Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας

Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας Χρήστος Τάντος christantos@uth.gr Πανεπιστημίου Θεσσαλίας (ΠΘ) Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών (ΤΜΜ) 9 Μαρτίου 2018 9/3/2018 http://mie.uth.gr/n_ekp_yliko.asp?id=44

3.1 Εισαγωγή Μετάδοση θερμότητας με συνδυασμό των τριών βασικών μηχανισμών μεταφοράς θερμότητας (αγωγή, συναγωγή, ακτινοβολία) συναντάται συχνά σε πολλά τεχνολογικά πεδία και εφαρμογές Εξετάζεται η μετάδοση θερμότητας με συνδυασμό των τριών βασικών μηχανισμών στα όρια του προβλήματος, δηλαδή οι οριακές συνθήκες προκύπτουν με ισοζύγια θερμότητας που περιλαμβάνουν τους δύο ή και τους τρεις βασικούς μηχανισμούς Θεωρούμε ότι οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς, ενώ το μέσο που βρίσκεται ανάμεσα στις επιφάνειες που ανταλλάσουν θερμότητα είναι απόλυτα διαπερατό στην ακτινοβολία 9/3/2018 Χρήστος Τάντος 2

3.1 Εισαγωγή Το μέσο είναι πιθανόν να μεταφέρει θερμότητα με αγωγή ή/και συναγωγή αλλά δεν αλληλεπιδρά με την ακτινοβολία Η υπόθεση αυτή ισχύει για αέρα, οξυγόνο, άζωτο αλλά δεν ισχύει για υδρατμούς, μονοξείδιο και διοξείδιο του άνθρακα που συμπεριφέρονται περισσότερο σαν στερεά Οι διάφορες μορφές μετάδοσης θερμότητας είναι πιθανόν να συνδέονται σειριακά ή παράλληλα ή και τα δύο Σε μερικές περιπτώσεις εξετάζεται η κάθε μία χωριστά και στη συνέχεια προστίθενται ή άλλες φορές εξετάζονται συζευγμένα 9/3/2018 Χρήστος Τάντος 3

3.1 Εισαγωγή Όπως ήδη γνωρίζουμε η θερμορροή λόγω ακτινοβολίας ανάμεσα σε μέλανες επιφάνειες εξαρτάται από τη θερμοκρασία των επιφανειών στη 4 η δύναμη Για μη μέλανες επιφάνειες ο εκθέτης μπορεί να είναι διαφορετικός ανάλογα από την εξάρτηση της ικανότητας εκπομπής ως προς τη θερμοκρασία Στη θερμική αγωγή η θερμορροή εξαρτάται από την τοπική βαθμίδα θερμοκρασίας Στη συναγωγή η θερμορροή είναι ανάλογη της διαφοράς θερμοκρασίας συνήθως στη 1 η δύναμη 9/3/2018 Χρήστος Τάντος 4

3.1 Εισαγωγή Ακτινοβολία: q rad ~T 4 (ανάμεσα σε μέλανες επιφάνειες) Αγωγή: q cond ~ΔT (όταν ο συντελεστής θερμικής αγωγής είναι σταθερός) Συναγωγή: Εξαναγκασμένη: q conv ~ΔT (όταν ο συντελεστής συναγωγής είναι σταθερός) h x Nu NuRe,Pr, k L L Ελεύθερη: q conv ~ΔT n, (1.25 n 1.33) 3 h x gtl v Nu NuPr,Gr,, Gr, Pr 2 k L L v 9/3/2018 Χρήστος Τάντος 5

Prandtl: Pr Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.1 Εισαγωγή c v p Gr k Θερμική διαχυτότητα: Κινηματικό ιξώδες: Nusselt: Nu Grashof: h kl gtl 2 v 3 Μοριακήδιαχυτότηταορμής Μοριακήδιαχυτότηταθερμότητας k c p Ρυθμός συναγωγής Ρυθμός αγωγής Αγώμενηθερμότητα Αποθηκευμένηθερμότητα Δυνάμειςάνωσης Δυνάμειςιξώδους Χρήστος Τάντος 6 9/3/2018

Χρήστος Τάντος 7 9/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.1 Εισαγωγή Συντελεστής διαστολής: Rayleigh: Rα Gr Pr Peclet: Pe RePr αέρια 1 1 P ιδανικά Reynolds: Re ud Δυνάμειςαδράνειας Δυνάμειςιξώδους Schmidt: Sc D διαχυτότηταορμής διαχυτότηταμάζας

Χρήστος Τάντος 8 9/3/2018 Lewis: Le Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.1 Εισαγωγή k c D p Θερμικήδιαχυτότητα διαχυτότηταμάζας Mach: Μα u c ταχύτηταρευστού ταχύτηταήχου λόγος γ: Knudsen: Kn c c p v D μέση ελεύθερη διαδρομή χαρακτηριστικό μήκος

Χρήστος Τάντος 9 9/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Όπως αναφέραμε οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς δηλαδή η απορρόφηση γίνεται επιφανειακά και επομένως το ισοζύγιο ενέργειας καταλήγει να είναι οριακή συνθήκη T q = q q k ht T J - G cond conv rad w g n wall Οι ποσότητες Τ και Τ/ n είναι οι οριακές συνθήκες για την εξίσωση θερμότητας c T kt q p t

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 10 9/3/2018 Σε πολλές περιπτώσεις αντί της παραγώγου ορίζεται η θερμότητα στο τοίχωμα και τότε το ισοζύγιο θερμότητας στην επιφάνεια γράφεται στην μορφή (σε κάθε σημείο στην επιφάνεια) q T T J - G h e w g

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 11 9/3/2018 Γενικά η επίλυση του προβλήματος μπορεί να είναι ρητή, όταν δίδονται όλες οι θερμοκρασίες και το ζητούμενο είναι οι θερμορροές ή συζευγμένη όταν μία ή περισσότερες θερμοκρασίες είναι άγνωστες και πρέπει να υπολογισθούν Στη δεύτερη περίπτωση συνήθως είναι απαραίτητο η επίλυση να γίνει αριθμητικά

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 12 9/3/2018 Έστω δύο παράλληλες πλάκες πεπερασμένου πάχους μεταξύ των οποίων βρίσκεται διαπερατό αέριο. Οι θερμοκρασίες των εσωτερικών επιφανειών των πλακών είναι T 1 και T 2 με T 1 > T 2. Ο συντελεστής ελεύθερης συναγωγής είναι h fc. Να βρεθεί η μόνιμη θερμότητα που μεταφέρεται από την πλάκα 1 στην πλάκα 2.

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Επιφάνεια 1m 2 βρίσκεται σε θερμοκρασία T 1 = 400 o C και πρέπει να μονωθεί έτσι ώστε η θερμοκρασία στην εξωτερική επιφάνεια της μόνωσης να είναι T 2 = 60 o C όταν η θερμοκρασία του περιβάλλοντος αέρα είναι T = 30 o C και τα τοιχώματα που περικλείουν τη διάταξη βρίσκονται σε T w = 20 o C. Να υπολογισθεί ο συντελεστής k / L της μόνωσης. Χρήστος Τάντος 13 9/3/2018

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 2 16/3/2018 Υπολογίστε την θερμοκρασία του διαχωριστικού και πιστοποιήστε ότι η θερμοκρασία αερίου 1 είναι όντως 571 Κ.

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 3 16/3/2018 Θεωρούμε ένα παράθυρο με διπλό τζάμι. Ο αέρας που εγκλωβίζεται ανάμεσα είναι σε 0.3 atm. Οι ικανότητες εκπομπής των γυάλινων επιφανειών είναι 0.9. Να προσδιοριστεί η μεταφορά θερμότητας διαμέσου του παραθύρου.

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Θεωρούμε ένα απλό ηλιακό συλλέκτη ο οποίος είναι κατασκευασμένος από ένα πλαστικό κάλλυμα μέσα στο οποίο διέρχεται ένας σωλήνας νερού. Υπολογίστε την απώλεια θερμότητας από το νερό. Χρήστος Τάντος 4 16/3/2018

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 5 16/3/2018 Θεωρούμε ένα αερόθερμο το οποίο αποτελείται από έναν ημικυκλικό αγωγό. Αέρας σε ατμοσφαιρικές συνθήκες διέρχεται μέσα από τον αγωγό με m 0.01 kg / s και Tm 400 K. Ποια είναι η θερμοκρασία Τ 2. Ποιος είναι ο απαιτούμενος ρυθμός θερμότητας ώστε να διατηρείται η επιφάνεια στους 1000 Κ.

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Σε μερικές περιπτώσεις είναι χρήσιμο να διατυπώσουμε ανάλυση όγκου αναφοράς σε δύο διαστάσεις, ειδικά όταν το τοίχωμα έχει πολύ μικρό πάχος και η θερμοκρασία μεταβάλλεται κατά μήκος του τοιχώματος και όχι ως προς το πάχος του Κλασσικό παράδειγμα η απώλεια θερμότητας μέσο λεπτών πτερυγίων σε συσκευές που βρίσκονται στο διάστημα Η θερμότητα άγεται κατά μήκος των πτερυγίων και αποβάλλεται από την επιφάνεια των πτερυγίων Η ανάλυση απλοποιείται σημαντικά θεωρώντας ότι η θερμοκρασία του πτερυγίου ως προς το πάχος του είναι ομοιόμορφη Χρήστος Τάντος 6 16/3/2018

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Χρήστος Τάντος 7 16/3/2018

Χρήστος Τάντος 8 16/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Η θερμοκρασία μπορεί να αλλάζει σε σχέση με το χρόνο και επίσης μπορεί να παράγεται θερμότητα εντός του όγκου αναφοράς Το ισοζύγιο θερμότητας εκφράζει ότι η αλλαγή της εσωτερικής ενέργειας ως προς το χρόνο ισούται με την ενέργεια που προσδίδεται από την εναλλαγή θερμότητας λόγω ακτινοβολίας, αγωγής και συναγωγής και από τις εσωτερικές πηγές c a T G J G J ka ka p 1 1 2 2 T x x y T t y T T T T qa h h 1 m,1 2 m,2

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Μεταφορά θερμότητας με συνδυασμό ακτινοβολίας και θερμικής αγωγής είναι αρκετά συνηθισμένη σε τεχνολογικές εφαρμογές Τυπικά παραδείγματα είναι η μεταφορά θερμότητας μέσω τοιχωμάτων δοχείων με χαμηλή εσωτερική πίεση, σε κλιβάνους, σε διαστημικές εφαρμογές, κ.τ.λ. Στη συνέχεια δίδονται δύο παραδείγματα που περιγράφουν μονοδιάστατη μεταφορά θερμότητας με αγωγή και ακτινοβολία 16/3/2018 Χρήστος Τάντος 9

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Λεπτό πτερύγιο με πάχος α δακτυλιοειδούς διατομής με εσωτερική και εξωτερική ακτίνα r i και r o αντίστοιχα και συντελεστή θερμικής αγωγής k είναι από τη μία πλευρά και περιμετρικά μονωμένο. Θερμότητα μεταφέρεται στην εσωτερική κυκλική επιφάνεια μέσω ενός άξονα ακτίνας r i με αποτέλεσμα η θερμοκρασία περιμετρικά στο εσωτερικό κύκλο να είναι σταθερή και ίση με T i. Η μη μονωμένη πλευρά του δακτυλιοειδούς πτερυγίου είναι γκρίζα και διαχυτική με ικανότητα εκπομπής ε και εκπέμπει ακτινοβολία στο περιβάλλοντα χώρο που βρίσκεται σε θερμοκρασία T e =0 Κ. Να βρεθεί η θερμοκρασιακή κατανομή T=T(r) για r i <r< r o Χρήστος Τάντος 10 16/3/2018

Χρήστος Τάντος 11 16/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Το πρόβλημα περιγράφεται από την ακόλουθη συνήθη διαφορική εξίσωση 2 ης τάξης 1 d dt dt 0, T T i, 0 r dr dr dr 4 ka r ε ri Εισάγοντας τις αδιάστατες ποσότητες: T T i 0 τ =, R,, i 0 i i rr r r r r0 ri r r r ka Προκύπτει η ακόλουθη αδιάστατη εξίσωση: d d 2 τ 1 dτ + - 2 R R1 1 d R 4 τ 0,, 0 εt 2 3 dτ τ0 1 0 d R i R1

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Χρήστος Τάντος 12 16/3/2018 Ο συντελεστής απόδοσης του πτερυγίου ορίζεται ως ο λόγος της θερμότητας που εκπέμπεται με βάση τη θερμοκρασία T=T(r) του πτερυγίου προς τη θερμότητα που θα εκπέμπονταν αν όλο το πτερύγιο ήταν σε θερμοκρασία T i. Επομένως, ο συντελεστής απόδοσης είναι 4 4 2 ε 2 1 1 r r 0 1 ri r r dr R R dr 0 r ε 1 2 2 4 0 i i

Χρήστος Τάντος 13 16/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Ο συντελεστής απόδοσης έχει υπολογισθεί στη βιβλιογραφία (Chambers, R. L., and Somers, E. V.: Radiation Fin Efficiency for One-Dimensional Heat Flow in a Circular Fin, JHT, vol. 81, no. 4, pp. 327 329, 1959.) Η παρούσα ανάλυση επεκτείνεται σχετικά εύκολα στη μη μόνιμη κατάσταση μεταφοράς θερμότητας, με θερμοκρασία περιβάλλοντος Τ e και με ικανότητα απορρόφησης του πτερυγίου α ως T 1 d dt cpa ka r ε r d d α t r r 4 4 e

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας c a T G J G J ka ka p 1 1 2 2 T x x y T t y T T T T qa h h 1 m,1 2 m,2 Χρήστος Τάντος 2 23/3/2018

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Διατύπωση του ισοζυγίου [W] Q Q Q Q qdv dxdy G J G J x y x x y y 1 2 T T T T 1 2 T dxdyh dxdyh cdv 1 m,1 2 m,2 t Q Με αναπτύγματα Taylor προκύπτει π.χ. Q Q dx xx x x Q Q x dx y dy qdv dxdy G J G J 1 1 2 2 x y T T T T T dxdyh dxdyh cdv 1 m,1 2 m,2 t Χρήστος Τάντος 3 23/3/2018 x

3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας Με χρήση του νόμου του Fourier προκύπτει η ζητούμενη διαφορική εξίσωση (με κόκκινο επισημαίνονται οι εναπομείναντες όροι ) T T Q kady, Q kadx x y x y T T ka dydx ka dydx x x y y qa dydx dydx G J G J 1 1 2 2 dydx h dydxh 1 m,1 T T T T 2 m,2 ca dydx Χρήστος Τάντος 4 23/3/2018 T t

Χρήστος Τάντος 5 23/3/2018 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.2 Γενικές σχέσεις ισοζυγίων θερμότητας T T ka ka qa G1 J G J 1 2 2 x x y y T h T T h T T ca 1 m,1 2 m,2 t Σε κυλινδρικές συντεταγμένες η διαφορική εξίσωση δίνεται ως T 1 T rka ka qa G r r r T h T T h T T ca 1 m,1 2 m,2 t J G J 2 1 1 2 2

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή Λεπτή πλάκα με μήκος 2L και πάχος α συνδέει δύο αγωγούς. Και οι δύο πλευρές της πλάκας εκπέμπουν ακτινοβολία στον περιβάλλοντα χώρο που βρίσκεται σε πολύ χαμηλή θερμοκρασία. Η πλάκα είναι διαχυτική και γκρίζα με ικανότητα εκπομπής ε και συντελεστή θερμικής αγωγής k. Να βρεθεί η κατανομή θερμοκρασίας στη διεύθυνση x, T(x) θεωρώντας ότι οι αγωγοί είναι σε σταθερή θερμοκρασία T tube. 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 6

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 7 Το ισοζύγιο θερμότητας σε ένα στοιχειώδες τμήμα της πλάκας με πλάτος dx είναι 2 d T 4 dt ka T 2 2 ε 0, 0 T tube, 0 d x dx xl

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 8 2 d T 4 dt ka T 2 2 ε 0, 0 T tube, 0 d x dx Για να βρούμε τη κατανομή θερμοκρασίας πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με dt/dx και ολοκληρώνουμε xl 2 ka dt 2 dt 4ε ε L 0 2 dx 5 dx 5ka 5 5 5 5 Ολοκληρώνουμε μια φορά ακόμα και προκύπτει L x 5ka 4ε T tube T d 5 5 L

3.3 Ακτινοβολία με αγωγή 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 9 Η ποσότητα T(L) είναι άγνωστη. Για να βρούμε τη ποσότητα T(L) εφαρμόζουμε τη παραπάνω λύση στη θέση x=l L 5ka 4ε T tube T L d 5 5 L Η επίλυση της τελευταίας εξίσωσης δίνει το T(L) Στη συνέχεια επιστρέφουμε στη προηγούμενη εξίσωση (για το x) και βρίσκουμε το x για διάφορες θερμοκρασίες T tube <T(x)<T(L), δηλαδή βρίσκουμε το x=x(t)

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 10 Μεταφορά θερμότητας συνδυάζοντας τους τρεις βασικούς μηχανισμούς, δηλαδή αγωγή, συναγωγή (ελεύθερη και εξαναγκασμένη) και ακτινοβολία είναι αρκετά συνηθισμένη σε τεχνολογικές εφαρμογές Τυπικά παραδείγματα η ψύξη συσκευών που λειτουργούν σε υψηλές θερμοκρασίες όπως θάλαμοι καύσης, η ψύξη οχημάτων που ταξιδεύουν με υπερηχητικές ταχύτητες, θερμικά ηλιακά συστήματα, κ.τ.λ.

23/3/2018 Χρήστος Τάντος 11 Ενότητα 3: Πολυμορφική μετάδοση θερμότητας 3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή Τα θερμικά ισοζύγια και οι οριακές συνθήκες περιέχουν διαφορές θερμοκρασίας που οφείλονται στο μηχανισμό της συναγωγής, παραγώγους της θερμοκρασίας που οφείλονται στην αγωγή και διαφορές θερμοκρασίας όπου η κάθε θερμοκρασία είναι υψωμένη στη 4 η δύναμη που οφείλονται στο μηχανισμό της ακτινοβολίας Τις περισσότερες φορές οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές και επιλύονται αριθμητικά Οι βασικές ιδέες και ο τρόπος επίλυσης περιγράφονται στο επόμενο παράδειγμα

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή Χρήστος Τάντος 12 23/3/2018 Η απόδοση του κυλινδρικού πτερυγίου εξαρτάται από πολυμορφική μετάδοση θερμότητας που περιλαμβάνει και τους τρεις μηχανισμούς. Το πτερύγιο έχει απορροφητικότητα α για ακτινοβολία που δέχεται από το περιβάλλον που βρίσκεται σε θερμοκρασία T e. Το ζητούμενο είναι η αξονική θερμοκρασιακή κατανομή.

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή Υποθέτουμε ότι η θερμοκρασία μεταβάλλεται μόνο αξονικά και όχι ακτινικά (αιτιολογείται από το γεγονός ότι το μήκος είναι πολύ μεγαλύτερο της διαμέτρου). Επίσης, υποθέτουμε ότι δεν έχουμε ανταλλαγή ακτινοβολίας ανάμεσα στο πτερύγιο και τη βάση στην οποία στηρίζεται. Η πλάκα στήριξης όπως και η βάση του πτερυγίου είναι σε θερμοκρασία T b. Η επιφάνεια δεν είναι γκρίζα. Χρήστος Τάντος 13 23/3/2018

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή Χρήστος Τάντος 14 23/3/2018 Από το ενεργειακό ισοζύγιο σε έναν όγκο Αdx προκύπτει 2 T 4 4 ka d 2 e P hp dx e

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή 2 T 4 4 ka d e P hp 2 e dx Πολλαπλασιάζουμε με (1/kΑ)(d T/dx) και ολοκληρώνουμε και προκύπτει 2 5 2 1dT ε P 4 hp e e C 2 dx ka ka ka 2 Όπου C είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Για να απλουστεύσουμε τη διαδικασία θεωρούμε T e =0 και εφόσον το πτερύγιο είναι επαρκώς μακρύ θεωρούμε ότι για μεγάλο x, T(x) 0 και dt/dx 0. Με βάση τα παραπάνω προκύπτει C=0. 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 15

3.4 Ακτινοβολία με αγωγή και συναγωγή 23/3/2018 Χρήστος Τάντος 16 dt 2ε P 5 hp 2 Τελικά προκύπτει dx 5kA ka Η παραπάνω εξίσωση ολοκληρώνεται ως προς x με βάση τη συνθήκη ότι T(0)=T b x 0 T dt hp 2 P dx K, P 3 hp k A 3 k A Tb T 5kA ka 2ε x 1 3 K 1/2 ln 3 3 b K K K K ln K K K K 3 3 b