Διάδοση θερμότητας σε μία διάσταση Η θεωρητική μελζτη που ακολουθεί πραγματοποιήθηκε με αφορμή την εργαςτηριακή άςκηςη μζτρηςησ του ςυντελεςτή θερμικήσ αγωγιμότητασ του αλουμινίου, ςτην οποία διαγωνίςτηκαν οι μαθητζσ ςτον τοπικό μαθητικό διαγωνιςμό ςτα πλαίςια του EUSO 7, που διοργανώθηκε από το ΕΚΦΕ Λευκάδασ ςτισ //6. Η διαταραχι τθσ κερμικισ ιςορροπίασ ςε μια περιοχι ενόσ κερμοαγϊγιμου υλικοφ οδθγεί ςε μεταφορά κερμότθτασ από τισ κερμότερεσ προσ τισ ψυχρότερεσ περιοχζσ του. Η μεταφορά ενζργειασ λόγω τθσ διαφοράσ κερμοκραςίασ ορίηεται ωσ θερμική αγωγιμότητα. Η ροι κερμότθτασ κακορίηεται από το νόμο Fourier που ςτισ τρεισ διαςτάςεισ γράφεται ωσ, ι ςαν εξιςϊςεισ ςυνιςτωςϊν, r,, y, z y z i, y, z i : θ κερμότθτα που διζρχεται ανά μονάδα χρόνου και μονάδα επιφανείασ κάκετθσ ςτθν i διεφκυνςθ (μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I., W m ). : ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας που εξαρτάται από τθ φφςθ του υλικοφ και τθ κερμοκραςία. Στθν περίπτωςθ ομογενοφσ υλικοφ εξαρτάται μόνο από τθ κερμοκραςία (μονάδα μζτρθςθσ ςτο S.I., W m K ). Θα αςχοληθοφμε με την περίπτωςη ομογενοφσ υλικοφ και για μικρή περιοχή θερμοκραςιών ώςτε ο ςυντελεςτήσ θερμικήσ αγωγιμότητασ να είναι πρακτικά ςταθερόσ. Από το νόμο Fourier ςε ςυνδυαςμό με τθν αρχι διατιρθςθσ τθσ ενζργειασ μποροφμε να εξάγουμε τθν εξίσωση διάχυσης θερμότητας,, r, r όπου θ πυκνότθτα και θ ειδικι κερμότθτα του υλικοφ. Θεωρϊντασ διάδοςθ κερμότθτασ μόνο ςτθν διεφκυνςθ, θ εξίςωςθ διάχυςθσ γίνεται, όπου a.,, a () Η λφςθ τθσ μερικισ διαφορικισ εξίςωςθσ () κακορίηεται από τισ αρχικζσ και ςυνοριακζσ ςυνκικεσ του προβλιματοσ.
Ζςτω πλευρικά μονωμζνθ κυλινδρικι ράβδοσ μικουσ L και εμβαδοφ διατομισ S ςτθ διεφκυνςθ του άξονα με το ζνα άκρο ςτθ κζςθ και το άλλο ςτθ κζςθ L. Αρχικά θ ράβδοσ ζχει P S L κερμοκραςία ςε κάκε ςθμείο τθσ. Αν τθ χρονικι ςτιγμι αρχίηει να ειςζρχεται ςτο αριςτερό άκρο τθσ ράβδου, κερμότθτα με ςτακερό ρυκμό, P S, ενϊ το άλλο άκρο βρίςκεται ςυνεχϊσ ςε κερμοκραςία, οι ςυνοριακζσ ςυνκικεσ είναι,,, L (), Για μεγάλεσ τιμζσ του χρόνου θ ράβδοσ άγει τθν ειςερχόμενθ κερμότθτα χωρίσ να τθν απορροφά και επομζνωσ θ κερμοκραςία ςε κάκε ςθμείο τθσ ράβδου κα είναι χρονικά ςτακερι. Ζςτω θ μερικι λφςθ θ οποία αντιπροςωπεφει τθν κατάςταςθ ςτακερισ κερμοκραςίασ για μεγάλεσ τιμζσ του χρόνου και, θ ςυμπλθρωματικι λφςθ ϊςτε θ γενικι λφςθ να είναι θ, Οι () και (3) ικανοποιοφνται κεωρϊντασ,,, (3) L, (4) L,,, (5) Οι και πρζπει να ικανοποιοφν τθν εξίςωςθ (). Άρα, με γενικι λφςθ, όπου, οι ςτακερζσ ολοκλιρωςθσ. a
L Από τισ (4) βρίςκουμε, και, άρα, L (6) Για τθν ςυμπλθρωματικι λφςθ κα ζχουμε,,, a Η λφςθ τθσ (7) γίνεται με τθ μζκοδο χωριςμοφ των μεταβλθτϊν. Ζςτω, (7), F G Αντικακιςτϊντασ ςτθν (7), ζχουμε, (ςυμβολίηοντασ με παράγωγο), (8). τθν χρονικι F G FG FG a F a G ' τθν χωρικι και Το πρϊτο μζλοσ τθσ τελευταίασ ιςότθτασ εξαρτάται μόνο από τθ κζςθ, ενϊ το δεφτερο μόνο από το χρόνο και αφοφ κα πρζπει να ιςχφει για κάκε, κα είναι αναγκαςτικά, F G k F a G όπου k θ ςτακερά χωριςμοφ μεταβλθτϊν. Άρα κα πρζπει να λφςουμε τισ ςυνικεισ ομογενείσ διαφορικζσ εξιςϊςεισ, και Η λφςεισ των (9) και () είναι, G ak G (9) F k F () G e ak 3 και si os F k k 4 5 αντίςτοιχα, όπου 3, 4, 5 οι ςτακερζσ ολοκλιρωςθσ. Αντικακιςτϊντασ ςτθν (8) ζχουμε,, ak 4si 5os όπου θ ςτακερά 3 ενςωματϊκθκε ςτισ 4 και 5. Από τθ δεφτερθ των εξιςϊςεων (5) ζχουμε, e k k () 3
, και από τθ πρϊτθ των εξιςϊςεων (5), ak e k os k k si k 4 5 4 L, os kl k ( ),,,... L (οι αρνθτικζσ τιμζσ του ακζραιου δίνουν τισ ίδιεσ λφςεισ). Άρα, με a ( ), e os ( ),,,... L ςτακερζσ που πρζπει να προςδιοριςτοφν. Η γενικι λφςθ για τθν τελευταία εξίςωςθ. Δθλαδι, κα είναι ο γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ των λφςεων που δίνονται από τθν a (), e os ( ) L (),. Από τισ (6) και () προκφπτει θ γενικι λφςθ τθσ a (), os ( ) L e L (3) Το μόνο που απομζνει είναι ο προςδιοριςμόσ των ςυντελεςτϊν. Από τθν (), ζχουμε, ι, L os ( ) L os ( ) L L (4) Θα χρθςιμοποιιςουμε ςτο ςθμείο αυτό τθν ςχζςθ ορκογωνιότθτασ των τριγωνομετρικϊν ςυναρτιςεων, για m os m os d για m ι αντικακιςτϊντασ,, L L για m os m os d L L L για m 4
Πολλαπλαςιάηοντασ και τα δφο μζλθ τθσ (4) με, τον παράγοντα, m και ολοκλθρϊνοντασ, ι os, προκφπτει, L L os ( ) os m L os m L L L L L L L os ( ) os m d Los m d L L L L L L Los d L L αφοφ από το άκροιςμα του πρϊτου μζλουσ τθσ προθγοφμενθσ εξίςωςθσ "επιβιϊνει" μόνο ο όροσ για m. Υπολογίηοντασ το ολοκλιρωμα βρίςκουμε για τουσ ςυντελεςτζσ, 8L Η (3) λαμβάνοντασ υπόψθ τθν (4) γίνεται, και αντικακιςτϊντασ τουσ ςυντελεςτζσ a (), e os ( ) L, ζχουμε τθ γενικι λφςθ, ( ) 8L, 4 L e os ( ) (5) L Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται θ εξάρτθςθ τθσ κερμοκραςίασ ςαν ςυνάρτθςθ του, για τισ χρονικζσ ςτιγμζσ,,,,5 s, όπωσ προκφπτει από τθν (5) για ράβδο αλουμινίου μικουσ m, διαμζτρου εγκάρςιασ διατομισ mm, αρχικισ κερμοκραςίασ 7 o και για ειςερχόμενθ ιςχφ W. (Ο υπολογιςμόσ ζγινε λαμβάνοντασ υπόψθ τουσ πρϊτουσ όρουσ του ακροίςματοσ) 5
Εναλλακτικά μπορείτε να δείτε τθ χρονικι εξζλιξθ ςτον ςφνδεςμο, hs://drive.google.om/file/d/bvfwjnagarxdeuwsjfegzrn/view?us=sharig Για τθ χρονικι εξζλιξθ τθσ κερμοκραςίασ ςτο άκρο τθσ ράβδου θ (5) δίνει, ( ) 8L, 4 L e (6) Η εξίςωςθ (6) δείχνει ότι θ αφξθςθ τθσ κερμοκραςίασ είναι κατά προςζγγιςθ εκκετικι (επόμενο διάγραμμα) με ςτακερά χρόνου, ~ L ενϊ μετά τθν πάροδο αρκετοφ χρόνου θ τελικι κερμοκραςία κα είναι, Αλλά, 8, 8L, οπότε το αποτζλεςμα είναι, L, που ςυμφωνεί με τθν εξίςωςθ (6) όπωσ ιταν αναμενόμενο. Αν λάβουμε υπόψθ ότι οι όροι του ακροίςματοσ τθσ (6) 3 4. Αλλά ( h://row.om/ariles/ifiie_series_se_7.hm ). 6 όπωσ απζδειξε ο Leoard Euler το 735 6
ςτακεροποιοφνται πολφ νωρίτερα από τον πρϊτο όρο για,,... (αφοφ οι ςυντελεςτζσ του χρόνου ςτον εκκζτθ είναι αντίςτοιχα 9, 5, φορζσ μεγαλφτεροι κατ απόλυτθ 8 L τιμι) και ότι ςυνειςφζρουν ςτθν ςυνολικι αφξθςθ τθσ κερμοκραςίασ κατά,, μποροφμε να υπολογίςουμε τθν κεωρθτικι τιμι τθσ ςτακεράσ χρόνου με πολφ καλι προςζγγιςθ. Μετά από μερικζσ πράξεισ προκφπτει τελικά, 4 L L l,3 8 Για τθ ράβδο αλουμινίου που περιγράφεται παραπάνω, προκφπτει, 6s πφροσ Χόρτησ - Φυςικόσ Τπεφθυνοσ ΕΚΦΕ Λευκάδασ Βιβλιογραφία. Εργαςτηριακοί οδηγοί, Σομζασ Φυςικήσ ΕΜΦΕ, h://www.hysis.ua.gr/gr/ergashriakoi_odhgoi.hm. Θεμελιώδησ Πανεπιςτημιακή Φυςική - Aloso/Fi (μετ. Λ. Ρεςβάνη Σ. Φίλιππα) 3. A hea rasfer ebook - Joh H. Liehard IV/ Joh H. Liehard V 4. Parial Differeial Euaios A Iroduio Waler A. Srauss 7