Peiramatiko Lukeio Euaggelikc Sqolc Smurnc Tax G, Majmatika Jetikc kai Teqnologikc Kateujunsc, Smeiwseic Jewriac Kajgt c: Oi smei seic autèc eðnai gia sqolik qr s. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemjoôn eleôjera arkeð na mn all xei morf touc. Gia ton periorismì, twn anapìfeuktwn, laj n upìkeintai se suneqeðc diorj seic. Dianèmontai wc èqoun kai o sunt ktc touc den fèrei kamða eujôn gia tuqìn probl mata pou anakôyoun apì tn qr s touc. 2 IounÐou 29 Stoiqeiojet jkan me to LATEX.
Smeiwseic Jewriac 1 Mèroc I Erwt seic JewrÐac Ερωτηση 1. Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί + βi κι γ + δi είνι ίσοι; Απντηση Ισχύει + βi γ + δi γ κι β δ 1πτ Ερωτηση 2. Ν ποδείξετε ότι η δινυσμτική κτίν του θροίσμτος των μιγδικών + βi κι γ + δi είνι το άθροισμ των δινυσμτικών κτίνων τους. Απντηση Αν M 1 (, β) κι M 2 (γ,δ) είνι οι εικόνες των + βi κι γ+δi ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ ( + βi)+(γ + δi) ( + γ) +(β + δ)i πριστάνετι με το σημείο M( + γ,β + δ). Ε πομένως, OM OM 1 + OM 2. Ερωτηση 3. Ν ποδείξετε ότι η δινυσμτική κτίν διφοράς των μιγδικών + βi κι γ + δi είνι η διφορά των δινυσμτικών κτίνων τους. Απντηση Ηδιφορά (+βi) (γ+δi)( γ)+(β δ)i πριστάνετι με το σημείο N( γ, β δ). Επομένως, ON OM 1 OM 2. Ερωτηση 4. Ν ποδείξετε ότι ( + βi)(γ + δi) (γ βδ)+(δ + βγ)i. Απντηση Εχουμε: (+βi)(γ+δi) (γ+δi)+βi(γ+δi) γ+δi+βγi+ (βi)(δi) γ+δi+βγi+βδi 2 γ+δi+βγi βδ (γ βδ)+(δ+βγ)i Ερωτηση 5. Τι ονομάζετι συζυγής του + βi ;
Smeiwseic Jewriac 2 Απντηση Οριθμός βi που συμβολίζετι με + βi. Ερωτηση 6. Ν εκφράσετε το πηλίκο +βi γ+δi,όπουγ + δi,στημορφή κ + λi. Απντηση Πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προνομστή κι έχουμε: + βi γ + δi Δηλδή ( + βi)(γ δi) (γ + δi)(γ δi) + βi γ + δi (γ + βδ)+(βγ δ)i γ 2 + δ 2 γ + βδ γ 2 + δ 2 βγ δ + γ 2 + δ 2 i γ + βδ γ 2 + δ 2 βγ δ + γ 2 + δ 2 i Ερωτηση 7. Ποιες είνι οι δυντές δυνάμεις του i ; Απντηση Εχουμε: i 1, i 1 i, i 2 1, i 3 i 2 i i κι γενικά ν ν 4ρ + υ, όπουρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της Ευκλείδεις διίρεσης του ν με το 4, τότε: 1, ν υ i ν i 4ρ+υ i 4ρ i υ (i 4 ) ρ i υ 1 ρ i υ i υ i, ν υ 1 1, ν υ 2 i, ν υ 3 Ερωτηση 8. Ν ποδείξετε ότι z 1 + z 2 z 1 + z 2 Απντηση z 1 + z 2 ( + βi)+(γ + δi) ( + γ)+(β + δ)i ( + γ) (β + δ)i ( βi)+(γ δi) z 1 + z 2 Ερωτηση 9. Ν λύσετε την εξίσωση z 2 +βz+γ,με, β, γ R, κι Δ < Απντηση Εργζόμστε όπως στην ντίστοιχη περίπτωση στο R κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώνων, στη μορφή: ( z + β ) 2 Δ 2 4 2 όπου Δβ 2 4γ η δικρίνουσ της εξίσωσης. Επειδή Δ 4 2 4 2 i 2 ( ( Δ) 2 ) (2) ι Δ 2,ηεξίσωσηγράφετι: ( ) 2 ( 2 2 z + β ) 2 2 i Δ 2. Άρ οι λύσεις της είνι: z1, 2 β±i Δ 2, οι οποίες είνι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί. ( 1)( Δ)
Smeiwseic Jewriac 3 Ερωτηση 1. Τι ονομάζετι μέτρο του μιγδικού z x + yi ; Απντηση Ορίζουμε ως μέτρο του z την πόστση του M πό την ρχή O, δηλδή τον ριθμό z OM x 2 + y 2 Ερωτηση 11. Ν ποδείξετε ότι z 1 z 2 z 1 z 2 Απντηση Εχουμε: z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 2 z 1 2 z 2 2 (z 1 z 2 )(z 1 z 2 )z 1 z 1 z 2 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 1 z 2 z 2 Ερωτηση 12. Εστω Α έν μη κενό υποσύνολο του R. Τι ονομάζετι πργμτική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A κι τι τιμή της f στο x A; Απντηση Μι διδικσί (κνόν) με την οποί κάθε στοιχείο x A ντιστοιχίζετι σε έν μόνο πργμτικό ριθμό y. Τοy ονομάζετι τιμή της f στο x κι συμβολίζετι με f(x). Ερωτηση 13. Τι ονομάζετι σύνολο τιμών μίς συνάρτησης f : A R ; Απντηση Το σύνολο f(a) {y y f(x) γι κάποιο x A} που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της f σε όλ τ x A. Ερωτηση 14. Τι ονομάζετι γρφική πράστση μίς συνάρτησης f : A R; Απντηση Το σύνολο C f των σημείων M(x, y) γι τ οποί ισχύει y f(x), δηλδή το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), x A. Ερωτηση 15. Πότε δύο συνρτήσεις λέγοντι ίσες; Απντηση Δύο συνρτήσεις f κι g λέγοντι ίσες ότν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού A κι γι κάθε x A ισχύει f(x) g(x). Ερωτηση 16. Αν f, g, είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τις συνρτήσεις f + g, f g, fg κι f g. Απντηση Ορίζουμε το άθροισμ f + g,διφοράf g,γινόμενοfg κι πηλίκο f g των f, g τις συνρτήσεις με τύπους ντιστοίχως τους (f + g)(x) f(x)+g(x), (f ( g)(x) ) f(x) g(x), (fg)(x) f(x)g(x), f g (x) f(x) g(x) Το πεδίο ορισμού των f + g, f g κι fg είνι η τομή A B τωνπεδίωνορισμού A κι B των συνρτήσεων f κι g ντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της f g είνι το A B, εξιρουμένων των τιμών του x που μηδενίζουν τον προνομστή g(x), δηλδή το σύνολο
Smeiwseic Jewriac 4 {x x A κι x B,μεg(x) } Ερωτηση 17. Αν f, g, είνι δύο συνρτήσεις ν ορίσετε τη σύνθεση g f της f με την g. Απντηση Είνι η συνάρτηση με τύπο (gof)(x) g(f(x)) κι πεδίο ορισμού το σύνολο που ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί x του πεδίου ορισμού της f γιτοποίτοf(x) νήκει στο πεδίο ορισμού της g. Δηλδή είνι το σύνολο A 1 {x A f(x) B} Ερωτηση 18. Εστω f μί συνάρτηση κι Δ έν διάστημ του πεδίου ορισμού της. Πότε η f ονομάζετι γνησίως ύξουσ, γνησίως φθίνουσ, ύξουσ, φθίνουσ στο Δ; Απντηση Η f λέγετι γνησίως ύξουσ στο Δ ότν γι οποιδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει f(x 1 ) <f(x 2 ) γνησίως φθίνουσ στο Δ, ότν γι οποιδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 <x 2 ισχύει f(x 1 ) >f(x 2 ) ύξουσ στο Δ, ότν γι οποιδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ) φθίνουσ στο Δ, ότν γι οποιδήποτε x 1,x 2 Δ με x 1 < x 2 ισχύει f(x 1 ) f(x 2 ) Ερωτηση 19. Πότε η συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο ή ελάχιστο στο σημείο x του πεδίου ορισμού της; Απντηση Μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο x A (ολικό) μέγιστο, το f(x ),ότνf(x) f(x ) γι κάθε x A Προυσιάζει στο x A (ολικό) ελάχιστο, το f(x ),ότνf(x) f(x ) γι κάθε x A Ερωτηση 2. Τι είνι τ ολικά κρόττ μίς συνάρτησης f; Απντηση Το (ολικό) μέγιστο κι το (ολικό) ελάχιστο της f (εφόσον υπάρχουν) λέγοντι (ολικά) κρόττ της f. Ερωτηση 21. Πότε μί συνάρτηση λέγετι 1-1; Απντηση Μι συνάρτηση f : A R λέγετι συνάρτηση 1 1, ότνγι οποιδήποτε x 1,x 2 A ισχύει η συνεπγωγή
Smeiwseic Jewriac 5 ν x 1 x 2, τότε f(x 1 ) f(x 2 ) Ερωτηση 22. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x + β,με είνι συνάρτηση 1 1. Απντηση Αν υποθέσουμε ότι f(x 1 )f(x 2 ),τότεέχουμεδιδοχικά: x 1 + β x 2 + β x 1 x 2 x 1 x 2 Ερωτηση 23. Πως ορίζετι η ντίστροφη μίς 1-1 συνάρτησης; Απντηση Εστω μι 1 1 συνάρτηση f : A R. Τότε γι κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών, f(a),τηςf υπάρχει μονδικό στοιχείο x του πεδίου ορισμού της A γι το οποίο ισχύει f(x) y κι επομένως ορίζετι μι συνάρτηση g : f(a) R με την οποί κάθε y f(a) ντιστοιχίζετι στο μονδικό x A γι το οποίο ισχύει f(x) y. Η g λέγετι ντίστροφη συνάρτηση της f κι συμβολίζετι με f 1. Ερωτηση 24. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε πολυώνυμο P (x) ν x ν + ν 1 x ν 1 + + 1 x + κι κάθε x R ισχύει lim P (x) P (x ). Απντηση Εφρμόζοντς τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: lim P (x) lim ( ν x ν + ν 1 x ν 1 + + ) lim ( ν x ν ) + lim ( ν 1 x ν 1 )+ + lim ν lim x ν + ν 1 lim x ν 1 + + lim ν x ν + ν 1x ν 1 + + P (x ) Ερωτηση 25. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ρητή συνάρτηση f(x) P (x) Q(x) P (x) κάθε x R με Q(x ) ισχύει lim Q(x) P (x) Q(x. ) Απντηση Εστω η ρητή συνάρτηση f(x) P (x) Q(x) P (x) του x κι x R με Q(x ).Τότε lim f(x) lim Q(x) κι,όπουp (x), Q(x) πολυώνυμ lim P (x) lim Q(x) P (x) Q(x ) Ερωτηση 26. Πότε μί συνάρτηση f θ είνι συνεχής σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της; Απντηση Οτν ισχύει lim f(x) f(x )
Smeiwseic Jewriac 6 Ερωτηση 27. Πότε μί συνάρτηση f δεν είνι συνεχής σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της; Απντηση Οτν: ) Δεν υπάρχει το όριό της στο x ή β) Υπάρχει το όριό της στο x, λλά είνι διφορετικό πό την τιμή της, f(x ), στο σημείο x. Ερωτηση 28. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν νοικτό διάστημ (,β); Απντηση Οτν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (, β) Ερωτηση 29. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f είνι συνεχής σε έν κλειστό διάστημ [,β]; Απντηση Οτν είνι συνεχής σε κάθε σημείο του (, β) κι επιπλέον lim f(x) f() κι lim f(x) f(β) x + x β Ερωτηση 3. Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Bolzano. Απντηση Εστω μι συνάρτηση f, ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, β]. Αν: η f είνι συνεχής στο [, β] κι, επιπλέον, ισχύει f() f(β) <, τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, x (, β) τέτοιο, ώστε f(x ) Δηλδή: Υπάρχει μι, τουλάχιστον, ρίζ της εξίσωσης f(x) στο νοικτό διάστημ (, β). Ερωτηση 31. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το θεώρημ ενδιάμεσων τιμών Απντηση Διτύπωση: Εστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό διάστημ [, β]. Αν: η f είνι συνεχής στο [, β] κι f() f(β) τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ των f() κι f(β) υπάρχει ένς, τουλάχιστον x (, β) τέτοιος, ώστε f(x )η
Smeiwseic Jewriac 7 Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι f() <f(β). Τότε θ ισχύει f() < η<f(β). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g(x) f(x) η, x [, β], πρτηρούμε ότι: η g είνι συνεχής στο [, β] κι g()g(β) <, φού g() f() η<κι g(β) f(β) η> Επομένως, σύμφων με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει x (, β) τέτοιο, ώστε g(x ) f(x ) η, οπότε f(x )η. Ερωτηση 32. Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέγιστης κι ελάχιστης τιμής. Απντηση Αν f είνι συνεχής συνάρτηση στο [, β], τότε η f πίρνει στο [, β] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή μ. Δηλδή, υπάρχουν x 1,x 2 [, β] τέτοι, ώστε, ν m f(x 1 ) κι M f(x 2 ),νισχύειm f(x) M,γικάθε x [, β]. Ερωτηση 33. Ποιο είνι το σύνολο τιμών μις συνεχούς, όχι στθερής, συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το [, β]; Απντηση Το κλειστό διάστημ [m,m], όπου m η ελάχιστη τιμή κι M η μέγιστητιμήτης. Ερωτηση 34. Ποιο είνι το σύνολο τιμών μίς γνησίως ύξουσς (ντιστοίχως φθίνουσς) κι συνεχούς συνάρτησης ορισμένης σε έν νοικτό διάστημ (, β) ; Απντηση Το διάστημ (A, B) (ντιστοίχως (B, A) )όπου A κι B lim x β f(x). Ερωτηση 35. Πως ορίζετι η εφπτομένη της C f στοσημείοτηςα; lim x + f(x) Απντηση Εστω f μι συνάρτηση κι A(x,f(x )) έν σημείο της C f. Αν f(x) f(x υπάρχει το lim ) x x κι είνι ένς πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεί ε: y f(x )λ(x x ) που διέρχετι πό το Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. Ερωτηση 36. Πότε ότι μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο x τουπεδίουορισμούτης;
Smeiwseic Jewriac 8 f(x) f(x Απντηση Αν υπάρχει το lim ) x x κι είνι πργμτικός ριθμός. Το όριο υτό ονομάζετι πράγωγος της f στο x κι συμβολίζετι με f (x ).Δηλδή: f f(x) f(x (x ) lim ). Ερωτηση 37. Τι ονομάζετι κλίση της C f στο A(x,f(x )) ήκλίσητηςf στο x ; Απντηση Ηκλίσηf (x ) της εφπτομένης ε στο A(x,f(x )). Ερωτηση 38. Ν ποδείξετε ότι ν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σ έν σημείο x, τότε είνι κι συνεχής στο σημείο υτό. Απντηση Γι x x έχουμε f(x) f(x ) f(x) f(x ) x x (x x ) οπότε [ ] f(x) f(x ) lim [f(x) f(x )] lim (x x ) x x f(x) f(x ) lim lim (x x )f (x ) x x φού η f είνι πργωγίσιμη στο x. Επομένως, lim f(x) f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο x. Ερωτηση 39. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x ν κι συνεχής στο x, δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό. Απντηση Εστω η συνάρτηση f(x) x. Η f είνι συνεχής στο x, x λλά δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό, φού lim x x 1,ενώ f(x) f() x lim x x lim x x 1. f(x) f() lim x + x Ερωτηση 4. Πότε λέμε γι μί συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν σύνολο Α λέμε ότι: 1. Η f είνι πργωγίσιμη στο Α; 2. Η f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, β) τουπεδίουορισμού της; 3. Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, β] τουπεδίουορισμού της;
Smeiwseic Jewriac 9 Απντηση 1. Η f είνι πργωγίσιμη στο Α ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο x A. 2. Η f είνι πργωγίσιμη σε έν νοικτό διάστημ (, β) τουπεδίουορισμού της, ότν είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο x (, β). 3. Η f είνι πργωγίσιμη σε έν κλειστό διάστημ [, β] τουπεδίουορισμού f(x) f() της, ότν είνι πργωγίσιμη στο (, β) κι επιπλέον ισχύει lim x + x f(x) f(β) R κι lim x β x β R. Ερωτηση 41. Τι ονομάζετι πράγωγος μις συνάρτησης f με πεδίο ορισμού A; Απντηση Εστω A 1 το σύνολο των σημείων του A στ οποί υτή είνι πργωγίσιμη. Αντιστοιχίζοντς κάθε x A 1 στο f (x), ορίζουμε τη συνάρτηση f : A 1 R, x f (x), η οποί ονομάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f. Ερωτηση 42. Ν ποδείξετε ότι η στθερή συνάρτηση f(x) c, c R είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x). Απντηση Αν x είνι έν σημείο του R, τότεγιx x ισχύει: f(x) f(x) c c f(x) f(x.επομένως lim ), δηλδή (c). Ερωτηση 43. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) 1. Απντηση Αν x είνι έν σημείο του R, τότεγιx x ισχύει: f(x) f(x) f(x) f(x 1.Επομένωςlim ) lim 11, δηλδή (x) 1. Ερωτηση 44. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x ν είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) νx ν 1. Απντηση Αν x είνι έν σημείο του R, τότεγιx x ισχύει: f(x) f(x ) x x xν x ν x x οπότε (x x )(x ν 1 + x ν 2 x + + x ν 1 ) x ν 1 +x ν 2 x + +x ν 1 x x f(x) f(x ) lim lim (x ν 1 +x ν 2 x + +x ν 1 x x x x )x ν 1 +x ν 1 + +x ν 1 νx ν 1 δηλδή (x ν ) νx ν 1.
Smeiwseic Jewriac 1 Ερωτηση 45. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f (x) 1 2. Ακόμη ν ποδείξετε ότι ν κι συνεχής x στο δεν είνι πργωγίσιμη σ υτό. Απντηση Αν x είνι έν σημείο του (, + ),τότεγιx x ισχύει: ( )( ) f(x) f(x ) x x x x x + x x x x x (x x ) ( x + ) x f(x) f(x οπότε lim ) lim f(x) f() Τέλος lim x x lim x πργωγίζετι στο. x x (x x ) ( x + x ) 1 x+ x 1 x x lim x 1 x + x 2 x, δηλδή ( x) 1 2 x. 1 x + κι επομένως η συνάρτηση δεν Ερωτηση 46. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) ημx είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) συνx. Απντηση Γι κάθε x R κι ισχύει f(x + ) f(x) ημ(x + ) ημx ημx (συν 1) ημx συν + συνx ημ ημx + συνx ημ ημ συν 1 f(x+) f(x) Επειδή lim 1κι lim,έχουμεlim ημx + συνx 1συνx. Δηλδή, (ημx) συνx. Ερωτηση 47. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) συνx είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) ημx. Απντηση Γι κάθε x R κι ισχύει: f(x + ) f(x) συν(x + ) συνx συνx συν 1 f(x+) f(x) ( οπότε lim lim συνx συν 1 ημx 1 ημx. Δηλδή, (συνx) ημx. συνx συν ημx ημ συνx ημx ημ ) ( lim ημx ημ ) συνx Ερωτηση 48. Ν ποδείξετε ότι ν οι συνρτήσεις f,g είνι πργωγίσιμες στο x, τότε η συνάρτηση f + g είνι πργωγίσιμη στο x κι ισχύει: (f + g) (x ) f (x )+g (x )
Smeiwseic Jewriac 11 Απντηση Γι x x,ισχύει: (f + g)(x) (f + g)(x ) x x f(x)+g(x) f(x ) g(x ) x x f(x) f(x ) x x + g(x) g(x ) x x Επειδή οι συνρτήσεις f,g είνι πργωγίσιμες στο x,έχουμε: (f + g)(x) (f + g)(x ) lim lim x x δηλδή (f + g) (x )f (x )+g (x ). f(x) f(x ) x x + lim g(x) g(x ) x x f (x )+g (x ) Ερωτηση 49. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x ν, ν N πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) νx ν 1. είνι Απντηση Γι κάθε ν N έχουμε: (x ν ) ( ) 1 x ν (1) x ν 1(x ν ) νx ν 1 νx ν 1 x 2ν (x ν ) 2 Ερωτηση 5. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) εφx είνι πργωγίσιμη στο R 1 R {x συνx } κι ισχύει f (x) 1 συν 2 x. Απντηση Γι κάθε x R 1 έχουμε: (εφx) ( ημx ) (ημx) συνx ημx(συνx) συνx συν 2 x συνxσυνx + ημxημx συν 2 x συν2 x + ημ 2 x συν 2 x 1 συν 2 x Ερωτηση 51. Ν ποδείξετε ότι συνάρτηση f(x) x, R Z είνι πργωγίσιμη στο (, + ) κι ισχύει f (x) x 1. Απντηση Αν y x e ln x κι θέσουμε u ln x, τότεέχουμεy e u. Επομένως, y (e u ) e u u e ln x 1 x x x x 1. Ερωτηση 52. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) x, > είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει f (x) x ln. Απντηση Ανy x e x ln κι θέσουμε u x ln,τότεέχουμεy e u. Επομένως y (e u ) e u u e x ln ln x ln Ερωτηση 53. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) ln x, x R είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει (ln x ) 1 x.
Smeiwseic Jewriac 12 Απντηση Πράγμτι. η ν x>,τότε(ln x ) (lnx) 1 x,ενώην x<,τότεln x ln( x),οπότε,νθέσουμεy ln( x) κι u x,έχουμε y lnu.επομένως,y (lnu) 1 u u 1 x ( 1) 1 x κι άρ (ln x ) 1 x. Ερωτηση 54. Τι ονομάζετι ρυθμός μετβολής του y f(x) ως προς x ; Απντηση Ρυθμός μετβολής του y ως προς το x στο σημείο x είνι η πράγωγος f (x ). Ερωτηση 55. Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Rolle κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του. Απντηση Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [, β] πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, β) κι f() f(β) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, β) τέτοιο, ώστε ηεφπτομένητηςc f στο M(ξ,f(ξ)) ν είνι πράλληλη στον άξον των x. Ερωτηση 56. Ν διτυπώσετε το θεώρημ μέσης τιμής διφορικού λογισμού κι ν δώσετε την γεωμετρική ερμηνεί του. Απντηση Αν μι συνάρτηση f είνι: συνεχής στο κλειστό διάστημ [, β] κι πργωγίσιμη στο νοικτό διάστημ (, β) τότε υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) f(β) f() β. Γεωμετρικά, υτό σημίνει ότι υπάρχει έν, τουλάχιστον, ξ (, β) τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο M(ξ,f(ξ)) ν είνι πράλληλη της ευθείς ΑΒ. Ερωτηση 57. Ν ποδείξετε ότι ν f είνι μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ κι η f είνι συνεχής στο Δ κι f (x) γι κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είνι στθερή σε όλο το διάστημ Δ.
Smeiwseic Jewriac 13 Απντηση Αρκεί ν ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε x 1,x 2 f(x 1 )f(x 2 ).Πράγμτι Δ ισχύει Αν x 1 x 2, τότε προφνώς f(x 1 )f(x 2 ). Αν x 1 <x 2,τότεστοδιάστημ[x 1,x 2 ] η f ικνοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ (x 1,x 2 ) τέτοιο, ώστε f (ξ) f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (1) Επειδή το ξ είνι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f (ξ),οπότε,λόγω της (1), είνι f(x 1 )f(x 2 ). Αν x 2 <x 1, τότε ομοίως ποδεικνύετι ότι f(x 1 )f(x 2 ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είνι f(x 1 )f(x 2 ). Ερωτηση 58. Ν ποδείξετε ότι ν δυο συνρτήσεις f, g ορισμένες σε έν διάστημ Δ κι οι f,g είνι συνεχείς στο Δ κι f (x) g (x) γι κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε x Δ ν ισχύει: f(x) g(x)+c Απντηση Η συνάρτηση f g είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο x Δ ισχύει (f g) (x) f (x) g (x). Επομένως, σύμφων με το πρπάνω θεώρημ, η συνάρτηση f g είνι στθερή στο Δ. Άρ, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε x Δ ν ισχύει f(x) g(x) c,οπότεf(x) g(x)+c. Ερωτηση 59. Εστω μι συνάρτηση f, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστημ Δ. Ν ποδείξετε ότι Αν f (x) > σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είνι γνησίως ύξουσ σε όλο το Δ. Αν f (x) < σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ σε όλο το Δ. Απντηση Αποδεικνύουμε το θεώρημ στην περίπτωση που είνι f (x) >. Εστω x 1,x 2 Δ με x 1 <x 2. Θ δείξουμε ότι f(x 1 ) <f(x 2 ). Πράγμτι, στο διάστημ [x 1,x 2 ] η f ικνοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει ξ (x 1,x 2 ) τέτοιο, ώστε f (ξ) f(x2) f(x1) x 2 x 1 οπότε έχουμε f(x 2 ) f(x 1 )f (ξ)(x 2 x 1 ). Ε πειδή f (ξ) > κι x 2 x 1 >, έχουμε f(x 2 ) f(x 1 ) >,οπότεf(x 1 ) <f(x 2 ). Στην περίπτωση που είνι f (x) < εργζόμστε νλόγως.
Smeiwseic Jewriac 14 Ερωτηση 6. Πως ορίζετι η θέση τοπικού μεγίστου κι τοπικού ελχίστου μίς συνάρτησης f; Απντηση Μι συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο x A τοπικό μέγιστο (ντιστοίχως: τοπικό ελάχιστο), ότν υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε f(x) f(x ) (ντιστοίχως f(x) f(x ) ) γι κάθε x A (x δ, x + δ). Το x λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ε- νώ το f(x ) τοπικό μέγιστο (ντιστοίχως τοπικό ελάχιστο), της f. Ερωτηση 61. Ν ποδείξετε το θεώρημ του Fermat: Εστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ έν διάστημ Δ κι x έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο x κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f (x ). Απντηση Ας υποθέσουμε ότι η f προυσιάζει στο x τοπικό μέγιστο. Επειδή το x είνι εσωτερικό σημείο του Δ κι η f προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ> τέτοιο, ώστε (x δ, x + δ) Δ κι f(x) f(x ),γικάθεx (x δ, x + δ) (1) Επειδή, επιπλέον, η f είνι πργωγίσιμη στο x,ισχύει Επομένως, f (x ) lim x x f(x) f(x ) x x lim x x + f(x) f(x ) x x ν x (x δ, x ), τότε, λόγω της (1), θ είνι f(x) f(x),οπότεθ έχουμε f (x ) lim x x f(x) f(x ) (2) ν x (x,x + δ), τότε, λόγω της (1), θ είνι f(x) f(x),οπότεθ έχουμε f (x ) lim x x + f(x) f(x ) (3) Ετσι, πό τις (2) κι (3) έχουμε f (x ). Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είνι νάλογη. Ερωτηση 62. Πότε μί συνάρτηση f θ λέγετι κυρτή (ντιστοίχως κοίλη) σε έν διάστημ Δ ; Απντηση Αν είνι συνεχής στο Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ κι η f είνι γνησίως ύξουσ (ντιστοίχως: γνησίως φθίνουσ ) στο εσωτερικό του Δ.
Smeiwseic Jewriac 15 Ερωτηση 63. Εστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (, β), με εξίρεση ίσως έν σημείο του x.πότετοσημείοa(x,f(x )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; Απντηση Το σημείο A(x,f(x )) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f ν ισχύει: η f είνι κυρτή στο (, x ) κι κοίλη στο (x,β), ήντιστρόφως,κι η C f έχει εφπτομένη στο σημείο A(x,f(x )). Ερωτηση 64. Πότε η ευθεί x x λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f; Απντηση Αν έν τουλάχιστον πό τ όρι lim f(x), x x + lim f(x) είνι + ή x x,τότεηευθείx x λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f. Ερωτηση 65. Πότε η ευθεί y l λέγετι οριζόντι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο ); Απντηση Αν ισχύει lim f(x) l (ντιστοίχως lim f(x) l) ) x + x Ερωτηση 66. Πότε η ευθεί y λx + β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο + (ντιστοίχως στο ); Απντηση Αν ισχύει (λx + β)] ) lim [f(x) (λx+β)],(ντιστοίχως lim x + [f(x) x Ερωτηση 67. Αν ευθεί y λx+β είνι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της f στο +, ντιστοίχως στο ποιεςσχέσειςμςδίνουντλ, β; lim x + lim x Απντηση f(x) x λ κι lim x + f(x) x λ κι lim x [f(x) λx] β ντιστοίχως [f(x) λx] β Ερωτηση 68. Ν διτυπώσετε τους κνόνες του de l Hospital. Απντηση Μορφή Αν lim f(x), lim g(x), x R {, + } κι υπάρχει f το lim (x) g (x) (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: lim f(x) g(x) lim f (x) g (x). Μορφή + + Αν lim f(x) +, lim g(x) +, x R {, + } f κι υπάρχει το lim (x) g (x) (πεπερσμένο ή άπειρο), τότε: lim f(x) g(x) lim f (x) g (x).
Smeiwseic Jewriac 16 Ερωτηση 69. Εστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Τι ονομάζετι πράγουσ της f στο Δ ; Απντηση Ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F (x) f(x),γικάθεx Δ. Ερωτηση 7. Εστω f μισυνάρτησηορισμένησεένδιάστημδ.νποδείξετε ότι ν F είνι μι πράγουσ της f στο Δ, τότε όλες οι συνρτήσεις της μορφής G(x) F (x)+c, c R είνι πράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή G(x) F (x)+c, c R Απντηση Κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) F (x) +c, όπουc R, είνιμι πράγουσ της f στο Δ φού G (x) (F (x) +c) F (x) f(x) γι κάθε x Δ. Εστω G είνι μι άλλη πράγουσ της f στο Δ. Τότε γι κάθε x Δ ισχύουν F (x) f(x) κι G (x) f(x), οπότεg (x) F (x), γικάθε x Δ. Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G(x) F (x) +c, γικάθε x Δ. Ερωτηση 71. Τι ονομάζετι όριστο ολοκλήρωμ της f στο Δ; Απντηση Ονομάζετι το σύνολο όλων των πργουσών της συνάρτησης f στο διάστημ Δ κι συμβολίζετι f(x)dx. Ερωτηση 72. Εστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, β] κι G μι πράγουσ της f στο [, β].νποδείξετεότι: β f(t)dt G(β) G() Απντηση Η συνάρτηση F (x) x f(t)dt είνι μι πράγουσ της f στο [, β]. Ε πειδή κι η G είνι μι πράγουσ της f στο [, β], θυπάρχειc R τέτοιο, ώστε G(x) F (x)+c (1) Από την (1), γι x, έχουμε G() F ()+c f(t)dt + c c οπότε c G(). Ε πομένως, G(x) F (x) +G(), οπότε,γιx β, έχουμε G(β) F (β)+g() β f(t)dt + G() κι άρ β f(t)dt G(β) G()
Smeiwseic Jewriac 17 Ερωτηση 73. Εστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, β] με f(x) g(x) γι κάθε x [, β] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες x κι x β. Ν ποδείξετε ότι γι το εμβδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει E(Ω) β (f(x) g(x))dx. Απντηση Πρτηρούμε ότι E(Ω) E(Ω 1 ) E(Ω 2 ) β f(x)dx Επομένως: E(Ω) β (f(x) g(x))dx β g(x)dx β (f(x) g(x))dx Ερωτηση 74. Εστω δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, β] με f (x) g (x) γι κάθε x [, β] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των f,g κι τις ευθείες x κι x β. Νποδείξετεότιγιτο εμβδόν Ε(Ω) του Ω ισχύει E(Ω) β (f(x) g(x))dx. Απντηση Πράγμτι, επειδή οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, β], θ υπάρχει ριθμός c R τέτοιος ώστε f(x) +c g(x) +c, γικάθεx [, β]. Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (Σχ. ) έχει το ίδιο εμβδόν με το χωρίο Ω (Σχ. β). Επομένως, έχουμε: E(Ω) E(Ω ) β [(f(x)+c) (g(x)+c)]dx β (f(x) g(x))dx. ΆρE(Ω) β ((x) g(x))dx.
Smeiwseic Jewriac 18 Mèroc II Qr simec Prot seic Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν οι (3),(13), (21) Προτση 1. Ενς μιγδικός είνι πργμτικός ν κι μόνο ν είνι ίσος με τον συζυγή του. Αποδειξη: Αν z + βi,,β R τότε z z 2βi κι επομένως z R β z z z z Προτση 2. Αν μί συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε έν νοικτό διάστημ (σ 1,σ 2 ) έχει την ιδιότητ lim f (x), lim f (x) + τότε το σύνολο x σ 1 x σ 2 τιμών της είνι το R. Αποδειξη: Αρκεί ν δείξουμε ότι κάθε πργμτικός ριθμός y είνι τιμή της f. Αφού lim f (x) η f θ πίρνει κι τιμές μικρότερες του y δηλδή θ x σ 1 υπάρχει x 1 (σ 1,σ 2 ) ώστε f (x 1 ) <y. Αφού lim f (x) + η f θ πίρνει x σ 2 κι τιμές μεγλύτερες του y δηλδή θ υπάρχει x 2 (σ 1,σ 2 ) ώστε y<f(x 2 ). Προφνώς x 1 x 2 κι πό το θεώρημ ενδιμέσων τιμών θ υπάρχει x στο διάστημ με άκρ τ x 1,x 2 τέτοιο ώστε f (x) y. Επομένωςοyείνι τιμή της f. Προτση 3. Γι κάθε x> είνι κι το ισχύει μόνο γι x 1. ln x x 1 Αποδειξη: Εφρμογή του σχολικού βιβλίου. Προτση 4. Γι κάθε x είνι κι το ισχύει μόνο γι x. e x x +1 Αποδειξη: Γι όλους τους θετικούς ριθμούς x ισχύει ln x x 1 κι το ισχύει μόνο γι x 1. Ε πομένως κι γι τον θετικό e x ισχύει ln e x e x 1 κι το το ισχύει μόνο γι e x 1δηλδή x. Ε πομένως x e x 1 κι το ισχύει μόνο γι x.άρe x x +1κι το ισχύει μόνο γι x.
Smeiwseic Jewriac 19 Προτση 5. Αν οι συνρτήσεις f,g είνι ορισμένες στο διάστημ Δ κι ισχύει g (x) <mγι όλ τ x Δ κι lim f (x) τότε lim f (x) g (x). x σ x σ Αποδειξη: Είνι: f (x) g (x) f (x) g (x) f (x) m Άρ γι όλ τ x ισχύει f (x) g (x) f (x) m κι επομένως f (x) m f (x) g (x) f (x) m Αλλά φού lim f (x) είνι κι lim f (x) επομένως x σ x σ lim m f (x) lim ( m f (x) ) (1) x σ x σ Από την (1) κι το κριτήριο της πρεμβολής συνάγουμε ότι lim f (x) g (x) x σ Προτση 6. Η συνάρτηση x έχει γι x πράγωγο x x x x ενώ στο δεν πργωγίζετι. Αποδειξη: Το ότι δεν πργωγίζετι στο είνι γνωστό. Επίσης γι x> είνι ( x ) (x) 1 x x x x. Ακόμη γι x< είνι ( x ) ( x) 1 x x x x. Άρ γι x είνι ( x ) x x x κι προφνώς ισχύει x x x διότι x 2 x 2. Προτση 7. Αν f :[, β] R συνεχής κι f () f (β) τότε η f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο [, β]. Αποδειξη: Αφού ισχύει f () f (β) ή θ είνι f () f (β) < είτε f () f (β). Αν f () f (β) < τότε πό το θεώρημ του Bolzano η f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, β) κι επομένως στο [, β]. Αν f () f (β) τότε ή f () είτε f (β). Άρ η f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο {, β} κι επομένως στο [, β] Σε κάθε περίπτωση η f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο [, β]. Προτση 8. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ τότε τ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων της f κι της ντίστροφής της f 1, εφ όσον υπάρχουν, νήκουν στην ευθεί y x. Αποδειξη: Εστω M (, β) έν σημείο που νήκει κι στην C f κι C f 1. Θ ισχύει f () β κι f (β). Θ δείξουμε ότι το M νήκει κι στην y x δηλδή ότι β. Αν είνι β τότε ή θ είνι <βείτε β<. Στην πρώτη περίπτωση θ έχουμε f () <f(β) δηλδή β<(άτοπο). Στη δεύτερη περίπτωση έχουμε ότι f (β) <f() δηλδή <β(άτοπο). Άρ ποκλείετι ν είνι β κι πομένει ότι β.
Smeiwseic Jewriac 2 Προτση 9. Εστω f :[, ] R συνεχής. 1. Αν η f είνι άρτι τότε f (x) dx 2 f (x) dx 2. Αν η f είνι περιττή τότε f (x) dx Αποδειξη: Είνι f (x) dx f (x) dx + f (x) dx u x f ( u) du + f (x) dx f ( x) dx + f (x) dx Οτν η f είνι άρτι τότε τότε f ( x) f (x) κι f ( x) dx + f (x) dx f (x) dx + f (x) dx 2 f (x) dx. Οτν η f είνι περιττή τότε f ( x) f (x) κι f ( x) dx + f (x) dx f (x) dx + f (x) dx Προτση 1. Η συνάρτηση x ln x x είνι μί πράγουσ της ln x. Αποδειξη: Προφνώς ισχύει (x ln x x) (x ln x) (x) (x) ln x + x (ln x) (x) lnx + x 1 x 1lnx Προτση 11. (εϕx) 1+εϕ 2 x Αποδειξη: Είνι (εϕx) 1 συν 2 x κι πό γνωστή σχέση της τριγωνομετρίς 1 είνι συν 2 x 1+εϕ2 x. Προτση 12. Με z C ισχύει z 2 z 2 ν κι μόνο ν z R. Αποδειξη: Εστω z + βi. Ε ίνι z 2 z 2 2 + β 2 ( + βi) 2 2 + β 2 2 β 2 +2βi ( 2 + β 2 2 β 2 κι 2β ) (2β 2 κι β ) β z R Προτση 13. Εστω ότι ισχύει f (x) g (x) κοντά στο σ. Ισχύουν τ επόμεν: lim f (x) + lim g (x) + x σ x σ lim g (x) lim f (x) x σ x σ Αιτιολογηση: Πρόκειτι γι άμεση συνέπει του ορισμού του ορίου. Ισχύει κτ νλογί με τις ιδιότητες των πεπερσμένων ορίων 1 Προτση 14. Αν γι τις συνρτήσεις f, g που είνι ορισμένες κι συνεχείς στο διάστημ [, β] ισχύει f (x) g (x) γι όλ τ x κι f g τότε β f (x) dx > g (x) dx. β Αποδειξη: Γι την συνάρτηση f g ισχύει (x) γι όλ τ x κι.επομένως β (x) dx > πό την οποί έχουμε β (f (x) g (x)) dx > άρ κι β f (x) dx β g (x) dx > πό την οποί προκύπτει ότι β f (x) dx > g (x) dx. β 1 Bl. sqolikì biblðo arq tc selðdac 184
Smeiwseic Jewriac 21 Προτση 15. Αν μί συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ τότε μετξύ δύο οποιωνδήποτε διφορετικών ριζών της f βρίσκετι μί τουλάχιστον ρίζ της πργώγου της f. Αποδειξη: Εστω ρ 1 <ρ 2 δύο ρίζες της f στο Δ. Η f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ [ρ 1,ρ 2 ] κι ισχύει f (ρ 1 )f (ρ 2 ). Ικνοποιούντι επομένως οι προϋποθέσεις του θεωρήμτος του Rolle άρ θ υπάρχει ξ με ρ 1 <ξ<ρ 2 τέτοιο ώστε f (ξ). Προτση 16. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ κι f (x 1 ) <f(x 2 ) τότε είνι x 1 <x 2. Αποδειξη: Γι τους x 1,x 2 υπάρχουν τ ενδεχόμεν: x 1 x 2, x 1 > x 2 κι x 1 <x 2. Το πρώτο μς οδηγεί στο άτοπο συμπέρσμ f (x 1 )f (x 2 ). Το δεύτερο, σε συνδυσμό με το ότι η f είνι γνησίως ύξουσ μς οδηγεί στο επίσης άτοπο συμπέρσμ f (x 1 ) >f(x 2 ). Άρ νγκστικά θ ισχύει x 1 <x 2. Προτση 17. Μί γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μί ρίζ. Αποδειξη: Εστω f μί γνησίως μονότονη συνάρτηση. Τότε η f είνι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ κι σε κάθε περίπτωση είνι 1-1. Αν ρ 1,ρ 2 είνι ρίζες της f τότε f (ρ 1 )f (ρ 2 )κι πό την σχέση f (ρ 1 )f (ρ 2 ) συνάγουμε ότι ρ 1 ρ 2.Επομένωςηf έχει το πολύ μί ρίζ. Προτση 18. Αν η f είνι γνησίως ύξουσ τότε κι η f 1 είνι γνησίως ύξουσ. Αποδειξη: Εστω y 1,y 2 D f 1 τέτοι ώστε y 1 < y 2. Θ δείξουμε ότι f 1 (y 1 ) < f 1 (y 2 ). Θ υπάρχουν x 1,x 2 D f έτοι ώστε f (x 1 ) y 1 κι f (x 2 )y 2 θ είνι δε f 1 (y 1 )x 1 κι f 1 (y 2 )x 2. Ξέρουμε ότι f (x 1 ) < f (x 2 ) κι θέλουμε x 1 <x 2. Η πόδειξη συμπληρώνετι επιχειρημτολογώντς όπως κριβώς στην πρότση (16.). Προτση 19. Αν z ρ τότε z ρ2 z. Αποδειξη: Αφού z είνι κι z. Εχουμε τώρ: z ρ z 2 ρ 2 z z ρ 2 z ρ2 z. Προτση 2. Αν z C με z/ R τότε z 3 1 z 2 + z +1 z 1 2 ± i 3 2 Αποδειξη: z 3 1 z 3 1 z 3 1 3 (z 1) ( z 2 + z +1 ) z/ R z 2 + z +1 (EΠIΛYOYME) z 1 2 ± i 3 2 Προτση 21. Οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f : R R με την ιδιότητ f f είνι κριβώς εκείνες της μορφής f (x) ce x όπου c R στθερά. Αποδειξη: Εφρμογή του σχολικού βιβλίου.
Smeiwseic Jewriac 22 Προτση 22. Αν lim f (x) τότε lim f (x). x σ x σ Αποδειξη: Από την νισότητ A A A έχουμε ότι γι κάθε x ισχύει f (x) f (x) f (x) Είνι lim f (x) lim ( f (x) ) κι πό το κριτήριο της πρεμβολής έχουμε x σ x σ ότι lim f (x). x σ Προτση 23. Αν γι μί πργωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει f (x) γι κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ τότε η f είνι ύξουσ στο Δ Αποδειξη: Είνι όμοι με την νάλογη πόδειξη του σχολικού βιβλίου γι την περίπτωση όπου η πράγωγος είνι θετική. Το μόνο που λλάζει είνι η τελευτί γρμμή: «Επειδή f (ξ) κι x 2 x 1 >, έχουμεf (x 2 ) f (x 1 ) οπότε f (x 1 ) f (x 2 )» Προτση 24. Μί γνησίως μονότονη συνάρτηση f ορισμένη σε έν νοικτό διάστημ Δ δεν έχει κρόττ. Αποδειξη: Ας υποθέσουμε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ (η περίπτωση ό- που η f είνι γνησίως φθίνουσ ντιμετωπίζετι νλόγως). Αν πάρουμε έν οποιοδήποτε σημείο x Δ. Γι κάθε δ > το σύνολο Δ (x δ, x + δ) περιέχει έν τουλάχιστον x 1 < x κι έν τουλάχιστον x 2 > x. Λόγω της μονοτονίς θ είνι f (x 1 ) < f (x ) < f (x 2 ). Άρ δεν υπάρχει δ > ώστε γι όλ τ x Δ (x δ, x + δ) ν ισχύει f (x) f (x ) είτε γι όλ τ x Δ (x δ, x + δ) ν ισχύει f (x) f (x ). Άρ κνέν x δε μπορεί ν είνι θέση τοπικού κροτάτου.