TITULARIZARE 2009 HARGHITA

Transcript

1 TITULARIZARE 2009 prof. SZÉP GYUSZI HARGHITA. În triunghiul isoscel ABE avem AB = AE şi m(â) = 30. În exteriorul triunghiului construim triunghiul echilateral BEC. Pe perpendiculara în punctul B pe dreapta AB considerăm punctul D astfel încât punctele D şi E să fie pe aceeaşi parte a dreptei AB şi DB = AB. Să se arate că: a) BC DA; b) m( ECD) = 45 ; c) triunghiul ADC este isoscel. ( 2. Se dau expresiile E(x) = sin x+ π ) ( sin x π ) ( π ) ( π ) şi F(x) = sin x sin 6 x. a) Să se exprime expresia F(x) în funcţie de cosx. b) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 4E(x) 2cosx+ = 0. c) Ştiind că tanx = 4 E(x), să se calculeze valoarea expresiei 3 F(x). 3. Săserezolveînmulţimeanumerelorrealeşisăsediscuteînfuncţiedeparametrulm Recuaţiax+ m+x = m.. Fie n N, n 3, a 0,a,...,a n Z şi polinomul f = a n X n +a n X n + +a X +a 0. a) Să se arate că f()+f( ) este număr par. b) Să se arate că dacă f(2) şi f(3) sunt numere impare, atunci polinomul f nu are nicio rădăcină întreagă. c) Să se arate că polinomul g = X 3 X +3a+, a Z, nu poate fi descompus în produs de două polinoame neconstante cu coeficienţi întregi. 2. Fie funcţia f : R R, f(x) = x+e x. a) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul [0,+ ). b) Să se arate că funcţia f are un singur punct de extrem. c) Să se determine numărul soluţilor ecuaţiei f(x) = m în funcţie de parametrul real m. xlnx 3. Fie funcţia f : [0, ) R, f(x) = (+x 2 ) 2, x > 0 0, x = 0. a) Să se studieze continuitatea funcţiei f în punctul x = 0. b) Să se calculeze I n = n c) Să se calculeze lim n I n. f(x)dx, n N {}.

2 I. a) Proiectaţi o unitate de învăţare la geometrie clasa a VII-a, pentru 8-2 ore. Proiectul să detalieze conţinuturile unităţii de învăţare, obiectivele specifice, activităţile de învăţare, resursele didactice, evaluarea. b) Pentru unitatea de învăţare aleasă la punctul a) formulaţi 2 itemi obiectivi, un item semiobiectiv şi un item subiectiv, şi formulaţi obiectivele de evaluare. c) Pentru fiecare item formulat la punctul b) elaboraţi baremul de corectare şi notare. 2. Elaboraţi un eseu despre organizarea unei ore alternative (netradiţionale) de matematică, care poate fi aplicată într-o clasă aleasă de D-voastră în condiţiile sistemului educaţional românesc. În cadrul acesteia prezentaţi mai detaliat momentele importante de pregătire din partea profesorului, avantajele şi dezavantajele propriu-zise ale organizării orei respectiv problemele ce pot apărea în aplicarea orei în practică. Eseul să nu depăşească două pagini scrise. Observaţie. În aprecierea eseului se vor lua în considerare cerinţele de conţinut, respectarea întinderii eseului, structura logică, nota personală, creativă şi originală precum şi forma eseului. 2

3 CONSTANŢA. Se consideră mulţimea Z[ 2] = {a+b 2 a,b Z} şi un subgrup (H,+) al grupului (R,+) cu proprietatea că mulţimea H (0,2004) este finită şi nevidă. a) Să se arate că, dacă x,y Z[ 2], atunci x+y Z[ 2]. b) Să se arate că, dacă x Z[ 2], atunci x Z[ 2]. c) Să se arate că c H, avem H {ck k Z}. d) Să se arate că există d H (0,2004), astfel încât H = {dk k Z}. e) Să se arate că nu există un morfism bijectiv de grupuri între grupurile (H,+) şi (Z[ 2],+). 2. Se consideră triunghiul ABC cu laturile de lungimi a, b, c, cu R raza cercului circumscris şi cu r raza cercului înscris. Notăm cu O centrul cercului circumscris, cu G centrul de greutate, cu H ortocentrul şi cu I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. a) Să se arate că OG = 3 ( OA+ OB + OC). b) Să se arate că OH = 3 OG. c) Să se arate că 9 OG 2 = 9R 2 (a 2 +b 2 +c 2 ). d) Să se arate că a OA+b OB +c OC OI =. a+b+c e) Să se arate că OI 2 = R 2 2Rr.. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x 3 + 2x + 3, numerele a,b,c R şi matricele A = B = a b c. f(a) f(b) f(c) a b c, a 3 b 3 c 3 a) Să se determine rădăcinile x, x 2, x 3 ale ecuaţiei f(x) = 0 şi să se calculeze suma modulelor lor. b) Să se arate că det A = (a+b+c)(a b)(b c)(c a). c) Să se arate că det A = det B. d) Să se arate că pentru orice trei puncte distincte cu coordonatele naturale situate pe graficul funcţiei f, aria triunghiului cu vârfurile în aceste puncte este un număr natural divizibil cu Fie şirul (x n ) n N definit prin x n = n N. a) Să se calculeze I, I n 2n 2n+ şi integralele I 0 = b) Să se demonstreze că I n = n I n 2, n N, n 2. n c) Să se arate că I n n+ I n+ n, n N. d) Folosind inducţia matematică, arătaţi că I 2n = n N. e) Verificaţi că (x n ) 2 = 2 π I 2n I 2n+, n N. şi să se calculeze lim n x n. π 2 0 dx şi I n = π n 2n π 2 şi I 2n+ = n 2n 0 (cosx) n dx, 2n+, 3

4 I. Descrieţi la alegere una din următoarele metode de învăţare: problematizarea, demonstraţia, lucrul cu manualul, prezentând: a) Definiţia. b) Caracterizarea metodei c) Un exemplu de utilizare a metodei la disciplina matematică. 2. Elaboraţi proiectul de lecţie cu tema: Teorema creşterilor finite a lui Lagrange, prezentând numai următoarele activităţi de învăţare: a) Enunţul şi demonstraţia teoremei. b) Formularea unui exemplu de funcţie care nu verifică o ipoteză a teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia rămâne valabilă. c) Formularea unui exemplu de funcţie care nu verifică o ipoteză a teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia este falsă. 4

5 MARAMUREŞ a) Teoremele lui L Hospital (enunţuri, demonstraţi una din teoreme). b) Calculaţi x n sin n x lim x 0 x n+2, n N.. a) Pentru ce valori ale lui n N, numărul n n se scrie ca un număr de n 2 cifre? b) Să se determine n N cu proprietatea că există a, b Z astfel încât n 2 = a+b şi n 3 = a 3 +b 3. c) Fie a 0,a,...,a 200 coeficienţii polinomului (+X +X 2 ) 000. Să se arate că a 0 +a 2 +a a 200 este un număr natural par. 2. Fie a 0 şi I : R\{0} R, dată prin I(a) = a) Să se calculeze I(). π 4 0 cos 2 x a 2 cos 2 x+sin 2 x dx. b) Să se studieze continuitatea funcţiei I în punctele şi. 3. a) Să se demonstreze că într-un triunghi ABC: sin A 2 + sin B 2 + sin C 2 6. b) În triunghiul ABC, cevienele AA, BB, CC sunt concurente în punctul M. Atunci: AM MA = AC C B + AB B C c) Două muchii opuse ale unui tetraedru sunt perpendiculare dacă şi numai dacă înălţimile tetraedrului care pleacă din vârfurile uneia dintra muchiile respective sunt concurente. I. Metode specifice de predare a matematicii - Metoda inducţiei matematice. 2. Se consideră x R astfel încât x+ x Z. Să se demonstreze că xn + Z, n N. xn 3. Fie poligonul convex A A 2...A n, n 3. Să se arate că numărul diagonalelor poligonului este egal cu n(n 3) 2 5

6 BUCUREŞTI. Demonstraţi că ecuaţia x 2 +y 2 +z 2 = 2xyz nu are soluţii naturale nenule. 2. Fie triunghiurile ABC şi A B C cu acelaşi centru de greutate G. Calculaţi suma 3. a) Definiţi probabilitatea condiţionată. AA + AB + AC + BA + BB + BC + CA + CB + CC. b) Fie o mulţime {,2,3,...,n}. Calculaţi probabilitatea ca o submulţime de 4 elemente să fie formată din elementele unei progresii aritmetice.. Determinaţi maximul funcţiei f : [ 0, π ] R, f(x) = sin 3 xcos 5 x Pe R se defineşte legea de compoziţie x y = xy 2x 2y. Determinaţi a R astfel încât mulţimea G = [a,+ ) să fie parte stabilă a lui R. 3. Calculaţi lim x x I x 0 4+cost dt.. Proiectaţi o unitate de învăţare cu tema Progresii. Definiţia unităţii de învăţare. 2. Elaboraţi un test formativ cu trei itemi pentru tema Şiruri monotone. Definiţia testului formativ. 3. Elaboraţi o propunere de opţional (curriculum la decizia şcolii - C.D.Ş.), urmărind următoarele aspecte: a) Precizarea numelui şi a tipului opţionalului proiectat. b) Prezentarea argumentului, a listei de conţinuturi şi a metodelor de evaluare. 6

7 HUNEDOARA ˆ a b ˆ ˆ0 ˆ0. Se consideră mulţimea M = ˆ0 ˆ c a,b,c Z 7 şi matricea I = ˆ0 ˆ ˆ0. ˆ0 ˆ0 ˆ ˆ0 ˆ0 ˆ a) Dacă A, B M, să se arate că A B M. b) Să se arate că A 7 = I, A M. c) Să se determine două matrice A, B M cu proprietatea că A B B A. d) Să se arate că (M, ), unde este înmulţirea matricelor, este grup necomutativ cu 7 3 elemente şi orice element A M, cu A I are ordinul Fie ABC un triunghi cu AB = c, BC = a, CA = b, R razacerculuicircumscristriunghiului ABC, r razacercului înscris în triunghiul ABC. Dacă O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC, I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, H este ortocentrul triunghiului ABC, iar G este centrul de greutate al triunghiului ABC, să se arate că: a) 3 OG = OA+ OB + OC. b) OH = 3 OG. c) 9 OG 2 = 9R 2 (a 2 +b 2 +c 2 ). d) (a+b+c) OI = a OA+b OB +c OC. e) OI 2 = R 2 2Rr.. Se consideră numerele întregi a,a 2,...,a n distincte şi polinomul f = (X a ) 2 (X a 2 ) 2... (X a n ) 2 +. a) Să se arate că polinomul f nu are rădăcini reale. b) Să se arate că dacă g, h Z[X] şi f = g h, atunci g(a k ) = h(a k ), k =,n. c) Să se arate că dacă g(a ) =, atunci g(a k ) = h(a k ) =, k =,n. d) Să se arate că dacă polinoamele g şi h sunt neconstante, atunci grad(g) = grad(h) = n. e) Să se arate că polinomul f este ireductibil în Q[X]. 2. Fie şirul (I n ) n definit prin I n = a) Să se calculeze I. b) Să se arate că I n = π 4 0 tg 2n xdx, n N. 2n I n, n N, n 2. c) Să se arate că şirul (I n ) n este convergent. d) Să se calculeze lim n ( ( )n ). 2n e) Să se arate că nu există g,h R[X], astfel încât g(n) h(n) = ( )n 2n, n N. I Proiectaţi o unitate de învăţare cu tema Teorema creşterilor finite a lui Lagrange.. În cadrul acesteia prezentaţi numai următoarele activităţi de învăţare: a) enunţul teoremei; b) demonstrarea teoremei; c) formularea unui exemplu de funcţie care nu verifică o ipoteză a teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia rămâne valabilă; d) formularea unui exemplu de funcţie care nu verifică o ipoteză a teoremei lui Lagrange, dar pentru care concluzia este falsă. 2. Daţi exemple de două obiective operaţionale asociate acestei teme. 7

8 BRĂILA. Se consideră matricea A = M 3 (R). 0 0 a) Să se calculeze A 2, A 3, A 4. b) Fie n N. Să se arate că A n = I 3 4 n. c) Fie G = {A n n N }. Să se arate că G, împreună cu operaţia de înmulţire a matricelor, formează un grup comutativ cu 4 elemente. d) Demonstraţi că (G, ) este izomorf cu (Z 4,+). e) Să se calculeze det (A+A 2 +A A 2009 ). 2. Fie ABC un triunghi, C(O,R) cercul circumscris ABC, H ortocentrul, G centrul de greutate şi A punctul diametral opus lui A în C(O,R). a) Arătaţi că patrulaterul A BHC este paralelogram. b) Dovediţi că oricare ar fi punctul M din planul (ABC), MH = MA+ MB + MC 2 MO. c) Demonstraţi că OH = OA+ OB + OC. d) Să se arate că punctele O, G, H sunt coliniare şi OH = 3 OG. e) Dacă D C(O,R), D A, D B, iar H este ortocentrul triunghiului ABD, atunci demonstraţi că HH = CD.. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = (x )(x 3)(x 5)(x 7). f(x) a) Să se calculeze lim x x 4 b) Să se determine numărul de rădăcini pentru ecuaţia f (x) = 0. c) Să se găsească cele trei rădăcini ale ecuaţiei f (x) = 0. d) Să se determine valoarea minimă a funcţiei f. 2. Se consideră şirul (I n ) n, I n = a) Să se calculeze I. 0 x n x 2 +3x+2 dx. b) Să se studieze convergenţa şirului (I n ) n. c) Să se calculeze lim n I n. d) Să se arate că I n+2 +3I n+ +2I n = n+, n N. e) Să se calculeze lim n ni n. I. Descrieţi, la alegere, una dintre următoarele metode de învăţământ: demonstraţia, expunerea, problematizarea, metoda lucrului cu manualul, prezentând: a) caracterizarea metodei; b) un exemplu de utilizare a metodei la matematică. 2. Elaboraţi o probă de evaluare sumativă/finală care să conţină: a) trei itemi, câte unul, la alegere, dintre următoarele tipuri: rezolvare de probleme, cu răspuns scurt, enunţ lacunar, item de tip pereche. b) baremul de corectare al probei de evaluare (răspunsul corect pentru fiecare item şi distribuirea punctajului de 00 puncte, dintre care 0 puncte se acordă din oficiu). 8

9 TIMIŞ. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = a x+ + x +(2 a)x a, unde a R. a) Să se verifice dacă f() =. b) Să se studieze continuitatea funcţiei f. c) Să se determine valorile lui a pentru care funcţia f este inversabilă. d) Să se determine inversa funcţiei f pentru valorile lui a determinate la punctul c). 2. Să se arate că în orice triunghi ABC are loc relaţia: a cosa+b cosb +c cosc = abc 2R 2, unde AC not = b, AB not = c, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. 3. Fie polinomul P R[X], definit prin P(X) = X 5 7X 4 +5X 3 +ax 2 +bx +c. a) Să se determine valorile parametrilora, b, c astfel încât polinomul P să se dividă cu polinomul (X 2 4)(X ). b) Să se raţionalizeze expresia E = u2 v +uv 2, unde u şi v sunt rădăcinile complexe conjugate ale u+v ecuaţiei P(x) = 0, pentru a = 5, b = 76, c = c) Să se calculeze suma S = x n k, unde x k, k =,5, sunt rădăcinile ecuaţiei P(x) = 0, pentru a = 5, b = 76, c = 52. k=. a) Să se rezolve inecuaţia C 3 n 0. b) Să se demonstreze identitatea 2 C n +3 2 C 3 n +5 2 C 5 n +... = n(n+)2 n În interiorul cubului ABCDA B C D cu latura de 9 se consideră 98 puncte. a) Să se calculeze distanţa de la punctul A la diagonala A C. b) Să se demonstreze că printre cele 98 de puncte considerate există cel puţin două cu proprietatea că distanţa dintre ele este mai mică decât. 3. Fie şirurile de numere reale (e n ) n N, (E n ) n N, (g n ) n N, definite prin: e n = ( + n) n+. Să se arate că: a) 2 < e n < E n < 3, n N. n+ b) n e n g n+ n n e n, n N\{0,}. c) 0 < e E n < n n!, n N, unde lim n e n = e. I. Ce este planificarea calendaristică? ( + n) n, E n = n k=0 k!, g n = 2. Proiectarea unei unităţi de învăţare pentru liceu poate fi structurată în 6 secvenţe de activităţi (cu finalităţi precise). Enumeraţi aceste secvenţe, cuvintele-cheie corespunzătoare acestora şi întrebările ce evidenţiază, din perspectiva elevului, fiecare dintre secvenţele unităţii de învăţare. 3. Pentru unitatea de învăţare Elemente de combinatorică, clasa a X-a, programa M, elaboraţi: a) un test de evaluare sumativă care să fie format din 9 itemi, dintre care: doi itemi cu alegere multiplă, un item cu alegere duală, un item de tip pereche, doi itemi de completare, trei itemi de tip subiectiv. b) Baremul pentru testul elaborat. Baremul trebuie să conţină rezultatele la exerciţiile şi problemele propuse în test, precum şi punctajul aferent. 9

10 IAŞI Se consideră numerele reale a,a 2,...,a n şi funcţiile f,f : R R, f(x) = a cosx+a 2 cos2x a n cosnx şi F(x) = a sinx+ a 2 2 sin2x+...+ a n n sinnx, n N. a) Demonstraţi că funcţia F este o primitivă a funcţiei f pe R. b) Arătaţi că F(kπ) = 0, k Z. c) Să se arate că dacă f(x) 0, x R, atunci F(x) = 0, x R. d) Să se arate că dacă F(x) = 0, x R, atunci f(x) = 0, x R. e) Arătaţi că pentru p,q N, 2π 0 cospxcosqxdx = { 0,dacă p q π,dacă p = q. f) Să se arate că dacă f(x) 0, x R, atunci a = a 2 =... = a n = 0.. Se considerăpolinomul f n (X) = + X! A O 3 şi A 2009 = O 3. +) +X(X ! a) Verificaţi că n!f n (X) = (X +)(X +2)... (X +n), n 2. b) Arătaţi că f n (t) Z, t Z. c) Arătaţi că pentru orice x C, matricea I 3 +xa este inversabilă. d) Arătaţi că det (I 3 +xa) =, x C. e) Calculaţi det (f 3 (A)). 2. Fie ABC un triunghi dreptunghic cu laturile exprimate prin numere naturale. a) Arătaţi că raza cercului înscris este număr natural. b) Arătaţi că aria triunghiului dat este un număr natural divizibil cu 6. I X(X +)... (X +n ), n N, iar A M 3 (C), n!. Descrieţi, la alegere, una dintre următoarele metode de învăţământ: problematizarea, experimentul, simularea, expunerea, prezentând: a) definiţia; b) caracterizarea metodei; c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina matematică. 2. Alegeţi unul dintre următoarele mijloace de învăţământ: calculatorul, fişele de lucru, filmul didactic, aparatele şi instrumentele de laborator, şi precizaţi: a) modul său de integrare în activitatea didactică cu elevii (predare/învăţare/ evaluare); b) un exemplu de utilizare adecvată a respectivului mijloc de învăţământ la disciplina matematică, pe o temă la alegere. 3. Elaboraţi pentru disciplina matematică o probă de evaluare sumativă/finală, care să conţină: trei itemi, câte unul, la alegere, dintre următoarele tipuri: de tip pereche, cu un răspuns scurt, cu alegere multiplă, rezolvare de problemă. 0

11 CARAŞ-SEVERIN. Fie A = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 2 xn xn+ xn M (R) şi M y 2, (R) cu = A, n N şi x n y n+ y 0 =, y 0 = 0. n a) Să se determine x, y, x 2, y 2. b) Să se arate că x n +y n 6 = (5+2 6) n, n N. c) Să se calculeze x 2 n 6y 2 n. d) Să se arate că x n+2 0x n+ +x n = Fie ABCD un patrulater convex oarecare şi notăm cu α unghiul dintre laturile opuse AD şi BC. a) Demonstraţi egalitatea cosα = AC2 +BD 2 AB 2 DC 2 2 AD BC AD 2 +BC 2 CD 2 AB 2 b) Dacă β este unghiul ascuţit al diagonalelor, demonstraţi că: cosβ = 2 AC BD c) Demonstraţi că dacă laturile opuse AD şi BC sunt perpendiculare, atunci AC 2 +BD 2 = AB 2 +DC 2. d) Demonstraţi că diagonalele unui patrulater sunt perpendiculare dacă şi numai dacă suma pătratelor laturilor opuse este constantă. 3. Fie funcţia f : R R dată de f(x) = x+cosx şi sirul (a n ) n 0 definit prin a 0 =, a n+ = a) Determinaţi numărul de rădăcini reale ale funcţiei f. b) Arătaţi că şirul (a n ) n 0 este monoton. c) Arătaţi că şirul (a n ) n 0 este mărginit. d) Calculaţi lim n a n. an 0 sin(πx) dx.. Proiectaţi o unitate de învăţare cu tema Derivabilitate în cadrul căreia să prezentaţi numai următoarele activităţi de învăţare: a) Definirea derivatei unei funcţii într-un punct (exemplificare prin două exemple). b) Interpretarea geometrică a derivatei unei funcţii într-un punct. c) Proprietăţi ale funcţiilor derivabile. d) Teoreme de medie, monotonie, convexitate. 2. Elaboraţi pentru tema Binomul lui Newton o probă de evaluare care să conţină: a) Itemi de următoarele tipuri: obiectivi, semiobiectivi şi subiectivi. b) Barem de corectare (răspuns corect pentru fiecare item şi distribuirea punctajului de 00 de puncte, din care 0 puncte din oficiu).

12 SUCEAVA. Se consideră matricele A = ( ) 2 2 şi I = ( ) 0. 0 a) Să se determine numărul real a, astfel încât (I 2 +A)(I 2 +aa) = I 2. b) Să se arate că det (I 2 +A 2 ) =, n N, n 2. c) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că (I 2 +A) n = I 2 +na, n N. d) Să se calculeze determinantul matricei B = I 2 +2A+3A A Fie pătratul ABCD de latură a şi un punct variabil M pe (BC). Notând cu E intersecţia dintre dreptele DM şi AB, iar cu F intersecţia dintre dreptele AM şi CD, a) demonstraţi că BE EA + CF FD =. b) demonstraţi (folosind eventual punctul a)) că media geometrică a lungimilor bazelor trapezului BEF C este egală cu lungimea laturii pătratului ABCD; c) arătaţi că S BEFC > S ABCD, unde am notat cu S aria patrulaterului indicat; d) determinaţi poziţia punctului M (BC) astfel încât aria trapezului BEFC să fie minimă. e) dacă M este mijlocul segmentului (BC), determinaţi raza cercului circumscris patrulaterului AEF D.. Pe mulţimea numerelor complexe se consideră legea de compoziţie, definită prin x y = xy+ix+iy i. a) Să se verifice identitatea x y = (x+i)(y +i) i, x, y C. b) Să se arate că x (y z) = (x y) z, x, y, z C. c) Să se calculeze x ( i). d) Să se calculeze ( 00i) ( 99i)... ( i) 0 i (2i)... (99i) (00i). e) Utilizând metoda inducţiei matematice, să se arate că: x x 2... x n = (x +i) (x 2 +i)... (x n +) i, n N, x, x 2,..., x n C. 2. Se consideră funcţia f : (0,+ ) R, f(x) = + lnx x a) Să se calculeze f (x), x (0,+ ). b) Să se calculeze f(e) şi f (e). c) Să se arate că funcţia f este strict crescătoare pe intervalul (0, e] şi strict descrescătoare pe intervalul [e,+ ). d) Să se calculeze e f(x)dx. e) Să se arate că n n+ > (n+) n, n N, n 3. I Descrieţi, la alegere, una dintre următoarele metode de învăţământ: demonstraţia, problematizarea, metoda lucrului cu manualul, prezentând: a) definiţia; b) caracterizarea metodei; c) un exemplu de utilizare a metodei la disciplina de concurs. 2

13 SATU MARE. Se consideră mulţimile M = A = a b c c a b a,b,c N şi K = {n N n = a3 +b 3 +c 3 3abc, a,b,c N}. b c a a) Calculaţi det A, A M. b) Arătaţi că există o funcţie f : M K astfel încât f(a B) = f(a) f(b). c) Dacă m, n K, atunci m n K. d) Există o matrice E M cu proprietatea că a b c c a b = a I 3 +b E +c E 2, a, b, c N. b c a e) Dacă n N şi a n = C 0 n +C 3 n +C 6 n +..., b n = C n +C 4 n +C 7 n +..., c n = C 2 n +C 5 n +C 8 n +..., să se arate că a 3 n +b 3 n +c 3 n 3a n b n c n = 2 n. 2. Fie triunghiul oarecare ABC, A, B, C mijloacele laturilor (BC), (AC) şi respectiv (AB), D, E, F picioarele înălţimilor duse din vârfurile A, B, C ale triunghiului, H ortocentrul triunghiului şi A, B, C mijloacele segmentelor (AH), (BH) şi respectiv (CH). a) Arătaţi că punctele A, B, C şi D sunt conciclice. b) Arătaţi că patrulaterul A B A D este inscriptibil. c) Să se arate că punctele A, B, C, D, E, F, A, B, C sunt situate pe un cerc; determinaţi centrul şi raza acestuia.. Se consideră polinomul f = X 4 0X 2 +, numărul a = 2+ 3 şi x, x 2, x 3, x 4 C rădăcinile polinomului f. a) Determinaţi valorile f(a) şi f( a). b) Arătaţi că f este ireductibil în Q[X]. c) Dacă g Q[X] şi g(a) = 0, arătaţi că restul împărţirii lui g la f este egal cu zero. d) Se consideră polinomul h = X2 5. Rezolvaţi în R ecuaţia h(x) = 6. 2 e) Arătaţi că nu există niciun polinom w Z[X] cu proprietatea w(a) = Se consideră funcţia f(x) = eλx x 2 +λ 2, unde x R, λ R. a) Pentru λ = determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x =. b) Pentru λ =, calculaţi 0 f(x) dx. c) Arătaţi că funcţia f este strict crescătoare pentru λ >. ( x ) 2, d) Să se arate că pentru λ are loc inegalitatea e λx > + x > 0. λ ( ) e) Pentru ce valori ale parametrilor λ şi µ ecuaţia µ x x+ f(x) = e λx, are rădăcini sinusurile 4 unghiurilor unui triunghi dreptunghic. I. Pentru tema Rapoarte şi proporţii. Procente, formulaţi: a) un item cu întrebări structurate; b) un item pereche; c) un item cu alegere multiplă; 3

14 d) un item de completare; e) un item cu răspuns deschis. 2. Formulaţi cinci obiective operaţionale la tema Şiruri. Progresii aritmetice şi progresii geometrice. 3. Trataţi din punct de vedere metodic tema Ecuaţii trigonometrice liniare a sinx + b cosx = c, cu a, b, c numere reale (prezentarea metodelor de rezolvare, exemple). 4

15 PRAHOVA. Fie a, b R, a < b. a) Să se arate că 2009 / Q. b) Să se arate că intervalul (a,b) conţine cel puţin un număr raţional. c) Să se arate că intervalul (a,b) conţine cel puţin un număr iraţional. d) Să se arate că există o alegere a semnelor + sau astfel încât numărul ± ± 2± 3±...± 2009 să fie iraţional. 2. Fie patrulaterul convex ABCD având AB = CD = a, BC = b şi DA = c astfel încât 0 < b < c, a + b = c, bc = a2 2 şi a > 0. a) Să se arate că AB +BC +CD +DA = a(2+ 3). b) Să se arate că bisectoarele unghiurilor patrulaterului nu sunt concurente. c) Să se arate că S = a2 5 4cos(A+C), unde S reprezintă aria patrulaterului, A = m( BAD) şi C = 4 m( BCD). d) Pentru ce valori ale lui a aria maximă este 3 2? e) Ştiind că ABCD este trapez isoscel, să se arate că cercurile de diametre AB, BC, CD, DA au un punct comun. a b c. Fie matricea A M 3 (Z), A = c a b. Notăm cu A t transpusa matricei A şi cu S X suma elementelor b c a matricei X M 3 (Z). a) Să se arate că S A A t = 0 S A = 0. b) Ştiind că a = 2, b = c = 2, să se determine numărul de soluţii ale ecuaţiei X 3 = A, X M 3 (Z). c) Ştiind că S A 0 şi det A = 0, să se arate că rang A =. d) Ştiind că a = 2, b = c = 3, să se rezolve în M 3 (Z) ecuaţia X 3 = A. e) Să se determine numărul de matrice A, dacă det A = Se consideră funcţia f : (0,+ ) R, f(x) = x a, unde a R. a) Să se arate că, dacă a >, atunci funcţia f este convexă pe intervalul (0,+ ). b) Săsearatecăexistăc (3,5)şid (2009,20)astfelîncât5 a 3 a = 2ac a şi20 a 2009 a = 2ad a. c) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 x +20 x = 5 x x. d) Să se arate că > < e) Să se arate că 4 5 ln < 2 3 ln 2009 ln ln20 I. Proiectaţi o unitate de învăţare cu tema: Teorema lui Ceva. În cadrul acestei unităţi prezentaţi numai următoarele activităţi de învăţare: a) Enunţul teoremei. b) Demonstraţia teoremei şi interpretarea geometrică. c) Formulaţi două exerciţii cu grade de dificultate diferite care se rezolvă folosind teorema şi rezolvaţi aceste exerciţii. 2. Elaboraţi o probă de evaluare finală/sumativă pentru unitatea de învăţare Grup finit care să conţină: a) Trei itemi de tipuri diferite. b) Baremul de corectare al probei de evaluare (răspunsul corect pentru fiecare item şi distribuirea celor 0 puncte). 5

16 GALAŢI Fie I centrul cercului înscris întriunghiul ABC şi D (BC), E (AC), F (AB) punctele de contact ale cercului înscris cu laturile. a) Dacă notăm AF = x, BD = y, CE = z şi a+b+c = 2p, unde a, b, c sunt mărimile laturilor, calculaţi x, y, z în funcţie de a, b, c, p. b) Arătaţi că AD = [(p c) AB +(p b) AC]. a c) Demonstraţi că a AD +b BE +c CF = 0. d) Dacă a = 4, b = 6, c = 8, calculaţi lungimile AI, BI, CI.. Se consideră polinoamele f, g R[X], f = X 2 +X +, cu rădăcinile x, x 2, şi g = ax 2 +bx +c cu a 0. Fie matricele A, V M 3 (C), A = c b a a c b şi V = x x 2. b a c x 2 x 2 2 a) Să se arate că det V = 3(x 2 x ). b) Să se arate că A V = g() g(x ) g(x 2 ) g() x g(x ) x 2 g(x 2 ). g() x 2 g(x ) x 2 2 g(x 2) c) Să se arate că dacă det A = 0, atunci a+b+c = 0 sau a = b = c. d) Să se arate că ecuaţia Y V = I 3 nu are soluţii, unde Y M 3 (C) şi Y = x y z z x y. y z x 2. Se consideră polinoamele f,g Q[X], f = X 4 +X 3 +X 2 +X+ cu rădăcinile x, x 2, x 3, x 4 C şi g = X 2. a) Să se determine restul împărţirii polinomului f la polinomul g. b) Să se calculeze (x +)(x 2 +)(x 3 +)(x 4 +). c) Să se calculeze g(x )g(x 2 )g(x 3 )g(x 4 ). I. Fie triunghiul ABC cu m( A) = 90, AD BC, E = pr AB D, F = pr AC D, M = pr BC E, N = pr BC F. a) Să se arate că MD = ND. b) Să se demonstreze relaţia AD 3 = BC DE DF. c) Să se arate că EB AC 3 = FC AB Se consideră şirul (I n ) n N dat de I n = a) Să se calculeze I 2. 0 x n x 2 + dx, n N. b) Să se verifice relaţia I n+2 +I n = n+, n N. c) Să se calculeze lim n ni n. V Întocmiţi proiectul didactic pentru lecţia mixtă cu secvenţele: a) verificare - progresii aritmetice. b) predare - progresii geometrice. 6

17 SIBIU Se consideră şirul (I n ) n, definit prin I n = a) Să se calculeze I 2. b) Să se arate că 0 x x 2 4, x [0,]. c) Să se deducă inegalităţile 0 I n 4 n, n N. d) Să se arate că I n = 4 2n 2n+ I n+, n N, n 2. e) Să se arate că n 3 2n+ < 2n+3, n N. f) Să se arate că I n = n 2n+ g) Să se calculeze lim n 4n I n. A. B.. a) Arătaţi că sin 4π 5 = sin 3π 5 ( 4 b) Arătaţi că cos π 5+ 5 = 4 c) Demonstraţi că sin +cos R\Q. 0 ) n, n N. 2. Notaţiile fiind cele cunoscute într-un triunghi, demonstraţi că: a) r = 4Rsin A 2 sin B 2 sin C 2 ; b) sin A 2 a b+c ; c) sin A 2 sin B 2 sin C 2 8 (x x 2 ) n dx, n N.. Se consideră mulţimea M 2 (Z 5 ) şi submulţimea G = {X M 2 (Z 5 ) X = a) Să se arate că dacă P,Q G, atunci P +Q G şi P Q G. b) Să se rezolve în mulţimea G ecuaţia X 2 = I 2. ( ) a b, a,b Z ˆ2b a 5 }. c) Să se arate că pentru A G, A O 2, există o matrice B G astfel încât A B = B A = I Fie un inel (A,+, ) astfel încât x 6 = x, x A. Demonstraţi că: a) x+x = 0, x A. b) x 2 = x, x A. c) inelul A este comutativ. I Să se introducă o noţiune la alegere, din: Vectori - clasa a IX - a Element neutru - clasa a XII - a 7

18 Paralelogram - clasa a VI - a Relaţia de congruenţă a două triunghiuri - clasa a VII - a având în vedere următoarele: - Activităţi de învăţare - Metode folosite - Alcătuirea unui test de evaluare formativă care să cuprindă un item obiectiv, un item semiobiectiv şi un item subiectiv - Evaluarea rezultatelor - Forme de instruire 8

19 TULCEA. Un elev afirmă, cu privire la o funcţie oarecare f : A B: Funcţia f este surjectivă există cel puţin un element x A astfel încât pentru orice y B să avem f(x) = y. a) Definiţi noţiunea de funcţie surjectivă. b) Explicaţi de ce afirmaţia elevului este falsă. 2. Câte funcţii f : {,2,3,4} {,2,3,...,0} au proprietatea f() = f(2)? 3. Arătaţi că numărul 35n+2 este iraţional, n N. 4. Să se arate prin inducţie matematică completă că rădăcinile ecuaţiei n N, sunt, 2,..., n. + x! + x(x+) 2! x(x+)...(x+n ) n! 5. Fie triunghiul ABC în care mediana dusă din A este perpendiculară pe latura AB. Ştiind că AB = şi AC = 2, să se calculeze măsura unghiului A. 6. Fie dreptele d : ax y+ = 0 şi d 2 : 2x+y = 0. Determinaţi numărul a R astfel încât d 2 să fie simetrica dreptei d faţă de axa Oy.. Pe mulţimea G = [0,) considerăm legea de compoziţie x y = {x+y}, unde {a} este partea fracţionară a lui a R. a) Să se arate că (G, ) este grup abelian. { b) Dacă n N, n 2, notând G n = 0, n, 2 } n,...,, arătaţi că (G n, ) este subgrup al lui (G, ). n n c) Demonstraţi că (G, ) este izomorf cu (U, ), unde U = {z C z = }. 2. Se consideră funcţia f : [0,+ ) [0,+ ), f(x) = 2x+ x+2 şi şirul (x n) n N dat prin x 0 = 2, x n+ = f(x n ), n N. a) Să se determine Im(f). b) Să se arate că şirul (x n ) n N are limita egală cu. c) Să se arate că şirul (y n ) n N, dat prin y n = x 0 +x +...+x n n, este convergent. I. Elaboraţi o propunere de opţional (curriculum la decizia şcolii - C.D.Ş.), urmărind următoarele aspecte: a) Precizarea numelui şi a tipului opţionalului proiectat. b) Prezentarea argumentului, a listei de conţinuturi şi a metodelor de evaluare. 2. Rolul exemplelor şi contraexemplelor în însuşirea operaţiei de înmulţire a matricelor (pornind de la exemple concrete). = 0, 9

20 DOLJ. Se consideră f R[X], f = a 3 X 3 +a 2 X 2 +a X +a 0, a 3 0. a) Pentru a 3 =, a 2 = 0, a = a 0 = 2, să se arate că f nu are rădăcini raţionale. b) Pentru a 3 =, a 2 = 0, a = a 0 = 2, să se arate că f are o singură rădăcină reală. c) Pentru a 3 =, a 2 = 0, a = a 0 = 2, se notează cu a rădăcina reală a lui f şi cu Z[a] = {g(a) g Z[X]}. Să se arate că (Z[a], +, ) este inel comutativ, unde adunarea şi înmulţirea sunt operaţiile obişnuite din R. n b 2 i n n i= d) Să se arate că dacă a 2 = b i c i şi a =, a 3 = c 2 2 i, iar a 0 R, atunci f nu are toate rădăcinile i= i= reale, unde b i, c i (0,+ ), i {,2,...,n} şi n N. 2. Se consideră funcţia f : R R, f(x) = x 2 6x+0. a) Să se calculeze f(f(2)). b) Să se arate că f(x), x R. c) Să se calculeze suma f()+f(2)+...+f(20). d) Să se rezolve ecuaţia f(log 2 x) =, x (0,+ ). e) Să se calculeze probabilitatea ca un element x {0,,2,3} să verifice relaţia f(x) 5.. În triunghiul ABC fie M mijlocul lui BC şi notăm cu a, b, c lungimile laturilor triunghiului. Considerăm punctele D, E astfel ca AB = mad şi AC = nae, m, n (,+ ), iar {F} = AM DE. Să se arate că: a) (m+n) AF = AB + AC. b) m DF = n FE. c) Fie I centrul cercului înscris în triunghiul ABC. Să se arate că D, E, I sunt coliniare dacă şi numai dacă are loc egalitatea b DB EC +c DA EA = a. 2. Fie f : R x R, f(x) = arctg x a) Determinaţi asimptota spre + la graficul funcţiei. b) Stabiliţi intervalele de monotonie ale funcţiei. c) Stabiliţi intervalele de convexitate şi de concavitate ale funcţiei. 7 d) Demonstraţi inegalitatea arctg arctg 2 > 4 arctg arctg 5 e) Calculaţi partea întreagă a volumului corpului obţinut prin rotirea în jurul axei Ox a subgraficului funcţiei [ ] 3 g : 3, R, g(x) = f( x). I. Descrieţi la alegere o metodă de învăţare dintre: problematizarea sau descoperirea, prezentând: caracterizarea metodei, un exemplu de utilizare a metodei la disciplina la care susţineţi concurs. 2. Elaboraţi o probă de evaluare continuă la disciplina matematică care să conţină trei tipuri de itemi şi baremul de notare. 20

21 GIURGIU. Se consideră polinomul f Z[X], f = X 3 2X 2 +X 3 având rădăcinile complexe x, x 2, x 3. a) Să se afle câtul şi restul împărţirii polinomului f la polinomul g = X 2 X +. x x 2 x 3 b) Să se calculeze determinantul d = x 3 x x 2 x 2 x 3 x. c) Să se calculeze valoarea expresiei x 2 +x 2 2 +x 2 3. d) Să se arate că dacă g Z[X] cu proprietatea că g(3) şi g(4) sunt impare, atunci g nu are nicio rădăcină întreagă. 2. Se consideră cercurile C (O,5), C 2 (O 2,3) astfel încât O O 2 = 4 cm. a) Arătaţi că cercurile sunt secante. b) Notăm cu A şi B punctele comune ale celor două cercuri. O secantă variabilă trecând prin A taie C în M şi C 2 în N. Arătaţi că m( MBN) este constantă. c) Prin B se duce o secantă PQ MN, P C 2, Q C. Arătaţi că MNPQ este paralelogram. d) Să se determine poziţia secantei MN astfel încât distanţa să fie maximă.. Pe mulţimea R definim legea de compoziţie x y = xy +2x+2y +2. a) Să se verifice că x y = (x+2)(y +2) 2, x, y R. b) Să se arate că legea este asociativă. c) Să se arate că funcţia f : R R, f(x) = x 2 verifică relaţia f(xy) = f(x) f(y), x, y R. d) Să se rezolve în mulţimea numerelor reale ecuaţia x x x x x = 30. ( e) Să se calculeze 3 ) ( 4 ) ( ) Se consideră funcţia f : R R, f(x) = a) Să se determine asimptotele funcţiei f. x x b) Să se determine mulţimea valorilor funcţiei f. c) Să se afle aria cuprinsă între valorile funcţiei, axa Ox şi dreptele x = 0, x = 4. d) Calculaţi volumul corpului generat de funcţia g : [0,] R, g(x) = x f(x). I Metoda reducerii la absurd. a) prezentarea generală a temei; b) daţi trei exemple în care să folosiţi metoda reducerii la absurd pentru demonstrarea unor proprietăţi sau unor teoreme; c) proiectaţi o secvenţă de lecţie în care să folosiţi metoda reducerii la absurd. 2

22 ARGEŞ Fie matricea A = ( ) şi mulţimea G = {X(a) = aa+( a)i 2 a R}. 3 a) Arătaţi că G este o parte stabilă a lui M 2 (R) în raport cu înmulţirea matricelor. ( b) Calculaţi X 2009 ) ( X 2007 ) ( ) ( ) X X c) Calculaţi X n (a), unde n N. { d) Dacă H G, H = X(a) a > }, arătaţi că (H, ) este un grup izomorf cu grupul (R,+). 6 În planul înzestrat cu un reper ortonormat (O, i, j) se consideră punctele A(a,b), B(a+,b+3), C(a+4,b+2), unde a, b R. a) Determinaţi coordonatele punctului E, astfel încât ABEC să fie paralelogram. b) Fie D simetricul lui E faţă de C. Stabiliţi natura patrulaterului ABCD. c) Se notează cu I şi J centrele de simetrie ale patrulaterelor ABCD şi ABEC. Determinaţi coordonatele punctelor I şi J. d) Fie A, B punctele din plan definite prin CA = k CA şi CB = k CB, unde k > 0. Determinaţi coordonatele punctelor A, B şi cercetaţi dacă vectorii A B şi IJ sunt paraleli. I Fie şirul (I n ) n, I n = a) Calculaţi I. e x(lnx) n dx. b) Demonstraţi că pentru orice n N are loc relaţia 2I n +ni n = e 2. c) Demonstraţi că şirul (I n ) n este descrescător. d) Arătaţi că e) Calculaţi lim n ni n. V e 2 n+3 I n e2 n+2, n N. Examinaţi structura şi valoarea teoretică şi practică a programei şcolare la matematică, din perspectiva activităţilor de proiectare, realizare şi evaluare la clasă. Notă: Pentru subiectul de metodică, în acordarea punctajului se iau în considerare şi organizarea prezentării, structurarea argumentelor şi a exemplelor, precum şi nota personală, creativă a analizei. 22