Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών

wwwaskisopolisgr Θέματα εξετάσεων στα Μαθηματικά προσανατολισμού της Β Λυκείου παλαιοτέρων ετών Διανύσματα Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη γωνία ΒΑΔ ˆ Δίνονται τα διανύσματα u, v π τέτοια, ώστε u v και u,v Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ u v και ΑΓ u v τότε: α) Να βρείτε το u v β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο Έστω τα διανύσματα α,β, γ με α 4, β, γ και α β 6γ 0, τότε: α) Αφού δείξετε ότι α β 8, να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα α,β β) Να αποδείξετε ότι α β γ) Να υπολογίσετε το α β ΑΒ κ, κ και ΑΓ κ, κ, κ 4 Δίνονται τα διανύσματα α) Να δείξετε ότι για κ 0 και κ τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά β) Αν τα Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο: i Να βρείτε τις συντεταγμένες του ΑΜ όπου Μ το μέσον του ΒΓ ii Να βρείτε την τιμή του κ για να είναι ΑΜ ΒΓ iii Για κ να υπολογίσετε τη γωνία ΒΑΜ ˆ 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ π ΑΒ, ΑΓ 6 και Α Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΑΒ ΑΓ και ΒΓ 4ΑΒ είναι κάθετα μεταξύ τους 6 Δίνονται τα διανύσματα α,β και γ για τα οποία ισχύουν: α, β, α, β 60 και β γ α α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ γ) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε τα διανύσματα λα γ και β γ να είναι κάθετα

Ευθεία wwwaskisopolisgr 7 Δίνονται οι ευθείες : (ε): x y 0 και (η): x y 0 Σ, α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του σημείου Σ από τις δυο ευθείες καθώς και την απόσταση μεταξύ των ευθειών (ε) και (η) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) η οποία διέρχεται από το Σ και τέμνει τις ευθείες (ε) και (η) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε η ευθεία (ζ): x y 5 0 να διέρχεται από το μέσον του ΑΒ καθώς και το σημείο 8 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε} που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση x y 4 0 και διέρχεται από το σημείο Β, β) Σημείο A λ,μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση x y Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ το οποίο ισχύει ΟΜ ΑΜ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, κινείται στην ευθεία με εξίσωση (η): y x 4 γ) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών (η), (ε) την εξίσωση της μεσοπαράλληλης τους 9 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,)Το ύψος του ΒΔ ανήκει στην ευθεία ε: x y και η διάμεσος του ΓΜ ανήκει στη ευθεία η: x y 5 Να βρείτε α) Τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ β) Την εξίσωση του ύψους ΑΕ 0Δίνεται η εξίσωση λ x λy 4 4λ (Ι) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (Ι) παριστάνει ευθεία ε λ β) Να βρείτε την τιμή του λ για να είναι η ε λ παράλληλη στον y'y γ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνονται από την (Ι) διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να προσδιορίσετε Κύκλος Κωνικές τομές Έστω τα διανύσματα α y, και β y, 4x α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M x, y για τα οποία ισχύει α β N x, y για τα οποία ισχύει 5α β Δίνεται η εξίσωση x y x 4λy 4λ 0 () α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C λ, του οποίου και να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι Cλ περνάνε από το σημείο Α, γ) Να βρείτε την ευθεία ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στον κύκλο Cλ χορδή ΒΓ,ώστε BAΓ ˆ 90 δ) Αν Μ το σημείο τομής της ε με την ευθεία δ : x y 0, να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ ώστε το Μ να έχει τετμημένη ακέραιο Δίνεται η εξίσωση : x y 5 λ x y 5 0 () α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού λ με λ Τι παριστάνει η () για λ ; β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο και να προσδιορίσετε

wwwaskisopolisgr 4Δίνεται η εξίσωση x y μx 6μy, μ 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παραστάνει κύκλο για κάθε μ 0, ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των πιο πάνω κύκλων γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την πιο πάνω εξίσωση εφάπτονται στην ευθεία με εξίσωση x y 0 δ) Αν Β σημείο του κύκλου που προκύπτει για μ> 0, τέτοιο ώστε ΟΒ είναι διάμετρος του με μήκος 0 να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Β 5Δίνεται κύκλος C που έχει το κέντρο του στην ευθεία ε: x y 5 και B6,0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου C είναι και διέρχεται από τα σημεία A, x 4 y 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στον κύκλο στο σημείο Α και να δείξετε ότι τέμνει τον άξονα Ε,0 x'x στο σημείο γ) Έστω Γ και Δ τα σημεία τομής της ευθείας η: ερωτήματος Να υπολογίσετε το OΓ ΟΔ 6Δίνονται τα σημεία Ε' (-,0) και Ε(,0) y λ x 4, λ με τον κύκλο C του α α) Να αποδείξετε ότι η γενική εξίσωση κύκλου C που διέρχεται από τα Ε' και Ε με κέντρο είναι: x y κy 9 C β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (C) στο σημείο Ε 7Δίνεται η εξίσωση λ x λy 0, λ () α) Nα δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε λ β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες της () διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρείτε v λ,λ γ) Για ποιες τιμές του λ, η ευθεία () είναι κάθετη στο διάνυσμα δ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η () είναι εφαπτομένη στον κύκλο x y 8Δίνεται η εξίσωση x y α x y α x 0 () Κ 0,κ, κ 5 α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα συναρτήσει του α β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης () ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση γ) Έστω C εκείνος από τους κύκλους της εξίσωσης (), του οποίου το κέντρο ανήκει και στην ευθεία (η): y x 6 και C η παραβολή που έχει κορυφή το 0(0,0), εστία Ε(-,0) και άξονα συμμετρίας τον x'x i Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C και της παραβολής C ii Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου C και της παραβολής C 9Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y px και εστία Ε α) Αν η εφαπτομένη της στο σημείο Μx, y 0,0 τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α, να αποδείξετε ότι η γωνία ΕΑΜ είναι ορθή β) Αν p, να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση x 4y 0 0Έστω η εξίσωση x y α x 4αy α 0, α () Να δείξετε ότι:

wwwaskisopolisgr α) Η εξίσωση () παριστάνει κύκλο και να βρεθεί η ακτίνα του β) Τα κέντρα Κ των κύκλων () είναι σημεία παραβολής, της οποίας να βρείτε την εξίσωση καθώς και την εστία Ε γ) Οι κύκλοι () εφάπτονται στην διευθετούσα (δ) της παραβολής για κάθε α δ) Αν α 0, και Α το σημείο τομής της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της Κα,α α διευθετούσα (δ), τότε το εμβαδόν ΚΑΕ α με την 4

Διανύσματα wwwaskisopolisgr Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με AB, ΑΓ και ˆΑ 60 Να βρείτε: α) ΑΒ ΑΓ β) Το μέτρο της διαμέσου ΑΔ γ) Τη γωνία ΒΑΔ ˆ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ συνα α), οπότε ΑΔ ΑΒ ΑΓ Είναι ΑΔ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΒ ΑΓ 4 4 4 6 6 8 9 6 6 4 6 ΑΔ 4 4 β) Είναι ΑΔ ΑΒ ΑΓ 8 4 γ) ΑΒ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΔ ΑΒ ΑΒ ΑΓ συνβαδ ˆ ΑΒ ΑΔ 9 6 9 Άρα BAˆ 45 Δίνονται τα διανύσματα u, v π τέτοια, ώστε u v και u,v ΑΒ u v και ΑΓ u v τότε: α) Να βρείτε το u v β) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές γ) Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αμβλυγώνιο Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α) π 9 u v u v συν 9 ΑΒ u v u 4u v 4v u 4 4 v 9 8 6 7 ΑΒ 9 ΑΓ u v u u v v u v 9 9 9 7 ΑΓ Επειδή ΑΒ ΑΓ το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές β) 9 7 ΑΒ ΑΓ u v u v u u v u v v u u v v 9 8 0 ˆΑ 90 Άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο γ) Είναι άρα 5

Έστω τα διανύσματα α,β, γ με α 4, β, γ και α β 6γ 0, τότε: α) Αφού δείξετε ότι α β 8, να βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν τα α,β β) Να αποδείξετε ότι α β γ) Να υπολογίσετε το α β α) wwwaskisopolisgr α β 6γ 0 α β 6γ α β 6γ 6 γ 6 α β 6 4α 4α β β 6 4 α 4α β β 6 64 4α β 4 6 4α β α β 8 α β 8 συνα, β α, β 80 α β α β 8 β) Επειδή α β είναι α λβ με λ 0 Όμως λ0 α λ β 8 4 λ λ λ άρα α β α β α β α 4α β 4β α 4 8 4 β 6 4 8 80 α β 80 4 5 γ) ΑΒ κ, κ και ΑΓ κ,κ, κ 4 Δίνονται τα διανύσματα α) Να δείξετε ότι για κ 0 και κ τα σημεία Α,Β,Γ είναι συνευθειακά β) Αν τα Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο: i Να βρείτε τις συντεταγμένες του ΑΜ όπου Μ το μέσον του ΒΓ ii Να βρείτε την τιμή του κ για να είναι ΑΜ ΒΓ iii Για κ να υπολογίσετε τη γωνία ΒΑΜ ˆ α) Αν κ 0 Αν κ είναι ΑΒ 0, και ΑΓ 0, είναι ΑΒ, και ΑΓ 6,, οπότε ΑΓ ΑΒ ΑΓ / /ΑΒ Α, Β, Γ συνευθειακά, οπότε ΑΓ ΑΒ ΑΓ / /ΑΒ Α, Β, Γ συνευθειακά β) Τα Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο όταν κ κ det ΑΒ, ΑΓ 0 0 κ κ κ κ 0 κ 4κ 0 κ κ 0 κ κ κ 0 και κ i ΑΜ ΑΒ ΑΓ κ κ, κ κ κ, κ ΒΓ ΑΓ ΑΒ κ, ΑΜ ΒΓ ΑΜ ΒΓ 0 4κ κ 0 κ κ 0 ii κ 0 απορρίπτεται ή κ, iii Για κ είναι ΑΒ, και ΑΜ, 5 ˆ ΑΒ ΑΜ 4 5 5 συνβαμ ΑΒ ΑΜ 9 0 5 50 5 4 4 4 ΒΑΜ ˆ 45 6

5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ˆ π ΑΒ, ΑΓ 6 και Α Να δείξετε ότι τα διανύσματα wwwaskisopolisgr ΑΒ ΑΓ και ΒΓ 4ΑΒ είναι κάθετα μεταξύ τους π ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΑΓ συν 6 6 ΑΒ ΑΓ ΒΓ 4ΑΒ ΑΒ ΑΓ ΑΓ ΑΒ 4ΑΒ ΑΒ ΑΓ ΑΓ 5ΑΒ ΑΒ ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ 5ΑΒ ΑΓ 6ΑΒ ΑΓ 5 ΑΒ ΑΓ 6 6 5 4 6 0 ΑΒ ΑΓ ΒΓ 4ΑΒ 6 Δίνονται τα διανύσματα α,β και γ για τα οποία ισχύουν: α, β, α, β 60 και β γ α α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο α β β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ γ) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε τα διανύσματα λα γ και β γ να είναι κάθετα α β α β συν α, β α) β γ α γ α β γ α β α β γ α β α α β β γ α β 4 7 γ 7 β) λα γ β γ λα γ β γ 0 λα α β β α β 0 γ) λα α ββ α β 0 λ α βα β 0 λ α λ α β α β 4β 0 λ α λ 4 β 0 4 λ λ 4 4 0 4λ 8 λ 0 0 6λ 8 λ Ευθεία 7 Δίνονται οι ευθείες : (ε): x y 0 και (η): x y 0 Σ, α) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις του σημείου Σ από τις δυο ευθείες καθώς και την απόσταση μεταξύ των ευθειών (ε) και (η) β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (δ) η οποία διέρχεται από το Σ και τέμνει τις ευθείες (ε) και (η) στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε η ευθεία (ζ): x y 5 0 να διέρχεται από το μέσον του ΑΒ α) dσ,ε καθώς και το σημείο 4 5 6 5, dσ,η 5 5 Για την απόσταση μεταξύ των δύο ευθειών παίρνουμε ένα τυχαίο σημείο μιας από τις δύο ευθείες Για x έχουμε από την εξίσωση της (ε) y 0 N,0 δηλαδή το σημείο 7

0 5 5 Έχουμε dε,η dν,η wwwaskisopolisgr β) Οι ευθείες που διέρχονται από το Σ έχουν εξίσωση της μορφής y λ x y λx λ ή είναι η x Αν δ: y λx λ Από το σύστημα των δ,ε προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο 6λ 7 λ A, λ λ Από το σύστημα των η,ε προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο 6λ 9 Β, λ λ Το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες x, y με Μ Μ xα x Β 6λ 7 6λ 9 6λ 8 yα yβ λ λ xμ, yμ λ λ λ λ λ λ Επειδή από το Μ διέρχεται η ευθεία ζ, ισχύει ότι: 6λ 8 λ x Μ yμ 5 0 5 0 6λ 8 λ 0λ 5 0 λ Τότε δ: y x 9 λ λ Αν δ: x A, και από το, τότε από το σύστημα των δ,ε προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο σύστημα των η,ε προκύπτει ότι τέμνονται στο σημείο Β,0 Το μέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγμένες, και δεν επαληθεύει την ζ ος τρόπος x, y,b x, y Έστω A A B B Το Α ανήκει στην (ε) οπότε x A ya 0 () Το Β ανήκει στην (η) οπότε x B yb 0 () Α Β Α Β Το σημείο Mx M, ym είναι μέσο του ΑΒ οπότε x x y x y Μ, yμ Επίσης το σημείο Μ βρίσκεται πάνω στην ευθεία (ζ) οπότε xa xb ya yb xm ym 5 0 5 0 xa xb ya yb 0() () Με πρόσθεση των σχέσεων () και () έχουμε : x x y y 4 0 x x y y 4 (4) A B A B A B A B Με αφαίρεση της σχέσης () από την (4) έχουμε : y y 6 y y (5) A B A B Από τη σχέση () μέσω της (5) έχουμε x A x B 8 Άρα το σημείο Μ έχει συντεταγμένες 4, και η (δ) έχει εξίσωση y y y ym x x y x 4 y x 9 x x 8 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε} που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση x y 4 0 και διέρχεται από το σημείο Β, β) Σημείο A λ,μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση x y Να αποδείξετε ότι το σημείο Μ το οποίο ισχύει ΟΜ ΑΜ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, κινείται στην ευθεία με εξίσωση (η): y x 4 γ) Να βρείτε την απόσταση των ευθειών (η), (ε) την εξίσωση της μεσοπαράλληλης τους 8

wwwaskisopolisgr α) Επειδή η ε είναι παράλληλη στην x y 4 0 που έχει λ, είναι και λε, οπότε η εξίσωση της ε είναι: y x y x β) Έστω x, y M M ΟΜ ΑΜ οι συντεταγμένες του Μ, τότε xm λ xm xm λ () ym ym μ ym μ, ισχύει ότι λ μ και λόγω της (): x, y x λ, y μ M M M M Επειδή το Aλ,μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση x y x y το σημείο Μ κινείται στην ευθεία με εξίσωση y x 4 M M x M ym 4 Επειδή οι συντεταγμένες του Μ επαληθεύουν την εξίσωση x y 4 γ) Αρχικά παρατηρούμε ότι οι ευθείες ε και η είναι παράλληλες, οπότε για να βρούμε την απόστασή τους αρκεί να βρούμε την απόσταση ενός σημείου της μίας από την άλλη Στην για x 0 είναι y K 0, ανήκει στην ε άρα το σημείο 0 4 dε,η dκ,η Έστω Mx, y d M, d M, σημείο της μεσοπαράλληλης,τότε x y 4 x y x y 4 x y x y 4 x y 4 ύ ή x y 4 x y x y 0 Άρα η εξίσωση της μεσοπαράλληλης είναι η x y 0 9 Δίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,)Το ύψος του ΒΔ ανήκει στην ευθεία ε: x y και η διάμεσος του ΓΜ ανήκει στη ευθεία η: x y 5 Να βρείτε α) Τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Γ β) Την εξίσωση του ύψους ΑΕ ΑΓ ΒΔ λ λ λ λ y x y x 7 α) ΑΓ ΒΔ ΑΓ ΑΓ Η ευθεία ΑΓ έχει εξίσωση: Οι συντεταγμένες του Γ θα βρεθούν από τη λύση του συστήματος των ΑΓ,ΓΜ y x 7 y x 7 y x 7 y 4 7 Είναι: x y 5 x x 7 5 x x άρα Γ, x y Έστω ότι το Β έχει συντεταγμένες x, y, τότε για το Μ έχει συντεταγμένες, Επειδή το σημείο Μ βρίσκεται στην ευθεία ΓΜ, ισχύει ότι: x y 5 x 6 y 0 y x () Επειδή το Β είναι σημείο της ΒΔ, ισχύει ότι: x y και λόγω της () είναι x x x 6x 7x 0 x 0 και y 0 άρα B0, 9

β) Είναι λβγ 5 και ΑΕ ΒΓ λαελβγ 5λΒΓ λβγ 0 5 Η ΒΓ έχει εξίσωση: y x y x 5 5 wwwaskisopolisgr 0Δίνεται η εξίσωση λ x λy 4 4λ (Ι) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ η εξίσωση (Ι) παριστάνει ευθεία ε λ β) Να βρείτε την τιμή του λ για να είναι η ε λ παράλληλη στον y'y γ) Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστάνονται από την (Ι) διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο να προσδιορίσετε α) Η () δεν παριστάνει ευθεία όταν λ 0 λ και λ 0 λ 0 που είναι αδύνατο Άρα η εξίσωση (Ι) παριστάνει ευθεία για κάθε λ β) Η ε λ είναι παράλληλη στον y'y όταν είναι της μορφής x k, k, οπότε πρέπει λ 0 λ 0 Τότε η ε λ έχει εξίσωση x 4 x γ) Για λ είναι 4y 4 8 y Δύο από τις ευθείες λ διέρχονται όλες οι ευθείες ελ από το Α πρέπει λ λ 4 4λ λ 4 λ 4 4λ Όλες οι ευθείες ε διέρχονται από το σημείο A, λ ε τέμνονται στο σημείο A, που ισχύει Για να Κύκλος Κωνικές τομές Έστω τα διανύσματα α y, και β y, 4x α) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων M x, y για τα οποία ισχύει α β N x, y για τα οποία ισχύει 5α β α β α β 0 y y 4x 0 y 4x 0 y 4x α) Ο γεωμετρικός τόπος του Μ είναι η παραβολή C: y β) 5α β 5 y, y, 4x 4y 6, 4x 4x 5α β 4y 6 4x 4y 6 4x 8 8 4 y 6x 8 6 y 6x 8 x y 6 Ο γεωμετρικός τόπος του Ν είναι κύκλος με κέντρο K0, και ακτίνα 8 ρ 6 4 0

Δίνεται η εξίσωση x y x 4λy 4λ 0 () α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση () παριστάνει κύκλο C λ κέντρο και την ακτίνα β) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι Cλ περνάνε από το σημείο Α, wwwaskisopolisgr, του οποίου και να βρείτε το γ) Να βρείτε την ευθεία ε που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και ορίζει στον κύκλο Cλ χορδή ΒΓ,ώστε BAΓ ˆ 90 δ) Αν Μ το σημείο τομής της ε με την ευθεία δ : x y 0, να βρείτε τις ακέραιες τιμές του λ ώστε το Μ να έχει τετμημένη ακέραιο α) x y λ λ x y x 4λy 4λ 0 x x y 4λy 4λ 4λ 4λ Η εξίσωση παριστάνει κύκλο όταν λ 0 λ 0 λ Το κέντρο Κ του κύκλου έχει συντεταγμένες β) Όλοι οι κύκλοι Cλ περνάνε από το σημείο Α, όταν: 4λ 4λ 0 4λ 4λ 0 που ισχύει,λ και η ακτίνα του ρ είναι ρ λ λ γ) Η γωνία ΒΑΓ είναι ορθή μόνο όταν είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, δηλαδή όταν η ΒΓ είναι διάμετρος λ 0 του κύκλου δηλαδή όταν το Κ ανήκει στην ε Είναι λε λοκ λ και η ε έχει εξίσωση y λx 0 x x y 0 x λx 0 λx λ δ) Από το σύστημα των ε, δ έχουμε: y λx y λx y λx 6λ y λ 6λ Το Μ έχει συντεταγμένες, λ λ Η τετμημένη του Μ είναι ακέραιος όταν ο αριθμός είναι ακέραιος και αυτό συμβαίνει όταν ο λ αριθμός λ διαιρεί το, δηλαδή όταν λ ή Άρα λ λ 0 ή λ λ ή λ λ ή λ λ x y 5 λ x y 5 0 () Δίνεται η εξίσωση : α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού λ με λ Τι παριστάνει η () για λ ; β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των παραπάνω κύκλων γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι παραπάνω κύκλοι διέρχονται από σταθερό σημείο το οποίο και να προσδιορίσετε x y 5 λ x y 5 0 x y λx λy 5λ 5 0 α) Είναι Α Β 4Γ 4λ λ 45λ 5 5λ 0λ 0 5λ Η () παριστάνει κύκλο όταν λ συντεταγμένες Κ λ, Αν λ η () γίνεται: Α Β 4Γ 0 5 λ 0 λ Τότε το κέντρο Κ έχει και η ακτίνα είναι ρ 5 λ

και παριστάνει το σημείο K, x y 5 λ x y 5 0 x y 4x y 5 0 x y 0 x και y wwwaskisopolisgr λ β) Είναι x K λ, yk λ yk οπότε xk yk Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση x y x y 0, ο γεωμετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία με εξίσωση x y 0 γ) Για λ 0 είναι x y 5 0 x y 5 () και για λ είναι x y x y 0 0 () Αντικαθιστώντας στην () την () έχουμε:5 x y 0 0 y x 5 και η () γίνεται: x x 5 5 x 4x 0x 5 5 5x 0x 0 0 x 4x 4 0 x 0 x και y 5 Δύο από τους κύκλους διέρχονται από το σημείο M, για να διέρχονται όλοι οι κύκλοι από το Μ πρέπει: 5 λ 5 0 4 5 λ 4 5 0 που ισχύει, 4Δίνεται η εξίσωση x y μx 6μy, μ 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παραστάνει κύκλο για κάθε μ 0, ο οποίος διέρχεται από την αρχή των αξόνων Να βρείτε τα κέντρα και τις ακτίνες των κύκλων β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των κέντρων των πιο πάνω κύκλων γ) Να αποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι που ορίζονται από την πιο πάνω εξίσωση εφάπτονται στην ευθεία με εξίσωση x y 0 δ) Αν Β σημείο του κύκλου που προκύπτει για μ> 0, τέτοιο ώστε ΟΒ είναι διάμετρος του με μήκος 0 να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Β α) x y μx 6μy x μx y 6μy 0 x μx μ y 6μy 9μ 0μ x μ y μ 0μ Επειδή 0μ 0 ακτίνα ρ 0μ 0 μ, η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κμ,μ και x Κ μ β) Είναι yκ x Κ yκ μ Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y x ο γεωμετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία ε: y x μ μ 0μ 0 γ) Έστω ε η ευθεία με εξίσωση x y 0 Είναι dk,ε 0 άρα όλοι οι κύκλοι της αρχικής εξίσωσης εφάπτονται στην ευθεία ε μ 0 0 μ 0 ρ δ) Επειδή η ΟΒ είναι διάμετρος του κύκλου, είναι μ0 ΟΚ ρ 0 μ 0 μ μ Το Β είναι το σημείο τομής της ΟΚ με τον κύκλο, οπότε για μ= έχουμε το σύστημα: x y x 6y 0 x 9x x 6x 0 0x 0x 0 0x x 0 y x y x y x y x x 0 ή x Για x είναι y 6 οπότε B,6 (για x 0 έχουμε y 0 δηλαδή το Ο που είναι y x διαφορετικό από το Β)

Η εφαπτομένη η του κύκλου στο Β είναι κάθετη στην ΟΒ, οπότε: 0 λη λη και η η έχει εξίσωση: y 6 x y x wwwaskisopolisgr 5Δίνεται κύκλος C που έχει το κέντρο του στην ευθεία ε: x y 5 και B6,0 α) Να δείξετε ότι η εξίσωση του κύκλου C είναι και διέρχεται από τα σημεία A, x 4 y 5 β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στον κύκλο στο σημείο Α και να δείξετε ότι τέμνει τον άξονα Ε,0 x'x στο σημείο γ) Έστω Γ και Δ τα σημεία τομής της ευθείας η: ερωτήματος Να υπολογίσετε το OΓ ΟΔ α) Έστω Kx 0, y0 το κέντρο του κύκλου y λ x 4, λ με τον κύκλο C του α 0 0 0 0 AK BK x y x 6 y Είναι x 0 6x 9 y 0 0 6y 9 x 0 0 x0 6 y0 0 0 0 0 Επειδή το Κ βρίσκεται στην ευθεία x y 5 ισχύει ότι 6x 6y 8 x y () x0 y0 5 y0 y0 5 y0 6 y0 5 y0 και από την () x0 4 Για την ακτίνα ρ του κύκλου ισχύει ότι: x 4 y 5, άρα K 4, ρ ΚΑ 4 5, οπότε ο κύκλος έχει εξίσωση: β) Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο Α Είναι λκα λε λ ε λ ε λ ε 4 Η ε έχει εξίσωση y x y x Επειδή για y 0 είναι x, η ε τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Ε,0 γ) Επειδή το Κ επαληθεύει την η, η ευθεία αυτή διέρχεται από το Κ, οπότε η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου Επειδή ΟΔ ΟΓ ΟΓ ΟΔ 0, είναι OΓ ΟΔ 0 6Δίνονται τα σημεία Ε' (-,0) και Ε(,0) Κ 0,κ, κ α) Να αποδείξετε ότι η γενική εξίσωση κύκλου C που διέρχεται από τα Ε' και Ε με κέντρο είναι: x y κy 9 C β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου (C) στο σημείο Ε α) Η ακτίνα ρ του κύκλου είναι x y κ κ 9 x y κy κ ρ ΚΕ 0 0 κ κ 9 και η εξίσωσή του είναι: κ 9 x y κy 9 β) Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου στο Ε Είναι ε ΚΕ λ κ ΚΕ λε λε λε κ, κ 0

wwwaskisopolisgr 9 Είναι ε: y x y x κ κ κ Αν κ 0 Κ 0,0 και επειδή η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ΚΕ, είναι κάθετη στον άξονα x x και Τότε η εξίσωσή της είναι η x ος τρόπος Έστω x, y σημείο της εφαπτομένης,τότε KE KM KE KM 0, k x, y 0 x 9 ky 0 Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Ε είναι η x ky 9 0 7Δίνεται η εξίσωση λ x λy 0, λ () α) Nα δείξετε ότι η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε λ β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες της () διέρχονται από σταθερό σημείο, το οποίο και να βρείτε v λ,λ γ) Για ποιες τιμές του λ, η ευθεία () είναι κάθετη στο διάνυσμα δ) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η () είναι εφαπτομένη στον κύκλο x y 5 α) Η () δεν παριστάνει ευθεία όταν λ 0 λ και λ 0 που είναι αδύνατο Άρα η εξίσωση () παριστάνει ευθεία για κάθε λ β) Για λ η () γίνεται y 0 y και για λ 0: x 0 x Δύο από τις ευθείες της () διέρχονται από το σημείο A,, για να διέρχονται όλες οι ευθείες της () από το σημείο αυτό πρέπει: λ λ 0 λ λ 0 που ισχύει γ) Το διάνυσμα δ λ, λ v ε v δ v δ 0 λ λ 0 λ 0 λ δ) Ο κύκλος έχει κέντρο Κ, αν: dκ,ε είναι παράλληλο στις ευθείες της () λ λ λ λ 0 λ λ λ 4 0 λ 0 ή κι ακτίνα ρ 5 Οι ευθείες της () εφάπτονται στον κύκλο αν και μόνο λ λ 4 5 5 5 5 λ λ λ 4λ 4 λ 4λ 4 4 λ 4λ 4 λ 4λ 4 0 λ 4λ 6 0 λ λ 0 λ ή λ 5 Παραβολή x y α x y α x 0 () 8Δίνεται η εξίσωση α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α η εξίσωση () παριστάνει κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα συναρτήσει του α β) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων της εξίσωσης () ανήκουν σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση γ) Έστω C εκείνος από τους κύκλους της εξίσωσης (), του οποίου το κέντρο ανήκει και στην ευθεία (η): y x 6 και C η παραβολή που έχει κορυφή το 0(0,0), εστία Ε(-,0) και άξονα συμμετρίας τον x'x 4

i Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C και της παραβολής C ii Να βρείτε τις κοινές εφαπτόμενες του κύκλου C και της παραβολής C wwwaskisopolisgr α) x y αx y α x 0 x y αx αy α x 0 Είναι A B 4Γ α 4 α 0 x y α 4 x αy 0 για κάθε α, οπότε η () παριστάνει κύκλο για κάθε τιμή του πραγματικού αριθμού α Ο κύκλος έχει κέντρο το α 4 α Κ, α 4 α και ακτίνα ρ α 4 xκ xκ α 4 β) Είναι xκ yκ 4 yκ xκ α yκ α y Κ Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y x ο γεωμετρικός τόπος του Κ είναι η ευθεία ε: y x γ) i Επειδή το Κ βρίσκεται στην η, ισχύει ότι ο C έχει κέντρο Κ,0 και ακτίνα ρ α α 4 6 α α α 0 Τότε Για την παραβολή είναι p p άρα C: y 4x ii Αρχικά θα βρούμε τα κοινά σημεία των C, C x y 4x 0 x 4x 4x 0 x 8x 0 xx 8 0 x 0 ή x 8 y 4x y 4x y 4x y 4x y 4x Αν x 0 τότε y 0 και κοινό σημείο είναι το Ο0,0 ενώ για x 8 είναι y αδύνατο Η εφαπτομένη της παραβολής στο Ο είναι ο άξονας y y Επειδή η εφαπτομένη του κύκλου στο Ο είναι κάθετη στην ΚΟ, ο άξονας y y εφάπτεται και στον κύκλο 9Δίνεται η παραβολή με εξίσωση y px και εστία Ε α) Αν η εφαπτομένη της στο σημείο Μx, y 0,0 τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α, να αποδείξετε ότι η γωνία ΕΑΜ είναι ορθή β) Αν p, να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην παραβολή που είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση x 4y 0 α) Επειδή το Μ είναι σημείο της παραβολής ισχύει ότι y y px x () p Η εφαπτομένη ε της παραβολής στο Μ έχει εξίσωση ε: yy px x λ ε p y Για x 0 είναι y y p px p y y y με συντελεστή διεύθυνσης, άρα το Α έχει συντεταγμένες y 0, 5

wwwaskisopolisgr Είναι λ EA y 0 y p 0 p p y Επειδή λελea, είναι EAM ˆ 90 y p β) Για p είναι C: y 6x Επειδή η ευθεία x 4y 0 έχει λ και η ζητούμενη εφαπτομένη ε θα έχει λε 4 4 y 6 8 Άρα y 4 και x, οπότε η εφαπτομένη έχει εξίσωση: y 4 p 6 8 y 4 x x 4y 8 0 0Έστω η εξίσωση x y α x 4αy α 0, α () Να δείξετε ότι: α) Η εξίσωση () παριστάνει κύκλο και να βρεθεί η ακτίνα του β) Τα κέντρα Κ των κύκλων () είναι σημεία παραβολής, της οποίας να βρείτε την εξίσωση καθώς και την εστία Ε γ) Οι κύκλοι () εφάπτονται στην διευθετούσα (δ) της παραβολής για κάθε α δ) Αν α 0, και Α το σημείο τομής της εφαπτομένης της παραβολής στο σημείο της Κα,α α διευθετούσα (δ), τότε το εμβαδόν ΚΑΕ α α) Είναι 4 4 A B 4Γ α 4α 4 α 4α 6α 8α 4 4α 8α 4 4 α 0 για κάθε α άρα η () παριστάνει κύκλο με κέντρο με την 4 α K α,α και ακτίνα ρ α x Κ α x Κ α yκ β) Είναι y x Κ Κ yk 4x Κ yκ α α Επειδή οι συντεταγμένες του Κ επαληθεύουν την εξίσωση y 4x σημεία παραβολής y 4x η οποία έχει p E,0 και εστία, τα κέντρα Κ των κύκλων () είναι γ) Η διευθετούσα της παραβολής είναι η ευθεία δ: x x 0 Οι κύκλοι () εφάπτονται στη δ αν και μόνο αν dκ,δ ρ α για κάθε α Είναι d Κ,δ α α ρ δ) Επειδή το Κ είναι σημείο της παραβολής ισχύει ότι 4α pα p και C: y 4x Η εφαπτομένη της παραβολής στο Κ έχει εξίσωση: αy x α αy x α 0 Για το Α έχουμε το σύστημα: αy x α 0 αy α y α x x x α, άρα A, α α 6

α EA,, ΕΚ α,α, α Είναι det EA, EK α α wwwaskisopolisgr α 4 4 α α 4α α α α α α 4α α α α α α ΚΑΕ det EA, EK α ος τρόπος α EA ΕΚ α α α α 0 α Άρα το τρίγωνο ΚΑΕ είναι ορθογώνιο με εμβαδόν 4 4 4 4 4 4 4 4 4 7