1 Noţiuni privind teoria probabilităţilor Noţiuni privind statistica matematică Modelul clasic de regresie liniară...

Transcript

1 CUPRINS Inroducere... 4 Noţiuni privind eoria probabiliăţilor... 3 Noţiuni privind saisica maemaică Modelul clasic de regresie liniară Abaeri de la ipoezele modelului clasic de regresie I Abaeri de la ipoezele modelului clasic de regresie II Tehnici de modelare şi previzionare a seriilor de imp unidimensionale Tehnici de modelare şi previzionare a seriilor de imp mulidimensionale Tehnici de analiză a dinamicii pe ermen lung a variabilelor economice Tehnici de analiză a modelelor de ip panel daa Tehnici de esimare a modelelor de ip DSGE... 3 Bibliografie selecivă... 8 Page 3

2 Inroducere Aces supor de nivel penru nivelul de complexiae 3 ese concepu penru a oferi cursanţilor o fundaţie riguroasă şi accesibilă privind principiile eoriei probabiliăţilor, uilizarea meodelor de inferenţă saisică în domeniul macroeconomic, precum şi ehnicile oferie de căre programul economeric EViews în ceea ce priveşe consruirea, rezolvarea, esimarea, verificarea şi alegerea de modele economerice adecvae. Toae capiolele suporului cuprind exemple privind uilizarea diverselor ehnici economerice cu ajuorul programului EViews. Economerie Dae de ip Cross secion Dae de ip Time series Dae de ip Panel TEHNICI DE ESTIMARE Saisică maemaică Model saisic TEHNICI DE TESTARE EVENIMENT Teoria probabiliăţilor Variabilă aleaoare PROBABILITATE Page 4

3 Economeria presupune oaliaea meodelor şi ehnicilor de analiză a dinamicii variabilelor economice, precum şi a inerconexiunilor dinre acesea. Economeria uilizează o mare pare din ehnicile de inferenţă saisică puse la dispoziţie de căre saisica maemaică. De asemenea, eoria probabiliăţilor oferă noţiunile fundamenale necesare penru înţelegerea saisicii şi a economeriei. Economeria reprezină o îmbinare armonioasă înre eoria economică, modelarea economică, saisica economică şi saisica maemaică. Teoria economică propune o serie de ipoeze care, în general, sun de naură caliaivă. Modelarea economică ranspune acese ipoeze în limbaj caniaiv prin inermediul modelelor economice care po fi uilizae penru previzionarea variabilelor de ineres. Saisica economică are drep scop principal colecarea, prelucrarea şi prezenarea daelor economice sub forma de grafice şi abele. Saisica maemaică oferă mule insrumene de analiză a acesor daelor. Touşi, un pracician are deseori nevoie de meode speciale având în vedere naura unică a daelor economice. Rolul economeriei consă în punerea la dispoziţie a unor asfel de ehnici care permi esarea unui model economic şi ranspunerea acesuia înr-un model economeric, care poae fi uiliza efeciv penru a previziona evoluţia variabilelor economice. Modelele economerice presupun uilizare a rei ipuri de dae, respeciv: dae de ip cross-secion acesea presupun observaţii în ceea ce priveşe o caracerisică, obţinue la un anumi momen da, penru mai mulţi agenţi economici; dae de ip ime series acesea presupun observaţii în ceea ce priveşe o caracerisică, obţinue la mai mule momene de imp, penru un agen economic da; dae de ip panel acesea combină ambele dimensiuni, presupunând observaţii în ceea ce priveşe o caracerisică, obţinue la mai mule momene de imp, penru mai mulţi agenţi economici. Page 5

4 Meodologia uilizaă, în general, de căre economerie penru analiza unui fenomen economic se poae încadra de-a lungul urmăoarelor linii: idenificarea eoriei economice care explică fenomenul respeciv; specificarea modelului eoreic în forma maemaic; specificarea modelului economeric; obţinerea daelor corespunzăoare; esimarea paramerilor modelului economeric; esarea saisică a ipoezelor propuse de eoria economică; previzionarea variabilelor din cadrul modelului economeric; uilizarea modelului economeric penru fundamenarea deciziilor de poliică economică. Un exemplu clasic în ceea ce priveşe uilizarea meodologiei economerice îl reprezină analiza consumului priva. Binecunoscua eorie economică propusă de căre Keynes, în ceea ce priveşe legăura dinre consum şi veniul disponibil, presupune că, în medie, agenţii economici îşi majorează consumul pe măsură ce veniul lor disponibil creşe, însă cu o vieză mai mică decâ a acesuia. In limbaj caniaiv, aceasă eorie se poae ranspune sub forma unei relaţii funcţionale înre consum şi veni disponibil, cu condiţia suplimenară că derivaa acesei funcţii în rapor cu veniul disponibil are valori cuprinse înre şi. Deşi Keynes a posula o relaţie poziivă înre consum şi veni, acesa nu a specifica forma exacă a acesei relaţii funcţionale dinre cele două variabile. Se poae consrui asfel un model eoreic în cadrul căruia se presupune că aceasă relaţie ese liniară, respeciv C α + βy, unde C reprezină consumul, Y veniul disponibil, iar β o măsură a înclinaţiei marginale spre consum. Aces model eoreic al funcţiei de consum prezină, însă, un ineres limia penru un pracician, penru că modelul presupune că exisă o relaţie exacă sau deerminisă înre consum şi veni. Page 6

5 In realiae, legăura dinre cele două variabilele economice ese, în general, inexacă deoarece consumul ese influenţa şi de alţi facori. Penru a permie exisenţa unei relaţii inexace înre cele două variabile economice, un model economeric presupune că funcţia de consum se poae reprezena sub forma C α + βy + ε, unde ε ese ermenul de eroare, reprezena prinr-o variabilă aleaoare, concep fundamenal din eoria probabiliăţilor, cu caracerisici saisice bine-definie. Mai exac, modelul economeric prezena mai sus ese un caz paricular de model de regresie liniară, ip de model care va fi analiza în cadrul cursului de faţă. Deerminarea paramerilor modelului economeric, pe baza daelor avue la dispoziţie, presupune uilizarea unor meode şi ehnici de esimare saisică. Însă, rebuie avu grijă să se aleagă acel insrumen de esimare care se poriveşe daelor penru care se realizează analiza. Asfel, dacă dispunem de observaţii privind consumul la un momen da al mai mulor familii, adică avem la dispoziţie dae de ip cross-secion, ese poriviă esimarea prin meoda OLS. Dacă, însă, analiza se realizează la nivel agrega şi dispunem de dinamica consumului şi a veniului penru o anumiă perioadă, adică avem la dispoziţie dae de ip ime series, ese mai porivi să se uilizeze ehnici de esimare bazae pe idenificarea relaţiilor de coinegrare dinre cele două serii. Alegerea corecă a meodei de esimare, lucru asupra căruia se va insisa pe parcursul acesui curs, ese esenţială penru obţinerea unor esimaori buni, adică a celor esimaori care surprind în mod corec realiaea în ceea ce priveşe legăura dinre cele două variabile economice. In coninuare, rebuie verifica dacă modelul economeric esima penru seriile de dae analizae ese în concordanţă cu eoria economică de la care s-a pleca. Aceasă verificare se poae realiza prin meode riguroase privind esarea ipoezelor saisice, ehnici care vor fi prezenae în cadrul acesui curs. Asfel, în cazul exemplului analiza, se esează ipoeza nulă conform căreia < β <, sau, alfel spus, se esează dacă înclinaţia marginală spre consum ese poziivă şi subuniară. Page 7

6 În cazul în care modelul esima ese în concordanţă cu eoria economică, se poae uiliza aces model penru a previziona o valoarea viioare a variabilei dependene, în aces caz consumul, în funcţie de valoarea viioare anicipaă a variabilei independene, în aces caz veniul disponibil. De asemenea, modelul esima poae fi uiliza penru fundamenarea deciziilor de poliică economică. Asfel, în exemplul analiza, pornind de la înclinaţia marginală spre consum esimaă pe baza daelor, se poae calcula muliplicaorul lui Keynes, care poae fi uiliza penru a realiza diverse scenarii şi simulări legae de impacul modificării sisemului de axare asupra secorului priva. In coninuare, ese prezena pe scur conţinuul acesui supor. Primele două capiole prezină parea nevăzuă a economeriei, fundamenele aceseia. Fără a avea o serie de noţiuni elemenare privind eoria probabiliăţilor şi saisica maemaică, pracicienii percep economeria ca un amalgam de formule şi ehnici fără nici un sens. Dealiile privind uilizarea ehnicilor implemenae în programe economerice se esompează rapid penru cei care nu înţeleg moivele uilizării procedurilor pe care încearcă să le aplice. Mule insiuţii recunosc, în prezen, nevoia unui sudiu mai riguros al eoriei probabiliăţilor, al principiilor saisicii maemaice, precum şi al meodelor economerice avansae, în scopul de a-şi pregăi specialişii penru o înţelegere pe ermen lung a ehnicilor saisice uilizae în domeniul economic. In capiolul sun schiţae o serie de noţiuni privind eoria probabiliăţilor, cum ar fi evenimen, probabiliae, probabiliae condiţionaă, variabilă aleaoare. Penru a evidenţia imporanţa concepului de variabilă aleaoare ese prezena modul în care se poae analiza în EViews funcţia de densiae de repariţie a unei variabile aleaoare, respeciv a unui vecor de variabile aleaoare. Înţelegerea concepului de disribuţie a unei variabile aleaoare ese esenţială penru înţelegerea concepelor legae de inferenţa saisică. In capiolul sun prezenae pe scur concepe de bază în ceea ce priveşe saisica maemaică. Asfel, penru începu ese analiza concepul de disribuţie Page 8

7 asimpoică. In coninuare, sun evidenţiae ehnici privind procedura de esimare a unui model saisic. Sun prezenae o serie de definiţii necesare penru o înţelegere de duraă a economeriei, cum ar fi concepul de esimaor bun. In a reia pare a acesui capiol sun discuae ehnici privind procedura de esare a ipoezelor saisice. Penru a evidenţia imporanţa ehnicilor de inferenţă saisică, ese prezena modul în care se poae realiza în EViews un es saisic privind media unei populaţii saisice. Aces exemplu, oferă cursanţilor insrumenele necesare înţelegerii unor ese mai sofisicae legae de modelele economerice discuae în capiolele urmăoare. In urmăoarele rei capiole aenţia se îndreapă asupra ehnicilor economerice uilizae, în special, penru analiza inerconexiunilor dinre dae de ip cross-secion. Touşi, acese ehnici sau la baza unor meode avansae uilizae penru invesigarea dinamicii celorlale ipuri de dae economice. In capiolul 3 ese prezena modelul clasic de regresie liniară, ipoezele acesuia, modul de esimare al unei ecuaţii de regresie în EViews, precum şi modaliaea de a inerprea esimaorii şi esele saisice rezulae în urma acesei esimări. Modelul clasic de regresie are la bază o serie de ipoeze, înâmplându-se foare rar ca în pracică oae acesea să fie îndeplinie. In capiolul 4 sun prezenae ehnicile puse la dispoziţie de EViews penru a rezolva problemele induse de nerespecarea acesor ipoeze în ceea ce priveşe inovaţiile ecuaţiei de regresie. Asfel, sun analizae meodele care po conabiliza exisenţa heerosedasiciăţii şi a auocorelării erorilor, în special ehnicile robuse de deerminare a erorilor sandard penru esimaori. In capiolul 5 ese adusă în discuţie problema de endogeniae, care ese desul de frecvenă în pracică, şi care invalidează mule din rezulaele modelului clasic de regresie. Ese prezena modul în care se poae rezolva aceasă problemă în cadrul programului economeric EViews prin inermediul variabilelor insrumenale. Fenomenele economice se po analiza din perspecivă saică sau dinamică. Analiza saică urmăreşe descrierea relaţiilor care exisă înre variabile la un Page 9

8 anumi momen. Analiza în dinamică a fenomenelor economice încearcă să surprindă modul în care variabilele evoluează în imp, modul în care se schimbă relaţiile care exisă înre variabile, precum şi evenualele relaţii de cauzaliae care funcţionează înre acesea. In urmăoarele rei capiole aenţia ese concenraă asupra ehnicilor economerice uilizae, în special, penru analiza dinamicii şi inerconexiunilor dinre dae de ip ime series. O serie de imp reprezină o succesiune de înregisrări ale unei variabile economice (de exemplu produsul inern bru PIB, raa inflaţiei, raa de dobândă, cursul de schimb, indicele BET ec.) corespunzăoare unei frecvenţe: zilnică, lunară, rimesrială sau anuală. Analiza seriilor de imp are ca obiecive: sabilirea proprieăţilor saisice, cum ar fi medie, varianţă, auocorelaţie, auocorelaţie parţială; idenificarea relaţiilor care exisă pe ermen lung înre variabile; modelarea unei serii de dae reale, prin idenificarea modelului prin care se poae reprezena cel mai bine seria respecivă; prognoza pe ermen scur a unei serii de imp pe baza modelului seleca penru aceasa. In capiolul 6 sun prezenae ehnicile de analiză puse la dispoziţie de căre EViews penru analiza dinamicii seriilor de imp unidimensionale. Sun evidenţiae modaliăţile de modelare a serilor de imp prin inermediul proceselor de ip ARMA (AuoRegressive Moving Average), precum şi modul în care naura auocorelaţiei dinre valorile seriei respecive oferă informaţii în ceea ce priveşe selecarea unei specificaţiei penru modelul ARMA. De asemenea, ese discua concepul de saţionariae, concep fundamenal penru modelarea adecvaa a dinamicii unei serii de imp, şi sun prezenae insrumenele puse la dispoziţie de căre EViews penru esarea saţionariăţii unei serii, In capiolul 7 sun prezenae ehnicile de analiză puse la dispoziţie de căre EViews penru analiza dinamicii şi a ineracţiunii dinre serii de imp mulidimensionale. Asfel, în cadrul capiolului sun descrise esimarea modelelor de ip VAR (Vecor AuoRegressive), precum şi meodele de analiză ale acesor modele, cum ar fi funcţia de răspuns la impuls şi descompunerea varianţei. In capiolul 8 sun prezenae ehnicile de analiză puse la dispoziţie de căre EViews Page

9 penru analiza dinamicii pe ermen lung dinre variabilele economice. Aces capiol descrie modelele şi insrumenele penru esarea prezenţei relaţiilor de coinegrare dinre mai mule variabile nesaţionare, precum şi procesul de esimare şi analiză a modelelor de ip VEC (Vecor Error Correcion). În acese noe de curs se prezină elemenele esenţiale, care formează baza analizei seriilor de imp. Prezenarea ese gândiă penru un nivel de complexiae mediu, punând accen pe inroducerea inuiivă a concepelor şi concreizarea acesora prin exemple elocvene. De asemenea, se argumenează la un nivel corespunzăor unele din cele mai imporane rezulae. In capiolul 9 aenţia ese concenraă asupra ehnicilor economerice uilizae penru analiza dinamicii şi inerconexiunilor dinre dae de ip panel, care reprezină o îmbinare dinre meodele descrise în capiolele anerioare. Sun descrise eapele necesare în cadrul EViews penru specificarea şi penru esimarea unui model de ip panel, precum şi meodele puse la dispoziţie de căre programul economeric penru a discrimina inre o specificaţie cu efece fixe şi o specificaţie cu efece aleaoare. In capiolul ese prezenaă srucura de bază a unui scrip penru Dynare, program care poae fi uiliza penru esimarea şi analiza dinamicii modelelor de ip DSGE. De asemenea, ese fundamenaă, pe scur, procedura de log-liniarizare a unui model DSGE, operaţiune imporană în cadrul meodologiei de esimare. inând seama de endinţa recenă din lieraura de specialiae de a uiliza penru esimarea modelelor DSGE ehnici de bayesiene de inferenţa saisică, în încheierea capiolului sun prezenae noţiuni fundamenale privind economeria bayesiană. In final, rebuie sublinia ce reprezină şi ce nu reprezină aces supor. Aces supor nu ese un manual de economerie. Aces supor nu poae suplini, în nici un fel, un manual de economerie de nivel inroduciv, cum ar fi Broos (8) sau Wooldridge (999), sau un manual de nivel inermediar, cum ar fi Greene (8) sau Enders (4), sau un manual de nivel avansa, cum ar fi Hamilon Page

10 (994). De asemenea, aces supor nu ese un manual de uilizare al programului economeric EViews. Aces supor reprezină o schiţă, la nivel inermediar, a ehnicilor economerice care apar în cadrul analizei fenomenelor economice, cu accen pe uilizarea acesora cu ajuorul programului economeric EViews. De asemenea, acesa reprezină o modaliae de a prezena ceea ce ese esenţial, mai precis o ceea ce nu rebuie uia după ce se vor fi fos uiae oae celelale dealii. Ese demn de menţiona fapul că uilizarea acesui supor ese complemenară cu prezenţa acivă în impul orelor de curs. Parcurgerea suporului, precum şi audierea cursului nu presupun cunoşinţe anerioare privind eoria probabiliăţilor sau saisica maemaică şi consruieşe în mod eficien subiecul "de la zero". Cursanţii vor dobândi asfel pregăirea necesară penru o înţelegere maură şi durabilă a meodelor saisice şi economerice de inferenţă şi vor fi pregăiţi penru a cii şi înţelege exe de economerie de nivel inermediar şi avansa. Page

11 Noţiuni privind eoria probabiliăţilor Un agen economic raţional, cel mai probabil, va prefera să diminueze inceriudinea privind rezulaul unei siuaţii în orice conex de luare a unei decizii în care profiul, uiliaea, precum şi bunăsarea sun afecae. Teoria probabiliăţilor pune la dispoziţia unui agen de decizie o serie de insrumene uilizae penru a disinge probabilul de improbabil, în cazul unor decizii, şi oferă managerilor, economişilor, organismelor de reglemenare şi consumaorilor informaţii care po fi folosie penru a clasifica rezulaele poenţiale ale deciziilor lor în ceea ce priveşe probabiliaea de apariţie. Asfel, ese posibilă luarea unor decizii care să maximizeze probabiliaea de apariţie a unui rezula dori, sau care să reducă probabiliaea de apariţie a unor rezulae dezasruoase.. Evenimene şi probabiliaea de apariţie a acesora Noţiunea de experimen ese foare des uilizaă în domeniul saisicii penru a face referire la orice aciviae penru care rezulaul sau sarea finală a unei aciviăţi nu po fi specificae în avans, dar penru care poae fi idenificaă o mulţime conţinând oae rezulaele posibile ale acelei aciviăţi. Înaine de a analiza probabiliaea de apariţie a unui anumi rezula al unui experimen, ese necesar să se idenifice ce rezulae sun posibile. Aceasa conduce la definirea spaţiului sărilor unui experimen. Spaţiul sărilor reprezină o mulţime, noaă în aces supor cu Ω, care conţine oae rezulaele posibile ale unui experimen. Alfel, la aruncarea unui zar, rezulaele posibile se referă la apariţia uneia din cele şase feţe ale acesuia. Ca urmare, în cazul experimenului care consă în aruncarea unui zar, {,,3,4,5,6 } Ω. Eniăţile fundamenale cărora li se aribuie probabiliăţi în cadrul eoriei probabiliăţilor sun submulţimi ale spaţiului sărilor. Un evenimen reprezină o submulţime a spaţiului sărilor, sau, alfel spus, reprezină o colecţie de elemene Page 3

12 posibile ale unui experimen. De exemplu, în cazul experimenului care consă în aruncarea unui zar, submulţimea { } zarului, iar submulţimea {,} A reprezină evenimenul că a apăru faţa a B reprezină evenimenul că a apăru faţa sau faţa a zarului. Trebuie menţiona fapul că nu orice submulţime a lui Ω ese un evenimen în sensul descris de căre eoria probabiliăţilor. Touşi, în cadrul acesui supor, de nivel inroduciv, nu se va analiza în amănun aceasă disincţie. Mulţimea uuror evenimenelor care po fi observae în urma derulării unui experimen poară numele de spaţiul evenimenelor şi ese noa cu F. Dacă A ese un evenimen, se noează cu A : Ω A evenimenul conrar al evenimenului A, acesa conţinând oae elemenele din spaţiul sărilor care nu se regăsesc în submulţimea A. Exisă două evenimene deosebie, respeciv evenimenul imposibil reprezena de mulţimea vidă ( ) şi evenimenul sigur, reprezena de mulţimea care conţine oae sările posibile, adică de căre spaţiul sărilor Ω. De exemplu, în cazul experimenului care consă în aruncarea unui zar, se consideră că ese imposibil ca zarul să rămână pe muchie şi, asfel, să nu apară nici o faţă. Ca urmare, ese sigur că va apărea cel puţin o faţă. Evenimenul imposibil ese evenimenul conrar al evenimenului sigur. Unul din obiecivele eoriei probabiliăţilor ese acela de a elabora o măsură cu care să se poaă cuanifica posibiliaea de apariţie a diverselor evenimene înglobae în spaţiul sărilor experimenului analiza. O funcţie de probabiliae ese o funcţie : F [,] P care îndeplineşe urmăoarele proprieăţi: ( Ω) P ; Penru orice n evenimene, A, A,..., An disjunce două câe două avem că P ( A A A ) P( A ) + P( A ) P( )... n A n. Un câmp de probabiliae, cunoscu şi sub numele de spaţiu de probabiliae, ese un riple (,F, P) Ω care ese forma din mulţimea uuror sărilor posibile, mulţimea uuror evenimenelor observabile şi o funcţie de probabiliae cu care se cuanifică posibiliaea de apariţie a acesor evenimene. Page 4

13 Înaine de realizarea unui experimen, evenimenul care ese absolu sigur să apară ese evenimenul Ω, deoarece rezulaul unui experimen rebuie să fie un elemen al spaţiului sărilor. In coninuare ese sudia efecul pe care informaţiile suplimenare privind apariţia unui evenimen îl au asupra probabiliăţii alor evenimene asociae experimenului analiza. În special, în cazul în care ese cunoscu fapul că rezulaul experimenului ese un elemen dinr-o submulţime B, a spaţiului sărilor, se pune problema idenificării caniaive a efecului acesei informaţii suplimenare asupra probabiliăţilor celorlale evenimene. Cum ar rebui să fie definiă probabiliaea unui evenimen A, având în vedere informaţiile suplimenare care araă că a avu loc evenimenul B? Asfel, ese convenabil să se inroducă noţiunea de probabiliae condiţionaă. Vom noa cu ( A B) P probabiliaea evenimenului A condiţionaă de evenimenul B. Avem P ( Ω B), dar, în plus, şi P ( B B), fiind eviden fapul că evenimenul B devine sigur condiţiona de informaţia suplimenară că aces evenimen a avu loc. Asfel, în mod inuiiv, rezulă fapul că P ( A B) ( A B) P( B) P. Probabiliaea condiţionaă poae fi uilizaă şi penru definirea, înr-o manieră inuiivă, a concepului de independenţă a două evenimene. Asfel, dacă evenimenul A ese independen de evenimenul B, aunci ese eviden că informaţia suplimenară generaă de apariţia evenimenului B nu poae aduce nici o îmbunăăţire în ceea ce priveşe cuanificarea posibiliăţii de apariţie a evenimenului A. Asfel, în aces caz rezulă că P ( A B) P( A). Mai exac, două evenimene A şi B se numesc independene dacă P ( A B) P( A) P( B). Trebuie evidenţia fapul că, dacă evenimenul A sau evenimenul B au probabiliae de apariţie zero, aunci ele sun independene. De asemenea, dacă două evenimene sun independene aunci şi evenimenele conrare vor fi independene înre ele. Page 5

14 . Tipuri de variabile aleaoare.. Variabile aleaoare unidimensionale Rezulaele mai mulor experimene sun exprimae în mod ineren sub formă de numere reale. De exemplu, măsurarea înălţimii sau a greuăţii unei persoane, sau observarea preţului şi a caniăţii de echilibru de pe o piaţă. Spaţiul sărilor asocia cu acese ipuri de experimene sun submulţimi ale mulţimii numerelor reale. Exisă, însă, şi experimene ale căror rezulae nu sun numere reale şi al căror spaţiu al sărilor nu ese în mod ineren o submulţime a unui spaţiu real. De exemplu, observarea rezulaului aruncării unei monede, care ese ban sau semă, observarea rezulaului aruncării unui zar, care ese una din cele şase feţe ale zarului, sau observarea dacă un elemen seleca dinr-un ansamblu ese defec sau nu. Ese aâ convenabil câ şi uil converirea acesor spaţii absrace înr-un subspaţiu forma din numere reale, conversie realizaă prin asocierea unui număr real penru fiecare rezula din spaţiul sărilor original. O asfel de procedură ar puea fi priviă ca o codificare a rezulaelor unui experimen prin diverse numere reale. În plus, ese posibil ca rezulaele unui experimen să nu poae fi de ineres direc înr-un cadru da; în schimb, s-ar puea să prezine ineres o anumiă combinaţie a acesora exprimaă prinr-un număr real. Concepul de variabilă aleaoare poae fi uiliza penru a caraceriza rezulaele unui experimen ca o submulţime de numere reale. Fie (,F, P) Ω un câmp de probabiliae. O variabilă aleaoare unidimensională în rapor cu (,F, P) Ω ese o funcţie definiă pe spaţiul sărilor ( Ω ) şi are valori numere reale, X : Ω R. Asfel, prin uilizarea concepului de variabilă aleaoare, oae experimenele cu rezulae univariae po fi inerpreae ca având spaţiul sărilor compus din elemene reale. Mai exac, spaţiul sărilor indus, R[X], reprezină o submulţime a unui spaţiu real. O variabilă aleaoare se numeşe variabilă aleaoare discreă dacă spaţiul sărilor indus, R[X], ese o mulţime finiă Page 6

15 sau numărabilă. Dacă spaţiul sărilor indus ese un inerval, aunci vorbim despre o variabilă aleaoare coninuă. Un avanaj major al uilizării doar a spaţiilor de sări cu valori reale consă în fapul că oae insrumenele maemaice elaborae penru sisemul numerelor reale sun disponibile aunci când se analizează proprieăţile unui asfel de spaţiu. În pracică, o daă ce câmpul de probabiliae indus a fos idenifica, câmpul de probabiliăţi iniţial (,F, P) Ω poae fi, în general, ignora în scopul definirii evenimenelor variabilelor aleaoare şi a probabiliăţii de apariţie a acesora. De fap, cel mai adesea se alege câmpul indus de probabiliae direc de la începuul unui experimen, acordând mai puţină aenţie câmpului de probabiliaea original. O simplificare imporană, în ceea ce priveşe analiza variabilelor aleaoare, ese realizaă prin inroducerea concepului de funcţie de repariţie. Asfel, funcţia de repariţie a unei variabile aleaoare X, cunoscuă în lieraura de specialiae sub prescurarea CDF (eng. Cumulaive Disribuion Funcion), ese o funcţie definiă pe mulţimea numerelor reale cu valori în mulţimea numerelor reale, F X R R : asfel încâ penru orice număr real x avem că F ( x) P( X x) X. Alfel spus, F X ( x) reprezină un număr care cuanifică probabiliaea evenimenului ca variabila aleaoare X să ia valori mai mici sau egale cu numărul real x. Dacă două variabile aleaoare X şi Y au proprieaea că F F se spune X Y că cele două variabile aleaoare sun idenic disribuie. Trebuie menţiona fapul că, dacă X ese variabilă aleaoare discreă, aunci F X nu ese funcţie coninuă, graficul funcţiei prezenând saluri. Pe de ală pare însă, dacă X ese o variabilă aleaoare coninuă, aunci se poae arăa că F X ese o funcţie coninuă. In cazul unei variabile aleaoare coninue, analiza aceseia se poae simplifica şi mai mul prin apelarea la concepul de funcţie de densiae de repariţie. Asfel, funcţia de densiae de repariţie a unei variabile aleaoare Page 7

16 coninue X, cunoscuă în lieraura de specialiae sub prescurarea PDF (eng. Probabiliy Disribuion Funcion), ese o funcţie definiă pe mulţimea numerelor reale cu valori în mulţimea numerelor reale, a număr real a avem că ( a) f ( x) F dx. X X f X : R R asfel încâ penru orice Eviews oferă posibiliaea de a afişa o varieae de aşa-numie grafice analiice (i.e. grafice rezulae prin prelucrarea saisică a daelor brue) Caracerisica cenrală a acesor grafice consă în fapul că afişează un rezuma al daelor originale. O clasă imporană de asfel de grafice sun cele care cuanifică vizual funcţia de densiae de repariţie a unei variabile aleaoare, calculaă uilizând o serie de dae privind realizările respecivei variabile aleaoare. Penru a afişa un asfel de grafic se uilizează opţiunea Graph. In cadrul căsuţei de dialog care ese afişaă se selecează ipul graficului Disribuion, iar în zona Deails se precizează ipul de grafic de disribuţie dori, cum ar fi hisogramă (Hisogram), grafic de disribuţie deermina prin funcţii de Page 8

17 ip ernel (Kernel Densiy) sau grafic de disribuţie deermina prin uilizare unui model parameric (Theoreical Disribuion). Asfel, în figura de mai jos sun prezenae două grafice de ip disribuţie deerminae pe baza aceloraşi dae, respeciv o hisogramă şi o funcţie de densiae de repariţie asociaă unei variabile disribuiă normal. O variabilă aleaoare X are o disribuţie normală cu medie μ şi varianţă σ, noaă cu X ~ Φ ( μ, σ ), dacă funcţia de densiae de repariţie ese daă de formula: x μ σ f ( x) e. X σ π Densiy.6 Densiy Un grafic de densiae de repariţie oferă informaţii în ceea ce priveşe probabiliaea de apariţie a anumior evenimene. Asfel, se observă că ese mai probabil ca variabila aleaoare consideraă să ia valori în jurul valorii de 3,5 decâ să ia valori în jurul valorii de,5 sau în jurul valorii de 4,5... Variabile aleaoare mulidimensionale În secţiunea precedenă a acesui capiol, a fos analiza concepul de variabilă aleaoare unidimensională, pe spaţiul sărilor fiind definiă numai o funcţie reală. Concepul unei variabilă aleaoare mulidimensională ese o exensie a concepului variabilei aleaoare unidimensională, pe spaţiul sărilor experimenului analiza fiind definie două sau mai mule funcţii reale. Concepul Page 9

18 de variabilă aleaoare mulidimensională se aplică în mod firesc şi, în general, oricărui experimen în care, penru fiecare rezula al experimenului, sun observae două sau mai mule caracerisici. Fie (,F, P) mulidimensională în rapor cu ( Ω,F, P) Ω un câmp de probabiliae. O variabilă aleaoare, cunoscu şi sub denumirea de vecor aleaoriu, ese definiă ca o funcţie pe spaţiul sărilor ( Ω ) şi cu valori vecori având componene numere reale, X X Ω R n :. In cadrul acesui supor ne vom limia aenţia asupra cazului bidimensional, ( ) X, X. Ca şi în cazul unidimensional, se poae consrui un câmp de probabiliae indus de vecorul aleaor, unde spaţiul sărilor, R[X], ese o submulţime formaă din perechi de numere reale. Ne vom concenra aenţia asupra variabilelor aleaoare mulidimensionale coninue caracerizae prin fapul că R[X] ese formaă din produse careziene dinre două inervale (i.e. drepunghiuri). In mod analog cu cazul unidimensional, se poae defini funcţia de repariţie a unui vecor aleaor, F X : R R asfel încâ avem că F ( x, x ) P( X x, X x ) penru orice vecor real ( x ). Alfel spus, ( ) X, x F x, x X reprezină un număr care cuanifică probabiliaea evenimenului ca, în acelaşi imp, variabila aleaoare X să ia valori mai mici sau egale cu numărul real x şi variabila aleaoare X să ia valori mai mici sau egale cu numărul real x. De asemenea, se poae defini funcţia de densiae de repariţie a unui vecor aleaor X, X a a f X ( a, a ) f ( x x ) F dx dx. X, : R R asfel încâ, penru orice vecor real ( a ) avem că In cazul analizei vecorilor bidimensionali ese de ineres să se exragă informaţii cu privire la una din componenele acesui vecor. Aces lucru se poae realiza prin inermediul repariţiei marginale a unui vecor aleaor. Asfel, se poae defini funcţia de repariţie marginală a unei componene a unui vecor aleaor (de exemplu componena ) ca fiind o funcţie cu caracerisici asemănăoare,a Page

19 funcţiei de repariţie a unei variabile aleaoare, orice număr real F X x avem că F ( x ) lim F ( x ) X, X x x : R R, asfel încâ penru. De asemenea, exisă o funcţie de densiae de repariţie marginală a unei componene a unui vecor aleaor, f X : R R, unde f ( ) ( ) ( ) X a FX a f X x, x dxdx. a Eviews permie vizualizarea funcţiei de densiae bidimensională, precum şi a funcţiilor de densiae marginală penru un vecor forma din două componene. Programul economeric cuanifică acese funcţii uilizând seriile de dae privind realizările respecivelor variabile aleaoare. Penru realizarea unui asfel de grafic se selecează cele două serii şi se uilizează opţiunea Open as Group, după care se uilizează opţiunea Graph cu seările din figura de mai jos. Mai exac, în cadrul căsuţei de dialog care ese afişaă se selecează ipul graficului Scaer, iar în zona Deails se precizează că se doreşe afişarea Page

20 disribuţiilor marginale prin selecarea în căsuţa Axis borders a opţiunii Hisogram. Asfel, în figura de mai jos sun prezenae, pe acelaşi grafic densiaea de repariţie bidimensională prin inermediul unui nor de punce şi prin elipse care demarchează anumie zone de probabiliae; densiăţile de repariţie marginală, penru cele două variabile aleaoare din componenţă vecorului aleaoriu, prin inermediul a două hisograme Aces grafic de densiae de repariţie oferă informaţii în ceea ce priveşe probabiliaea de apariţie, în acelaşi imp, al unor valori penru cele două variabile aleaoare. Asfel, ese puţin probabil ca variabila (reprezenaă pe orizonală) să ia valori în jur de,5 şi, în acelaşi imp, variabila (reprezenaă pe vericală) să ia valori în jur de 4. In schimb, ese mai probabil ca variabila să ia valori în jur de 3,5 şi, în acelaşi imp, variabila să ia valori în jur de 55. Un al aspec imporan, în ceea ce priveşe vecorii aleaori, se referă la concepul de repariţie condiţionaă a unei componene a vecorului în rapor cu o ală componenă a acesuia. Page

21 Să presupunem că se cunoaşe câmpul de probabiliae corespunzăor unui experimen care implică rezulaele unei variabile aleaoare bidimensională ( ) X X, X şi se urmăreşe analiza probabiliăţilor evenimenului X A da fiind fapul că X B. Aces aspec poae fi analiza prin inermediul funcţiei de densiae de repariţie condiţionaă a componenei a vecorului în rapor cu componena a acesuia. Aceasa ese o funcţie cu valori reale, f X X : R R şi se poae deermina uilizând funcţia de densiae a înregului vecor şi funcţia de densiae marginală a componenei, respeciv f ( x x ) f ( x, x ) ( x ) X X X. De f X asemenea, se poae defini şi funcţia de repariţie condiţionaă a componenei a vecorului în rapor cu componena, ca fiind o funcţie ( x x ) f ( u x ) X X X X x F du. F X X : R R, unde Noţiunea de repariţie condiţionaă dinre două variabile aleaoare, sau echivalen înre două componene ale unui vecor aleaor, poae fi uilizaă şi penru definirea, înr-o manieră inuiivă, a concepului de independenţă a două variabile aleaoare. Asfel, dacă variabila aleaoare X ese independenă de variabila aleaoare X, aunci ese eviden că informaţia suplimenară generaă de apariţia unei realizări a variabila X, nu poae aduce nici o îmbunăăţire în ceea ce priveşe cuanificarea posibiliăţii de apariţie a unei realizări a variabilei aleaoare X. Asfel, în aces caz, rezulă că f ( x x ) f ( ) X X x X. Mai exac, două variabile aleaoare X şi X se numesc independene dacă f ( x, x ) f ( x ) f ( x ) X X X. Variabile aleaoare X,..., X X n se numesc i.i.d. (independene şi idenic disribuie) dacă sun independene şi F X FX... FX. n Page 3

22 .3 Saisici descripive In Eviews, opţiunea Hisogram and Sas afişează disribuţia de frecvenţă a seriei analizae sub forma unei hisograme. Hisograma împare diamerul seriei (i.e. disanţa înre valorile maxime şi minime), în mai mule inervale de lungime egală şi afişează numărul de observaţii care se încadrează în fiecare inerval. Lângă hisogramă sun afişae o serie de saisici descripive, care numere care oferă o imagine de ansamblu asupra disribuţiei seriei analizae. Mean reprezină media seriei de dae, obţinuă prin însumarea uuror valorilor şi împărţirea la numărul de observaţii. Median reprezină mediana seriei de dae, definiă ca fiind valoarea din mijlocul seriei aunci când valorile aceseia sun ordonae în ordine crescăoare. Mediana ese o măsură robusă a endinţei cenrale, fiind mai puţin sensibilă faţă de valori aberane decâ media. Max şi Min reprezină valoarea maximă şi, respeciv, minimă înregisraă de serie penru eşanionul curen. Sd. Dev. reprezină abaerea sandard, care, aşa cum s-a mai discua, ese o măsură a dispersiei sau a împrăşierii valorilor seriei faţă de medie. Page 4

23 Sewness ese o măsură a asimeriei funcţiei de densiae de repariţie a seriei în jurul valorii sale medie. Aces indicaor se după formula: N y i y S N i σ unde σ ese un esimaor penru abaerea sandard. Saisica sewness penru o disribuţie simerică, cum ar fi disribuţia normală, ese înodeauna zero. O valoare poziivă semnifică fapul că disribuţia are coada din parea dreapă mai lungă, iar o valoare negaivă implică fapul că disribuţia are coada din parea sângă mai lungă. Kurosis ese o măsură a ampliudinii funcţiei de densiae, a aplaizării aceseia în rapor cu funcţia de densiae a disribuţiei normale. Aceasă saisică se calculează după formula: N y i y K N i σ Valoarea acesei saisici penru o serie disribuiă normal ese 3. Dacă saisica înregisrează o valoare mai mare decâ 3, se spune că disribuţia ese lepourică, iar dacă are o valoare mai mică decâ 3, disribuţia ese plaiurică. 4 Page 5

24 Noţiuni privind saisica maemaică În aces capiol, ne vom îndrepa aenţia asupra unor concepe şi meode care sun legae în mod explici de problema de inferenţă saisică. Insrumenele eoriei probabiliăţilor, prezenae în capiolul preceden, se uilizează, în principal, la analiza unor înrebări precum: "Având în vedere un câmp de probabiliae, ce se poae deduce despre caracerisicile rezulae ale unui experimen?'' Pe de ală pare însă, inferenţa saisică va analiza aceasă înrebare dinr-o ală perspecivă: "Având în vedere caracerisicile rezulaelor unui experimen, ce puem deduce despre câmpul de probabiliae care a genera acese rezulae?". Termenul de inferenţă saisică se referă la procesul induciv de generare de informaţii cu privire la caracerisicile unei populaţii din lumea reală sau unui proces, prin analizarea unui eşanion de obiece, de rezulae din cadrul populaţiei respecive sau al procesului respeciv. Problemele de inferenţă saisică implică analiza unor observaţii legae de eşanioane privind o populaţie sau un proces, dar care, în cele din urmă, conduce la concluzii în ceea ce priveşe caracerisicile înregii populaţii.. Comporamenul asimpoic al variabilelor aleaoare În cadrul acesei secţiuni se analizează o serie de rezulae referioare la caracerisicilor funcţiilor care depind de n variabile aleaoare aunci când n ese mare. În anumie cazuri, anumie ipuri de funcţii care depind de n variabile aleaoare po converge în diverse moduri căre o consană, sau căre o disribuţie limiă. Exisă o serie de moive care induc imporanţa sudiului "comporamenului asimpoic" al unei serii de variabile aleaoare. În pracică, asfel de funcţii care depind de n variabile aleaoare sun uilizae penru esimarea paramerilor unui model macro-economeric sau penru esarea ipoezelor. In aces Page 6

25 caz, n reprezină numărul de observaţii disponibile referioare la experimenul care ese analiza. Penru a puea evalua şi compara proprieăţile acesor proceduri saisice, şi chiar penru a puea defini meode de esimare sau de esare a ipoezelor saisice ese necesar să se sabilească caracerisicile unei funcţii care depinde de un număr mare de variabile aleaoare. Din păcae, deseori în pracica saisică şi economerică se înâmplă ca densiaea de probabiliae reală a unei asfel de combinaţii să fie prea dificil de deermina în forma analiică. Teoria asimpoică idenifică meode care furnizează aproximări porivie ale disribuţiei de probabiliae aunci când n ese suficien de mare, şi, prin urmare oferă, de asemenea, un mijloc de evaluare, comparare, precum şi de definire a diverse proceduri de inferenţă saisică. O diferenţă fundamenală înre o serie de numere reale şi o serie de variabile aleaoare se referă la fapul că elemenele din cea de a doua serie cuprinde variabile aleaoare care po lua diverse valori în mulţimea numerelor reale. Având în vedere că seria ese aleaoare, înrebările referioare la convergenţă şi mărginire nu po fi verificae ca fiind fără echivoc adevărae sau false, aşa cum se înâmplă în cazul unui şir de numere reale, dar lor li se poae aribui o probabiliae de apariţie, în conexul câmpului de probabiliae asocia evenimenului analiza. Concepul de convergenţă în disribuţie analizează dacă şirul de funcţii de repariţie asocia şirului de variabile aleaoare converge sau nu căre o funcţie de repariţie limiă. În mule cazuri de ineres pracic, convergenţa în disribuţie poae fi, de asemenea, caracerizaă în ermeni de convergenţă a unei serii de funcţii de densiae căre o funcţie de densiae limiă. Uiliaea concepului rezidă în capaciaea de a obţine o aproximare a funcţiei de repariţie sau de densiae, aunci când n ese suficien de mare (unde "suficien de mare" înseamnă că funcţiile de repariţie asociae variabilelor din şir CDF sun aproape funcţia de repariţie limiă). O asfel de aproximare ese exrem de uilă aunci când formula analiică a funcţiei de repariţie/densiae ese foare dificil, sau imposibil, de deermina, însă Page 7

26 aproximarea oferiă de funcţia de repariţie limiă ese mai uşor de defini sau analiza. În sensul cel mai general al ermenului, o disribuţie asimpoică penru o funcţie care depinde de n variabile aleaoare ese o disribuţie, care oferă o aproximare a disribuţiei reale a acesei funcţii aunci când n ese mare (i.e. inde la infini). În aces caz, dacă şirul are o disribuţie limiă, deoarece aceasă disribuţie limiă poae fi inerpreaă ca o aproximare a disribuţiei reale a funcţiei penru n mare, disribuţia limiă poae fi consideraă ca fiind o disribuţie asimpoică a funcţiei respecive, ce depinde de un număr mare de variabile aleaoare. Concepul de convergenţă în probabiliae invocă înrebarea dacă rezulaele variabilelor aleaoare din cadrul şirului sun aproape de rezulaele unei variabile aleaoare limiă, cu grad ridica de probabiliae, aunci când n ese suficien de mare. În caz afirmaiv, rezulaele penru aceasă variabilă aleaoare limiă po servi ca o aproximare a rezulaelor variabilei aleaoare din cadrul şirului, penru n suficien de mare. Celelale două ipuri de disribuţii prezină o imporanţă mai mică în analiza economerică şi, ca urmare, nu vor fi analizae în profunzime. Fie ( Ω,F, P) un câmp de probabiliae şi ( n ) n cu E[ X ] μ, σ[ X ] n n X variabile aleaoare i.i.d. σ. Teorema numerelor mari se referă la convergenţa şirului forma din media arimeică a n variabile aleaoare i.i.d. Mai precis, p. X+ X X eorema numerelor mari ese reflecaă în formula n μ. De n asemenea, se poae obţine o caracerizare în ceea ce priveşe modul de convergenţă al seriei formae din media arimeică a n variabile aleaoare i.i.d. Aces lucru ese X+ X X n n σ μ descris de eorema limiă cenrală, respeciv Φ (,) n mod echivalen, eorema limiă cenrală araă fapul că şirul sudia are o d. In Page 8

27 disribuţie asimpoică descrisă de căre o disribuţie normală, X+ X X a n σ ~ Φ μ,. n n Disribuţia normală ese des înâlniă în inferenţa saisică. O variabilă aleaoare disribuiă normal cu medie şi varianţă se spune că are o disribuţie normală sandard. Ale disribuţii înâlnie în analiza asimpoică a variabilelor aleaoare sun disribuţia χ (cii hi păra) şi disribuţia Suden sau. Valorile funcţiilor de repariţie penru oae acese disribuţii se po obţine din abele specializae care se găsesc în cărţile de saisică şi economerie, sau po fi calculae cu ajuorul programului Eviews. In aces momen, ciiorul se poae înreba de ce problema pariculară privind convergenţa în disribuţie sau în probabiliae, definie mai sus, meriă o asfel de aenţie în mod explici. Răspunsul ese da de fapul că un număr mare de proceduri de esimare a paramerilor şi de esare a ipoezelor în economerie şi saisică sun definie ca funcţii de variabile aleaoare.. Esimaori saisici Problema de esimare examinaă în aceasă secţiune se concenrează asupra esimării, deerminării valorii unor parameri necunoscuţi sau a unor funcţii care depind de aceşi parameri, şi care reprezină caracerisici de ineres legae de câmpul de probabiliae asocia unui se de experimene din domeniul economic, sociologic sau al şiinţelor naurale. Rezulaele generae de aceasă colecţie de experimene se presupun a fi rezulaele unui eşanion aleaor, cu o funcţie de densiae de repariţie care depinde de un parameru, a cărei valoare nu ese cunoscuă, dar care se doreşe a fi deerminaă. Trebuie menţiona, că eşanionul aleaor nu rebuie să fie o colecţie de variabile aleaoare i.i.d. Obiecivul procedurilor de esimare saisică consă în deerminarea unei combinaţii înre variabilele aleaoare din eşanion (i.e. o funcţie care depinde de acesea) care să Page 9

28 posede o serie de proprieăţi şi care să îl facă uil penru a deduce caracerisicile de ineres necunoscue. Un model saisic penru un eşanion aleaoriu consă înr-o funcţie de densiae de repariţie a eşanionului care depinde de un parameru care poae lua valori înr-un spaţiu bine deermina, acesa definind seul de poenţiali candidaţi penru densiaea adevăraă a eşanionului. Modelul saisic prezină conexul probabilisic în care are loc procedura de esimare paramerică. Odaă ce modelul saisic a fos specifica, cenrul de ineres cade pe esimarea valorilor unor (sau uuror) parameri, sau pe esimarea valorilor unor funcţii care depind de paramerii problemei. O saisică reprezină o funcţie care depinde de variabilele aleaoare din cadrul modelului saisic analiza. Trebuie sublinia fapul că, fiind o combinaţie de variabile aleaoare, o saisică ese la rândul ei o variabilă aleaoare. Ca urmare, o saisică ese caracerizaă prinr-o funcţie de repariţie, prinr-o funcţia de densiae de repariţie şi i se poae calcula media şi varianţa. Un esimaor ese o saisică uilizaă cu scopul de a esima paramerul sau vecorul de parameri asocia modelului saisic de ineres. Deci, esimaorul ese o variabilă aleaoare. O realizare a acesei variabile aleaoare, obţinuă penru un se specific de dae, poară numele de esimare a paramerului respeciv. Fiind o variabilă aleaoare, un esimaor ese caraceriza de o funcţie de densiae de repariţie şi de o funcţie de repariţie, iar unui esimaor i se poae calcula media şi varianţa. Abaerea medie păraică a unui esimaor poară numele de eroarea sandard (en. sandard error) asociaă esimaorului. Deerminarea de esimaori buni consiuie unul din obiecivele saisicii maemaice şi, în special, al economeriei. Esimaorii sun comparaţi pe baza unei serii de caracerisici. Proprieăţile de ip small sample sun acele proprieăţi valabile indiferen de mărimea eşanionului disponibil. Proprieăţile de ip large sample sun valabile asimpoic, adică în cazul în care mărimea eşanionului ese foare mare, inzând la infini. În aces caz, esimaorii sun Page 3

29 comparaţi pe baza disribuţiei lor asimpoice. Un esimaor nedeplasa are proprieaea că media sa ese egală cu valoarea reală a paramerului care se doreşe esima. Proprieaea de nedeplasare ese o proprieae de ip small sample. Un esimaor consisen are proprieaea că acesa converge în probabiliae căre valoarea reală a paramerului. Proprieaea de consisenţă ese o proprieae de ip large sample. In general, se consideră că un esimaor ese bun dacă ese consisen. Esimaorii, aşa cum s-a mai preciza, sun variabile aleaoare şi, ca urmare, acesora li se poae calcula varianţa. Dinre doi esimaori care sun buni, adică sun consisenţi, ese mai bun esimaorul cu varianţă mai mică. Esimaorul care ese caraceriza prin fapul că are cea mai mică varianţă, în cadrul unei clase de esimaori ai aceluiaşi parameru, poae fi considera cel mai bun esimaor şi poară denumirea de esimaor eficien. Exisă o serie de meode de esimare saisică care generează esimaori buni (i.e. nedeplasaţi şi/sau consisenţi), dinre care menţionăm MLE (Maximum Lielihood Esimaion), GMM (Generalized Mehod of Momens) şi LS (Leas Squares). De exemplu, paramerii unei ecuaţii de regresie po fi esimaţi, în mod consisen, prin una din acese meode, în funcţiile de seul de ipoeze de la care se porneşe. Trebuie menţiona fapul că MLE ese singura meodă de esimare care asigură obţinerea celor mai buni esimaori (i.e. consisenţi şi eficienţi)..3 Tese saisice Al doilea grup imporan de proceduri de inferenţă saisică se referă la esarea ipoezelor saisice. Procedurile de esare se bazează pe consruirea unei saisici pe baza unui eşanion, care va permie analisului să decidă, cu o probabiliae rezonabilă, dacă daele din eşanion ar fi fos generae de un proces care ese caraceriza de o anumiă proprieae esaă. Procedura implică o specificare a acesei ipoeze, denumiă, de obicei, ipoeza nulă, precum şi a unei ipoeze alernaive, noae convenţional cu H şi, respeciv H. Procedura de esare în sine consă în deerminarea unei reguli, bazaă pe calculul unei saisici, Page 3

30 care dicează dacă ipoeza nulă ar rebui să fie respinsă sau nu. De exemplu, ipoeza nulă ar puea fi că un parameru ese egal cu o valoare specificaă. O posibilă regulă de decizie poae afirma că ipoeza rebuie să fie respinsă în cazul în care o esimare a acesui parameru ese prea depare de aceasă valoare specificaă. Insă regula, procedura de esare nu ese infailibilă, puând genera erori. Exisă două ipuri de erori care po apărea aunci când se efecuează un es saisic: eroarea de ip I - procedura de esare respinge ipoeza nulă a esului, aunci când aceasa, în realiae, ese adevăraă; eroarea de ip II - procedura de esare accepă (nu respinge) ipoeza nulă a esului, aunci când aceasa, in realiae, ese falsă; Nivelul de semnificaţie al unui es saisic ese probabiliaea ca procedura de esare să respingă ipoeza nulă a esului, aunci când aceasa ese adevăraă sau, alfel spus, reprezină probabiliaea de apariţie a unei erori de ip I. Nivelul de semnificaţie marginală a unui es se numeşe p-value. Având la dispoziţie p-value asocia unui es, se poae spune rapid dacă se respinge sau se accepă ipoeza nulă. In cazul marii majoriăţi a eselor puse la dispoziţie de căre EViews, acesa calculează p-value şi asfel inerprearea rezulaelor esului respeciv ese relaiv simplă. Eviews po fi uiliza penru a realiza ese saisice privind media, mediana şi varianţa unei serii de dae. Se selecează View/Descripive Saisics & Tess/Simple Hypohesis Tess şi se va afişa căsuţa de dialog Series Disribuion Tess. Opţiunea Mean Tes efecuează un es care are ca ipoeză nulă că media seriei ( μ ) ese egală cu o valoare specificaă m, iar ca ipoeză alernaivă că media nu ese egală cu m: H : μ m, H : μ m Page 3

31 Dacă nu se specifică deviaţia sandard a seriei analizae, care de obicei nu ese cunoscuă, EViews raporează o saisică calcula asfel: X m s N unde X reprezină media de selecţie a eşanionului, s ese un esimaor nedeplasa penru deviaţia sandard a eşanionului şi N ese numărul de observaţii în cadrul eşanionului. Dacă X ese normal disribui, sub ipoeza nulă, saisica urmează o disribuţie Suden- cu N- grade de liberae. Chiar şi în cazul în care X nu are o disribuţie normală, se poae realiza esarea ipoezei respecive, deoarece saisica are o disribuţie asimpoică normală sandard, puându-se vorbi în aces caz de un es z. Penru a efecua un es de medie, se esează valoarea mediei sub ipoeza nulă în câmpul ediabil Mean. Dacă se doreşe calcularea saisicii condiţionae penru o deviere sandard cunoscuă, de asemenea, se esează o valoare penru abaerea sandard în câmpul de ediare corespunzăor. Valoarea probabiliăţii raporae ese de fap un p-value, sau nivelul de semnificaţie marginal faţă de ipoeza alernaivă. Dacă aceasă valoare a probabiliăţii ese mai mică decâ nivelul de semnificaţie fixa esului, să spunem 5%, vom respinge ipoeza nulă. Page 33

32 Un al es des înâlni în pracică ese esul Jarque-Bera uiliza penru a verifica dacă o serie de dae ese disribuiă normal. Ipoeza nulă a acesui es consă în fapul că seria ese normal disribuiă. Saisica ese o măsură a disanţei dinre indicaorii Sewness şi Kurosis ai seriei analizae faţă de cele ale disribuţiei normale. Saisica se calculează asfel: ( K ) N JB S unde S ese indicaorul Sewness, iar K ese indicaorul Kurosis. Sub ipoeza nulă a unei disribuţii normale, saisica Jarque-Bera ese disribuiă χ cu grade de liberae. In Eviews, penru a efecua un es Jarque-Bera, se alege opţiunea Hisogram and Sas. Probabiliaea raporaă reprezină p-value asocia esului, adică ese probabiliaea ca saisica Jarque-Bera să depăşească (în valoare absoluă), valoarea observaă sub ipoeza nulă. O valoare mică penru p-value indică respingerea ipoezei nule că seria are o disribuţie normală. Page 34

33 3 Modelul clasic de regresie liniară Modelul clasic de regresie liniară reprezină una dinre ehnicile saisice cele mai versaile şi mai des uilizae în analiza economică, şi nu numai. In coninuare, sun descrise şi analizae ehnicile de regresie puse la dispoziţie de căre programul economeric Eviews: specificarea şi esimarea unui model de regresie, efecuarea de analize simple de diagnosic şi uilizarea rezulaelor esimării în analize suplimenare. 3. Ipoezele modelului clasic de regresie Modelul clasic de regresie liniară presupune o ca sun îndeplinie o serie de ipoeze. Validiaea rezulaelor unei regresii ese srâns legaa de validiaea ipoezelor presupuse. Ipoeza (I). Inre variabila dependenă (y) şi variabila independenă (x) exisă o relaţie liniară. Insă, daoriă fapului că po exisa şi alţi facori de influenţă, aceasă relaţie nu ese deerminisă ci are loc în medie. Facorii care nu au fos luaţi în considerare, în mod explici, îşi manifesă influenţă prin inermediul unei variabile reziduale, ε. Asfel, modelul presupune că exisă urmăoarea relaţie: y i + βx i β + ε Ipoeza ese o ipoeză fundamenală, fără îndeplinirea căreia nu se poae discua despre un model liniar de regresie. In cazul în care se uilizează mai mulţi facori de influenţă, folosind o noaţie maricială, o ecuaţie de regresie liniară (mulidimensională) poae fi scrisă sub forma: y Xβ + ε unde y ese un vecor N-dimensional care conţine observaţiile privind variabila dependenă, X ese o marice de dimensiune N x K cu variabile i Page 35

34 independene sau explicaive, β ese un vecor K dimensional al coeficienţilor de regresie şi ε ese un vecor N dimensional reprezenând inovaţiile asociae ecuaţiei, adică aceea componenă din dinamica variabilei dependene care nu ese capaă de căre cele K variabile independene. N reprezină numărul de observaţii, iar K ese numărul de regresori (variabile explicaive) din parea dreapă a ecuaţiei. Ipoeza (I). Variabila explicaivă, x, ese exogenă, în sensul că nu ese corelaă cu variabila reziduală: (, ) COV ε. Ipoeza ese o ipoeză esenţială, ne-îndeplinirea aceseia conducând la invalidarea a mule rezulae privind modelul liniar de regresie şi generând aşa numia problemă de endogeniae care va fi analizaă în cadrul Capiolului 5. Ipoeza 3 (I3). Variabilele reziduale, cunoscue şi sub denumirea de reziduuri, inovaţii sau erori, sun sferice, adică sun homosedasice şi nu sun auocorelae. Homosedasiciaea se referă la fapul că oae variabilele reziduale care apar au aceeaşi varianţă: sun corelae: x i ( ε ) σ VAR. i Lipsa auocorelării se referă la fapul că oricare două variabile reziduale nu i (, ε ) COV ε. Ipoeza 3 ese o ipoeză imporană, ne-îndeplinirea aceseia conducând la invalidarea a unor rezulae privind modelul liniar de regresie şi generând aşa numiele problemă de heerosedasiciae şi problemă de auocorelare care vor fi analizae în cadrul Capiolului 4. Ipoeza 4 (I4). Variabilele reziduale au o disribuţie normală. Ipoeza 4 ese o ipoeză mai puţin imporană decâ celelale rei ipoeze analizae. Ne-îndeplinirea aceseia nu conduce la invalidarea rezulaelor imporane privind esimare şi inferenţa modelului liniar de regresie. i j Page 36

35 3. Esimaorul OLS Esimaorul OLS presupune minimizarea disanei dinre valoarea efecivă a variabilei dependene si cea presupusa de căre relaţia liniară care exisă înre aceasa şi variabila explicaivă. Alfel spus, meoda celor mai mici părae presupune fapul că paramerii modelului se deermină asfel încâ sa se minimizeze disanţa dinre norul de punce reprezena de observaţiile efecive şi o dreapă care aproximează cel mai bine relaţia dinre variabila dependenă şi cea independenă. Ca orice esimaor, esimaorul OLS ese o variabilă aleaoare, o procedură de deerminare a valorilor paramerilor modelului liniar de regresie. Proprieăţile esimaorului OLS depind de gradul de îndeplinire a ipoezelor modelului clasic de regresie. Dacă sun îndeplinie ipoezele I, I, I3, I4 esimaorul OLS ese cel mai bun esimaor posibil, în sensul că ese consisen şi eficien. De asemenea, acesa are o disribuţie normală. Dacă sun îndeplinie doar ipoezele I, I, I3 esimaorul OLS ese, în coninuare, un esimaor bun, dar nu mai ese cel mai bun esimaor posibil, în sensul că ese consisen, dar nu ese eficien. De asemenea, în acese condiţii, esimaorul OLS are o disribuţie asimpoic normală. Esimarea unei ecuaţii de regresie se realizează în Eviews cu ajuorul unui obiec de ip equaion. Penru a crea un asfel de obiec rebuie să selecaţi Objec/New Objec.../Equaion sau Quic/Esimae Equaion din meniul principal. În coninuare, va fi afişaă casea de dialog Equaion Esimaion. In cadrul acesei casee de dialog ese necesară precizarea a rei aspece: specificaţiile ecuaţiei, meoda de esimare şi eşanionul care urmează să fie uiliza în esimare. Page 37

36 Cea mai simplă modaliae de a specifica o ecuaţie liniară de regresie, ese de a preciza lisa variabilelor care se doresc a fi uilizae în ecuaţie. În primul rând, rebuie să includă numele variabilei dependene, urmaă de o lisă a variabilelor explicaive. Având specificaă ecuaţia, în coninuare rebuie aleasă o meodă de esimare. Prin apăsarea pe lisa de opţiuni Mehod se va observa un meniu lisă cu meode de esimare. In cadrul modelului clasic de regresie esimarea se realizează cu ajuorul meodei celor mai mici părae (OLS). Ale meode de esimare vor fi analizae în capiolele ulerioare. Eviews oferă o serie de opţiuni de esimare. Acese opţiuni permi esimarea ecuaţiei, mai exac de calculul de erori sandard care sun robuse faţă de abaerile ipoezelor modelului clasic, abaeri legae de exisenţa heerosedasiciăţii şi/sau a auocorelării inovaţiilor. Acese opţiuni de esimare a erorilor sandard sun discuae în capiolul urmăor. Prin apăsarea buonului din căsuţa de dialog Equaion Esimaion, Eviews afişează o fereasră care conţine un ecran cu rezulaele esimării: Page 38

37 Coloana denumiă Coefficien descrie coeficienţii esimaţi. Esimaorul OLS penru coeficienţii ecuaţiei de regresie ese calcula prin formula: ( X X ) X y b Coloana denumiă Variable precizează numele variabilei căreia îi corespunde paramerul din coloana alăuraă. Fiecare parameru asfel esima măsoară conribuţia marginală a variabilei independene respecive asupra variabilei dependenă, în condiţiile în care oae celelale variabile explicaive nu îşi modifică valorile. Daca ese prezen, coeficienul asocia variabilei denumiă C ese, de fap, consana din ecuaţia de regresie, reprezenând nivelul mediu al variabilei dependene aunci când oae variabile independene sun zero. Ceilalţi paramerii po fi inerpreaţi ca fiind indicaori de senziiviae ai relaţiei dinre variabila independenă corespunzăoare şi variabila dependenă, presupunând că valorile uuror celorlale variabile nu se modifică. Page 39

38 3.3 Inferenţa saisică a modelului clasic de regresie Coloana denumiă Sd. Error prezină erorile sandard esimae ale esimărilor coeficienţilor ecuaţiei de regresie. Erorile sandard măsoară fiabiliaea saisică a esimării unui parameru cu câ sun mai mari erorile sandard, cu aâ ese mai mul zgomo saisic în esimări. Maricea de varianţăcovarianţa a coeficienţilor esimaţi, în cazul esimaorului OLS, se calculează asfel: COV ( b) s ( X X ), s ˆ ˆ ε /( N K ) ε, εˆ y Xb unde εˆ reprezină reziduul ecuaţiei. Erorile sandard ale coeficienţilor esimaţi sun rădăcinile părae ale elemenelor de pe diagonala maricei de varianţă-covarianţă a coeficienţilor. Înreaga marice de varianţă-covarianţă se poae vizualiza prin uilizarea opţiunii View/Covariance Marix. Coloana denumiă -saisic prezină saisica esului care se calculează ca raporul dinre mărimea coeficienul esima şi eroarea sa sandard şi ese uiliza penru a esa ipoeza nulă că respecivul coeficien ese egal cu zero. Penru a inerprea valoarea saisicii, rebuie să se examineze probabiliaea de a observa aceasă valoarea a saisicii având în vedere că respecivul coeficien ese, în realiae, egal cu zero. Aceasă probabiliae ese descrisă în coninuare. Ulima coloană a ecranului cu rezulae, numiă Prob., prezină probabiliaea de a obţine o valoare eoreică a saisicii la fel de mare în modul ca cea observaă în urma calculării aceseia penru eşanionul considera. Calculul acesei probabiliăţi se realizează plecându-se de la ipoeza că erorile sun normal disribuie sau că esimaorul considera are o disribuţie asimpoică normală. De exemplu, în cazul în care inovaţiile sun disribuie normal, saisica are o disribuţie de ip Suden- cu N-K grade de liberae. Aceasă probabiliae ese, de asemenea, cunoscuă sub numele de p-value şi reprezină nivelul de semnificaţie marginală a esului. Având la dispoziţie p- value asocia acesui es, se poae spune rapid dacă se respinge sau se accepă Page 4

39 ipoeza nulă conform căreia coeficienul ese zero, faţă de ipoeza alernaivă care presupune că paramerul ese diferi de la zero. De exemplu, dacă se doreşe efecuarea esului la un nivel de semnificaţie de 5%, un p-valoare mai mic de 5% poae fi considera o dovadă penru a respinge ipoeza nulă conform căreia paramerul respeciv ese zero. Saisica R-squared măsoară succesul cu care ecuaţia de regresie esimaă reuşeşe să explice valoarea variabilei dependene în cadrul eşanionului. În mod normal, aceasă saisică poae fi inerpreaă ca fracţiunea din varianţa variabilei dependene explicaă de variabilele independene. Saisica ese egală cu în cazul în care ecuaţia de regresie se poriveşe perfec şi zero în cazul în care nu se poriveşe mai bine decâ media variabilei dependene. O problemă majoră în ceea ce priveşe uilizarea saisicii R-squared, ca o măsură a porivirii modelului la daele disponibile, se referă la fapul că valoarea acesei saisici nu scade niciodaă pe măsură ce se adaugă mai mulţi regresori. Asfel, în cazuri exreme, se poae obţine o saisică egală cu dacă se includ aâ de mulţi regresori independenţi, câe observaţii sun în eşanion. Saisica Adjused R-squared reprezină o alernaivă, aceasa având avanajul că penalizează adăugarea de regresori care nu conribuie la puerea explicaivă a modelului. Asfel, aceasă saisică poae scădea pe măsură ce sun adăugaţi regresori, iar penru modelele penru care porivirea la dae nu ese foare bună, poae fi chiar negaiv. Saisica Durbin-Wason reprezină o măsură a corelaţiei seriale a reziduurilor. Ca o regulă desprinsă din experienţă, în cazul în care DW are o valoare mai mică de, exisă dovezi de corelaţie serială poziivă. Exisă ese mai puernice penru analiza exisenţei corelaţiei seriale în reziduurile ecuaţiei de regresie, cum ar fi esul Q, precum şi esul Breusch-Godfrey, ambele oferind un cadru de esare mai general decâ esul Durbin-Wason. Crieriul informaţional Aaie (Aaie Informaion Crierion - AIC) ese adesea folosi în selecţia înre două modele esimae penru acelaşi se de dae. Page 4

40 Asfel, modelele caracerizae prin valori mai mici ale AIC sun de prefera celor caracerizae de valori mai mari. Schwarz Crierion (SC) reprezină o alernaivă a crieriului AIC folosi însă în acelaşi scop. F-saisic reprezină saisica asociaă esului care are drep ipoeză nulă că oţi coeficienţii din regresie (mai puţin consana) sun zero. Valoarea p-value asociaă, noaă Prob(F-saisic), ese nivelul de semnificaţie marginal al acesui es. În cazul în care valoarea p-value ese mai mică decâ nivelul de semnificaţie esa, să zicem %, se respinge ipoeza nulă conform căreia oţi coeficienţii sun egali cu zero. În cazul în care regresorii sun caracerizaţi prinr-un grad înal de coliniariae, Eviews poae înâmpina dificulăţi în calculul esimaorului OLS. În asfel de cazuri, programul va emie un mesaj de eroare, "Near singular marix". Dacă apare aces mesaj de eroare, rebuie verifica dacă regresorii sun coliniari. Regresorii sun exac coliniari dacă un regresor poae fi scris ca o combinaţie liniară a alor regresori. In caz de coliniariae, maricea X X nu ese inversabilă şi, asfel, esimaorul OLS nu poae fi calcula. 3.4 Efecuarea de prognoze bazae pe modelul liniar de regresie Modelul liniar de regresie poae fi uiliza penru realizarea de prognoze cu privire la variabila dependenă, dacă se cunosc informaţii privioare la variabila explicaivă. Asfel dacă se consideră o eniae penru care valoarea variabilei independene ese x, aunci previziunea cu privire la valoarea variabilei dependene se poae calcula uilizând formula: ŷ ˆ β + ˆ β x unde ˆ β şi ˆβ reprezină esimaorii OLS ai paramerilor modelului de regresie. Penru a realiza o prognoză în Eviews se uilizează buonul Forecas din cadrul unei obiec de ip equaion. Page 4

41 formula: Eroare de prognoză asociaă acesei previziuni se poae calcula uilizând ( ˆ ) ( ˆ ) ŷ y β β + β β x + ε Varianţa erorii de prognoză depinde de inceriudinea în ceea ce priveşe valoarea paramerilor, precum şi de inceriudinea în ceea ce priveşe variabila reziduală. Magniudinea varianţei erorii de prognoză deermină mărimea inervalului de încredere asocia unei previziuni. Page 43

42 puncuale Inervalul de încredere cu probabiliae de 95% asocia unei previziuni ŷ poae fi aproxima prin ( yˆ ) σ, yˆ σ yˆ yˆ +. Asfel, inervalul de încredere ese simeric, în jurul previziunii puncuale. Abaerea medie păraică a erorii de prognoză ese daă de formula ( ˆ ) ˆ ( ˆ ) σ se β + x se β + σ y ε. In general, daoriă fapului că eroarea sandard asociaă unui parameru ese mică, abaerea medie păraică a erorii de prognoză ese influenţaă în special de căre abaerea medie păraică a variabilei reziduale, adică σ ŷ σ. Abaerea medie păraică a variabilei reziduale se regăseşe în cadrul unui oupu Eviews al unei ecuaţii de regresie sub denumirea de S.E. of regression. Se înâmplă deseori ca variabila dependenă unei ecuaţii de regresii să fie logarim naural dinr-o variabilă economică de ineres: ( y ) ln i + xi + i β β ε Asfel dacă se consideră o eniae penru care valoarea variabilei independene ese x, aunci previziunea cu privire la logarim din valoarea variabilei de ineres ese: ( ) ˆ ln y ˆ β + ˆ β x unde ˆ β şi ˆβ reprezină esimaorii OLS ai paramerilor modelului de regresie. Trebuie sublinia fapul că obţinerea previziunii penru variabila economică de ineres, ŷ, nu ese o simplă ransformare exponenţială a previziunii penru logarim din variabila de ineres, ( ) ˆln ( ) ˆln y. Alfel spus y yˆ e. Formula de ransformare înre cele două previziuni depinde de gradul de îndeplinire al ipoezelor modelului de regresie. Se poae arăa fapul că dacă oae cele paru ipoeze (I, I, I3, I4) ale modelului liniar de regresie se respecă aunci ˆln ( y ) previziunea penru variabila de ineres ese yˆ e σ ε e. Formula prezenaă ε Page 44

43 anerior nu mai ese valabilă dacă reziduurile modelului nu sun disribuie normal, sau alfel spus, dacă ipoeza I4 nu se respecă. Eviews permie efecuarea auomaă de previziuni penru o variabilă de ineres chiar şi în cazul în care variabila dependenă a ecuaţie de regresie esimaă ese logarim naural din aceea variabilă. Trebuie evidenţia fapul că inervalul de încredere asocia prognozei unei variabile de ineres, în cazul în care variabila dependenă a regresiei ese logarim din variabila respecivă, nu mai ese simeric, aşa cum se poae observa din figura urmăoare. Page 45

44 4 Abaeri de la ipoezele modelului clasic de regresie I O ipoeză imporană a modelului clasic de regresie ese aceea porivi căreia inovaţiile sun homosedasice (i.e. au aceeaşi varianţă) şi nu sun auocorelae. In lipsa acesei ipoeze esimaorii penru erorile sandard ale coeficienţilor din modelul de regresie, calculaţi cu formula clasică, nu sun consisenţi. 4. Problema de heerosedasiciae Penru a esa dacă inovaţiile modelului de regresie sun homosedasice, EViews pune la dispoziţie esul Whie. Ipoeza nulă a acesui es specifică fapul că inovaţiile sun homosedasice. Saisica esului Whie presupune consruirea a unei ecuaţie de regresie auxiliară : reziduurile la păra ale ecuaţiei principale sun regresae in funcţie de variabilele explicaive si păraul acesora. Eviews calculează p-value asocia esului, ca urmare inerprearea rezulaelor acesui es ese relaiv simplă. In condiţiile exisenei heerosedasiciaii, esimaorul OLS ese, în coninuare, consisen, disribui asimpoic normal, insă erorile sandard calculae pe baza formulei clasice nu sun corece şi, asfel, esul baza pe acese erori sandard ese erona. Exisa două soluţii în ceea ce priveşe problema heerosedasiciaii păsram esimaorul OLS, dar corecam erorile sandard; înlocuim esimaorul OLS cu un nou esimaor. Prima soluţie se uilizează în cazul în care forma heerosedasiciăţii nu ese cunoscuă, care reprezină cazul cel mai frecven înâlni în pracică. Esimaorul OLS oferă esimări consisene ale paramerilor în prezenţa Page 46

45 heerosedasiciăţii, dar erorile sandard calculae uilizând meoda OLS ar fi incorece şi nu ar rebui să fie uilizae penru inferenţa. Whie (98) a obţinu un esimaor consisen faţă de heerosedasiciae a maricei de varianţă-covarianţă care oferă esimări corece ale erorilor sandard ale paramerilor modelului liniar de regresie în prezenţa heerosedasiciăţii sub formă necunoscuă. Eviews oferă opţiunea de a uiliza esimaorul Whie penru erorile sandard ( robus sandard errors de ip Whie) în locul formulei sandard OLS penru calculul acesora. Asfel, se deschide casea de dialog Equaion Esimaion şi se specifică ecuaţia ca şi mai înaine, apoi se apasă buonul Opions şi se face clic pe casea de selecare a meodei de calcul a covarianţei Heerosedasiciy Consisen Covariance şi apoi se face clic pe opţiunea Whie. Cea de a doua soluţie se uilizează în cazul în care se presupune că în ceea ce priveşe inovaţiile modelului liniar de regresie exisă heerosedasiciae sub o formă cunoscuă. Mai exac, se face ipoeza că exisă o serie ale cărei valori sun proporţionale cu inversele erorilor sandard. In aceasă siuaţie, foare rar înâlniă în pracică, exisă posibiliaea să se uilizeze meoda ponderaă a celor mai mici Page 47

46 părae (WLS), cu ponderile dae de aceasă serie, penru a coreca heerosedasiciaea. Eviews calculează esimaorul WLS prin împărţirea ponderilor din serie cu media acesora, înmulţind apoi oae daele penru fiecare observaţie cu acese ponderi scalae. Penru a esima o ecuaţie cu ajuorul meodei WLS, se deschide meniul principal şi se selecează Quic/Esimae Equaion, apoi se alege LS Leas Squares (NLS and ARMA) din lisa mobilă corespunzăoare. Se inroduce specificaţia ecuaţiei şi eşanionul în fila Specificaion, apoi se selecează fila Opions şi se face clic pe opţiunea Weighed LS/TSLS. Se compleează căsuţa Weigh cu numele seriei care conţine ponderile. 4. Problema de auocorelare Penru a esa dacă inovaţiile modelului de regresie sun auocorelae, Eviews pune la dispoziţie corelograma, esul Ljung Box şi esul Breusch Godfrey. Page 48

47 Corelograma reprezină o modaliae vizuală de a verifica dacă exisă corelaţie înre valoarea de la momenul şi valoarea de la un momen anerior al variabilei reziduale. Ipoeza nulă a esului Ljung Box specifică fapul că inovaţiile nu sun auocorelae. Eviews calculează p-value asocia esului, ca urmare inerprearea rezulaelor acesui es ese relaiv simplă. Ipoeza nulă a esului Breusch Godfrey specifică fapul că inovaţiile nu sun auocorelae. Saisica acesui es presupune consruirea a unei ecuaţie de regresie auxiliară : reziduurile ecuaţiei principale sun regresae in funcţie de variabilele explicaive si de lag-uri ale reziduurilor. De asemenea, Eviews calculează p-value asocia acesui es. In condiţiile exisenei auocorelării, esimaorul OLS ese, în coninuare, consisen, disribui asimpoic normal, insă erorile sandard calculae pe baza formulei clasice nu sun corece şi, asfel, esul baza pe acese erori sandard ese erona. Exisa două soluţii în ceea ce priveşe problema auocorelării păsram esimaorul OLS, dar corecam erorile sandard; înlocuim esimaorul OLS cu un nou esimaor. Prima soluţie ese mul mai des uilizaă în pracică, deoarece nu presupune că forma auocorelării ese cunoscuă. Esimaorul Whie penru maricea de varianţă-covarianţă analiza mai sus presupune că reziduurile ecuaţiei esimae nu sun auocorelae. Newey şi Wes (987) au propus un esimaor robus al erorilor sandard mai general care ese coeren aâ în prezenţa heerosedasiciăţii, câ şi a auocorelării de formă necunoscuă a inovaţiilor. Penru a uiliza în Eviews esimaorul Newey-Wes penru erorile sandard ( robus sandard errors de ip Newey-Wes), se selecează fila Opions din Equaion Esimaion. Se apasă casea Heerosedasiciy Consisen Covariance şi se selecează opţiunea Newey-Wes. Page 49

48 Cea de a doua soluţie se uilizează în cazul în care se presupune că în ceea ce priveşe inovaţiile modelului liniar de regresie exisă auocorelare sub o formă cunoscuă. In aceasă siuaţie, foare rar înâlniă în pracică, exisă posibiliaea să se uilizeze meoda generalizaă a celor mai mici părae (FGLS). De exemplu, Eviews poae uiliza esimaorul FGLS penru cazul în care reziduurile ecuaţiei de regresie au o dinamică descrisă de un proces AR(), un ip de proces analiza pe larg în Capiolul 6. In ceea ce priveşe ehnicile de esimare robusă a erorilor sandard, mai rebuie reţinu fapul că: uilizarea acesor esimări robuse penru maricea de varianţă-covarianţă nu modifică esimările paramerilor. nu exisă nici un impedimen în combinarea diferielor meode de conabilizare a heerosedasiciăţii sau a corelaţiei seriale din cadrul inovaţiilor. De exemplu, esimaorul WLS poae fi însoţi de esimări robuse penru erorile sandard. Page 5

49 5 Abaeri de la ipoezele modelului clasic de regresie II O ipoeză fundamenală a modelului clasic de regresie ese aceea porivi căreia variabilele din parea dreapă (i.e. variabilele explicaive) sun necorelae cu inovaţiile modelului. Penru simpliae, se va face referire la variabilele care sun corelae cu reziduurile, ca variabile endogene şi variabile care nu sun corelae cu reziduurile, ca exogene. Dacă aceasă ipoeză ese încălcaă, apare aşa numia problemă de endogeniae, care ese o problemă majoră înâlniă în pracică. Asfel, în condiţiile exisenţei endogeniăţii, esimaorul OLS nu ese bun, în sensul că nu ese consisen. Exisă o serie de siuaţii binecunoscue în care apare problema de endogeniae: din cadrul ecuaţiei de regresie au fos omise variabile relevane; variabile explicaive sun măsurae cu erori; exisă variabile deerminae endogen în parea dreapă a ecuaţiei ca în cazul modelelor cu ecuaţii simulane. Exisa două soluţii în ceea ce priveşe problema de endogeniae corecam endogeniaea asfel încâ esimaorul OLS să redevină bun ; înlocuim esimaorul OLS cu un nou esimaor. Prima soluţie poae fi uilizaă în cazul în care unul din facorii explicaivi ese neobservabil, însă se poae uiliza o variabilă proxy penru a aproxima valoarea acesuia. In pracică, însă, ese mul mai des înâlniă a doua variană. Page 5

50 5. Esimaorul TSLS Abordarea sandard în cazurile în care variabilele din parea dreapă sun corelae cu reziduurile ese să se esimeze ecuaţia de regresie uilizând meoda variabilelor insrumenale. Ideea din spaele meodei variabilelor insrumenale ese de a găsi un se de variabile, numie insrumene sau variabile insrumenale, care îndeplinesc urmăoarele condiţii: sun relevane, adică sun corelae cu variabilele explicaive din ecuaţie sun exogene, adică sun necorelae cu erorile. Acese variabile insrumenale sun uilizae penru a elimina corelaţia dinre variabilele din parea dreapă şi inovaţiile ecuaţiei de regresie. Meoda Two-sage leas squares (TSLS) reprezină un caz special al meodei variabilelor insrumenale. După cum sugerează şi numele, exisă două eape disince în cadrul TSLS. Prima eapă implică esimarea unei regresii OLS penru fiecare variabilă din model în funcţie de seul de variabile insrumene. A Page 5

51 doua eapă reprezină o regresie a ecuaţiei originale, cu oae variabilele înlocuie cu valorile rezulae din regresiile din prima eapă. Coeficienţii acesei regresii sun esimaorii TSLS ai paramerilor modelului de regresie. Penru a deermina esimaorul TSLS, în programul Eviews, se deschide casea de specificare a ecuaţiei prin alegerea opţiunii Objec/New Objec.../Equaion sau Quic/Esimae Equaion. Se alege TSLS din lisa mobilă Mehod, iar casea de dialog se va modifica penru a include o caseă Insrumen lis în care rebuie inrodusă lisa insrumenelor. Ese demn de menţiona că exisă o serie de reguli în ceea ce priveşe insrumenele: penru a calcula esimaorul TSLS, rebuie să exise cel puţin la fel de mule insrumene ca şi coeficienţii din ecuaţie; orice variabilă explicaivă care ese exogenă, adică nu ese corelaă cu variabila reziduală, ar rebui să fie inclusă ca variabilă insrumenală; consana ese înodeauna un insrumen adecva, asfel încâ Eviews o va adăuga la lisa de insrumene. 5. Modele cu ecuaţii simulane Exisă o serie de siuaţii în care exisă simulaneiae înre două variabile economice. De exemplu, in cazul caniăţii de echilibru şi al preţului de echilibru de pe o piaţă oarecare. Teoria economică presupune fapul că echilibrul pe piaţă se sabileşe la inersecţia dinre funcţia de cerere şi cea de oferă. Funcţia de cerere presupune că exisă o relaţie inversă înre caniaea ceruă şi preţ, iar funcţia de oferă presupune că exisă o relaţie direcă înre caniaea oferiă şi preţ. Insă, nu se po observa caniaea ceruă şi caniaea oferiă, ci numai caniaea de echilibru de pe piaţă. Asfel, caniaea şi preţul de echilibru verifică aâ ecuaţia cererii câ şi ecuaţia oferei, formându-se, asfel, un model cu ecuaţii simulane. Un model cu ecuaţii simulane prezină o formă srucurală, cea presupusă de eoria economică, în care exisă simulaneiae înre cele două variabile de Page 53

52 ineres, y şi y, fiecare din cele două variabile fiind la rândul lor influenţae de facori exogeni, z şi, respeciv z : unde u şi u reprezină reziduurile srucurale ale modelului. Prin rezolvarea efecivă a sisemului de ecuaţii simulane, se deermină forma redusă a modelului, fiecare variabilă de ineres, y şi y, fiind exprimaă numai în funcţie facorii exogeni, z şi z. De exemplu, prin rezolvarea sisemului de mai sus rezulă forma redusă penru variabila y : unde paramerii π şi π sun o combinaţie (funcţie) de paramerii srucurali (i.e. α, α, β şi β ), iar variabila reziduală în formă redusă, ν ese o combinaţie (funcţie) de reziduurile srucurale ale modelului. Simulaneiaea dinre variabilele y şi y induce endogeniae daoriă fapului că exisă corelaţie înre acese variabile şi reziduurile srucurale ale modelului. Mai exac, deoarece se poae arăa că COV ( y u ),, prima ecuaţie din cadrul sisemului de ecuaţii simulane nu poae fi esima, în mod consisen, prin esimaorul OLS. Daoriă endogeniăţii indusă de căre simulaneiae, un model cu ecuaţii simulane rebuie să fie esima prin inermediul esimaorului TSLS. Un exemplu clasic în aces sens în consiuie sisemul de ecuaţii simulane care apare în cazul analizei preţ-caniae pe o piaţă oarecare. Teoria economică presupune exisenţa a două ecuaţii srucurale, respeciv ecuaţia asociaă funcţiei de cerere şi cea asociaă funcţiei de oferă. Având în vedere că se po observa doar caniăţile şi preţurile de echilibru, forma srucurală a sisemului ese daă de Page 54

53 d q αp + βv + ε s q α p + ε Prin rezolvare efecivă a sisemului se obţine forma redusă a acesuia: d s β ε ε p v + α α α α d s βα αε αε q v + α α α α s [ ] s σ s, α α Se poae arăa fapul că Epε COV( p ε ) sau alfel s spus variabila p ese endogenă în cadrul ecuaţiei de oferă, q α p + ε. Asfel, dacă se încercă esimarea paramerului srucural α prin esimaorul OLS rezulaele obţinue nu sun corece deoarece, în aceasă siuaţie, esimaorul OLS nu ese consisen. Mai exac, se poae arăa că α OLS p s α α α σ p In mod similar, variabila p ese, de asemenea, endogenă în cadrul ecuaţiei σ. d de cerere, q αp + βv + ε, deoarece Ep [ ] σ (, ). d d d ε COV p ε α α Ca urmarea, esimarea paramerului srucural α prin OLS nu ese consisenă. Se pune problema idenificării unei variabile insrumenale care să ne permiă esimarea consisenă a cel puţin unuia dinre paramerii srucurali α şi α. Deoarece, variabila v apare în ecuaţia srucurală a cererii, dar nu şi în ecuaţia srucurală a oferei vom invesiga dacă aceasa ese o variabilă insrumenală bună penru variabila p în cadrul ecuaţiei oferei. Inr-adevăr, aceasă variabilă ese β relevană, deoarece Evp [ ] COV( v, p) Ev [ ] αα s s exogenă, deoarece Ev [ ε ] COVv [, ε ] Page 55

54 Ca urmare, paramerul srucural α poae fi esima în mod consisen uilizând esimaorul TSLS în care drep variabilă insrumenală penru variabila p uilizăm variabila v. Page 56

55 6 Tehnici de modelare şi previzionare a seriilor de imp unidimensionale Capiolul de faţă se axează pe specificarea şi esimarea modelelor cu care se po analiza dinamica seriilor de imp unidimensionale. Eviews calculează diverse saisici penru o serie de imp şi afişează acese saisici, în diverse forme, cum ar fi sub formă de foaie de calcul, abel sau grafic. Acesea variază de la afişarea graficului seriei respecive, până la esimaori ne-paramerici penru densiaea seriei respecive, bazaţi pe funcţii de ip ernel. De asemenea, Eviews dispune de o serie de proceduri care po fi uilizae penru a modifica şi a analiza seriea respecivă, cum ar fi diferie meode de ajusare sezonieră, meode de nivelare exponenţială, precum şi ehnici de filrare saisică, dinre care cel mai uiliza în pracică ese filrul Hodric-Presco. 6. Noţiuni inroducive Unul din principalele concepe cu care operează economeria seriilor de imp ese cel de proces socasic (aleaor). Un proces socasic ese un şir de variabile aleaoare. Asfel, un proces socasic ese similar unui şir de numere reale, cu menţiunea că elemenele unui proces socasic nu sun numere, ci variabile aleaoare. Inuiiv, un proces aleaor poae fi reprezena prin imaginea unui ren, care rece prin faţa unei gări în care se află un observaor. Fiecare vagon ese numeroa şi conţine o persoană. Cel care să în gară observă la un anumi momen un singur vagon, luând asfel la cunoşinţă de cine ese la geam. Observaorul nu şie cine ese la geamul urmăorului vagon, dar şie cine poae fi şi cu ce probabiliae (variabilă aleaoare). Şie, de asemenea, cine a fos în vagoanele care au recu prin faţa sa până în prezen. Acesea formează o observaţie din procesul aleaor. O serie de imp ese, de fap, o realizare a unui proces socasic. O serie de Page 57

56 imp ese formaă din câe o observaţie din fiecare variabilă aleaoare care compune procesul socasic ce a genera daele. Spre deosebire de ale concepe care implică eşanionarea de variabile aleaoare, dinr-un proces socasic puem avea, cel mul, o observaţie (înregisrare, realizare). De ce? Penru că, de exemplu, penru variabila aleaoare preţul de închidere de asăzi puem avea o singură observaţie, penru variabila aleaoare preţul de închidere de mâine la fel ec. Nu ne puem înoarce în imp penru a puea observa din nou preţul de închidere de asăzi. Aceasă caracerisică a proceselor socasice complică analiza acesora, deoarece, fără a impune ipoeze suplimenare, o serie de imp se reduce la o colecţie care presupune câe o observaţie din mai mule variabile aleaoare. Puem surmona aceasă dificulae presupunând că oae variabilele aleaoare care formează procesul socasic sun idenice. În aceasă ipoeză, a avea câe o observaţie din fiecare variabilă din procesul socasic ce a genera daele ese echivalen cu a avea mai mule observaţii din aceeaşi variabilă aleaoare. În concluzie, penru a obţine rezulae relevane în legăură cu o serie de imp, ese necesar ca elemenele sale să fie observaţii ale unor variabile aleaoare idenice. Cu ale cuvine, analiza unei serii de imp ese validă dacă şi numai dacă procesul socasic care a genera daele îşi păsrează proprieăţile saisice în imp. Pe mulţimea uuror proceselor aleaoare de poae defini urmăorul operaor, noa cu L, după recula Lx x. Operaorul L, numi operaor de lag, ransformă şirul x înr-un al şir, cu aceleaşi elemene, dar decalae înapoi cu o perioadă (lag). Aplicând succesiv operaorul de lag obţinem şiruri în care valorile lui x sun decalae cu ( L ) sau cu ( ) L perioade: x L( Lx ) Lx x L, respeciv L x x. Un caz special, apare penru : L x x. Combinând compunerea operaorului de lag cu operaţiile obişnuie cu polinoame, obţinem polinoame de lag. De exemplu, B( L) L B L x L x x x rezulă ( ) ( ) poae fi aplica unui proces x şi. Polinoamele de lag se po uiliza penru Page 58

57 deducerea formulei generale a unui proces socasic, pornind de la definirea acesora prin relaţia de dinamică. 6. Concepul de saţionariae După cum am arăa în inroducerea referioare la procesele socasice, analiza seriilor de imp se poae face numai cu impunerea anumior ipoeze asupra procesului care a genera daele. În mare, acese ipoeze ne asigură că daele înregisrae (observaţiile saisice) provin din acelaşi proces şi că acesa nu îşi modifică proprieăţile saisice în imp. Aceasă proprieae se numeşe saţionariae. Seriile saţionare sun, în general, seriile definie ca rae de creşere: raa de creşere a PIB, raa inflaţiei, raa de creşere a salariului mediu ne, renabiliăţile acivelor financiare, dar şi serii de ipul raelor de dobândă pe ermen scur sau al variaţiei socurilor. Serii nesaţionare sun,în general, seriile care reflecă indici cu bază fixă: indicele preţurilor de consum, indicele preţurilor producţiei indusriale, PIB real şi nominale, indicele producţiei indusriale, indici bursieri. Vizual, seriile saţionare sun cele care evoluează în jurul unei medii, în imp ce seriile nesaţionare nu prezină aces comporamen de revenire la o valoare medie. Înr-o definire mai riguroasă, concepul de saţionariae comporă două înţelesuri. În sens sric, un proces socasic ese saţionar dacă momenele sale (medie, varianţă, momenul de ordinul rei, paru ec.) nu depinde de imp. În sens slab, concepul de saţionariae în medie-covarianţă se referă la un proces socasic penru care primele sale două momene (media şi auocovarianţa) nu depind de imp. Idenificarea caracerului saţionar sau nesaţionar al seriilor de imp cu care lucrăm ese un pas esenţial în analiză. Nesaţionariaea seriilor de imp are ca rezula: invalidarea unor rezulae referioare la esele saisice sau la proprieăţile daelor obţinue în ipoeza că daele sun saţionare sau Page 59

58 apariţia de regresii eronae (en. spurious regression). Regresiile eronae se referă la idenificarea unor relaţii inexisene înre serii de dae fără nicio legăură, acese relaţii fiind puse în evidenţă prin regresii simple şi fiind consecinţa nesaţionariăţii daelor. Prinre cele mai celebre exemple de regresii eronae se numără: relaţia dinre numărul de nou-născuţi şi numărul de cuiburi de berze în Olanda sau cea dinre populaţia Africii de Sud şi cheluielile de cerceare-dezvolare în SUA, uilizând dae anuale penru perioada Sabilirea caracerului saţionar al unei serii de imp se realizează prin aplicarea eselor de rădăcină uniae (en. uni-roo). Cele mai uilizae esfel de ese sun esul ADF (Augmened Dicey-Fuller) şi esul PP (Phillips-Perron). Înaine de a rece la descrierea eselor ADF şi PP, vom prezena legăura dinre prezenţa rădăcinii uniae în dinamica seriei de imp şi nesaţionariae. Rădăcina uniae se referă la prezenţa prinre rădăcinile polinomului de lag B ( L) a unei rădăcini egale cu. După cum vom arăa în coninuare, în aces caz seria ese nesaţionară. Să presupunem un proces de forma x β x + ε, cu B L Uilizând polinomul de lag, acesa se poae scrie ca ( ) B ( L) βl. Dacă polinomul B ( L) are o rădăcină uniară, B () ε whie-noise. x ε, unde, ceea ce implică β. În aces caz, procesul ese de forma x x + ε. Media procesului respecă relaţia E [ x ] E[ x ], iar varianţa Var[ x ] Var[ x ] + Var[ ε ]. Cele două relaţii au fos obţinue uilizând fapul că, prin definiţie, procesul ε are media zero: E[ ε ] şi nu ese corela cu x : [ x, ] relaţii penru medie şi varianţă, obţinem E[ x ] E[ x ] E[ ] Corr ε. Ierând înapoi cele două Var[ x ] Var[ x ] + σ Var[ x ] + σ + σ Var[ x ] + σ media ese invariană în imp, [ x ] E[ ] x K şi K. Rezulă că deşi depinde de imp. Prin urmare procesul ese nesaţionar. E, penru orice, varianţa procesului x Page 6

59 Tesele ADF şi PP au ca ipoeză nulă fapul că seria analizaă ese nesaţionară. x Tesul ADF consideră un proces auoregresiv AR ( ), de forma μ ϕx ε` + +, unde ε ese de ip zgomo alb. Dacă ϕ < seria x ese saţionară; dacă μ seria x ese nesaţionară, iar dacă ϕ > seria x ese explozivă. În variana fără consană şi fără rend, esul ADF se bazează pe regresia: Δx γ x + γ Δx + + γ Δx + ε. L p p Ipoeza nulă ese H : γ, cu alernaiva H : γ < ; γ ϕ. La esarea ipoezei nule se uilizează esul, cu simularea valorilor criice. Disribuţia asimpoică a esului ADF ese non-sandard, fiind independenă de numărul de laguri, p. Caracerul non-sandard al acesei disribuţii impune simularea valorilor criice, care în aces caz sun -,57 penru %; -,94 penru 5% şi -,6 penru %. Inerprearea esului ADF se bazează pe compararea valorii calculae a esului penru coeficienul ρ, obţinu din regresie, cu valorile criice menţionae anerior. Dacă -Saisic calcula ese mai mic decâ valorea criică, se respinge ipoeza nulă, seria ese saţionară, iar dacă - Saisic calcula ese mai mare decâ valorile criice, nu se poae respinge ipoeza nulă, seria ese nesaţionară. Tesul PP esează regresia Δ x α + βx + ε. Disribuţia a coeficienului γ ese corecaă penru a include corelaţiile seriale ale ε. Exisă şi ese de saţionariae care iau saţionariaea ca ipoeză nulă. Cel mai uiliza dinre acesea ese esul KPSS (Kwiaowsi-Phillips-Schmid-Shin). Tesul KPSS porneşe de la specificaţia y x + z,, unde x ese de ip random wal: x x + u, u iidn(, σ ), iar z ese saţionar. u Page 6

60 Tesul KPSS ese complemenar eselor ADF şi PP în sensul că ipoeza sa nulă ese că seria ese saţionară, cu alernaiva nesaţionariăţii: H : σ u y ese saţionară, H : σ > y ese nesaţioanră. u Tesul KPSS are, la rândul său, o disribuţie asimpoică non-sandard, valorile criice penru variana cu consană şi fără rend fiind,74 penru %,,46 penru 5% şi,35 penru %. O valoarea a esului calculae mai mare decâ acese valori criice indică respingerea ipoezei nule. Complemenariaea celor două ipuri de ese face posibilă uilizarea combinaă, penru a sabili saţionariaea unei serii de imp. Rezulaul combina al eselor ADF şi PP, respeciv KPSS ese urmăorul: respingerea ipoezei nule ADF şi imposibiliaea respingerii ipoezei nule KPSS indică un proces saţionar; imposibiliaea respingerii ipoezei nule ADF şi respingerea ipoezei nule KPSS indică o serie nesaţionară; imposibiliaea respingerii aâ a ipoezei nule ADF, câ şi a celei KPSS indică insuficienţa informaţională a daelor analizae; respingerea aâ a ipoezei nule ADF, câ şi a celei KPSS indică necesiaea unei reprezenări alernaive, prinr-un process mai complex, care poară denumirea de inegra fracţionar. Penru a se efecua un es de rădăcină uniae în Eviews, se selecează opţiunea View Uni Roo Tes. In cadrul caseei de dialog de dialog Uni Roo Tes se selecează ipul esului care se doreşe efecua. Trebuie specifica dacă se doreşe esarea penru o rădăcină uniae a seriei, sau a prima diferenţă, respeciv a celei de a doua diferenţă a seriei. Seări avansae puse la dispoziţie în cazul esului ADF permi specificarea modului în care lag-urile ermenilor diferenţiaţi vor fi incluşi în ecuaţia de esare ADF. Se poae opa penru ca Eviews să facă selecţia în mod auoma sau se poae specifica un număr fix, înreg şi poziiv. Page 6

61 Eviews calculează p-value penru esul ADF, ceea ce face relaiv simplă inerprearea rezulaelor acesui es. În funcţie de ipul de nesaţionariae al seriei de imp analizae, problema nesaţionariăţii daelor se poae rezolva prin ransformarea daelor asfel încâ să se obţină serii saţionare: diferenţiere; eliminarea rendului: liniar, păraic, HP. Fiind da procesul socasic x, diferenţierea acesuia produce procesul Δx x x ( L) x. Eliminarea rendului liniar consă în rularea regresiei exragerea reziduurilor esimae, εˆ. x c + α + ε şi Trendul păraic se elimină din regresia x c + α + β + ε. Filrul Hodric Presco (HP) ese o meodă paramerică de eliminare a rend-ului, fiind cel mai popular insrumen penru a descompune o serie de imp înr-un rend şi un ciclu. Filrul HP elimină rendul prin minimizarea unei funcţii de pierdere care are urmăoarea formă: Page 63

62 min[ c [ y ] T + λ T (( y + y ) ( y y ))] unde T reprezină numărul oal de observaţii. Termenul c T ese echivalen cu o sumă de părae de erori, deoarece T c T ( y y ), iar T ermenul (( y + y ) ( y y )) asigură fapul că seria rend-ului ese needă, iar paramerul λ din problema de opimizare penalizează flucuaţiile seriei de rend. Cu câ λ ese mai mare, cu aâ rend-ul asfel esima devine mai need, iar aunci când λ inde la infini, rend-ul devine o linie dreapă. Analiza seriilor de dae după ce au fos saţionarizae prin diferenţiere sau prin eliminarea rendului are ca posibil dezavanaj pierderi din conţinuul informaţional al daelor, mai ales în ceea ce priveşe dinamica pe ermen lung. Aces dezavanaj se poae surmona prin analiza cu meode speciale, care ţin con de nesaţionariaea daelor, cum ar fi cele bazae pe concepul de coinegrare. 6.3 Modele ARMA Modele ARMA (AuoRegressive Moving Average) sun folosie pe scară largă penru a analiza dinamica seriilor de imp unidimensionale. Un model ARMA ese compus din două părţi: ermenul auoregresiv şi ermenul de medie mobilă. Procesele auoregresive au la bază ideea, naurală, conform căreia valoarea curenă a unei variabile depinde de valorile sale anerioare. Acese procese se obţin adăugând la ecuaţii de recurenţă deerminise o componenă saţionară, care ese, de obicei, un proces saţionar cu o srucură de corelaţie exrem de simplă. Un asfel de proces ese procesul de ip zgomo alb (en. whie-noise), care la momenul ia valoarea ε, unde ε ese o variabilă aleaoare disribuiă normal, de medie zero şi varianţă consană, [ ] σ E ε. Simpliaea srucurii de corelaţie a Page 64

63 acesui proces rezulă din fapul că valoarea la un momen, ε ese necorelaă cu valoarea la oricare al momen, s, s ε. Auocovarianţa penru orice rang > penru un proces whie-noise ese zero. Auocorelaţia penru orice rang > penru un proces whie-noise ese zero. Auocorelaţia parţială penru orice rang > penru un proces whie-noise ese zero. Auocorelaţia parţială ese o măsură a auocorelaţiei direce dinre două valori ale unei serii de imp, excluzând corelaţia care rezulă prin efecul lagurilor inermediare. Imporanţa procesului whie-noise rezulă nu numai din folosirea sa ca bloc penru consrucţia de procese auoregresive, ci şi din fapul că reprezină prooipul reziduului din regresiile care implică serii de imp Procese de ip AR() Un proces de ip AR() ese un proces socasic în care valoarea curenă depinde numai de valoarea anerioară: x α + β + ε, x unde ε ese un proces de ip whie-noise. Uilizând operaorul de lag inrodus la începuul cursului, relaţia anerioară se poae scrie ( L) x α + B ( L) x ε, unde B( L) βl ese un polinom de lag-uri. ε sau În figura de mai jos ese reprezena un proces AR(), penru β, 5 şi β,9. Procesul simula cu β, 9 manifesă un grad de persisenţă mai mare, abaerile sale de la medie fiind mai ample. Inuiiv, aces lucru se înâmplă Page 65

64 deoarece β corespunde unei serii nesaţionare, iar cu câ β se apropie mai mul de, cu aâ comporamenul său se apropie mai mul de cel al unei serii nesaţionare. Un ineres deosebi îl prezină deerminarea eoreică a momenelor unui proces AR(), deoarece acesea vor sa la baza idenificării unei serii reale de dae ca fiind de aces ip. Vom deermina momenele unui proces AR() în ipoeza că acesa ese saţionar. Sabilirea condiţiilor de saţionariae ese un subiec mai complex, care nu va fi prezena în aces supor de nivel mediu. În ipoeza saţionariăţii [ x ] E[ x ] whie-noise, prin urmare E[ ε ] E [ x ] α + βe[ x ], cu noaţia E[ ] E şi ţinând con de fapul că ε ese, aplicând operaorul de medie se obţine μ : μ α + β μ, de unde x α μ, β relaţie care are sens numai penru β. În ipoeza saţionariăţii varianţa unui proces AR() ese consană, γ [ x ] E ( x μ) [ ] Var[ x ] E[ ( x ) ] μ Var, penru orice. Aplicând operaorul de varianţă relaţiei de definiţie, obţinem γ +, deoarece varianţa consanei α ese zero, covarianţele dinre β γ σ Page 66

65 aceasa şi x şi ε sun zero, iar covarianţa dinre x şi ε ese zero. Obţinem σ γ, relaţia care are sens numai penru β <. In ceea ce priveşe β auocovarianţa de rang, γ [ x x ] E[ ( x μ)( x μ) ] γ βγ ρ β.. Auocorelaţia la rangul se defineşe prin Cov,, obţinem ρ γ γ. Ca urmare, Conform acesui rezula, dacă β < corelaţia dinre două valori aflae la disanţa descreşe şi se apropie de zero, pe măsură ce creşe. Un proces saţionar se caracerizează ocmai prin lipsa corelaţiei înre două valori aflae la disanţă mare în imp. Auocorelaţia parţială penru un process AR() ese a β şi a penru >, cee ce se explică prin fapul că, prin definiţie, nu exisă nicio legăură direcă înre x, x 3, ec şi x. Remarcăm că auocorelaţia descreşe repa căre zero, în imp ce auocorelaţia parţială ese diferiă de zero numai la primul lag, după care scade brusc la zero. Vom demonsra în coninuare că β < implică saţionariaea procesului AR(). Penru aceasa, vom face apel la concepul de polinom de lag. Să Page 67

66 presupunem că exisă polinomul de lag Φ ( L), asfel încâ B ( L) Φ( L) caz, Φ ( L) ar fi inversul lui B ( L) şi am puea scrie Φ( L ) B( L) polinomul ( L). În aces. Dacă exisă, B ne oferă posibiliaea de a rezolva ecuaţia prin care se defineşe procesul AR(), B( L) x α + ε, înmulţind la sânga cu B ( L). Obţinem x ( L) α + B( L) B ε. Deoarece penru o serie consană egală cu α, L α α, soluţia ese x B( ) α + B( L) Φ ε. Penru a sabili în ce condiţii exisă ( ) B( L) ( L) φ + φ L + φ L + L + φ + L Φ L, luăm L şi deerminăm coeficienţii φ, φ,..., φ,... asfel încâ B ( L) Φ( L). Observăm, mai înâi că Φ ( L) ese un polinom cu o infiniae de ermeni. Bineînţeles că şi B ( L) se poae scrie ca un polinom cu o infiniae de ermeni: B( L) β L + L + L + L + L. Aâ B ( L), câ şi Φ ( L) fac pare din mulţimea polinoamelor de lag cu o infiniae de ermeni. ( L) Φ( L) β φ + φ + φ + L+ φl + L, B ese echivalen cu ( L)( L L ) φ + L L βφ + φ + βφ + φ + + βφ + φ + sau ( ) L ( ) L ( ) L, de unde rezulă φ, φ βφ β, φ, în general βφ β φ β. Polinomul de lag invers al lui B( L) βl ese B( L) + βl + β L + L + β L + L B L β L. compac ( ) Soluţia ecuaţiei AR() ese x B () + β L ε B() α +. Scris α β ε. Sub aceasă formă, numiă scriere MA ( ), procesul AR() apare ca o sumă infiniă de ermeni de ip whie-noise. În ce condiţii aceasă sumă ese bine β definiă? Aplicând operaorul de medie obţinem E[ x ] α + β E[ ε ]. Page 68

67 Deoarece ε ese saţionar, prin definiţie [ ] E ε. Rezulă E β [ ] α + β x. Al doilea ermen al mediei lui x ese deermina dacă şi numai dacă suma β ese finiă. Alfel, se obţine o nedeerminare de forma. Prin urmare, [ ] E x ese bine-definiă dacă şi numai dacă finiă, ceea ce ese echivalen cu β <. În aces caz, β şi β β ese x α β şi nu depinde de imp. Am obţinu acelaşi rezula ca mai sus, dar fără a presupune că procesul ese saţionar. Varianţa lui x ese daă de relaţia Var l [ x ] Var ε β β Cov[ ε, ε l ] Deoarece, prin definiţie Cov[, ε ] l penru β Cov[ ε, ε ] β penru l l β. l ε penru s s şi Cov [ ε, ε ] σ l şi [ ] β β Cov ε, ε l β σ penru l. Rezulă [ ] Var x ( β ) σ, bine-definiă numai în cazul β <, echivalen cu < β β. În aces caz Var [ ] σ x, acelaşi rezula pe care l-am obţinu anerior în privinţa varianţei lui x, numai că de daa aceasa nu am presupus că procesul ese saţionar. Am obţinu aşadar, că β < implică fapul că media ( μ ) şi varianţa ( γ ) s procesului x nu depind de imp. Puem adăuga că penru un asfel de proces covarianţa ese γ β γ, fiind la rândul său invariană în imp. Un proces penru care β < se numeşe sabil. În concluzie, un proces AR() care ese sabil ese şi saţionar. Deşi reciproca nu ese înodeauna adevăraă, în sensul că exisă procese Page 69

68 Page 7 saţionare care nu sun sabile, vom înţele prin condiţie de saţionariae a unui proces AR(), condiţia < β. În cele ce urmează vom oferi dealiile de calcul penru funcţia de auocorelaţie parţială. Prin definiţie, auocorelaţia parţială la lagul ese [ ],,,, + x x x x x Corr a K. a ese egal cu coeficienul â esima din regresia u x a x a x a x K. De exemplu, penru un proces AR(), auocorelaţia parţială la lagul se obţine din regresia u x a x a x + +. Analiic, coeficienul a a se poae obţine din sisemul + + a a a a ρ ρ ρ ρ, rezula aplicând succesiv coeficienul de corelaţie cu x, respeciv x. Penru un proces AR(), β ρ şi β ρ. Sisemul anerior are forma + + a a a a β β β β, ceea ce ese echivalen cu β β β β a a. Soluţia ese β β β β a a. Ţinând con că β β β β β, soluţia ese β a şi a. În general, coeficienul a a se obţine analiic rezolvând sisemul a a a M L M O M M L L M ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ.

69 6.3. Procese de ip AR() Un proces de ip AR() ese un proces socasic în care valoarea curenă depinde de cele mai recene două valori anerioare: x α + β x + β x + ε, unde ε ese un proces de ip whie-noise, cu media [ ] E ε şi varianţa [ ε ] σ Var. B L Uilizând operaorul de lag, un proces AR() se scrie ca ( ) unde ( ) β,3. B L β L β L. x α + ε, În figura de mai jos ese reprezena un proces AR(), penru β, 6 şi x x Orice proces AR() se poae scrie maricial, ca un proces AR(): α β + β x x ε x +. Cu noaţiile α y, a, x β β ε b şi u, scrierea devine y a + by + u. Exrapolând Page 7

70 rezulaul obţinu în cazul procesului AR() la procesul AR(), condiţia de sabiliae ese echivalenă cu lim b. Convergenţa maricei b căre zero ese conrolaă de valorilor proprii ale lui b. Asfel, lim b dacă şi numai dacă λ, λ <, cu λ şi λ valorile proprii ale maricei b. Acesea se obţin din sisemul λ r( b) λ + de( b), unde ( b) β + β de( b ) β β β λ β λ β să fie subuniare în modul. r, iar. Condiţia de saţionariae ese ca soluţiile ecuaţiei Media unui proces AR() se obţine aplicând operaorul de medie relaţiei de definiţie: E[ x ] + β E[ x ] β E[ x ] + α. Dacă procesul ese saţionar, α E [ x ] E[ x ] E[ x ] μ. β β Penru a obţine varianţa procesului x se aplică operaorul de varianţă relaţiei de definiţie: Var[ x ] β Var[ x ] + β Var[ x ] β β Cov[ x x ] +, + Var[ ε ]. Dacă procesul ese saţionar, Var [ x ] Var[ x ] Var[ x ] γ, iar relaţia devine γ + σ β γ + βγ + ββγ. În aceasă relaţie apar două necunoscue: varianţa γ şi covarianţa γ. Penru a le deermina, ese necesară încă o relaţie, pe care o obţinem calculând covarianţa dinre x şi x : γ βγ + βγ. Page 7

71 Soluţia sisemului forma cu cele două relaţii ese γ β σ β. şi γ γ + β ( β β )( + β β ) β Coeficienul de corelaţie la lagul ese ρ γ β. Calculând γ β corelaţia dinre x α + β x + βx + ε şi x obţinem penru coeficienul de corelaţie urmăoarea relaţie de recurenţă: ρ βρ + βρ. Aceasă relaţie se poae ranscrie maricial, în ρ ρ ρ b ρ ρ ρ, cu soluţia b. Cum ρ ρ b inde la zero dacă procesul AR() ese saţionar, corelaţia ρ va inde la zero, pe măsură ce. Aces fap ese ilusra în figura anerioară. Coeficienul de corelaţie parţială a ese a ρ, a β şi a penru >, deoarece x depinde direc numai de x şi x. Penru un proces AR() funcţia de auocorelaţie descreşe repa căre zero, în imp ce funcţia de auocorelaţie parţială descreşe brusc la zero, după primele două laguri Procese de ip MA() Un proces MA() ese un proces rezula prin combinarea valorilor curenă şi anerioară ale procesului whie-noise: x α + θ ε + ε, cu ε whie-noise. Cu operaorul de lag, relaţia de definire a unui proces MA() ese x α + ( + θ L) ε α + Θ( L) ε, unde ( ) + θ L de lag-uri. Θ ese un polinom L Un proces MA() ese înodeauna saţionar, indiferen de valoarea lui θ, deoarece ese o combinaţie de procese saţionare. Media unui proces MA() ese [ x ] α μ E. Tinând con de fapul că ε şi ε sun necorelae, se obţine că Page 73

72 [ x ] ( ) γ +θ Var σ ese γ [, ] θ, x x σ. Auocovarianţa penru primul lag, se poae calcula din γ θ Cov de unde rezulă ρ. În general, γ, γ + θ penru >. Prin urmare, ρ, penru >. Se poae arăa că funcţia de auocorelaţie parţială penru un proces MA() descreşe repa căre zero. Din figura de mai sus rezulă că funcţiile de auocorelaţie penru un proces MA() au urmăorul comporamen: auocorelaţia scade brusc la zero, după primul lag, în imp ce auocorelaţia parţială descreşe repa căre zero. Pe baza unui raţionamen similar celui de la secţiunea dedicaă proceselor de ip AR(), se araă că dacă Θ θ, polinomul de lag ( L ) < 3 3 ( L) L + θ L θ L + ( θ ) L Θ ese inversabil, θ K. În aces caz, procesul MA() se numeşe inversabil. Înmulţind relaţia x α + Θ( L) ε cu ( ) Θ L obţinem Θ ( L) x Θ( ) α + ε, de unde x Θ() α + ( θ ) x + ε, scriere de forma AR ( ). În aceasă formă, valoarea curenă a procesului apare ca media uuror valorilor sale anerioare. Pe baza acesui rezula se poae argumena raiecoria repa descendenă căre zero a funcţiei de auocorelaţie parţială penru un proces MA(). Page 74

73 6.3.4 Procese de ip MA() Un proces MA() ese un proces rezula prin combinarea valorilor curenă şi anerioară ale procesului whie-noise: x α + θ ε + θε + ε, cu ε whie-noise. Cu operaorul de lag, relaţia de definire a unui proces MA() ese x α + ( + θ L + θ L ) ε α + Θ( L) ε, unde Θ ( L) +θ L + θ L ese un polinom de lag-uri. Un proces MA() ese înodeauna saţionar, indiferen de valorile paramerilor θ şi θ, deoarece ese o combinaţie de procese saţionare. Condiţiile de inversabiliae se obţin prinr-un raţionamen analog celui uiliza penru deducerea condiţiilor de saţionariae a unui proces AR(). Procesul ese inversabil dacă şi numai dacă soluţiile ecuaţiei λ + θ λ + θ sun subuniare în modul. Media unui proces MA() ese μ E [ x ] α. Varianţa unui proces MA() ese [ ] ( ) covarianţa: ( ) γ +, θ θ σ θσ γ + Var x + θ θ σ, iar γ şi γ penru >. Rezulă că valoarea coeficienului de corelaţie ese zero penru >. Funcţia de auocorelaţie parţială descreşe repa căre zero. Argumenul ese similar celui de la procesele de ip MA(). Page 75

74 6.3.5 Procese de ip ARMA(,) Un proces ARMA(,) ese consrui prin combinarea unui proces AR() cu unul MA(): x α + β x + θε + ε. Uilizând operaorul de lag, relaţia de mai sus se poae scrie sub forma B ( L) x α + Θ( L) ε, cu B( L) βl şi ( L) + θl Θ. Fiind o combinaţie înre procesul AR() şi MA(), procesul ARMA(,) moşeneşe caracerisicile acesora în ceea ce priveşe funcţiile de auocorelaţie şi auocorelaţie parţială. De asemenea, deoarece procesul MA() ese saţionar indiferen de paramerul θ, saţionariaea unui proces ARMA(,) ese guvernaă de saţionariaea componenei AR(). Asfel, procesul ARMA(,) ese saţionar dacă şi numai dacă parea auoregresivă a acesuia ese saţionară. Se poae arăa fapul că funcţia de auocorelaţie a unui proces ARMA(,) urmează acelaşi ipar cu cea a unui proces AR(), numai că începând de la lagul şi nu de la lagul. Funcţia de auocorelaţie parţială penru un proces ARMA(,) descreşe, la rândul său, repa căre zero. Esimare modelelor ARMA în Eviews se realizează uilizând un obiec de ip equaion. In cadrul specificaţiei ecuaţiei în casea de dialog Equaion Esimaion, părţile AR şi MA ale modelului sun specificae folosind cuvinele Page 76

75 cheie ar şi ma, ca pare a ecuaţiei. Rezulaele esimării unui model de regresie cu specificaţii AR sau MA sun similare cu cele de la o ecuaţie de regresie simplă, cu adăugarea unui nou bloc, care prezină rădăcinile polinoamelor AR şi MA. Eviews oferă acces la mai mule insrumene de diagnosic, care ajuă la evaluarea srucurii ARMA a ecuaţiei esimae. Penru a afişa srucura ARMA, selecaţi View/ARMA Srucure... din meniul unei ecuaţii esimae. Se deschide căsuţa de dialog ARMA Diagnosic Views, aceasa fiind disponibilă doar penru modelele care includ cel puţin un ermen AR sau MA şi sun esimae cu meoda celor mai mici părae. Exisă rei moduri de vizualizare disponibile: prezenarea rădăcinilor polinoamelor AR şi MA, cea mai imporană, prezenarea corelogramei şi analiza de ip răspuns la impuls. Vizualizarea referioare la rădăcinile asociae modelului afişează inversul rădăcinilor polinomului caracerisic AR şi/sau MA. Rădăcinile po fi afişae ca un grafic sau sub forma unui abel prin selecarea buonului corespunzăor. Vizualizarea sub formă grafică prezină rădăcinile în planul complex în care pe axa orizonală ese parea reală şi pe axa vericală ese parea imaginară a fiecărei rădăcini. În cazul în care procesul ARMA esima ese saţionar, aunci oae rădăcinile AR ar rebui să fie plasae în ineriorul cercului uniae. În cazul în care procesul ARMA esima ese inversabil, aunci oae rădăcinile MA ar rebui să se Page 77

76 plaseze în ineriorul cercului uniae. Vizualizarea sub formă de abel afişează oae rădăcinile în ordine descrescăoare a modulului (radical din suma păraelor părţilor reale şi imaginare). 6.4 Meodologia Box-Jenins Pe baza rezulaelor analiice prezenae în secţiunea anerioară, exemplificae pe exemple simulae, puem rage concluzia conform căreia fiecare din cele rei procese analizae până în prezen: AR(), MA() şi ARMA(,) prezină un ipar caracerisic după care se comporă funcţiile de auocorelaţie şi de auocorelaţie parţială. Aceasă semnăură care idenifică unic unul din cele rei procese, poae fi uilizaă penru a idenifica modelul care ese porivi penru a modela o serie de dae reale. Deerminarea procesului pe care îl urmează o serie de imp reală, în funcţie de srucura de auocorelaţie. Auocorelaţie Auocorelaţia parţială Concluzie Descreşe repa la zero. Scade brusc la zero, după primul lag. Descreşe repa la zero. Scade brusc la zero, după primul lag. Descreşe repa la zero. Descreşe repa la zero. Proces AR() Proces MA() Proces ARMA(,) Asfel, dacă penru o serie de dae funcţiile de auocorelaţie şi auocorelaţie parţială esimae se comporă ca cele ale unui model AR() (auocorelaţia scade repa căre zero, în imp ce auocorelaţia parţială scade brusc, fiind semnificaivă Page 78

77 numai penru primul lag), puem rage concluzia că aceasă serie se poae modela corespunzăor prinr-un asfel de proces. Similar penru procesele MA() şi ARMA(,). Aceasă abordare poară numele de meodologia Box-Jenins şi ese sineizaă în abelul de pe pagina anerioară. Primul pas în formarea unui model ARIMA penru o serie de imp ese analizarea proprieăţilor de auocorelaţie a aceseia. In aces scop, se poae uiliza opţiunea View/Correlogram.penru a deermina corelograma. Naura corelaţiei dinre valorile curene ale reziduurilor şi a valorilor lor din recu oferă informaţii în ceea ce priveşe selecarea unei specificaţii penru modelul ARMA. Deşi ese relaiv simplă şi uşor de inerprea, meodologia Box-Jenis nu oferă un rezula lipsi de echivoc în privinţa procesului ARMA prin care se poae modela o serie de dae. Prezenţa erorilor în esimarea coeficienţilor de auocorelaţie şi de auocorelaţie parţială face ca idenificarea vizuală a raiecoriei funcţiilor de auocorelaţie să fie dificilă. Uilizare meodologiei Box-Jenins presupune o experienţă vasă de lucru cu daele. Penru selecarea mecanică şi fără echivoc a unui model de ip ARMA se po uiliza crierii informaţionale. 6.5 Modele ip ARIMA Dacă o serei ese nesaţionară în nivel, dar saţionară în prima diferenţă se numeşe serie inegraă de ordinul, noaă cu I(). Dacă o serie ese nesaţionară şi rebuie diferenţiaă de cel puţin ori penru a deveni saţionară, se numeşe inegraă de ordinul, noaă cu I ( ). Cele mai mule serii de dae economice sun inegrae de ordinul, cel mul. O serie ese reprezenaă corespunzăor prinr-un model ARIMA(,,) dacă după ce ese diferenţiaă de ori, rezulaul se poae reprezena fidel prinr-un model ARMA(,). Modele ARIMA (AuoRegressive Inegraed Moving Average) sun folosie pe scară largă penru a analiza dinamica seriilor de imp unidimensionale. Un model ARIMA ese compus din rei părţi: ermenul auoregresiv, ermenul privind ordinul de inegrare şi ermenul de medie mobilă. În analiza de ip ARIMA, Page 79

78 se asamblează un model de prognoză comple prin uilizarea de combinaţii ale celor rei blocuri descrise mai sus. Penru a specifica modelul ARIMA, ese necesar să: se diferenţieze variabila dependenă, dacă ese necesar, penru a ţine con de ordinul de inegrare. se descrie modelul de regresie srucural (variabilele dependene şi regresori) şi să se adauge ermeni AR sau MA, aşa cum ese descris mai sus. Page 8

79 7 Tehnici de modelare şi previzionare a seriilor de imp mulidimensionale Abordarea srucurală penru modelarea seriilor de imp uilizează eoria economică penru a modela relaţia dinre variabilele de ineres. Din păcae, eoria economică nu ese suficien de bogaă penru a oferi o specificaţie dinamică, care idenifică oae acese relaţii. În plus, esimarea şi inferenţa sun complicae de fapul că variabilele endogene po să apară în ambele părţi ale unei ecuaţii. Acese probleme conduc la abordări alernaive, nesrucurale, penru modelarea relaţiei dinre mai mule variabile. Exensia la cazul mulivaria a modelelor auoregresive scalare, univariae, poară denumirea de modele VAR (Vecor AuoRegression), modele auoregresive vecoriale. Modelele de ip VAR sun frecven uilizae penru prognozarea sisemelor de serii de imp inerconecae şi penru analizarea impacului dinamic al inovaţiilor asupra sisemului de variabile. Abordarea VAR eludează nevoia de modelare srucurală prin raarea fiecărei variabile endogene din sisem ca pe o funcţie a lag-urilor, a valorilor din recu, a uuror variabilelor endogene din sisem. Prinre avanajele modelelor VAR: nu necesiă separarea clară a variabilelor în endogene şi exogene; se po uiliza penru a deduce modul în care variabilele economice răspund la şocuri; sun uilizae pe scară largă în modelarea macroeconomică, fiind incluse în majoriaea programelor economerice Cu oae acesea, modelele VAR nu sun lipsie de dezavanaje: au fos criicae deseori din pricina lipsei fundamenelor eoreice; Page 8

80 în siuaţia în care presupun şi exisenţa unor ineracţiuni conemporane înre variabile (modele srucurale) necesiă impunerea de resricţii suplimenare, penru a puea fi idenificae; inerprearea rezulaelor depinde decisiv de modul în care au fos impuse acese resricţii. Aces capiol descrie esimarea şi analiza modelelor de ip VAR. Urmăorul capiol descrie esimarea şi analiza modelelor care permi inegrarea prezenţei unei relaţii pe ermen lung înre mai mule variabile din model. 7. Modele ip VAR() Modelul VAR porneşe de la ideea că oae variabilele po fi endogene, valoarea curenă a fiecărei variabile depinzând de propriile laguri şi de lagurile celorlale variabile. Un model VAR bidimensional cu un lag ese se reprezină prin ecuaţiile x β + βx z β + βx Maricial, relaţia de mai sus se scrie ca unde y ( x, z ) T y + β z + β z β + By + ε, β, β, β, ( ) T + u + u β β β. β ε u u ese B şi ( ) T un vecor de inovaţii, care poae fi conemporan corela, dar ese necorela cu valorile din perioadele anerioare şi cu variabilele din parea dreapă a ecuaţiei. Penru a specifica un model VAR în Eviews, rebuie să se creeze mai înâi un obiec var. Se selecează Quic/Esimae VAR... Fila Basics a căsuţei de dialog va solicia definirea srucurii VAR: Se selecează ipul de model VAR: Unresriced VAR. Ceea ce s-a numi până acum un VAR ese de fap un VAR neresricţiona., Page 8

81 Se inroduc specificaţiile lag-urilor în căsuţa de ediare corespunzăoare. Aceasă informaţie se inroduce în perechi: fiecare pereche de numere defineşe o serie de lag-uri. Se inroduce numele seriilor endogene şi exogene în caseele de ediare corespunzăoare. Eviews va afişa rezulaele esimării în fereasra VAR. Fiecare coloană din abel corespunde unei ecuaţii din modelul VAR. Penru fiecare variabilă din parea dreapă, Eviews raporează coeficienul esima, eroarea sa sandard şi saisica esului. Deoarece nu ese afişa p-value penru esul, inerprearea rezulaelor acesui es ese mai dificilă. Ca o regulă generală, dacă valoarea în modul a a saisicii ese mare (i.e. mai mare decâ,5) se respinge ipoeza nulă şi asfel paramerul respeciv ese semnificaiv din punc de vedere saisic. Page 83

82 Eviews afişează informaţii suplimenare în parea de jos a feresrei cu rezumaul esimării. Prima pare a informaţiei suplimenare prezină saisici sandard ale regresiei OLS penru fiecare ecuaţie. Rezulaele sun calculae separa penru fiecare ecuaţie folosind reziduurile aceseia şi sun afişae în coloana corespunzăoare. Numerele prezenae în parea de jos a abelului sun rezumae ale saisicilor sisemului VAR ca un înreg. După ce a fos esima un model VAR, Eviews oferă posibiliăţi diferie penru a lucra cu aces model. Un se de insrumene de diagnosicare sun prevăzue în cadrul srucurii de meniuri View/Lag Srucure şi View/Residual Tess în fereasra VAR. Acese insrumene po ajua la verificarea gradului de adecvare a VAR esima. Modelul VAR() are o imporanţă deosebiă în meodologia VAR, având în vedere fapul că orice model VAR, cu un număr p de laguri se poae ransforma înr-un VAR() şi invers. Vom ilusra aces fap penru un model VAR(), cu două x β + βx + βz + βx variabile: z β + βx + βz + βx Maricial, relaţia de mai sus se scrie ca y + β z + β z B + B y + B y + ε, + u. + u Page 84

83 unde y ( x, z ) T, ( ) T B β,β, β β B, β β β β B şi β β ε ( u, u ) T. Maricele din relaţia anerioară se po grupa, asfel încâ modelul să aibă forma unui VAR(), asfel B Y + BY + U,, T T Unde ( ) T Y y, y B I ( ) B T T B şi ( ε ) T Scris cu variabilele iniţiale, x şi obţine din Y prin înmulţirea cu maricea x J Y. z ε. U, z, ( x z, x z ) T. x şi z se po Y,, J : 7. Funcţii de răspuns la impuls Numărul ridica de coeficienţi dinr-un model VAR (înr-un model cu un lag şi două variabile, fără consană, sun 4 coeficienţi ce rebuie esimaţi) face relaiv dificilă inerprearea relaţiilor care exisă înre variabile pornind de la aceşi coeficienţi. În loc să se analizeze fiecare coeficien din fiecare ecuaţie, se poae analiza o imagine sineică a comporamenului dinamic a modelului VAR. Aceasă imagine ese daă de funcţiile de răspuns la impuls, care descriu (sub formă de abel sau sub formă grafică) modul în care fiecare variabilă reacţionează la un şoc propriu sau la un şoc în celelale variabile. Un şoc apăru în cadrul ecuaţiei variabilei i nu numai că afecează în mod direc variabila i, dar ese ransmis, de asemenea, uuror celorlale variabile endogene prin srucura dinamică a modelului VAR. O funcţie de răspuns la Page 85

84 impuls urmăreşe efecul unui şoc apăru la un momen da înr-una din inovaţiile modelului asupra valorilor prezene şi viioare ale variabilelor endogene. Cea mai simplă cale de consrucţie a funcţiilor de răspuns la impuls ese prin ierarea succesivă a modelului, uilizând maricea esimaă de coeficienţi. Să presupunem, de exemplu că vrem să analizăm efecele unui şoc în variabila x. Pornim cu ( x z ) T, unde x şi z. După o perioadă y, x β β β, z β β β unde penru a surprinde numai efecele unui şoc iniţial în x, presupunem că erorile în oae celelale momene sun zero. În relaţia precedenă β reprezină efecul unui şoc în x asupra lui x, după o perioadă, iar perioadă. Ierând încă o perioadă: β reprezină efecul unui şoc în x asupra lui z, după o x β β β B, z β β β rezulă că efecele unui şoc în x după două perioade se exrag din prima coloană a maricei B. Ierând în coninuare, după 3,..., n perioade, obţinem că efecul (răspunsul la impuls) în variabila i la un şoc în variabila j ese egal cu elemenul de pe poziţia ( i, j) din maricea n j n B, r i ( n) ( B ) i, j. În cazul în care inovaţiile sun simulan necorelae, inerprearea răspunsului la impuls ese relaiv simplă. Inovaţia i ese pur şi simplu un şoc penru variabila i. Inovaţiile, cu oae acesea, sun de obicei corelae, şi po fi privie ca având un elemen comun, care nu poae fi asocia cu o variabilă specifică. Penru a inerprea, în aceasă siuaţie generală, răspunsurile la impuls, se obişnuieşe să se aplice o ransformare a inovaţiilor, asfel încâ acesea să devină necorelae. Page 86

85 In Eviews, penru a obţine funcţiile de răspuns la impuls, se esimează mai înâi modelul VAR, apoi se selecează View/Impulse Response... din bara de insrumene VAR. Se afişează o caseă de dialog cu două file: Display şi Impulse Definiion. În fila Display Informaion ar rebui inroduse variabilele penru care se doreşe să se genereze inovaţii (Impulsuri) şi variabilele penru care se doreşe să se urmărească răspunsurile (Responses). 7.3 Descompunerea varianţei În imp ce funcţiile de răspuns la impuls urmează efecele unui şoc apăru în dinamica unei variabile asupra unei ale variabile din VAR, descompunerea varianţei oferă informaţii despre imporanţa relaivă a fiecărei inovaţii privind efecul asupra dinamicii variabilelor din VAR. Penru a obţine descompunerea varianţei, se selecează View/Variance Decomposiion... din bara de insrumene a obiecului var. Pracic, rebuie să se furnizeze aproximaiv aceleaşi informaţii ca şi mai sus în cazul specificării unei funcţii de răspuns la impuls. Ca şi în cazul Page 87

86 răspunsurilor la impuls, descompunerea varianţei bazae pe meoda Cholesy, are o mare senziiviae faţă de modul de ordonare al variabilelor în modelul VAR. Vom prezena inuiţia eoreică pe care se bazează descompunerea varianţei erorii de prognoză penru un model VAR() cu două variabile. Penru mai mule laguri şi mai mule variabile inuiţiea se păsrează, dar apar unele complicaţii inerene dimensiunii ridicae a sisemului şi numărului ridica de laguri. Vom considera modelul VAR() cu două variabile: ( x z ) y,, β B, β β β B şi β β ε u u presupus a fi disribui normal bi-varia, cu medie [ ] varianţă covarianţă ( u u ) y B + B y + ε, unde. Vecorul de erori ese E ε şi marice de [ ] [ ] [ ] [ ] u E uu σ u E u u σ u E u E. u E u Σ Dacă se cunosc valorile celor două variabile la momenul : x şi z, E y y B + B y, iar eroarea de prognoza penru momenul urmăor va fi: [ ] prognoză [ y y] y E ε. Prognoza penru momenul, pe baza informaţiilor de la momenul ese [ y y] B + BE [ y y] B + BB B y y E[ y y] ε + Bε E +, cu eroarea de prognoză. În general, eroarea corespunzăoare prognozei de pese perioade, pe baza informaţiilor din prezen ese y E [ y y] + Bε + B ε + + B ε ε L, ceea ce se raduce prinr-o medie ponderaă a erorilor ce vor apare pe parcurs. Ponderile erorilor sun cu aâ mai mari, cu câ acesea sun mai recene. Page 88

87 Page 89 Eroarea de prognoză a variabilei x după două perioade ese [ ] u u u y x E x β + β +, iar după rei perioade: [ ] ( ) ( ) ( ) u u u u u y x E x β β β β β β β β β Coeficienţii ( ) ( ) β β β + şi ( ) β β β β + sun exraşi de pe prima linie a maricei B. Penru eroarea de prognoză a variabilei x după rei perioade am avea nevoie de prima linie a maricei 3 B ec. Scrierea erorii de prognoză a lui x se simplifică dacă uilizăm funcţiile de răspuns la impuls ( ) r j, răspunsul primei variabile ( ) x la variabila j ( j penru x şi j penru z ) după perioade. Uilizând răspunsurile la impuls, eroarea de prognoză a variabilei x după două perioade se scrie: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) u r u r u r u r y x E x + + +, iar după două perioade: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u r u r u r u r u r u r y x E x În general, [ ] ( ) ( ) + j j j j u j r u j r y x E x. Varianţa erorii de prognoză ese [ ] [ ] ( ) ( ) + j j j j u j r u j r Var y x E x Var. Deoarece erorile sun necorelae, aâ înre ecuaţii, la acelaşi momen, dar şi în ineriorul aceleaşi ecuaţii, varianţa erorii de prognoză devine [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ). σ σ j j j j j j j j j j j r j r u Var j r u Var j r u j r Var u j r Var y x E x Var

88 Varianţa de prognoză a variabilei x apare asfel ca fiind rezulaul celor două varianţe ale erorilor care inervin în ecuaţiile VAR. Puem calcul procenul de varianţa oală a erorii de prognoză care se daorează primei variabile: y j j fiind daora varianţei celei de a doua variabilă. ( r ( j) ) σ Var[ x E[ x ], resul r ( j) ( ) σ Var x E[ x ] [ ] y În general, înr-un sisem cu n variabile, procenul din varianţa erorii de prognoză a variabilei i care se daorează varianţei erorii din ecuaţia variabilei j, j după perioade, ese ri () l j 7.4 Cauzaliae Granger σ l [ ]. ( ) Var x E[ x y ] În cadrul modelelor VAR se po sabili relaţiile de cauzaliae în sens Granger care exisă înre variabile. Pornind de la ideea că efecul nu poae să preceadă cauza, Granger (969) a inrodus o noţiune de cauzaliae definiă asfel: dacă variabila x influenţează variabila z, aunci cunoaşerea valorilor lui x rebuie să amelioreze performanţa prognozelor făcue asupra lui z. În modelul VAR() prezena mai sus, cauzaliaea Granger înre cele două variabile se esează asfel: de la z la x : H : z nu cauzează Granger pe x β ; de la x la z : H : x nu cauzează Granger pe z β. Respingerea ipoezei nule ese un indiciu în favoarea cauzaliăţii. Page 9

89 8 Tehnici de analiză a dinamicii pe ermen lung a variabilelor economice Aces capiol descrie procesul de esimare şi analiză a modelelor de ip VEC (Vecor Error Correcion), precum şi modelele şi insrumenele penru esarea prezenţei relaţiilor de coinegrare dinre mai mule variabile nesaţionare. Teoria din spaele esimării modelelor ARMA, discuae în capiolul 6, se bazează pe serii de imp saţionare. O serie ese saţionară (în covarianţă) în cazul în care media, varianţa şi auo-covarianţele seriei nu depind de imp. Orice serie care nu ese saţionară se numeşe nesaţionară. Un exemplu clasic de serie nesaţionară ese procesul de ip random wal: y y + ε unde ε ese un proces saţionar. Procesul Random wal ese o serie saţionară în prima diferenţă, sau proces cu ordin de inegrare, deoarece prima diferenţă a procesului ( y y ε) ese un proces saţionar. Ordinul de inegrare, sau numărul de rădăcini uniare (uni roos), reprezină numărul de operaţiuni de diferenţă necesare penru a face o serie saţionară. Penru procesul de ip random wal exisă o singură rădăcină uniae, deci ese o serie I(). Similar, o serie saţionară ese I(). Procedurile sandard de inferenţă nu se aplică penru ecuaţii de regresie care conţin o variabilă dependenă inegraă sau regresori inegraţi. Prin urmare, ese imporan să se verifice dacă o serie ese saţionară înaine de a o uiliza înr-o regresie. Meoda formală penru esarea saţionariăţii unei serii ese esul de uni roo (rădăcină uniae), despre care s-a discua în Capiolul 6. Unul din dezavanajele analizei seriilor nesaţionare în două eape: saţionarizare prin diferenţiere sau eliminarea unui rend, urmaă de analiza propriu-zisă ese posibiliaea pierderii în aces mod a informaţiilor asupra Page 9

90 dinamicii pe ermen lung a seriilor de imp. Aces dezavanaj poae fi adresa prin uilizarea unor meode concepue special penru analiza seriilor nesaţionare. Consaarea empirică porivi căreia mule serii de imp macroeconomice conţin o rădăcină uniae a impulsiona dezvolarea eoriei analizei seriilor de imp de nesaţionare. Engle şi Granger (987) au sublinia fapul că o combinaţie liniară a două sau mai mule serii nesaţionare poae conduce la o serie care ese saţionară. În cazul în care exisă o asfel de combinaţie liniară saţionară, se spune că serile nesaţionare care inră în aceea combinaţie sun coinegrae. Combinaţia liniară saţionară se numeşe ecuaţia de coinegrare şi poae fi inerpreaă ca o relaţie de echilibru pe ermen lung înre variabile. Avanaje ale uilizării meodologiei coinegrării: permie analiza seriilor de imp nesaţionare, fără a pierde informaţiile legae de comporamenul acesora pe ermen lung; coinegrarea să la baza modelelor VEC, care includ aâ relaţia pe ermen lung, câ şi mecanismul de corecţie a erorilor. Dezavanaje: necesiă impunerea de resricţii suplimenare penru idenificarea relaţiei de coinegrare; meodologia dezvolaă penru deerminarea numărului de relaţii de coinegrare ese relaiv complexă; siuaţiile în care înre variabile exisă mai mule relaţii de coinegrare sun dificil de inerprea din punc de vedere economic. 8. Tese de coinegrare Scopul unui es de coinegrare consă în a deermina dacă un grup de serii nesaţionare sun coinegrae sau nu. După cum se explică în coninuare, prezenţa unei relaţii de coinegrare consiuie baza penru modelele de ip VEC. Page 9

91 Meodologia Engle-Granger se uilizează, în special, penru a esa exisenţa coinegrării înre două serii de dae şi consă în esimarea unei regresii înre cele două variabile şi esarea saţionariăţii reziduurilor rezulae. Dacă seria de reziduuri ese saţionară, cele două serii sun coinegrae. Eviews implemenează ese de coinegrare pe bază de modele VAR, folosind meodologia elaboraă de căre Johansen (99, 995). Penru a efecua esul de coinegrare Johansen, se selecează View/Coinegraion Tes... din grup sau bara de insrumene a feresrei VAR. De reţinu fapul că, deoarece discuăm de un es de coinegrare, acesa ese valabil numai aunci când se lucrează cu serii despre care se şie că sun nesaţionare. Se po aplica mai înâi ese ale rădăcinii uniae penru fiecare serie din VAR. Pagina Coinegraion Tes Specificaion soliciă informaţii despre es. În pracică, cazurile şi 5 sun rar folosie. Ar rebui uiliza cazul numai dacă şiţi că oae seriile au medie zero. In pracică, se uilizează cazul dacă nici una din serii nu pare să aibă un rend. Penru serii cu rend se uilizează cazul 3, dacă se consideră că oae rendurile sun socasice; dacă se consideră că unele serii au un Page 93

92 rend deerminis, se uilizează cazul 4. Dacă nu exisă siguranţă privind rendul care se poae folosi în ipoeză se poae alege opţiunea Summary of all 5 rend assumpions (cazul 6). Aceasă opţiune indică numărul de relaţii de coinegrare sub fiecare din cele 5 ipoeze de rend, şi apoi se va puea evalua gradul de sensibiliae al rezulaelor faţă de acese ipoeze. Prima pare a abelului cu rezulae prezină numărul de relaţii de coinegrare. Două ipuri de ese saisice sun raporae. Primul bloc prezină aşanumiele saisici race şi al doilea bloc (care nu apare in figura de mai sus) prezină saisicile maximum eigenvalue. Penru a deermina numărul de relaţii de coinegrare, condiţiona de ipoezele făcue cu privire la rend, se analiză succesiv rezulaele de la r până la r K până când nu se mai respinge ipoeza nulă asociaă esului. Rezulaul acesei proceduri de esare secvenţială ese prezena în parea de jos a fiecărui abel cu rezulae. Page 94

93 A doua pare a feresrei cu rezulae oferă esimări ale paramerilor din relaţiile de coinegrare β şi ale paramerilor de ajusare α. După cum se cunoaşe, vecorul de coinegrare nu ese idenifica dacă nu se impun o anumiă normalizare a acesuia în mod arbirar. De obicei, se uilizează o normalizare definie în Johansen (995). De reţinu fapul că ranspusa lui β ese raporaă prin selecarea opţiunii Unresriced Coinegraing Coefficiens, asfel încâ pe primul rând ese primul vecorul de coinegrare, pe al doilea rând ese al doilea vecor de coinegrare, şi aşa mai depare. 8. Modele ip VEC Un model de ip VEC (Vecor Error Correcion) ese un model VAR resricţiona concepu penru a fi uiliza în cazul seriilor nesaţionare despre care se cunoaşe că sun coinegrae. Un model VEC are încorpora în carul srucurii sale acese relaţii de coinegrareare, asfel încâ urmăreşe să limieze dinamica pe ermen lung a variabilelor endogene asfel încâ să conveargă căre relaţiile lor de coinegrare, permiţând în acelaşi imp ajusări dinamice pe ermen scur. Termenul care cuanifică relaţia de coinegrare ese cunoscu ca ermenul de corecare a erorilor (error correcion), deoarece o evenuală abaere de la echilibrul pe ermen lung ese corecaa repa prinr-o serie de ajusări parţiale pe ermen scur. Coeficienţii regresiei esimae dau relaţia de coinegrare, care se poae inerprea ca o relaţie pe ermen lung înre cele două variabile. Combinând relaţia pe ermen lung cu un mecanism de ajusare pe ermen scur, se obţine un modelde ip VEC. Dacă două variabile, coinegrae) aunci y β y y şi y respecă relaţia pe ermen lung (sun, β. Mecanismul de ajusare pe ermen scur > conţine răspunsul fiecărei variabile la abaerile de la relaţia pe ermen lung: Δy α Δy α ( y βy ) ( y β y ) + γ Δy + γ Δy + γ Δy + γ Δy + u. + u Page 95

94 În relaţia de mai sus, coeficienţii α şi α reflecă vieza cu care cele două variabile se ajusează la relaţia pe ermen lung. De exemplu, dacă y > β y, ceea ce înseamnă că variabila y ese mai mare decâ rebuie conform relaţiei de echilibru, y, dacă α, ceea ce readuce variabila la valori compaibile cu Δ < < relaţia pe ermen lung. Maricial, relaţia de definiţie a unui model VEC se scrie Δ T y β y + Γ Δy + α u,, α ( α,α )T, ( β β, β )T, Γ γ γ γ γ unde ( y y ) T y, şi ( u u ) T u,. Ese de remarca fapul că un model VEC se poae pune sub forma unui model VAR şi invers: T ( I + Γ + β ) y Γ y u y α +. Deoarece modelul de ip VEC se aplică numai penru serii coinegrae, ese necesar să se ruleze mai înâi un es de coinegrare, aşa cum ese descris mai sus, şi să se deermine numărul de relaţii de coinegrare. Acese informaţii rebuie furnizae ca pare a specificaţiilor VEC. In Eviews, penru a configura un model VEC, se face clic pe buonul Esimae din bara de insrumene şi se alege opţiunea Vecor Error Correcion din fila VAR/VEC Specificaion. În fila VAR/VEC Specificaion rebuie furnizae aceleaşi informaţii ca penru un VAR neresricţiona, cu unele excepţii: Termenul de rend consan sau liniar nu ar rebui să fie inclus în casea de ediare Exogenous Series. Specificaţiile privind rendul penru un model VEC rebuie să fie menţionae în fila Coinegraion. Specificaţiile referioare la lag-uri se referă la ermenii consând în prima diferenţă a variabilelor şi care cuanifică dinamica pe ermen scur din Page 96

95 VEC. Penru a esima un VEC fără lag-uri în ermenii consând în prima diferenţă, se specifică inervalul de lag " ". Dacă se doreşe impunerea de resricţii cu privire la relaţiile de coinegrare şi/sau a coeficienţilor de ajusare, se uilizează fila Resricions. Fereasra care conţine rezulaele esimării modelului VEC se compun din două părţi. Prima pare raporează rezulaele procedurii Johansen, efecuaă în prima eapă. Dacă nu exisă resricţii impuse, Eviews va uiliza o normalizare impliciă. Aceasă normalizare impliciă exprimă primele variabilele r din VEC, ca funcţii de resul de K r variabile rămase, unde r ese numărul relaţiilor de coinegrare şi K ese numărul de variabile endogene. Penru paramerii care sun idenificaţi în cadrul resricţiilor sun raporae erorile sandard asimpoice. A doua pare a abelului cu rezulae prezină esimările, deerminae în a doua eapă, privind modelul VAR, exprima ca prima diferenţă a variabilelor analizae şi incluzând ermenii de corecţie a erorilor esimae în prima eapă. Termeni de corecţie a erorilor sun noaţi CoinEq, CoinEq, şi aşa mai depare în cadrul rezulaelor. Aceasă pare a rezulaului are acelaşi forma ca şi rezulaul unui VAR neresricţiona, după cum ese descris în capiolul anerior. Page 97

96 9 Tehnici de analiză a modelelor de ip panel daa Daele de ip panel sau pool implica observaţii care posedă aâ idenificaori penru secţiuni ransversale, câ şi privind evoluţia în imp a acesora. Analiza acesui ip de dae se realizează în Eviews în fişiere de lucru de ip panel. Exisă două moduri de bază penru a crea un fişier de lucru srucura cu dae de ip panel. În primul rând, se poae crea un nou fişier de lucru care are o srucură de panel. Pur şi simplu se selecează opţiunea File/New/ Worfile... din meniul principal penru a deschide căsuţa de dialog Worfile Creae. În coninuare, se selecează Balanced Panel din lisa mobilă Worfile srucure ype şi se compleează căsuţa de dialog după cum se doreşe. O a doua meodă de srucurare a fişierului de lucru cu dae de ip panel ese să se inroducă prima daă dae sivuie înr-un fişier de lucru nesrucura şi apoi să se aplice o srucură penru a crea un fişier de lucru de ip panel. Penru a srucura un fişier exisen, se selecează Proc/ Srucure/Resize Curren Page... din fereasra principală de lucru. Eviews deschide o căsuţă de dialog Worfile Page 98

97 srucure. Srucura de bază a căsuţei de dialog ese desul de similară cu cea a căsuţei de dialog Worfile creae. In parea sângă se găseşe o lisă mobilă, din care se va seleca un ip de srucură. Cea mai simplă meodă penru definirea unei srucuri de ip panel cu frecvenţă regulaă ese de a seleca Daed - regular frequency. Parea dreapă din căsuţa de dialog se modifică penru a refleca alegerea făcuă la pasul preceden, soliciându-se descrierea srucurii de dae. Clasa de bază a modelelor ce po fi esimae folosind insrumene penru dae de ip panel poae fi scrisă asfel: unde Y i ese variabila dependenă, Y α + X β + δ + γ + ε i i i i X i ese un vecor dimensional de regresori şi ε i sun inovaţiile penru M uniăţile ransversale şi observae penru T perioade. Termenii δ i şi γ reprezină efecele specifice (aleaoare sau fixe) penru uniăţi ale secţiunii ransversale sau penru anumie perioade de imp. Prezenţa efecelor specifice ransversale sau emporale poae fi surprinsă şi analizaă uilizând ehnici penru efece fixe şi penru efece aleaoare. Se po specifica modelele ce conţin efece înr-una sau ambele dimensiuni, de exemplu, un efec fix în dimensiunea secţiunii ransversale, un efec aleaor în dimensiunea perioadei sau un efec fix în secţiunea ransversală şi un efec aleaoriu în dimensiunea perioadei. Trebuie evidenţia fapul că, ouşi, cele cu efece aleaorii în ambele dimensiuni po fi esimae numai în cazul în care panelul ese echilibra, asfel încâ fiecare secţiune ransversală are acelaşi se de observaţii emporale. Specificaţiile cu efece fixe sun raae folosind o abordare simplă care consă în eliminarea mediei variabilei dependene la nivel ransversal sau emporal şi apoi uilizarea unei ecuaţii de regresie uilizând daele rezulae. Specificaţiile cu efece aleaoare presupun că efecele corespunzăoare δ i şi γ sun realizări ale unor variabile aleaoare independene cu medie zero şi varianţă finiă. Cel mai imporan, specificaţia bazaă pe efece aleaoare presupune fapul că efecul Page 99

98 specific ese necorela cu inovaţiile ecuaţiei. Eviews prelucrează modele cu efece aleaoare folosind ehnici de ip FGLS. Eviews permie esimarea ecuaţiilor de ip panel uilizând meoda OLS sau meoda variabilelor insrumenale, cu corecţii penru efecele fixe sau aleaoare, aâ în dimensiunea secţiunii ransversale, câ şi în cea emporală, erorile de ip AR şi erorile sandard robuse. Primul pas în esimarea unei ecuaţii de ip panel ese consruirea unui obiec equaion prin uilizarea opţiunii Objec/New Objec.../Equaion sau Quic/Esimae Equaion din meniul principal. Eviews va deeca prezenţa srucurii de ip panel şi în loc de căsuţa de dialog a ecuaţiei de regresie sandard se va deschide căsuţa de dialog specifică srucurii de ip panel. Trebuie deschisă lisa mobilă Mehod penru a alege meoda de esimare, fiind disponibile LS - Leas Squares (and AR), adică meoda OLS, TSLS - Two-Sage Leas Squares (and AR), adică meoda variabilelor insrumenale, precum şi GMM / DPD - Generalized Mehod of Momens / Dynamic Panel Daa uilizaă în cazul în care în parea dreapă a ecuaţiei se găsesc lag-uri ale variabilei dependene. Căsuţa de dialog penru esimarea OLS conţine mai mule pagini în care rebuie inroduse specificaţia modelului, opţiunile de esimare de ip panel şi opţiunilor generale de esimare. Specificaţia ecuaţiei se inroduce în casea Page