Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α Λυκείου συατούµε µεµοωµέα προβλήµατα που οδηγού σε εξισώσεις α βαθµού και είαι σχετικά µε το ρολόι. Ααφερόµαστε στα κλασικά ρολόγια µε τα λεπτά και τους τρεις δείκτες (ωροδείκτης, λεπτοδείκτης, δευτερολεπτοδείκτης), και όχι στα σύγχροα ηλεκτροικά! Στο άρθρο αυτό θα δούµε µια γείκευση τω προβληµάτω αυτώ καθώς και άλλα προβλήµατα που σχετίζοται µε το ρολόι και τους δείκτες του. Τα προβλήµατα αυτά παρουσιάζου εδιαφέρο για τους µαθητές, επειδή ααφέροται σε έα χρήσιµο και γωστό όργαο και συδυάζου γώσεις Άλγεβρας και Γεωµετρίας, καθώς και πρακτικής αριθµητικής, χωρίς α είαι απλά, όπως έχω διαπιστώσει ακόµη και για µαθητές Γ Λυκείου. Ααφέρουµε κατ αρχή δυο, λίγο - πολύ γωστούς καόες, που θα µας χρησιµεύσου παρακάτω και έχου σχέση µε τα 60 διαστήµατα-γραµµές που, ως γωστό, χωρίζεται ο κυκλικός δίσκος του ρολογιού. 1. Ότα ο µικρός δείκτης (ωροδείκτης) κιείται από µια ώρα στη επόµεη, διαγράφει 5 διαστήµατα - γραµµές και στο χρόο αυτό, δηλαδή σε µια ώρα, ο µεγάλος δείκτης (λεπτοδείκτης) διαγράφει 60 γραµµές- λεπτά. Άρα ο µικρός δείκτης διαγράφει 1 γραµµή σε χρόο λεπτώ, δηλαδή ότα ο µεγάλος διαγράφει γραµµές. 2. Μια γραµµή στο κύκλο του ρολογιού είαι το 1/60 του κύκλου του ρολογιού δηλαδή ατιστοιχεί σε τόξο 360/60 = 6 ο. Άρα γωία δεικτώ ω (οι γωίες εδώ θα ααφέροται σε µοίρες) ατιστοιχεί σε ω/6 γραµµές. Έστω ΟΜ ο µεγάλος δείκτης (λεπτοδείκτης), ΟΚ ο µικρός δείκτης (ωροδείκτης) και Ο ο δευτερολεπτοδείκτης του ρολογιού. Τη γωία ω = MO Κ που διαγράφει ο µεγάλος δείκτης κιούµεος κατά τη καοική φορά κίησής του (αρητική φορά) µέχρι α συµπέσει µε το µικρό δείκτη ΟΚ λέµε (στο άρθρο αυτό) γωία τω δεικτώ του ρολογιού. Επίσης ότα ααφερόµαστε σε δυο δείκτες ή απλά δείκτες, θα εοούµε το µικρό και το µεγάλο δείκτη του ρολογιού.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 2 Πρόβληµα 1 Να βρεθεί ποια ώρα µεταξύ και + 1 ώρας, ο µεγάλος και ο µικρός δείκτης του ρολογιού συατιούται, = 0, 1, 2,...,. A. Με πρακτική Αριθµητική. Ας υποθέσουµε ότι η ώρα είαι ακριβώς, v = 1,2,,. Σε αυτή τη θέση ο µεγάλος βρίσκεται πίσω από το µικρό κατά 5 γραµµές. Είαι φαερό ότι ότα ο µικρός δείκτης διαγράφει 1 γραµµή ο µεγάλος διαγράφει γραµµές, άρα κερδίζει γραµµές, οπότε ότα ο µικρός διαγράφει 1/ της γραµµής ο µεγάλος κερδίζει 1 γραµµή, έατι αυτού. Έτσι, για α καλύψει ο µεγάλος τη διαφορά τω 5 γραµµώ ο µικρός θα πρέπει α διαγράψει 5/ γραµµές και τότε θα συµπέσου (προφαώς ή µη: από τη ώρα, θα έχει περάσει για το µικρό χρόος 5 λεπτώ και για το µεγάλο, 5+ 5 λεπτώ, ίσος. Αλλιώς: τα τόξα 5 ο 5 ο ο διαγραφής τους θα έχου διαφορά 5 + 6 6 = 5 6 που ατιστοιχεί στη αρχική διαφορά τω 5 γραµµώ, άρα συµπίπτου). Εποµέως θα συατηθού στις ώρες και λεπτά ή + ώρες, v = 1,2,,. Β. Με Άλγεβρα. Κατ αρχή από ώρα 0 () µέχρι 1 οι δείκτες δε συατιούται (συµπίπτου), οπότε = 1,2,...,. Ο µικρός δείκτης ξεκιά από το και ο µεγάλος από το (Σχήµα 1). Έστω ότι, µέχρι τη θέση σύµπτωσης έχου παρέλθει λ λεπτά (m), δηλαδή ο µεγάλος έχει κιηθεί κατά λ γραµµές. Σ αυτό το χρόο ο µικρός έχει διαγράψει (λ - 5) γραµµές (κάθε ώρα ο µικρός κιείται κατά 5 γραµµές). Όµως κάθε γραµµή του µικρού ατιστοιχεί σε χρόο λεπτώ, άρα λ = ( λ -5) λ = Άρα υπάρχου σηµεία συάτησης τω δεικτώ τα Σ = h m Α, v = 1,2,,. τα οποία διαφέρου µεταξύ τους κατά 1 60 5 1 ώρα και =5 λεπτά ή 1+ ώρες (αριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο και 5 διαφορά 1 ώρα και 5 λεπτά). Tη στιγµή της συάτησης η γωία 3 ΑΟΜ = 6. = ο. Ο Κ Μ Σχήµα 1 Πόρισµα 1 Από το έα σηµείο συάτησης τω δεικτώ µέχρι το αµέσως επόµεο µεσολαβεί ο ίδιος χρόος / ώρες.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 3 Πόρισµα 2 Ο µικρός και ο µεγάλος δείκτης του ρολογιού συατιούται σε ακέραιο αριθµό λεπτώ µόο τη ώρα. Πράγµατι, πρέπει το α διαιρεί το, οπότε = και λ = 60. Παραδείγµατα 1. Από τις 7 µέχρι τις 8 οι δυο δείκτες συµπίπτου στις 7 και 7 60 420 2 λ 7 = = = 38 λεπτά. Τη στιγµή αυτή η γωία ΑΟΜ είαι 360 7 1 =229 ο. Ο δευτερολεπτοδείκτης Ο τη στιγµή αυτή µετρά 2 0 10 0 5 ο 60 = = 10 δευτερόλεπτα και η γωία ΑΟ είαι 6 = 65. 2. Από τις 4 µέχρι τις 5 οι δυο δείκτες συατιούται τη ώρα Σ 4 = 4 h 9 21 m. Τη στιγµή αυτή η γωία ΑΟΜ είαι 360 4 10 =130 ο. 3. Μετά τη 1 ώρα οι δείκτες συατιούται στις =1 και λ 1 = 60 5 = 5 λεπτά. 4. Από τις µέχρι τις οι δείκτες συµπίπτου στις και λ = 60 λεπτά, δηλαδή στις. Tη στιγµή αυτή συµπίπτου και οι τρεις δείκτες. Πρόβληµα 2 Να βρεθεί ποια χροική στιγµή µεταξύ της και +1 ώρας, ο µεγάλος και ο µικρός δείκτης του ρολογιού σχηµατίζου γωία ω µοιρώ, = 0,1,...,. Τη ώρα, = 0,1,..., (ώρα 0 είαι η ) ο µικρός δείκτης βρίσκεται στο και µεγάλος στο. Καθώς ο µικρός κιείται από το στο +1, διαγράφοτας 5 γραµµές, ο µεγάλος κιείται από το στο και στη αρχή προηγείται ο µικρός, εώ µετά τη συάτησή τους προηγείται ο µεγάλος (πάτα κατά τη φορά κίηση τω δεικτώ-αρητική φορά). ιακρίουµε λοιπό δυο περιπτώσεις Περίπτωση Α. O µικρός δείκτης προηγείται του µεγάλου ή συµπίπτει µε αυτό. Αυτό συµβαίει ότα η γωία AOM (µε αρχική πλευρά ΟΑ και αρητική φορά διαγραφής) είαι µικρότερη από τη γωία που ατιστοιχεί στο χρόο σύµπτωσης, δηλαδή από 6 ο. Αυτό δε µπορεί α συµβεί από τη ώρα 0() µέχρι τη 1, αφού προηγείται πάτα ο µεγάλος, οπότε εδώ = 1,2,...,.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 4 Έστω ότι, ότα οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω (Σχήµα 2) ο µεγάλος έχει κιηθεί κατά λ λεπτά (γραµµές) (από τη θέση ). Σ αυτό το χρόο ο µικρός έχει κιηθεί από τη θέση και έχει διαγράψει (λ + 6 ω - 5) γραµµές (βλέπε και Α Ο καόα 2 στη εισαγωγή). Άρα ω 2ω λ =(λ + -5) λ = 6 (1) Κ ω Μ Άρα οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω τη Σχήµα 2 2ω ώρα και λ = λεπτά. 2ω (30 ω) Τη στιγµή αυτή η γωία ΑΟΜ = 6 =. Η (1) είαι ισοδύαµη µε τη του λ. λ ω = που εκφράζει τη ω συαρτήσει 2 Ότα οι δείκτες συµπίπτου, δηλαδή ω = 0, τότε η ώρα είαι και που είχαµε δει και στο προηγούµεο πρόβληµα. λεπτά, ιερεύηση Πρέπει 0 λ οπότε 0 ω 30, = 1,2,..., Άρα υπάρχει µια µέγιστη γωία ω = 30 από τη µέχρι τη +1 ώρα τη οποία σχηµατίζου ακριβώς τη ώρα. Στη συέχεια η γωία ω µικραίει µέχρι α γίει 0 στο σηµείο συάτησης. Έτσι, π.χ. στις 7 έχουµε γωία ω = 210 ο η οποία µικραίει µέχρι α γίει 0, ότα συµπέσου οι δείκτες. Η µέγιστη τιµή του ω είαι 330 ο στις. Από τη ώρα αυτή µέχρι τις προηγείται πάτα ο µικρός µέχρι α συµπέσου (ω = 0). Παρατηρούµε ότι, µε σταθερό, ο λ είαι γησίως φθίουσα συάρτηση της ω. Παραδείγµατα 1. Μεταξύ της ώρας 4 και 5 και πρι συατηθού, οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω = 20 ο στις 2ω = 4 και λ = = 200 2 = 18 λεπτά. Τη στιγµή αυτή η γωία είαι 200 1 ΑΟΜ = 6 = 109 ο 2 60 10, ο δευτερολεπτοδείκτης µετρά = 10 δευτερόλεπτα και η γωία ΑΟ = 720 5 = 65 ο.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 5 2. Τη ώρα 7.30 προηγείται ο µικρός, οπότε ( = 7, λ = 30) οι δείκτες θα 60 7 2ω σχηµατίζου γωία ω µε 30 = ή ω = 45 ο. 3. Τη ώρα 10.15 προηγείται ο µικρός δείκτης, οπότε ( = 10, λ = 15) οι δείκτες 60 10 2ω θα σχηµατίζου γωία ω µε 15 = ή ω = 217,5 ο ή κυρτή γωία 142,5 ο. 4. Ποια ώρα µετά τις 8 οι δείκτες σχηµατίζου γωία 180 ο ; Είαι = 8, ω = 180 ο οπότε (αφού προηγείται ο µικρός) αυτό συµβαίει στις 8 και 60 8 360 0 10 λ= = = 10 λεπτά. Γεικά ότα προηγείται ο µικρός οι δείκτες 60 ( 6) είαι σε ευθεία γωία τις ώρες και λεπτά, = 6,...,. Ο αριθµός αυτός τω λεπτώ είαι ακέραιος µόο για = 6. 60 2ω 5. Τη ώρα.30 οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω µε =30 ή ω = 165 ο. Ας σηµειωθεί ότι από τις µέχρι και τις προηγείται πάτα ο µικρός (µέχρι α συµπέσου). 6. Αµέσως µετά τις 9 οι δείκτες σχηµατίζου ευθεία γωία, στις 9 και 60 9 2 180 180 4 λ = = = 16 λεπτά. Περίπτωση Β. Ο µεγάλος δείκτης προηγείται του µικρού. Αυτό συµβαίει µετά τη συάτηση τω δεικτώ, δηλαδή ότα η AOM (µε αρχική πλευρά ΟΑ και αρητική φορά διαγραφής) είαι µεγαλύτερη της γωίας που ατιστοιχεί στο χρόο σύµπτωσης, δηλαδή της γωίας 6 ο µε = 0,1,2,...,. Αυτό δε µπορεί α συµβεί από τις µέχρι τις, οπότε εδώ = 0,1,2,...,10. Α Σχήµα 3 Έστω ότι, ότα οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω (Σχήµα 3), ο µεγάλος έχει κιηθεί ω κατά λ λεπτά (από τη θέση ). Σ αυτό Μ Α το χρόο ο µικρός έχει κιηθεί από τη Κ θέση και έχει διαγράψει Ο 360 ω (λ- -5) γραµµές (βλέπε και 6 καόα 2).
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 6 Άρα λ = (λ - 360 ω 6-5) λ = 60( + ) 2ω (2) Εποµέως οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω, µεταξύ της ώρας και +1, τη ώρα 60( + ) 2ω και λ = λεπτά, = 0,1,...,10. Το = 0 ατιστοιχεί στις. ιερεύηση Επειδή λ 60 προκύπτει 30(+1) ω 360 ο. Άρα κατά τη διάρκεια της ώρας από σε +1, όσο προηγείται ο µεγάλος, η γωία ω ξεκιά από τις 360 ο, τη στιγµή της συάτησης τω δεικτώ (µέγιστη τιµή), και στη συέχεια ελαττώεται µέχρι α πάρει τη ελάχιστη τιµή της 30(+1). Για = 0 έχουµε τη µικρότερη γωία ω = 30 ο από τις µέχρι τις 1. Παρατηρούµε ότι, µε σταθερό, ο λ είαι γησίως φθίουσα συάρτηση της ω. Σηµείωση Α στη περίπτωση Β θεωρήσουµε σα γωία δεικτώ τη ω = KOM (µε αρχική πλευρά ΟΚ και αρητική φορά διαγραφής και όχι τη MOK ) τότε η σχέση (2) γίεται απλούστερη 60( + ) 2(360 ω) + 2ω λ = =. Παραδείγµατα 1. Μετά τη 1 και µέχρι τις 2, οι δείκτες σχηµατίζου γωία 0 ο στις 1 και λ = 60( + ) 2ω 60 13 240 540 = = = 1 49 λεπτά. 2. Από τις 4 µέχρι τις 5, και µετά τη συάτησή τους, οι δείκτες σχηµατίζου γωία 340 ο στις 4 και 60( + ) 2ω 60 16 680 280 5 λ = = = = 25 λεπτά. Όπως είδαµε (περίπτωση Α, παράδειγµα 1) και πρι τη συάτησή τους οι δείκτες µπορού α σχηµατίσου γωία 20 ο, δηλαδή τη ίδια κυρτή γωία, στις 4 και 18 2 λεπτά. Οι ώρες αυτές συµµετρικές ως προς τη ώρα συάτησης που 9 είαι 4 και 21 λεπτά. Αυτό βέβαια συµβαίει και στις άλλες ώρες και για ορισµέες γωίες. 3. Τη ώρα 10.00 µπορούµε α θεωρήσουµε ότι προηγείται ο µεγάλος (αφού έφτασε στο κατά τη διάρκεια της ώρας 9.00-10.00), οπότε για ω=9, λ=60 βρίσκουµε γωία δεικτώ ω µε
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 7 60(21) 2ω = 60 ή ω = 300 ο. Μπορούµε όµως και α θεωρήσουµε ότι προηγείται ο µικρός, καθώς αρχίζει η διάρκεια της ώρας 10-, οπότε µε = 10 και λ = 0 από το τύπο (1) παίρουµε 60(10) 2ω = 0 ή ω = 300 ο, δηλαδή τη ίδια γωία. 4. Στις 1.55, προηγείται ο µεγάλος, οπότε ( = 1, λ = 55) και οι δείκτες 60(13) 2ω σχηµατίζου γωία ω µε = 55 ή ω = 87,5 ο. 5. Στις.30, ο µεγάλος προηγείται του µικρού, οπότε ( = 0, λ = 30 ) και οι δείκτες σχηµατίζου γωία ω µε 60() 2ω = 30 ή ω = 195 ο ή κυρτή γωία 165 ο. Πρόβληµα 3 Υπάρχου χροικές στιγµές που συατιούται και οι τρεις δείκτες του ρολογιού; Κατ αρχή υπάρχει µια προφαής στιγµή συάτησης και τω τριώ δεικτώ, στις. Ας εξετάσουµε α υπάρχου και άλλες. Σε µια τέτοια στιγµή πρέπει κατ αρχή α συατιούται ο µεγάλος και ο µικρός δείκτης. Αυτό όπως είδαµε συµβαίει στις ώρες Σ = h m, v = 1,2,,. Για α συατηθεί µε αυτούς και ο δείκτης τω δευτερολέπτω, σε κάποια από αυτές τις στιγµές, πρέπει στο πλήθος τω δευτερολέπτω.60, µετά τη ώρα, α περιέχει έα ακέραιο πολλαπλάσιο του 60 και α υπολείποται δευτερόλεπτα, δηλαδή πρέπει α υπάρχει ακέραιος κ µε 59.60 = 60κ + 59 =κ κ =, οπότε /, άρα =. Αλλά µε = έχουµε σηµείο συάτησης στις ακριβώς. Εποµέως δε υπάρχει άλλη χροική στιγµή συάτησης εκτός στις.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 8 Πρόβληµα 4 Υπάρχου χροικές στιγµές που ο µεγάλος δείκτης συµπίπτει µε το δευτερολεπτοδείκτη, εώ ο µικρός είαι σε ευθεία γωία µε τους άλλους δυο; Α ο µικρός προηγείται του µεγάλου (Σχήµα 4), εφόσο σχηµατίζου γωία 180 ο, από το πρόβληµα 2, περίπτωση Α, έχουµε ότι αυτό θα συµβαίει λ λεπτά µετά 360 60( 6) τις µε λ = =, = 6,7,..., (λόγω 0 ω 30) Για α συµπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης µε το µεγάλο δείκτη πρέπει και αρκεί, όπως στο προηγούµεο πρόβληµα, α υπάρχει ακέραιος κ µε 60( 6) 60( 6) 60 = 60κ + κ = 59( - 6), οπότε το πρέπει α διαιρεί το ( 6) που συµβαίει µόο για = 6, εφόσο = 6,..,. Τότε όµως λ = 0. Όµοια εργαζόµεοι για τη περίπτωση που ο µεγάλος προηγείται του µικρού (τύπος 2) βρίσκουµε = 5, οπότε λ = 60 (Άσκηση). Άρα µόο στις 6 ακριβώς ο µικρός δείκτης βρίσκεται σε ευθεία γωία µε τους άλλους δυο δείκτες. Πρόβληµα 5 Υπάρχου χροικές στιγµές που ο µικρός δείκτης συµπίπτει µε το δευτερολεπτοδείκτη, εώ ο µεγάλος είαι σε ευθεία γωία µε τους άλλους δυο; Α ο µεγάλος προηγείται του µικρού (Σχήµα 5), εφόσο σχηµατίζου γωία 180 ο από το πρόβληµα 2, περίπτωση Β, έχουµε ότι αυτό θα συµβαίει λ λεπτά µετά 60 ( + ) 360 60( + 6) τις µε λ = =, = 0,1,2,...,5 (λόγω 30(+1) ω 360 ο ). Για α συµπίπτει τώρα ο δευτερολεπτοδείκτης µε το µικρό δείκτη πρέπει και αρκεί α υπάρχει ακέραιος κ µε Μ Κ Σχήµα 4 Μ Κ 60 ( + 6) 60 = 60κ + 60 ( + 6) - 30 22κ - = 2 59( + 6), Σχήµα 5 που είαι άτοπο, εφόσο το πρώτο µέλος είαι περιττός ακέραιος αριθµός εώ το δεύτερο άρτιος.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 9 Όµοια εργαζόµεοι για τη περίπτωση που ο µικρός προηγείται του µεγάλου (περίπτωση Α, προβλήµατος 3) καταλήγουµε σε άτοπο. Άρα δε υπάρχου τέτοιες χροικές στιγµές. Αάλογα αποδεικύεται ότι δε υπάρχου χροικές στιγµές που ο µεγάλος δείκτης συµπίπτει µε το µικρό και ο δευτερολεπτοδείκτης α είαι σε ευθεία γωία µε τους άλλους δυο. Πρόβληµα 6 Να εξεταστεί α υπάρχου χροικές στιγµές που οι τρεις δείκτες σχηµατίζου αά δυο γωία 0 ο. Έστω ότι προηγείται ο µικρός, έπεται ο µεγάλος και ακολουθεί ο δευτερολεπτοδείκτης (Σχήµα 6). Ο µικρός µε το µεγάλο θα σχηµατίζου γωία 0 ο και αυτό συµβαίει τις ώρες και 2 0 60( 4) = λεπτά, Α οπότε λόγω 0 ω 30, v = 4,5,,. Για α βρίσκεται ο δευτερολεπτοδείκτης σε γωία 0 ο (χροική απόσταση 20 δευτερολέπτω από το µεγάλο) µε τους άλλους δυο, ετός κάποιας ώρας, πρέπει α υπάρχει ακέραιος κ µε Κ Μ 60( 4) 60( 4) 60 = 60κ + 20 3(κ - 59 (-4)) = Σχήµα 6 που είαι άτοπο, εφόσο το δε είαι πολλαπλάσιο του 3. Άρα δε υπάρχου τέτοιες χροικές στιγµές. Όµοια εργαζόµαστε και στις άλλες περιπτώσεις και βρίσκουµε ότι δε υπάρχου χροικές στιγµές µε γωίες δεικτώ 0 ο. Προβλήµατα Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η γωία που σχηµατίζου οι δείκτες (ωροδείκτης, λεπτοδείκτης) στις 7.50 το πρωί. (Απ. κυρτή 65 ο ) 2. Ποια χροική στιγµή, αµέσως µετά τις 9, οι δείκτες σχηµατίζου ορθή γωία; 8 (Απ. 9 h 32 m ) 3. Να αποδείξετε ότι δε υπάρχου χροικές στιγµές που ο µεγάλος δείκτης συµπίπτει µε το µικρό και ο δευτερολεπτοδείκτης είαι σε ευθεία γωία µε τους άλλους δυο.
. Ι. Μ. Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού 10 4. Να βρεθεί η γωιακή ταχύτητα του µεγάλου και µικρού δείκτη του ρολογιού, καθώς και η µεταξύ τους σχέση. (Aπ. 6 ο /m, 0,5 ο /m). 5. Ποια χροική στιγµή αµέσως µετά τις 6 ο µικρός και ο µεγάλος δείκτης σχηµατίζου ευθεία γωία; ( Aπ. 7h 60/m) 6. είξετε ότι, ότα προηγείται ο µεγάλος δείκτης, σχηµατίζει ευθεία γωία µε 60 ( + 6) το µικρό τις ώρες και λεπτά, = 0,...,5. Είαι δυατό α συµβεί αυτό σε ακέραιο αριθµό λεπτώ και πότε; 7. Να αποδείξετε ότι δε υπάρχου χροικές στιγµές που ο µεγάλος και ο µικρός δείκτης σχηµατίζου ευθεία γωία και ο δευτερολεπτοδείκτης σχηµατίζει γωία 90 ο µε κάθε έα από αυτούς. - ( ηµοσιεύτηκε στο περιοδικό Ευκλείδης Β, τ. 62,63, 2006-07)