Επαναληπτικές Ασκήσεις στην Αναλυτική Γεωμετρία (Από παλαιά bac και prebac) 1) Θεωρούμε το σημείο Α(3, 2, 0) και το επίπεδο α: 3x+2y+pz=3, όπου το p είναι ένας πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η τιμή του p έτσι ώστε η απόσταση του Α από το επίπεδο α να ισούται με 2. ( 2 3 ) 2) Θεωρούμε την ευθεία l: (x, y, z)=(1, 3, 2)+λ(1, 4, -2), λ R και το επίπεδο π: 2x+y+3z=0. Δείξτε ότι η l και το π είναι παράλληλα. 3) Θεωρούμε τις ευθείες L1 : r 1 =(4,-11,13)+λ(3,4,-2) και L2: r 2 =(1,5,10)+μ(-12,4,3), λ,μ R και το επίπεδο Π1 : 3x+12y-4z=-42. α) Να δειχθεί ότι οι ευθείες L1, L2 τέμνονται και να βρεθεί το κοινό τους σημείο. β) Δείξτε ότι η ευθεία L1 τέμνει το Π1 και βρείτε το σημείο τομής. γ) Δείξτε ότι η ευθεία L2 είναι παράλληλη στο Π1. 4) Δίνεται το σημείο Α(1,-1,2) και η ευθεία m: {x=1+t, y=3+t, z=4-t, t R}. Να βρεθεί η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου π, το οποίο διέρχεται από το Α και περιέχει την ευθεία m. 5) Θεωρούμε τα σημεία Α(3,1,-2), Β(1,0,α) και Γ(5,-1,-1), όπου α R. Να υπολογιστεί η τιμή του α έτσι ώστε τα διανύσματα και να είναι ορθογώνια (κάθετα). Για την ευρεθείσα τιμή του α, να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 6) Δίνονται τα σημεία Α(3,1,1), Β(0,2,3), Γ(2,2,2), Δ(1,4,5) και Ε(4,3,3). Να δειχθεί ότι η ευθεία ΑΒ είναι παράλληλη στο επίπεδο (ΓΔΕ). 7) Θεωρούμε τα σημεία Α(0,0,3), Β(0,6,0) και Γ(3,0,0), καθώς και το επίπεδο π που διέρχεται από το Α και έχει κάθετο διάνυσμα το. Να υπολογισθεί η απόσταση του Γ από το επίπεδο π. 1
x+8y+z=6 8) Θεωρούμε το σημείο Α(2,-1,0) και την ευθεία d:. Να βρείτε την καρτεσιανή 7y+z=3 εξίσωση του επιπέδου (Π) που περιέχει το σημείο Α και την ευθεία d. 9) Δίνονται τα εξής: x 0 2 Η ευθεία k: ( y) = λ ( 2) + ( 0) και το επίπεδο α: x y = 8 z 0 2 Να υπολογίσετε σε μοίρες τη γωνία μεταξύ του επιπέδου α και της ευθείας k. 10) Δίνονται οι ευθείες k: x=1+t, y=3+t, z=4-t, t R και m: x= s 2, y=2+ s 2, z=5- s 2 δειχθεί ότι οι δύο αυτές ευθείες ταυτίζονται., s R. Να 11) Δίνεται το σημείο Α(1,-1,2) και η ευθεία l: x=1+t, y=3+t, z=4-t, t R. Να βρεθεί η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου π, το οποίο διέρχεται από το σημείο Α και περιέχει την ευθεία l. 12) Δίνονται τρία σημεία Α(-1,-1,1), Β(4,2,1) και C(2,1,0). i) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου Ρ1 που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, C. ii) Να βρεθούν οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας d που διέρχεται από το σημείο D(1,2,3) και είναι κάθετη στο P1. iii) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου τομής Ε της ευθείας d και του επιπέδου Ρ1. iv) Να υπολογισθεί η απόσταση DE. v) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου D, συμμετρικού του D ως προς το επίπεδο P1. vi) Δίνεται το επίπεδο Ρ2: 5x-3y+z=5. Βρείτε την εξίσωση των επιπέδων συμμετρίας των Ρ1 και Ρ2. 13) Δίνονται τα σημεία Α(1,8,1), Β(3,0,3) και C(9,0,-3), η ευθεία g: (x,y,z)=(4,4,-4)+t(3,4,-1), t R και το επίπεδο π1: 2x+y+2z=0. a) Να βρεθεί η καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου π2, που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και C. 2
b) Δείξτε ότι τα δύο επίπεδα π1 και π2 είναι παράλληλα. Υπολογίστε την απόσταση των δύο επιπέδων. c) Να βρεθεί το σημείο τομής της ευθείας g και του επιπέδου π1. d) i) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του σημείου Ρ, της ορθής προβολής του Α πάνω στο π1. ii) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του σημείου Α, συμμετρικού του σημείου Α ως προς το επίπεδο π1. 14) Ένα κοσμηματοπωλείο παρήγγειλε ένα κουτί παρουσίασης δαχτυλιδιού σε σχήμα κανονικής πυραμίδας με τετραγωνική βάση OABC και κορυφή S. Αποτελείται από μία αδιαφανή βάση της οποίας το ύψος είναι το ένα τρίτο του ύψους της πυραμίδας και ένα δεύτερο διαφανές μέρος πάνω από αυτήν με βάση DEFG όπως φαίνεται στο σχήμα. Δίνεται ότι: O(0,0,0), A(6,0,0), B(6,6,0), C(0,6,0) και S(3,3,12). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων D, E, F και G. 3
β) Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας SA με το επίπεδο OYZ. γ) Να βρείτε την απόσταση του Ο από την ακμή SB. δ) Να βρείτε την γωνία δύο διαδοχικών παράπλευρων εδρών της πυραμίδας. ε) Να βρείτε την εξίσωση της κοινής κάθετης στον άξονα ΟΧ και την ευθεία SC 15) Δίνονται τα σημεία Α(-1,-2,3) και Α (3,2,-13) καθώς και η ευθεία 1-y z-3 b: x-4= = 2 2. x=1+k α) Δείξτε ότι οι εξισώσεις y=k k R, είναι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας α ΑΑ. z=-5-4k β) Δείξτε ότι οι ευθείες (α) και (b) δεν είναι συνεπίπεδες. γ) Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του επιπέδου Ρ1 που περιέχει την ευθεία (α) και είναι παράλληλο στην ευθεία (β). δ) Να βρείτε τις εξισώσεις της κοινής κάθετης ευθείας (p) στις ευθείες (α) και (β). ε) Υπολογίστε την απόσταση των (α) και (β). στ) Αν Ρ2: x-2y+3z=0, να βρείτε το μέτρο της οξείας γωνίας των Ρ1 και Ρ2. 16) Στο σχήμα έχουμε ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο Α (συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα Ο). Έχουμε τα σημεία Β(1,0,0), Μ(0,1,0) και E(0,0,1). Τα σημεία Ι και Μ είναι τα μέσα των ΕΗ και ΑD αντίστοιχα. (Δηλαδή AB=1, AD=2, AE=1=EI). a) Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων C, D, F, G, και H. 4
b) Δείξτε ότι ο όγκος V του τετραέδρου ACDI ισούται με 1/3. (όγκος τετραέδρου = 1 3 (εμβαδόν βάσης) (αντίστοιχο ύψος)). c) Να βρεθεί η εξίσωση του επιπέδου AIC. d) Να υπολογιστεί η απόσταση του σημείου D από το επίπεδο AIC. e) Να βρεθεί η γωνία των επιπέδων ΑΙC και AXY. f) Δώστε την παραμετρική εξίσωση της ευθείας FD. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ της ευθείας FD με το επίπεδο AIC. g) Βρείτε την απόσταση των ασυμβάτων ευθειών AC και ID. 17) Δίνεται το διάνυσμα AB με Α(2,-5,-4) και Β ένα σημείο του επιπέδου (Ε): 3x-6y-2z+5=0. Αν το διάνυσμα AB σχηματίζει γωνία 30 0 με το επίπεδο Ε να βρεθεί το μήκος του AB. 18) Δίνονται οι ευθείες D1: x 2,0, 1 s 3,1,0, s R και D2: x 1, 3,3 t 0,1, 2, t R. a) Δείξτε ότι οι ευθείες D1 και D2 βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο Ε του οποίου να βρεθεί η εξίσωση. b) Βρείτε μια ευθεία του Ε που να τέμνει τις D1 και D2 σε δύο διαφορετικά σημεία. 19) Τα 4 γωνιακά κτίρια του Ευρωπαϊκού Σχολείου Βρυξέλλες ΙΙΙ αποτελούνται από ορθογώνια παραλληλεπίπεδα και στέγες σε μορφή πυραμίδας, όπως φαίνεται στην διπλανή φωτογραφία. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα απλοποιημένο μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει ένα από αυτά τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα με κορυφές τα σημεία: A(0,0,0), E(0,0,10), F(9,0,10) και Η(0,8,10). Η κορυφή της πυραμίδας είναι το σημείο Τ(4.5,4,13). Το κτίριο στέκεται πάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο που παριστάνεται από το επίπεδο Οxy. A) Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών B,C,D και G. Β) Να βρείτε την εξίσωση του επιπέδου p που διέρχεται από τα σημεία G,H,T. 5
Γ) Ένα δέντρο που βρίσκεται μπροστά από το κτίριο έχει την κορυφή του στο σημείο P(7,16,18). Να βρείτε το σημείο τομής της ευθείας που διέρχεται από την κορυφή Τ της πυραμίδας και την κορυφή Ρ του δέντρου με το επίπεδο Οxy. Δ) Μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, μια ηλιαχτίδα διέρχεται από την κορυφή T της πυραμίδας και την κορυφή P του δέντρου. Υπολογίστε σε μοίρες τη γωνία που σχηματίζει η ηλιαχτίδα με το επίπεδο της αυλής του σχολείου. Ε) Υπολογίστε σε μοίρες τις γωνίες του τριγώνου TFG. 6