ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Α Έστω συνάρτηση πργωγίσιµη δύο φορές στο [, ] ''! γι κάθε χ [, ] κι έστω η + g t dt ( ) = ( ) ( ), [, ] ) είξτε ότι υπάρχει ξ (, ) στε '( ξ)( χ ) ( ) µε + ώ = ) είξτε ότι η g είνι πργωγίσιµη στο [, ] κι ν µελετηθεί ως προς την µονοτονί κι τ κρόττ + γ) είξτε ότι: () t dt ( ) ( )! Β Αν <,<, τότε: + > ΘΕΜΑ o Έστω : R R τέτοι ώστε [ '( ) ( ) ]( + ) = ( ) γι κάθε R της οποίς η C έχει στο A(, ()) εφπτοµένη κάθετη στην ευθεί ε : y= + 3 ) Νδο ( ) = ( + ) e, R ) Νδο η ( ε ) κι η C δεν µπορεί ν έχουν δύο κοινά σηµεί γ) Έστω t Βρείτε το lim g ( t) = ( ) d, t t + g '( t ) t e δ) Ν ρεθεί το εµδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, τον ' κι τις ευθείες =, =, >
ΘΕΜΑ 3o Έστω η πργωγίσιµη συνάρτηση :[, ] R, < <, τέτοι ώστε γι τους µιγδικούς ριθµούς z = + i( ) κι z z = + i( ) ν ισχύει w = R z ) Νδο z + iz = z iz ) Νδο ικνοποιούντι οι προϋποθέσεις του ΘRolle γι την ( ) συνάρτηση g ( ) = στο [, ] γ) Νδο υπάρχει εφπτοµένη της C που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων δ) Αν ισχύει lim ( + t ) dt ( )( + t ) εξίσωση '( ) = έχει λύση στο (, ) ν ποδείξετε ότι η ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o Α) Έχουµε ότι: + [, ] κι χ [, ] κι +! Επειδή η είνι πργωγίσιµη στο [, ] θ ισχύει το θεώρηµ + µέσης τιµής γι την στο [, ] ' ( ξ ) + ( ) = + + ώστε οπότε υπάρχει ξ, : + χ '( ξ)( χ ) = ( χ) ( ) ) Η είνι συνεχής κι η () t dtπργωγίσιµη στο [, ] Επίσης η ( ) + είνι πργωγίσιµη στο [, ]
Άρ η g είνι πργωγίσιµη στο [, ] µε g' ( ) ( ) + ( ) ' + = άρ: '( ) '( ) ( ) ( ) ' + '( ) ( ) '( ) ' + g ξ g ξ = = Επειδή η ''( ) ξ! τότε η '( ) " στο [, ] άρ: χ + +! '( ξ)! ' κι επειδή! τότε g' ( )! γι κάθε (, )Οπότε η g είνι " στο [, ] Η g θ έχει ελάχιστο γι χ= το g( ) = κι µέγιστο το + g( ) = ( t) dt ( ) γ) Επειδή η g είνι " στο [, ] θ έχουµε! + + g( )! g( ) ( t) dt = ( ) () t dt ( )!! λ Β Θεωρώ τη συνάρτηση: () = λ, <λ<, > λ λ Είνι: '() = λ λ = λ ( ) Εποµένως γι >, η είνι γνησίως φθίνουσ Επειδή λοιπόν <,<, θ είνι : >, > Συνεπώς επειδή εκεί η γνησίως φθίνουσ, θ είνι κι: ( ) < (), κι ( ) < () λ < λ, κι γι λ = : λ Συνεπώς: < < + + > () Αν επνλάω συµµετρικά θέτοντς όπου λ=, κτλήγω όµοι: + > () + Από (),() µε πρόσθεση: + > +
+ Όµως: >, µε συνέπει κι: + > + ΘΕΜΑ o ) ( ) ( ) [ '( ) ( )]( + ) = ( ) ( )' + = + ( ) ( ) = c e ( + ) = ce ( ) e ( ) '() = c= = + + ) Έστω ( ) y= ( ) + 3= έχει λύσεις, P < P Θεωρώ: h ( ) = ( ) + 3στο [ P, P ] h πργωγίσιµη στο [ P, P ] µε h'( ) = '( ) + ( hp hp ) = ( ) = Σύµφων µε το Θ Rolle υπάρχει τουλάχιστον έν ξ ( P, P ) ώστε h'( ξ ) = '( ξ ) + = e ξ ( ξ + ) =,ΑΤΟΠΟ γ) g '( t) = ( t) '( ) ( ) + t t t t t g t t t t lim = lim = lim = lim = lim = t + e t + e t + e t + e t + e δ) Είνι ( ) = e ( + ) > ( ) ( ) [ e ( + )] e ( ) [ e ] e d e e e e e E Ω = e + d= e = = + + = = ( + ) + [ ] = ( ) + ( ) ΘΕΜΑ 3o ) z + iz = z iz z + iz = z iz ( z + iz )( z iz ) = ( z iz )( z + iz ) z z = = = ( izz zz ) zz zz ( ) z z
w= w w R, ισχύει ) g πργωγίσιµη στο [, ] ως πηλίκο πργωγίσιµων συνρτήσεων g συνεχής στο [, ] ως πργωγίσιµη '( ) ( ) g πργωγίσιµη στο (, ) µε g'( ) = ( ) g( ) = ( ) g( ) = κι επειδή w R : i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w + i + = = + + i ( ) + ( ) + ( ) ( ) ( ) άρ ( ) = ( ) g( ) g( ) = = άρ ισχύει το ΘRolle γ) Αν y ( ) = '( )( ) η εφπτοµένη της C στο (, ( )) γι ν διέρχετι πό το Ο(,) πρέπει : ( ) = '( ) '( ) ( ) =, που ισχύει γιτί σύµφων µε το ΘRolle υπάρχει τουλάχιστον έν (, ) ώστε: g '( ) = ( + t) ( + t) δ) Έστω h ( ) = dt = dt ( )( + t) + t Θέτω: u= + t, du = dt ή dt = du Γι t=, u = t=, u = Άρ : ( + t) ( u ) ( u ) ( t) dt = du = du = dt + t u u t ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε το µιγδικό ριθµό z=+yi,,y R γι τον οποίο ισχύει:( ) i ( ) ( 4) z + z z + z i+ z + = z z 4
) Ν πρστήσετε γρφικά το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του ριθµού z στο επίπεδο ) Ν ρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του z,ν είνι 3 γνωστό ότι ο ριθµός ( ) ( ) w z z i z z i = + + + είνι φντστικός γ) Ν ρείτε το εµδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των προηγούµενων γεωµετρικών τόπων Στο σύστηµ των ξόνων θεωρούµε τ σηµεί Α(,5),Β(,3) κι Γ(χ,) µε! ) Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη της γωνίς ω, µε την οποί φίνετι πό το σηµείο Γ το τµήµ ΑΒ, δίνετι πό τον τύπο + ( ) = 3 ) Γι ποί τιµή του χ η γωνί ω γίνετι µέγιστη κι πόση? γ) Αν το σηµείο Γ κινείτι έτσι ώστε ο ρυθµός µετολής του χ d ν είνι, ν ρείτε το ρυθµό µετολής της γωνίς ω τη dt = χρονική στιγµή t που είνι χ= 3 Αν η συνάρτηση : R R, είνι πργωγίσιµη µε: ηµ '( ) = ( + )e,γι κάθε πργµτικό, τότε είξτε ότι: ) η ντιστρέφετι κι b) ότι: πργµτικό (t)dt+ () (t)dt= () (), γι κάθε 4 Αν η συνάρτηση : R R, είνι πργωγίσιµη µε: ηµ '( ) = ( + )e,γι κάθε πργµτικό, τότε είξτε ότι: ) η ντιστρέφετι κι b) ότι: πργµτικό (t)dt+ () (t)dt= () (), γι κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΛΙΟΛΙΟΣ ΑΝΤ-ΧΑΤΖΗΝΑΚΟΣ ΧΡ-ΧΟΡΤΗΣ Φ ΣΙΑΣΙΟΥ Μ-ΧΑΛΒΑΤΖΗ ΕΛ-ΛΑΦΑΖΑΝΙ ΟΥ Α ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ Μ