ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați numărul elementelor mulțimii A. b) Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor: p : ( x)( y)p(x, y), x, y N; p 2 : ( x)( y)p(x, y), x, y N și p 3 : ( x)( y)p(x, y), x, y N. 2. a) Fie a, b, c (0, ) astfel încât a+b+c = 992. Demonstrați că: 2a+4+ 2b+5+ 2c+6 206. b) Să se demonstreze că, dacă x i (, + ), i =, n, atunci are loc inegalitatea: (x +) (x 2 +)... (x n +) +x x 2... x n 2 n, n N. 3. Demonstrați că punctele A, B, C sunt coliniare dacă și numai dacă există numerele a, b, c nu toate nule, astfel încât a+b+c = 0 și a PA+b #» PB #» +c PC #» = #» 0, unde P este un punct oarecare în plan. 4. a) Fie triunghiul ABC și punctul M astfel încât AB #» = 3 AM. #» Determinați numerele reale a, b pentru care CM #» = a CA+b #» CB. #» b) Fie punctele M, N, P pe laturile [AB], [BC], [AC] ale triunghiului ABC astfel încât AM MB = BN NC = CP PA = k. Demonstrați că triunghiurile ABC și MNP au același centru de greutate.
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil uman. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați numărul elementelor mulțimii A. b) Determinați valoarea de adevăr a propozițiilor: p : ( x)( y)p(x, y), x, y N; p 2 : ( x)( y)p(x, y), x, y N și p 3 : ( x)( y)p(x, y), x, y N. 2. a) Fie a, b, c (0, ) astfel încât a+b+c = 992. Demonstrați că: 2a+4+ 2b+5+ 2c+6 206. b) Să se demonstreze că, dacă x i (, + ), i =, n, atunci are loc inegalitatea: (x +) (x 2 +)... (x n +) +x x 2... x n 2 n, n N. 3. Fie triunghiul ABC în care punctele M, N, respectiv P sunt mijloacele laturilor [AB], [BC], respectiv [AC] și punctul H ortocentrul triunghiului M N P. Arătați că HA = HB = HC. 4. În reperul cartezian (O, #» ı, #» j) se consideră punctele A(2, 3), B( 3, ) și C(4, ). Să se determine: a) Coordonatele punctului D Ox astfel încât vectorii AB #» și CD #» să fie coliniari. b) Coordonatele punctului E pentru care vectorii BE #» și AC #» sunt coliniari și mijlocul segmentului [BE] este situat pe axa Oy. 2
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a X-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii k k +. a) Arătați că k k ++(k +) k = k k +, k N. n b) Calculați suma S n = k k ++(k +) k și arătați că S n <, n N. k= 2. a) Fie a, b, c (0, + ). Demonstrați că, dacă lga+lgb 2 b) Fie a, b, c (0, ). Demonstrați că: log a 3abc ab+ac+bc +log b 3abc ab+ac+bc +log c 3. a) Calculați z5 27 27 z știind că z este soluție a ecuației z2 +3z +9 = 0. = lg a+b 3, atunci a 2 +b 2 = ab. 3abc ab+ac+bc 3. b) Demonstrați că, dacă z C\R astfel încât z2 +z + z 2 R, atunci z =. z + 4. Cantitatea de medicament, în miligrame, din circuitul sanguin al unui pacient după t minute de la momentul administrării acestuia este dată de valorile funcției f : R R, f(t) = 200 e 0,04t, unde e este numărul lui Euler. Arătați că, după 6 ore și 40 de minute, cantitatea de medicament din sângele pacientului este mai mică decât 2 6 mg. 3
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a X-a profil uman. a) Să se determine n N astfel încât b) Arătați că x = 3 9+4 5+ 3 9 4 5 Z. + 2 + + 2+ 3 2. a) Fie a, b, c (0, + ). Demonstrați că, dacă lga+lgb 2 b) Demonstrați că expresia E = 3+ 4 + + n + n = 206. = lg a+b 3, atunci a 2 +b 2 = ab. log 2 +log 2 2+ +log 2 x + log 3 +log 3 2+ +log 3 x + + log x +log x 2+ +log x x este independentă de numărul natural x 2. 3. a) Calculați z5 27 27 z știind că z este soluție a ecuației z2 +3z +9 = 0. b) Simplificați în mulțimea numerelor complexe expresia E(x) = x 2 +9 x 2 4ix 3. 4. Cantitatea de medicament, în miligrame, din circuitul sanguin al unui pacient după t minute de la momentul administrării acestuia este dată de valorile funcției f : R R, f(t) = 200 e 0,04t, unde e este numărul lui Euler. Arătați că, după 6 ore și 40 de minute, cantitatea de medicament din sângele pacientului este mai mică decât 2 6 mg. 4
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a XI-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră punctele A n (+n, n 2 ), n N. a) Arătați că pentru orice p, q, r N distincte două câte două, punctele A p, A q, A r nu sunt coliniare. b) Demonstrați că aria triunghiului A n A n+ A n+2 este constantă. ( ) 2 2. Fie matricea A = M 2 (R). 0 3 a) Calculați (A A T ) 206. b) Rezolvați ecuația X 3 = A, X M 2 (R). 3. Calculați limitele: arctan( x 2 ) a) l = lim x x 2 5x+6 ; b) l 2 = lim x x + 2 3 x + 3 3 x + + n 3 x, n N. x 4. a) Demonstrați că ecuația x + + cos x = 0 are cel puțin o soluție în intervalul I = ( π 2, 0 ). b) Se consideră funcțiile continue f, g : [a, b] [a, b] astfel încât g(a) = a și g(b) = b. Demonstrați că ecuația f(x) = g(x) are cel puțin o soluție reală. 5
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a XI-a profil uman. În tabelul următor sunt grupate datele privind mediile de admitere în clasa a IX-a: Media 5,00-5,99 6,00-6,99 7,00-7,99 8,00-8,99 9,00-9,99 0 Nr. elevi 35 38 4 3 2 a) Precizați efectivul populației statistice, caracteristica și tipul ei. b) Completați tabelul seriei statistice cu frecvențele relative și frecvențele relative cumulate. c) Precizați numărul elevilor cu medii mai mici decât 7 și numărul elevilor cu medii mai mari decât 8. Exprimați aceste rezultate în procente. 2. În urma unui sondaj efectuat pe un eșantion de 500 de persoane asupra timpului petrecut pe o rețea de socializare s-au consemnat următoarele date: Timp (minute) 0-30 30-60 60-90 90-20 20-80 peste 80 Nr. persoane 45 70 90 80 70 45 a) Completați tabelul seriei statistice cu frecvențele relative și frecvențele relative cumulate b) Care este timpul mediu petrecut pe rețea de persoană? c) Să se determine mediana. 3. Temperatura aerului, măsurată în grade Celsius, într-o zi de vară este consemnată în tabelul următor: Ora 4 8 0 4 6 9 20 22 Temperatura 20 5 8 24 28 30 27 25 20 a) Reprezentați histograma și diagrama prin benzi. b) Determinați modulul seriei statistice, mediana, media aritmetică, valoarea medie, dispersia și abaterea medie pătratică a valorilor caracteristice. 4. S-au amestecat 3 kg de cafea cu prețul 24 lei/kg cu 5 kg de cafea cu prețul 8 lei/kg și cu 8 kg de cafea cu prețul de 2 lei/kg. Care va fi prețul mediu de vânzare al unui kilogram de amestec? 6
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a XII-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Pe mulțimea G = (, + ) se definește legea de compoziție x y = x 2 y 2 x 2 y 2 +2, x, y G. a) Arătați că (G, ) este grup abelian. b) Determinați m, n R astfel încât f : R + G, f(x) = mx+n să fie izomorfism de la grupul (R +, ) la grupul (G, ). c) Să se determine x x... x }{{}. n ori ( ) 2 2 2. Fie matricea A = și mulțimea G = {X(a) = I 2 +aa a R\{ }}. a) Demonstrați că G este parte stabilă în raport cu înmulțirea matricelor. b) Determinați t R astfel încât X() X(2)... X(206) = X(t ). 3. Calculați primitiva ( ) dx, x (0, ), n N, n 2. x +x x 3 x 4 x... n x 4. a) Calculați e b) Demonstrați că: x 4 ln 2 x dx. 2 ( ) n 24 3 + π π 3 π 4 +tan n x dx, n N. 7
ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a XII-a profil uman 0 2a. Fie mulțimea G = A(a) = 2a 2a 2 a R 0 0. a) Să se arate că A(a), A(b) G A(a) A(b) G, a, b R. b) Să se calculeze A() A(2)... A(206). 0 2. a) Determinați a, b C pentru care A 3 = aa 2 +ba, unde A = 0 0. 0 0 0 0 b) Fie A = 0 0, B = 0. Arătați că (AB) T = BA. 0 0 0 c) Determinați a, b C astfel încât: ( ) 2 ) +a( +bi 2 = O 2. 4 4 3. Se consideră determinanții: = a b c, = a b c, 2 = a 2 b 2 c 2, unde a, b, c sunt a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c 3 numere reale, diferite două câte două. Calculați, scriind sub forma cea mai simplă, + 2. x a b 4. a) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația a x b = 0, unde a, b și c sunt numere reale. a b x a b a+b b) Verificați egalitatea b a+b a = 2(a 3 +b 3 ). a+b a b 8