Ράβδος σε αταόρφη στροφιή ίνηση πο "ελεθερώνεται". Μια ομογενής λινδριή ράβδος μάζας Μ =,5g αι μήος = 1,m είναι αρθρωμένη στο ένα άρο της αι μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε αταόρφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα πο φ διέρχεται από το άρο της. Φέρομε την ράβδο σε οριζόντια θέση αι την αφήνομε ελεύθερη να ετελέσει στροφιή ίνηση. Όταν η ράβδος έχει στραφεί ατά ία φ το μέτρο της ταχύτητας το έντρο μάζας της ράβδο μεταβάλλεται με ρθμό d m = 1,8. s α) Στη θέση ατή να βρείτε το ρθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής. Όταν η ράβδος γίνεται αταόρφη με άποιο μηχανισμό αφαιρείται ο άξονας περιστροφής της ράβδο από τη άρθρωση αι η ράβδος ελεθερώνεται. Η αφαίρεση το άξονα περιστροφής διαρεί απειροελάχιστο χρόνο χωρίς την δράση εξωτεριών ροπών στη ράβδο αι την απώλεια ενέργειας. β) Να βρείτε τη ιαή ταχύτητα περιστροφής της ράβδο αμέσως την αφαίρεση το άξονα. γ) Να πολογίσετε την δύναμη πο ασεί η άρθρωση στη ράβδο αμέσως την αφαίρεση το άξονα. Μετά χρόνο t = 0,4s την αφαίρεση το άξονα αι την ελεθέρωση της ράβδο να πολογίσετε: δ) την ινητιή ενέργεια αι την στροφορμή της ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της, ε) το ρθμούς μεταβολής της ινητιής ενέργειας αι της στροφορμής της ράβδο ως προς τον άξονα περιστροφής της. ν η ράβδος τπάει στο οριζόντιο δάπεδο αφού διαγράψει δύο στροφές την ελεθέρωσή της να βρείτε: στ) την απόσταση το έντρο μάζας της ράβδο από το δάπεδο μόλις ατή ελεθερώνεται. Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδο ως προς άξονα άθετο σε ατή πο διέρχεται από το έντρο μάζας της Ι = 1 M 1, g = 10ms - αι π = 10. ι απαντήσεις 1 Βασίλης Τσούνης www.btsounis.gr mail@btsounis.gr
α) I I M 1 I = M + M 1 1 I = M I = 1,Kgm 3 d d d d a a = 3rad / s dl = Στ = I a dl Kgm = 3,6 s φ Μg a β) ς βρούμε τη ιαή ταχύτητα στροφιής ίνησης της ράβδο αι την ταχύτητα το μόλις ατή γίνει αταόρφη αι την αφαίρεση το άξονα περιστροφής. 1 11 I ω = Μg M ω = Μg 3 3g ω= ω= 5rad / s = ω = 3m / s Μέτα την αφαίρεση το άξονα η ράβδος ετελεί: μία στροφιή ίνηση γύρω από ελεύθερο (νοητό) οριζόντιο άξονα άθετο στη ράβδο πο διέρχεται από το έντρο μάζας ατής, αι μια μεταφοριή ίνηση Υπολογισμός της ιαής ταχύτητας ω αμέσως την αφαίρεση το άξονα περιστροφής. 1η αντιμετώπιση: Η ταχύτητα το σημείο αμέσως είναι όσο αι (δεν πρόλαβε να αλλάξει...όπως αι η ) δηλαδή μηδέν... ω φ ω U = 0 ω ω = 0 = ω ω = ω ω= ω ω = 5rad / s (...δεν μπορούμε...χωρίς πολογισμούς να πούμε ότι δεν πρόλαβε να αλλάξει αι η ω γιατί άλλαξε ο άξονας περιστροφής...).
Με δεδομένη την παρατήρηση ότι η δεν πρόλαβε να αλλάξει, αμέσως =, αμέσως = = ω μπορούμε να αντιμετωπίσομε το πρόβλημα ενεργειαά αλλά αι με διατήρηση στροφορμής. η αντιμετώπιση : φού δεν πάρχον απώλειες ενέργειας = 1 1 1 Ιω = Ιω + Μ / βλ. πόθεση 1 1 1 1 1 M ω = M ω + Μ ω 3 1 1 1 1 M ω = M ω + M ω ω= ω ω = 5rad / s 6 4 8 3η αντιμετώπιση : φού δεν πάρχον ροπές εξωτεριών δνάμεων ατά την διάρεια αφαίρεσης το άξονα περιστροφής έχομε διατήρηση στροφορμής... 3 L = L / βλ. πόθεση I ω= I ω + M 1 1 M ω= M ω + Mω 3 1 ω= ω ω = 5rad / s γ) ια τον πολογισμό της δύναμης της άρθρωσης μελετάμε την ίνηση το έντρο μάζας...πο είναι λιή...θεωρώντας όλες τις δνάμεις ως ασούμενες στο αι όλη της μάζα της ράβδο στο. Έστω ότι η άρθρωση ασεί μια δύναμη την οποία αναλύομε σε δύο σνιστώσες την ατινιή αι τη εφαπτομενιή. ράφομε για το αι τος δύο ατούς άξονες τον ο νόμο Newton... ΣF = Ma - Mg = M r - Mg = Mω r = 6,5N = Mg + Mω ΣF = Ma... ε = M a...αι επειδή ε = 0, άρα = = 6,5N 1 1 1 M ω= M ω + Mω 3 1 4 α () ε ε r Μg ( ) ω = 0 (γιατί;) θα έχομε
4 δ) Μέτα την αφαίρεση το άξονα, στη ράβδο ασείται μόνο το βάρος της πο όμως δεν έχει ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής αι έτσι η ράβδος ετελεί σύνθετη ίνηση η οποία αποτελείται από : μια ομαλή στροφιή ίνηση - γύρω από ελεύθερο (νοητό) οριζόντιο άξονα άθετο στη ράβδο πο διέρχεται από το έντρο μάζας της - με σταθερή ιαή ταχύτητα ω = 5rad / s, αι μια μεταφοριή ίνηση ατά την οποία το της διαγράφει οριζόντια βολή. Την ίνηση ατή την μελετάμε σε δύο άξονες έναν οριζόντιο αι ένα αταόρφο. Στο οριζόντιο άξονα η ίνηση είναι εθύγραμμη ομαλή με = = σταθερή = 3m / s αι =t = 3t (S.I). Στον αταόρφο άξονα - πο ασείται το βάρος - έχομε ελεύθερη πτώση με σταθερή επιτάχνση a = g =10m / s αι με εξισώσεις ταχύτητας αι θέσης 1 = gt = 5t ( S. I ). Ύστερα από t = 0,4s η ράβδος θα έχει = 3m / s, = 4m / s, = + = 5 m / s αι ω = 5rad / s. ινητιή ενέργεια : K = K + K μετ στροφ 1 1 K= Μ + Iω 1 I = Μ I = 0,3Kgm 1 1 1 K =,5.5 + 0,3.5 K = 35J Θα μπορούσαμε να βρούμε πόσο ατέβηε το αι να πάρομε Θ.Μ..Ε ή διατήρηση μηχανιής ενέργειας... = 5t =0,8m.. - αρχ =W B = Mg = αρχ + Mg 1 1 = Iω + M + Mg... = 35J Στροφορμή: L = I ω L= 0,3Kgm 5rad / s = gt L= 1,5Kgm / s = 10t (S.I) αι ω = ω
1 1 1 1 1 ε) K= Μ + Iω K= Μ Μ + Iω αι με απλή παραγώγιση επειδή = st αι ω = st παίρνομε dk d 1 1 1 = Μ Μ + Iω dk d 1 = Μ dk 1 d dk = Μ = Μ a Mg dk = 100J / s Ρθμός μεταβολής της στροφορμής... dl = Στ = 0 στ) φού η ράβδος διαγράφει δύο πλήρεις στροφές τπάει στο έδαφος με το άτω άρο της αι την ίδια ατεύθνση πο είχε μόλις αφέθηε "ελεθερώθηε"..π 4π Χρόνος αθόδο: t k = T = s ω 5 1 Μετατόπιση έντρο μάζας ατά την άθοδο Δ = gtk... Δ = 3m πόσταση από το δάπεδο H = 3m+0,6m H = 3,6m = ω Δ H ω l 5