Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei

Transcript

1 Teste admitere Facultatea de Automatică şi Calculatoare Domeniul Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei 0 aprilie 04

2

3 Cuprins Algebră 5 Analiza 39 3 Trigonometrie 6 4 Geometrie 69 5 Modele teste Testul Testul Testul Testul Teste grilă de la admitere iulie septembrie iulie septembrie iulie Soluţii 7. Algebră Analiză Trigonometrie Geometrie Testul Testul Testul4...80

4 4 CUPRINS

5 Capitolul Algebră. Fie f : R R, f(x) =ax + bx + c, unde a, b, c R şi a 6= 0.Atuncifuncţia este: (a) injectivă ; (b) surjectivă ; (c) monotonă şi mărginită; (d) nici injectivă, nici surjectivă.. Trinomul x +ax + b, a, b R are rădăcinile strict negative dacă: (a) a 0 şi a b; (b) a 0 şi b 0; (c) 0<b a şi a>0; (d) a 0 şi b a. 3. Fie m R. Rădăcinile ecuaţiei mx +(m +)x +(m ) = 0 au semne contrare dacă (a) m (0, ) ; (b) m, ; 4 (c) m (0, ) ; (d) m, Fie ecuaţia x +(m a)x +3am =0, în care a şi m sunt parametri reali. i) Să seafle a astfel încât ecuaţia să aibărădăcini reale, oricare ar fi m R. 5

6 6 CAPITOLUL. ALGEBRĂ ii) Să seafle m astfel încât ecuaţia să aibărădăcini reale, oricare ar fi a R. r r r r (a) a <, m < ; (b) a, m ; r r r r (c) a, m ; (d) a >, m >. 5. Valorile parametrului real m determinat astfel încât inecuaţia mx +(m +)x + m > 0 sănuaibăsoluţii sunt: ³ (a) m ( 3, 0); (b) m 3, 0 ; i (c) m ( + 3, + ); (d) m ³, Mulţimea M aacelorm R astfel încât inecuaţia mx +(m ) x (m ) > 0 să nuaibă nici o soluţie reală este h 5 (a) M = i 5, 5+ 5 ; (b) m (, 0); 5 5 ³ (c) M = ; (d) M =., Valorile parametrului m pentru care inecuaţia x + y 4x 4y + m>0 este adevărată pentru orice x, y R sunt: (a) m (, 0) ; (b) m (0, 4) ; (c) m (8, + ); (d) m (4, + ). 8. Valorile parametrului m pentru care inecuaţia (m )x (m +)x + m +> 0 este verificată pentruoricex R sunt: µ 5 (a) m (, ); (b) m 3, ; (c) m, 5 µ ; (d) m,

7 7 9. Să se determine valorile reale ale lui λ pentru care λx (λ ) x + λ +> 0, x [0, 3]. (a) λ>0; (b) <λ 0; (c) λ 0; (d) λ>. 0. Se consideră ecuaţia x + ax +a =0,încarea R. Senoteazăcux şi x rădăcinile sale (reale sau complexe). Să se determine a astfel încât x 3 + x 3 <x + x. (a) a 3, + 3 ; (b) a 3, ; (c) a 3, 0 0, + 3 ; (d) a 3, 0 + 3,.. Pentru m R\{} se consideră ecuaţiadegradulaldoileaalecărei rădăcini x şi x verifică relaţiile: ( 4x x 5(x + x )+4=0 (x )(x ) = m. Atunci <x <x < pentru: (a) m (, ) (, + ); (b) m (0, + ); (c) m (, 3); (d) m ( 3, ) [0, ).. Numărul soluţiilor sistemului ½ x 3xy + y = 3x xy +3y =3 este: (a) 8; (b) 4; (c) ; (d) Mulţimea S a soluţiilor sistemului ½ xy + x + y = x y + xy =30 este: (a) S = {(, 3), (3, ), (, 5), (5, )}; (b) S = {(3, ), (, 5)}; (c) S = {(, 5), (5, )} ; (d) S = {(, 3), (, 5)}.

8 8 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 4. Valorile lui x R pentru care are loc inegalitatea x x <. sunt: Ã r r! (a) x 3, r {0} ; (b) x (, ) (, + ); 3 Ã r r! (c) x (, ) \{0}; (d) x 3, Mulţimea valorilor lui x R care sunt soluţii ale inecuaţiei x +3x + x 4x +3 <. este: (a) (, 3) ; (b) x (, ) (, 3) ; µ µ (c) x 7, 3 ; (d) x, Mulţimea soluţiilor inecuaţiei 4x < 3 x este: (a) R; (b), 0 0, ; (c) 0, 6 3 ; (d), Mulţimea valorilor x din R care verifică ecuaţia x a + x b + x c + d =0,a,b,c R,d>0. este: (a) ; (c) (b) n ± p a c, ± p o b ; n ± p a, ± p ( o r a + b + c c ; (d), 8. Valorile x R pentru care 3x 3x +> sunt: r ) a + b + c. (a) x 5, + ; (b) 3, + ; (c) 3, + ; (d) 3, 3.

9 9 9. Să se rezolve inecuaţia: r +4x <. x (a) x µ 3 µ, 0 ; (b) x, (0, ); 4 µ (c) x µ 3, ; (d) x, (0, ) Mulţimea soluţiilor inecuaţiei p p x 6 > x x +36 este: (a) R; (b) (5, 6) (6, 7) ; (c) [6, + ); (d).. Care este relaţia dintre numerele: a = 3 q+ 3,b= q +. (a) numerele nu pot fi comparate; (b) a = b; (c) a>b; (d) a<b.. Numărul a = 3p p 6 3+0aparţine mulţimii (a) N; (b) Z; (c) R \ Q; (d) R \ Z. 3. Se consideră funcţia s +(4 a ) x x f : I R R,f(x) =,a R. a ( + x ) Să sedetermnea astfel încât I să fie unintervaldelungimeminimă. (a) a =; (b) a = ; (c) a =; (d) a<0. 4. Mulţimea soluţiilor sistemului de inecuaţii x x + x x este: (a) (, ) 5, + ; (b) (, ); (c) (, ]; (d) { } 3, +.

10 0 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 5. Să sedeterminem R astfel încât ½ x f : R R,f(x) = +mx, x 0 mx, x > 0 să fie funcţie injectivă per. (a) m (, ); (b) m (, + ); (c) m (, 0); (d) m (0, + ). 6. Să sedeterminem R astfel încât ½ x + m, x f : R R, f(x) = mx, x > 7. Fie să fie funcţie surjectivă per. (a) m (, 0); (b) m (0, ]; (c) m (0, + ); (d) m (, 0). f : R R,f : R R,f(x) =max(x,x+). Atunci (a) f este descrescătoare pe R; (b) f nu este injectivă per; ( x + (c) g : R R, g(x) =, x 3 este inversa funcţiei f. x, x < 3 ( x, x < 3 (d) g : R R, g(x) = x + este inversa funcţiei f., x 3 8. Se consideră funcţia f : D R R,f(x) = x +(m +)x + m +. x + x + m Să se determine parametrul real m astfel încât f să fie definită per şi f(x) pe R. µ (a) m 4, + ; (b) m (3, + ); (c) m =3; (d) m (0, 3).

11 9. Fie ecuaţia q x 4 x = x. Numărul rădăcinilor ecuaţiei este: (a) 0; (b) ; (c) ; (d) Suma H = 3p p 0 4 este egală cu: (a) H =5; (b) H =4; (c) H =5+ ; (d) H =5. 3. Se consideră funcţia f : Z Z ½ k, dacă n =3k +,k Z f (n) = n, dacă n =3k sau n =3k +,k Z Este f injectivă? Dar surjectivă? (a) f este injectivă şi surjectivă; (b) f este injectivă şi nesurjectivă; (c) f nu este injectivă, dar este surjectivă; (d) f nu este injectivă şi nici surjectivă. 3. Mulţimea valorilor x pentru care e x +> e x este: (a) R; (b) (0, + ); (c) (, 0) ; (d) (, + ). 33. Numărul de soluţii reale ale ecuaţiei este: (a) 0; (b) ; (c) ; (d) Să se rezolve ecuaţia: x + x+ + x+ =6 x +6 x+ 5 x 3 5 x +=0. (a) x =0şi x =log 5 3; (b) x =log 5 şi x =0; (c) x =şi x =; (d) x =şi x =0.

12 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 35. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x+ x = x + este: (a) (, ) ; (b) [, 0] ; (c) (0, + ); (d) [0, + ) { }. 36. Soluţiile ecuaţiei ³ ³ ³ 3+ x + 3 x =4 x sunt: (a) x log , log ª ; (b) x log ª ; (c) x log + 3, log + 3 ª ; (d) x log , log ª. 37. Dacă log =k, atunci log 6 6 are valoarea: (a) k k ; (b) k k ; (c) 4k k ; (d) k 4k. 38. Să se determine valorile lui m R astfel încât inegalitatea (m )4 x +(m 3) x+ + m> să fie adevărată pentruoricex R. (a) m [, + ); (b) m (, ); (c) m (, ); (d) m (, 0) (, ). 39. Să se rezolve inecuaţia log a x 3log a x + x 4 > 0, unde a> este o constantă. (a) x (,a ); (b) x (a, a ); (c) x (, ); (d) x (,a) (a, ).

13 3 40. Numărul soluţiilor ecuaţiei este: (a) 0; (b) ; (c) ; (d) Expresia: x + x +log x =7. E = lg a n +lga 3 n + +lga n n, a > 0,a6= lg a n +lga 4 n + +lga n n este egală cu: (a) n; (b) n + n ; (c) n ; n+ (d) n (n +). 4. Să se rezolve ecuaţia: log a x +log a x +log a x =, unde a R + \{} este un parametru real. (a) x = a ; (b) x = a ; (c) x = a; (d) x = Să se rezolve inecuaţia: log 3 x>log 9 (5x 4). (a) x 0, 5 4 (, ); (b) x (0, ) (4, ); (c) x 4, (4, ); (d) x R Mulţimea tuturor valorilor x R pentru care este adevărată inegalitatea µ x log x+4 log < 0 x +3 este: (a) ( 4, ); (b) ( 4, 3) (4, ); (c) ( 4, ); (d),. 45. Valorile lui a pentru care inegalitatea log a (x +3) a+ este adevărată, oricare ar fi x R sunt: (a) a (, ); (b) a (, ) (, + ); (c) a (, ]; (d) a (, 4].

14 4 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 46. Să se rezolve inecuaţia log x 8+logx 4 log x 4 log x 4. (a) x (0, ) (4, ); (b) x (4, ); (c) x (, 4) (4, ); (d) x (0, ) (, 4) (4, ). 47. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: x log µlog 3 µ x < 4 este (a) R \ ³ ³ 3, ª ; (b), , (, ); (c) 3, ; (d), 3 (, ). 48. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei log a x 4 log b x + > 0, unde b>a> sunt constante, este: µ (a) x b, ³ a, ; (b) x b (b, ); a µ (c) x b, (a, ); (d) x µ0, b (a, ). a 49. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: log a x +log ax x>0 pentru a>, este: (a) x (, ); (b) x (, ) ; (c) x (,a); (d) x, a a (, ). 50. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei: log 5 x>log 5 (3x ) este: (a) x (, 0) ; (b) x ; 3 (c) x (, ); (d) x 3, (, ).

15 5 5. Mulţimea soluţiilor inecuaţiei este: (a) (, 0) (3, ); (b) (0, 3) ; (c) ; (d) (, 0) (0, ). log x (x +) 5. Să se precizeze mulţimea soluţiilor inecuaţiei: µ log x µlog + < 0. x x (a) (0, ); (b) (0, ) ; (c) (, ); (d) (0, ) \{}. 53. Să se rezolve inecuaţia log (9 x ) > 3 x. (a) x<8; (b) 0<x<3; (c) 0<x<log 3; (d) x> Numărul rădăcinilor reale ale ecuaţiei ( + i) x 4 (3 + i) x 3 +(5+i) x 4x ++i =0 este: (a) 3; (b) ; (c) ; (d) Se dă ecuaţia 3x 3 +x + ax + b =0, în care a şi b sunt parametri reali. Se cer condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească a şi b astfel încât ecuaţia să admităorădăcină egală cu, iar celelalte rădăcini să fie realeşi pozitive. (a) a =8,b= 3 ; (b) 8 a 0 3,b=a +6; (c) 8 a<4, b=; (d) a = 8, b=a Să sedetermines = a + b + c + d, ştiind că laîmpărţirea polinomului x 4 x 3 + ax + bx + c prin x + d se obţine restul x, iarlaîmpărţirea prin x d se obţine restul x. (a) S =; (b) S =; (c) S =0; (d) S =.

16 6 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 57. Cele patru rădăcini ale polinomului x 4 αx 3 αx +=0, unde α (, ), au modulele (a) două mai mici ca şi două maimarica ; (b) toate egale cu ; (c) toate mai mici ca ; (d) toate mai mari ca. 58. Numărul este pentru polinomul x n nx n+ + nx n, n 3, rădăcină având ordinul de multiplicitate egal cu: (a) ; (b) ; (c) 3; (d) n Fie f Z [X], f = a 0 +a X+a X +a 3 X 3. Săsedeterminea 0,a,a,a 3 astfel încât f() + f() f(n) =n 4, n N,n>0. (a) a 0 =,a =4;a = 6,a 3 =4; (b) a 0 =4,a = 6; a =4,a 3 = 6; (c) a 0 =,a =6;a = 4,a 3 =6; (d) a 0 = a = a = a 3 =. 60. Să se determine S = a + b unde numerele reale a şi b sunt coeficienţii polinomul P (x) =x 4 x 3 + x + ax + b determinaţi astfel încât acesta să sedividăcux +. (a) S =; (b) S =5; (c) S =; (d) S =4. 6. Dacă x = i este o rădăcină aecuaţiei x 3 +(m ) x + m =0,m C, atunci S = x + x + x 3 este: (a) S = ; (b) S = ; (c) S = i +; (d) S = i. 6. Fie x, y, z R astfel încât x+y+z =0şi x + y + =0. Să se precizeze z valoarea lui a pentru care are loc relaţia x 6 + y 6 + z 6 = ax y z. (a) a =3; (b) a =; (c) a =0; (d) a =.

17 63. Fie α R şi p N numărul tripletelor ordonate (x, y, z) (R ) 3 care satisfac relaţiile: x + y + z = α x + y + z = α xy + yz + xz =. Atunci: (a) p =6; (b) p =3; (c) p =; (d) p =. 64. Fie polinomul cu coeficienţi reali,α 6=. p(x) =x 3 + ax + bx + c. Să se precizeze care din următoarele condiţii sunt necesare şi suficiente ca rădăcinile polinomului p să aibă aceeaşi parte reală. (a) c = ab 3 a3 7 ; (b) c = ab 3 a3 7, a 3 b 0; (c) c = ab 3 a3 7, a 3 b 0; (d) c ab 3 a3 7, a 3 b Fie S = m + n + p unde m, n, p sunt numere reale astfel ca polinomul x 4 + mx 3 + nx + px +8 să fie divizibil cu x 3 +5x +x 8. Atunci valoarea lui S este: (a) S = 7; (b) S =0; (c) S =6; (d) S = Se consideră polinomul p(x) =x 4 + x 3 + ax + b. Valorile parametrilor a şi b pentru care restul împărţirii lui p(x +)la x + să fie egalcu 8, iar restul împărţirii lui p(x ) la x să fie egal cu sunt: (a) a = 3,b= 5; (b) a =3,b=5; (c) a = 4,b= 6; (d) a =4,b=6. 7

18 8 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 67. Precizaţi numărul valorilor lui λ R pentru care ecuaţiile următoare au cel puţin o rădăcină comună x 3 λx +=0 x + λx +=0. (a) ; (b) 0; (c) ; (d) Să se determine S = m + n, unde m şi n sunt coeficienţii polinomului x mx + n determinaţi astfel încât polinomul x 4 + să fie divizibil cu x mx + n. (a) S =3; (b) S =9; (c) S =; (d) S =. 69. Precizaţi mulţimea valorilor lui m pentru care toate rădăcinile polinomului P (x) =x 3 (m +)x (4m +5)x + sunt reale, ştiind că polinomul admite o rădăcină care nu depinde de m. (a) µ, 5 µ, ; (b) 5, µ ; (c) 3, ; (d). 70. Se consideră ecuaţia x 3 +3x =0 şi fie x,x,x 3 rădăcinile sale. Ecuaţia în necunoscuta y care are rădăcinile y = x x 3,y = x x 3,y 3 = x x este: x x x 3 (a) y 3 y +3y =0; (b) y 3 9y 6y =0; (c) y 3 + y 6y =0; (d) y 3 +5y =0. 7. Fie ecuaţia x 3 ax + bx c =0 (a, b, c numere reale nenule). Să se precizeze valorile a, b, c astfel încât aceste numere să fie soluţii ale ecuaţiei date. (a) a =,b=,c=3; (b) a =,b=,c= 5; (c) a = 3,b= 5,c= 3 4 ; (d) a =,b=,c=. 7. Fie p(x) R [X] un polinom de grad 3 cu proprietatea xp (x +)+(x +)p (x +3)=x +0, x R. Restul împărţirii polinomului p(x) la x x 3 este (a) x ; (b) x +; (c) 3x +; (d) 0

19 9 73. Se consideră polinomul f(x) =x 3 x + ax,a R, x,x,x 3 C fiind rădăcinile polinomului. Să se determine valoarea lui a R astfel încât x 3 + x 3 + x 3 3 =. (a) a =0; (b) a = 3 4 ; (c) a = 4 ; (d) a = Se consideră polinomul f(x) =x n + px + q, p, q R. Pentru n N,n 3 definim S n = x n + x n x n n,x,x,..., x n C fiind rădăcinile polinomului. Valoarea lui S n este: (a) S n =0; (b) S n = p + nq; (c) S n = nq; (d) S n = nq. 75. Fie P (x) =x x log a m +3log a m 8, unde m R,m > 0, iar a>este un număr real fixat. Să seafle valorile lui m pentru care P (x) > 0, oricare ar fi x R. (a) m>a(a +); (b) m ( a, a); (c) m (a 4,a 8 ); (d) m (a, a). 76. Valoarea sumei S n = k + k Cn pentru k N fixat este: (a) S n = kn + k3 C n kn+ C n n n +, n + ; (b) S n = (k +)n+ ; n + (c) S n =(k +)n; (d) S n = kn+ n Valoarea numărului natural m pentru care al 0-lea termen al dezvoltării binomului (5 + m) m este cel mai mare, este: (a) m =; (b) m =5; (c) m =6; (d) m = Se consideră dezvoltarea µ x m + n. x m

20 0 CAPITOLUL. ALGEBRĂ Să sedeterminem şi n astfel încât termenul de rang să-l conţină pe x, termenulderang4 să-l conţină pex 5 şi dezvoltarea să aibă termen liber. (a) m =,n=4; (b) m =,n=6; 9 9 (c) m =,n=4; (d) m =,n= În dezvoltarea Ãr 9 x + 4 x suma coeficienţilor binomiali este 8. Să se precizeze termenul care îl conţine pe 3 x. (a) T 4 ; (b) T 5 ; (c) T 6 ; (d) T Să se determine m astfel încât al 5-lea termen al dezvoltării binomului ( + m) m să fie cel mai mare. (a) m =3; (b) m =5; (c) m =4; (d) m =7. 8. Numărul h al termenilor independenţi de x din dezvoltarea binomului µ q 4 x x x! n este egal cu: (a) h =; (b) h =0; (c) h =; (d) h =3. 8. Să se determine numărul termenilor raţionali din dezvoltarea binomială: ³ (a) 5; (b) 4; (c) 7; (d) Să se determine termenul care îl conţine pe b din dezvoltarea ( a 3 b) n, ştiind că n este cel mai mare număr natural care verifică inecuaţia: log n +logn n> (a) T 6 ; (b) T 7 ; (c) T 8 ; (d) T 5.

21 84. Fie dezvoltarea binomială Ãr s 3 a b + b 3 a! n, unde n satisface n 4 3 n+ 56 = 0. Săseafle termenul dezvoltării în care a şi b au puteri egale. (a) T 4 ; (b) T 5 ; (c) T ; (d) T Se consideră binomul ³ lg(0 3 x ) + 5 (x ) lg 3 n. Ştiind că al şaselea termen al dezvoltării binomului este egal cu şi coeficienţii binomiali de rang, 3 şi 4 sunt respectiv primul, al treilea şi al cincilea termen al unei progresii aritmetice, atunci: (a) x =3; (b) x =; (c) x {, } ; (d) x {0, }. 86. Să se determine termenul care nu îl conţine pe x în dezvoltarea: µ x x x 5 x +. x 3 + x 3 + (a) T 5 ; (b) T 6 ; (c) T 7 ; (d) T Să sedeterminen N astfel încât numărul: să fie real oricare ar fi a, b R. (a + bi) n +(b + ai) n, (a) n =k, k N ; (b) n =3k, k N ; (c) n =4k, k N ; (d) n =3k +,k N. 88. Să se scrie sub formă trigonometicănumărul complex dat sub forma algebrică: 5 i5 3. (a) 0 cos 4π 3 + i sin 4π 3 ; (b) 0 cos π 3 + i sin π 3 ; (c) 0 cos( π 3 )+i sin( π 3 ) ; (d) cos( π 6 )+i sin( π 6 ).

22 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 89. Fie ecuaţia: a x =log a x, a > 0,a6=. Se cer valorile lui a pentru care ecuaţia admite soluţie unică. (a) (0, ) (e, ); (b), {e} ; e (c) n o 0, e {e} ; (d) (0, ) e e. 90. Să serezolveecuaţia în x unde a>0,a6= este dat. (a) π 3 +kπ; log tg x a +log cos x (a +)=0, (b) ±π 3 +kπ; (c) ± arccos +a +kπ; (d) arctg a + kπ. 9. Valoarea determinantuluī este: (a) 7; (b) 37; (c) 47; (d) Toate soluţiile ecuaţiei x a a a a x a a a a x a =0,a R. a a a x sunt: (a) x = a sau x = 3a; (b) x = a sau x =0; (c) x = a; (d) x = a şi x = Să se calculeze determinantul x x x 3 x x 3 x x 3 x x ştiind că x,x,x 3 sunt rădăcinile ecuaţiei x 3 x +x + p =0. (a) 0; (b) ; (c) 4; (d) 3p.

23 94. Fie p(x) =x + a, q(x) =x + bx + c două polinoame şi x 6= x două numere arbitrare. Să se calculeze D(x)/(x x ), unde p(x ) q(x ) D(x) = p(x ) q(x ) p(x) q(x). (a) (x + x )(x + x ); (b) (x x )(x + x ); (c) (x + x )(x x ); (d) (x x )(x x ). 95. Se consideră polinoamele: P (x) =x 5 +3x 4 +7x,Q(x) =x 3 x 3. Notăm cu x,x,x 3 rădăcinile polinomului Q(x). Atunci valoarea lui este: (a) 0; (b) 8; (c) 8; (d) 0. P (x )+P (x )+P (x 3 ) 96. Să se precizeze toate valorile a, b, c R astfel încât ecuaţia x a b c c x a b b c x a =0 săaibănumairădăcini reale. (a) b = c; (b) a =,b= c; (c) a = b; (d) a = b = c. 97. Mulţimea valorilor lui x R pentru care este adevărată inegalitatea x 6x + x x 4x +5 x 0 este: (a) [, ); (b) (, 0) (, ); (c) (0, ) ; (d) R. 98. Dacă matricea A = satisface A 3 = aa + ba atunci S = a + b este: (a) S =0; (b) S =8; (c) S =8; (d) S =3. 3

24 4 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 99. Se dă matricea A = Dacă matricea este inversabilă să se calculeze d =det(a ). (a) d =; (b) d =; (c) d = ; (d) A nu este inversabilă. 00. Fie A M 3 (R), 0 a b A = a 0 c,a + b + c 6=0. b c 0 Se cere rangul matricei A. (a) 0; (b) ; (c) ; (d) Câte soluţii are ecuaţia: 4 X = 3 unde X este o matrice pătratică de ordin 3 având elementele numere naturale. (a) 0; (b) ; (c) ; (d) Să se calculeze A n, n N, unde A = µ Ã! cos nπ sin nπ 6 6 (a) ; (b) sin nπ cos nπ 6 6 (c) Ã cos (n+)π sin (n+)π 6 6 sin (n+)π cos (n+)π 6 6. Ã cos (n+)π sin (n+)π 4 4! ; (d) sin (n+)π cos (n+)π 4 4 Ã cos nπ 4 sin nπ 4 sin nπ 4 cos nπ 4! ;!. 03. Fie matricea a + A = a a şi M = {a R rangul matricei A este egal cu } şi S = P tunci: (a) S =3; (b) S =; (c) S =; (d) S =5. a M a. A-

25 5 04. Fie λ R, λ A(λ) = λ λ λ şi M = {λ R;rangA(λ) < 4}. Atunciα = P λ M (a) α =3; (b) α = ; (c) α =0; (d) α =. 05. Soluţia ecuaţiei matriceale 3 X 0 = λ este:. este: (a) X = 0 3 ; (b) X = (c) X = ; (d) X = ; 06. Valorile parametrului real m astfel încât matricea x 3 A = x x m să fie inversabilă pentru orice x R sunt: (a) m =; (b) m, ; (c) m (, ) ; (d) m, (, ). 07. Fie matricele A = µ Atunci, pentru n N, n : (a) B este inversabilă şi B = (b) B nu este inversabilă; şi B = nx A k. k= µ 0 ( n +)(3 n +) 0 3 ;

26 6 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 08. Fie (c) B este inversabilă şi B = 3( n ) (d) B este inversabilă şi B = ( n ) 0 µ a b M = b a µ 3 n 0 0 n ; 0 3 (3n ) omatricenenulă cu elemente reale. Să se calculeze M n. (S-au folosit notaţiile ρ = a + b şi ϕ determinat prin condiţiile cos ϕ = a ρ, sin ϕ = b ρ ). µ sin nϕ (a) M n = ρ n cos nϕ µ cos nϕ (b) M n = ρ n sin nϕ µ cos nϕ (c) M n = ρ n sin nϕ µ cos nϕ (d) M n = ρ n sin nϕ cos nϕ sin nϕ sin nϕ cos nϕ sin nϕ cos nϕ ; sin nϕ cos nϕ 09. Precizaţi matricele A M (R) care satisfac relaţia A + A + I =0, unde I M (R) este matricea unitate iar 0 M (R) este matricea nulă. Stabiliţi dacă o astfel de matrice este inversabilă. µ d b (a) A =,b,d R sau b (d + d +) d µ d A = c (d + d +) c d ; ;. µ d (b) A = b (d + d +) b d µ (c) A = d b (d + d +) b d,c,d R şi există A., nu există A., nu există A..

27 7 µ (d) A = d b (d + d +) b d şi există A. 0. Fie A = ε ε, ε ε unde ε este o rădăcină a ecuaţiei x + x +=0. Să se calculeze A (a) I 3 ; (b) ; 0 0 (c) ε ε ε ε. Fie λ R \{0} şi ; (d) I 3. A = λ 0 0 λ. 0 0 λ Atunci, n N, λ n 0 (a) A n = 0 λ n ; (b) A n = 0 0 (c) A n = nλn λ n 0 0 nλ n λ n ; 0 0 nλ n (d) A n = λn nλ n n(n ) λ n 0 λ n nλ n. 0 0 λ n λ n 0 0 λ n 0 0 λ n ;. Fie matricea A M n (R), n, A=(a ij ) i=,,...,n ½ 0,i= j a ij =,i6= j. Să se calculeze det(a),a şi det(a + I n ). j=,,...,n unde

28 8 CAPITOLUL. ALGEBRĂ (a) det(a) =n,a = (b) det(a) =( ) n (n ),A = det(a + I n )=0; (c) det(a) =( ) n (n ),A = det(a + I n )=0; (d) det(a) =n,a = n... n n.... n... n n n n... n n.... n n... n n 3. Pentru ce valori ale lui λ R, matricea λ A = λ λ. şi det(a + I n )=0; n... n n.... n... n n n... n..... n... n n.. n şi şi şi det(a + I n )=0; este nesingulară? În acest caz, să sedetermineinversaa. /3 /3 /3 (a) λ =,A = /3 /3 /3 ; /3 /3 /3 (b) λ 6=,λ6=, A = α β β β α β λ+, unde α =, (λ ) (λ+) β β α β = ; (λ ) (λ+) (c) λ 6=,λ6=, A = β = λ+ (λ ) (λ+) ; α β β β α β β β α (d) λ 6=,λ6=, A = α β β β α β β β α, unde α = (λ+)(λ ) (λ ) (λ+),, unde α = λ+ (λ )(λ+),

29 9 β = (λ )(λ+). 4. Fie sistemul: x + y + mz = x y + m z = m x +(m +)z = m. şi M = {m R sistemul este incompatibil},s= X m M m. Atunci: (a) S =0; (b) S = ; (c) S = ; (d) S = Toate soluţiile sistemului x +y +4z 3v =0 3x +5y +6z 4v =0 4x +5y z +3v =0 3x +8y +4z 9v =0 sunt: (a) x = y = z = v =0; (b) x =,y= 6, z=,v=0; (c) x =8α 7β, y = 6α +5β, z = α, v = β cu α, β R; (d) sistemul nu are soluţii. 6. Determinaţi valorile parametrului real α pentru care sistemul de ecuaţii este incompatibil: x + y z = α x y +z =. 4x y +3z =+α (a) α (, ] ; (b) α =; (c) α R; (d) nu există. 7. Fie sistemul: x +4y +z =+b x ay + z = 3 x +y + z = b şi multimile: A = {a R, sistemul este nu compatibil determinat}, B = {b R, sistemul este compatibil nedeterminat}, atunci numărul elementelor mulţimii A B este egal cu: (a) ; (b) 4; (c) ; (d) nici un element..

30 30 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 8. Soluţia sistemul αx +(α +)y +(α +)z = α +3 βx +(β +)y +(β +)z = β +3,α,β,γ R,α6= β,γ 6=, x + γy + γ z = γ 3 în ipotezele date este: (a) x = α, y = β, z = γ; (b) x = β, y = α, z = γ; (c) x =0,y=, z=; (d) x = γ, y = (γ +),z= γ Se consideră sistemul: x + x +=0 mx +x +3=0 m x +4x +9=0 şi fie M = {m R sistemul este compatibil}. Atunci S = este: (a) S =5; (b) S = ; (c) S = ; (d) S =3. P m M m 0. Se consideră sistemul: x mx +=0 x + x m =0 3x +(m ) x + m =0 Fie M = {m R sistemul este compatibil } atunci S = P (a) S =0; (b) S =5; (c) S =4; (d) S =. m M m este:. Să se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse şi să se precizeze natura sistemului: x y + z =3 x + y 3z =0 x +5y 9z = (a) r s = r e =3sistem compatibil determinat; (b) r s =,r e =3sistem incompatibil; (c) r s = r e =sistem compatibil -nedeterminat; (d) r s = r e =sistem compatibil -nedeterminat..

31 . Să se calculeze rangul matricei sistemului, rangul matricei extinse şi să se precizeze natura sistemului: x y + z =3 x + y 3z =0 x +5y 9z =8 (a) r s = r e =3sistem compatibil determinat; (b) r s =,r e =3sistem incompatibil; (c) r s = r e =sistem compatibil nedeterminat; (d) r s = r e =sistem compatibil nedeterminat. 3. Fie ε = +i 3. Precizaţi toate tripletele de numere complexe (x, y, z) care satisfac simultan relaţiile: x + εy + ε z =0 ε x + y + εz =0 εx + ε y + z =0 (a) x =,y =,z =; (b) x =0,y =0,z =0; (c) {( εy ε z,y,z) y, z C} ; (d) x = y = z Fie sistemul ax + ay + z = x + ay + az = x + y + az = a şi A = {a R sistemul este compatibil nedeterminat}. Atunci: (a) A = {, } ; (b) A = {0, } ; (c) A = {} ; (d) A = {, }. 5. Se consideră sistemul: 6x my +3z =0 mx +6y +3z =0 mx y +z =0 x + y +4z =70. Să se precizeze numărul p de valori ale lui m R pentru care sistemul admite soluţii reale şi numărul q de soluţii reale ale sistemului. (a) p =0,q =4; (b) p =,q =4; (c) p =3,q =; (d) p =,q =3.

32 3 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 6. Fie p numărul soluţiilor sistemului în Z ˆx + ˆ3y + ˆ3z = ˆ ˆ6x + ˆ4y + ˆz = ˆ6 ˆ3x + ˆy + ˆ4z = ˆ3 Atunci valoarea lui p este: (a) p =; (b) p =6; (c) p =0; (d) p =. 7. Pe R se defineşte legea de compoziţie prin relaţia: x y = xy + ax +by +, x, y R. Să sedeterminea, b R astfel încât legea să fie comutativă şi asociativă. (a) a =,b= ; (b) a =0,b=0sau a =,b= ; (c) a = + 5,b= + 5 sau a = 5,b= 5 ; 4 4 (d) nu există soluţie. 8. Pe mulţimea R a numerelor reale se consideră legea de compoziţie definită prin x y= mx + ny, x, y R, în care m şi n sunt constante reale. Să seafle m şi n astfel încât (M, ) să fie grupcomutativ. (a) m =,n=; (b) m =,n= ; (c) nu există; (d) m =,n=. 9. Fie M = {x; x R,x6= } şi operaţia definită prin x y=ax + by + xy, x, y M. Să se determine parametrii a şi b realiastfelîncât(m, ) să fie grup comutativ. Să se precizeze elementul simetric x 0 al elementului arbitrar x. (a) a =,b=,x0 = x ; (b) a x+ =,b=,x0 = x ; x+ (c) a =,b=,x0 = x ; (d) a = x+,b=,x0 =. x+ 30. Pe mulţimea G =(0, ) se defineşte legea x y = xy, x, y G. x + y Precizaţi care din următoarele afirmaţii este adevărată: (a) (G, ) este grup comutativ; (b) (G, ) este grup necomutativ; (c) (G, ) este monoid; (d) legea nu este asociativă.

33 33 3. Pe mulţimea R a numerelor reale se defineşte operaţia x y = 3p x 3 + y 3, x, y R unde pentru radical se ia valoarea reală. Să se scrie condiţia ca o bijecţie f : R R să stabilească un izomorfism între grupurile (R, ) şi (R, +). Să se indice bijecţia respectivă. (a) f(x y) =f( 3 x)+f( 3 y) şi f(x) =x 3 ; (b) f(x y) =f(x)+f(y) şi f(x) =x 3 ; (c) f(x y) =f(x)f(y) şi f(x) =x 3 ; (d) f(x y) = 3p f(x)+ 3p f(y) şi f(x) = 3 x. 3. Pe Z (mulţimea numerelor întregi) se definesc operaţiile: x y = x + y +şi x y = x + y. Să seafle obijecţie f : Z Z, caredefineşte un izomorfism între grupurile (Z, ) şi (Z, ). (a) f(x) =x + a, a Z; (b) f(x) =ax + a,a ZÂ {0}; (c) f(x) =x +a,a Z; (d) f(x) =ax + a +,a ZÂ {0}. 33. Pe mulţimea R a numerelor reale se consideră legea de compoziţie, dată prin: x y= ax + by,x,y R în care a şi b sunt constante reale. Să sedeterminea şi b astfel încât legea dată să definească pe R o structură de grup abelian. (a) a =,b=; (b) a =,b= ; (c) a =,b=; (d) a =,b=. 34. Fie M = {x R; x>0} şi grupurile (M, ), (R, +). Aflaţi m R astfel încât: ³ f : M R, f(x) =ln (m ) x + m 4 să fie izomorfism între cele două grupuri. (a) m =; (b) m =4; (c) nu există m; (d) m =.

34 34 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 35. În mulţimea M = {x; x R,x } se defineşte operaţia internă x y = xy p (x )(y ), x, y M. Să seafle elementul neutru şi mulţimea elementelor care au invers faţă de această operaţie. Să se calculeze x x {z x}, unde x M este un element oarecare. n (a) elementul neutru este, fiecareelementareinversşi x x {z x} =; n (b) elementul neutru este, fiecare element are invers şi x x {z x} = x; n (c) nu există element neutru, fiecare element are invers şi x x {z x} = x; n (d) elementul neutru este, pentrux nu există inversşi x x {z x} = x. n 36. Pe mulţimea M = {x; x R,x6= }, considerăm legea de compoziţie,datăprin x y =xy x y + c în care constanta reală c se va determina, astfel încât (M, ) să fiegrup. Să seafle elementul unitate e şi inversul x al unui element oarecare x. (a) c =3,e=,x = x ; (b) c =3,e= 3,x = x 3 4 x ; (c) c =3,e=3,x = x +; (d) c =,e= 3,x = x x. 37. Pe C se defineşte legea de compoziţie : z z = z z + i(z + z ) i, z C, z C. Fie e elementul neutru şi z soluţia ecuaţiei z ( i) =3+i. Să se stabilească dacă: (a) e =+i şi z =3+i; (b) e = i şi z =3+i; (c) e = i şi z =3 i; (d) e = i şi z =5+i.

35 38. Fie (M 3(R), ) grupul multiplicativ al matricelor pătratice nesingulare de ordinul 3 şi funcţia f : R M 3(R),f(t) = t t +t 0 4t. 0 0 Care din afirmaţiile următoare e falsă? (a) (M 3(R), ) este grup necomutativ; (b) f este un morfism de la (R, +) la (M 3(R), ); (c) f este un izomorfism de la (R, +) la (M 3(R), ); (d) f(0) = I Fie (G, ) grupul cu G =(, ) şi x y = x + y, x, y G. +xy Să seafle a R, astfel încât funcţia f : R + G, f(x) = ax x + să fie unizomorfism de la (R +, ) la (G, ). (a) a =0; (b) a =; (c) a = ; (d) a =. 40. Numărul elementelor inversabile în inelul Z este: (a) 4; (b) 3; (c) ; (d). 4. Fie M = {x; x R,x } şi operaţia internă x y = xy + p (x )(y ), x, y M. Această operaţie are element neutru? Dacă da, care este acesta? Care sunt elementele din M, careauinversfaţă deaceastăoperaţie? (a) Da, elementul neutru este. Singurul element care are invers este. (b) Da, elementul neutru este. Nici un element nu are invers. (c) Nu există element neutru. (d) Da, elementul neutru este. Toate elementele sunt inversabile. 35

36 36 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 4. Mulţimea matricelor de forma µ a a M (a) = ( a) a cu a real nenul formează un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul multiplicativ al numerelor reale diferite de zero. Să se precizeze corespondenţa care realizează acest izomorfism şi să seafle inversa matricei M (a). µ (a) M (a) a, (M (a)) = a a ( ) ; a a µ (b) M (a) a, (M (a)) = a a ( ) ; a a µ (c) M (a), (M (a)) = a a a ( ) ; a (d) M (a) a, (M (a)) = a µ +a a ( + a) a. 43. Mulţimea matricelor de forma M (a) = 0 a a a 0 0 cu a real formează un grup multiplicativ G, izomorf cu grupul aditiv al numerelor reale diferite de zero. Să se precizeze corespondenţa care realizează acest izomorfism şi să seafle inversa matricei (M (a)) n. (a) M (a) a, (M (a)) n = M (a n ); (b) M (a) a, (M (a)) n = M (na); (c) M (a) a, (M (a)) n = M (( a) n ); (d) M (a) a, (M (a)) n = M ( a n ). 44. Pe mulţimea Q + anumerelorraţionale strict pozitive se defineşte legea de compoziţie internă astfel încât: () (x y)(z t) =(xz) (yt), ( ) x, y, z, t Q +; () x x =, ( ) x Q +;

37 37 (3) x = x = x, ( ) x Q +. Valoarea lui 7 43 este: (a) 7/43; (b) 43/7; (c) (43/7) ; (d). 45. Se consideră mulţimea G = {M a,b M 3 (R),M a,b = a b b b a b,a,b R, det M a,b =}. b b a Este înmulţirea matricelor o lege de compoziţie internă peg? În caz afirmativ, ce structură are(g, )? (a) Înmulţirea matricelor nu este o lege de compoziţie internă peg; (b) Înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie internă peg, (G, ) este grup finit; (c) Înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie internă peg, (G, ) este monoid necomutativ; (d) Înmulţirea matricelor este o lege de compoziţie internă peg, (G, ) este grup comutativ. 46. Pe Z se definesc operaţiile x y = x + y + şi x y = x + y, ( ) x, y Z. Sunt (Z, ), (Z, ) grupuri? În caz afirmativ, sunt ele izomorfe? (a) Ambele sunt grupuri şi aceste două grupuri sunt izomorfe; (b) (Z, ) este grup, iar (Z, ) nu este grup; (c) (Z, ) nu este grup, iar (Z, ) este grup; (d) Ambele sunt grupuri, dar nu sunt izomorfe. 47. Într-un inel (A, +,.), 0 şi sunt elementele neutre la adunare şi respectiv înmulţire. Dacă x 6 = x, ( ) x A, atunci valoarea lui x + x ++ este: (a) ; (b) 0; (c) x; (d) x. 48. Legile de compoziţie definite pe R prin x y = ax + by şi x y =(xy x y)+c, x, y R, induc pe R o structură decorp comutativ dacă: (a) a = b =,c=3; (b) a =,b=,c=3; (c) a =,b=,c=6; (d) a =,b=,c=3;

38 38 CAPITOLUL. ALGEBRĂ 49. Pe R se definesc operaţiile: ½ x>y = ax + by x y = xy cx dy +6, ( ) x, y R, unde a, b, c, d R sunt constante arbitrare. Dacă tripletul (R, >, ) este corp comutativ, atunci: (a) a =,b=,c= 3,d= 3; (b) a = b =0,c= d = 3; (c) a = b =,c= d =; (d) a = b =,c= d = Se dă corpul (R,, ) ale cărui elemente neutre faţă de legile şi sunt 3 respectiv 5. Ştiind că existăunizomorfism f :(R, +, ) (R,, ) de forma f(x) =ax + b se cere simetricul lui 7 faţă de legea. (a) 3; (b) 9; (c) 0; (d) 7.

39 Capitolul Analiza. Fie µ l = lim n n + n + + n. n Atunci: (a) l =; (b) l = ; (c) l =0; (d) l =.. Limita este: lim n( n + n) n (a) ; (b) ; (c) 3 ; (d) Să seafle lim n s n + n + ln n + n. (a) ; (b) ; (c) e ; (d). 4. Dacă a n = nx k= (a) a n+ <a n, (c) a n <a n+, 5. Dacă a n = nx k= (a) lim n a n =0; ln k,n, atunci: lim a n =ln; (b) a n+ <a n, lim a n =ln ; n n lim n a n = ln ; (d) a n+ <a n, lim n a n = ln. k + k n 3 + k, atunci: (b) lim n a n = 3 ; 39

40 40 CAPITOLUL. ANALIZA (c) lim a n =; (d) lim a n =. n n 6. Să seafle valorile lui a R astfel încât: lim n p an(a +5)(n +)+(a +9)(n +3)(n +5) a n + =3. (a) a 3, 3 4ª ; (b) a =9; (c) a {3, 9} ; (d) a 3, 3ª. 7. Să se precizeze valoarea lui a = lim (b + b + + b n ), unde n k + b k = k (k +). (a) a = ; (b) a =0; (c) a =; (d) a =. 8. Să se calculeze l = lim sin (π n + n +). n (a) l =; (b) l = ; (c) l =0; (d) l =. 9. Se consideră şirul de numere reale: µ x n =( ) n + 3, n N. n Atunci: (a) lim x n =; (b) (x n ) n n N eşir monoton; (c) min n N x n = 7 şi max n N x n =5; (d) min x n N n = şi max x n N n =. 0. Fie a 0,a,..., a k numere reale astfel încât a 0 + a a k =0şi ³ l = lim a 3 0 n + a 3 n a 3 k n + k. n Atunci: (a) l =0; (b) l =+ ; (c) l =; (d) l nu există.. Se consideră şirul de numere reale Atunci x n = +( )n n +( ) n, n N.

41 4 (a) (x n ) n N este şir crescător; lim x n ; n x n+ lim ; (d) max n x x n =. n n N. Fie µ f :(0, + ) R,f(x) =ln. x + Fie l limita şirului cu termenul general µ b n = n a n +ln n + unde a n = f() + f() f(n). Atunci: (a) l =0; (b) l = ; (c) l =; (d) l = Fie a n =lim( x sin nx) x şi b n = a + a + + a n. Să se precizeze x 0 valoarea lui b = lim b n. n (a) b =; (b) b = ; (c) b = e ; (d) b = e. 4. Dacă (a n ) n N este şir real definit de a = a, a n = a + a n,a>0, atunci: (a) (a n ) n N este mărginit şi lim a n = (a + +4a), n (b) (a n ) n N este nemărginit şi lim a n =, n (c) (a n ) n N este mărginit şi lim a n = n +4a, (d) (a n ) n N este mărginit şi lim a n = ( + +4a). n 5. Domeniul maxim de definiţie al funcţiei r ln ( x +4) f (x) = x +4 este: (a) x [0, ); (b) x 3, 3 ; (c) x (, ] ; (d) x (, ].

42 4 CAPITOLUL. ANALIZA 6. Domeniul maxim de definiţie al funcţiei r x f (x) =3x + x + +ln(lnx) este: (a) x (, 0) ; (b) x (0, ) ; (c) x [, ] ; (d) x (, + ). 7. Mulţimea punctelor de continuitate ale funcţiei f : R R unde ½ x, dacă x Q f (x) = x, dacă x R\Q este: (a) {0, } ; (b) [0, ] ; (c) Q; (d). 8. Să se calculeze 9. Fie (a) ; (b) ln; (c) 0; (d) 4. Atunci: ( x ) ln ( + sin x) lim. x 0 +x tg x e sin x e tg x l =lim. x 0 e sin x etg x (a) l =0; (b) l = ; (c) l = ; (d) limita nu există. 8 µ x x + x 0. Fie l = lim x x. Valoarea lui l este: x (a) l = ; (b) l = ; (c) l =; (d) l = e.. Valoarea limitei: ln(x x +) L = lim x ln(x 0 + x +) este: (a) L =; (b) L = ; 5 (c) L = ; (d) L =. 3. Valoarea limitei ln ( + x + x )+ln( x + x ) lim x 0 x este: (a) 3; (b) ; (c) ; (d).

43 43 3. Fie ecuaţia t +(x )t +4=0 cu rădăcinile t (x) respectiv t (x),x R şi fie L = L = lim (x). Valorile lui L şi L Sunt: x (a) L =,L = ; (b) L =,L = ; (c) L =,L = ; (d) L =0,L =. 4. Să sedetermine: L = lim x (sin(ln(x +)) sin(ln x)). (a) L = ; (b) L = ; (c) L =; (d) L =0. 5. Pentru câte valori ale lui n N există limita x cos x sin x lim x 0 x n (a) ; (b) ; (c) 3; (d) oinfinitate. 6. Să se determine valoarea limitei (a) e; (b) /; (c) 3; (d) /e. ln x lim x e x e. lim xt (x) şi x 7. Dacă µ + x x f(x) = x x,x6= 0,x6=, atunci: (a) (b) (c) lim f(x) =e, lim x 0,x<0 lim f(x) = x 0,x<0 e, lim f(x) = e, lim x 0,x<0 x 0,x>0 f(x) = e ; lim f(x) =e x 0,x>0 e ; f(x) =e; x 0,x>0 (d) lim x 0 f(x) =e.

44 44 CAPITOLUL. ANALIZA 8. Să se calculeze lim x 0 µ tg x x sin x (a) 0; (b) ; (c) e; (d) 3 e. () 9. Să se precizeze valoarea limitei L = lim n n n 4 + n ++5 n. (a) L = ; (b) L =; (c) L =5; (d) L = Fie (x n ) n N şi (y n ) n N douăşiruri de numere raţionale ce verificărelaţia ³ 3+ 7 n = xn + y n 7, n N. x n Dacă l = lim atunci: n y n (a) l =3; (b) l =0; (c) l = 3; (d) l = Funcţia f :(0, ) (, ) R unde f (x) =log x (x +)este: (a) strict crescătoare; (b) strict descrescătoare; (c) strict crescătoare pe (0, ) şi strict descrescătoare pe (, ); (d) strict descrescătoare pe ambele intervale, dar nemonotonă. 3. Fie funcţiile f şi g definite pe R astfel încât f(x) =(x +)g(x), x R, g funcţie derivabilă înorigineşi g(0) =,g 0 (0) =. Atunci valoarea lui f 0 (0) este: (a) ; (b) ; (c) ; (d) Valorile lui m pentru care funcţia f : R R, f(x) =mx ln(x +) este monoton crescătoare pe R sunt: (a) m ; (b) m (0, ] ; (c) m ; (d) m [0, ].

45 Fie f : R\{, } R unde f (x) = x +3 x. soluţii ale ecuaţiei f (5) (x) =0. (a) ; (b) ; (c) 5; (d) 6. Secerenumărul de 35. Ecuaţia x lnx + m =0,m R, admite două soluţii reale distincte dacă: (a) m>; (b) m< ; (c) m R; (d) m. 36. Să se determine asimptotele (orizontale, oblice şi verticale) pentru următoarea funcţie: f : D R, D fiind domeniul maxim de definiţie al funcţiei f(x) = x x. (a) nu admite asimptote; (b) x =,y=0; (c) x =, x=,y=0; (d) x =,y=. 37. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b funcţia f : R R, definită prin: ½ x f(x) = + b, x, ax 3 +a, x >, este derivabilă per. (a) a =0,b= 8; (b) a =,b= 5; 9 (c) a =,b= ; 3 (d) a = 3,b=. 38. Funcţia f (x) =xe x + e x,x R, verifică egalitatea f 000 (x)+af 00 (x)+bf 0 (x)+cf (x) =0,x R, în care: (a) a =,b=, c=; (c) a =0,b= 3, c=; (b) a =, b=, c=3; (d) a =,b=0,c= Pentru funcţia f (x) =lnx +ln(x +) domeniul maxim de definiţie, punctele de extrem şi natura lor sunt: (a) R\{0},x= punct de maxim;

46 46 CAPITOLUL. ANALIZA (b) R\{ },x=punct de minim; (c) R\{, 0},x= punct de maxim; (d) R\{, 0},x=punct de maxim. 40. Se consideră funcţia f(x) = x + mx + x +x + m, unde m R este un parametru. Să se determine m, astfel încât domeniul ei de definiţie să fie R şi să admităexactdouăpunctedeextrem. (a) m (, ) (, ) ; (b) m (, ) ; (c) m ( 3, ) ; (d) m (, ). 4. Fie funcţia f : R R,f(x) = x e. x Să sedeterminen N ştiind ca f (n) () = 57. (a) n =6; (b) n =8; (c) n =7; (d) n =0. 4. Să se calculeze derivata funcţiei: ³ f : π, π R,f(x) =arccos(sinx). (a) ; (b) cosx; (c) sinx; (d). 43. Fie funcţia f : R R,f(x) = ½ e x x, x 0 e x x 3 +,x>0. Precizaţi care din următoarele afirmaţii este adevărată: (a) x =0este punct de extrem relativ şi punct de inflexiune; (b) x =0nu este punct de extrem relativ dar este punct de inflexiune; (c) x =0este punct de extrem relativ dar nu este punct de inflexiune; (d) x =0nu este nici punct de extrem relativ şi nici punct de inflexiune. 44. Dacă g(x) = x,x R şi f = g g atunci: (a) x = şi x =sunt puncte de minim relativ pentru f; (b) x = este punct de maxim relativ pentru f şi x =este punct de minim relativ pentru f;

47 (c) x = şi x =suntpunctedemaximrelativpentruf; (d) x = este punct de minim relativ pentru f şi x =este punct de maxim relativ pentru f. 45. Se dă funcţia f : R \{} R, definită prinf(x) = x + m x + e x,încare m este parametru real. Să se precizeze valorile lui m pentru care f are două punctedeextrem. (a) m [, 6]; (b) m, 3 ; (c) m, 6 ; (d) m (, ) (6, ) Dacă ½ e f(x) = x + ax + b, x 0 ae x + bx 3 +,x>0, atunci există derivataf 0 : R R continuă per dacă: (a) (a, b) =(, ); (b) (a, b) =(, ); (c) (a, b) =(, ); (d) (a, b) =(, ). 47. Să se precizeze valorile reale ale lui m astfel ca funcţia f : R R, f(x) = mex ( + m) e x +e x să fie strict monotonă per. (a) m [0, ); (b) m [0, ] ; (c) m (, ] [0, ); (d) m R. 48. Să se calculeze derivata funcţiei: f :(0,π) R,f(x) =arctg (a) x; (b) x; (c) ; (d) x. r cos x +cosx. 49. Fie A = {a R e 4x 4x 3 + a x +, x R}. Atunci: (a) A = ; (b) A = {} ; (c) A = {, } ; (d) A =(, ). 50. Să se calculeze derivata funcţiei: f :(0,π) R,f(x) = arcsin(cos x). (a) ; (b) sin x; (c) x; (d). 47

48 48 CAPITOLUL. ANALIZA 5. Funcţia µ (a + b)x + x, x < 0 bx + f(x) =, x =0 µ ax + bx + x, x > 0 bx + este continuă înx =0dacă: (a) (a, b) =(, ); (b) (a, b) =(,b),b R; (c) (a, b) =(0,b),b R; (d) (a, b) =(,b),b R. 5. Fie A mulţimea punctelor de continuitate şi B mulţimea punctelor de derivabilitate ale funcţiei: x,x (, 0] x f(x) = x ln x, x (0, ). e x e, x [, ) Să se precizeze mulţimile A şi B. (a) A = R\{0, },B= R\{0, }; (b) A = R\{0},B= R\{0, }; (c) A = R\{},B= R\{0, }; (d) A = R, B= R\{0, }. 53. Precizaţi valorile parametrului real m, pentru care funcţia f(x) = mex +(m )e x +e x satisface condiţiile: i) f 0 (ln ) = 0; ii) este descrescătoare pe (, ). (a) i) m = ; ii) m [0, ]; (b) i) m = ; ii) m [0, ]; 7 (c) i) m = ; ii) m [, ]; (d) i) m =3;ii) m [, ].

49 Fie f :(, ) \{0} R,f (x) = Atunci: (a) l = ; (b) nu există limită ; (c) l =; (d) l = e. µ x x ln x şi l =lim (x +) f (x). x Fie ½ e f : R R,f (x) = x x,x 0 x 3 3x.,x>0 Atunci: (a) f e strict crescătoare pe (0, + ); (b) x =0epunctcriticşi nu e punct de extrem local; (c) x =epunctdemaximlocal (d) minf (x) = 3. x R 56. Fie funcţia f : R \{,, 3, 4} R,f(x) = x + x + x 3 + x Atunci: (a) Graficul lui f intersectează axaox exact într-un punct. (b) Graficul lui f intersectează axaox exact în două puncte. (c) Graficul lui f intersectează axaox exact în trei puncte. (d) Graficul lui f intersectează axaox exact în patru puncte. 57. Fie +x n (x +4) f :(0, + ) R, f(x) = lim. n x (x n +) Atunci: (a) f econtinuăpe(0, + ); (b) x =este punct critic pentru f dar nu este de extrem local; (c) f e strict descrescătoare pe (0, ); (d) max f (x) =. x (0,+ )

50 50 CAPITOLUL. ANALIZA 58. Să se studieze monotonia funcţiei f :[, ) R,f(x) =x cos π x, ( ) x. x (a) f este strict descrescătoare pe [, ); (b) f este strict crescătoare pe [, ); (c) f este strict crescătoare pe [, 4] şi strict descrescătoare pe [4, ); (d) f este strict crescătoare pe [, 8] şi strict descrescătoare pe [8, ). 59. Să se determine asimptotele funcţiei f : R\{, 0} R, f (x) = x x + e/x. (a) Asimptote verticale x =, x=0; (b) Asimptotă verticală x = ; (c) Asimptote verticale x =, x=0şi asimptotă orizontală y = ; (d) Asimptote verticale x =, x=0şi asimptotă oblică y = x. 60. Fie f : R R,f(x) = 3p x +(a ) x a +. Valorile parametrului real a pentru care domeniul de derivabilitate al funcţiei f coincide cu domeniul de definiţie suntdatede: (a) a R\{, } ; (b) a (, ) (, ); (c) a (, ) ; (d) a (, ]. 6. Pentru ce valori ale lui x>0 are loc inegalitatea x arctg x>ln +x? (a) x (0,π/) ; (b) x (0, ); (c) x (, ) (d) x (0, ) (e, ). 6. Se consideră funcţia f : R R, x +, x < f (x) = 5x, x [, ] x + (x +) x,x (, 3] 8, x > 3.

51 5 Să se studieze continuitatea şi derivabilitatea lui f pe R. (a) f este continuă per şi derivabilă per\{, 3} ; (b) f este continuă per\{3} şi derivabilă per\{, 3} ; (c) f este continuă per\{3} şi derivabilă per\{,, 3} ; (d) f este continuă per şi derivabilă per\{}. 63. Se consideră funcţia ½ f : R\ ¾ R,f(x) = x + ax b bx +. Determinaţi a, b R,b6= 0, astfel încât extremele funcţiei f să aibăloc pentru x = 8 şi x =4. (a) a =,b= ; (b) a = 6, b=; (c) a =8,b=0; (d) a =, b=. 64. Se consideră funcţia f : R R,f(x) = ½ sin x x şi a = f 0 (0),b= f 00 (0). Atunci: (a) a =0,b= ; (b) a =0,b= ; 3 (c) a =0,b= ; (d) a =,b=. 3, pentru x 6= 0,, pentru x = Careesteceamaimicăvaloareafuncţiei f : R R, definită prin: f(x) =ln ³+ +x? (a) 3ln; (b) ln, 5; (c) 0; (d) ln. 66. Fie Z x + I = (x dx, pentru x R. +x +5) Atunci: (a) I = x x +x +5 + C; (b) I = x +x +5 + C; (c) I = x x +x +5 + C; (d) I = x x +5.

52 5 CAPITOLUL. ANALIZA 67. Fie funcţia µ x + f :(, ) R,f(x) = x + Atunci toate primitivele funcţiei f sunt: (a) x +ln(x +)+C; (b) x ln (x +)+C; (c) ln(x +) x + + C; (d) x ln(x +) x + + C. 68. Fie Z dx I =, pentru x R. (x +) Atunci: (a) I = arctg x + x (x +) + C; (b) I = arctg x x (x +) + C; (c) I = arctg x + C; x (d) I = (x +) + C. 69. Fie Z I = dx, pentru x R. x ++x Atunci: (a) I = x x ++C; (b) I = x ³ x ++ ln x + x x + + C; (c) I = x x ++ ln x + x + x + C; (d) I = ln x + x + x + C. 70. Fie funcţia f :(0, ) R,f(x) = ln x x Atunci toate primitivele funcţiei f sunt: (a) ln x + C; (b) ln x; (c) ln x + C; (d) + ln x + C. x x x x

53 53 7. Fie Z I = dx x p, pentru x>0. 4+ln x Atunci: (a) I =ln(lnx + p 4+ln x)+c; (b) I =ln(x + 4+x )+C; (c) I =ln(lnx p 4+ln x)+c; lnx +8 (d) I = + C. ln x Integrala Z xdx,x ( a, ),a6= 0. 3/ (x + a) este: ³ (a) x + a µ x a + c; (b) + a + c; x x + a µ x a (c) + a + + c; (d) x a + c. x + a x + a 73. Valoarea integralei Z cos x I = sin x cosx dx ³ şi intervalul de lungime maximă, inclus în π, π pe care este definită sunt: (a) I = ln ( cos x sin x) x + C, intervalul de lungime maximă 5 5 ³ π, arctg ; (b) I = ln ( cos x sin x) x + C, intervalul de lungime maximă 5 ³ 5 arctg, π ; (c) I = ln ( cos x +sinx) x + C, intervalul de lungime maximă 5 ³ 5 arctg, π ; (d) I = ln ( cos x sin x) x + C, intervalul de lungime maximă 5 ³ 5 π, π. xf (x) 74. Fie f : R R,f(x) =e x şi F oprimitivăaluif. Se cere lim x f (x). (a) ; (b) 0; (c) ; (d) e.

54 54 CAPITOLUL. ANALIZA 75. Fie funcţia f : R R,f(x) =x + x + x 3. Fie F o primitivă aluif astfel încât F () =. Atunci F (4) este egal cu: (a) 0; (b) 6; (c) 8; (d) Valoarea integralei definite Z 0 +x ( x) dx. este: (a) +ln; (b) ln e ; (c) arctg ; (d) e. 77. Fie funcţia şi I (a) = Z a r x3 f :(, ) R,f(x) = x dx, a >. Atunci lim I (a) este: f (x) a (a) 3 π + ln 7; (b) 3 ( π arctg )+ ln 7; 6 (c) 3 ( π + arctg 5 3 )+ ln 7; (d) 3 ( π arctg ) 6 ln Valoarea integralei π Z cos 3 x +sin 3 x dx este: (a) 4; 3 (b) ; (c) ; 3 (d) π Integrala 0 I = π Z 0 sin x +cos x dx. are valoarea: (a) I =; (b) I =ln; (c) I = π; (d) I = π Să se calculeze π Z4 cos tdt +sin t. 0

55 55 (a) ; (b) arctg ; (c) arctg 3; (d) arctg Să se determine valoarea integralei Z 3 tdt +t. (a) ln ; (b) ln 3 ; (c) 3 3 ; (d) Valoarea integralei Z e ln x x dx. este: (a) ; (b) ; (c) ; (d) Valoarea integralei Z 4 0 dx + x este: (a) 3; (b) ln; (c) 3+ln; (d) 4 ln Să se determine valoarea integralei: I = Z 0 (x +) x +dx. (a) I = +ln(+ ); (b) I = 3 +ln(+ ); (c) I = ln( + ); (d) I = ln( + ). 85. Să se calculeze: Z I = x3 x x +dx. (a) 8 +3; (b) 8 3; (c) 5 (8 7); (d) 5 (8 +7). 0

56 56 CAPITOLUL. ANALIZA 86. Să se calculeze: I = Z 0 dx x 3 + x +4x +4, (a) I = µ ln arctg ; (b) I = µ ln arctg ; (c) I = µ ln arctg ;(d) I = µ ln arctg. 87. Se consideră funcţia f : R \{ } R, f (x) = x 3 + x + 4(x +). Să se calculeze: I = Z f (x) dx. (a) I = arctg 7 ; (b) I = 3 7 arcsin 7 ; (c) I = 3 7 arctg 7 ; (d) I = +ln(+ 7) Să se calculeze Z a xdx I =, x + a unde a>0 este o constantă. (a) I =( )a ; (b) I = ( + )a a; 3 (c) I = 3 ( )a a; (d) I =(+ )a Valoarea integralei I = Z a x dx x + a, unde a>0 este dat, este: (a) I = a a ln p 3+ ; (b) I = a + +a ; (c) I =a a a +a ; (d) I =a a arctg a.

57 Valoarea integralei π Z4 cos xdx π 6 este: (a) cos π 8 ; (b) π sin 8 ; (c) π ; (d) π Fie I = Z 0 f (x) dx, unde f :[0, ] R este definită de f (x) =e x max,x ª. Atunci: (a) I = e ; (b) e ; (c) e ; (d) (e ). Z 9. Fie I = f (x) dx, unde f :[0, ] R este definită de 0 ½ ¾ f (x) =min x,. +x Atunci: (a) I = +arctg π ; (b) I = +arctg; (c) I =; (d) I =arctg. 93. Fie f :[, ] R,f(x) =max{e x,e x }.Valoarea integralei Z I = f (x) dx este: (a) I =0; (b) I =; (c) I =(e ); (d) I =4.

58 58 CAPITOLUL. ANALIZA 94. Se consideră funcţia f :[, ] R,f(x) =max Atunci valoarea integralei I = (a) ln 3 ; (b) 4; (c) 4 ln 3 ; 95. Valoarea integralei Z f (x) dx este: (d) 4ln3. Z este: (a) ; (b) e; (c) ln; (d) Să se determine valoarea integralei I = t ( e t ) +e t dt Z π 0 x sin x +cos x dx. µ x x, 3. 3 (a) I = π 4 ; (b) I =0; (c) I = π ; (d) I = π. 97. Pentru a (, 3) valoarea integralei este: (a) I =ln[a (4 a)] ; (c) I =ln[a (a 4)] ; 98. Să se calculeze: I = Z 3 dx x a + (b) I =ln(4 a); (d) I =ln 4 a a. I = Z x arcsin xdx. 0 (a) π 3 ; (b) +π ; (c) π 8 ; (d) 3+ π.

59 Fie (I n ) n N,n şirul cu termenul general Atunci: I n = Z n x I n dx, n N,n şi l = lim x + n n. (a) l =0; (b) l = ; (c) l =; (d) l =. 00. Se consideră funcţia x n + x 3 + x f :[0, ) R,f(x) = lim n x n + x +. Atunci valoarea integralei I = Z f (x) dx este: (a) 7 8 ; (b) 5 8 ; (c) 7 8 ; (d) Să se determine numărul p al perechilor ordonate (m, n) R astfel încât P (x) = x 3 3mx + n să aibăorădăcină reală dublă şi Z 0 P (x) dx =. (a) p =; (b) p =; (c) p =0; (d) p =4. 0. Folosind sume Riemann, să se calculeze: µ n + n + n +n + +. n + n 03. Fie lim n (a) ( ); (b) ; (c) ; (d) +. I = Z 0 4x 3 6x +8x 3 (x x +) 3 dx, pentru x R. Atunci: (a) I =6; (b) I =3; (c) I =0; (d) I =4.

60 60 CAPITOLUL. ANALIZA 04. Fie funcţia f : RÂ {} R, f (x) = x (x ). Aria cuprinsă întregraficul funcţiei f şi dreptele x =3şi x =4este: (a) ln+ 5; (b) 4ln+5; (c) ln+5; (d) Fie funcţia f : R R, definită prin: f (x) = x +4x +5 e x. Dacă x şi x (x <x ) sunt cele două puncte de inflexiune ale funcţiei, săseaflearias, cuprinsă întregraficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţie x = x, respectiv x = x. (a) 6(3 e)e 3 ; (b) 6(e 3)e 5 ; (c) 5(e )e ; (d) 5(e )e. 06. Aria domeniului plan cuprins între parabolele de ecuaţii y = ax şi x = by, unde a şi b sunt constante reale pozitive, este: (a) ab; (b) a b; (c) ab ; (d) ab Fie f :(0,π) R,f(x) =(cosx) ln(sin x). Aria mulţimii cuprinse între graficul lui f, axa Ox şi dreptele de ecuaţii x = π,x= π este: 4 (a) ln ; (b) + + ln ; 4 4 (c) + ln ; (d) + + ln Să se calculeze volumul V al corpului de rotaţie obţinut prin rotirea în jurul axei Ox asubgraficului asociat funcţiei f :[0,a] R,f(x) = a ³ cu a>0 dat. (a) V = πa3 8 (e e +); (b) V = aπ ³ e a + e a ; µ (c) V = πa e 4 a e a + ; (d) V = πa3 8 (e e +4). e x x a + e a,

61 Capitolul 3 Trigonometrie. Să se elimine θ între relaţiile: sin θ +cosθ = a sin 5 θ +cos 5 θ = b. (a) a(5 a 4 )=4b; (b) a(3 a 4 )=b; (c) a 4 3=a 3 b; (d) a 5 + a 3 =b.. Fie m R, n R Să seeliminex R între relaţiile ½ sin x cos x = m sin 3 x cos 3 x = n. (a) m 3 3m +n =0; µ (b) m + m = n; (c) nu se poate elimina x; (d) m µ+ m = n. 3. Să se calculeze numărul cos π 5. (a) ; (b) 4 4 ; (c) 4. Valoarea expresiei: E = sin 0 0 ; (d) cos 0 0 este: (a) E =4; (b) E =; (c) E =0; (d) E =. 6

62 6 CAPITOLUL 3. TRIGONOMETRIE 5. Să se precizeze valoarea expresiei: E =sin70 0 cos sin60 0 cos (a) E = 3 3 ; (b) E = ; (c) E = ; (d) E = Pentru x 6= k π,k Z, valoarea expresiei: E(x) = 3+cosx +tg x + 3 cos x +ctg x este: (a) 4sinx; (b) 4cosx; (c) sinx; (d). 7. Să se calculeze valoarea expresiei E (x) = sin x +sin3x +sin5x cos x +cos3x +cos5x în x = π. (a) /; (b) /; (c) ; (d). 8. Fie x =sin, y =cos, z =tg.atunci: (a) y<x<z; (b) y<z<x; (c) z<x<y; (d) x<z<y;. 9. Se dau numerele x =cos3,y =tg3,z =ctg3atunci (a) z<x<y; (b) y<x<z; (c) z<y<x; (d) x<z<y. 0. Se consideră unghiurile ascuţite α,β, γ acăror sumă esteπ/. Ştiind că numerele ctg α, ctg β, ctg γ sunt în progresie aritmetică, să secalculeze valoarea produsului ctg α ctg γ. (a) sinβ +cosβ; (b) tgβ; (c) ctgβ; (d) 3.

63 63. Fie f : R R,f(x) =sinx +cosx şi A = {y R x R : f(x) =y}. Atunci: (a) A =[, ] ; (b) A =[, ] ; (c) A =, ; (d) A = [0, ].. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este: sin x ( + tg x)cosx cos x ( + ctg x)sinx = (a) π 4 +kπ, k Z (b) 3π 4 +kπ, k Z; (c) ; (d) ± π 4 + kπ, k Z. 3. Să se rezolve ecuaţia: cos x +sin x =. (a) x ; (b) x =(k +) π,k Z; 4 (c) x = π + kπ, k Z; (d) x = ± π + kπ, k Z. 4. Precizaţi valorile lui p R pentru care ecuaţia admite cel puţin o soluţie: sin x + p cos x =p. (a) p ; (b) p ; (c) p ; 3 (d) p. 5. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei 3sin4x +8sin x cos x = este: (a) x =(k +) π 6 ; (b) x = π + kπ 6 ; (c) x = π 4 + kπ 4 ; (d) x = π + kπ 4.

64 64 CAPITOLUL 3. TRIGONOMETRIE 6. Numărul soluţiilor reale ale ecuaţiei arctg este: (a) 4; (b) ; (c) ; (d) Mulţimea soluţiilor ecuaţiei x +arctg x + arctg x = π 4 (sin x cos x) +tg x = este: (a) x kπ + π k Zª ; 3 (b) x {kπ k Z} ; (c) x kπ + π k Zª {arctg( 3) + kπ k Z} ; 4 (d) x kπ + π 6 k Zª {arctg( 3) + kπ k Z}. 8. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este: n π o (a) x 4 + kπ k Z (b) x nkπ + π o k Z ; (c) x nkπ + π o 3 k Z ; (d) x {kπ k Z}. 9. Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este: n π (a) x + k π o 4 k Z ; (b) x nkπ + π o 4 k Z ; (c) x nkπ + π o 3 k Z ; (d) x {kπ k Z}. cos x sin x +=cos x +sinx n ( ) k π 6 + kπ k Z o ; 8cos 6 x 8cos 4 x +4cos x =0