TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 2018"

Transcript

1 TESTE GRILĂ DE MATEMATICĂ 8 A U T O R I Prof.univ.dr. Vasile Câmpian Prof.univ.dr. Iuliu Crivei Prof.univ.dr. Bogdan Gavrea Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Prof.univ.dr. Nicolaie Lung Prof.univ.dr. Vasile Miheşan Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Prof.univ.dr. Viorica Mureşan Prof.univ.dr. Dorian Popa Prof.univ.dr. Ioan Raşa Prof.univ.dr. Daniela Roşca Prof.univ.dr. Alina Sîntămărian Prof.univ.dr. Gheorghe Toader Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Conf.univ.dr. Lucia Blaga Conf.univ.dr. Maria Câmpian Conf.univ.dr. Alexandra Ciupa Conf.univ.dr. Dalia Cîmpean Conf.univ.dr. Eugenia Duca Conf.univ.dr. Ovidiu Furdui Conf.univ.dr. Daniela Inoan Conf.univ.dr. Adela Carmen Novac Conf.univ.dr. Ioan Radu Peter Conf.univ.dr. Vasile Pop Conf.univ.dr. Teodor Potra Conf.univ.dr. Mircea Dan Rus Conf.univ.dr. Silvia Toader Lect.univ.dr. Marius Birou Lect.univ.dr. Adela Capătă Lect.univ.dr. Luminiţa Ioana Cotîrlă Lect.univ.dr. Daria Dumitraş Lect.univ.dr. Mircia Gurzău Lect.univ.dr. Adrian Holhoş Lect.univ.dr. Vasile Ile Lect.univ.dr. Tania Angelica Lazăr Lect.univ.dr. Daniela Marian Lect.univ.dr. Rozica Moga Lect.univ.dr. Constantin Cosmin Todea Lect.univ.dr. Floare Ileana Tomuţa Asist.univ.dr. Alina-Ramona Baias Asist.univ.dr. Mihaela Bercheşan Asist.univ.dr. Liana Timboş U. T. PRESS Cluj-Napoca 8 ISBN

2 Coordonator Prof.univ.dr. Dumitru Mircea Ivan Referenţi: Prof.univ.dr. Ioan Gavrea Prof.univ.dr. Alexandru Mitrea Conf.univ.dr. Vasile Pop Prof.univ.dr. Dorian Popa Prof.univ.dr. Neculae Vornicescu Editura U. T. PRESS 8

3 Prefaţă Culegerea de probleme Teste grilă de matematică continuă tradiţia Universităţii Tehnice din Cluj-Napoca de a selecta viitorii studenţi printr-un concurs de admitere pe baza subiectelor sub formă de grilă. Prezenta culegere a fost elaborată cu scopul de a contribui la o mai bună pregătire a candidaţilor la admitere şi de a-i familiariza cu noua tipologie a subiectelor. Structurată pe patru capitole: Algebră, Analiză matematică, Geometrie analitică şi Trigonometrie, culegerea contribuie la recapitularea materiei din programa pentru bacalaureat. Parcurgând toate gradele de dificultate, de la probleme foarte simple care necesită un minim de cunoştinţe, până la probleme a căror rezolvare presupune cunoştinţe temeinice, lucrarea este utilă tuturor categoriilor de elevi care se pregătesc pentru un examen de matematică. Fiecare problemă propusă este urmată de cinci răspunsuri dintre care numai unul este corect. La sfârşit se dau răspunsurile corecte. Testul care se va da la concursul de admitere va conţine probleme cu grade diferite de dificultate, alcătuite după modelul celor din culegere. Autorii iii

4

5 Cuprins Algebră Analiză matematică 3 3 Geometrie analitică 47 4 Trigonometrie 5 5 Exemplu Test Admitere 59 6 Simulare admitere (3 mai 7) 6 7 Admitere (6 iulie 7) 65 8 Răspunsuri 73 9 Indicaţii 77 v

6

7 Algebră Mulţimea soluţiilor ecuaţiei z = 3 4i, z C, este: A {, } {i, i} { i, + i} {3, + i} { i, 3 + i}. Soluţia ecuaţiei x( lg 5) = lg( x + x ) este: A x = 5 x = x = x = x = 5 3 x Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x 3 x + 3 x = este: { } {,, i, i} {,, i 3, + i 3} { }, i 3, +i 3 {, i, +i } 4 { (x ) 4(x + ) Mulţimea soluţiilor reale ale sistemului: x + 4x > este: A (, ) (, ) (, 4) (, ) (, 4) (, ) (, ). 5 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care graficul funcţiei f : R R, f(x) = (m + )x + (m + )x + m + 3, intersectează axa Ox în două puncte distincte este: R { 3} R { } R {}. Fie f R[X], f = X + ax 99 + bx +. 6 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care x = este rădăcină dublă sunt: a = ; b = a = ; b = 4 a = ; b = a = ; b = a = 4; b = 7 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care f se divide cu X + X + sunt: a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = 8 Valorile coeficienţilor a şi b pentru care restul împărţirii polinomului f la X 3 X X + este X + X + sunt: A a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b = a = ; b =

8 Se dă funcţia f(x) = mx + (m + )x + m, unde m este parametru real. 9 Pentru ce valori ale lui m, f(x) >, x R? m (, + ) m ( +, + ) m (, + ) m (, + ) m (, ) ( +, + ) Pentru ce valori ale lui m, f(x) <, x R? m (, ) m (, + ) m (, ) m (, ) m (, ) (, ) Pentru ce valori ale lui m funcţia admite rădăcină dublă? m {±} m {, ± } m {± } D m {,, + } m {,, ± } Se consideră ecuaţia x mx + m m =, unde m R, iar x şi x sunt rădăcinile reale ale ecuaţiei. Suma rădăcinilor x + x aparţine intervalului [, ] [, 4] R [, ] [, 4] 3 Suma pătratelor rădăcinilor x + x aparţine intervalului [, 4] [, 4] [, 8] R [, 3] 4 Produsul rădăcinilor x x aparţine intervalului A [, ] [, 4] [, 4] R (, ) Fie funcţiile f m : R R, f m (x) = mx + (m )x + m, m R. 5 Mulţimea valorilor parametrului m pentru care ecuaţia f m (x) = are cel puţin o rădăcină reală este: (, ) (, ] R alt răspuns [, ) 6 Vârfurile parabolelor asociate funcţiilor f m, m se găsesc pe: parabola y = x + dreapta x + y = dreapta y = x dreapta y = x E o paralelă la Ox. { x +, dacă x Fie funcţia g : R R definită prin g(x) = 3x +, dacă x >. 7 Soluţia inecuaţiei g(x) este: [, ) [, ] [ 3, ) [, 3 ] [, ) 8 Funcţia g : R R este dată de: { x g (x) = 3, dacă x { x, dacă x x 4, dacă x < g (x) = x { 3, dacă x > x g (x) = 3, dacă x { x, dacă x x 3, dacă x > g (x) = x+ { 3, dacă x > x +, dacă x g (x) = x+ 3, dacă x >

9 9 Se dau funcţiile { f, g : R R definite prin x f(x) = {, x x 5x +, x <, g(x) =, x x, x >. Funcţia h : R R, h = f g este definită prin: { x h(x) = 4, x 4x( x), x > h(x) = h(x) = { 4x( x), x (5x ), x > { (5x ), x x 4, x < h(x) = x 4, x 4x( x), (5x ), x < x < x 4, x < (5x ), 4x( x), x > x h(x) = Fie P R[X], P (x) = x 3 + ax + bx + c, un polinom cu rădăcinile x, x, x 3 distincte două câte două. Pentru Q R[X] polinom de grad, suma Q(x ) P (x ) + Q(x ) P (x ) + Q(x 3) P este egală cu (x 3 ) A x + x + x 3 x x x 3 P (x + x + x 3 ) Să se găsească numărul complex z dacă z z = + i. A z = 3 i; z = 3 + i; z = 3i; z = + 3i; z = + 3i. Fie f : C C, f(z) = z + z z. Soluţiile ecuaţiei f(z) = sunt: A {, +i, i} {, +i, i} {, i, i} {, +i, i} {, +i, i} 3 Se consideră ecuaţia log (9 x + 7) = + log (3 x + ). Mulţimea soluţiilor ecuaţiei are: un element două elemente nici un element trei elemente E o infinitate de elemente { 4 Soluţia S a sistemului x 5 y = 5 y 5 x = 4 este: S = S = {(, 3)} S = {(, ), (, 3)} S = {(, )} E S = {(, ), (, )} 5 Să se rezolve în R ecuaţia log +x (x 3 + x 3x + ) = 3. A x = ; x = ; x = 3; x = ; x = 3. lg x 6 Ecuaţia = are ca mulţime a soluţiilor pe: lg(5x 4) A {, 4} {4} {} R {, 4 5 } 7 Se consideră mulţimea tripletelor de numere reale (a, b, c) care verifică relaţia a + b + c =. Atunci min(ab + bc + ac) pentru această mulţime este: nu există minim 3

10 Fie mulţimea A = A \A, unde A = { A = x Z x = n + } n +, n Z. { x N x = n + } n +, n Z şi 8 Mulţimea A este: A = {,, 3} A = N A = {,, 4} A = {, 3, 5} A = 9 Mulţimea A este: A A = {,, 3, 5} A = {3, 5} A = {3} A = A = { } 3 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log (log 3 3 x) este: A [3, ) (, 3 9 ) ( C, 3 3 ] ( D 3, ] (, ) ( 3 3, + ) Restul împărţirii polinomului X 3 la X + este: 9 Alt răspuns 3 la (X + ) este: X X + 9 X 9 X 9 33 la (X + ) 3 este: 9X + 45X + 8X + 36 X + 34 Mulţimea soluţiilor ecuaţiei An n 3 x + 4An n x + 3P n =, n 3, este: } { } { A n, n, A n { 3} { } D A 3 n. 35 Să se determine primul termen a şi raţia q a unei progresii geometrice (a n ) n N { dacă: a4 a = 6, a 3 a = 3. a = ; q = 3 a = 3; q = a = ; q = D a = ; q = a = ; q = Care sunt valorile coeficienţilor reali a şi b din ecuaţia x 3 ax + bx + =, dacă aceşti coeficienţi sunt rădăcini ale ecuaţiei? A a =, b = a =, b R a =, b = a R, b = a R, b =. 37 Coeficientul lui x 99 din dezvoltarea polinomului (x )(x )(x 3)... (x 99)(x ) este: Cel mai mare divizor comun al polinoamelor (x + ) 4n+3 + x n, n N şi x 3 este: A x 3 x x + x + sunt prime între ele (x + ) 4n+3 + x n 39 Valoarea lui ( α)( α )( α 4 )( α 5 ), unde α C \ R, α 3 =, este: A 9 9i 3i. 4

11 4 Fie numerele reale a, b, c, d (, ) (, ). Dacă log a b log b c log c d = atunci: a = b (, ) şi c = d (, ) a = b (, ) şi c = d (, ) a = c (, ) şi b = d (, ) a = d a = c (, ) şi b = d (, ). 4 Suma n k k! este: n(n + ) n n! (n + )! n! n n! k= a b b b Se consideră matricea U(a, b) = b a b b b b a b. b b b a 4 Matricea U(a, b) este singulară dacă şi numai dacă a = b a 3b (a b)(3b + a) = a + 3b = alt răspuns 43 U (, ) este U(, ) 4 U(, ) U(, ) U(, ) 4 8 U(, ) 44 Inversa matricei U(, ) este: A U(, ) U(, ) U(, ) 4 7 nu există alt răspuns 45 ( ) a b Dacă a + b =, atunci inversa matricei M b a (R) este: ( ) ( ) ( ) a b a b a b b a b a b a ( D a ) ( b a b b a b a 46 Inversa matricei A = este matricea: Matricea A = 3 are rangul minim pentru: a 3 A a = a = a = 7 a = a = x + y = 48 Sistemul de ecuaţii cu parametrul real m, 6x 8y =, este compatibil numai 5x + y = m dacă: m = m = m = m = 3 m = 4. ). 5

12 49 Sistemul de ecuaţii cu parametrii m, n R mx + y z = x + y + 3z = (m )x + y + z = n este compatibil nedeterminat pentru: A m = 3; n 3 m 3; n = 3 m = 3; n = 3 m 3; n 3 m = 5; n = 3 n n 44 5 Dacă = n, n N, atunci: A n = n = n = 4 n = 8 n = 6. 5 Fie m, n R, x, x, x 3 rădăcinile ecuaţiei x 3 + mx + n = şi matricea A = x x x 3. Determinantul matricei A este: x x x 3 A 4m 7n 4m 7n 4m + 7n n 7m 3n 7m 5 Mulţimea valorilor a R pentru care rangul matricei este egal cu, este Se consideră sistemul A = a {} {} {, } R {, } x +y +3z = (S) : x y +az = 3 3x +y +4z = b 53 (S) este compatibil determinat dacă şi numai dacă a = a, b R a =, b = 54 (S) este compatibil nederminat dacă a =, b = a =, b = a, b R a =, b = 55 (S) este incompatibil dacă şi numai dacă A a =, b = a, b = a, b a, b = a =, b x + y + mxy = 5 56 Sistemul de ecuaţii (m )(x + y) + xy =, m R, 3x + 3y xy = m + este compatibil pentru m aparţinând mulţimii: A [, ] [ 3, ] [, 4] } { D {,, 4}. 6

13 x + ay + 4z = 57 Dacă sistemul de ecuaţii x y z = ; a R 3x y z = este compatibil determinat, atunci: A a = a R {} a R a (, ) a (, ) ( ) cos t sin t 58 Dacă A = ; t R, atunci: sin t cos t ( cos A n = n t sin n ) ( t cos t sin n t cos n t A n n sin t = n ) sin t n cos t ( ) ( n ) cos nt sin nt A n sin nt cos nt = sin nt cos nt A n = cos nt sin nt ( cos A n = n t sin n ) t n sin t cos t n sin t cos t cos n t sin n t ( ) 3 59 Dacă A = M (R), atunci A este: 3 ( ) ( ) ( ) A 3 6 C 3 ( ( 3 ) ) ( ) ( ). 3 Se dă mulţimea M = [5, 7] şi operaţia definită prin x y = xy 6x 6y + α. ( ) 6 Valoarea parametrului real α pentru care mulţimea M este parte stabilă în raport cu operaţia este: α = 4 α = 36 α = 36 α = 6 α = 6. 6 In monoidul (M, ), elementul neutru este: e = 7 e = 6 e = 5 e = nu există. 6 In monoidul (M, ), mulţimea elementelor simetrizabile este: A [5, 7] \ {6} {6} {5, 7} [5, 7] R \ {6}. Definim pe Z Z legea de compoziţie (x, y) (a, b) = (xa, xb + ya). 63 Elementul neutru al legii este: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 64 Fie legea de compoziţie definită prin x y = x y xy, x, y (, ). Elementul neutru pentru această lege este: e = nu există e = e =. 65 Pe mulţimea Z a numerelor întregi se defineşte legea prin x y = x + y, x, y Z. Să se determine simetricul x al lui x. A x nu există x = x x = 4 x x = x x = x 7

14 Pe mulţimea C a numerelor complexe definim legea de compoziţie prin z z = z + z z z. 66 Numărul i este: i i + i 67 Elementul neutru faţă de este: i 68 Elementul simetric al lui i faţă de este: i i i +i Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x (m )x + 3m 4, m R. 69 Mulţimea valorilor lui m pentru care f se anulează în (, ) şi f(x), x (, ) este: (, 7 4 ) (, 7 4 ) (7+4, ) {7 4, 7+4 } {7 4 } [7 4, ] 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f(x) <, x (, ) este A (, ) (, ) (, ] (, ) Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x mx +, m R. 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f este strict crescătoare pe intervalul [, ] este [, ] (, ) (, ] R Alt răspuns 7 Mulţimea valorilor lui m pentru care f este injectivă pe [, ] este: A R (, ) (, ] (, ) (, ) Alt răspuns 73 Familia de parabole asociate funcţiilor f m (x) = (m + )x 3mx + m, m R { }, are un punct fix pe axa Oy are un punct fix situat pe prima bisectoare are două puncte fixe are trei puncte fixe E nu are puncte fixe. Fie parabolele de ecuaţii: P : y = x + 5x + 4 şi P : y = (m )x + (4m + n 4)x + 5m + n 4, unde m, n R, m. 74 Parabolele se intersectează în A(, ) şi B(, 4) dacă: m =, n = 9 m =, n = 9 m = 5, n = 4 m =, n = 3 m = 3, n =. 75 Parabolele au singurul punct comun C(, ) dar nu sunt tangente dacă: m = 3, n = 3 m =, n = 3 m = 3, n = 3 m =, n = m = n = 76 Parabolele sunt tangente în punctul T (, ) dacă: m =, n = 3 m =, n = m =, n = m =, n = E m =, n = 4. 8

15 77 Fie E(x) = x (m )x + m + mx. Mulţimea valorilor reale ale lui m pentru care E mx + este bine definită oricare ar fi x R, este: A R {4} { } (, 4) alt răspuns. 78 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care (m )x + (m )x + m 3 <, x R este: (, ) ( 3, ) (, ) (, ) alt răspuns. 79 Mulţimea valorilor lui a R, pentru care parabolele asociate funcţiilor f a (x) = ax (a + )x şi g a (x) = x x a sunt tangente, este: A {, } {3, } {3} { D 3, 3}. 8 Ecuaţia x 4 + (m )x + m + =, cu necunoscuta x şi parametrul real m, are toate rădăcinile reale dacă: A m = m m m m >. 8 Se dă ecuaţia x 3 3x + x a =. Rădăcinile ei sunt în progresie aritmetică dacă şi numai dacă a = a {, } a {, } Fie x, x, x 3 rădăcinile ecuaţiei x 3 x + 3 =. Notăm S k = x k + xk + xk 3, k Z. 8 S este: S este: S 4 este: Dacă funcţia polinomială P : R R verifică egalităţile: P () + + P (n) = n 5, n =,,..., atunci: P () = P () = P () = P () = 3 alt ăspuns 86 Dacă funcţia polinomială P : R R satisface egalităţile: P (n) = atunci P ( ) este: Se dă ecuaţia x 3 px + qx r =. n k, n =,,..., k= 3 5 nu are sens 87 Ecuaţia admite două rădăcini opuse, dacă p + q = r r pq = rp q = q rp = pq r = 88 Rădăcinile sunt în progresie geometrică dacă: A p r q = p 3 rq = q rp = q 3 + p + q = p 3 r q 3 = 9

16 89 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x + 4 x + x x = este: {5, } {7, } [, ) [6, ] {8, }. 9 Mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei x + x + 3 < 3 este: A (, ) [, ) [, ) (, ) Se consideră funcţia f(x) = 3 x + x. 9 Mulţimea de definiţie a funcţiei este: R [, ) (, ) [, ) (, ) 9 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei f(x) = 7 este A {7} {} {} {} conţine cel puţin două elemente 93 Câte soluţii întregi are ecuaţia 8(4 x + 4 x ) 54( x + x ) + =? A 4 nici una 3 94 Mulţimea valorilor reale ale lui a, pentru care funcţia f : R R, f(x) = x 3 + ax +, este injectivă, este: (, ) [, ) {} R. 95 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia (m )x (m + )x + m 3 = are rădăcinile în C \ R cu partea reală negativă este: ( A, 3 ) ( ) 4, 3 4 [ C, ) 3 [ D 4, ) 96 Valoarea minimă a funcţiei f : R R, f(x) = (x a ) + (x a ) + + (x a n ) unde a, a,..., a n R, se obţine pentru: A x = x = a x = a x = a +a + +a n n x = a +a n. 97 { x Funcţia f : R R, f(x) = + mx ; mx ; x x >, m R, este injectivă dacă: A m (, ) m (, ) m (, ) m (, ) m (, ). 98 { x + m, Fie f : R R, f(x) = mx, x. x > Funcţia f este surjectivă dacă şi numai dacă: A m (, ); m (, ]; m = ; m (, ]; m (, ].

17 { x 99 Sistemul + y = z, are o singură soluţie (x, y, z) R R R, dacă: x + y + z = a A a = a = a = a = 4 a = 4. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x = x este: A {, } {} [, ] {} Pentru ca funcţia f : R B, f(x) = x 3x+ să fie surjectivă, trebuie ca: x +x+ B = R [ ] B = 9 3, 9+ 3 B = [, ] B = (, ) B = [ 3, 3]. Mulţimea valorilor lui a R pentru care valorile funcţiei f : R R, f(x) = x ax + x, + sunt cuprinse în intervalul (, 3), este: A ( 4, 4) (, 4) (, 3) (, ) {, }. 3 Numărul soluţiilor (x, y) R R ale ecuaţiei x +3 y 3 = este: 4 o infinitate. 4 Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei x 4x x + 4x + 4 = x este: A [, 3] (, ) [, ) [, ] (, ] 5 Soluţia ecuaţiei ( 3 ) x ( ) x = 3 este: ln ( ) log 3 log 3 ( ). 6 Soluţia ecuaţiei ( x ( ) + ) x ( ) x = este: A orice număr real ecuaţia nu are soluţie. 7 Ecuaţia ( ) x+ ( ) x = 98 are mulţimea soluţiilor: A {3} { 3; 3} { 3} { } { D 3; 3 3 ; 3}. Fie f : (, ) R, f(x) = log x log x 4 + log x 4 log x 8 + +, unde n 5 este log x n log x n+ un număr întreg. 8 f( ) este: A n n+ n+ n n+ n n+ n 9 Soluţia ecuaţiei f(x) = 4n n+ este: 4 4 n { x Mulţimea soluţiilor sistemului de ecuaţii + y = 45 este: lg x + lg y = A {(; )} {(; )}; (; )} {(; 5); (5; )} {(; ); (; )} {(; 5)}. Soluţiile ecuaţiei log x 4x + log 4x 6x = 4 aparţin mulţimii: {3} {} ] [ C, {log 3} (, ).

18 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei lg ( (x 3 x ) ) < lg(x 3 + x ) este: A R (, ) (, ) (, ) alt răspuns. Fie funcţia f : R R, f(x) = 9 x 5 x 4 x. 3 Numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f(x) = este: Numărul de soluţii reale ale ecuaţiei f(x) x = este: A Mulţimea soluţiilor ecuaţiei log 3 x log x 9 = este: A {x R x <, x } { 9} {9} { 3, 9}. ln(x + a) Se consideră funcţia f : D R, f(x) =, a R. x 6 Domeniul de definiţie al funcţiei este: (, ) (, ) {} x (a, ) x ( a, ) x ( a+ a, ) 7 Mulţimea valorilor lui a pentru care f(x) >, pentru orice x D este: A (, ) (, ) [, ) (, ) alt răspuns 8 Dacă log 6 = a, atunci valoarea lui log 6 34 este: A a + 3 5a 4 a a ( a) a. 9 Fie a = lg şi b = lg 3. Dacă x = 3 log 7 (lg 5)3 atunci: A x = 3 b + a x = + b a x = x + = a + b x = 8ab. 3 Valoarea expresiei este: 3 D Valoarea expresiei este: Mulţimea valorilor parametrului real m, pentru care ecuaţia X 4 mx 4 = admite rădăcina reală , este: {} {4} {} { 4, 4} 3 Ştiind că a este rădăcina reală a ecuaţiei x 3 + x + =, să se calculeze 3 (3a a + )(3a + a) + a. A a + 3 a 4 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care oricare ar fi x real este: m 9 x + 4(m )3 x + m > (, ) [, ) [, ] (, )

19 5 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei lg ( (x ) ) < lg x este: A R (, ) (, ) (, ) ( D, ) (, ). 6 Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log x ( + x) + log x ( + x) + log x 4( + x) 7 4 este: (, ) (, ) (, ) (, ) R. 7 Valoarea sumei S n = (3n )(3n+), n N, este: A n 3n 3n+ 3n+ n+ 3n+ n n 3n+ 3(3n+). 8 Suma! + 3! + + n (n+)!, n N, este egală cu: A n+ n (n+)! (n+)! D n n (n+)! n+. 9 Suma n A 3 k Ck n are valoarea: 8C 3 n n A 3 n A 3 n n 3 n C 3 n+ 3 n k=3 3 Suma Cn + Cn + 3Cn ncn, n n N, este egală cu: A n n n n n n(n+) alt răspuns. n kcn k 3 Suma C k, n N, este egală cu: k= n n(n+) ( ) n(n+) n(n+)(n+) 4 n(n ) n 3 n + n. 3 Soluţia ecuaţiei A 6 x 4xCx 4 = A 4 x aparţine mulţimii: A [5, 7] [8, ) {} {4} {6}. ( 33 Să se determine termenul independent de a al dezvoltării ) 7 a 3 a. A C7 6 C7 7 C7 8 C7 C7. 34 O progresie aritmetică crescătoare (a n ) n verifică relaţiile a 9 + a + a = 5 şi a 9 a a =. Suma primilor de termeni din progresie este: A Ecuaţia x 3 (4 i)x ( + i)x + a =, a R, are o rădăcină reală dacă şi numai dacă a aparţine mulţimii: A {, } {, } {, 4} {, 4} R 3

20 36 Pentru ce valori ale parametrului real b ecuaţia x 3 + a(a + )x + ax a(a + b) = admite o rădăcină independentă de a? a. x =, b =. 37 Numerele reale nenule a, b, c sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 a x + b x + c =. În acest caz tripletul (a, b, c) este: A (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) alt răspuns. 38 Care este valoarea parametrului raţional m, dacă ecuaţia x 4 7x 3 + (3 + m)x (3 + 4m)x + m = admite soluţia x = + 3 şi soluţiile x 3 şi x 4 verifică relaţia x 3 = x 4? A Soluţiile ecuaţiei zz + (z z) = + 8i, z C, sunt: A ± + 4i ±4 + i 4 + i 4 i alt răspuns. 4 Fie x, x,..., x n rădăcinile ecuaţiei x n 3x n + x + =. Valoarea sumei n x k S = x k este: 3n 5 n + C n n n(n+) n +n k= 4 Valoarea lui m pentru care ecuaţia x 3 6x + x + m = are rădăcinile în progresie aritmetică aparţine mulţimii: A [, ] [, 4] [ 4, ] [ 7, 5] [5, 6]. 4 Dacă ecuaţia x 3 +mx +4x+4 = admite o rădăcină dublă, atunci m aparţine mulţimii: A [ 5, ] [, ] [ 8, 5] {3} (6, ). 43 Mulţimea valorilor lui m R pentru care ecuaţia x 3 8x + m = are o rădăcină egală cu dublul altei rădăcini este: A {48} { 48} R {48} R { 48} { 48, +48}. x + y + z = 44 Sistemul de ecuaţii x + y + z = are: = x y z A o soluţie două soluţii trei soluţii patru soluţii şase soluţii. 4

21 Se consideră ecuaţia x 4 5x 3 + ax 7x + = cu a parametru real Valoarea sumei, unde x i sunt rădăcinile ecuaţiei, este x i= i Valoarea parametrului a pentru care ecuaţia are rădăcină triplă este A { } { 7 5, 3} {9} {3, 7, 9} 47 Valorile parametrului m R pentru care suma a două rădăcini ale ecuaţiei x 4 + x 3 + m x + 5x + 4 = este egală cu suma celorlalte două rădăcini aparţin mulţimii: A [, ] [ 4, ] {5} [3, 4] [, ]. Fie (x + )(x + )(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 9 A k x k. k= 9 48 A k este: alt răspuns k= 4 49 A k este: k= 5 Fie polinomul P C [X], P = X 3 + px + q, cu rădăcinile x, x, x 3. Să se determine polinomul cu rădăcinile x, x, x 3. X 3 + px + p X q X 3 + px 4pX + q C X 3 + px + p X + q X 4 + qx + 5 X 3 px + qx + q. 5 Restul împărţirii polinomului + X + X + + X 998 la + X este egal cu: A Polinomul (X + X ) n X este divizibil cu polinomul X dacă şi numai dacă: n = k, k N n = 3k, k N n = k, k N n = 3k +, k N E n = 3k +, k N 53 Polinomul (X + X + ) n X este divizibil cu polinomul X + dacă şi numai dacă: n = 3k, k N n = 4k, k N n = 4k +, k N n = 4k +, k N E n = 4k + 3, k N. 54 Mulţimea valorilor parametrului real a, pentru care ecuaţia x 3 + ax + = are toate rădăcinile reale şi ele verifică relaţia x 4 + x4 + x4 3 = 8, este: A { } {3} { 3} { 3, 3}. 55 Mulţimea valorilor parametrului real m pentru care ecuaţia are toate rădăcinile reale este: x(x )(x )(x 3) = m [, 9/4] [, 9/6] [, 9] [, /6] 5

22 56 Restul împărţirii polinomului P (X) = X + X 5 X 4 X 3 + X + la polinomul X 3 + X este: X + X + X X X + X + X Se consideră polinoamele cu coeficienţi complecşi P (X) = a + a X + + a n X n şi Q(X) = b + b X + + b m X m. Ştiind că polinomul Q(X) se divide cu X, să se determine suma coeficienţilor polinomului P (Q(X)). ( n n ( m ) A a i B a i) b i a n b m a a b. i= i= i= 58 Un polinom de grad mai mare sau egal cu, împărţit la X dă restul 3 şi împărţit la X + dă restul 5. Restul împărţirii la X este: A 5 3X 5 3X +5 4X nu se poate determina din datele problemei. 59 Restul împărţirii polinomului X 4 + 4X la polinomul X + este: A 4X + 4 4X 399 4X + 4 4X Fie numărul complex z = + i. 6 Numărul complex z este: i i i +i Alt răspuns 6 Dacă z n este real, pentru o anume valoare n N, atunci numărul complex z n este: A i n n ( ) n 6 Fie z, z C. Dacă z + z = 3 şi z = z =, atunci z z este: A C 3 D Valoarea parametrului m R pentru care rădăcinile x, x, x 3 ale ecuaţiei x 3 +x+m =, m R, verifică relaţia x 5 + x5 + x5 3 = este: A Dacă a < b < c şi D = a + b + c + (a + ) (b + ) (c + ), atunci: A D = D D < D > D = a b c. ( ) ( ) a 65 Există matrice nenule X M (R ) astfel ca X = a dacă şi numai dacă: A a = a { 3, } a {, } a R a {, }. 66 Dacă x, x, x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 x + x + 6 =, atunci valoarea determinatului x x x 3 x x 3 x x 3 x x este:

23 67 Dacă A M n (C) este o matrice inversabilă astfel ca A + A = I n, atunci are loc egalitatea: A A = 3I n A 3 + A 3 = I n A = A A + A = I n A A = I n. Fie x, x, x 3, x 4 rădăcinile polinomului P = X 4 + X 3 + X + X x + x + x 3 + x 4 este: / 69 x + x + x 3 + x 4 este: 4 7 x 8 + x8 + x8 3 + x38 4 este: 3 4 4( + i) Se consideră matricea: A = i i. i i 7 Determinantul matricei A este: 6i 6i A 4 este: I 4 I 4 4I 4 6I 4 56I 4 73 Numărul soluţiilor n Z ale ecuaţiei matriceale 6A 8n + 6I 4 = 57A 4n este: A Se dă matricea A = 74 det A este: 75 Numărul de soluţii în M 3 (R) ale ecuaţiei X = A este: A 76 Numărul soluţiilor ecuaţiei X = I în M (N ) este: A Fie A M 3, (C). Atunci det(a A T ) este: A strict pozitiv strict negativ zero de modul ( ) 3 6 Se dă ecuaţia: X n =, n N 4, X M (R). ( ) Determinantul matricei este: Câte soluţii are ecuaţia pentru n impar? n o infinitate 8 Câte soluţii are ecuaţia pentru n par? n E o infinitate 8 Mulţimea valorilor lui a R pentru care sistemul x + y + z =, x + y + az =, x + 4y + a z = are soluţie nebanală, este: A R R {, } {, 3} {, } {, 3} 7

24 ( ) a b 8 Dacă A = M c a (R) şi n N, atunci: A n = (a + bc)i A n = (a + bc) n I A n = (a + bc) n I D A n+ = (a + bc) n I A n = (a + bc) n A. 83 Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care sistemul de ecuaţii ax + y + z = x + ay + z = x + y + az = x + y + z = este compatibil este: R {, } R {, } { }. 84 Matricea A = verifică relaţia A 3 = pa + qa pentru: A p =, q = 3 p =, q = p = 3, q = p = 3,q = p =, q =. 85 Mulţimea valorilor reale ale lui m, pentru care sistemul mx + y + z = x + my + z = x + y + z = este compatibil determinat şi soluţia (x, y, z) verifică relaţia x + y z, este: A (, ] [, ) ( C, ] 3 (, ) (, ) (, ). 86 Mulţimea valorilor lui x R, pentru care determinantul x x 3 8 x 4 este nul, este: {,, } R {,, } {,, } {}. b 4 87 Rangul matricei a 3 este egal cu, dacă şi numai dacă: a 4 A a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = Pe R se defineşte legea de compoziţie: x y = xy ax + by. Numerele a, b R pentru care (R, ) este monoid sunt: a = b a =, b = a = b = sau a =, b = a =, b = nu există astfel de numere. 8

25 Pe intervalul (, ) definim legea: x y = x ln y 89 Această lege este: necomutativă comutativă neasociativă 9 Elementul unitate este: e 9 Simetricul lui x este: x = e x x = e ln x x = e x x = x x = x 9 Fie grupurile (C, ) şi (R, ). Să se determine a R şi b R astfel ca funcţia f : C R, f(z) = a z + b, să fie morfism de grupuri. A a =, b = a =, b = a =, b = a =, b = 3 a =, b =. 93 Mulţimea elementelor inversabile ale monoidului (Z[i], ) este: A {, } {,, i, i} { i, + i} {, i, i, }. 94 Fie m Z şi operaţia definită prin x y = xy + mx + my + a. Valoarea lui a pentru care operaţia defineşte o structură de monoid pe Z este: A m m m m m. Pe mulţimea numerelor reale R se defineşte legea de compoziţie prin x y = xy x y + λ, λ R. 95 Legea este asociativă pentru: λ = λ = λ = λ = 3 λ = 6 96 Mulţimea M = (; ) este parte stabilă a lui R în raport cu legea pentru: λ = λ = 3 λ < 3 λ 6 λ > 6 97 Legea are element neutru pentru: A λ = 4 λ = 6 λ = 6 λ = 98 Legea de compoziţie x y = n x n + y n, determină pe R o structură de grup, dacă şi numai dacă: A n = n = 3 n = k, k N n = k +, k N n, n N. 99 In monoidul (M (Z), ) mulţimea elementelor inversabile este: {A det A } {A det A = } { I, I } D {A det A = } {A det A {, }}. Să se determine grupul (G, ), ştiind că funcţia f : (, ) G, f(x) = x +, este un izomorfism al grupurilor ((, ), ) şi (G, ). G = (, ) şi x y = xy G = (, ) şi x y = xy G = (, ) şi x y = xy x y + G = R şi x y = x + y E G = (, ) şi x y = x + y. 9

26 Se consideră grupurile G = (R, +) şi H = (R, ), unde x y = x+y+. Funcţia f : R R f(x) = ax + b este izomorfism de la G la H, dacă şi numai dacă: a = b = a =, b = a, b = a =, b E a =, şi b =. Fie funcţia f(x) = ax+b cx+d între grupurile ((, ), ) şi ((, ), ), unde x y = x+y +xy. Funcţia f păstrează unităţile grupurilor dacă: b = d a = c c = 3 Funcţia f este izomorfism între cele două grupuri dacă: A a = b = d =, c = a = b = c, d = a = b = d = c = a a Fie monoidul (M, ) unde M = {A a a R} cu A a =. a a 4 Matricea A A este: A A A 3 5 Elementul unitate este: I 3 A A A 6 Inversul elementului A este: A A A A 4 Pe R se consideră legea de compoziţie x y = ax + by + c, a, b. 7 este asociativă dacă şi numai dacă a = b, c = a = b =, c R a = b = c = 8 este asociativă şi admite element neutru dacă şi numai dacă a = b =, c = a = b =, c R a = b = c = a = b =, c =. 9 (R, ) este grup dacă şi numai dacă a = b =, c = a = b =, c R a = b = c = D a = b =, c = alt răspuns Funcţia f : Z Z, f(x) = ax este automorfism al grupului (Z, +) dacă şi numai dacă: A a =, a = a {, } a Z a {, }. Fie funcţia f : R R, f(x) = ax + b x, a, b R. Mulţimea perechilor (a, b) R R + pentru care imaginea funcţiei f este Im f = [ 3, ] este: {(, )} {( )} {( ) ( )} {(, C 3,, 3, D, ), (, )} E {(, ), (, )}. Imaginea funcţiei f : R R, f(x) = x + ax + x, a R, este inclusă în intervalul [, ], + x + dacă: A a 3 a a [, ) a [, ] a (, ).

27 6 x 3 Mulţimea valorilor lui x, pentru care este definit radicalul x, conţine: A 5 elemente 7 elemente un interval 4 elemente nici un element 4 Mulţimea numerelor complexe z care verifică ecuaţia z z + = este: {, } { i, i + } {,, ( )i, ( )i} D {,, i}. 5 Se consideră ecuaţia ax + bx + c =, unde a, b, c sunt numere întregi impare. Care din următoarele afirmaţii este adevărată? ecuaţia are o rădăcină pară ecuaţia are o rădăcină impară ecuaţia are două rădăcini pare ecuaţia nu are rădăcini întregi E ecuaţia are două rădăcini impare. 6 Ecuaţia mx + x + + mx x + = x are soluţii reale dacă şi numai dacă: m = m = m = m = 4 m >. 7 Mulţimea valorilor lui a R pentru care ecuaţia x 4 + 4x 3 + ax + 4x + = are toate rădăcinile reale este: A (, ] (, ] {6} [4, ) {}. 8 Soluţiile ecuaţiei 3 x + x x 3 x = aparţin mulţimii: A [ 3, ] [, ] {; } [3, ) { }. ( 9 Mulţimea valorilor lui a R pentru care log a x + 4 ), x R, este: A (, ] [, ) (, 4] [, 3] (, 3). Soluţia x a ecuaţiei log x (x + ) + log x 3(x 3 + ) = log x (x + ) verifică: A x [, ) x x (, 3) x (3, 4) x (, ) Cel mai mare termen al dezvoltării binomului ( + ) este: A T 57 T 58 T 59 T 6 T 6. Fie m, n, p numere naturale nenule, m n. Dacă într-o progresie aritmetică avem a n = m, şi a m = n, atunci a p este egal cu: A m + n p p m n m + n p p m n m + n + p. Fie polinomul P (x) = x 3 x x + a, unde a este un parametru real. 3 Valoarea lui a pentru care polinomul are o rădăcină dublă întreagă este: a = a = a = a = a = 3 4 Valoarea lui a pentru care polinomul are o rădăcină triplă întreagă este: A a = nu există un astfel de a a = a = a =

28 Fie x n = ( + 3) n, n N. 5 Câte perechi (a n, b n ) Z Z cu proprietatea x n = a n + b n 3 există pentru n fixat? 3 o infinitate 6 Valoarea lui a n 3b n este: Câte soluţii are ecuaţia x = 3y + în Z Z? A o infinitate 8 Fie x, x, x 3, x 4 şi x 5 rădăcinile ecuaţiei x 5 + x 4 + =. 5 Valoarea sumei x 4 este: 4 3 i= i Ecuaţia x 4 8x 3 + ax bx + 6 = are toate rădăcinile pozitive, a, b R. 9 Media aritmetică a rădăcinilor x, x, x 3, x 4 este Media geometrică a rădăcinilor x, x, x 3, x 4 este Valorile parametrilor a, b R pentru care ecuaţia are toate rădăcinile reale şi pozitive sunt: A a =, b = a = 4, b = 3 a = 4, b = a = 3, b = 4 a =, b = 3 Fie x, x C rădăcinile ecuaţiei x + x + =. 3 Valoarea sumei x + x este: 33 Valoarea sumei x 3 + x3 este: Fie A M (R) o matrice, A O astfel încât det(i A) det(x I A) = x. Valoarea lui det(i + x A + x A ) este: x 35 Dacă A M (R), A O şi există n 6 astfel ca A n = O, atunci valoarea minimă a lui p N pentru care A p = O este: Mulţimea G = {z C az n = b}, a C, b C, este un subgrup al grupului (C, ) dacă: b = a = b a = b a = b a n = b. 37 Câte elemente inversabile are monoidului ( Z [ ], )? A 4 o infinitate ax + by 38 Funcţia f(x, y) =, a, b R, este o lege de compoziţie pe intervalul (, ) dacă: + xy a = b = a + b (, ) a (, ) şi b (, ) a = b [, ] E a + b =. 39 Fie x y = x + y + xy, x, y (, ). Numărul 3 este: A ; ; ; ;

29 Analiză matematică ( 4 lim n n + n + + n ) n este: 4 lim ( + sin x ) n n n este: n 4 lim n ln n ( n n ) este: 4 e x e x e x e e e 43 Se dă şirul cu termeni pozitivi (a n ) n prin relaţiile: a = ; a = 6; a n+ = a na n, n. Limita şirului (a n ) n este: Se consideră şirul (x n ) n definit prin: x n+ a x n + =, x = a. Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care şirul (x n ) este strict descrescător este: A (, ) (, ) (, ) (, ). 45 Fie a R, a > un număr fixat. Se consideră şirurile (x n ) n N, (b n ) n N definite prin x n+ = a (n+)! n+ xn, n, x =, b n = n x k. k= Limita lim n este: n a a a Se consideră şirul (x n ) n definit prin x n+ = x n +, x =. x n 46 Limita şirului (x n ) n este: e nu există x n 47 lim este egală cu: n n 3 π 3

30 48 Se consideră şirul (x n ) n, definit prin relaţia de recurenţă x n+ = e x n, x R. Numărul valorilor lui x pentru care şirul este constant 5 49 Şirul este crescător dacă şi numai dacă x aparţine mulţimii: (, ) [, ) (, ] (, ) R 5 Dacă x >, lim x n este: n nu există e 5 Şirul este convergent dacă şi numai dacă x aparţine mulţimii: {} (, ] (, ) (, ) 5 Pentru x =, lim nx n este: n nu există Valorile limitelor următoare sunt: 53 lim n n 54 lim ( n ) n n 55 lim ( )( 3 ) ( n ) n D e 56 Fie (a n ) n un şir de numere reale, astfel ca şirul este: n a n ln n, n, să fie mărginit. Limita şirului (a n ) n este: e e 57 Fie a R astfel încât şirul (x n ) n, ( x n = ) ( a + n ), n să fie mărginit. Limita lui este: ln ln 3n+( ) 58 Valoarea limitei lim n n 3n ( ) este: n A 3 nu există, conform teoremei Stolz-Cesaro lim n 3 + n + 3 n 3 este: n ( n 3n + 6 lim n n + ln( + e n ) ln( + e 3n ) este: 6 lim n ) n +n+ n+ este: 4 e 6 e e 3 e e ln

31 6 Limita lim n ( n ) n+ + n n 3n + este: n + 63 lim este: n e n (k + ) 64 lim n k(k + ) este: k= n 65 lim n (k + ) k + k k + k= C + nu există n k 66 lim n ( + k )( + k+ ) este: k= n k + 67 lim n k (k + ) este: k= n 68 lim, unde (a k ), k N, a >, formează o progresie aritmetică cu raţia n a k a k+ k= r >, este: a r a n k 69 Fie S =, n. Alegeţi afirmaţia corectă: k! k= S < 3 S > 3 S = e S < S = e n 7 lim n 4k 4 nu există k= n 6 7 lim n k(k + )(k + 3) k= ( 7 Limita şirului (x n ) n, x n = cos π ) 4n + n +, este: A nu există. 5 n n! 73 lim n n n n e 74 Fie p N \ {, }, q >. Se cere valoarea limitei: qn + lim n qn qn + p + qn + p... qn + np + qn + np. p p q p p+q q p q p+q p p p q p p p q 5

32 75 Fie x un întreg pozitiv. Se defineşte şirul (x n ) n prin x n, dacă x n este par, x n+ = + x n, dacă x n este impar, n =,,... Limita şirului (x n ) n este: A e Nu există pentru unele valori ale lui x a + a + 3 a + + n a n 76 lim, a >, este: n ln n A ln a e a n ( 77 lim n k + ) 3 k este: k= n Cn k 78 Limita lim n (n) k este e e. k= n 79 Fie p n = cos( k x), x kπ. Atunci lim p n este: n k= n 8 lim n k= n 8 lim n k= ( + 8 lim n cos x x Limita lim n sin x x C k n n n + k este: kc k n n n + k este: cos nπ n nu există.. ) n este: e nu există + x n (x + 4) 83 lim n x(x n, x > este: + ) x x x +4 x alt răspuns n 84 lim arcsin k n n este: π k= n 85 Se consideră şirul (x n ) n, x n = n + (k )(k )!. x n n este: k= e e. 6

33 86 Fie x R. Notăm cu x partea întreagă a numărului x. Limita şirului x n = x + 3 x + + (n ) x n 3, n, este: x 3x 4 4x 3 ( ) 87 lim n n ln a n n n + a + + a n, unde a (, ), este: A ln a + ln a + ln a ln a ln a ln 88 lim + ln ln n n n ln este: n nu există 89 Şirul a n = n 9 a n, a R, este convergent dacă: a = 9 a = a = /9 a = / E nu există un astfel de a. 9 Fie şirul (x n ) n, x n = ac + (a + ab)c + + (a + ab + + ab n )c n+. Atunci, pentru orice a, b, c R cu proprietăţile c <, b şi bc <, avem: (x n ) nu este convergent lim x n = n lim x n = n lim x n = a+bc n ( ab)c lim x ac n = n ( bc)( c). 9 Pentru numărul natural n, notăm cu x n cel mai mare număr natural p pentru care este adevărată inegalitatea 3 p 8 n x n. Atunci lim n n este: A log 3 8 Limita nu există. Fie < b < a şi (x n ) n N unde x =, x = a + b, x n+ = (a + b)x n+ ab x n, n N x 9 Dacă < b < a şi l = lim n+ n x n atunci l = a l = b l = a b l = b a nu se poate calcula n 93 Dacă < b < a < şi L = lim x k atunci: n k= L = L = ( a)( b) L = a b a+b ( a)( b) L = ( a)( b) L = a+b ( a)( b) 94 Mulţimea tuturor valorilor lui a pentru care şirul (x n ) n definit prin recurenţa x = a, x n+ = x n 4x n + 6, este convergent este: A {} [, ] {} (, ) [, 3]. ( ) (p + n)! n 95 lim n n!n p, p N este: e e /6 e p(p+). 7

34 96 Câte şiruri convergente de numere reale (x n ) n verifică relaţia x n+k =, k= pentru orice n N? o infinitate 97 Şirul (x n ), x n = are limita π n 6. Să se calculeze limita şirului (y n), y n = (n ) π 8 π 3 π 6 π 3 π. 98 Fie x n soluţia ecuaţiei tg x = x din intervalul ( nπ, nπ + π ), n N. Valoarea limitei ( lim n nπ + π ) n x n este: π π π 4 99 Mulţimea valorilor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x este: [ ] A, e e R [, ] ) ( ] ( D, e [, e], e e x x x x 3 lim x ( x). e e 3 lim (( + x + x)x ) x e nu există de n ori sin {}}{ x sin(sin( (sin x) )) 3 lim x x 3 A n/ n/3 n/4 alt răspuns (x + ) (x ) 33 lim x x. A 4 alt răspuns. ( + ax) x ( + x) a x 34 lim, a R. x x A a( a) a( a) a e a( a) e a arcsin(sin x) 35 lim x x nu există 36 lim x este: x x nu există. 8

35 ( sin ax + bx + c ) 37 lim x x, unde a, b, c R astfel încât a + b + c = π, este: A a + b π a b a + b a+b (a + b). x sin x 38 lim x x + sin x este: nu există. x lim x 3 x nu există sin x + sin x + + sin nx 3 lim x x A n(n + x) n n(n+) (n + )(n + ) n(n + 3) m arctg k x k= 3 lim x m m(m+) ln( + k 3 m+ m+ 3 m(m+) (m+)(m+) m π e x) k= a x 3 lim ax a nx n, a, a,..., a n >. x x ln(a a a n ) ln a + ln a + + ln a n ln(a a an n) e a +a + +na n E e a +a + +a n ( x + ) n ( x + x ) n x 33 lim x 34 lim x 35 lim x 36 lim xe x x x n ( ( x x ln + )) x ( x x + x + ( ( 37 lim x + x ) ex x x) Valoarea limitelor: sin x n sin n x 38 lim x x n+, n N, n ; ( 39 lim x sin x ) e x. tg(sin x) x 3 lim x x 3 n n 3 n 3 n + ) 9 e nu există e e e n 6 n 6 e e /3 /6 π/

36 ( a x + b x + c x 3 lim x 3 ( ) ( + x) x x 3 lim x e ( cos x 33 lim x cos x ( tg x 34 lim x x ) x ) sin x ) 35 lim x 36 lim(a x + x) sin x, a >, este: x 37 lim x x> 38 lim n n 39 lim n A e 3 x, a, b, c >, ( x ) x + x + ln(ex + x) este: x ( x ) ln x ) (e n+ e n : ( ( lim + tg (x) + tg (x) + + tg (nx) )) n 3 x x e 3 e A 3 abc nu există ln abc a+b+c 3 e e e e 3 e e e e e e 3 e ae e ln a a e a e nu există - Limita nu există e. 33 Dacă a >, atunci limita lim are valoarea: n + an A limita nu există, pentru a <. 33 Pentru ( ce valori ale parametrilor reali a şi b avem lim x + x + + x + x + ax b) =? x A a = b = a = b = a =, b = a =, b = a =, b = 3. Se consideră funcţia f : D R, f(x) = arcsin (x ) x, unde D este domeniul maxim de definiţie. 33 Mulţimea punctelor de continuitate ale funcţiei este: [, ] (, ) (, ) [, ] alt răspuns. 333 Mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei este: [, ] [, ] [, ) (, ) alt răspuns. 334 Mulţimea punctelor în care funcţia are derivată este: A [, ] [, ] [, ) (, ] alt răspuns. 3 este:

37 Fie f : R R o funcţie continuă. Ce concluzie se poate trage asupra funcţiei f dacă: 335 lim f(x) = şi lim f(x) = +. x + x f este strict crescătoare f este injectivă f este surjectivă f nu este injectivă f este inversabilă 336 lim f(x) = lim f(x) = +. x x + f este descrescătoare f este injectivă f este surjectivă f este inversabilă f nu este injectivă 337 f este injectivă. f este surjectivă f este strict monotonă f are cel puţin două zerouri D f este inversabilă f este o funcţie impară (e x + x) n+ e (n+)x 338 lim x xe nx este: n + e. x e nx + x 339 Funcţia f definită prin f(x) = lim n e nx + este definită numai pentru x este definită şi continuă pe R este definită şi derivabilă pe R este definită pe R dar nu este continuă pe R E este definită numai pentru x =. x n + x 34 Fie funcţia f : R { } R, f(x) = lim n x n +. Care din afirmaţiile de mai jos sunt adevărate? f nu e bine definită pe (, ) căci limita nu există. f este continuă în. singurul punct de discontinuitate este x =. D f are limită în x = f continuă pe (, ). 34 Mulţimea punctelor de continuitate ale funcţiei f : R R, + x n f(x) = lim n + x + x + + x n este: R R \ {, } R R \ {,, } R \ { } 34 Ecuaţia x + = me x, unde m este un parametru real, are trei soluţii reale şi distincte dacă: m = m = e m = π m = 3 m = Ecuaţia m e x = x, m R, are două rădăcini reale şi distincte dacă şi numai dacă m aparţine mulţimii: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 344 Fie funcţia f(x) = x3 ax. Valorile numerelor reale a şi b pentru care dreapta y = x+4 + bx este asimptotă la sunt: A a = 4; b = a = ; b = 4 a = 4; b = a = ; b = 4 a = ; b = 4 3

38 (x + )3 Fie funcţia f : R R, f(x) = x x Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul în care graficul funcţiei intersectează axa Oy este: y x+ = y x+ = y 4x = 4y x+ = 4y 4x+ = 346 Ecuaţia normalei la graficul funcţiei f în punctul în care graficul funcţiei intersectează axa Oy este: A y x+ = 4 y x+ = y x+ = y+ 4 x = 4y x+ = 347 Fie polinomul P (x) = ax 3 +x bx 6, a, b R. Valorile lui a şi b pentru care polinomul P (x + ) + P P (x) (x) este divizibil cu (x ) şi lim x x(bx + )(x ) = 3 sunt: a =, b = a =, b = a = 3, b = a =, b = E nu există astfel de a şi b 348 Funcţia f(x) =, x (, ), admite asimptota oblică de ecuaţie: e x A y = x y = x + y = x + y = x y = x. 349 Fie f : D R, f(x) = x + bx + x, D-domeniul maxim de definiţie al lui f. Mulţimea + x + c tuturor valorilor (b, c) R pentru care funcţia f are o singură asimptotă verticală şi graficul lui f nu intersectează asimptota orizontală este: {(b, c) R b, c = } {(b, c) R c = } {(b, c) R b = 3, c = } {(b, c) R c =, b = sau c =, b = 3} E nici unul din răspunsurile anterioare nu e corect. 35 Graficul funcţiei f : R { } 3 x + R, f(x) = x 3 admite: o asimptotă verticală şi una orizontală o asimptotă verticală şi una oblică o asimptotă orizontală şi una oblică o asimptotă verticală şi două oblice E o asimptotă verticală şi două orizontale. (m ) 35 Valorile lui m R astfel încât lim x + = sunt: x 3x + A, 4, 3, 3, 4, 35 Funcţia f : D R, f(x) = x a x, a, b R, are pe domeniul maxim de definiţie două b asimptote verticale dacă şi numai dacă: A a = b = a =, b = a = b = a =, b = b >, a b. 3

39 353 Abscisele punctelor în care graficele funcţiilor f, g : R R, sunt tangente sunt: 354 Egalitatea f(x) = x 6 şi g(x) = x 5 x ± ± 3 ± 5 nu există arctg a + arctg b = arctg a + b ab are loc dacă şi numai dacă numerele reale a şi b satisfac condiţia: A ab > ab < ab ab > b =, a R. 355 Numărul de valori ale parametrului real a [, ] pentru care funcţia f : [, ] R, f(x) = x x a, este convexă pe [, ] este: A 4 infinit. 356 Fie Q(x) câtul împărţirii polinomului 99(x ) x(x 99 ) la (x ) 3. Valoarea Q() este: alt răspuns. 357 Funcţia f : R R este derivabilă şi sunt verificate condiţiile: f() =, f (x) = 3 f(x), x R. Valoarea f(ln ) este: Care dintre următoarele afirmaţii este adevărată pentru orice funcţie f : R \ {} R care are derivată strict pozitivă? f este crescătoare pe R \ {} f este crescătoare pe (, ) C f este descrescătoare f este mărginită f este convexă. 359 O funcţie polinomială neconstantă P : R R, este strict crescătoare dacă şi numai dacă: P (x), x R P (x) >, x R P (x), x R C P (x), x R P (x) >, x R 36 Să se studieze derivabilitatea funcţiei f : [, ) R, f(x) = x x. f derivabilă pe (, ) f are în (5, ) punct de întoarcere f are în (5, ) punct unghiular f este derivabilă în x = 5 E f este derivabilă numai pe (5, ). 36 Dacă f : R R, f(x) = 5 6 x3 x + sin x, atunci f () este: A / 5 / 5 nu există { x 36 Fie f : R R, f(x) = sin x, x. Care din afirmaţiile următoare este, x = adevărată? f nu e continuă în f este derivabilă în f nu are limită în lim f (x) x E f are limită la +, egală cu, şi la, egală cu. 33

40 363 Se consideră funcţia f : D R, f(x) = arctg x + arcsin x, unde D este domeniul maxim de definiţie al funcţiei f. Mulţimea valorilor funcţiei f este: ] ( A, π R ( C π, ) [ π, π ] ( ] [, π π, ). Se consideră funcţia f : D R, f(x) = ln( + x x), unde D este domeniul maxim de definiţie. f(x) 364 lim este: x x e 365 f ( 4 ) este: 366 Numărul punctelor de extrem local ale funcţiei f este: Valoarea lui a pentru care funcţia f : R R, f(x) = x x a, este derivabilă pe R este: A a = a = a = a = a =. 368 Fie g şi h două funcţii derivabile pe R şi f : R R, f(x) = g(x) h(x). Dacă h(x ) =, atunci funcţia f este derivabilă în x dacă şi numai dacă: A h (x ) = g(x ) > g(x ) = g(x )h (x ) = alt răspuns { ax 369 Funcţia f : [, ] R f(x) = x + b, x, unde a, b R, ln(x 3x + 3) + x, < x a >, este o funcţie derivabilă pentru: A a = 6, b = a = 8, b = 3 a = 8, b = 3 a =, b = 4 a b =. 37 Derivata funcţiei f : R R, f(x) = 6 x, în punctul zero, este: A /3 nu există. 37 Fie f : R R, f(x) = x 3 + x. Valoarea lui (f ) (3) este: A Fie funcţia f : R \ {} R, f(x) = x + αx + β, unde α, β R. Valorile lui α şi β x pentru care f admite un extrem în punctul M(, ) sunt: A α =, β = α =, β = α = β = α = 3, β = α =, β = 373 Se consideră funcţia f : [, ) R, f(x) = { ln(x + x + ) ; x x x 4 ; x >. Notăm cu α numărul punctelor de extrem, cu β numărul punctelor unghiulare şi cu γ numărul punctelor de întoarcere ale funcţiei f. Atunci: α = 5, β =, γ = α = 5, β = γ = α = 5, β =, γ = D α β = 4, β γ = α = 4, β =, γ =. 34

41 374 Fie f : R R, f(x) = ln( + x ) x. Care din următoarele afirmaţii sunt adevărate? f e strict pozitivă pe R f e strict crescătoare pe R f e strict negativă pe R f verifică inegalitatea f(x) >, x (, ) E f verifică inegalitatea f(x) >, x (, ). 375 Mulţimea valorilor parametrului real a pentru care ecuaţia e x a = ln(x + a) nu are nici o soluţie este: R (, ) (, ) (, ) 376 Fie f : R R, f(x) = x 3 + x + 4x + 4. Valoarea lui (f ) (4) este: A Dacă f : R R este o funcţie cu derivata de ordinul al doilea continuă( astfel încât ) f() = f () = f () =, iar funcţia g : R R este definită prin g(x) = f x + 3, atunci: g() = g () = g () = g() + g () N g () = g () = E g () =, g () = 5 4. Fie funcţia f dată prin f(x) = x 378 Mulţimea rădăcinilor derivatei de ordinul doi a funcţiei este: {} { ; ; } {; } 379 Mulţimea rădăcinilor derivatei de ordinul trei a funcţiei este: A {} { ; ; } {; } Fie f : (, + ) R o funcţie de două ori derivabilă astfel încât f (x) =, x > şi x f() = f () =. 38 f (x) are expresia: x x C x ln x Alt răspuns 38 f(x) are expresia: x 3 x 3 x ln x x x ln x + x Alt răspuns 38 Numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei ln x = x este: A 3 Alt răspuns Se dă funcţia f : R R, f(x) = x4 + x. 383 Care este valoarea lui f( )? Care este soluţia inecuaţiei f(x) 3? [, ] (, ] [, ) (, ] alt răspuns 385 Numărul punctelor de extrem local ale funcţiei f este: A

42 Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x e x 386 Suma pătratelor absciselor punctelor de inflexiune ale graficului funcţiei este egală cu: Aria mărginită de graficul funcţiei f, dreptele x =, x = şi axa OX este egală cu: e 4 e 4 e e 3 e 4 e 4 alt răspuns 388 Funcţia f : (, ) R, f(x) = αx + ln( + x), α R, are două puncte de extrem local pentru: α = α = α (, ) α > α <. 389 Se dă funcţia f : R R, f(x) = e x (x + 6x + m), unde m este un parametru real. Funcţia f admite puncte de extrem pentru: A m (, ] m (, ) m R m (, ) m [, ) 39 Inegalitatea a x x + are loc pentru orice x R dacă şi numai dacă: A a = a = e a > a > e a < e. 39 Dacă ecuaţia a x = x, cu a > are o singură soluţie reală atunci: A a = e a = e a = e e a = e e a = e e 39 Mulţimea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuaţia a x = x +, are două soluţii reale este: A (, ) (, ) ( e, e) ( e, e e ) e (e e, ) 393 Mulţimea valorilor pozitive ale lui a pentru care inegalitatea a x x a, are loc pentru orice x > este: A {e} (, ) (, ) ( e, ) (, e) 394 Funcţia f : R R, f(x) = x x + + x + x + are proprietatea: este crescătoate pe R este descrescătoare pe (, ] şi crescătoare pe [, ) este impară f(x) f(x) lim x x = lim x x = E graficul funcţiei f intersectează axa Ox într-un punct. 395 Să se determine un punct P (x, y ) pe curba a cărei ecuaţie este y = (x ) x, x >, în care tangenta să fie paralelă cu dreapta de ecuaţie y = 5x +. A P (4, 4) P (9, ) P (, ) P (, ) P (3, 3). 396 Valoarea parametrului real a pentru care graficul funcţiei f : (, ) R, f(x) = x ln x + a x, este tangent axei Ox este: A e e e e. 397 Funcţiile f : R R, f(x) = x+ x + a, a şi g : R R, g(x) = x + sunt tangente (au o tangentă comună într-un punct comun) dacă: A a = + e a = a = a = e π a =. 36

43 x 398 Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f(x) = ln în punctul de abscisă x = x + este: A x 7y = x 6y = x 5y = x 4y = x 3y =. 399 Graficele funcţiilor f(x) = ax + bx + şi g(x) = x au tangentă comună în punctul x de abscisă x = dacă: A a + b = a =, b = a =, b = a = 3, b = 5 a = 3, b = 4. 4 Tangenta la graficul funcţiei f(x) = (a sin x + b cos x)e x în punctul (, f()) este paralelă cu prima bisectoare, dacă: A a = b = a =, b = a b = a + b = a + b =. 4 Fie x cea mai mică rădăcină a ecuaţiei x (m + )x + 3m + =. Atunci lim x m este: 3 4 Mulţimea valorilor paramentrului real a pentru care ecuaţia ax ln x = are trei rădăcini reale distincte este: A (, ) (, ) ( e, ) (, e ) (e, ). Fie funcţia f : (, ) (, ) (, ) R, f (x) = arctg x arctg x x. 43 lim f (x) este: x π π 44 Mulţimea valorilor funcţiei este: { π,, π} {} R (, ) (, ) 45 Mulţimea valorilor lui x R pentru care este adevărată egalitatea este: Fie f(x) = arcsin x arctg x + arcsin + x = π (, ) (, ) [, ) [, ) [, ] [, ). x +x + arctg x. 46 Domeniul maxim de definiţie al funcţiei este : [, ] (, ) R R ( π, π ). 47 f(π) este: 48 Funcţia este strict descrescătoare pe: A R (, ) (, ) (, ) (, ]. Fie f : R R o funcţie care admite primitive şi verifică relaţiile cos f(x) =, x R şi f(π) π π. 49 f() este: 6π 8π 4π π. 37 π 4 π D π.

44 4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x, este: arccos x + C arcsin x + C arccos x + C arcsin x + C arctg x + C 4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : ( 3π 4, 5π ) x 4 R, f(x) = cos x, este: x ctg x + ln cos x + c x ctg x + ln cos x + c x tg x + ln cos x + c x tg x ln( cos x) + c x tg x + ln( cos x) + c. ( 4 Mulţimea primitivelor funcţiei f : π, π ) R, f(x) = sin x + sin x, este: x + tg x + c +tg x + c x + tg x + c D +tg x + c x + +tg x + c e x 43 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = e x este: arcsin e x + c arccos e x + c arctg x ln 44 Mulţimea primitivelor funcţiei f : R R, f(x) = ( e x + ) e x e x + este: + c e x + c. ln e x + e x ++ + c ln e x ++ + c e x + + c D ln ( e x + + ) + c ln ( e x + e x) + c. 45 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x(x 3 + ) este: ln x ln(x 3 + ) + c ln x3 x c x3 3 ln x c D ln x + arctg x + c ln x ln(x + ) + c. ( 46 Mulţimea primitivelor funcţiei f : R R, f(x) = ex x x + ) (x + ) este: e x arctg x + c e x ( + x ) + c xex x + + c x e x x + + c (x+)ex + c. x + 47 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = x x este: A arccos x + c arcsin x + c arctg x + c ln x + c arctg x + c. 48 Mulţimea primitivelor funcţiei f : (, ) R, f(x) = e x + cos x e x + cos x + sin x, este: ln(e x + cos x + sin x) + c x + ln(e x + cos x + sin x) + c x + ln(ex + cos x + sin x) + c [x + ln(ex + cos x + sin x)] + c E x ln(ex + cos x + sin x) + c. 38

45 x 49 e x + (x + ) dx este: e e alt răspuns x + 4 x 4 + dx 5π 6 7π 6 3π 4 4π 3 π { sin x 4 Funcţia f : R R, f(x) = x, x a, x = are primitive dacă şi numai dacă: a = a = a = a > a <. 4 Fie F : R R astfel ca: F (x) = x, pentru orice x R, F ( ) = şi F () =. Atunci F (e) + F ( e) este: 3 nu există o astfel de funcţie F. Fie F o primitivă a funcţiei f : R R, f(x) = e x. xf (x) 43 lim este: x e x e. xf (x) 44 lim este: x e x e. x 45 Integrala (x + 3) dx este: x + 3 A 5 6 ln 6 ln 3 ln arctg 4 4 x dt 46 lim x x + cos t nu există (x ) sgn x dx x 3 6x + 9x 5 48 (x x + 5) n dx n n. 49 ( + x ) dx π 4 + π + π 4 + π π x 43 dx este: x + 3 x dx 43 x + x + 3 ln 5 8 ln 3 5 D 3 arctg

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei

Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste 73 5.

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a)

MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a) Universitatea "Dunărea de Jos" din Galaţi MODELE DE TESTE GRILĂ PENTRU ADMITEREA 01 DISCIPLINA: ALGEBRĂ (cls. a IX-a, a X-a, a XI-a Testele sunt recomandate pentru următoarele domenii de licenţă şi facultăţi:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1

BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Profilul matematică - fizică, informatică, metrologie BACALAUREAT 1998 SESIUNEA IUNIE Varianta 1 Se consideră funcția f : D R, f(x) = x(x 1)+ x(x+1). 1. Să se determina domeniul maxim de definiție D, domeniul

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Algebră (1) Universitatea din ucureşti.7.4 Facultatea de Matematică şi Informatică oncursul de admitere iulie 4 omeniul de licenţă alculatoare şi Tehnologia Informaţiei lgebră (). Fie x,y astfel încât x+y = şi x +

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a

CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ. Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie CLASA a IV-a Ediţia a XVII-a, 7 8 Aprilie 207 SUBIECTUL CLASA a IV-a Într-o zi de Duminică, la Salina Turda, a venit un grup de vizitatori, băieți și de două ori mai multe fete. Au intrat în Salină 324 băieți și 400

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II n α+1 1

GRADUL II n α+1 1 GRADUL II 2007 BUCUREŞTI 1. Fie A un inel cu unitate. Notăm cu Z(A) = {a A ( )x A,ax = xa}. Să se arate că: a) Z(A) este un subinel comutativ al lui A (numit centrul inelului A). b) Dacă B este un alt

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1

BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 BACALAUREAT 2007 SESIUNEA IULIE M1-1 Filiera teoretică, specializarea matematică - informatică. Filiera vocaţională, profil Militar, specializarea matematică - informatică. a) Să se calculeze modulul vectorului

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I

GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I GRADUL II 1995 CRAIOVA PROFESORI I 1. Fie f : R R definită prin f(x) = x(1+e x ). a) Să se arate că f este indefinit derivabilă şi că f (n) (x) = a n e x +b n xe x, ( ) n 3, ( ) x R. Deduceţi că a n+1

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2016 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii ADOLF HAIMOVICI, 206 Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii. Se consideră predicatul binar p(x, y) : 4x + 3y = 206, x, y N și mulțimea A = {(x, y) N N 4x+3y = 206}. a) Determinați

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este

( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1991 PROFESORI I. x 2 dacă x [ 2,2) f(x) =. 10 x 2, dacă x [2, 5] x+1, dacă x Q x 3 +2, dacă x / Q,

DEFINITIVAT 1991 PROFESORI I. x 2 dacă x [ 2,2) f(x) =. 10 x 2, dacă x [2, 5] x+1, dacă x Q x 3 +2, dacă x / Q, DEFINITIVAT 99 BUCUREŞTI. a) Derivabilitate. Proprietăţi ale funcţiilor derivabile. b) Fie f : [ 3, ) R dată prin 4, dacă x [ 3, 2) x x 2 dacă x [ 2,2) f(x) =. 0 x 2, dacă x [2, 5] 2, dacă x ( 5, ) Să

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata

Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata Numere reale 1.Multimea numerelor reale R, impreuna cu doua operatii notate + si precum si cu o relatie notata are urmatoarele proprietati, oricare ar fi x,y,z din R: 1) R este corp comutativ : a) (x+y)+z=x+(y+z)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2014 Clasa a V-a 1. Aflați cel mai mare număr de cinci cifre astfel încât cea de-a patra cifră să fie mai mare decât cea de-a cincea, a treia să fie

Διαβάστε περισσότερα

ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 007 013 Axa prioritară nr. 1 Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este.

4. Ecuatia asimptotei orizontale la + a graficului functiei f : R R, 7 9x + 8x2 f(x) = 3x 2 + 2x + 5 este. Copyright c 007 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului atematician 1 inisterul Educatiei si Tineretului Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 14 iunie 007 Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Siruri de numere reale

Siruri de numere reale Siruri de numere reale efinitie. Un sir de elemente dintr-o multime M este o functie x : N M (sau x : N k M unde N k = {k, k +,...}). Un sir x : N M il vom nota cu (x n ) n N sau (x n ) n unde x n = x(n)

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a

Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, noiembrie Subiecte clasa a VII-a Concursul Interjudeţean de Matematică Academician Radu Miron Vaslui, -3 noiembrie 0 Subiecte clasa a VII-a. Fie în exteriorul triunghiului ascuţitunghic ABC, triunghiurile dreptunghice ABP şi ACT cu ipotenuzele

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma:

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a. 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2018 Clasa a V-a 1. Scriem numerele naturale nenule consecutive sub forma: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,... (pe fiecare

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema?

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Testul nr. 1. Testul nr. 2

Testul nr. 1. Testul nr. 2 CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2018 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii 1. a) Aflați valorile reale x care verifică egalitatea x + 20 18 = 2018. b) Fie x, y R astfel încât 8x 7y 15 2000 și 8y 9x 1 2. Demonstrați

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2017 Clasa a V-a 1. Fiind dat un număr natural nenul n, vom nota prin n! produsul 1 2 3... n (de exemplu, 4! = 1 2 3 4). Determinați numerele naturale

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 2016 Clasa a V-a 1. Fie a, b și c cifre nenule nu neapărat distincte. Aflați cel mai mic și cel mai mare număr natural abc cu proprietatea că media

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα