CAPITOLUL 5 TEOREMELE IMPULSULUI

CAPITOLUL 5 TEOREMELE IMPULSULUI NOTAŢII ŞI SEMNIFICAŢII FIZICE A, S suprafaţa de control sau suprafaţa unei secţiuni, în [m ], C L, C coeficienţi de portanţă, respecti de rezistenţă la înaintare; c - iteza de propagare a undei de presiune (celeritate) în fluid, în [m/s], da element unitar de arie, în [m ], d Vol - element unitar de olum, în [m ], E modul de elasticitate, în [N/m ], f = acceleraţia forţelor masice, în [m/s ], FL P - forţa lichid-perete, în [N], g = 9,8665 [m/s ] - acceleraţia graitaţională, G - greutatea lichidului cuprins în olumul de control considerat, în [N], L h p suma pierderilor locale şi longitudinale, în [m], k constantă de corecţie, adimensională, m - masa, în [kg], M - moment, în [ N m], n - turaţia, în [rot/min] = [rpm], p presiune absolută, în [N/m ] = [Pa], p at = 5 [Pa] presiunea atmosferică, Q - debit olumic, în [m /s], R raza cercului, în [m] sau constanta gazului, în [ J / Kg K ], t timpul, în [s] sau temperatura, în [ C], T temperatura, în [ K], Vol olumul de control, în [m ], - iteza curentului de fluid, iteza absolută, în [m/s],,, z - coordonatele carteziene ale unui punct, în [m], - coeficient de neuniformitate a itezei, pe o secţiune (diafragmă) coeficientul energiei cinetice (coeficientul lui Coriolis), coeficient de neuniformitate a itezei, pe o secţiune (diafragmă) - coeficientul impulsului (primul coeficient al lui Boussinesq), g - greutatea specifică, în [N/m ], - coeficientul (constituti) de âscozitate dinamică, în [Pa.s], - coeficientul (constituti) de âscozitate cinematică, în [m /s], ρ = [kg/m ] - densitatea apei, ω - iteza unghiulară, în [rad/s] = [s - ].

9 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică 5.. INTROUCERE În ederea calculului de rezistenţă al pieselor aflate în contact cu fluidul în mişcare este necesar a se cunoaşte aloarea forţelor şi momentelor eercitate de către acesta. Pentru determinarea acestora se folosesc teoremele impulsului. În cadrul acestui capitol om calcula forţele ce apar la interacţiunea fluidului cu frontierele domeniului în care are loc mişcarea. 5.. NOTIUNI TEORETICE Pentru calculul forţelor eercitate de către fluidul în mişcare se foloseşte prima teoremă a impulsului, a cărei formă integrală, pentru mişcarea permanentă, este: S n da f d Vol Vol S t da (5.) Rezolând integrala (5.) în cazul curgerii permanente printr-un cot, se obţine epresia forţei lichid-perete: F L P Q Q p n s p n s GL (5.) Obseraţie: pentru mişcarea laminară = /, iar pentru cea turbulentă. În calcule se alege un sistem de ae de coordonate, relaţia (5.) se proiectează pe aceste ae şi se obţin componentele forţei lichid-perete FL P după aceste ae (fig.). În calcule, pe lângă relaţiile de mai sus, se utilizează următoarele ecuaţii: ecuaţia de continuitate, care scrisă în curgerea permanentă, între două secţiuni (diafragme) are forma: Q = S = S (5.) ecuaţia transferului de energie cinetică, care aplicată între două secţiuni, şi, are forma: p p z z h p (5.) g g Obseraţie: pentru mişcarea laminară are alori supraunitare, iar pentru mişcarea turbulentă se consideră. Toate mărimile din aceste ultime două relaţii se cunosc cu ecepţia termenului h p-, care reprezintă pierderile hidraulice (locale şi longitudinale) între cele două secţiuni, şi. În cazul aerului, forţa de portanţă F L, respecti rezistenţă F ce acţionează asupra unui corp aflat în mişcare, se calculează cu relaţia: FL, CL, aer S (5.5)

5 - Teoremele impulsului 95 F L-P z n n -p n S QV k J i V S G L S a. Componentele forţei lichid-perete - situaţia reală V Q -p ns V z F L-P -G L QV-pSn n QV + +p S n ) V Q -p ns V n -p n S V k QV i j b. Schema de calcul a componentelor forţei lichid-perete Fig. Curgerea unui lichid prin conductă curbată

96 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică Această relaţie este alabilă şi pentru lichide, atunci când se cunosc coeficienţii de portanţă C L, respecti de rezistenţă la înaintare C. Suprapresiunea care apare la închiderea bruscă a unei ane, instalată pe o conductă care transportă lichid este: pc. (5.6) Pentru conducte rigide, iteza de propagare a undei de presiune (celeritatea) are aloarea: c E / (5.7) iar pentru conducte elastice aceasta are aloarea este: E c d E E Tensiunea, ce apare în perete, datorită creşterii presiunii, este: p d Pentru gaze, celeritatea se calculează cu relaţia: în care k =, şi R = 9, pentru aer. (5.8) (5.9) c k g R T (5.) 5.. APLICAŢII 5.. Probleme rezolate 5.. Să se determine coeficientul de corecţie al cantităţii de mişcare (coeficientul de neuniformitate al itezei), dacă distribuţia de iteze de-a lungul razei este erificată de ecuaţia med =,5 ma. ma (r r Coeficientul, se calculează cu relaţia: A A ) / r med, iar iteza medie are aloarea da Cu datele din problemă, coeficientul are aloarea:

r ma r r / r r.5 ma 8 6 6 6 r r r 6 r 6 5 - Teoremele impulsului 97 r dr 8 6 r / 6 r 6,. 5.. Un jet de apă, cu diametrul d = mm, loeşte o placă plană, menţinută normal pe aa jetului (fig.5.). Să se calculeze: a. forţa cu care trebuie acţionat asupra plăcii, pentru a o menţine în poziţie erticală, dacă iteza jetului este de = m/s; b. forţa cu care trebuie acţionat asupra plăcii, când acesta se deplasează cu o iteză de = m/s, în acelaşi sens cu jetul de apă; c. forţa cu care trebuie acţionat asupra plăcii, când acesta se deplasează cu o iteză de = m/s, în sens contrar jetului de apă. F z V o Fig.5. Jet de apă, care acţionează perpendicular pe o placă erticală Se consideră sistemul de ae Oz (fig.5.). Forţa care apare este în direcţia aei O, de aloare F. Particularizând relaţia (5.) d =. m, = = = m/s, p = p = p at, se obţin, pentru cele trei cazuri: d. a. F Q F,6 N. b. F Q Q F 56, N. d (, ) ( )

98 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică c. F Q Q F 97 N. d. ( ) ( ) 5.. O placă curbată, deiază un jet de apă cu un unghi α = 5 o (fig.5.). Ştiind că jetul are diametrul d = mm şi iteza = m/s, să se calculeze aloarea componentelor forţei eercitate de jet asupra plăcii. Se consideră sistemul de ae Oz (fig.5.). Forţa care apare are două componente: una în direcţia aei O, de aloare F şi alta în direcţia aei Oz, de aloare F z. Particularizând relaţia (5.) d =. m, α = 5, = m/s, p = p = p at, se obţine: d F Q Q cos, F 68,6 N. ( cos) o F V z V -F z o Fig.5. eiaţia jetului de placa curbată d Fz Q sin F 8885,7 N. z. sin 5.. Jetul de apă care loeşte o placă aşezată în plan orizontal (fig.5.), este diizat în două astfel încât, cele două debite deiate sunt egale: Q = Q = l/s. Viteza iniţială a jetului este de = 5 m/s. Să se afle forţa cu care jetul loeşte placa şi unghiul α cu care acesta acţionează pe placă, faţă de aa O.

5 - Teoremele impulsului 99 Se consideră sistemul de ae O (fig.5.). Forţa care apare are două componente: una în direcţia aei O, de aloare F şi alta în direcţia aei O, de aloare F, date de jetul de apă deiat de porţiunea de placă înclinat cu un unghi de 6 faţă de aa O. Jetul de apă de pe porţiunea de placă paralelă cu aa O, alunecă în lungul acesteia. În relaţia (5.): Q = Q = l/s, Q = Q +Q = 6 l/s, p = p = p at, = = = 5 m/s. Cele două componente ale forţei, sunt F, F : Q o 5 9 6 F o F F Q 75 Q Fig.5. eiaţia jetului în părţi egale de placa aşezată în plan orizontal F Q sin 5 F 6 F Q cos5 F 6 Q 5 F =, N. 5 Q cos6 5 sin 6 F = 8, N. Forţa F cu care jetul loeşte placa are aloarea F: 5 F F F F = 5,97 N, 8, care acţionează sub un unghi α, faţă de aa O, dat de relaţia rezultă: α = 7 tg F / F, din care

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică 5.5. O placă curbată (fig.5.5.a), se deplasează în acelaşi sens cu jetul. Viteza plăcii este p = m/s, iar cea a jetului este j = m/s. iametrul jetului înainte de loirea plăcii este d = mm. Să se afle forţa cu care jetul loeşte placa şi unghiul β cu care acesta acţionează, faţă de aa O. ebitul jetului este: Q S d /, / j Q =,6 m /s Pe placa curbată, iteza jetului este : = j - p = - = m/s Viteza a jetului la ieşirea de pe placa curbată, este egală cu iteza. ar, placa curbată are o iteză p = m/s, în direcţia jetului. Prin urmare, jetul iese de placa curbată, cu iteza relatiă -p (fig.5.5.b). Cum iteza este tangentă la ieşirea de pe placa curbată sub unghiul α, proiecţia acesteia pe direcţia itezei p, este : = cosα = cos = 8,66 m/s Astfel, proiecţia itezei -p la ieşirea apei de pe placa curbată, după direcţia, este r : r = p = 8,66 r =,9 m/s iar după aa z: z = sinα = sin z = 5 m/s. V j z o V p V V j V r V a. V -p V z b. V p V F z o F c. F Fig.5.5 eiaţia jetului cu unghiul α de placa curbată aflată în mişcare

5 - Teoremele impulsului Valorile forţelor F după direcţia şi F z după direcţia z, cu care acţionează apa asupra plăcii curbate, conform relaţiei (5.) cu precizările de mai sus, au alorile: F = ρ Q j ρ Q r = ρ Q ( j r ) =,6 (,9) F = N F z = ρ Q z =,6 5 F z = 8 N Forţa F, cu care loeşte jetul de apă suprafaţa curbată, are aloarea: F F F 8 F = 5559, N Unghiul β, dintre aa orizontală şi direcţia forţei F, este: arctg F / F arctg 8/ 5. z 5.6. Jetul de apă (fig.5.6.a) acţionează asupra unei palete de turbină Pelton. Viteza jetului este j = 5 m/s, iar iteza periferică a paletelor este p = 6 m/s. Să se calculeze: a. aloarea unghiului α (de intrare a jetului pe paletă), pentru ca jetul să fie tangent la paletă (intrare fără şoc), dacă aloarea unghiului α = ; b. puterea produsă de paletă, dacă debitul jetului are aloarea Q = 5 l/s şi ieşirea jetului de pe palete, se face fără şoc, sub un unghi de aloare α = 5 ; c. randamentul paletelor. a) eoarece intrarea jetului se face pe o suprafaţă curbată în mişcare (paletă de turbină Pelton), unghiul α de intrare fără şoc a jetului, trebuie să fie mai mic decât cel de intrare pe suprafaţa paletei α. Cu datele din problemă, se scrie sistemul de trei ecuaţii cu trei necunoscute,,, α (fig.5.6.b): cos p sin / j tg / Eliminând necunoscutele şi, se obţine ecuaţia trigonometrică în α : cos α,9 sin α, =, a cărei rezolare conduce la determinarea unghiului α : α = 5 5 b) Puterea P (utilă) dezoltată pe paletă, este dată de relaţia: P = F p, / j.

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică unde F este forţa după direcţia aei O dezoltată de jet pe paletă, care se determină prin particularizarea relaţiei (5.): p = p = p at, Q = Q = Q, FL P F, j,, G. Astfel: L F Q cos Q. j Pentru determinarea itezei, trebuie determinată iteza jetului pe paletă, l. in fig. 5.6.b, rezultă: sin 5sin 5,8 6,58m/ j în triunghiul OBA: s în triunghiul ABC: l / sin 6,58/sin 9,89m/ s V z V j o V l a A C V j V l V l O V p C B b V V p O A c Fig.5.6 Paleta de turbină Pelton, sub acţiunea jetului de apă in fig.5.6.c, din triunghiul OBC rezultă: B OB = l cosα = 9,89 cos5 m/s şi astfel OA = = OB OA = 6,99 6

respecti: Forţa F este: =,99 m/s. F,55cos(5,8),5,99 F 86,6N Şi puterea P este: P = 86,6 6 P = 8 W. c) Randamentul este dat de relaţia: unde P j este puterea dezoltată de jet. = P/ P j Pentru a determina P j, se scrie energia cinetică a jetului j E m / Vol /. j 5 - Teoremele impulsului j E j, la intrare: Variaţia energiei în timp, conduce la determinarea puterii; cum puterea la intrare a jetului a fi: Q Vol / t, P Q j /,55 / 6,875W. Astfel că, randamentul paletelor a fi: 8/ 6875 77,7 %. 5.7. Să se afle componentele forţei hidrodinamice, după aele şi, cu care uleiul mineral, de densitate u 8kg/ m, acţionează asupra tronsonului de conductă curb (fig.5.7), dispus într-un tunel hidrodinamic în plan orizontal. Se cunosc: debitul ehiculat prin tunel Q =,5 m /s, diametrele la intrare d = mm şi la ieşire d = 5 mm, presiunea uleiului la intrare în tronson p = 5 Pa şi unghiul α = 6. Se neglijează prinderile hidraulice şi greutatea uleiului din tronson. Considerăm olumul de control - reprezentat cu linie punctată în fig. 5.7.a. Ataşăm tronsonului din fig. 5.7.a., schema simplificată din fig. 5.7.b. Forţa hidrodinamică este dată de relaţia 5.. Se eprimă fiecare ector din această relaţie în funcţie de ersorii sistemului de ae ales. Se obţine:

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică n n j i sin j cos j i sin j cos d p, V S n V QV + +p S n ) j O i S d p, V n Q V -p S n V a. Situaţia reală b. schema simplificată Fig.5.7. Tronson curbat cu unghiul α, prin care circulă ulei mineral in ecuaţia de continuitate rezultă: Q Q,5,59m / s s d, Q s Q,5,89m / s d, Se aplică ecuaţia transferului de energie cinetică (5.) între secţiunea () şi (), în care pierderile hidraulice sunt h p- =. Se obţine: p z z p g g Cum tronsonul este în plan orizontal aem: z = z.

5 - Teoremele impulsului 5 Considerând =, din ecuaţia transferului de energie cinetică se obţine: p p g u p g u g g p p 5 8 9,8665 89,8665,78 N / m,59,89 Proiectând relaţia (5.) pe aele de coordonate se obţine: 9,8665 FL P Q sin p s sin F Q Q cos p s p s cos LP Considerând =, se obţin componentele forţei F : L P F L P 8,5,89 F 89,68N LP,78,5 F LP,78 8,5,598,5,89 5,5 F 6,78N LP, 5.8. O placă plană, de suprafaţa dreptunghiulară de,,6 m, se deplasează prin aer ( aer =, kg/m ) cu iteza = m/s (fig.5.8). Placa face un unghi α =, cu direcţia de deplasare, Ştiind că alorile coeficienţilor de rezistenţă şi portanţă sunt C =,7, respecti C L =,7, să se calculeze: a) rezultanta forţelor eercitate de aer asupra plăcii şi unghiul θ pe care îl face aceasta cu direcţia forţei rezultante; b) forţa de rezistenţă datorată frecării; c) puterea necesară realizării mişcării plăcii.

6 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică F L F n R V F t F Fig.5.8 eplasarea plăcii dreptunghiulare în aer, sub un unghi a. Cele două forţe, de portanţă, respecti de rezistenţă, sunt date de relaţia 5.5 (fig.5.8). Acestea au alorile: F F L C,6 N F,8 N L F C L aer aer S,7,,,6 S,7,,,6 Astfel, forţa rezultantă R, ce acţionează pe placă, este: L R F F =,6,8 R = 6,8 N Unghiul θ (fig.5.8), este dat de relaţia: FL,8 tg, F.6 arctg,76,68 76 ' 5'' b. Forţa de rezistenţă F t, apare în lungul plăcii. Pentru a o determina, se calculează unghiul α + θ (fig.5.8):

5 - Teoremele impulsului 7 şi forţa de rezistenţă are aloarea: α + θ = 6 + 76,68 = 8,68 F t = R cos(α + θ) = 6,68,7 F t = 5,9 N c. Puterea P, necesară deplasării plăcii, trebuie să îningă forţa de rezistenţă. Aceasta este dată de relaţia: P = F =,6 P = 7, W..9. Un profil de aripă, aând suprafaţa S = m, se deplasează prin aer cu iteza = 5 m/s, sub un unghi de atac = 6. Ştiind că ariaţia coeficientului de rezistenta C este liniară cu unghiul de atac (C R =, pentru = şi C R =, pentru = ), iar coeficientul de portanţă al profilului are aloarea C L =,7, pentru = 6, să se calculeze: a) puterea necesară realizării mişcării; b) portanţa profilului; c) numerele Renolds şi Mach, dacă lungimea corzii este l =,5 m. Se cunosc: densitatea aerului aer =,5 kg/m şi âscozitatea cinematică a acestuia aer =,77-6 m /s). a. Pentru a determina puterea necesară realizării mişcării, trebuie determinat coeficientul de rezistenţă C, pentru unghiul de atac = 6. În acest scop, se construieşte diagrama C = C ( ), funcţie de datele problemei (fig.5.9). În această diagramă se calculează ecuaţia dreptei C. Aceasta este: 5 C,, (ecuaţia unei drepte prin două puncte), din care pentru = 6, rezultă C, 56. Astfel că forţa ce trebuie îninsă de aripă, este (ecuaţia 5.5): F C aer S,56,,5 5 F 787,7 N

8 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică C..8 C o. C 8 6 [ ] Fig. 5.9 Variaţia coeficientului de rezistenţă C, funcţie de unghiul de incidenţă α Cunoscând forţa rezistentă, puterea necesară realizării mişcării, este: P F 787,5 P 9687,5W b. Conform relaţiei.5, portanţa profilului este: FL CL aer S,7,55 FL 98,75N c. Conform relaţiilor din literatură, numerele Re şi Ma, sunt date de relaţiile: Re l/ Ma /c eci, alorile acestor numere, sunt: 6 6 Re 5,5/(,77 ),86 şi Ma 5/,75.. O aripă de aion cu suprafaţa S = 5 m, este epusă normal pe direcţia unui curent de aer, cu densitatea aer =,5 kg/m. Viteza aionului este de 6 km/oră. Să se calculeze forţa rezultantă R, ce acţionează asupra aripii, atunci când: a) aripa este imobilă, pal = ; se cunoaşte C =,; b) aripa se deplasează cu iteză ar = 5 km/oră, perpendicular pe direcţia curentului de aer (fig.5..a), aând: C =,5 şi C L =,6.

5 - Teoremele impulsului 9 a. acă aripa de aion este imobilă, nu eistă portanţă. Forţa rezultantă, se confundă atunci cu cea de rezistenţă. Astfel, forţa rezultantă este: R F C R 7. N aer S,,556 6 F L R B V ar V r C V A V r a. F b. Fig.. Aripă de aion epusă normal pe iteza ântului b. acă aripa de aion este în mişcare, eistă portanţă. În triunghiul itezelor (fig.5..b), între iteza relatiă r, iteza curentului şi cea de deplasare a aripii ar, eistă relaţia ectorială: r ar ar iteza curentului este perpendiculară pe cea a aripii, deci triunghiul ABC este dreptunghic şi se poate scrie relaţia: r ar = 6 5 r 7,8 Km/h =, m/s Unghiul, dintre iteza aripii şi cea relatiă este: arctg 9,6 o ar 6,556 5

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică Cele două forţe, de rezistenţă şi portanţă, sunt: r F C aer S.5.55. F N FL 985N Forţa rezultantă R, este: F C L R L aer r S,6,55, F F L = 985 R = N Unghiul, dintre forţa rezultantă şi direcţia itezei relatie este: FL arctg F 985 arctg arctg,7 67, Unghiul, dintre forţa rezultantă şi aripă este: 9,6 67, 87 5.. Un om aând masa m = 8 kg, sare dintr-un aion cu paraşuta. Paraşuta are diametrul d = 5,5 m şi masa m par = kg. Considerând că aloarea coeficientului de rezistenţă este C = şi densitatea aerului aer,kg / m, să se determine iteza minimă de coborâre. La limită, este necesar ca paraşuta să echilibreze greutatea omului şi a paraşutei, G. Prin cădere, paraşuta întâmpină o rezistenţă F. Are loc egalitatea: G = F adică, m m g = C S /. par aer min Egalitate din care se calculează iteza minimă, min m mpar g = C S aer min 7,868m/s. min : 8 9,8665, 5,5 /

5 - Teoremele impulsului 5.. Printr-o ţeaă lungă şi rigidă, aând diametrul d = cm, curge cu aceeaşi iteză =, m/s, succesi: apă la temperatura t=5 C (= kg/m, E = 6 7 N/m ), glicerină la temperatura t gl = C ( gl = 6 kg/m, E gl =,5 7 N/m ) şi ulei la temperatura t u = 8 C ( u = 8 kg/m, E u = 7 N/m ). Curgerea se întrerupe brusc. Se cere: a) să se compare itezele undelor de presiune; b) să se compare creşterile de presiune. a. Viteza undei de presiune se calculează din relaţia (5.7), relaţie care se aplică pentru cele trei lichide. Se obţine succesi: pentru apă: c E / = c = 5,7 m/s 6 7 / pentru glicerină: c E gl / =,5 / 6 gl c = 878,8 m/s pentru ulei: c E u / = / 8 u c = 7,5 m/s Se obţine următoarea relaţie de inegalitate: c u < c < c gl b. Creşterea de presiune, este dată de relaţia (5.6), relaţie care se aplică pentru cele trei lichide. Se obţine succesi: pentru apă: pc = 5,7. p = 7, Pa pentru glicerină: gl gl gl gl 7 p c = 6 878,8, p = 85,5 Pa pentru ulei: pu cu u = 8 7,5, p = 7, Pa Se obţine următoarea relaţie de inegalitate: < p < p p u gl 5.. O ţeaă confecţionată din oţel, are următoarele dimensiuni: diametrul d = mm, grosimea peretelui δ = 9,5 mm şi lungimea l = km. Această ţeaă este utilizată la transportul apei. Viteza de curgere a apei prin conductă este =,8 m/s. Vana aflată la capătul conductei este închisă în,5 s. Să se determine, tensiunea produsă în peretele conductei, prin creşterea presiunii apei. Se cunosc: modulul de elasticitate al oţelului E otel = 7 7 N/m, cel al apei E = 6 7 N/m şi densitatea apei ρ = Kg/m. 7

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică Prin închiderea anei, are loc o creştere a presiunii, care se propagă cu iteza c a. Conducta fiind lungă, deci elastică, aloarea itezei c a, se calculează cu relaţia (5.8): c a d E E otel E, 9,5 c a =,9 m/s 6 7 Cum lungimea conductei este l, timpul de propagare t pr, este: t pr l c a,8s,9 Căderea de presiune este, conform relaţiei (5.6): pa 7 7 7 6 Tensiunea a p a c p a a,9.8 = Pa., ce ia naştere în peretele conductei, este dată de relaţia (5.9): a pa d, 9,5 a = 6,5 6 N/m. 5.. Printr-o conductă de secţiune pătrată, aând latura interioară de l ٱ = 5 mm, circulă aerul de entilaţie a unei hale, aând iteza de 5 m/s ( aer, Kg / m ). Temperatura curentului de aer este t = 7 C. Să se determine forţa eercitată, datorită itezei aerului, pe suprafaţa plană de închidere, atunci când dispozitiul de comandă a clapetei de la capătul conductei, comandă închiderea bruscă a acesteia. Pentru a determina forţa ce apare datorită închiderii bruşte a clapetei, trebuie calculată căderea de presiune p, ce apare. Conform relaţiei (5.6): a paer c Celeritatea, conform relaţiei (.), are aloarea: c k g R T =, 9,8665 9, 7 7 c = 7,5 m/s.

eci, p,7,5 596Pa Forţa F aer, ce apare pe clapetă, a fi: F p Sp l 96, aer 5 F aer 78,5N. 5 - Teoremele impulsului 5.. Probleme propuse spre rezolare 5.5. Să se afle debitul unui jet de apă, aând diametrul de mm., ştiind că forţa cu care acesta loeşte o placă perpendiculară pe aa sa este de 7 N. R: Q =,8 m /s =,8 l/s. 5.6. Poarta de formă pătrată aând latura l ٱ =, m, este loită în centrul său de greutate, de către un jet de apă aând diametrul d = 5 mm (fig.5.6). În momentul impactului cu jetul, poarta face un unghi α = o, cu direcţia acestuia. Poarta piotează în jurul punctului A. Să se afle, forţa P care trebuie aplicată la etremitatea liberă a porţii, pentru ca aceasta să rămână în poziţia iniţială, dacă iteza jetului este = m/s (frecarea porţii în articulaţie se neglijează). z V Q V d B P Q F = = l Q A V Fig.5.6 Acţiunea jetului asupra porţii cu punct de piotare în A R: F L-P = 5, N.

Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică 5.7. La ieşirea dintr-un teu, folosit la sistemul de irigaţii (fig.5.8.a.), s-au măsurat presiunile p = p = bar şi iteza de la intrare = m/s. Ştiind că, d = 5 mm şi d = d = mm, să se afle forţa cu care apa acţionează asupra teului, aflat în plan orizontal, neglijând greutatea lichidului din teu şi pierderile hidraulice. p,v d d d p,v p,v n V QV + +p S n ) S j O V n i V S S n Q V -p S n QV + +p S n ) a. Situaţia reală b. Schema de calcul Fig.5.7. Teu folosit la irigaţii R: F L-P = 9,55 N. 5.8. Vântul, aând iteza = 8 km/oră, loeşte un panou dreptunghiular plan, de suprafaţă,5 m (fig..8) Panoul este situat perpendicular pe direcţia ântului. Cu ce forţă acţionează ântul asupra panoului dacă presiunea atmosferică este normală şi densitatea aerului este =, kg/m. Se cunoaşte C =,. z V o Fig.5.8. Acţiunea ântului asupra unui panou, aflat perpendicular pe direcţia sa R: F = 777,8 N

5 - Teoremele impulsului 5 5.9. O placă plană subţire aând suprafaţă plană pătrată de,, m, se deplasează după o direcţie perpendiculară pe planul său, cu iteza = 6,5 m/s. Mişcarea se realizează la presiunea atmosferică normală. Se cunoaşte C =,. Să se calculeze: a. rezistenţa întâmpinată de placă, la deplasarea prin aer, când temperatura acestuia este de C ( aer=,5 kg/m ); b. rezistenţa întâmpinată de placă, la deplasarea prin apă, cu temperatura de 5 C Kg / m. R: a. F 9,N; b. F 7N. 5.. Un aion aând masa m = 8 kg, are mărimea suprafeţei fiecărei aripi de aloare S a = S a = m. Care este unghiul de atac, făcut de aripi cu direcţia de mişcare, dacă aionul se deplasează cu iteza = 6 km/oră? (se consideră densitatea aerului aer =, kg/m şi o ariaţie liniară a coeficientului de portanţă C L cu unghiul de atac, de alori C L =,5 pentru = şi C L =,8 pentru = 6 ). aer apa R:,8 8 ' 5.. O bilă din oţel ( oţel = 7,87 kg/dm ) aând diametrul d = mm, cade în ulei cu densitatea u = 9 kg/m şi âscozitatea cinematică u =,6 - m /s. Să se calculeze iteza minimă a bilei dacă: a. nu se ţine cont de densitatea uleiului; b. se ţine cont de densitatea uleiului. Se cunoaşte coeficientul de rezistenţă al bilei în ulei C Ru =. R: a. V min =,5 m/s; b. V min =,8 m/s 5.. O sferă cu diametrul de d = 5 mm se deplasează în ulei ertical în sus, cu iteza de =,9 m/s. Să se afle densitatea materialului din care este confecţionată sfera. Se cunosc: coeficientul de rezistenţă al bilei în ulei C Ru =,9 şi densitatea uliului u = 9 kg/m. R: ρ = 97,75 Kg/m 5.. O sferă confecţionată din oţel ( oţel = 7,8 kg/dm ) cade liber, în aer de densitate aer =,5 kg/m. Să se determine diametrul sferei, pentru care aceasta poate atinge iteza sunetului. Se consideră, coeficientul de rezistenţă al sferei C =.8, iar iteza sunetului m/s. R: d =, m

6 Noţiuni teoretice şi probleme de hidrodinamică 5.. O ană, situată pe o conductă rigidă cu diametrul d = 7,5 cm, se închide brusc. Prin conductă se transportă glicerină la temperatura de t = C ( gl = 6 kg/m, E gl =,5 7 N/m ). Creşterea de presiune produsă de închiderea bruscă a anei, este de Δp = 7 N/cm. Să se determine debitul glicerinei transportate prin conductă. R: Q =, - m /s 5.5. Un proiectil aând diametrul d = mm, se deplasează prin aer cu iteza = 66 m/s (p = atm). Temperatura aerului este t = 8 C, iar densitatea acestuia este, ρ aer =, Kg/m. Să se determine: a) numărul şi unghiul lui Mach; b) forţa de rezistenţă întâmpinată de proiectil, cunoscând coeficientul său de rezistenţă în aer, C aer =,6. R: Ma =,866, α = ; F = 557 N 5.6. Studierea unei fotografii de către specialiştii de la criminalistică, a dus la concluzia că unghiul lui Mach sub care se deplasa proiectilul ucigaş aea aloarea, = 8. Să se calculeze iteza proiectilului, ştiind că la momentul crimei aerul aea presiunea p = atm şi temperatura t = 6 C. R: = 57,657 m/s