Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Varianta 1 - rezolvari mate MT1"

Transcript

1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri iducţie după `* c Di ipoteză rezultă X u + v + u v Folosid b găsim u + v u v a Calcul direct l 5ˆ î ] b Calcul direct, 6 7 u v X, iar di a, că eistă u, v \, astfel îcât X v u + şi soluţia: X + c Petru a ] 7, a, ] 7, f 6 + a Avem f a, deci f este reductibil Petru a, f X ˆ X + ˆ, deci f este reductibil BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

2 Variata - rezolvari mate MT Soluţii f a Cum lim a si lim f + a,dreapta y a este asimptota oblică spre b l a este puct de miim c Di ipoteza că avem că f f, \,deci este puct de miim petru f Di TFermat deducem că f a şi verificare l + f, > b G primitiva G este derivabila G f, cocluzia a F este derivabila pe ; F c Aria f d f d + f d F + F e e e e e e e 6 +8 e

3 Variata - rezolvari mate MT Soluţii i i; i ; {,5} f : \ \, f + 8,9 9 5 M, este mijlocul lui BC ; AM 5 p 6 m m + ; m a Calcul direct Se obţie a b A 9 A, deci rag A 8 I c B A A t Se obţie B a Petru a, b M, avem ea + eb, deci a b [, M b Petru a, b, c M se demostrează că a b c a b c l ea + eb + ec c Se demostrează pri iducţie că a a a l e a de ori a Se obţi apoi soluţiile a şi a l BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

4 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Se demostreaza pri iductie matematica b a+ a a a < sirul dat este strict descrescator c Cum ak < ak ak, k `*, îsumăd se deduce relaţia cerută a F este derivabila pe \ F + + f d l + + l climita ceruta este L lim F F + baria ceuta este A

5 Variata - rezolvari mate MT Soluţii 6 ; ; 5 5 ; 6 < 5 < ;, 5, ; mi f a lg 6 5 lg ; 5 mi f ecuaţia perpedicularei di A pe d : + y p : 5 b Se arată pri calcul direct c Dacă X, Y M ^ şi X Y Y X, atuci a det A + B b det X + Y det X + i Y X i Y det X + i Y det X i Y Mai mult, X i Y X i Y, deci det X + Y det X + i Y a Se foloseşte defiiţia elemetului eutru f a b Deoarece, obţiem şi se verifică apoi faptul că fucţia f b f este izomorfismul căutat c Se demostrează pri iducţie că D D D 8 + de 8 ori Se obţi apoi soluţiile şi 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M f :] ],

6 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f 6, > f este strict descrescatoare pe, si strict crescatoare pe 6 6, b Di a avem ca f f + l 6, >, deci a, + l 6 6 c Deoarece lim f lim f,utilizad a avem ca petru m < + l 6 m ecare radacii reale, petru m m ecare o radacia reala, iar petru m > m ec are doua radacii reale a Fuctia este cotiua deci are primitive Daca F este o primitiva petru f a,atuci F f a >, \ Asadar fuctia F este strict crescatoare pe \ b Avem ca d d + d l d lim l f a d alim a + a a c Avem: lim a+ a

7 Variata - rezolvari mate MT Soluţii - 5 V, ; V, yv < V CIII 8 y ; y,, {, + log } 9 9 umere aab ; 9 9 umere aba, 9 9 umere baa ; p, 7 ± 9 5 a a + + a + ; a 6 6 si A ; cos A ; BC 9 5 ;si A : a Se arată că rag A b Calcul direct, sau, deoarece rag At A rag A, rezultă că det At A c A At 9 I, deci det A At 8 a Calcul direct b Se arată că elemetul eutru este e Dacă ], evidet ], ], deci aşadar {,} Se obţie că uicul elemet simetrizabil î raport cu legea este elemetul eutru e c Di ecuaţie rezultă că este iversabil şi di b rezultă, care verifică relaţia este simetrizabil ], BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

8 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a y asimptota orizotala la si la Dreptele, sut asimptote verticale bavem ca f <, \ \ {,},de ude se obtie cocluzia f k Limita ceruta este k k + + k k a I d l c e + b Avem ca I + d d + d cavem ca + d d + d egala cu Cum I J + d J + + +,deducem ca limita ceruta este egala cu,deci + J + d,are limita d J + c,si c are limita egala cu

9 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii 5 5,5 + ; {,,,5,6,7,8} f :,,, f + Numărul căutat e dat de umărul fucţiilor g : {,,} {,,, } ; 6 fucţii 5 E cetrul paralelogramului E, ; 6 B + D y + yd, B ; D, AC R ; AC si B a Se arată că A B C, deci puctele A, B, C sut coliiare ya yb yc b Ître liii eistă relaţia L 6 L L Ragul este c, deci rag M Dacă uul ditre miorii de ordiul trei ai lui M care coţi ultima coloaă este ul, atuci puctul D a, b este coliiar cu două ditre puctele A, B şi C Di a rezultă că puctele A, B, C, D sut coliiare, deci toţi ceilalţi miori de ordiul ai matricei M sut uli Aşadar rag M a D 5 D 6 9 b Se demostrează că fucţia f este bijectivă şi, y,, f y f D f y c Fie q _, q > Atuci, eistă m, `* astfel îcât q + m t `*, avem k + t H şi deoarece H este subgrup al lui G, rezultă că şi simetricul k + H t m Deci m +, + H, de ude şi m + D + + q H BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

10 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii a f +, > Deoarece f l + A ; l + este puctul cautat b Covie f c Di subpuctul a deducem ca f >, >, f crescatoare pe [, si f,rezulta ca Deoarece fuctia f este strict f, [;,de ude se deduce demostrat a Se arata ca f este strict descrescatoare Se aplica teorema de medie sau teorema lui Lagrage petru o primitiva a fuctiei f b f d d c Deoarece Atuci limita ceruta este egala cu k + f d k k f d sumad iegalitatile de la a obtiem: f k f d a f f d a f d +, k deci sirul este margiit superiorsirul fiid si crescator,este coverget iegalitatea de

11 Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii 95 f a + b + c ; a b + c, c, a + b + c ; f : \ \, f + + cos si ;, A 5 AB 7, BC 7, AC 5; cos B 6 R 5 7 c ;R6 si C : a Se arată că σ σ b Dacă σ e, petru p avem σ p e Dacă σ S, σ e, atuci petru orice k `*, σ, σ,, σ k S Cum mulţimea S este fiită, rezultă că eistă i, j `*, cu i < j, astfel ca σi σ j Obţiem că petru p j i `*, σ p e 5 5 c Fie τ e Se arată că τ e, deci τ τ 5 i + i, a Se arată că soluţiile ecuaţiei sut, b Utilizâd relaţiile lui Viète obţiem S + + Dacă ecuaţia ar avea mai mult de o rădăciă reală, deoarece ea are coeficieţi reali, ea ar avea toate rădăciile reale Deoarece S, obţiem, fals c Utilizâd relaţiile lui Viète, obţiem BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

12 Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii a f e l l f l +, > b Fuctia f este descrescatoare pe ; si crescatoare pe,, deci ea este margiita e e iferior de umarul f Miimul cerut este e e e c f f + l + >,deci f este covea pe, g d + + d l a l si itegrad aceste iegalitati de la la,obtiem iegalitatile cerute + c Itegrad fuctia g obtiem: b [ ;] + d + + gasim ca limita este l + d, d l utilizad si b

13 Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii ; ma f a 7 k arcsi + k ; arcsi ;, ma f C ; 6 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 ABDC parallelogram ; AB + AC AD, AB AC CB ; AD CB ; ABDC dreptughi ; A 6 triughiul este dreptughic; S 6, p 6 ; r a Se arată că rag A b Se arată uşor că mulţimea soluţiilor este S {, α, α, α } α ^ + y c Presupuem că sistemul are soluţia X y z M, ^ Se obţie sistemul + y + z + y + z Sistemul omoge format di primele trei ecuaţii are doar soluţia y z, care u verifică a patra ecuaţie a sistemului, cotradicţie a Calcul direct b Di a rezultă că este lege de compoziţie pe H t G, a matricei se arată că h, k ], A h t A k t H t c Fie fucţia f : G,, f Ak k +, k ] Deoarece petru t ], simetrica di grupul A k t este matricea A k t, Se demostrează că f este bijectivă şi că este u morfism de grupuri BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

14 Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii a este asimptota verticalafuctia f u admite alte asimptote b Aplica TLagrage fuctiei f pe [ k, k + ] si stabileste iegalitatile cerute c Sumeaza iegalitatile de la a si obtie > l + l >, `* l + + l si folosid a se deduce ca sirul este descrescator + a Covie F f, >, + adica sau a c b + +, > a + b,b + c, a + c, de ude a, b, c b Avem: f d F l + l + + l + + arctg c Avem ca F f, > Stabileste ca F <, ;, F >, > si deduce mootoia

15 Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii z + z + z ; z + z + ; z z f, f ; c, a ; + ; {,,} A5 JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 AF AE + EF ; FC FD + DC ; FC AF ; A, F, C coliiare 56 6 p, S 8 ; 5 a det A b Calcul direct A I deci A a Folosid relaţiile lui Viete, se arată că a c Se arată că A b a 6 Celelalte rădăcii sut soluţiile ecuaţiei + +, deci, ± i c a este soluţie + + Petru a, di primele două relaţii ale lui Viète rezultă + + Se obţie + + Di şi rezultă Rezultă, fals Aşadar a este uica soluţie BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

16 Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii a Avem că f si şi derivata u se auleaza pe o multime care e iterval, deci are loc cocluzia b Se demostreaza pri iductie matematica ca ; carata ca sirul este crescător Deduce folosid si b ca sirul este coverget Arata ca lim a I si b I + I cos cos d,de ude se obtie cocluzia c I si cos d ; I cos cos d ; I I I,deci I I Se motiveaza ca I Imultid relatiile aterioare obtiem I I I I I I şi se deduce relatia ceruta Relatia ceruta se poate stabili si pri iductie matematica dupa ce se gaseste relatia de recureta

17 Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii z {±i} , ; a, 5 5 {,,,6, 8 } ;,,,, umărul cerut coicide cu umărul fucţiilor g : {,,,5} {,,,,5} ; 5 65 fucţii 5 p ; S 8 ; r AB AC AB ; 6 si C si B AC : a Se arată că A I b Se demostrează pri calcul direct c Se demostrează că k `*, Ak I, Ak + A, Ak + A şi Ak + A k k k k Folosid puctul b şi forma matricelor A, A, A, deducem cocluzia a Petru ^, otăm t Ecuaţia t + t 5 are soluţiile t şi t 5 i b Cocluzia rezultă folosid relaţiile lui Viète şi faptul că suma căutată este egală cu Rădăciile poliomului f sut, ± şi, ± S c Dacă a, atuci, di b obţiem că rădăciile lui f sut egale Folosid prima relaţie a lui Viète, deducem că Găsim apoi b şi c 8 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

18 Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f cos, \ si f u se auleaza pe o multime care sa fie iterval Asadar,fuctia f este strict crescatoare pe \ b Di ipoteza rezulta ca si + Arata ca Rezulta ca sirul deoarece lim este emargiit c Avem ca +, Limita ceruta este egala cu teorema clestelui b Avem d a ca t ; g t g a Avem : d Atuci rezulta ca g t dt dt, `* c Sirul care e itereseaza este otat a Avem ca a l g d l l

19 Variata - rezolvari mate MT Soluţii z {±i} f a + b, a ; f f a + ab + b ; f + a + b + ; f + lg + lg ; 9 9 k k k ; k # k {,,6,9} Tk + C 5 a a 8 ; a {6 ± G G G G 6 u v ; cos u, v } 7 : a Se arată că α e b Ecuaţia devie α e, cu uica soluţie α c Fie σ σ σ σ σ σ5 σ6 produsul căutat, cu o ordoare oarecare a factorilor m σ + m σ + m σ + m σ + m σ 5 + m σ 6 ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ5 ε σ6, deci σ e a Se verifică pri calcul direct m b Numărul 5 fiid prim, k {,,, }, umărul α C k este divizibil cu 5, deci α k şi a ] 5, Petru B ˆ c Petru a ] 5, avem Di puctul a avem k A a a I + B 5 a5 I + B5 a I + B B a I + B A a Aa 5 Aa Obţiem că a ] 5, Aa Pri iducţie se deduce că k `, Aa Cum Aa 5 Aa şi deducem Aa 8 Aa, rezultă Aa Aa k Aa 5 Aa Aa Aa Se obţie a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

20 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f arctg + ; f + b f f este crescatoare Cum,deci f este covea lim f, lim f, se obţie cocluzia c f si f crescatoare pe \ f, < ; f, > Deducem ca este puct de miim petru f,deci f f, \ a I + d l + b [ ;] l + Itegreaza iegalitatile aterioare si obtie cerita problemei cavem ca I deoarece fuctia de itegrat este pozitivafolosid b si teorema clestelui se deduce ca limita ceruta este egala cu

21 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a b ; a + 7 ; a, b ; 9 5 tg tg ; tg ;, fuctii JJJG JJJG AD AE DE & BC 5 JJJG DB EC 7 6+ c ; si C si + ; R ; R 6 C si C 6 : a det A b Se arată pri calcul direct c A cel puţi uul ditre umerele a, b, c, d \ este eul α a + b + c + d Folosid uicitatea iversei, deducem că A t A α a a a b f c <, lim f + Fucţia poliomială asociată lui f este cotiuă pe rădăciă î,,, deci ea şi poliomul f are cel puţi o c, de ude rezultă Deoarece c <, di puctul b rezultă că f are rădăcia, Cum, obţiem Folosid relaţiile lui Viète, obţiem şi apoi b BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

22 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f s şi f d,deci f u e derivabila i e +,,, + ; este maim şi este miim b f e +,, + c Utilizează şirul lui Rolle: petru m < e răd; m e rad ; m e, răd; m răd ; m > răd a I si <,,],deci are loc cerita problemei bavem ca g si t t c Deduce ca,t > t Itegrează relaţia aterioară ître şi obtie ca g Atuci,limita ceruta L >,9 8

23 Variata - rezolvari mate MT Soluţii r ; a ; S ;, ± arccos + k, k ] ;,,, a ;a T7 C 5 md, md ; M s A M M 7,7 ; y ; d : y a Calcul direct b Se demostrează pri calcul direct, ţiâd cot de faptul că k {, }, k g k a k + b k + c k a + b k + c k şi k g k a k + b k + c k a k + b + c k c Di b se obţie det A g g g det A cel puţi uul ditre umerele,, este rădăciă şi petru g Obţiem a + b + c sau a b c a f ˆ f ˆ ˆ b Cum f u e ijectivă, iar domeiul său este o mulţime fiită şi coicide cu codomeiul, rezultă că f u este surjectivă c Sigurele rădăcii ale poliomului sut şi Descompuerea î factori ireductibili a poliomului peste ] 5 este X + ˆ X X X + ˆ X + X + ˆ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

24 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Se cosidera fuctia g + l + Calculeaza g l + l + Se arata ca g este strict descrescatoare pe ;, g d g <, > l + si calculeaza limita epoetului Limita ceruta este egala cu b Scrie f e g,ude g a fost defiita mai suscum f <, > f strict c f f + descrescatoare a Itegrăd pri părţi se obţie f b Avem: e f Daca >,atuci f e t t dt t dt e e c f + e t t dt e t t + e t t dt + f, >

25 Variata - rezolvari mate MT Soluţii ± i ± i, y sut radaciile ecuatiei a a +, a {,} ;, y {,,,} ; + 8 ; {6,8} Tk + C9k 8 k ; T d d, d : + y ; d d { A }, A, ; d A, d cos B, cos C, cos C ; cos B cos C B C 8 8 : a Determiatul sistemului este m Petru m \ \ {} sistemul este compatibil determiat b Petru m, p şi c, deci sistemul este compatibil c Dacă m, sistemul are mulţimea soluţiilor S {,, \ } şi Fucţia g : \ \, g + 5 are miimul g V g a Calcul direct b Dacă X, Y G, det X Y det X det Y, deci X Y G Se verifică că dacă X G, atuci şi X G c C A B I + D, ude D Deoarece D, obţiem `*, C I + D I BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

26 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a y + este asimptota oblică spre b Motiveaza ca f este derivabila pe \ { ;} + Scrie formula f + c f f s +, f d si deduce relatia ceruta,, Arata ca e t tdt + e a F b F e, > ; F e e e, >, de ude este puct de ifleiue t c F e t dt +,de ude rezulta ca limita ceruta este egala cu e e e

27 Variata - rezolvari mate MT Soluţii 99 lg lg a + a + + a <, \ a <, < ; a, C 5 ; 5 m AB ; y ; + 7 y 7 7 AC R ; B 6 si B a Se arată că rag A b Se arată că A d A, cu d a + b + c c Se verifică că petru K şi L a b c, avem A K L a Calcul direct b Rădăciile ecuaţiei t t + 6 sut t, ± i Mulţimea rădăciilor lui f este { } + i, i, + i, i c Sigura descompuere î factori a poliomului, î \ [ X ], este f X X + X + X + Nici uul ditre polioamele X X + şi X + X + u poate fi descompus î _ [ X ] BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

28 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a b f si cos Utilizad regula de derivare a uui produs,se obtie relatia ceruta f si si ; f,, si si c L lim si lim + si si ; si a Se motiveaza ca F este derivabila pe \ F c Cu schimbarea + e + a + + a + 5 F f, \,deci are loc cocluzia b Aria f d Le lim t,a doua itegrala devie F d F t dt Relatia di ipoteza devie a + F F d d a + > a 5 +

29 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii log log 8 ; f a + b + c, f, f, ; f : \ \, f + 7 tg ;, Numărul cerut este dat de umărul fucţiilor f : {,,,} {,,5,7,9} ; 5 65 ; y + ; y + 6 si α + cos α ; si α 5 mcd : a Notăm cu A matricea sistemului Pri calcul direct se obţie det A a + b + c abc a + b + c a + b + c abc b det A, deci sistemul are soluţie uică c Aduâd cele trei ecuaţii ale sistemului, obţiem a + b + c + y + z, fals a Folosid relaţiile lui Viete, se obţie b Notâd t obţiem ecuaţia t 5t + 5, cu soluţiile t, toate rădăciile reale c Dacă grad g >, atuci lim Î coseciţă, g f +, dar di ipoteză rezultă grad g Di ipoteză deducem că g k, de ude rezultă 5± 5 >, deci ecuaţia iiţială are g k, adică lim g f k {,,, },, cotradicţie g k f k, deci g a f, cu a \ Îlocuid î relaţia di euţ, obţiem că a Aşadar, soluţiile sut polioamele g a f, cu a [,] BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

30 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii a f, f ; f <, [, ; f >, >,de ude rezulta cocluzia f este cotiua, strict descrescatoare pe [,] si f f < o radi b f este cotiua,strict cresc pe [,, f <, lim f o radi,, c f <, f >,deci a, lim a a I arctg,deci I d ; I +, + I Arata c Dem pri iductie sau foloseste b: I ca lim I si apoi ca limita ceruta este I b I + I + I

31 Variata 6 - rezolvari mate MT SSoluţii + a +, \ ; ; a, arcsi ; 6 6 8! 8!!! ; 7 8 ; 8 5 AB 5, BC, CA ; B 6 si α + cos α ; cos α ; si α 5 5 : a b a b a Dacă A, B G, A, B, cu a, a, şi b, b \, atuci a a a b + b AB şi a a,, a b + b \ b De eemplu, petru C şi D, se arată că CD DC α ab c Se arată că I A + A, cu α a + a > y + a 9 > şi y \ Obţiem I A + A + A8 G, deoarece + a a Utilizâd evetual relaţiile lui Viète, se obţie că a, b şi c b Dacă f are rădăcia, atuci a + c + b +, de ude rezultă b şi c a Apoi, f X + ax X a X + a X, cu rădăcia raţioală a c Presupuem că f are rădăcia k ] Rezultă că eistă q _ [ X ], astfel îcât f X k q Mai mult, coeficieţii lui q sut umere îtregi Folosid ipoteza, obţiem că umerele k q sut impare, ceea ce este fals, deoarece k k este u umăr par BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M k q şi

32 Variata 6 - rezolvari mate MT Soluţii a Motiveaza ca f este derivabila pe \ {} f lim si,deci are loc cerita b f si cos, \ {} Limita ceruta este egala cu ccum lim f va eista u umar α >,astfel icat f,, > α Fuctia f fiid cotiua pe [,α ],va fi margiita pe acest iterval,deci f este margiita pe [, Deoarece f este o fuctie para,va rezulta cocluzia a d bcu substitutia t,se obtie d t t + t + t + dt,de + + ude rezulta cerita + c d + + e ceruta este egala cu + +,de ude rezulta ca limita +

33 Variata 7 - rezolvari mate MT + i Soluţii 8 ; 7 + y ; ; Im f, + p md ; d : y ; + 5 y 5 6 AC 6 ; BC + 6 ; P : a Pri calcul direct, rezultă A B 5 6 b Se arată că I + A + A + A + A I + A + A, Atuci, det I + A + A + A + A 5 c Petru ] oarecare, fie X Se arată că X I a Restul căutat este poliomul r X + b Avem f X X X X, deci f 5 c g g g g, deci g g g g f f 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

34 Variata 7 - rezolvari mate MT Soluţii a Se dem pri iductie 5 b + Demostreaza ca + < Sirul fiid descrescator si margiit este coverget + c Avem ca lim lim + lim Di si relatia aterioara, se deduce ca limita ceruta + este a Aria ceruta este A b I f d arctg d Arata ca lim a + d c Sirul ce e itereseaza se scrie + a k + k k d + k

35 Variata 8 - rezolvari mate MT { ± i }, mi f arccos Soluţii ; arcsi ; cazuri C C6 cazuri favorabile cu u umăr prim ; C cazuri favorabile cu două umere prime ; C posibile ; p 5 G, JJJG JJJG JJJG 6 AB 7, 7; AC, ; BC,5; : a Pri calcul direct, obţiem A b I + A + A t, deci rag I + A + A t c Se arată că I + A, sau pri calcul direct, sau observâd că I I + A I + A I A + A {, i, + i } a Se arată că mulţimea rădăciilor lui f este b S + + a şi S + + Suma di euţ este S S 6 S 8 a 5 c Deoarece a, di prima relaţie a lui Viète obţiem a şi îlocuid î a doua relaţie a lui Viète rezultă a {, } Petru a, obţiem b a 6, iar petru a, obţiem b a 6 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

36 Variata 8 - rezolvari mate MT Soluţii [,,deci u va avea asimptote verticale Cum a Fuctia f este cotiua pe lim f, dreapta y este asimptota orizotala spre f b Deoarece + > f strict crescatoare; 5 < si presupuad k > k + avem ca k + > k + f k > f k + k > k + > adevarat deci sirul e descresc,,deci sirul e coverget si folosid recureta rezulta cocluzia y + y + Sirul e descrescaror si are limita egala cu,deci Arata ca c Obtie ca sirul y este crescator + Rezulta ca Atuci y + k + <,deci sirul e si margiit superior k k k f a Avem ca I + cos d + si b F + cos t dt c Daca < + + si,de ude rezulta ca F este o fuctie para f t dt f t dt caci f e pozitiva,deci F e cresc pe [, Cum F este o fuctie para,rezulta ca f este descrescatoare pe,]

37 Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii 6 ; 5 5 ; 8 8 ; 8 < 5 < g ; f a + b, f ; g f ; f : \ \, f y, y y + 7 ; y {,9} ; {, } ; ma : y ; + y 5 C5 cazuri favorabile ; p 5 A, ; m AA 6 ctg tg ctg tg tg ; tg ; tg tg tg a Scădem prima liie di celelalte şi obţiem det A 8 b Scădem pe râd prima ecuaţie di celelalte şi obţiem y z t şi apoi c Se obţie A a Se obţie S S b Calcul direct c Observăm că u este rădăciă petru f Ecuaţia f este echivaletă cu ecuaţia t + t + a +, ude t Dacă t parcurge \, ecuaţia f are toate rădăciile reale Ecuaţia t + t + a + are rădăciile reale dacă şi umai dacă a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

38 Variata 9 - rezolvari mate MT Soluţii a f este cotiua pe D,deci i aceste pucte u avem asimptote verticale f d, f s, sut asimptote verticale b f 8,deci puct de ifleiue + + y c Limita ceruta este L lim l lim a l y y y y l +, a < y y lim, a L lim a y y y y y y a, a > y a I + d ; I + l + + a b Avem ca I + d si fializare d + arctg arctg I + arctg + c Cu substitutia f t f t, d f t dt I f d t f t dt t f t + f t dt,foloseste a si se gaseste I 5

39 Variata - rezolvari mate MT Soluţii < 5, log < { ± i} si + cos + si cos ; si cos, [,,,, ;, JJJG JJJJG JJJG AM AN CN 5 JJJG JJJG ; JJJG ; m 5 CA 5 MB NC 6 OA 5 ; OB ; OB : a Determiatul sistemului este Se obţie soluţia uică, y, z 5 5 b a b Determiatul sistemului este c a abc, deci sistemul are soluţie uică c b b + c a cos A bc A fiid ughi al triughiului ABC, avem A,, deci cos A, c Folosid formulele lui Cramer, obţiem Aalog obţiem y cos B, şi z cos C, a Deoarece a şi b iau idepedet câte trei valori, eistă 9 matrice î mulţimea G b Calcul direct c det A a b a + b ], +, fiid corp, di a b a + b rezultă a b sau a b Î total, eistă 6 matrice î G care au determiatul ul BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

40 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f este derivabila pe [,, f e + 6 f,,cu egalitate daca,de ude se obtie cocluzia b f >, \ f u este surjectiva c 5 6 a I + t dt arctgt b Cu substitutia J y J f t dt f t t t + t + dt t f t dt c A f t dt f t dt + f t dt A + t dy f dt y t t y t f t dt + f t dt t + f t dt dt arctg arctg,deci limita ceruta este

41 Variata - rezolvari mate MT, ± i Soluţii >, 5a 8a + ; a,, 5 ; {5,7} 5 d : y ; d : y a Calcul direct b Tripletul,, e soluţie a sistemului, a, b, c \, deci acesta este compatibil Dacă a + b + c şi a + b + c ab + bc + ca, atuci soluţia precedetă este uică c Di ipoteză rezultă că a b c Dacă a b c orice triplet, y, z \ \ \ este soluţie Dacă a b c, atuci sistemul este echivalet cu ecuaţia + y + z z y + y + z y z y A doua ecuaţie di sistem are o ifiitate de soluţii, care sut coordoatele puctelor de pe cercul de cetru Q, şi rază r Soluţiile sistemului sut cos t t +, cu t, si t yt + z t t y t [ a Deoarece a, b, c pot lua arbitrar câte valori, eistă 6 matrice î mulţimea G ˆ ˆ are proprietăţile cerute b De eemplu, matricea A ˆ ˆ a ˆ ˆ a, ˆ ˆ a b ˆ ˆ c Fie X ba + c ˆ, deci a + c, G X ˆ ˆ ˆ ˆ c c, c Rezultă b Obţiem patru matrice { } { } BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M { }

42 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Limita ceruta este egala cu b f e fuctie poliomiala de grad deci ecuatia va avea cel mult radacii reale Aplicad T lui Rolle fuctiei f pe [,], [,5], [5,7 ] f se auleaza i cel puti pucte c f a a + { } f a 6 6, cu egalitate daca a 8 +, 5, + 5 Miimul cerut este 6 si Di ipoteza avem ca f si, \ I si d cos d I cos + cos d a Petru \*, f g f, I {}, g, I [,], este cotiua pe I deci itegrabila Cum f difera de g doar i, rezulta ca si f este itegrabila pe I c Arata ca si <, > Atuci avem: b Fuctia f d < si d cos

43 Variata - rezolvari mate MT Soluţii i g y; f y, y y + ; y {, } ;, lg lg ; 9 ; < ; {,,} 5 5 ; d d, d 5 A, d ; d d, d d A, d ; d A, d si 75 ; si5 ; a Calcul direct c b a c a c, y, z det A det A det A c Avem că ragul matricei sistemului este şi ragul matricei etise este, de ude rezultă cocluzia a Se demostrează că f şi f şi apoi că f 5 5 b Sistemul este compatibil determiat Se obţie soluţia b Folosid ipoteza, se deduce că f a+ f a +, ` şi apoi, folosid această relaţie, se demostrează pri iducţie cocluzia c Se cosideră g \ [ X ], g f X Di b avem că g a, `, deci g este poliomul ul, aşadar f X BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

44 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f + +, \ b puct de maim, puct de miim lim f lim f Imagiea lui f este Im f, c Daca y avem egalitate Daca < y, se aplica TLagrage lui f pe [, y ], se arata ca f c si rezulta cerita Daca > y atuci se procedeaza ca si aterior f d + d + a Avem: 6 bse descompue i fractii simple fuctia de itegrat si se obtie ca d Fializare d c g f e e + {,, } Arata ca doar este puct de etrem

45 Variata - rezolvari mate MT Soluţii i + i ; ; + i i ; ± 5 { } tg arctg ctg arctg ; ctg arctg p, G, : a Calcul direct a 5b b Fie Y C A, cu Y b a a + 5b, cu uica soluţie a b, deci Y Obţiem sistemul ab a 5b c Fie Z C A, Z O, cu a, b _ b a Presupuem că det Z, deci a 5b Dacă b, atuci a, deci Z, fals Dacă b, rezultă că 5 _, fals a f ˆ + f ˆ + f ˆ ˆ a + ˆ ˆ b f X + ˆ X + ˆ are sigura rădăciă c Deoarece grad f, f este ireductibil peste ] f u are rădăcii î ] Aşadar a şi ˆ + a ˆ, deci a BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

46 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a f > f strict crescatoare,deci f ijective lim f, lim f, f cotiua implica f surjectiva; f bijectiva, deci are loc cerita problemei b Di f cotiua si bijectiva rezulta ca f este cotiua f + lim f +,deci lim f f + f + c lim lim f + f lim Limita ceruta este L f f f + a f a a dt l t + l a + t + b Cum si t, t, cu egalitate petru t f < c Avem: f + k, k `,avem : dt l t + l + t + si t si t si + y si t si y si t si t dt + dt dt + dy dt dy dt + t + t + t + + y + t + + y + t + + t,de ude f < si t dt f < f caci f > + + t +

47 Variata - rezolvari mate MT Soluţii - f a + b + c; a b + c, a + b + c, a + b + c 7 ; f + log + log + log ; log ; C5 + C5 ; cocluzia +, ; m AC, mh ; h : y + ; h : 5 y 5 G G G G G G G G 6 i + 5 j i j ; 5i j i + j ;- : a Calcul direct b det A At det A A t t c A A, şi î coseciţă, rag A A t a b Dacă A d e g h t c b d t f, atuci A A d b g c h f i det A t A det A A t, deci det A A t c g f h Dacă am avea rag A A t, atuci toţi miorii de ordiul doi ai matricei ar fi uli a Obţiem b d h f c g, deci A b c Aşadar rag A A t şi cum det A A t b e f c f, adică A A t, fals i, rezultă rag A A t a Notâd t obţiem ecuaţia t 5t +, cu soluţiile t şi t Rădăciile lui f sut,,, b a _ astfel ca h a X + X X + X Obţiem h X 5 X + c Di g g g g deducem că eistă poliomul cu coeficieţi îtregi q, astfel îcât g X f X q X + Presupuem cotrariul, deci că eistă ], astfel îcât g Obţiem + + q Egalitatea aterioară avâd loc î mulţimea ], divizorii îtregi ai lui fiid,,,, obţiem că două ditre umerele,, +, + coicid, fals BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

48 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a Avem ca f cos si f u se auleaza pe o multime care este iterval,de ude se obtie cocluzia bfuctia f este cotiua pe \,deci u are asimptote orizotalecum lim f, lim f,fuctia f u are asimptote orizotale f, lim f lim si si aceasta u eista,fuctia u are asimptota oblica la Aalog spre c Fuctia este derivabila pe \ \ {} Deoarece lim Cum g lim si \,deducem ca g este derivabila si i 6 a f cotiua implica faptul ca f are primitive b Avem ca I e e d e + e si fializare c f t, t [; ], > f t dt Di ipoteza rezulta ca e + e e e e,deci e e e, > f t dt e t dt e <

49 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii + i a + + a + ; > ; a,5 5 +, + y; y 6 y + 8 ; y {, } ; {, } p, 5 M, N, P sut mijloacele laturilor triughiului, HM BA si aaloagele; HM mediatoarea [ BA] si aaloagele; H este cetrul cercului circumscris + ABC 6 a ε σ m σ : b Avem σ e, ude e este permutarea idetică Evidet, σ comută cu permutările e, σ, σ Se arată, pri calcul direct, că σ u comută cu celelalte permutări di S c Dacă S este o permutare impară deci o traspoziţie, evidet, e σ Obţiem uica soluţie σ a Calcul direct b Se arată că îmulţirea matricelor este lege de compoziţie pe G Se verifică aiomele grupului abelia Elemetul eutru este matricea X, iar simetrica lui X a G este matricea X + G a + c Se demostrează pri iducţie că `*, a, a,, a \ \ { }, X a X a X a X a + a + a + Petru 7 şi ak k, k {,,, 7 }, obţiem t 8! BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

50 Variata 5 - rezolvari mate MT Soluţii f a Avem ca l l, f,, e ],de ude se obtie cocluzia bdreapta este asimptota verticalanu eista alte asymptote c Se aplica T Lui Lagrage fuctiei f pe [ k ; k + ] si rezulta iegalitatile l k + k + l k Aduad iegaterioare petru k de la la k < f k + f k < l + l < f + f < a + Atuci a > f + f f > f,deci sirul e margiit iferior Obtiem a + a+ a l + + f + f f + f c <,deci sirul e coverget a Aria ceruta este A si d b V f d cos d + si c Limita ceruta se poate scrie astfel: Foloseste ca cos k L lim si cos k si a, a ; a lim k L lim co cos d si k

51 Variata 6 - rezolvari mate MT Di, k k k + k k + * se obţie N , deci N [ ; [ N ] f f, k k k Fie S suma cerută S k k Ecuaţia dată se scrie + Notâd y obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Cum >, covie doar, deci f bijectivă f surjectivă Im f A Atuci f + f + f + f + f 5 Mijlocul segmetului [ AB ] este M ; Puctul P, y aparţie mediatoarei segmetului [ AB ] dacă şi umai dacă AB MP Avem AB i j iar MP i + y j Ecuaţia mediatoarei lui [ AB ] va fi : y y + 6 Avem α ; cos α < cos α 9 si α tg α cos α a Calcul direct b Se demostrează pri iducţie după `* c A I, deci A8 I a Folosid relaţiile lui Viète, se obţie a b Di teorema împărţirii cu rest, α, β \ şi q \ [ X ], f X q + αx + β α a +8 f α + β Di, se obţie Restul împărţirii este: r a + 8 X 7 f α β 7 c k k <, deci ecuaţia u are toate rădăciile reale 9 Fucţia poliomială asociată otată tot cu f fiid cotiuă, f şi lim f +, f are cel puţi o rădăciă reală f are u umăr par de rădăcii î ^ \ \, deci are eact două rădăcii reale BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

52 Variata 6 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f lim arctg lim arcctg y este asimptotă orizotală spre + >, R f este strict crescătoare + c f > şi f este strict crescătoare este strict descrescător este mărgiit iferior de, deci coform Teoremei lui Weierstrass este coverget b f a g este cotiuă, deci are primitive, iar derivata uei primitive este pozitivă, deci orice primitivă este strict crescătoare b c f d f ε f d εlim + + ε ε f d lim arcsi + < ε

53 Variata 7 - rezolvari mate MT + i + i + i + + i 6 + i i + + i i f este fucţie de gradul cu Valoarea maimă a fucţiei f este a 8 Notâd lg y obţiem ecuaţia y + 5 y 6 cu soluţiile 6 şi lg 6 6, iar lg O fucţie f : {,,,} {,,,} cu proprietatea f f este uic determiată de u tabel de tipul f ude a, b {,,,} a b Vor fi 6 fucţii cu proprietatea cerută 5 Fie θ măsura î radiai a ughiului AOB cos θ OA OB OA OB Cum OA i + j şi OB i + j, rezultă că OA 5, OB şi OA OB 5 θ 6 Avem si α si α cos α Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului 8 cos α Naţioal si petru α + cos Curriculum α + si α cosşiαevaluare siî αîvăţămâtul si α +Cetrul Preuiversitar cosθ : a rag A + I b Se demostrează pri calcul direct c Presupuem că ecuaţia are soluţia Y M ^ Atuci, A Y Y A şi di b deducem că eistă, y ^, astfel îcât Y Cum det Y, obţiem şi apoi Y, fals y a Calcul direct b Calcul direct c Se demostrează pri iducţie că `*,,,, \, Obţiem 8 8 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

54 Variata 7 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f lim arcsi b, f arcsi + lim f / c f f arcsi + + f u este derivabilă î + f este coveă 5, a F >, R F este strict crescătoare pe R F f 5 5 b F deci lim F şi lim F + F fiid cotiuă, rezultă că + 5 F este surjectivă, deci coform lui a este bijectivă t t t t5 t6 a c F d t f t dt F f

55 Variata 8 - rezolvari mate MT Fie z umărul di euţ Cum z z, rezultă că z \, deci Im z Fucţia f este strict descrescătoare pe itervalul [, + < < f > f > f Se impue codiţia Pri ridicare la pătrat, ecuaţia devie 9 5 O fucţie f : {,,,} {,,,} cu proprietatea f este uic determiată de u tabel de tipul f ude a, b, c {,,,} a b c Vor fi 6 fucţii cu proprietatea cerută BM BM MC BC JJJJG JJJG JJJJG JJJG BM JJJG AM AB + BM AB + BC BC JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG AM AB + AC AB AB + AC 6 α ; cos α < 9 petru Curriculum şi Evaluare î Îvăţămâtul Preuiversitar cos α Cetrul Naţioal 5 5 si α tgα cos α 5 a Se arată că det A I {, } b Calcul direct c Fie Y M \, o soluţie a ecuaţiei Atuci, A Y Y A, deci eistă soluţii î Di b rezultă că eistă, y ^, astfel îcât Y Obţiem y y M \ a Se arată că f, D f, f, b Se arată că operaţia de compuere este lege de compoziţie pe G Se verifică aiomele grupului Se demostrează că elemetul eutru este fucţia idetică, f,, iar petru fucţia f a, b G, simetrica sa b şi b a a c f, +, f, D f, + şi iductiv se obţie este f a, b G, ude a aşadar f, D f, D D f, + 8 f, D f, D D f, +, de ori f, de 8 ori f, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M `,

56 Variata 8 - rezolvari mate MT Rezolvare a lim f < f ; lim f şi f Deci f este cotiuă pe b Studiem cotiuitate îtr-u Z lim < itervalul [, ] > c Eplicitâd fucţia observăm că şi sut pucte ughiulare şi f este derivabilă pe [, ] \ {, } a si cos d d l si si si l b F f şi f > deoarece si, R Deci F este strict crescătoare c t f t dt lim + + si t

57 Variata 9 - rezolvari mate MT Fie a umărul di euţ Avem a Tabelul de sem al fucţiei f este: + f + +, deci a ` f ; Se impu codiţiile şi Pri ridicare la pătrat ecuaţia devie + cu soluţiile şi Cum [ ; ], rezultă că este uica soluţie a ecuaţiei date Mulţimea A are 6 submulţimi evide ditre care au toate elemetele impare Probabilitatea cerută este P+ ABC AB + BC + AC + + 5, >, cu egalitate umai petru Cum α ; tg α >Miisterul şi atuci tgeducaţiei, α si α si α+ Cercetării tg α şi Tieretului tg α 6 Avem + a Se arată că det A m {, } b Dacă m {, }, sistemul este de tip Cramer, deci este compatibil Se arată că dacă m {, }, atuci sistemul este compatibil -edetermiat c Petru m, sistemul are soluţia y z a Dacă m, rag A rag A, şi sistemul are soluţii de forma y a, cu a \ z a Dacă y, atuci + y ˆ ˆ şi dacă sau y, se arată că + y, ˆ ˆ ],, { } { } b Dacă X A a, b H şi Y A c, d H, X Y A ac + bd, bc + ad H ˆ ˆ } şi X A ad, ˆ bd H Dacă X A a, b H, atuci d a + b {, a + ˆ b ˆ c X I ab Petru a ecuaţia ˆ b ˆ u are soluţii { } ˆ ˆ Petru b rezultă aˆ, ˆ şi soluţiile X ˆ ˆ ˆ ˆ şi X ˆ ˆ ˆ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

58 Variata 9 - rezolvari mate MT Rezolvare a f g g + +, f b lim f lim 9 9 c a I d + d 5 5 b I d + d + d d + + I I c Coform puctului b I!! lim I +!!

59 Variata - rezolvari mate MT k + k + k k , deci a Graficul fucţiei f itersectează aa O î două pucte disticte dacă şi umai dacă ecuaţia f are Fie a umărul di euţ Avem a două soluţii reale > m 8 > m ; ; + Se impue codiţia ; + Ecuaţia dată este echivaletă cu log + + log + cu soluţiile şi Cum ;, rezultă că este uica soluţie a ecuaţiei date Mulţimea A are 5 submulţimi Numărul submulţimilor cu trei elemete ale lui A este C5 5 Fie G G, yg Avem G C5 5 6 cetrul de greutate al triughiului ABC Probabilitatea cerută este 5 A + B + C y + yb + yc 5 şi yg A cos Educaţiei, Cercetării şi Tieretului 6 Folosim relaţia si Miisterul Curriculum şi Evaluare î Îvăţămâtul Preuiversitar Cetrul Naţioal petru Cum ; si > Atuci si a Calcul direct b B A + a b c + a b c A a b c cos 8 c Fie A a, f a, A b, f b şi A c, f c cele trei pucte, cu a b c a b a c bc a a + b + c B Cel puţi două ditre cele trei umere a, b, c au aceeaşi paritate, deci cel puţi uul ditre umerele S [ A A A ] b a, c b, c a este par Rezultăcă S [ A A A ] ` Se arată că f a, f b şi f c sut multipli de, deci B este divizibil cu, adică S [ A A A ] este divizibilă cu a Calcul direct b Se arată că X a, X b H, cu a, b \ \, a + b ab, deci X a X b H c Petru X X a G, X I X a a X Se obţi soluţiile X I şi X 5 BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

60 Variata - rezolvari mate MT Rezolvare si a lim f lim + 6 b f cos ; f + si c f + cos f este strict descrescătoare f f, f f este strict descrescătoare f f, f f este strict descrescătoare pe itervalul [, + şi f f, a f d si si f t dt lim c f si + ; f cos f este strict crescătoare pe itervalul [, + b f d lim cos + 9 cos cos d

61 Variata - rezolvari mate MT log 6 log log + log + log + a + a a a + b Fie a şi b umerele căutate Avem a b Numerele a şi b vor fi soluţiile ecuaţiei de gradul al doilea, adică Ecuaţia se scrie şi 8 şi cum + > obţiem + 9, de ude Putem alege fete di cele î C moduri La fiecare alegere a fetelor putem alege băieţi di cei moduri Comitetul clasei poate fi ales î C C 99 moduri î C JJJG G G y, adică + y 5 Avem AB i + j Ecuaţia paralelei pri C la AB este ;, rezultă că umărul real 6 se reprezită pe cercul trigoometric î cadraul IV Î cocluzie si 6 < 6 Deoarece 6 a Calcul direct i i b Se obţie 8 + A O şi apoi,, a b c Presupuem că ecuaţia are soluţia X M ^ Atuci X A O c d Rezultă det X şi X t X, ude t a + d Se demostrează că X t X, deci X O sau t Î ambele cazuri rezultă X O, fals a a8 şi a7 Di teorema împărţirii cu rest, eistă şi sut uice b f X q + ax + b Obţiem a Cum f f q ^[ X ] şi a, b ^, astfel îcât f + f b f f 5, restul împărţirii poliomului f la X este r 5 c Fie z ^ rădăciă a lui f Atuci z + i 8 z i 8, de ude rezultă z + i z i îlocuidu-l pe z a + b i, cu a, b \ î relaţia precedetă, deducem b, deci z \ BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M şi

62 Variata - rezolvari mate MT Rezolvare f m ; lim + y + este asimptotă oblică spre b f este derivabilă pe itervalul R \ {,} şi şi sut pucte de îtoarcere ale graficului a lim c f ;,, + şi f ;, Petru,, f este strict descrescătoare, iar petru, +, f este strict crescătoare este puct de maim f, deci şi sut pucte de miim şi de îtoarcere, iar + d arctg + a I + + d c Di b I folosid mootomia lui I Coform criteriului cleştelui + b I + + I avem lim I

63 Variata - rezolvari mate MT Numerele,,,,, 8 sut î progresie aritmetică cu raţia 9 Rezultă că s 8 şi de aici < s < f g + Puctul de itersecţie cerut este M ; Utilizâd relaţia si + cos, ecuaţia devie si + si Notăm si y şi obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Ecuaţia si u are soluţii petru că si, iar si k + k, k Numărul fucţiilor bijective f : A A este 5! 5 5 Patrulaterul cove ABCD este paralelogram dacă şi umai dacă diagoalele sale au acelaşi mijloc + + y Mijlocul lui [ AC ] este M ; Fie D, y Mijlocul lui [ BD ] este M ; + + y M M şi Miisterul D, Cercetării şi Tieretului Educaţiei, 6 Deoarece ; cos < şi atuci cos si 5 cos Deoarece ; si >, deci si + a Calcul direct b Petru a \ \ {,} sistemul este de tip Cramer, cu uica soluţie, y, z, care u verifică ecuaţia C c Petru a, di sistem rezultă y z y + y Folosid ecuaţia C, găsim soluţiile şi z + z α şi cum α + β α β Petru a, sistemul devie + y + z, cu soluţiile y β z α β petru mai mult de două umere reale, a u e soluţie 9 6 a Petru a 9 _, b 6 _, avem a b, deci A G 9 6 a b a b a b b Petru X G şi Y b a G, avem XY b a, ude b a a a a + b b _ şi b b a + a b _ şi det XY det X dety a b G a b c Se arată iductiv că petru orice `*, eistă a, b `*, astfel îcât A Cum b >, rezultă că `*, A I şi apoi că puterile matricei A sut o ifiitate de elemete disticte ale grupului G, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

64 Variata - rezolvari mate MT Rezolvare a f b + > arctg + > arctg f > f este strict crescătoare pe itervalul, şi strict descrescător pe itervalul, +, deci este + c Se arată că g, R g este costată maim global f arctg arctg a + d l l + l 5 + l + f t dt + b f f t dt Deci lim 5 c g f, [, A g f d

65 Variata - rezolvari mate MT ++ Fucţia f este fucţie de gradul al doilea cu 8 şi a > log + log Valoarea miimă a fucţiei f este 8 a Notâd y obţiem ecuaţia y + y cu soluţiile şi Cum >, covie doar, deci Dacă, atuci este pătrat perfect Î mulţimea {,,,, 99} sut de elemete ditre care sut pătrate perfecte:,,,, 9 Probabilitatea cerută este, 5 Avem AB i + j şi CD a i + j Atuci AB // CD a a tg + tg + 6 tg tg tg Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului : a Se arată că B I b B B c Obţiem a + b + c det A a + b + c a b + b c + c a a Calcul direct b ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, ˆ ˆ + ˆ, 5 ˆ + ˆ, 6ˆ ˆ + ˆ c Se arată iductiv că `, { } ] 7 H, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

66 Variata - rezolvari mate MT Rezolvare f > f este strict ctescătoare b Se poate demostra pri calcul sau aplicâd Teorema lui Lagrage c Se aduă relaţiile de la b de la k pâă la k şi astfel se obţie margiea şirului a Şirul a f este evidet crescător, deci va fi coverget coform Teoremei lui Weierstrass a f t arctg t t + t arctgt d arctg + arctg t + b f t arctg t dt t dt + + t t + arctg c f t dt dt + + t t dt lim f + t + lim

67 Variata - rezolvari mate MT Avem + i şi atuci z + i + i 5 65 b, yv Evidet V + yv a a Ecuaţia devie si cos si sau cos Fie V V, yv vârful parabolei V 5 şi Numărul fucţiilor bijective f : A A este 5! 5 Cum [,, avem si şi, iar cos JJJG G G JJJG G G 5 Avem AB i + j şi CD a i + j JJJG JJJG 5 Atuci AB CD AB CD a + a 6 Avem si + cos si + si si cos cos Atuci si B + cos B si C + cos C cos B cos C Cum B, C ; obţiem B C, adică triughiul ABC este isoscel : a Se arată că suma elemetelor matricei A este S 8 b Calcul direct c Se arată iductiv că A A, ` Rezultă că rag A, ` a Calcul direct b e \ este elemet eutru al legii \, ae e 6 e 6 şi a c Avem 6 6 [, 6] a, Verificăm că petru a,, e o lege de compoziţie pe 6 6 [, 6] Petru y [, 6] fiat, cosiderăm fucţia f : [, 6] \, f a y y + 6 [, 6] Dacă y <, fucţia f este strict descrescătoare pe [, 6], deci a a 6a y f 6 y 6 Dacă y, f 6 y 6 a Dacă < y 6, fucţia f este strict crescătoare pe [, 6], deci 6 y f 6a y 6 a Aşadar, petru orice a,, este o lege de compoziţie pe itervalul [, 6] 6 Avem BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

68 Variata - rezolvari mate MT Rezolvare a f + >, > + b Ce arată că lim f < şi cum f este strict crescătoare, rezultă că f <, > + c a + a f şi coform b a este strict descrescător a f arcsi t b f t arcsi t arcsi t + 8 t dt t dt + 8 t t t dt c lim t arcsi t dt < ε t arcsi t dt

69 Variata 5 - rezolvari mate MT + i + i + i + i + i + i + i i f f f sau Ecuaţia se scrie + şi împărţid pri se obţie + Notăm y y + y y şi y Cum >, covie doar Mulţimea A are elemete, iar umărul celor divizibile cu 5 este dat de umărul k-urilor cu proprietatea k `, 5k adică k Probabilitatea cerută este 5 Triughiul AOB este dreptughic î O Avem AO, BO, AB 5 AO OB Fie distaţa de la O la dreapta AB Atuci AO OB AB AB 5 D D 6 m ADC 5 m BAD 5 Aria paralelogramului este AB AD si BAD y z Sistemul este a Dacă X y M, ^, ecuaţia e echivaletă cu sistemul + y + y z 5 z compatibil edetermiat, deoarece ragul matricei sistemului este egal cu, ca şi ragul matricei etise b Calcul direct 6 c Se arată că A* 6 Rezultă rag A* 6 a 7 5, deci A b Calcul direct + c Avem f Mai mult, f f are termeii disticţi, î ] iar şirul ` ` +, `, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

70 Variata 5 - rezolvari mate MT Rezolvare a f e e, f e + e + < f este strict descrescătoare pe R b Petru a este evidet, iar petru a > aplicăm regula lui l Hospital c lim f l lim f, lim f m lim f m, deci y este o asimptotă orizotală la + şi y este o asimptotă oblică la + a I d l + b I + I d < + deci lim I c I d +

71 Variata 6 - rezolvari mate MT, 857 Atuci a + a + a + + a Avem f D g f g g, iar g D f g f f + 8 Pri împărţire se obţie că Atuci f D g g D f 8 8, \ Fie f f y + y + y Rezultă că fucţia f este ijectivă Sut 9 de umere de trei cifre, iar umărul celor divizibile cu 5 este dat de umărul k-urilor cu proprietatea k `, 5k < adică k < Probabilitatea cerută este Ecuaţia dreptei AB este: y Puctele A, B, C sut coliiare C AB a 6 Di teorema cosiusului obţiem cos A AB + AC BC AB AC a Di A : a + bc ba + d obţiem sistemul: Presupuem că a + d Rezultă b c ca + d a d a + d şi a d Di prima şi di ultima ecuaţie obţiem a d, deci a + d, cotradicţie b Se arată că I + A I A I, deci I + A I A c Matricele de forma X α A, α \ sut soluţii a Se arată că f a b Notâd t obţiem ecuaţia t t + 9, ale cărei soluţii au t t Rezultă t, şi suma căutată este egală cu c Evidet, B A Fie α g a A Di teorema împărţirii cu rest, eistă şi sut uice q, h _ [ X ], cu grad h, astfel îcât g X X + 9 q + h Rezultă α g a h a B, deci A B BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

72 Variata 6 - rezolvari mate MT Rezolvare a f deci f este strict crescătoare b lim f, lim f y este asimptotă orizotală la ± este asimptotă verticală ctg a + + c ctg a + şi astfel rezultă periodicitatea 6 ctg a a F f F e este puct de ifleiue e e d e c F F f b f

73 Variata 7 - rezolvari mate MT Numerele,, 7,, sut termei cosecutivi ai uei progresii aritmetice cu raţia + 76 Atuci Im f { y \ / \ astfel îcât f y} Avem f y + + y Această ecuaţie are soluţii reale dacă şi umai dacă Î cocluzie, Im f ; + E si arcsi + si arccos + y ; y Termeii dezvoltării sut Tk + C5k 5 k k C5k 5 k, k {,,,,,5} Deoarece C5k ` avem Tk + _ 5 k par k {,,5} Dezvoltarea are trei termei raţioali JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 5 ABCD pătrat AB + AD AC AB + AC + AD AC Atuci AB + AC + AD AC 6 Avem: si 75D si 5D + D si 5D cos D + cos 5D si D si 75D 6+ + Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului : a Calcul direct b det A At det A At c Miorul t det At A det A At deci det A At b b + este eul a Petru orice [,, avem f + p + q + r > b S + + p, S + + q + + p S S q S r p + pq r c Fie poliomul g \ [ X ], g X a + b + c X + ab + bc + ca X abc, cu rădăciile a, b, c Deoarece p a + b + c >, q ab + bc + ca > şi r abc >, di puctul a rezultă că rădăciile a, b, c ale lui g u sut î itervalul [, Aşadar, a, b, c, BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

74 Variata 7 - rezolvari mate MT Rezolvare > este asimptotă orizotală spre + a f b lim f + ; lim f şi f este cotiuă, deci este surjectivă Coform a f este ijectivă c Sigura valoare petru este şi limita este a I b I + I c I + e d e e d e + d, deci I este descrescător şi mărgiit iferior de + e d e I I lim I e

75 Variata 8 - rezolvari mate MT Avem < < log < log < log < log < log, 9 9 m, Avem si + cos si + si si cos cos Ecuaţia devie cos ± + k, k + + m >, oricare ar fi < 9 m < m > + k / k!+!! + +! C!!, avem C + C + +!!!!!!!!!! Mulţimea soluţiilor ecuaţiei iiţiale este: {k / k } 5 Avem d d { A ; } Atuci A d + a a 6 Di teorema cosiusului, BC AB + AC AB AC cos A BC Perimetrul triughiului ABC este AB + BC + AC 7 + a Se arată că A a d c e f b Dacă X b g h M ^, di i A X X A rezultă g, d + g, a + b f + i, d + e i şi g + h Se obţie g d h, a e i şi c Presupuem că eistă X M ^, astfel îcât X A a Rezultă A X X A Di b, eistă a, b, c C, astfel îcât X b c Di X A, rezultă că det X, deci a Se obţie X b a b a e+h, d h, b f a A a f f a + b şi rezultă cocluzia b Se obţie f f y y a + y + y + b c Îlocuid î b se obţie b 85a Di f se obţie c 8a 5 Apoi, f 7a + Dacă a, obţiem f 67, iar dacă a, că f 7, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

76 Variata 8 - rezolvari mate MT Rezolvare a f >, R b lim f +, lim f, f este cotiuă pe R, deci f este surjectivă, iar coform puctului a este ijectivă f dar lim f + c lim a f d d 6 b f este cotiuă pe R î fiecare puct îtreg ls ld f a c f este periodică de perioadă, deci a + a f d f d

77 Variata 9 - rezolvari mate MT + i i i z z Cosiderăm fucţia g : \ \, g + Tabelul de sem al lui g este: g [; ] ++++ g Avem f f y + y + y y y sau y y, y, y, deci f este ijectivă f f y Dar, y, y > Avem O fucţie f : {,,} {,,,} petru care f este umăr par este uic determiată de u tabel de tipul f ude a {, } iar b, c {,,,} a b c Vor fi fucţii cu proprietatea cerută 5 Di teorema cosiusului, avem BC AB + AC AB AC cos A JJJG JJJG AB + AC BC 5 Atuci AB AC AB AC cos A Miisterul Educaţiei, Cercetării şi Tieretului Cetrul Naţioal petru Curriculum şi Evaluare D D D D D D D î Îvăţămâtul Preuiversitar 6 si5 si 5 si 5 cos cos 5 si : 6 si5d a Se calculează det A a b b c c a b Se arată că uica soluţie este y z c Se obţi soluţiile α, α,, cu α ^ a 9, ] şi 9 5, deci z M b Se arată uşor că z, z M, avem z z M şi z M c Se demostrează că petru z M, k, `*, cu k, avem z z k BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

78 Variata 9 - rezolvari mate MT Rezolvare a f l + Pe itervalul,, f este strict descrescătoare, iar itervalul f b lim f +, lim +, lim f Deci f >, +, f este strict crescătoare e u are asimptote c Se arată că şirul N este mărgiit şi mooto + < l d d b I I c I + I I lim I a I

79 Variata - rezolvari mate MT a a i Atuci z \ Im z a a ± + a + y şi obţiem o sigură soluţie: Rezultă că dreapta de ecuaţie Rezolvăm sistemul + y y 9 Avem z +a + y + este tagetă la parabola de ecuaţie y + î puctul P, 9 Se impu codiţiile şi, adică, Pri ridicare la pătrat ecuaţia devie Produsul cartezia A A are 6 de elemete: A A {,,,,, 6, 6 } 5 Cazurile favorabile sut, 5, 5,,,,, şi, Probabilitatea cerută este 6 JJJG G G JJJG G G JJJG JJJG G G JJJG JJJG 5 MA i + j, MB i + j MA + MB i + 5 j MA + MB 6 6 Avem succesiv: si a + b si a b si a cos b + cos a si b si a cos b cos a si b si a cos b cos a si b si a si b si a si b si a si b a Se arată că S b Se calculează A A, apoi B C I + 5a + A şi se obţie a 5 c Se demostrează pri iducţie după ` a Deoarece ε ε ε + ε + şi ε ^ \ \, rezultă cocluzia b Determiatul sistemului este y z ε ε ε ε, deci sistemul are doar soluţia ulă c Di ipoteză, eistă g ^ [ X ], astfel îcât f X + Xf X + X f X X g X Deoarece umerele, ε şi ε sut rădăciile poliomului X, se obţie sistemul a + a + a a + a ε + a ε, ude ak f k, k {,, } a + a ε + a ε Folosid puctul b se deduce că f k, k {,, }, de ude rezultă cocluzia BACALAUREAT 8-MATEMATICĂ - Proba D, tipul subiectului MT, programa M

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A

Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A 1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ CLASA a V-a CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

CULEGERE DE PROBLEME

CULEGERE DE PROBLEME Colecţia "LICEU CULEGERE DE PROBLEME petru eameul de admitere la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, Facultatea de Electroică şi Telecomuicaţii, Facultatea de Arhitectură Descrierea CIP a Bibliotecii

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ Ediţia a XI-a, 6 7 MAI CLASA a IV-a Ediţia a XI-a, 6 7 MAI 011 CLASA a IV-a SUBIECTUL Aflaţi difereţa ditre umerele aturale [( 4 a : ) :1 5] 4 6 = 4 [( b 7 ): 5 8] 8 5 = 7 a şi b ştiid că ele verifică egalităţile: Gheorghe Loboţ Suma a două

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

EXAMENE ŞI CONCURSURI

EXAMENE ŞI CONCURSURI 8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente

matricelor pătratice de ordinul 2, cu elemente numere reale; a11 a12 a13, mulńimea matricelor pătratice de ordinul 3, cu elemente LECłII DE SINTEZĂ î vederea pregătirii sesiuii iulie-august a eameului de BACALAUREAT - M petru cadidańii absolveńi ai liceelor di filiera tehologică, profil: servicii, resurse aturale şi protecńia mediului,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI"

CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IAŞI CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA NAŢIONALĂ aprilie FACULTATEA CONSTRUCŢII DE MAŞINI ŞI MANAGEMENT INDUSTRIAL Filiera tehologică: profilul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ

SOCIETATEA DE ŞTIINŢE MATEMATICE DIN ROMÂNIA- FILIALA CLUJ CLASA a IV-a U gospodar are î curte găii și iepuri, î total 30 de capete și 84 de picioare. Săptămâal, petru hraa uei păsări sut folosite, î medie, 500 g de grăuțe, iar petru hraa uui iepure de 4 ori mai

Διαβάστε περισσότερα

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2013

Soluţiile problemelor pentru pregătirea concursurilor propuse în nr. 2/2013 Rezultă căb 7 +b m 5 b 0, m, N şi, de aici, cocluzia problemei. XII.145. Fie (A, +, ) iel cu 1 0, avâd u umăr impar de elemete, î care are loc implicaţia:,,dacă x xy + y = 1 + 1 + 1 + 1, atuci x + y =

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009 Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:

TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective: TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora. Cap PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METODE GENERALE DE CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î aces paragraf vom reamii oţiuea de primiivă, proprieăţile primiivelor şi meodele geerale de calcul ale acesora Defiiţia

Διαβάστε περισσότερα

4. Integrale improprii cu parametru real

4. Integrale improprii cu parametru real 4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα