3. Fie ABCDEF un hexagon regulat și punctele M (AC), N (CE) astfel încât AM AC = CN. CE = k. a) Demonstrați că #» CE = 2 #» AB + #» BC.

Transcript

1 CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 018 ETAPA NAȚIONALĂ filiera tehnologică: profilul servicii, resurse naturale și protecția mediului Clasa a IX-a 1. Numerele reale x și y verifică ecuația x +y x+6y +5 = 0. a) Determinați numerele x și y în condiția suplimentară x + y = 4. b) Notând x+y = m, m R, arătați că m [ 6; 4]. c) Determinați mulțimea M = {(x, y) x, y Z, x +y x+6y +5 = 0}.. Considerăm șirul (a n ) n 1 definit prin a 1 = 11, a = 17 și a n+ = a n+1 a n +, n N, respectiv șirul (b n ) n 1 definit prin b n = a n+1 a n, n N. a) Arătați că șirul (b n ) n 1 este progresie geometrică. b) Determinați expresia termenului general al șirului (b n ) n 1. c) Demonstrați că a n = n +3n+7, n N. d) Determinați n N pentru care a n este pătrat perfect. 3. Fie ABCDEF un hexagon regulat și punctele M (AC), N (CE) astfel încât AM AC = CN CE = k. a) Demonstrați că #» CE = #» AB + #» BC. b) Exprimați vectorii #» BM și #» BN în funcție de #» AB, #» BC și k. c) Determinați valoarea k pentru care punctele B, M și N sunt coliniare. 4. Cercetări experimentale au arătat că solubilitatea în apă a unei anumite cantități dintr-o anumită substanță S este dependentă de volumul de apă, măsurat în litri și de temperatura apei, măsurată în grade Celsius. S-a stabilit că solubilitatea se exprimă printr-o lege de forma T(t) = t +at+b, cu a, b R și t [0, 8], unde rezultatul reprezintă numărul de minute necesar dizolvării complete a 5 grame din substanța S întrun litru de apă aflată la temperatura t. Cunoscând T(3) = 6 și T(5) = 14, răspundenți la următoarele cerințe: a) Justificați că a = 4 și b = 9. b) Determinați care este cea mai mică și care este cea mai mare valoare a solubilității substanței S. c) Aflați pentru ce valori t ale temperaturii apei, substanța S are solubilitatea T(t) 6. d) Determinați dacă există temperaturi diferite la care solubilitatea substanței S este aceeași. 1

2 Clasa a X-a 1. Demonstrați următoarele inegalități: a) 1 0 < b) (3 ) 1 > 1; c) sin1 > cos 1.. Fie z 1 și z numere complexe distincte și astfel încât z 1 = z = z 1 +z. a) Arătați că z 1 și z sunt ambele nenule. ( ) z1 b) Demonstrați că Re = 1. c) Demonstrați că ( z1 z z ) 3 R. d) Determinați valoarea sumei S = z z z +z z + +z 1z 017 +z Se consideră a, b (0, )\{1}, a > b și A = log a (a b), B = log b (a b). Dacă a +b = 3ab, atunci arătați că A+B = AB. Stabiliți dacă propoziția dacă A+B = AB, atunci a +b = 3ab este adevărată. 4. Un joc de calculator afișează pe monitor mulțimea de numere M = {1; ; 3;... ; 100} și la fiecare tastare a unui număr k N, k 100, dintre cele 100 de numere ale mulțimii M, exact k dintre ele, alese la întâmplare de programul jocului, vor începe să clipească, iar clipirea va continua până la următoarea tastare. Spre exemplu, dacă se tastează k = 9, atunci pe monitor va apare un grup de 9 numere care clipesc, iar apoi dacă se tastează k = 9, atunci cele 9 numere se vor opri din clipit și pe monitor va apare un grup de 9 numere care clipesc. a) Arătați că de fiecare dată când se tastează k = 68, printre cele 68 de numere care vor clipi, cel puțin trei vor fi consecutive. b) Demonstrați că la o tastare k = 67 dacă pe monitor clipesc numerele n 1 < n <... < n i < n i+1 < n i+ <... < n 67 și pentru un caz 1 i 65 se observă că n i+ n i =, atunci printre cele 67 numere care clipesc, cel puțin 3 sunt consecutive. c) Arătați că este posibilă o tastare k = 67, la care printre cele 67 numere care clipesc să nu se găsească trei numere consecutive. d) Dacă la o tastare k = 67 pe monitor clipesc numerele n 1 < n <... < n 67, cu n 66 = 98 și fără a conține trei numere consecutive, determinați celelalte numere care clipesc.

3 Clasa a XI-a 1. Se consideră funcția f : R\{ 1; 1} R, f(x) = x3 x 1. a) Arătați că ecuația f(x) = 018 are toate soluțiile reale. b) Demonstrați că f(x) 4x+16, pentru orice x (1, ). 9 c) Dacă g : (1, ) R este o funcție pentru care 4x+16 9g(x) 9f(x), x > 1, atunci demonstrați că funcția g este continuă în x 0 =. ( ) 3. Fie matricea A = și mulțimea G = {aa+bi a, b Q}. 1 1 a) Arătați că A A+I = O. b) Calculați A 018. c) Dacă B M (Q) și AB = BA, atunci arătați că B G. d) Demonstrați că singura matrice neinversabilă din mulțimea G este matricea nulă. bc a 1 3. Fie a, b,c numere reale distincte și matricea A = ca b 1. ab c 1 a) Arătați că det(a) = (c b)(c a)(a b). b) Demonstrați că A este matrice inversabilă și calculați suma elementelor matricei A 1. c) Dacă a, b, c sunt numere naturale distincte, considerând punctele M(a, bc), N(b, ca), P(c, ab) și S(MNP) aria triunghiului MNP, demonstrați că S(MNP) Un utilaj al unei fabrici de ambalaje confecționează în mod automat cutii din carton de forma unor paralelipipede dreptunghice, cu dimensiuni și capacități alese după dorința clientului. Determinați cele trei dimensiuni ale unor astfel de cutii, confecționate la comanda clientului, în fiecare din următoarele situații: a) Dimensiunile cutiei, măsurate în decimetri, sunt în progresie geometrică cu rația și cutia astfel confecționată are capacitatea de 8 litri. b) Dimensiunile cutiei, măsurate în decimetri, sunt în progresie aritmetică cu rația și cutia astfel confecționată are capacitatea de 480 litri. c) Dimensiunile cutiei, măsurate în decimetri, sunt astfel alese încât cutia să aibă capacitatea de 7 litriși preț minim, știind că prețul unei cutii este direct proporțional cu aria suprafeței ei totale. 3

4 Clasa a XII-a 1. Considerăm funcția f : [ π, π ] R, f(x) = cosx 1+e x. [ a) Arătați că toate primitivele funcției f sunt crescătoare pe π, π [ b) Demonstrați că f(x) + f( x) = cos x, pentru orice π, π ]. c) Verificați dacă d) Demonstrați că e) Calculați π π π π π π f( x)dx = f(x)dx = 1. e x sinx (1+e x ) dx. π π f(x) dx.. Fie a, b R, a c și b R, b > a. Pe mulțimea G (a,b) = (a, b) considerăm legea de compoziție notată și definită prin x y = (x a)(y a)+c, x, y G (a,b). a) Arătați că este asociativă dacă și numai dacă a = c. b) Demonstrați că structura (G (a,b), ) este grup dacă și numai dacă a = c și b =. c) În cazul a = c și b =, grupurile(g (a,b), ) le notăm (G a, ). Demonstrați că (G a, ) sunt izomorfe. 3. Fie polinomul f R[X], f = X 3 X +X 1 și rădăcinile sale x 1, x, x 3. a) Arătați că x 1, x, x 3 sunt nenule și calculați suma 1 x x b) Demonstrați că f are exact o singură rădăcină reală. + 1 x. 3 c) Dacă x 1 este rădăcină reală a polinomului f, arătați că x = x 3 < x 1. x, x [0, 1] 4. Pe o reprezentare topografică, graficul funcției f : [0, ] R, f(x) = 1 axaox și dreptele x3, x (1, ], de ecuații x = 0 și x = delimitează pe un reper cartezian ortogonal xoy o suprafață de teren, numerele reprezentând pe hartă sute de metri. Urmare a unei succesiuni, suprafața de teren s-a împărțit în mod egal la doi moștenitori. Aceasta s-a realizat prin construirea unui gard interior, după o dreaptă de ecuație x = a, cu a [0, ], care a împărțit suprafața în două suprafețe de arii egale. a) Demonstrați că aria suprafeței este egală cu 7 și exprimați în hectare această arie. 8 b) Demonstrați că a (0, 1) și determinați numărul a cu proprietatea enunțată. ]. 4

5 CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 018 ETAPA NAȚIONALĂ profilul real, specializarea științele naturii Clasa a IX-a 1. a) Demonstrați că x +8x+6 x +8x 9 < x+7, x b) Rezolvați ecuația = x x.. Se consideră funcția f : N R. Știind că f(1) = 018 și că, pentru orice n N, are loc egalitatea f(1)+f()+f(3)+ +f(n) = n f(n), să se determine valoarea lui f(018). 3. Se consideră triunghiul ascuțitunghic ABC și un punct P situat în interiorul triunghiului. Fie triunghiurile echilaterale BPQ și BCR astfel încât punctele Q și A se află în semiplane diferite față de dreapta BP, iar punctele R și A se află în semiplane diferite față de dreapta BC. Să se demonstreze că: a) [QR] [PC]; a +b +c b) AR = + 3A ABC, unde a = BC, b = AC, c = AB. c) Dacă AP +BP +CP = AR, atunci m( APB) = π Într-o clasă, profesorul scrie pe tablă un număr natural nenul. Li se explică elevilor că pot șterge numărul scris pe tablă și îl pot înlocui cu un alt număr natural, chiar dacă s-a mai scris, determinat după regulile: În locul lui n scriem 3n+15; În locul lui n scriem n+1. a) Dacă pe tablă este scris numărul 6399, putem obține, după un număr finit de pași, numărul? b) Dacă pe tablă este scris numărul, putem obține, după un număr finit de pași, numărul 05? 5

6 Clasa a X-a 1. a) Câte funcții injective f : {1,, 3, 4} {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} există? b) Se consideră funcția f : (0, ) R, f(x) = x +log x+x. (i) Demonstrați că funcția f este injectivă. (ii) Rezolvați inecuația f(x).. Fie numărul a = a) Verificați relația a 3 = 18a+108. b) Arătați că a Q. 3. Se consideră z 1, z, z 3 C, cu z 1 = z = z 3 = 1. a) Arătați că A = (z 1 + z )(z + z 3 )(z 3 + z 1 ) R. b) Dacă = 4, calculați z 1 +z +z 3. z 1 z z 3 c) Dacă z1 +z +z 3 = 0, calculați z 1z +z z 3 +z 3 z Copiii dintr-o școală joacă un joc. Ei sunt aranjați într-un cerc și numerotați cu 1,,..., n. Începând cu poziția, fiecare al doilea copil este eliminat până rămâne o singură persoană, care câștigă. Care este locul singurului câștigător? 6

7 Clasa a XI-a 1. Notăm cu M mulțimea matricelor pătratice de ordin 3 care au ca elemente numere reale strict pozitive. a) Arătați că mulțimea M conține atât matrice inversabile, cât și matrice neinversabile. b) Demonstrați că nu există nicio matrice inversabilă în M care să aibă ca inversă tot o matrice din M. ( ) x 1 3. Se consideră matricea A =, x R. Pentru un număr natural dat n, determinați valoarea 1 x+3 minimă a numărului det(a n ), atunci când x parcurge mulțimea numerelor reale. 3. Spunem că funcția f : [, ] R este bună dacă are următoarele proprietăți: (i) f este derivabilă; (ii) f( ) f() > 0; (iii) mulțimea A = {x (, ) f(x) = 0} are cardinalul egal cu 3. a) Dați un exemplu de funcție bună, scriind legea sa de corespondență. b) Demonstrați că orice funcție bună f are un punct de extrem local care aparține mulțimii A. 4. Laturile OA și OB ale unghiului drept AOB reprezintă două șosele în deșert. În punctul P, interior unghiului AOB, există o oază; distanța de la P la dreapta OA este de 1 km, iar distanța de la P la dreapta OB este de 8 km. Dorim să construim o șosea rectilinie, care să treacă prin P, unind punctele M de pe semidreapta OA și N de pe semidreapta OB. Determinați distanțele OM și ON, astfel încât șoseaua (segmentul) MN s ă aibă lungime minimă. 7

8 Clasa a XII-a 1. În mulțimea M (Z ) se consideră matricele O = N = {X M (Z ) X = O }. a) Verificați că O N, A N și I / N. ) ) ) (ˆ0 ˆ0 (ˆ1 ˆ0 (ˆ0 ˆ1, I =, A = și submulțimea ˆ0 ˆ0 ˆ0 ˆ1 ˆ0 ˆ0 b) Aflați numărul elementelor mulțimii M (Z ). (â ) ˆb c) Dacă B = N, arătați că Tr(B) = ˆ0 și det(b) = ˆ0. ĉ ˆd d) Aflați cardinalul mulțimii N. e) Găsiți o matrice X M (Z ) care nu se poate scrie ca o sumă finită de elemente din mulțimea N.. Fie f Z[X] astfel încât f(1) = f() = f(3) = f(4) = 1. Demonstrați că f(n) 31, oricare ar fi numărul întreg n. 3. a) Să se arate că b) Să se calculeze ln(x +x+1)dx = ln(x 4 +x +1)dx. 1 1 ln(x x+1)dx. 4. Teodor amenajează un loc de joacă pentru hamsterul său, în forma unui triunghi isoscel ABC cu vârful A fixat, iar vârfurile B, C variabile astfel încât AB = AC = 1, BC = x, x (0, 1). În interiorul triunghiului ABC, Teodor plasează, într-un punct I aflat la egală distanță de laturi, un mic rezervor cu apă pentru hamster. Notăm cu r distanța de la I la cele trei laturi ale triunghiului ABC. Aflați valoarea maximă posibilă a numărului r. (Toate distanțele din problemă sunt măsurate în metri). 8

9 CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 018 ETAPA NAȚIONALĂ profilul tehnic Clasa a IX-a 1. a) Determinați numărul natural n N, știind că împărțind 9917 la n +n obținem câtul 8 și restul cel mai mare posibil. b) Dați două exemple de numere raționale pozitive x, care să nu fie numere naturale, astfel încât să fie număr natural.. Demonstrați următoarele inegalități: a) a b + b, a, b (0, ); a b) ab a + ba b 6, oricare ar fi cifrele nenule a și b. În ce caz avem egalitate? 9 x x 3 3. Se considerătriunghiul ABC în care m( A) = 90, m( C) = 30, punctul D este mijlocul segmentului [BC], iar punctul E (AC) astfel încât AC = 3 AE. Să se demonstreze că: a) ABD este echilateral; b) BE AD. 4. Se consideră un triunghi ABC având medianele (AM), (BN), (CP). Să se demonstreze că se poate construi un triunghi cu vectorii: a) #» AM, #» BN, #» CP; b) #» GA, #» GB, #» GC, unde {G} = AM BN CP. 9

10 Clasa a X-a 1. Se consideră dezvoltarea ( x 1 ) n, x (0, ), n N. x a) Determinați valoarea lui n, știind că suma coeficienților primilor trei termeni ai dezvoltării este cel mult egală cu 4. b) Pentru n = 8, determinați termenul care-l conține pe x 10.. După fiecare an de utilizare, prețul unui autoturism scade cu 10% din valoarea avută la începutul anului. a) Determinați prețul unui autoturism după trei ani de utilizare, știind că prețul de achiziție a fost de de euro. b) După câți ani autoturismul pierde cel puțin 90% din valoarea inițială? (Se poate folosi lg 3 = 0, 477) 3. Într-un sistem de axe de coordonate xoy se consideră punctele A n (n, 1), B n (1, n), n N și mulțimea M = {A 1, A, A 3, B, B 3 }. a) Câte drepte determină elementele mulțimii M? b) Câte triunghiuri determină elementele mulțimii M? c) Demonstrați că punctele A 1, P, Q sunt coliniare, unde {P} = A B 3 A 3 B și Q este mijlocul segmentului A 3 B Să se determine tanx, știind că unde a (1, ), x [ ] log a 3 (sinx+cosx) = log a (sinx)+log a (cosx), ( 0, π ). 4 10

11 Clasa a XI-a ( ) ( ) ( ) 1 0 a b Fie matricele A =, X =, C = din M (R). 1 1 c d 5 3 a) Calculați C 1. b) Determinați matricea X M (R) dacă CA = XC. c) Determinați matricea X n, n N\{0; 1}, unde X este matricea determinată la subpunctul anterior.. Fie A, B M (Q), cu AB = BA și det(a) = 1. a) Demonstrați căa 3 B 3 = (A B)(A εb)(a ε B), unde ε este o rădăcina complexă de ordinul 3 a unităcb tii. b) Considerând f(x) = det(a + xb) = ax + bx + c, cu a, b, c Q și det(a 7B) = 8, calculați det(a 3 B 3 ). 3. Fie f : R R, f(x) = x+ x +1. a) Demonstrați că funcția f este strict crescătoare. b) Arătați că (x +1)f (x)f(x) = f (x), x R. 4. Fie f : R R, f(x) = e x x+a, unde a R. a) Calculați f (x), x R. b) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției f. c) Demonstrați că funcția f este bijectivă și aflați a știind că f 1 ( ) = 1. 11

12 Clasa a XII-a 1. Fie I n = 1 0 t n t dt, n N. +1 a) Calculați I 3. 1 b) Demonstrați că I n = n 1 I n, n N, n. c) Demonstrați că numărul A = I 0 +I +I 4 + +I 00 este irațional. a ˆ0 ˆb. Se consideră mulțimea M = A = ˆ0 a ˆ0 a, b, c Z 4 ˆc ˆ0 a M 3(Z 4 ). a) Determinați numărul elementelor mulțimii M. b) Demonstrați că oricare ar fi matricea A M, avem A = O 3 sau A = I 3. c) Câte matrice din M au proprietatea că A = I 3? Scrieți aceste matrice. 3. Fie f = X 3 mx +nx +5 Q[X]. a) Determinați m și n pentru care x = 1 este rădăcină dublă a polinomului f. b) Dacă polinomul f admite rădăcina 3, atunci arătați că polinomul f admite o rădăcină rațională. Determinați această rădăcină. c) Dacă f( ) și f(1) sunt numere impare, atunci demonstrați că polinomul f nu are rădăcini întregi. 4. Se consideră funcția f : [0, 3] R, f(x) = x+6. a) Calculați aria suprafeței cuprinse între graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x = 0 și x = 3. b) Determinați m > 0, astfel încât volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției f(x + m) în jurul axei Ox să fie egal cu 031π. c) Demonstrați că 3 0 x f(x)dx 7. 1

13 CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 018 ETAPA NAȚIONALĂ Filiera Teoretică: Profilul Uman Clasa a IX-a 1. Un avion decolează de la Iași spre Roma și se înalță în zbor pentru primii 10 km parcurși sub un unghi de 30 față de orizontală. Apoi se înalță sub un unghi de 60 față de orizontală, până atinge altitudinea totală de 10 km. Determinați distanța parcursă de la decolare până atinge altitudinea de 10 km. ( 3 se aproximează cu 1,71). Pe o tablă este scrisă secvența (a, b, c, d, e). La fiecare pas, secvența se schimbă în ( a b, b c, c d, d e, e a ), ș.a.m.d. (de exemplu, (4, 8, 5, 3, 7) (4, 3,, 4, 3)). Dacă se pornește cu secvența (1, 1, 1, 1, 0), atunci determinați secvența după 018 operații aritmetice. 3. Se consideră funcția f : R R, f(x) = x (m 1)x+m 1, m R. a) Să se determine m R pentru care funcția f este crescătoare pe intervalul [0, ). b) Determinați valoarea lui m R pentru care funcția f are valoarea minimă 1 4. c) Determinați valorile lui m Z pentru care rădăcinile ecuației f(x) = 0 sunt numere întregi. d) Să se determine valorile lui m pentru care 3x 1 x =. 4. Fie ABC un triunghi. a) Demonstrați că vectorul #» v M = #» MA + #» MB 3 #» M C rămâne constant pentru orice punct M din exteriorul triunghiului. b) Rămâne propoziția anterioară adevărată pentru vectorul #» v M = MA+3 #» MB #» 6 MC? #» c) Determinați o relație între constantele α, β, γ R astfel încât vectorul #» v M = α MA+β #» MB+γ #» MC #» să rămână constant atunci când punctul M variază în plan. 13

14 Clasa a X-a 1. O bancă oferă o dobândă fixă de 10% la depozitele pe un an. Trei prieteni își duc economiile la bancă și se decid să depună împreună, în același cont, aceeași sumă de bani, astfel că: primului îi rămâne 50% din suma pe care a economisit-o, celui de-al doilea 75% din suma pe care a economisit-o, iar celui de-al treilea 37, 5% din suma pe care a economisit-o. După un an, al doilea prieten își retrage suma care i se cuvine, iar împreună cu suma rămasă după prima depunere face o depunere integrală la o altă bancă ce îi oferă o dobândă de 0% la depozitele pe un an. După încă un an, cei trei decid să își retragă banii din bănci și constată următorul lucru: suma pe care o are al doilea este cu 15 de euro mai mică decât suma celorlați doi la un loc cu tot cu economiile rămase de la prima depunere. Determinați economiile inițiale ale celor trei prieteni. (economiile rămase după prima depunere nu au fost modificate în timpul celor doi ani). Fie f : D R, f(x) = ln (x 1) x 5x+6. a) Determinați domeniul maxim de definiție D. b) Definim șirul (x n ) n 4, x n = f(n). Demonstrați că x n +x n+1 +x n+ +x n+3 = ln (n+1)(n+) (n ) (n 3). c) Demonstrați că f(n) > 0, n N, n a) Rezolvați ecuația 4 x x 5 1 x 1 x 5 +8 = 0. b) Rezolvați inecuația log 1 3 (x+4) < log 1 3 (x +x 3). 4. Fie dreptele d 1 : mx+(m+)y +6 = 0 și d : (m 1)x+my +3 = 0, unde m R. a) Să se determine m R pentru care d 1 = d. b) Să se determine m R pentru care d 1 d. c) Pentru m = 1, să se calculeze aria poligonului care are vârfurile {A} = d 1 d, {B} = d Ox, {C} = d 1 Oy, O fiind originea reperului. 14

15 Clasa a XI-a 1. Într-o localitate locuiesc 0000 de persoane cu ochi verzi, albaștri sau căprui. Nu toți spun adevărul. 30% dintre cei cu ochii verzi spun că au ochi albaștri, 10% dintre cei cu ochii albaștri spun că au ochi verzi, iar 30% dintre cei cu ochii căprui spun că au ochi albaștri. Într-o zi, toți locuitorii localității răspund la întrebarea Ce culoare au ochii dumneavoastră?, întrebare la care 60% dintre ei au spus că au ochi albaștri. Câți locuitori cu ochi albaștri sunt în acea localitate?. La un concurs în care punctajele iau valori de la 0 la 100 au participat 4 elevi. Rezultatele concursului au fost grupate în următorul tabel: Punctaje [0, 0) [0, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 100] Nr. elevi 8 a) Determinați frecvențele absolute ale fiecărui interval de valori știind că sunt îndeplinite următoarele condiții: (i) numărul elevilor care au obținut cel puțin 60 puncte reprezintă 50% din numărul total de participanți; (ii) frecvențele absolute ale primelor patru intervale formează o progresie aritmetică de rație. b) Determinați mediana seriei statistice formate cu punctajele obținute la concurs. c) Arătați că Me M = Me Mo, unde M este valoarea medie a punctajelor obținute, Me este mediana seriei statistice și Mo este modulul(dominanta) seriei statistice. 3. a) Fie graful G cu vârfurile x 1, x,..., x n, unde n 5. Determinați numărul minim de muchii astfel încât graful să aibă trei puncte izolate. b) La un concurs, 78 elevi au fost repartizați în mod egal în 6 camere. Spunem că între două camere se poate stabili o relație de bună colaborare dacă cel puțin patru dintre elevii repartizați în ele sunt din același județ. Determinați numărul minim de relații de bună colaborare astfel încât trei camere să nu poată stabili relații de bună colaborare. 4. Între localitățile L 1, L, L 3, L 4, L 5, L 6 există drumurile directe L 1 L, L 1 L 3, L 1 L 4, L 1 L 5, L L 3, L L 4, L 3 L 4, L 3 L 5, L 3 L 6, L 4 L 5, L 5 L 6. a) Câte drumuri mai trebuie construite astfel încât între oricare două localități să existe un drum direct? b) Care este numărul minim de drumuri ce trebuie închise astfel încât pentru orice localitate L i, i = 1, 6, să nu se poată forma un circuit elementar, cu cel puțin trei localități, cu plecarea din L i și sosirea tot în L i? 15

16 Clasa a XII-a 1 3 x 1. Se consideră determinantul (x) = x 1 3, unde x R. 3 1 x a) Demonstrați că (x) = (x 6)(x 3). b) Dacă x și y sunt numere întregi, atunci arătați că numărul (x) (y) se divide prin x y. { ( ) } x y. Se dă mulțimea M = X = y x x, y Z, x y = 1. a) Demonstrați că mulțimea M conține cel puțin cinci elemente. b) Demonstrați că pentru orice A, B M, rezultă că A B M. 0 a b 3. Numim cod o matrice cu 3 linii și 3 coloane de forma A = c 0 d, unde a, b, c, d, e, f sunt numere e f 0 întregi având modulul egal cu. a) Demonstrați că putem forma 64 de coduri. b) Dacă A este un cod, atunci arătați că det(a) { 16, 0, 16}. c) Claudiu și Oana completează un cod, înlocuind succesiv, oricare dintre literele a, b, c, d, e, f cu cifrele sau. Oana este declarată câștigătoarea jocului dacă det(a) = 0. Claudiu începe jocul. Demonstrați că indiferent de alegerile făcute de Claudiu, Oana poate câștiga jocul. 4. Pe mulțimea numerelor reale definim legea de compoziție prin x y = xy 5x 5y +30, x, y R. a) Demonstrați că legea de compoziție este comutativă și asociativă. b) Sorin alege numerele 8, 56, 6 și calculează (x y) z, unde (x, y, z) este o permutare a numerelor alese. Demonstrați că, de fiecare dată, Sorin obține același rezultat. c) Pe tablă sunt scrise numerele: 0, 1,, 3,..., 10. Sorin alege, în mod arbitrar, dintre acestea, două numere a și b, le șterge, iar în locul doar unuia dintre ele scrie numărul a b. Continuă procedeul până când pe tablă rămâne un singur număr. Care este acest număr? 16