Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor. Să se determine tipul de singularitate pentru următoarele funcţii în punctele indicate. Să se calculee şi reiduul în acele puncte. (a) f () = sin, = 0; (b) f () = sin 2, = 0; (c) f () = 2 e, = 0; (d) f () = e e, = 0; ( (e) f () = sin ) 2 tg (), = 0; (f) f () = 2, = 0; (g) f () = (i) f () = e ( ) 2, {0, } ; (h) f () = ( + i) ( 2 3, { i, ±2i} ; + ) 2 sin ( 2 + ) n, {±i} ; (j) f () =, {0,, 2}. ( ) ( 2) (a) Partea principală nu are nici un termen, deci = 0 este singularitate aparentă. (b) Partea principală are o un singur termen, deci = 0 este pol de ordin (pol simplu) iar Re(f (), 0) = c =. (c) Partea principală are o infinitate de termeni, deci = 0 este singularitate esenţială iar Re(f (), 0) = c = 3!. (d) Partea principală are o infinitate de termeni, deci = 0 este singularitate esenţială iar Re(f (), 0) = c =! +!2! + 2!3! + 3!! +.... (e) Partea principală are o infinitate de termeni, deci = 0 este singularitate esenţială. sin () (f) Avem f () =, deci deci = 0 este pol simplu iar Re(f (), 0) se calculeaă cos conform formulei 2 şi se obţine sin () Re (f (), 0) = lim 0 ( 0) f () = lim 0 = cos cos 0 =. Reiduul unei funcţii într-un punct singular. Fie a un punct singular (de tip pol sau singularitate esenţială) pentru funcţia f. Re (f (), a) = c, unde c este coeficientul termenului din devoltarea Laurent a funcţiei f în jurul punctului a. a Fie a un punct singular de tip pol de ordin k pentru funcţia f. (k ) Re (f (), a) = (k )! lim a ( a) k f (). 2 Reiduul unei funcţii într-un pol simplu. Fie a un punct singular de tip pol simplu., în particular, obţinem formula Re (f (), a) = lim a ( a) f ().
(g) = 0 este singularitate esenţială şi = este pol de ordinul 2 (pol dublu). (h) = i este pol simplu şi = ±2i sunt poli tripli iar 3 Re (f (), i) = lim i ( + i) f () = lim i ( 2 + ) 3 = ( ) 3 = ( i) 2 3 + 3, Re (f (), 2i) = 2! lim 2i ( 2i) 3 f () = 2! lim 2i ( + i) ( + 2i) 3, Re (f (), 2i) = 2! lim 2i ( + 2i) 3 f () = 2! lim 2i ( + i) ( 2i) 3. (i) = ±i sunt poli simpli iar Re (f (), i) = lim i ( + i) f () = lim i ( i) n = Re (f (), i) = lim i ( i) f () = lim i ( + i) n (j) = 0 este singularitate esenţială şi =, 2 sunt poli simpli iar Re (f (), ) = lim ( ) f () = lim 2 sin 2 Re (f (), 2) = lim 2 ( 2) f () = lim 2 2 sin Pe de altă parte, pentru a calcula Re (f (), 0), Deci = (2i) n. ( 2i) n, = sin, = sin 2. 2 sin =! 3! + 5! 3..., ( ) ( 2) = 2 = 2 = 2 2 = ( + + 2 + 3 +... ) ( + ( ) 2 ( ) 3 2 2 + + +... 2 2) = ( 2 + ) 2 2 + ( 2 ) 3 2 +.... f () = (! 3! + ) ( ( 5! 3... 2 + 2 ) 2 + ( 2 ) ) 3 2 +... şi astfel se poate obţine coeficientul c al termenului. 2. Să se calculee unde este: (a) x 2 + y 2 = 0; (b) =. e i ( 2 + ) 2 d, Funcţia f are în = 0 un pol simplu şi în = ±i un pol dublu. 3 Reiduul unei funcţii într-un pol triplu. Fie a un punct singular de tip pol triplu., în particular, obţinem formula Re (f (), a) = 2! lim a ( a) 3 f (). 2
(a) Curba este elipsa x2 2 + ( y2 2 = care mărgineşte un domeniu ce conţine în interior doar polul 2) simplu = 0. Deci e i I = 2πi Re (f (), 0) = 2πi lim 0 f () = 2πi lim 0 ( 2 + ) 2 = 2πi e0 = 2πi. (b) Curba mărgineşte un domeniu ce conţine în interior toţi cei poli. Deci I = 2πi Re (f (), 0) + Re (f (), i) + Re (f (), i), unde şi Re (f (), i) = lim i ( i) 2 e i f () = lim i ( + i) 2 Re (f (), i) = lim i ( + i) 2 e i f () = lim i ( i) 2. 3. Să se calculee unde este: (a) x 2 + 6y 2 = 0; (b) = 2 2. 3 d, Funcţia f are patru poli simpli,2 = ±, 3, = ±i. (a) Curba este elipsa x2 2 2 + y2 ( 2) 2 = care mărgineşte un domeniu ce conţine în interior doar polii simpli,2 = ±. Deci 5 3 = I = 2πi Re (f (), ) + Re (f (), ) = 2πi 3 + 3 = 3 = 2πi + = πi. (b) Curba este un cerc care mărgineşte un domeniu ce nu conţine în interior nici un pol. Deci, conform Teoremei Fundamentale a lui Cauchy, integrala este 0.. Să se calculee 5. Să se calculee =3 =a + 2 ( ) ( 3 + 3 2 + 3 + ) d. d 2, unde a >. 2a + Reiduul unei funcţii într-un pol dublu. Fie a un punct singular de tip pol dublu., în particular, obţinem formula Re (f (), a) = lim a ( a) 2 f (). 5 Reiduul unei funcţii într-un pol simplu. Avem şi următoarea formulă de calcul a unui reiduu într-un pol simplu: unde f () = g() h() astfel încât g (a) 0, h (a) = 0, h (a) 0. Re (f (), a) = g (a) h (a), 3
Funcţia f are doi poli simpli,2 = a ± a 2. Avem că Im (,2 ) = 0 şi 0 < < a < 2, deci doar se află în interiorul domeniului mărginit de cercul = a. 6. Să se calculee I = 2πi Re (f (), ) = 2πi =a = πi 2 2a = a2. d ( 2 2, unde a >. 2a + ) Funcţia f are doi poli dubli,2 = a ± a 2. Avem că Im (,2 ) = 0 şi 0 < < a < 2, deci doar se află în interiorul domeniului mărginit de cercul = a, adică < a < 2. I = 2πi Re (f (), ) = 2πi lim ( ) 2 f () = 2πi lim ( 2 ) 2 = 2πi 2 ( 2 ) 3 = = 2πi a2 3. 7. Să se calculee = d 2, unde a > 0. 2ai + Funcţia f are doi poli simpli,2 = i ( a ± a 2 + ). Avem că Re (,2 ) = 0 şi,2 = a ± a 2 +. Dar < a a 2 + < 0 şi a + a 2 + >, deci doar se află în interiorul domeniului mărginit de cercul =, adică < < 2. 8. Să se calculee I = 2πi Re (f (), ) = 2πi = = = 2πi 2 a2 3. ( 2 + ) d ( 2 2, unde a > 0. 2ai + ) Funcţia f are doi poli dubli,2 = i ( a ± a 2 + ). Avem că Re (,2 ) = 0 şi,2 = a ± a 2 +. Dar < a a 2 + < 0 şi a + a 2 + >, deci doar se află în interiorul domeniului mărginit de cercul =, adică < < 2. I = 2πi Re (f (), ) = 2πi lim ( ) 2 2 + f () = 2πi lim ( 2 ) 2.
9. Să se calculee Să observăm că deci =2 sin 2 ( + ) d. sin =! 3 3! + 5 5! +... sin =! 2 3! + 5! +.... Deci funcţia f () = sin ( +) are doar poli simpli daţi de ( + ) = 0, adică = 0 şi = = cos π + i sin π, deci k = cos π + 2kπ = 0. + i sin π + 2kπ, k = 0, 3 Toţi cei cinci poli se află în interiorul domeniului mărginit de cercul = 2. unde I = 2πi Re (f (), k ) = 0. Să se calculee unde : x 2 + 9y 2 36 = 0.. Să se calculee Polii sunt daţi de cos = 0, adică = 0 şi e i + e i 2 k=0 Re (f (), k), sin sin k =k ( + ) = k 5k +. 3 ( 2) ( 5 + 3) 2 d, = tg 2 d. = 0 e 2i = = cos π + i sin π = e iπ. Obţinem 2i iπ Z = π + kπ, k Z. 2πi 2 Deci doar trei poli se află în interiorul domeniului mărginit de cercul = : = 0, 2 = π 2, 3 = π 2. unde I = 2πi 3 Re (f (), k ) = k= Re (f (), k), sin cos =k. 5
2. Să se calculee unde este: (a) = 2 2 ; (b) = 2. 3 e + d, Să observăm că = este pol simplu iar 2 = 0 este singularitate esenţială. Cercul = 2 2 conţine doar singularitatea 2 = 0 iar cercul = 2 conţine ambele singularităţi. 3. Să se calculee. Să se calculee integrala reală 5. Să se calculee integrala reală 6. Să se calculee integrala reală 7. Să se calculee integrala reală 8. Să se calculee integrala reală 9. Să se calculee integrala reală 20. Să se calculee integrala reală =3 2π 0 ( + + 2 ) ( ) e + e + e 2 d. dt, unde a, 2a cos t + a2 2π 0 π π 2π 0 + 2 cos t 5 + sin t dt, dt (2 + cos t) 2, dt, unde m >, m cos t + + x 2 + x dx, dx + x, 2. Să se calculee integrala reală + cos (αx) a 2 dx, unde α, a > 0, + x2 + sin x x 2 2x + 2 dx, 6