ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA DRUMULUI CRITIC

ELEMENTE DE TEORIA GRAFURILOR ŞI ANALIZA DRUMULUI CRITIC Concepe fundamenale.modelarea prin grafuri a proceselor economice. Drumuri de valoare opimă. Arbori minimali. Analiza drumului criic. graful coordonaor asocia unei acţiuni complexe; reprezenarea şi calculul ermenelor aciviăţilor; alocarea şi nivelarea resurselor. 4. Elemene de eoria grafurilor si 1

Elemene de eoria grafurilor- concepe fundamenale Un graf ese un cuplu G=(V,M forma dinr-o mulţime nevidă V de vârfuri (noduri şi o mulţime M de muchii (arce cu proprieaea că fiecărui elemen m M îi sun asociae două vârfuri x,y V numie exremiăile muchiei m. O muchie în care x=y (are o singură exremiae se numeşe buclă. 4. Elemene de eoria grafurilor si 2

Elemene de eoria grafurilor- concepe fundamenale Un graf G se numeşe simplu dacă oricare două noduri ale sale sun exremiăţi penru cel mul o muchie. Un graf G ese fini dacă V şi M sun finie. 4. Elemene de eoria grafurilor si 3

Elemene de eoria grafurilor- concepe fundamenale Fie m={x,y} o muchie în graful G=(V,M poae fi: orienaă (x,y cu x vârf iniţial şi y vârf final, caz în care arcul (y,x ese bloca; orienaă (y,x cu y vârf iniţial şi x vârf final, caz în care arcul (x,z ese bloca; neorienaă {x,y}. Un graf G=(V,M în funcţie de ipul muchiilor sale poae fi: oriena; parţial oriena; neoriena. 4. Elemene de eoria grafurilor si 4

Elemene de eoria grafurilor- concepe fundamenale Un lanţ în graful G=(V,M ese o succesiune de noduri λ=(x 0, x 1,,x p-1, x p cu proprieaea că {x 0,x 1 },{x 1,x 2 },...{x p-1, x p }, sun muchii în G. Nodurile x 0 şi x p sun exremiăţile lanţului λ. Lanţul λ se numeşe simplu dacă nu rece de două ori prin acelaşi nod. Lungimea lanţului λ. ese daă de numărul muchiilor sale componene. Un ciclu ese un lanţ ale cărui exremiăţi coincid. 4. Elemene de eoria grafurilor si 5

Elemene de eoria grafurilor- concepe fundamenale Un drum în graful G=(V,M ese o succesiune de noduri δ=(x 0, x 1,,x p-1, x p cu proprieaea că {x 0,x 1 },{x 1,x 2 },...{x p-1, x p }, sun arce permise în G. Nodurile x 0 şi x p sun exremiăţile drumului δ. Un graf G=(V,M se numeşe conex dacă oricare două noduri ale sale sun exremiăţile unui lanţ. Un graf G=(V,M se numeşe bipari dacă mulţimea nodurilor sale poae fi descompusă în două submulţimi nevide şi disjunce S şi D asfel încâ orice muchie din G are o exremiae în S şi calală în D. 4. Elemene de eoria grafurilor si 6

Drumuri de valoare opimă Fie graful G=(X,Γ. O ruă orienaă u=(i,j ese un arc (i,j G. Rua se numeşe permisă dacă orienarea sa ese în concordanţă cu orienarea muchiei corespunzăoare din graful G. Fiecărei rue u=(i,j cu i,j X i se asociază o valoare numerică c(u cu semnificaţia de cos, disanţă, imp ec. 4. Elemene de eoria grafurilor si 7

Drumuri de valoare opimă Dacă s şi f sun două noduri fixe din G problema * consă în deerminarea unui drum µ de la s la f de valoare opimă (minimă, adică: * c( µ = min c( µ µ D(s,f unde M( s, ese mulţimea drumurilor dinre s şi f cu s,f G. 4. Elemene de eoria grafurilor si 8

Drumuri de valoare opimă Algorimul Bellman-Kalaba ese un algorim general prin care se deermină drumurile de valoare minimă dinre un nod final şi oae celelale vârfuri (noduri ale grafului; fie G=(X, Γ graful problemei; fiecărei muchii orienae u=(i,j cu i,j X i se asociază M( s, o valoare numerică c(u=c ij fiecărei muchii neorienae u={i,j} cu i,j X i se asociază valoarile numerice c ij = c ji = c(u corespunzăor celor două arce (i,j şi (j,i. 4. Elemene de eoria grafurilor si 9

Drumuri de valoare opimă -algorimul Bellman-Kalaba START Pasul 0: se asociază grafului G o maricea V consruiă pornind de la valorile v ij ale arcelor grafului Ese îndepliniă condiţia de oprire a algorimului? DA Se exrag din V ruele de cos minim spre nodul x f NU Pasul : se adaugă la maricea V liniile V (+1 şisucc (+1 STOP 4. Elemene de eoria grafurilor si 10

Drumuri de valoare opimă -algorimul Bellman-Kalaba Pasul 0: { v } ij n se asociază grafulul G maricea i, j=1, unde n ese numărul nidurilor grafului asfel: cij daca m= (i,j; v = 0 daca i = j; in res. se adaugă la maricea V linia unde: V = { (0 v } i i = 1 n (0 V =, V (0 i = V 0 if daca daca i i = f ; f. 4. Elemene de eoria grafurilor si 11

Drumuri de valoare opimă -algorimul Bellman-Kalaba Pasul (=1,2,3,.: se deermină şi se adaugă maricei V exisene la eapa -1 două linii: { v } i i = 1 n ( ( linia cu: V =, ( 1 ( min( vi + vij daca i f ; vi = 0 daca i = f ; ( ( linia succ = { succi } ( i= 1, n unde succ reprezină nodul spre care, din nodul i, exisă arce de lungime minimă ( ( 1 ( j vi = vi + vij j = 1, n i f ; succi = Φ daca vi =. 4. Elemene de eoria grafurilor si 12

Drumuri de valoare opimă -algorimul Bellman-Kalaba Condiţia de oprire a algorimului algorimul se încheie în momenul în care prin recerea de la un pas ( la pasul urmăor (+1 valorile drumurilor minime rămân nemodoficae: v ( ( + 1 i = vi i = 1, n. 4. Elemene de eoria grafurilor si 13

Drumuri de valoare opimă -algorimul Bellman-Kalaba Exragerea ruelor de cos minim Fiind îndepliniă condiţia v ( ( + 1 i = vi i = 1, n. valorile minime ale ruelor se deduc din linia V sau V ( ( + 1 ruele de valoare minimă de la fiecare nod spre nodul f se deduc din linia succ ( sau succ ( + 1 4. Elemene de eoria grafurilor si 14

Arbori minimali Un arbore ese un graf conex neoriena şi fără cicluri. Un arbore are urmăoarele proprieăţi: orice arbore cu p noduri are p-1 muchii. înre oricare două noduri ale unui arbore exisă un unic lanţ de muchii. dacă înre două noduri ale unui arbore adăugăm o muchie se obţine un ciclu. dacă dinr-un arbore scoaem o muchie, graful se disconecează. 4. Elemene de eoria grafurilor si 15

Arbori minimali Fie graful G=(X,Γ un graf neoriena fin şi conex conţinând n noduri. Un arbore conţinu în graful G ese un subgraf al lui G cu n-1muchii. Dacă muchiilor unui arbore i se asociază valori numerice (reprezenând cosuri, profiuri, disanţe ec. aunci suma acesora consiuie valoarea arborelui respeciv. Deerminarea arborilor minimali dinr-un graf G consă în idenificarea arborelui (arborilor de valoare minimă conţinuţi în G. 4. Elemene de eoria grafurilor si 16

Arbori minimali - algorimul lui Krusal START Pasul 1: se alege din mulţimea Γ a lui G muchea u 1 de valoare minimă; muchea u 1 consiue primul elemen al mulţimii muchiilor alese. S-au ales n-1 muchii? DA NU Graful parţial obţinu consiuie un arbore minimal în G Pasul +1:din mulţimea muchiilor nealese se alege o nouă muchie u +1 de valoare minimă şi care nu formează ciclu cu muchiile deja alese; se adaugă u +1 la mulţimea muchiilor alese; STOP 4. Elemene de eoria grafurilor si 17

Arbori minimali - variană a algorimului lui Krusal START Pasul 1: se selecează din mulţimea X a lui G un nod oarecare x i (1 i n unden ese numărul nodurilor lui G S-au coneca oae nodurile? DA NU Graful parţial obţinu consiuie un arbore minimal în G Pasul +1:se selecează din mulţimea nodurilor neconecae nodul cel mai apropia de unul din nodurile conecae şi se conecează la acesa; se adaugă nodul respeciv la mulţimea nodurilor alese; STOP 4. Elemene de eoria grafurilor si 18

Analiza drumului criic. Principalele meode uilizae în managemenul proiecelor (Projec Managemen sun: meoda CPM (Criical Pah Mehod meoda MPM (Mera Poenial Mehod meoda PERT (Program Evaluaion and Review Tehnique. Acese meode permi idenificarea drumului criic şi a aciviăţilor care îl compun dinre evenimenul începerii proiecului şi evenimenul finalizării lui. 4. Elemene de eoria grafurilor si 19

Analiza drumului criic. Meoda CPM Fie un proiec (proces P compus din n aciviăţi: { A } =1n P=, O aciviae A de duraă d ij =d(a ese reprezenaă prin perechea (i,j unde: i reprezină evenimenul începerii aciviăţii; j reprezină evenimenul erminării aciviăţii; Grafic, aciviaea A se reprezină asfel: i * i i A d ij j j * j 4. Elemene de eoria grafurilor si 20

Analiza drumului criic. Meoda CPM Fiecărei aciviăţi i se asociază: ermenul minim de începere - i ( A m reprezină ermenul cel mai devreme posibil de erminare a uuror aciviăţilor incidene în nodul i: i m ( A A 0 daca i ese nod de incepu i max(m( Aq + d = unde(, Γ 1 qi q i i ermenul minim de erminare ( A m i m( A = m( A + d( A 4. Elemene de eoria grafurilor si 21

Analiza drumului criic. Meoda CPM ermenul maxim de erminare - M ( A reprezină ermenul cel mai ârziu posibil de începere a uuror aciviăţilor incidene Γ j dinspre nodul j spre nodurile: M ( A n daca j = min(m ( A d ermenul maxim de incepere i M ( A = M( A d( A p ese nod erminal jp unde( j, p Γ i ( A M j 4. Elemene de eoria grafurilor si 22

Analiza drumului criic. Meoda CPM rezerva oală - R ( A reprezină inrvalul maxim cu care poae fi amânaă o anumiă aciviae fără a afeca ermenul final al proiecului: i R ( A = M ( A m( A d( A Dacă R ( A = 0 aciviaea se numeşe criică. rezerva liberă - R l ( A reprezină inrvalul maxim cu care poae fi amânaă o anumiă aciviae fără a consuma din rezerva aciviăţilor care o succed i Rl ( A = m( A m( A d( A 4. Elemene de eoria grafurilor si 23

Analiza drumului criic. Meoda MPM Fie un proiec (proces P compus din n aciviăţi: { A } =1n P=, Fiecărei aciviaţi A i se asociază un abel de forma: i m A m i M d( A M 4. Elemene de eoria grafurilor si 24

Analiza drumului criic. Meoda MPM Aciviăţile criice sun aciviăţile cu rezerva oală egală cu 0: i i M ( A = m( A M ( A = m( A Toaliaea aciviăţilor criice alcăuiesc drumul criic în proiecul P. 4. Elemene de eoria grafurilor si 25

Analiza drumului criic. Meoda PERT Meoda PERT permie planificarea aciviăţilor şi deerminarea probabiliăţii de realizare a duraei planificae penru un anumi proiec aunci când duraele aciviăţilor nu se cunosc cu ceriudine. Fie un proiec (proces P compus din n aciviăţi: { A } =1n P=, Aâ duraa fiecărei aciviaţi d(a câ ăi duraa oală a proiecului sun considerae variabile aleaoare. 4. Elemene de eoria grafurilor si 26

4. Elemene de eoria grafurilor si 27 Analiza drumului criic. Meoda PERT Duaa unei aciviăţi ese o variabilă aleaoare de disribuţia BETA cu: duraa mediie de execuţie a aciviăţii dispersia 6 ( ( 4 ( ( 0 p m A d A d A d A d + + = ( A d ( 2 A σ 2 2 6 ( ( ( = o p A d A d A σ A

Analiza drumului criic. Meoda PERT Duaa oală de execuţie a proiecului P ese variabilă aleaoare cu disribuţie normală. Dacă D c ese mulţimea acviăţilor neparalele de pe drumul criic aunci avem: duraa oală medie a proiecului = d( n A A D c dispersia 2 σ n 2 2 σ n = σ ( A A D c 4. Elemene de eoria grafurilor si 28

Analiza drumului criic. Meoda PERT Probabiliaea de realizare a duraei planificae a proiecului se deermină asfel: T > p n se deermină facorul de probabiliae z: z = T p n σ 2 n se deduce, uilizândabelul funcţiei Laplace probabiliaea p( n Tp 4. Elemene de eoria grafurilor si 29

Analiza drumului criic. Meoda PERT Valorile probabiliăţii de realizare a duraei planificae a proiecului au urmăoarele semnificaţii: p( n T p 0,25 risc foare mare de nerealizare în ermen a proiecului; p( n T (0,25;0,5 p exisă şanse de realizare a proiecului în ermenul sabili; p( n T [0,5;0,8 p programarea aciviăţilor proiecului ese jusă; p( n T 0,8 p sun şanse foare mari de realizare în imp a proiecului. 4. Elemene de eoria grafurilor si 30

Analiza drumului criic. Alocarea resurselor Algorimul de alocarea resurselor (Projec Scheduling under muliple Resurce Conrains permie alocarea resurselor pe aciviăţi asfel încâ duraa de execuţie a proiecului să fie minimă. Rezlvarea problemelor de alocare a resurselor presupune ca primă eapă deerminarea drumului criic fără resricţii de resurse aplicând una din meodele CPM sau MPM. 4. Elemene de eoria grafurilor si 31

Analiza drumului criic. Alocarea resurselor Fie un proiec (proces P compus din n aciviăţi: { A } =1n P=, Penru realizarea aciviăţilor proiecului sun necesare m resurse disponibile în caniăţile: Vesorul inensiăţii uilizării resurselor penru acviaea ese: A D 1, D2,..., r ( A = ( r ( A, r2 ( A D m,..., r ( A 1 m 4. Elemene de eoria grafurilor si 32

4. Elemene de eoria grafurilor si 33 Analiza drumului criic. Alocarea resurselor Penru soluţionarea problemei se definesc mulţimii: mulţimea aciviăţilor candidae la momenul : mulţimea aciviăţilor programae la momenul : = = final final i A A C daca 0 daca } ( { φ = = = m j P E A j j A r D j C A A P 1, 0 ( 0

Analiza drumului criic. Alocarea resurselor mulţimea aciviăţilor amânae la un al momenul de imp σ > : A σ σ = = C \ P min ( A E P i m ( A + d( A mulţimea aciviăţilor în execuţie la momenul E 4. Elemene de eoria grafurilor si 34

Analiza drumului criic. Alocarea resurselor START DA Se deerminăe şic C =φşie = φ NU Se deermină P, σ şi A σ NU STOP A σ = φ? DA Se deermină implicaţiile asupra duraei proiecului = σ 4. Elemene de eoria grafurilor si 35