ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου 1 1 x, y έχει εξίσωση: xx yy 1 1. c : x y σε ένα σημείο του Μονάδες 10 A. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και. Μονάδες 5 Α3. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη λανθασμένη. i. Αν (, ) τότε 1. ii. Ισχύει για οποιαδήποτε διανύσματα, και. iii. Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο ( x0, y0) έχουν εξίσωση της μορφής y y ( x x ). iv. v. Αν 0 0 Η ακτίνα ρ του κύκλου 4, τότε η εξίσωση c : x y είναι ίση με α. x y x y 0 παριστάνει κύκλο. Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνονται τα διανύσματα,, με (1, 3), (1,) και 4. Β1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος και στη συνέχεια το εσωτερικό γινόμενο. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα xx. Β3. Να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων και. Β4. Αν u ( 4, ) να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε u. ΘΕΜΑ Γ Δίνονται τα σημεία Α(3, ), Β(5, α-1) και Γ(4, 1). Γ1. Για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού α τα σημεία Α, Β και Γ είναι κορυφές τριγώνου; Γ. Αν το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με να βρείτε τις τιμές του α. Γ3. Για 3 να βρείτε τις εξισώσεις της πλευράς ΒΓ και της διαμέσου ΑΜ. Μονάδες 7 Γ4. Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ΒΓ και : 3x y 7 0. ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η εξίσωση x y x y ( 6) 5 0 (1). Δ1. Να δείξετε ότι η (1) παριστάνει κύκλο για κάθε πραγματικό αριθμό λ των οποίων να βρείτε τα κέντρα και την ακτίνα. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 Δ. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των παραπάνω κύκλων. Δ3. Να βρείτε ποιος από τους παραπάνω κύκλους εφάπτεται στον άξονα yy. ' Δ4. Να βρείτε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου των κέντρων των κύκλων απέχει ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων και στη συνέχεια να υπολογίσετε πόσο είναι αυτή. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία σελίδα 83. Α. Θεωρία σελίδα 41. Α3. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Είναι 4 (1, 3) 4(1,) (1, 3) (4,8) (1 4, 3 8) (5,5) και 11 ( 3) 16 5. Β. Έστω ω η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα xx. Ισχύει ότι 5 1. Όμως είναι x=5>0 και y=5>0 άρα 0. Επομένως. 5 4 5 5 5 5, 1 ( 3) 1 10 5 5 5 5 Β3. Είναι 1. Άρα η γωνία των διανυσμάτων και είναι ίση με 3. 4 Β4. Ισχύει u οπότε u 0 4 ( 3) ( ) 0 3 4 0 4 ή 1. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 4
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΘΕΜΑ Γ Γ1. Για να είναι τα σημεία Α, Β και Γ κορυφές τριγώνου πρέπει τα διανύσματα και να είναι μη συγγραμμικά. Είναι: (5 3, 1 ) (, 3) και (43,1 ) (1, 1). Η ορίζουσά τους είναι 3 det, ( 1) 1 ( 3) 3 1. 1 1 Πρέπει det, 0 οπότε 1 0 δηλαδή 1. Άρα τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν τρίγωνο για κάθε Γ. 1. 1 1 det, 1 1 4 1 4 ή 1 4 5ή 3. Οι τιμές είναι δεκτές. Γ3. Για 3 είναι (5, 4). Η ευθεία ΒΓ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 ( 4) 5 1 5 και εξίσωση y 1 5( x 4) y 5x 0 1 y 5x 1. 4 5 1 5 4 9 Έστω Μ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΒΓ. Θα έχει συντεταγμένες x και 4 1 3 9 3 y. Επομένως θα είναι,. Η ευθεία ΑΜ θα έχει συντελεστή 3 7 7 διεύθυνσης. Η εξίσωσή της θα είναι: 9 3 3 3 7 y ( x 3) 3y 6 7( x 3) 3y 6 7x 1 7x 3y 7 0. 3 Γ4. Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία ΒΓ: 5x y 1 0 είναι το a (1, 5). Ένα διάνυσμα παράλληλο στην ευθεία : 3x y 7 0 είναι το (,3). Η γωνία θ των δύο ευθειών ισούται με τη γωνία των διανυσμάτων και οπότε: 1 ( 5) 3 15 13 13 1 ( 5) 3 6 13 13 13 13 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 Άρα 0 135 οπότε η οξεία γωνία των δύο ευθειών είναι ίση με 0 45. ΘΕΜΑ Δ Δ1. Είναι 4 ( ) ( 6) 4(5 ) 4 4 4 36 0 8 8 16 16 8( ) 0 για κάθε επειδή το τριώνυμο έχει διακρίνουσα 4 8 4 0 και θα είναι 0 για κάθε. Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο για κάθε. 6 Τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης (1) είναι, δηλαδή,3 με. Οι ακτίνες των κύκλων της (1) θα δίνονται από την ισότητα 8( ) ( ) με. x Δ. Έστω ( xy, ) τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης (1). Είναι,. y 3 Επομένως y x 3. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων είναι η ευθεία y x 3. Δ3. Για να εφάπτεται ο κύκλος c 1 στον άξονα yy πρέπει να ισχύει: d K, yy ( ) 4 4 4 4 0 ( ) 0 0. Επομένως η εξίσωση του κύκλου είναι: c x y x y. Θα έχει κέντρο το : 4 1 0 1 σημείο (,1) και ακτίνα ίση με ( ) 4. Δ4. Για να προσδιορίσουμε το σημείο Δ της ευθείας : y x 3 που απέχει ελάχιστη απόσταση από την αρχή των αξόνων Ο, θα βρούμε την ευθεία ζ που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στην ευθεία ε. Το ζητούμενο σημείο Δ είναι το σημείο τομής των ευθειών ε και ζ. 1 1 1 1. Άρα η ευθεία ζ έχει εξίσωση y x. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4
ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 3 x y x 3 x x 3 x 3 y x y x y x 3 y 0 0 3 3 3 Είναι: dmin d O,. 1 1 οπότε είναι 3 3,. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4