1.13) trebuie să fie satisfăcută de fiecare copoetă spectrală a radiaţiei. Rezultă că c f (, ) w(, ) (1.14) 4 Această relaţie leagă eitaţa radiată a corpului egru şi desitatea spectrală a eergiei radiaţiei terice. 1.5 Legile radiaţiei terice de echilibru 1.5.1 Legea Stefa-Boltza O priă lege a radiaţiei corpului egru a fost stabilită experietal î aul 1879 de fiziciaul austriac Stefa. Di aaliza datelor experietale el a ajus la cocluzia că eitaţa radiată a oricărui corp este proporţioală cu puterea a patra a teperaturii absolute. Î 1884, fiziciaul austriac Boltza a obţiut pe baza uor cosiderete terodiaice valoarea eitaţei radiate a corpului egru: 4 R *( ) f (, ) d σ (1.15) ude σ este o costată şi este teperatura absolută. Aşadar cocluzia lui Stefa este adevărată doar petru corpul egru. Valoarea lui σ este: 8 W σ 5,67 1 4 R fiid obţiută pe cosiderete experietale. Pe cosiderete terodiaice se găseşte şi o altă foră a legii Stefa-Boltza, care leagă desitatea de ergie a radiaţiei terice de echilibru (corpului egru) de teperatură wa 4 (1.16) 1.5.. Legea Wie şi legea deplasării Wie Î aul 1893 fiziciaul gera Wilhel Wie folosid teoria electroagetisului î cobiaţie cu coceptele terodiaicii a arătat că desitatea spectrală de eergie a radiaţiei terice de echilibru este dată de relaţia:
3 w (, ) F (1.17) care este cuoscută sub deuirea de legea Wie. Relaţia (1.17) oferă o relaţie petru w care coicide cu rezultatele experietale, doar î doeiul frecveţelor îalte. Utilizad relaţia (1.7), relaţia (1.17) se scrie: 3 πc πc πc 1 w (, ) F ( ) Ψ (1.18) 5 ude Ψ este o fucţie de produsul ( ). Relaţia (1.18), oferă posibilitatea de a stabili o legătură ître lugiea de udă ce corespude axiului fucţiei w (,) şi teperatură. Astfel, derivâd relaţia (1.18) î raport cu se obţie: dw 1 5 1 Ψ'( ) Ψ( ) + [ Ψ'( ) 5Ψ( )] (1.19) 5 6 6 d Expresia di parateză este o auită fucţie Ψ(,). La lugiea de udă care corespude axiului fucţiei w (,) derivata dată de (1.19) se aulează, îcât: dw 1 Ψ( ) 6 (1.) d Di experieţă se ştie că este fiit, ceea ce îseaă că va trebui satisfăcută codiţia Ψ( ). Rezolvâd ecuaţia (1.) î raport cu ( ) se va obţie petru acest produs o valoare costată, care se otează cu b. Deci pute scrie: b (1.1) relaţie ce reprezită legea deplasării Wie. Valoarea experietală a costatei este: 3 b,9 1 K (1.) I fig. 1.4 este reprezetata desitatea de eergie petru diferite teperaturi ale corpului Fig. 1.4 Fuctia w () petru diferite teperaturi ale corpului.
1.5.3 Legea Rayleigh-Jeas Fizicieii eglezi Joh Willia Strutt (Lord Rayleigh) şi Jaes Jeas au deteriat desitatea spectrală a eergiei pe baza teoreei de echipartiţie a eergiei di fizica statistică şi folosid desitatea de ude staţioare rezultată di electroagetis. Noi vo deduce ai îtâi uărul de ude staţioare pe uitatea de volu existete îtr-o cavitate ude se află ude electroagetice, care se reflectă pe pereţii cavităţii. Metoda utilizată se bazează pe ecuaţia de propagare a luiii î vid: Ψ Ψ Ψ 1 Ψ + + (1.3) x y z c t ude Ψ este o variabilă a câpului electroagetic, care este fucţie de x, y, z şi t. Cosiderad o uda aroica de frecveţă : Ψ ( x, y, z, t) Ψ ( x, y, z) exp( it) (1.4) Îlocuid (1.4) i ecuaţia (1.3) obţie ecuaţia ateporală sub fora: Ψ + Ψ (1.5) c Cosderad ca udele se afla itr-o cavitate cubică de latură a iar ca urare a reflexiilor pe pereti se foreaza u siste de ude statioare. Utilizâd etoda separării variabilelor se obţie pe baza ecuaţiei (1.5) şi utilizâd codiţiile la liită petru udele statioare (aularea lui Ψ pe peretii cavitatii: x, y, z şi x, y, zb ) se obtie urătoarea foră petru Ψ : lπx πy πz Ψ Asi si si (1.6) a a a ude A este aplitudiea, iar l, şi sut uere aturale. Substituid (1.6)î (1.4) se obţie: sau l π + π + π a c a l + + (1.7) π c Orice grup de uere (l,, ) deteriă u od particular de vibraţie al udelor î cavitate şi petru o frecveţă ughiulară dată ecuaţia (1.7) este o liitare a uerelor posibile. Pute cosidera valorile l,, ca puctele uei reţele cubice cu valorile descrise de l î lugul axei x, de î lugul axei y şi de î lugul axei z. La valori foarte ari ale lui l,, pute privi distribuţia ca u cotiuu, iar ecuaţia
a (1.7) reprezită sfera de rază î coordoate (l,, ). Î particular, toate puctele πc cu frecveţe ughiulare ai ici decât o auită valoare se află î iteriorul octatului pozitiv al sferei (fig. 1.5) octat de rază π a c Fig. 1.5. a Dacă costrui doi octaţi de rază şi respective ( + d ) a, voluul πc πc îchis î iteriorul păturii sferice este egal cu uărul de oduri de vibraţie ditre frecveţele ughiulare şi (+d). Ave deci: 3 4πr dr a d N ( ) d (1.8) 3 8 c π a dacă: r. πc Această etodă perite euerarea odurilor de vibraţie posibile îtr-u siste îchis de orice foră. S-a găsit că uărul de oduri pe uitate de volu este idepedet de fora icitei. eoria copletă a udelor electroagetice arată că uărul de oduri terbuie să fie dublat ţiâd seaa de existeţa a două ude polarizate trasversal. Nuărul de ude pe uitatea de vlou cu frecveţe cuprise ître şi +d este: ( ) d d (1.9) 3 π c La echilibru fiecărui od îi corespude o eergie edie egală cu k, astfel îcât desitatea spectrală a eergiei va fi: w d kd (1.3) 3 π c Expresia (1.3) este cuoscută ca forula Rayleigh-Jeas. Ea cocordă cu rezultate experietale î doeiul frecveţelor joase. Itegrarea ecuaţiei (1.3) cu privire la ître şi dă o valoare ifiit de are petru desitatea de eergie w().
Acest rezultat, uit de Ehrefest catastrofa de ultraviolet cotrazice rezultatele experietale. 1.5.4. Legea lui Plack Î aul 19, fiziciaul gera Max Plack a deteriat o foră a fucţiei w (,) care a corespus exact rezultatelor experietale. El a făcut o presupuere î totală cotradicţie cu oţiuile fizicii clasice, aceea că radiaţia electroagetică este eisă sub fora uor etitaţi separate de eergie uite cuate a căror ărie este proporţioală cu frecveţa radiaţiei: ε hν (1.31) Costata de proporţioalitate h a fost uită costata lui Plack. Valoarea ei este 34 h 6,6 1 J s (1.3) Relaţia (1.31) se ai scrie î fucţie de frecveţa ughiulară ε h (1.33) ude costata h are valoarea h 34 h 1,54 1 J s π Aşa cu se vede, uitatea de ăsură a costatei lui Plack este aceeaşi cu a ăriii di ecaică uită acţiue. Î codiţiile î care radiaţia este eisă î pachete de h, eergia ei trebuie să fie u ultiplu al acestei catatăţi: ε h (, 1,.) (1.34) Îtr-o stare de echilibru eergia este distribuită odurilor de oscilaţie î coforitate cu legea lui Boltza. Î cocordaţă cu această lege probabilitatea P ca eergia de oscilaţie să fie ε este dată de relaţia: ε N exp N k P (1.35) N ε N exp k ude N reprezită uărul de oduri de oscilaţie cu eergia ε, iar N este uărul total de oscilatori. Utilizâd probabilitatea P dată de relaţia (1.35) se poate scrie valoarea edie a eergiei: ε P ε (1.36) deci: ε h exp exp ( h k ) ( h k ) Petru a uşura calculele face substituţia : h k (1.37) x, relaţia (1.37) deveid:
exp( x) d ε h h l exp( x) (1.38) dx exp( x) o Sua de sub logarit este sua tereilor uei progresii geoetrice cu raţia exp(-x). Progresia va fi ua descrescătoare, iar sua vafi: 1 exp( x). 1 exp( x) Itroducâd această suă î relaţia (1.38) se obţie: d 1 exp( x) ε h l h dx 1 exp( x) 1 exp( x) sau pri îlocuirea lui x: h ε (1.39) h exp 1 k Desitatea eergiei ce cade i itervalul d se obţie îulţid ε cu desitatea de oduri de oscilaţie dată de relaţia (1.9): h d w (, ) (1.4) 3 h π c exp 1 k Această relaţie reprezită forula lui Plack şi este valabilă pe tot doeiul de frecveţe. Utilizâd relaţia (1.4) pot fi deduse legile radiaţiei terice de echilibru ale căror expresii au fost scrise ceva ai îaite. Problee O sferă de cupru de rază r1c cu suprafţa perfect eagră este plasată îtr-o icită vidată ai cărei pereţi sut răciţi î apropierea teperaturii de K. eperetura iiţială a sferei este 3 K. să se deterie î cât tip teperatura sferei scade de 1,5 ori. Se cuosc căldura specifică a cuprului c,38kj/kg. K şi desitatea cuprului ρ8,9g/c 3. Rezolvare: Cofor legii Stefa-Boltza, dφ 4 R σ, (1) ds ude fluxul Φ este: dw cd 4 d Φ πr 3 ρc. () dt dt 3 dt Itegrâd relaţia (1) rezultă: 4 4 Φ σ S 4πr σ. (3) Egalâd relaţiile () şi (3) rezultă: 1 c 4 dt rρ d. (4) 3 σ Itegrâd relaţia (4 ître şi / se obţie:
3 3 t cρ r( 1) 9σ 1, 6 ore. Folosid forula lui Plack referitoare la desiatea spectrală de eergie să se deterie: a) expresia ce dă uărul de fotoi pe c 3 î iteriorul itervalului spectral (, +d) şi (, +d); b) uărul de fotoi9 pe c 3 la teperatura 3 K; c) eergia cea ai probabilă a fotoilor; d) valoarea edie a eergiei fotoilor la teperatura 1 K. Rezolvare w d 1 d a) d. (1) 3 h π c h exp 1 k πc πc Cu şi deci d d di (1) rezultă: 4 d d 8π. () πch exp 1 k b) Nuărul total de fotoi di uitatea de volu va fi, ţiâd seaa de (1), Cu otaţia h k Itroducâd (4) î (3): 1 π c 3 d. (3) h exp 1 k x, itegrala di relaţia (3) este: x dx,45. (4) exp[x] 1 3 k 8,43 5,5 1 c 3. (5) hc c) Eergia cea ai probabilă este ε pr h pr, ude pr se deteriă efectuâd: d. (6) d h Cu otaţia x k, relaţia (6 devie: x x e, (7) ecuaţie a cărei rezolvare grafică dă: x 1,6 x 1, 6. Aşadar: h 1,6k, 14 ev. pr d) Calculă ai îtâi eergia tuturor cuatelor di uitaea de volu: E h d. (8) Itroducâd î (8) d dat de (1) se obţie:
3 h d E. (9) 3 π c h exp 1 k h Utilizâd di ou otaţia x k, (9) devie: 4 4 3 h k x dx h k E 6, 49 3 4 3. (1) π c h exp[ x] 1 π c h Pe baza relaţiilor (9) şi (5) rezultă: E ε,7k,3 ev. 3 Cuoscâdu-se legea lui Wie w (, ) f, se cere: a) Să se arate cu aceasta coduce la legea Stefa-Boltza. b) Să se deostreze că dacă se dă curba de distribuţie a eergiei î spectrul radiaţiei corpului egru, petru o teperatură, se poate costrui o curbă aaloagă petru o altă teperatură 1. c) Să se arate că di această lege rezultă expresiile cost. sau cost., ude şi corespud axiului desităţii spectrale de eergie. Rezolvare 3 ( f d a) ) w (, ) d 4 3 f d 4 x 3 4 f ( x) dx a b) Ţiâd seaa de relaţia: 1 cost, () se obţie: w 3 3 1 1 ( 1, 1 ) 1 f w (, ). (3) 1 1 1 Deci, dacă abscisele sut î raportul 3, atuci ordoatele sut î raportul 1. 1 Aceeaşi probleă se poate rezolva porid de la relaţia 1 1 cost. (4) Atuci, se obţie: w w 1 (, ) ( 1, ) 1 5 Deci, î acest caz, dacă abscisele sut î raportul d) Puâd codiţia: 1 5 4 (1). (5) 5, ordoatele sut î raportul 1. 1
( ) ' 1 3, 3 + f f d dw (6) rezultă: 3 ' + f f, adică, (7) cost. Deoarece d w d w ), ( ), (,, di f w 3 ), (, ţiâd seaa că π c, rezultă: ), ( 1 ), ( 5 g w. (8) Dacă se pue codiţia: ) '( ) ( 5 ), ( 5 6 + g g d dw, (9) se obţie: 5 ) ( ) '( g g, adică: b cost. (aşa uită lege de deplasare a lui Wie) 4. Cuoscâd forula lui Plack petru desitatea de eergie spectrală eisă de u u corp egru: 1 exp ), ( 3 k c w B π h h, se cer: a) Să se obţiă expresiile petru ), ( w ν ν şi ), ( w. b) Să se deterie costata lui Stefa-Boltza 4 B σ şi costata lui Wie di legea de deplasare a lui Wie b, fucţie de costatele h, c şi k B. Rezolvare a) di expresia: ( ) ( ) ν ν ν d w d w,,, (1) rezultă: [ ] 1 exp 1 8 ), ( ), ( 3 3 k h c h d d w w B ν ν π ν ν πν ν. ()
De aseeea, deoarece: w (, ) d w (, ) d, (3) w (, ) d d [ w (, )] πc 8πch 1 5 hc 1 exp k B d πc ude:. d 1 B 4 b) w( ) w (, ) d 3 3 Deoarece: 3 3 x x exp[ x] x exp[ x] 1 1 exp[ x] 3, (4) k 4 π c h 3 x dx. (5) exp[ x] 1 ( exp[ x] + exp[ x] + exp[ 3x] +...) şi x exp[ x] dx 3 6 4, se obţie: 3 4 x dx 1 1 π 6 1... 4 4 exp[ ] 1 + + + 3. (6) x 15 Itroducâd rezultatul (6) î relaţia (5) rezultă: 4 π k B 4 w( ). (7) 3 3 15 c h Se ştie că: 4 c B ( ) σ w( ). (8) 4 Di relaţiile (7) şi (8) rezultă: 4 π 8 4 σ B 5,76 1 W K. (9) 3 6 ck h dw (, ) Di expresia, rezultă: d 5 (1 exp[ x ]) x, (1) hc 1 ude: x şi b. (11) k B Î expresia (1), se îlocuieşte x 5 η şi se obţie: 5 exp[ 5]exp[ η ] η (1) Dacă η<<1, atuci exp[ η ] 1+ ηşi rezultă: 1 η,35 ; (13) 1 exp[5] 1 5 x 5 η 4,965 (14) Di expresia (11) se obţie:
b hc 3,89 1. K. (15) k B x. Natura corpusculară a luiii.1. Radiaţia X de frâare Natura corpusculară a radiaţiei este cofirată şi de existeţa uei lugii de udă liită petru radiaţia X de frâare. Radiaţiile X sut produse atuci câd ţitele solide sut bobardate cu electroi rapizi. Î figura 1.5. este prezetat u tub de radiaţii X. Catodul C îcălzit, este o sursă de electroi produşi pri efect teroelectric. Cilidrul E este itrodus petru focalizarea fascicolului. Aodul A este aticatodul ce reprezită ţita şi este cofecţioat ditr-u etal greu (W, Cu, Pt etc.). Electroii eişi de catod sut acceleraţi de poteţialul existet ître catod şi aticatod. Atuci câd electroii cad pe ţită cea ai are parte a eergiei lor este eliberartă sub foră de căldură. O ică parte a eergiei (1-3%) este trasforată î radiaţie. Petru răcirea catodului, acesta este prevăzut cu caale pri care circulă u lichid de răcire (apă sau ulei). A C E Fig. 1.5. Dacă tesiuea ditre catod şi aticatod este U, electroii sut acceleraţi căpătâd eergia eu. Pătruzâd î aticatod, electroii sut puteric deceleraţi şi devi surse de radiaţie. Ca urare î exteriorul aticatodului este detectată rdaiaţia X de frăare, avâd u spectru cotiuu. Există de aseeea, o radiaţie avâd spectrul forat di liii uită radiaţie X caracteristică, obţiută ca urare a excitării electroilor di păturile iferioare ale atoilor di ţită. Vo aaliza î cotiuare doar radiaţia X de frâare. Î figura 1.6 sut îfătişate curbele experietale care arată cu este distribuită pe lugiea de udă puterea radiaţiei de frâare petru diferite valori ale tesiuii U. dp d
U5keV U4keV U3keV i Fig. 1.6 Î cocordaţă cu teoria electroagetisului clasic, câd u electro este decelerat, va apare radiaţie avâd toate lugiile de udă de la zero la ifiit. Rezultatele experietale prezetate î figura 1.6 arartă că teoria este ifirată, deoarece există o lugie de udă iiă (o frecveţă axiă ) asociată tesiuii de accelerare, dată de relaţia: 139 (.1) U ude U este î volţi, iar î agrstoi. Existeţa lugiii de udă iie este legată de atura cuatică a radiaţiei. Dacă radiaţia se obţie pe seaa eergiei electroului, atuci eergia cuatei h u poate depăşi eergia electroului eu, deci h eu (.) Relaţia (1.4) perite obţierea fecveţei ax şi deci alugiii de udă iie i, avâd valoarea: πc ( πhc / e) i (.3) ax U Deteriâd valoarea lui h di ecuaţiile (.1) şi (.3) se obţie u rezultat foarte precis.. Efectul fotoelectric Pri efect fotoelectric se îţelege feoeul de eisie a electroilor de către o substaţă sub acţiuea luiii. Feoeul a fost descoperit de fiziciaul gera Heirich Hertz î 1887. El a observat că o descărcare care se produce ître doi electrozi poate avea loc ult ai uşor dacă uul ditre electrozi este iluiat cu u fascicul de raze ultraviolete. Dispozitivul experietal este reprezetat î figura 1.7. Q C A
V P G Fig 1.7 Luia care pătrude pri fereastra de cuarţ Q, cade asupra catodului C. Electroii eişi î ura efectului fotoelectric se işcă sub acţiuea căpului electric spre aodul A. Î circuit apare u fotocuret, care este ăsurat cu galvaoetrul G. esiuea ditre aod şi catod poate fi variată cu poteţioetrul P. Se obţi urătoarele rezultate experietale, care reprezită legile experietale ale efectului fotoelectric: a) Dacă se ăsoră itesitatea curetului electric ca fucţie de tesiuea ditre electrozi la ct, luâd fluxul Φ ca paraetru se obţie o proporţioalitate ître curetul de saturaţie şi fluxul luios ce cade pe catodul celulei I S C 1 Φ (.4) Î figura 1.8 se prezită evoluţia fotocureţilor ca fucţie de tesiue luâd luâd fluxul ca paraetru. I S3 I I S Φ 1 Φ 3 Φ 3 > Φ > Φ1 Φ I S1 V r Fig 1.8 V Î figura 1.8 se observă că aularea tesiuii ditre aod şi catod u coduce la aularea fotocuretului. Acesta se aulează petru o valoare egativă V r a tesiuii, î această situaţie electroii sut frâaţi şi u ai pot ajuge la catod.
b) Meţiâd fluxul care cade pe catod costat şi variid fecveţa se obţie rezultatul prezetat î figura 1.9, ude se vede că la creşterea frecveţei luiii are loc o scădere a tesiuii de frâare. I 1 3 > > 1 3 V Fig. 1.9 c) Experieţa arată că există o frecveţă liită sub care efectul fotoelectric u se produce. Reprezetarea grafică a tesiuii de frâare ca fucţie de frecveţă este prezetată î figura 1.1. Î figură p reprezită frecveţa de prag, sub care efectul fotoelectric u se produce. V p Fig. 1.1 d) Efectul fotoelectric este practic istataeu, tipul ditre oetul iluiării şi 8 cel al apariţiei fotocuretului fiid iferior lui 1 s. Îcercâd să explice rezultatele experietale prezetate ai sus, fizica clasică s-a aflat î faţa uor bariere de atrecut. Astfel electroii aflaţi î păturile superficiale ale atoilor sut acceleraţi sub iflueţa udelor luioase, iar î oetul acuulării uei eergii suficiet de ari, ei vor fi eliberaţi idiferet de frecveţa radiaţiei, lucru care î realitate u se petrece. Î cadrul teoriei clasice se cosideră că eergia este distribuită uifor pe suprafaţa de udă, ceea ce ar îsea că tipulî care electroul ar acuula suficietă eergie petru a părăsi etalul ar fi foarte are, fapt ce coytrazice realitatea. Rezultatele experietale obţiute asupra efectului fotoelectric pot fi explicate uşor dacă se adite ipoteza lui Eistei (195), care presupue că efectul fotoelectric se produce ca urare a iteracţiei ditre doi corpusculi foto-electro ( cu aihilarea
fotoului ), fotoul fiid cuata eleetară a udelor electroagetice. Pe baza acestei ipoteze se poate scrie ecuaţia bilaţului eergetic ca urare a ciocirii foto-electro: v h A + (.5) v ude h este eergia fotoului, A este lucrul de extracţie al etalului, iar reprezită eergia cietică a fotoelectroului eis î ura iteracţiei cu fotoul. Efectul fotoelectric şi lucrul de extacţie depid puteric de suprafaţa etalului (î particular de oxizii şi de substaţele absorbite de ea). Di acest otiv, forula lui Eistei u a putut fi verificată petru u lug tip. Relaţia (.5) a fost verificată cu o buă precizie de către R. Millika (1916), care a descris u aparat î care suprafeţele erau curăţate î vid, după care au fost deteriate lucrul de extracţie şi depedeţa eergiei fotoelectroilor de frecveţa luiii icidete. Î ceea ce priveşte lucrul de extracţie acesta este forat di lucrul de extracţie al electroului di ato şi di lucrul ecesar electroului petru a părăsi suprafaţa substaţei. Rearcă că î cadrul efectului fotoelectric prezetat ai sus electroul iteracţioează cu u sigur foto. Descoperirea sisteelor care eit luiă de are itesitate (laseri) a făcut posibilă aparitia efectului fotoelectric bazat pe absorbţia a ai ultor fotoi d4e eergie ică. Î acest caz relaţia lui Eistei se scrie: 1 N h v + A (.6) ude N este uărul fotoilor care duc la apariţia uui fotoelectro. Efectul prezetat ai sus este u efect fotoelctric exter, existâd îsă şi substaţe care iluiate dau aştere uui curet iter (seicoductorii), î acest caz avâd de-a face cu u efect fotoelectric iter..3 Efectul Copto Î aii 19-193 fiziciaul aerica Arthur Copto a ivestigat difuzia radiaţiei X pe diferite substaţe. Schea istalaţiei experietale utilizate de Copto este prezetată I figura 1.11. F 1 F G θ Cr CI Fig. 1.11
Radiaţia uui tub Roetge străbate fatele F 1 şi F, dupa care iteractioeaza cu u cristal de grafit (G). Copoziţia spectrală a radiaţiei difuzate a fost studiată cu ajutorul uui spectrograf de raze X alcătuit ditr-u cristal Cr şi o caeră de ioizare CI. Aalizâd radiaţia difuzată, Copto a costatat că pe lâgă radiaţie cu aceeaşi lugie de udă ca a radiaţiei iiţiele există şi radiaţie cu lugie de udă deplasată spre lugii ai ari. De aseeea s-a observat că ăriea deplasării lugiii de udă a radiaţiei depide de ughiul de difuzare, crescâd odată cu creşterea acestui ughi. Rezultatele studiului făcut pe radiaţia difuzată (corespuzătoare liiei K α a olibdeului) pe grafit sut prezetate î figura 1.1 Fig. 1.1 Î figura 1.13 sut prezetate spectrele radiaţiei X (liia K α a argitului,5667a ) difuzată sub acelaşi ughi pe diverse substaţe.
Fig. 1. 13 Aalizâd această figură se ajuge la urătoarele cocluzii: - ăriea deplasării u depide de atura sustaţei; - cu creşterea uărului atoic al substaţei care iteracţioează cu radiaţia, itesitatea radiaţiei edeplasate creşte, iar cea a radiaţiei deplasate scade. Astfel petru litiu radiaţia difuzată este practic costituită ditr-o sigură lugie de udă deplasată, iar petru cupru itesitatea radiaţiei deplsate este foarte scăzută faţă de cea a radiaţiaei edeplaste. Caracteristicile efectului Copto pot fi explicate dacă se adite că procesul de difuzie a radiaţiei X se produce ca urare a ciocirii elastice a fotoilor ce alcătuiesc radiaţia cu electroii practic liberi ai substaţei. Electroii pot fi cosideraţi liberi sut electroi slab legati de ato daca eergia lor de legătură este ult ai ică decât eergia pe care fotoul o poate trasite electroului pe care îl cioceşte. Presupuâd că ître foto şi electro are loc o ciocire elastică vo scrie î cotiuare legile de coservare petru eergie şi ipuls, cosiderâd că u foto cu ipulsul iiţial k r h şi eergia (cazul relativist). După ciocire fotoul va avea ipulsul h cioceşte u electro aflat î repaus, cu eergia c h k r ' şi eergia h ', iar electroul se va deplasa relativist cu ipulsul p r şi eergia Pute scrie cofor figurii 1.14 : c p + c.
h + c h' + c p + c (.7) r r r h k p + hk ' (.8) Îpărţid relaţia (.7) la c şi ţiâd seaa că k c vo avea: p + c h ( k k' ) + c sau ridicâd la pătrat: p h ( k + k' kk') + hc( k k') (.9) Ecuaţia (.8) se poate scrie: r r p h ( k k ') h ( k + k' kk' cosθ ) (.1) Coparâd ecuaţiile (.9) şi (.1) obţie: c( k k') h kk' (1 cosθ ) (.11) Îulţid relaţia (.11) cu π şi îpărţid-o la ckk, razultă: π π πh (1 cosθ ) (.1) k' k c π Cu, relaţia se ai scrie k -Λ(1-cosθ) (.13) πh ude: Λ este uită lugiea de udă Copto. Î cazul electroului Λ are c valoarea: Λ,43A (.14) Experieţa arată că atuci câd are loc iteracţia radiaţiei cu electroi puteric legaţi î ato (cazul atoilor grei) eergia şi iulsul sut schibate cu atoul ca u îtreg. Deoarece asa uui ato este ult ai are decât aceea a electroului,schibarea lugiii de udă este eglijabilă, î acest caz coicizâd cu.
Se poate astfel defii de o aieră calitativă raporul itesitătilor radiaţiei deplasate pe baza asei atoului. Î atoii uşori toţi electroii au legături slabe, iar î atoii grei doar electroii periferici sut slab legaţi de ucleu. Aşadar cu creşterea uărului atoic şi î codiţii idetice, itesitatea radiaţiei deplasate va scădea i tip ce aceea a radiaţie edeplasate va creşte. Aceste rezultate coicid cu cele observate î figura 1.13. Problee.1. Suprafata uui etal oarecare este iluiata cu o radiatie avad lugiea de ude de 35 Å. Alegad o auita difereta cu potetial de fraare se taie fotocuretul. Modificad lugiea de uda a luiii cu 5 Å, difereta de potetial de fraare a trebuit sa fie arita cu V, 59V petru a taia di ou fotocuretul.. Cosiderad 34 cuoscute costata lui Plack h 6,65 1 Js si viteza luiii i vid, 8 1 c 3 1 s, sa se deterie sarcia electroului si lucrul de iesire al electroului di etal, cosiderad ca V 3 V Rezolvare: Relatia lui Eeistei, i cele doua cazuri, se scrie : hc ε extr + e( V + V ), (1) hc ε extr + e( V + V ). () Scazad expresia (1) di expresia (), rezulta : e ( 1,6 1 h c 19 ) V C (3) Itroducad expresia lui e di relatia (3) i ecuatia (1), se obtie ε hc hc ( V + V ) 4 extr ( ) V ( ) 1, 76 ev.. O radiatie γ oocroatica este triisa pe o placa etalica foarte subtire plasata i vid si se extrag electroi care sut supusi actiuii uui cap agetic de iductie 3 uifora. B 1,5 1. Sa se deterie eergia, frecveta si lugiea de uda a radiatiei icidete plecad de la uratoarele date: raza de curbura R, 1 a traiectoriilor electroice itr-u pla perpedicular pe B; lugiea de uda k, 15Å a radiatiei asociate ivelului K al electroului extras, costata lui Plack 34 8 1 h 6,6 1 Js, viteza luiii i vid, c 3,1 s, asa de repaus a electroului, 31 e 9 1 kg si sarcia electroului. Se vor eglija corectiile relativiste. Rezolvare:
Bilatul eergiei i actiuea fotoelectrica a fotoului γ de lugie de uda si de frecveta v se scrie: c hv h ε e + ε c, (1) ε e fiid lucrul de iesire al electroului di etal si ε c eergia cietica a electroului. Eergia cuatei γ fiid suficieta petru a ioiza atoul etalic sulgadu-i u electro de pe ivelul K, eergia ecesara petru a extrage electroul de sub actiuea potetialului ediu al etalului este eglijabila. Ecuatia (1) devie: hc hc 1 + ev () k Viteza v a electroului de sarcia e si asa e se deduce di raza de curbura R care are traiectoria sa orala la capul agetic de iductie B: ebr 7 1 v,7 1 s (3) e Eergia fotului γ va fi: ε hc hc 1 14 5 + ebr 1,65 1 J 1,3 1 ev γ, (4) iar frecveta v ε γ γ h k,5 1 19 Hz si lugiea de uda : c 1 v γ,1 1,1 Å (6) v.3 Îtr-o experieţă de difuzie Copto a radiaţiilor γ s-a observat că fotoii cercuri cu raza r3c îtr-u icideţi au fost difuzaţi sub ughiiul θ3, iar electroii de recul au descris câp agetic B9,1. 1 -. Să se calculeze: a) Eergia trasferată uui electro de recul şi lugiea de udă a fotoului icidet. b) Ughiul de deviaţie al electroului de recul. c) Presupuâd că electroii de recul sut icideţi pe u oocristal cu costata d,4. 1-1, să se calculeze ughiul de icideţă petru care se observă axiul de ordiul zece î fasciculul de electroi difractat pe oocristal. Rezolvare a) electroii de recul se rotesc î câp agetic pe cercul de rază r cu viteza v dată de codiţia: v evb, (1) r adică cu ipulsul pverb. Eergia trasferată de foto electroului de recul este: E recul p 1+ 1 c sau c (5)
16 E recul e r B c 1+ 1 7, 1 1 J. () c Eergia de recul ai poate fi scrisă sub fora: c c E recul h h, ude, (3) + c π deoarece θ. Astfel, lugiea de udă afotului icidet este egală cu: h 4 c 1 1+ 1, 6 1. (4) c E recul b) Ughiul de deviaţie al electroilor de recul: θ ctg tg ϕ, 91şi ϕ 4 o 3'. (5) h 1+ c c) Lugiea de udă asociată electroilor de recul va fi egală cu: h h 13 B 15 1. (6) p erb Di relaţia Bragg: dsiθk, rezultă: siθ,315 şi θ1 o 47. (7).4 Itr-u efect Copto cu raze γ lugiea de udă a radiaţiei icidete este p, iar lugiea de udă asociată electroilor de recul este egală cu lugiea de udă Copto petru electroi. Radiaţiile icidetă şi difuzată cad siulta, sub icideţă orală pe o reţea de difracţie de lugie totală l c, fiid observate distict î spectrul de ordiul îtâi. Să se calculeze: a) Deplasarea Copto, ughiul de difuzie al fotoilor şi eergia cietică a electroilor de recul. b) Costata reţelei şi ordiul axi al spectrului observat. Rezolvare a) Di codiţia: B C rezultă că: h h, (1) v c v de ude v c c 1, adică: c c v. () Scriid legea coservării eergiei,
hc + c hc + + c v 1 c, rezultă: (3) v c 1 1 c v v h 1 c 1 1 c c ( 1) 14 1 (4) h ( 1) c h Di expresia: ( 1 cosθ ), (5) c Rezultă ughiul de difuzie: c cosθ 1,9917585 şi θ7 o. (6) h Eergia cietică a electroilor de recul este egală cu E C (- )c 1 14 c 1 ( 1) 3,357 1 c o J. (7) v 1 c b) Radiaţia difuzată are lugiea de udă +. Puterea de rezoluţie a reţelei este: P Nk (8) ude N este uărul total de liii ale reţelei, iar k ordiul de difracţie. 1 1 Costata reţelei, d a + b. N Astfel, P kl d, iar 1 ( ) + +. Deci, kl d kl. + Î cazul probleei, k1, astfel că l 4 d 1. (9) + π Ordiul axi al spectrului se obţie petru θ î dsiθk, astfel îcât d 8 k. (1) ax 1
.5. Itr-o experieta de difuzie Copto a radiatiilor γ s-a observat ca fotoii icideti au fost difuzati sub ughiul θ 9, iar electroii de recul au descris cercuri cu raza r 3 c itr-u cap agetic de iductie B 9,1 1. Sa se calculeze : a) Eergia trasferata uui electro de recul si lugiea de uda a fotoului icidet ; b) Ughiul de deviatie al electroului de recul ; c) Presupuad ca electroii de recul sut icideti pe u oocristal cu 1 costata d,4 1 sa se calculeze ughiul de electroi difractat pe oocristal. Rezolvare: Electroii de recul se rotesc i cap agetic pe cercul de raza r cu viteza v data de coditia: v evb, (1) r adica cu ipulsul p v erb. Eergia trasferata de foto electroului de recul este: p ε + recul c 1 sau c e r B 16 ε recul c 1 + 1 7,1 1 J. () c Eergia de recul ai poate fi scrisa sub fora: ε c c h recul h, ude + c, (3) π Deoarece θ. Astfel, lugiea de uda a fotoului icidet este egala cu: h 4 c 1 1 + 1,6 1 c ε recul (4) b) Ughiul de deviatie al electroilor de recul: θ ctg tg φ.91 si φ 4 3. h 1 + c (5) d) Lugiea de ude asociata electroilor de recul va fi egala cu: h h 13 B 15 1 p erb (6) Di relatia Bragg: d siθ k, (7) Rezulta : θ,315 si θ 1 47
3. Fizica atoica clasica 3.1.Regularităţi ale spectrului atoic. Radiaţia atoilor care u iteracţioează uul cu altul (atoi î stare gazoasă) se prezită sub fora uor liii discrete, caracteristice eleetului. otalitatea liiilor eise de u ato forează u spectru, uit spectru atoic. U spectru poate fi costituit di ai ulte serii spectrale. Pri serie spectrală se îţelege o subulţie de liii eise de u ato, ale căror frecveţe pot fi deduse pe baza aceleiaşi forule şi care prezită proprietăti idetice î ceea ce priveşte despicarea liiilor î câp agetic sau î câp electric. Pria serie spectrală a fost observată de eleveţiaul J. Baler î 1885, care a arătat că lugiile celor patru radiaţii vizibile ale hidrogeului, otate cu H α, H β, H γ şi H δ pot fi obţiute cu relaţia:, 3,4,5 (3.1) 4 1 ude este o costată egală cu 3645,6 1. Scriid relaţia (3.1) pri îlocuirea lugiii de udă cu frecveţa se obţie: 1 1 R, 3,4,5 (3.) ude R se ueşte costata Rydberg şi are valoarea: 16 R,7 1 rad / s. Relaţia (3.) poartă uele de forula lui Baler şi corespude seriilor de liii spectrale di spectrul vizibil. Ivestigaţiile ulterioare au pus î evideţă existeţa altor serii spectrale î spectrul ivizibil. Liiile acestor serii pot fi reprezetate pri relaţiile: 1 1 R,3,4 (3.3) 1 Relaţia (3.4) descrie liiile care forează seria Lya, liii ce sut plasate î zoa de ultraviolet. Există, de aseeea, trei serii î regiuea de ifraroşu date de relaţiile: - seria Pasche: 1 1 R, 4,5,6 (3.5) 3 - seria Brackett: 1 1 R, 5,6,7 (3.6) 4 -seria Phud: 1 1 R, 6,7,8 (3.7) 5 Aalizâd frecveţele liiilor di spectrul atoului de hidroge, obţiute pe baza relaţiilor (3.)-(3.7), se poate trage cocluzia că liiile spectrale ale atoului de hidroge pot fi deduse pe baza uei sigure relaţii, de fora:
1 1 R (3.8) ude ia valori ître 1 şi 5. Relaţia (3.8) reprezită forula geeralizată a lui Baler. Se R observă că atuci câd creşte, frecveţa liiilor seriei tide către valoarea, uită liita seriei. Studiid spectrele sltor atoi s-a observat că frecveţele liiilor î acest caz pot fi reprezetate ca difereţe ître doi terei: 1 ( ) ( ) (3.9) ereii () şi () se uesc terei spectrali. ereul () are o foră ai coplicată decât la atoul de hidroge. 3..Modelul uclear al atoului Modelul uclear al atoului a fost elaborat de savatul eglez E. Rutherford ca urare a rezultatelor pe care el şi colaboratorii săi le-au obţiut î experieţele de difuzie a particulelor α atuci căd acestea străbat foiţe etalice. Schea otajului experietal folosit este prezetată î figura 1.14. D M R θ Au Fig. 1.14 U fascicul îgust de particule α ( uclee de He cu două sarcii pozitive) eise de substaţa radioactivă R sut triise pe o foiţă fiă de aur(au). La trecerea pri foiţă particulele sut deviate de la direcţia iiţială a işcării cu diferite ughiuri θ. Particulele difuzate atig u detector de ZS, producâdu-se scitilaţii, care pot fi observate cu ajutorul icroscopului M. Microscopul şi detectorul au putut fi rotite I jurul uei axe ce trece pri cetrul foiţei de etal, fiid astfel posibilă poziţioarea sub orice ughi θ.
Aparatul a fost plasat îtr-o icită vidată, petru a exclude difuzia particulelor α datorită ciocirilor cu oleculele de aer. Ca urare a itaracţiei fasciculului cu foiţa etalică s-a observat că uele particule au fost deviate cu ughiuri foarte ari (aproape 18 ). Aalizâd rezultatele experietale, Rutherford a ajus la cocluzia că o deviere atât de are a particulelor este posibilă doar dacă există u câp electric puteric î iteriorul atoului, care este produs de a sarciă îcărcată asociată cu o asă are cocetrată îtr-u ic volu. Pe baza acestei cocluzii, Rutherford a propus î 1911 u odel uclear al atoului. Cofor acestui odel u ato este u siste de sarcii al căror cetru este u ucleu 1 pozitiv greu de sarciă Ze, avâd diesiui ai ici de 1 c, î jurul ucleului existâd Z electroi distribuţi î îtreg voluul ocupat de ato. Aproape toată asa atoului este cocetrată î ucleu. Porid de la aceste presupueri, Rutherford a dezvoltat o teorie catitativă a difuziei particulelor α şi a dedus o forulă petru distribuţia particulelor α difuzate î fucţie de valorile ughiului θ. Prezetă î cotiuare deducerea acestei forule, utilizâd figura 1.15. p r p r p r α θ p r p r θ r Ψ b θ/ ϕ θ Fig. 1.15 π θ Deflexia particulei α u poate avea loc ca urare a itaracţiei cu electroii, deoarece asa electroilor este cu patru ordie de ărie ai ică decât asa particulei α. Deflexia se produce ca urare a iteracţiei ditre particulă şi ucleul atoului. Ître particula α aflată î apropierea ucleului şî ucleu se exercită forţa Coulob Ze F (3.1) 4πε r Exercitâdu-se asupra particulei aflată î işcare, traiectoria acesteia va fi o hiperbolă (vezi işcarea particulei î câp cetral). Presupue că ughiul ditre asiptotele hiperbolei este θ. Acest ughi caracterizează devierea particulei de la direcţia iiţială. Distaţa b de la ucleu la direcţia iiţială a particulei se ueşte paraetru de ipact. Particulele ale căror traiectorii sut ai apropiate de ucleu (b este ai ic) sut deviate ai puteric. Ître b şi θ există o relaţie siplă ce va fi dedusă î cotiuare. Deoarece ăriea ipulsului pariculei după ce a fost deviată răâe eodificată (pp ) pute scrie:
p p θ θ si si v α (3.11) ude α este asa particulei α, iar v este viteza iiţială a acesteia. Pe baza legii lui Newto se poate scrie: r r p Fdt (3.1) Proiectâd vectorii di ecuaţia (1.65) pe direcţia lui p r vo avea: F p p dt (3.13) Î figura 1.15 se vede că: θ Ze θ F p F cos Ψ F si ϕ + si ϕ + (3.14) r dϕ Itroducâd (3.14) î (3.13) şi îlocuid dt cu ϕ rezultă: θ π si ϕ + dϕ θ p Ze (3.15) r ϕ Dar cu L & α r ϕ este ăriea oetului cietic al particulei α î raport cu ucleul care o difuzează, iar forţa ce se exercită asupra particulei este ua cetrală, pute spue că oetul cietic răâe costat, iar ăriea sa este cea iiţială L vb Îlociu r ϕ& cu vb î relaţia (3.15) şi î ura itegrării se obţie: Ze θ p cos (3.16) vb Coparâd (3.16) şi (3.15) se obtie: α. θ Ze θ αv si cos (3.17) vb Deci: θ v ctg α b (3.18) Ze Cosideră u strat de difuzie foarte subţire astfel îcât fiecare particulă ce o străbate trece doar pri apropierea uui sigur ucleu. O particulă difuzată î iteriorul ughiului θ şi θ+dθ, va avea paraetrul de ipact cupris ître liitele b şi b+db aşa cu se vede î figura 1.16. dθ b db
Fig 1.16 Porid de la relaţia (3.18), pri difereţiere se obţie: 1 dθ α v db (3.19) θ si Ze Seul ius î (3.19) este legat de faptul că odată cu scăderea ughiului de deviere (dθ<), paraetrul de ipact creşte (db>). Notă aria fasciculului de particule cu S. Nuărul de atoi ai foiţei, aflat î faţa fasciculului va fi Sa, ude este uărul de atoi di uitatea de volu, iar a este grosiea foiţei. Dacă particulele α sut distribuite uifor pe secţiuea trasversală a fasciculului şi uărul lor este foarte are, atuci uărul relativ de particule α care trec î apropierea uui ucleu î lugul uei traiectorii cu paraetrul de ipact de la b la b+db va fi: dnθ Saπbdb aπbdb (3.) N S Î această expresie dn θ este fluxul total de particule di fascicul. Folosid θ şi dθ î locul lui b şi db pe baza relaţiei (3.19) realţia (3.) devie: dn θ Ze θ 1 dθ a πctg N θ αv (3.1) si θ rasforâd ctg relaţia se ai scrie: dn θ Ze π siθdθ a (3.) N 4 θ αv 4si Relaţia (3.) reprezită forula lui Rutherford petru difuzia particulelor α. Această forulă a fost verificată experietal de Rutherford şi colaboratorii săi, uărâd scitilaţiile observate la diferite ughiuri θ, petru itervale de tip idetice. Iteracţia de tip Coulob, adisă la deducerea forulei (3..), s-a dovedit a fi î cocordaţă cu rezultatele experietale, îtrucât particulele care s-au aflat pe direcţia ucleului au fost deviate cu u ughi de 18, după ce s-au apropiat de ucleu la o distaţă dată de relaţia: v Ze (3.3) 4πε ri ude r i reprezită distaţa ditre particulă şi cetrul ucleului şi a fost de aproxiativ 1 6 1 c. Modelul uclear cotrazice legile ecaicii şi electrodiaicii clasice. Astfel, deoarece u siste de sarcii staţioare u se poate afla î echilibru stabil (teorea lui Ershaw) Rutherford a reuţat la odelul static al atoului şi a adis că electroii se
işcă î jurul ucleului pe traiectorii curbe. Î acest caz electroul se va işca deccelerat sub ifluieta fortei cetripete şi î cocordaţă cu legile electrodiaicii clasice el va eite cotiuu ude elctroagetice. Procesul de eisie duce la pierderea eergiei ceea ce îseaă că electroul va cădea pe ucleu. Experieţa arată că atoii reprezită sistee deosebit de stabile, eliiâd ipoteza de ai sus. 3.3 eoria lui Bohr asupra atoului 3.3.1 Modelul plaetar al atoului şi postulatele cuatice ale lui Bohr Î cadrul odelului uclear al lui Rutherford, atoul a fost presupus ca fiid alcătuit ditr-o sarciă pozitivă grea şi di electroi care se află î jurul acesteia. Aşa cu a arătat odelul uclear al atoului î cobiaţie cu ecaica clasică şi electrodiaica clasică au fost icapabile să explice stabilitatea atoului şi atura spectrului atoic. A văzut de aseeea că deducerea forulei corecte (Plack) petru radiaţia terică de echilibru s-a făcut pe baza ipotezei existeţei stărilor staţioare stabile ale oscilatorilor ce alcătuiesc corpul egru. Porid de la rezultatele de ai sus Bohr a itrodus două ipoteze î totală cotradicţie cu legile ecaicii clasice. Acestea sut cuoscute ca postulatele lui Bohr şi au urătoarele forulări: 1. Atoii şi sisteele atoice u se pot gasi u tip îdelugat decât î stări bie defiite, uite stări staţioare î care u eit şi u absorb eergie. Î aceste stări sisteele atoice posedă u şir discret de eergii: E 1, E E. Aceste stări se caracterizează pri stabilitatea lor. Î iteriorul atoilor, electroii se deplasează pe orbite bie defiite, date de o relatie de cuatificare a oetului cietic: lh, ude l reprezita ariea oetului cietic: l vr, iar 1,,.... Orice trecere de la o stare staţioară E la o altă stare E poate fi îsoţită de absorbţie sau de eisie de radiaţie, această radiaţie este oocroatică şi frecveţa sa este dată de relaţia: h E E (3.4) Aceste postulate sut î cotradicţie cu rezultatele electrodiaicii clasice, îtrucât pe baza priului postulat, deşi electroii di atoi execută işcări de rotaţie, decelerate, iar cofor cu cel de-al doilea postulat frecveţele eise u au iic cou cu frecveţele işcărilor periodice ale electroilor. 3.3.. Experieţa lui Frack şi Hertz Existeţa ivelelor discrete de eergie a fost cofirată pri şirul de experieţe efectuate î 1914 de fizicieii J. Frack şi G. Hertz. Î figura 1.17 este îfăţişată diagraa aparatului utilizat de ei.
Fig 1.17 ubul uplut cu vapori de ercur, la o presiue scăzută (î jur de 1 Hg) a fost prevăzut cu trei electrozi. Electroii eliberaţi de catod (C) pri eisie teroelectroică au fost acceleraţi cu difereţa de poteţial U aplicată ître catod şi grilă (Gr). Difereţa de poteţial a fost variată cu poteţioetrul P. U câp electric slab (corespuzător uei difereţe de poteţial de,5v) a fost creat ître grilă şi aod (A). Afost studiată relaţia existetă ître curetul I alcătuit di electroii colectaţi de aod şi tesiuea U, ăsurate galvaoetrul G şi respectiv voltetrul V. Evoluţia curetului î fucţie de tesiuea U este prezetată î figura 1.18. I 3 4,9 U[V] 4,9 4, 9 Fig. 1.18 Aşa cu se vede î figura 1.18, porid de la V curetul are o creştere ootoă pâă la 4,9V, după care are loc o scădere urată de o ouă creştere ootoă pâă la 9,8V. Evoluţia se repetă, axiele urătoare ale curetului fiid atise petru ultiplii ai tesiuii de 4,9V. O astfel de foră a curbei este explicată pri faptul că posedâd ivele discrete de eergie E 1, E E, atoii pot absorbi eergie doar sub fora:
E 1 E -E 1, E E 3 -E, etc. Cât tip eergia electroului eis de catod şi accelerat cu tesiuea U este ai ică decât E 1 ciocirile ître electroi şi atoii de ercur şut de atură elestică: deoarece asa electroului este ult ai ică decât asa atoului, iar eergia electroului u suferă o virtuală schibare ca urare a ciocirilor. O parte a electroilor sut captaţi de grilă, iar alţii străbat grila şi ajug la aod, producâd curetul I, ce străbate galvaoetrul G. Petru tesiui ai ari fracţia de electroi ce ajuge la aod va fi ai are şi ca urare curetul I va fi ai are. Câd eergia acuulată de electro î spaţiul ditre catod şi grilă atige valoarea E 1, ciocirile devi ielastice şi electroii vor trasfera eergia E 1 atoilor pe care îi ciocesc şi ei vor cotiua să se deplaseze cu o viteză ai ică. Ca urare uărul de electroi ce ajug la aod este ai ic. Crescâd tesiuea U, electroii vor căpăta o eergie egală cu E 1 ai aproape de catod, după care vor fi acceleraţi di ou. Î cazul tesiuii de 9,8V, electroii au suferit două ciociri ielastice î ura cărora au cedat eergia atoilor. Pria la juătatea distaţei ditre catod şi grilă şi cea de-a doua î apropierea grilei. La o tesiue ai are sut posibile trei ciociri ielastice ale electroului cu atoul, ceea ce coduce la apariţia uui axi la 3 4, 9 V. Î acest fel experiaţa Frack şi Hertz pue î evideţă existeţa ivelelor de eergie discrete ale atoului. 3.3.3 Cuatificarea orbitelor circulare Postulatele lui Bohr sut î totală cotradicţie cu coceptele ecaicii clasice. Această cotradicţie este legată de faptul că î tip ce postulatele lui Bohr adit existeţa uui uăr de ivele de ergie discrete asociate asociate î ato cu a serie de orbite cuatice, î cazul ecaicii clasice se obţie o ulţie cotiuă de orbite. Porid de la ipoteza lui Plack, cofor căreia petru eergia uui oscilator sut posibile acele stări a căror eergie este: E h ( fiid îtreg), Bohr a obţiut codiţia de existeţă a orbitelor staţioare. Cosederâd coordoatele caoic-cojugate ale oscilatorului, coordoatele q şi ipulsul p, eergia oscilatorului se scrie: p q E + h (3.5) de ude rezultă: q p + 1 (3.6) h / h Plaul cu coordoatele q şi p poartă uele de pla al fazelor şi o curbă ce deteriă pe p ca fucţie de q petru o işcare dată se ueşte traiectoria fazei. Relaţia (3.6) arată că traiectoria fazei uui oscilator aroic este o elepsă cu seiaxele: h a şi b h Cu aria elepsei este egală cu produsul seiaxelor ultiplicat cu π, rezultă: S πab πh (3.7) Aria elipsei ai poate fi îsă scrisă sub fora: